Ero sivun ”Zornin lemma” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [katsottu versio] |
pEi muokkausyhteenvetoa |
p Korvataan ISBN-tunniste |
||
| (22 välissä olevaa versiota 16 käyttäjän tekeminä ei näytetä) | |||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Zornin lemma''', tunnettu myös nimellä '''Kuratowskin-Zornin lemma''', on [[joukko-oppi|joukko-opin]] perustulos joka kuuluu seuraavasti: |
'''Zornin lemma''', tunnettu myös nimellä '''Kuratowskin-Zornin lemma''', on [[joukko-oppi|joukko-opin]] perustulos joka kuuluu seuraavasti:<ref name=Vaisala>{{kirjaviite | Tekijä = Jussi Väisälä | Nimeke = Topologia II | Sivu = 73–74 | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1981 | Isbn= 951-745-082-6}}</ref> |
||
<blockquote> |
<blockquote> |
||
Jokaisella [[osittain järjestetty joukko|osittain järjestetyllä joukolla]], jossa jokaisella [[ketju (järjestys)|ketjulla]] on [[yläraja]], on vähintään yksi [[maksimaalinen alkio]]. |
Jokaisella [[osittain järjestetty joukko|osittain järjestetyllä joukolla]], jossa jokaisella [[ketju (järjestys)|ketjulla]] on [[yläraja]], on vähintään yksi [[maksimaalinen alkio]]. <ref>{{Kirjaviite | Tekijä=Jalava, Väinö | Nimeke=Moderni analyysi I | Sivut=4 | Julkaisija=Tampereen teknillinen korkeakoulu | Julkaisupaikka=Tampere | Vuosi=1976 | Isbn= 951-720-223-7}}</ref> |
||
</blockquote> |
</blockquote> |
||
Zornin lemma on nimetty matemaatikko [[Max Zorn]]in mukaan. |
Zornin [[lemma]] on nimetty matemaatikko [[Max Zorn]]in mukaan. |
||
Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (''P'', |
Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (''P'',≤) osittain järjestetty joukko. Osajoukko ''T'' on ''täysin järjestetty'' jos jokaisella ''s'', ''t'' ∈ ''T'' on voimassa joko ''s'' ≤ ''t'' tai ''t'' ≤ ''s''. Tällaisella joukolla ''T'' on ''yläraja'' ''u'' ∈ ''P'' jos ''t'' ≤ ''u'' kaikilla ''t'' ∈ ''T''. Huomaa, että ''u'' on ''P'':n alkio, mutta ei välttämättä kuulu ''T'':hen. ''P'':n ''maksimaalinen alkio'' on sellainen alkio ''m''∈''P'', että ainoa alkio ''x'' ∈ ''P'', jolle ''x'' ≥ ''m'' on ''x'' = ''m''.<ref name=Vaisala /> |
||
Kuten [[ |
Kuten [[hyvinjärjestys]]lause, Zornin lemma on yhtäpitävä [[valinta-aksiooma]]n kanssa siinä mielessä, että toinen lause seuraa toisesta kunhan joukko-opin [[aksiomaattinen joukko-oppi|Zermelon-Fraenkelin aksioomat]] oletetaan tunnetuiksi. Zornin lemman avulla voidaan todistaa monia kuuluisia lauseita, kuten esimerkiksi [[funktionaalianalyysi]]n [[Hahnin-Banachin lause]], jokaisella [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] olevan [[vektoriavaruuden kanta|kanta]], [[Tihonovin lause]], jonka mukaan [[kompakti]]en avaruuksien tulo on kompakti, jokaisella ykkösellisellä [[Rengas (matematiikka)|renkaalla]] olevan maksimaalinen ideaali ja jokaisella [[kunta (matematiikka)|kunnalla]] olevan [[algebrallinen sulkeuma]].<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek–juuri) | Sivu = 2401, art. Joukko-oppi | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1978 | Tunniste = | Isbn = 951-1-02232-6}}</ref> |
||
Jos matematiikassa joudutaan tekemään valintoja äärellisestä joukosta, voidaan yleensä tapaus tapaukselta tarkastaa toteuttaako tietty alkio annetut ehdot. Monesti matematiikassa joudutaan kuitenkin valitsemaan alkioita äärettömästä joukosta, vieläpä voidaan joutua valitsemaan useita alkioita samanaikaisesti. Tällöin Zornin lemma on käyttökelpoinen. |
|||
Zornin lemmaa käytetään useimmiten siten, että ensin etsitään jotkin struktuurit, jotka toteuttavat todistettavana asiana olevat ehdot. Näille asetetaan paremmuusjärjestys ja Zornin lemmaa käytetään sen osoittamiseen, että tässä paremmuusjärjestyksessä on olemassa paras vaihtoehto. |
|||
== Lähteet == |
|||
{{Viitteet}} |
|||
==Kirjallisuutta== |
|||
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=Set Theory and Related Topics | Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1964 | Isbn = 0-07-037986-6}} |
|||
{{tynkä/Matematiikka}} |
{{tynkä/Matematiikka}} |
||
[[Luokka:Joukko-oppi]] |
[[Luokka:Joukko-oppi]] |
||
[[ca:Lema de Zorn]] |
|||
[[cs:Princip maximality]] |
|||
[[de:Lemma von Zorn]] |
|||
[[en:Zorn's lemma]] |
|||
[[es:Lema de Zorn]] |
|||
[[fr:Lemme de Zorn]] |
|||
[[ko:초른의 보조정리]] |
|||
[[it:Lemma di Zorn]] |
|||
[[he:הלמה של צורן]] |
|||
[[ka:ცორნის ლემა]] |
|||
[[hu:Zorn-lemma]] |
|||
[[ja:ツォルンの補題]] |
|||
[[pl:Lemat Kuratowskiego-Zorna]] |
|||
[[pt:Lema de Zorn]] |
|||
[[ro:Lema lui Zorn]] |
|||
[[sl:Zornova lema]] |
|||
[[sv:Zorns lemma]] |
|||
[[tr:Zorn Lemma]] |
|||
[[zh:佐恩引理]] |
|||
Nykyinen versio 13. marraskuuta 2024 kello 13.15
Zornin lemma, tunnettu myös nimellä Kuratowskin-Zornin lemma, on joukko-opin perustulos joka kuuluu seuraavasti:[1]
Jokaisella osittain järjestetyllä joukolla, jossa jokaisella ketjulla on yläraja, on vähintään yksi maksimaalinen alkio. [2]
Zornin lemma on nimetty matemaatikko Max Zornin mukaan.
Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (P,≤) osittain järjestetty joukko. Osajoukko T on täysin järjestetty jos jokaisella s, t ∈ T on voimassa joko s ≤ t tai t ≤ s. Tällaisella joukolla T on yläraja u ∈ P jos t ≤ u kaikilla t ∈ T. Huomaa, että u on P:n alkio, mutta ei välttämättä kuulu T:hen. P:n maksimaalinen alkio on sellainen alkio m∈P, että ainoa alkio x ∈ P, jolle x ≥ m on x = m.[1]
Kuten hyvinjärjestyslause, Zornin lemma on yhtäpitävä valinta-aksiooman kanssa siinä mielessä, että toinen lause seuraa toisesta kunhan joukko-opin Zermelon-Fraenkelin aksioomat oletetaan tunnetuiksi. Zornin lemman avulla voidaan todistaa monia kuuluisia lauseita, kuten esimerkiksi funktionaalianalyysin Hahnin-Banachin lause, jokaisella vektoriavaruuden olevan kanta, Tihonovin lause, jonka mukaan kompaktien avaruuksien tulo on kompakti, jokaisella ykkösellisellä renkaalla olevan maksimaalinen ideaali ja jokaisella kunnalla olevan algebrallinen sulkeuma.[3]
Jos matematiikassa joudutaan tekemään valintoja äärellisestä joukosta, voidaan yleensä tapaus tapaukselta tarkastaa toteuttaako tietty alkio annetut ehdot. Monesti matematiikassa joudutaan kuitenkin valitsemaan alkioita äärettömästä joukosta, vieläpä voidaan joutua valitsemaan useita alkioita samanaikaisesti. Tällöin Zornin lemma on käyttökelpoinen.
Zornin lemmaa käytetään useimmiten siten, että ensin etsitään jotkin struktuurit, jotka toteuttavat todistettavana asiana olevat ehdot. Näille asetetaan paremmuusjärjestys ja Zornin lemmaa käytetään sen osoittamiseen, että tässä paremmuusjärjestyksessä on olemassa paras vaihtoehto.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ a b Jussi Väisälä: Topologia II, s. 73–74. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6
- ↑ Jalava, Väinö: Moderni analyysi I, s. 4. Tampere: Tampereen teknillinen korkeakoulu, 1976. ISBN 951-720-223-7
- ↑ Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek–juuri), s. 2401, art. Joukko-oppi. Otava, 1978. ISBN 951-1-02232-6
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6