Zornin lemma

Zornin lemma, tunnettu myös nimellä Kuratowskin-Zornin lemma, on joukko-opin perustulos joka kuuluu seuraavasti:

Jokaisella osittain järjestetyllä joukolla, missä jokaisella ketjulla, jolla on yläraja, on vähintään yksi maksimaalinen alkio.

Zornin lemma on nimetty matemaatikko Max Zornin mukaan.

Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (P,≤) osittain järjestetty joukko. Osajoukko T on täysin järjestetty jos jokaisella s, t ∈ T on voimassa joko s ≤ t tai t ≤ s. Tällaisella joukolla T on yläraja u ∈ P jos t ≤ u kaikilla t ∈ T. Huomaa, että u on P:n alkio, mutta ei välttämättä kuulu T:hen. P:n maksimaalinen alkio on sellainen alkio m∈P, että ainoa alkio x ∈ P, jolle x ≥ m on x = m.

Kuten hyvinjärjestyslause, Zornin lemma on yhtäpitävä valinta-aksiooman kanssa siinä mielessä, että toinen lause seuraa toisesta kunhan joukko-opin Zermelon-Fraenkelin aksioomat oletetaan tunnetuiksi. Zornin lemman avulla voidaan todistaa monia kuuluisia lauseita, kuten esimerkiksi funktionaalianalyysin Hahnin-Banachin lause, jokaisella vektoriavaruuden olevan kanta, Tihonovin lause, jonka mukaan kompaktien avaruuksien tulo on kompakti, jokaisella renkaalla olevan maksimaalinen alkio ja jokaisella kunnalla olevan algebrallinen sulkeuma.