Normaalijakauma

Normaalijakauma (toisilta nimiltään Gaussin jakauma tai Gaussin kellokäyrä) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys kellokäyrä tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa kirkonkellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma

Tiheysfunktio Punainen kuvaaja on standardoitu normaalijakauma
Kertymäfunktio
Merkintä	${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
Parametrit	μ ∈ R — keskiarvo (sijainti) σ2 > 0 — varianssi (neliöity skaala)
Määrittelyjoukko	x ∈ R
Tiheysfunktio	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}$
Kertymäfunktio	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]$
Odotusarvo	μ
Mediaani	μ
Moodi	μ
Varianssi	$\sigma ^{2}\,$
Vinous	0
Huipukkuus	0
Entropia	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})$
Momentit generoiva funktio	$\exp\{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
Karakteristinen funktio	$\exp\{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
Fisherin informaatiomatriisi	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja $X$ on normaalijakautunut, niin merkitään

$X\sim \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2}).$

Parametri $\mu \in \mathbb {R}$ on jakauman odotusarvo ja $\sigma ^{2}>0$ on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$

Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt,$

jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus $\operatorname {N} (0,1)$. Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio $\phi (x)$ voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion $\operatorname {erf} (x)$ avulla seuraavasti:

$\phi (x)={\frac {\mathrm {erf} (x)+1}{2}}.$

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

Normaalijakaumaa koskevia lauseita

Jos $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$, niin ${\frac {X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$.

Jos $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ ja $a$ ja $b$ ovat vakioita, niin $a+bX\sim N(a+b\mu ,b^{2}\sigma ^{2})$.

Jos $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}$ ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2,\ldots ,k$, niin $X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{k}\sim N(\mu _{1}+\mu _{2}+\ldots +\mu _{k},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\ldots +\sigma _{k}^{2})$.

Jos $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}$ ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),i=1,2,\ldots ,k$, niin satunnaismuuttujien keskiarvo noudattaa jakaumaa ${\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{k}}{k}}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{k}}\right)$.

Normaalijakauman laskeminen tietokoneella

Esimerkiksi Sagella voi laskea normaalijakauman N(0,1) likiarvon $\Phi (1)$ seuraavasti:

 sage: N(integrate(1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),x,-infinity,1))
 0.841344746068543

Vastaavasti numeerisesti voidaan laskea, milloin vaikkapa $\Phi (x)=0{,}95$:

 sage: import scipy.stats as st
 sage: st.norm.ppf(0.95,0,1)
 1.6448536269514722

Aiheesta muualla

• Mathworld. Normal Distribution (englanniksi)
• Table of the Standard Normal Distribution (Arkistoitu – Internet Archive) Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja (englanniksi)
• The Myth of the Bell Curve. Kritiikkiä normaalijakauman käytöstä yhteiskuntatieteissä. (englanniksi)
• Online laskin Normaalijakauma
• Interaktiivinen Normaalijakauma, Java/Geogebra (Arkistoitu – Internet Archive)

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma