Monisto
Tämän artikkelin tai sen osan kieliasua on pyydetty parannettavaksi. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin kieliasua. |
Matematiikassa monisto on topologinen avaruus, joka näyttää lokaalisti euklidiselta avaruudelta .[1] Esimerkiksi käyrät ovat yksiulotteisia eli 1-monistoja, pinnat kaksiulotteisia eli 2-monistoja.[2] Yksinkertaisia esimerkkejä monistoista ovat , yksikköpallo ja erinäiset sileät pinnat.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg/220px-Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg)
Monistot ovat kenties yksinkertaisimpia ja parhaiten tunnettuja käsitteitä geometriassa ja topologiassa. Niiden lokaali topologia on triviaali, mikä tekee niiden tutkimisesta yksinkertaisempaa. Toisaalta niiden globaali geometria voi olla hyvinkin monimutkainen. Fysiikassa ja matematiikassa monet luonnolliset objektit, kuten symmetriaryhmät ja aika-avaruus, mallinetaan monistoilla. Differentiaaligeometriassa monistoon liitetään differentioituva struktuuri, ja niin sitä voidaan tutkia analyysin menetelmin.
Historia
muokkaaHistoriallisesti moniston käsite sai alkunsa käyrien ja pintojen teoriasta[2], kun matemaattisia määritelmiä täsmennettiin. Vanhoja geometrian lähteitä tarkasteltaessa on siis otettava huomioon, että esimerkiksi käsitteitä joukko-oppi, funktio, jatkuvuus ja topologia joko ei tunnettu tai ne oli määritelty epätäsmällisesti. Esimerkiksi Riemann, Gauss ja Poincaré määrittelivät monistot yhtälöryhmien ratkaisuina, jotka nykyisen terminologian mukaan ovat alimonistoja. Tämä näkyy vanhoissa differentiaaligeometrian kirjoissa (esim. [3]). Klassiset monistot olivat usein polynomisten yhtälöiden ratkaisuja ja niin ollen niin kutsuttuja algebrallisia varistoja, joita tutkitaan algebrallisessa geometriassa. Vanhin lähde, jossa monisto on määritelty kutakuinkin nykyiseen tapaan, on Whiteheadin ja Veblenin kirjasta vuodelta 1936 [4]. Myöhemmin Whitney osoitti, että monet aikaisemmat määritelmät olivat ekvivalentteja Whiteheadin ja Veblenin määritelmän kanssa[5]. Historian aikana syntyneistä epätäsmällisyyksistä seurasi, että useita vanhoja lauseita on jouduttu todistamaan uudelleen ja tarkentamaan niissä esiintyviä oletuksia.
Määritelmä
muokkaaRiippuen siitä paljonko stuktuuria monistolta oletetaan, saadaan eri luokkia monistoista, joilla kullakin on oma teoriansa.
Topologinen monisto
muokkaaSanomme, että topologinen avaruus on topologinen n-monisto, jos
- avaruuden topologialla on numeroituva kanta,
- avaruus on Hausdorffin avaruus ja
- avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden kanssa.[2]
Lokaali homeomorfisuus avaruuden kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden kanssa.[2] Koska itse avaruus on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden avoimen pallon kanssa.
Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontaa Whiteheadilta ja Vebleniltä [4]. Oletetaan että on joukko. Määritellään joukon topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko :n alijoukkoja , missä , ja bijektiivisiä kuvauksia , jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa.
- Joukot ovat avoimia kaikille . Huomioi, että tyhjä joukko on määritelty avoimeksi.
- Kuvaukset ovat yhteensopivia: ovat jatkuvia kaikille .
- Joukot muodostavat joukon peitteen, eli .
Sanomme, että funktiot ovat koordinaattifunktioita, ja että joukot muodostavat kartaston. Kuvauksia sanomme koordinaattimuunnoksiksi. Kuvaukset indusoivat :lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus [2]. Kokonaislukua edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle.
Tämä määritelmä on kätevä, koska se yleistyy helposti moniin muihin struktuureihin. Keskeistä tässä on jatkuvien kuvausten kokoelma, missä ovat avoimia. Jatkuvia kuvauksia voi yhdistää, jos niiden arvo- ja määrittelyjoukot ovat yhteensopivia. Näin saadaan n.k. semiryhmä. Ks. esimerkiksi [6]. Valitettavasti koordinaattifunktiot ja kartastot eivät ole yksikäsitteisiä; samalle monistolle voi antaa eri kokoelman kordinaattifunktioita. Mutta jokainen kartasto indusoi topologian, ja jos kaksi kartastoa indusoi saman topologian, niin molemmat struktuurit ovat ekvivalentteja. Sanomme siis, että topologiset monistot ovat ekvivalentteja, jos ne ovat homeomorfisia topologisina avaruuksina.
Sileä ja differentioituva monisto
muokkaaSanomme, että on sileä monisto, jos sille on valittu kartasto (ks. yllä), joille oletamme, että
- Koordinaattimuunnokset ovat sileitä (äärettömästi jatkuvasti derivoituvia).
Sanomme, että monisto on luokassa tai , jos koordinaattimuunnokset kuuluvat kyseiseen luokkaan funktioina. Ensimmäisessä tapauksessa voimme myös sanoa, että monisto on k-kertaa derivoituva.
Vaikka topologisille monistoille kartaston valinta ei aiheuttanut ongelmia, niin sileille ja differentioituville monistoille on asia toisin. Näin ollen, vaikkei niin usein eksplisiittisesti tehdä, on pidettävä mielessä että kullekin monistolle on valittu jokin kartasto. Määritelläksemme ekvivalentit sileät monistot tarvitsemme sileän kuvauksen käsitteen. Olkoon sileitä monistoja, joille olemme valinneet kartastot ja , vastaavasti. Määrittelemme, että jatkuva kuvaus on sileä (tai esim. ), jos
- kaikille kuvaukset ovat sileitä.
Vastaavasti määrittelemme -kuvaukset ja kaikki muut vastaavat funktioluokat. Jos kuvaus on bijektiivinen ja sen käänteiskuvaus on myös sileä, niin sanomme että monistot ovat diffeomorfisia (eli tietyssä mielessä ekvivalentteja).
Mielenkiintoinen kysymys on, että voiko samalla topologisella monistolla olla eri sileitä kartastoja, jotka eivät ole keskenään diffeomorfisia. Vastaus on kyllä, minkä osoitti matemaattisen yhteisön suureksi yllätykseksi [7]. Milnor konstruoi sileän moniston, joka on homeomorfinen 7-ulotteisen pallon kanssa, mutta joka ei ole diffeomorfinen sen kanssa. Myöhemmin on löydetty suuri määrä muita esimerkkejä. Tällaista tulosta ei pystytty edes kuvittelemaan ennen täsmällistä moniston määritelmää. Maininnan arvoista on, että tätä ongelmaa ei esiinny yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa, jolloin topologiselle monistolle voi antaa vain yhden sileän struktuurin, diffeomorfismia vaille. Tämä on seurausta uniformisaatioteoreemasta [8].
Riemannin pinta ja kompleksiset monistot
muokkaaKuten edellä, sanomme, että sileä monisto on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen ( ) ja lisäksi kartastot toteuttavat seuraavat ehdot:
- Kuvaukset tulkitaan kompleksiarvoisina ja
- koordinaattimuunnokset ovat analyyttisiä. Analyyttisyys tässä tarkoittaa sileyttä ja sitä että on koordinaateittain analyyttinen klassisessa mielessä.
Kokonaislukua sanotaan moniston kompleksiseksi ulottuvuudeksi. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan Riemannin pinnaksi.
Affiini varisto
muokkaaAlgebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko korvataan jollakin varistolla . Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariskin topologiaa [9].
Esimerkkejä
muokkaa- Selvin esimerkki 1-monistosta on reaaliakseli. Tämän topologian (eli itseisarvometriikan määräämän metriikan antaman topologian) eräs numeroituva kanta koostuu avoimista väleistä, joiden päätepisteet ovat rationaalilukuja. Reaaliakseli on myös separoituva, sillä itse rationaaliluvut muodostavat tiheän reaaliakselin osajoukon ja rationaaliluvut muodostavat numeroituvan joukon.[10] Lopuksi vielä avaruus on lokaalisti homeomorfinen itsensä kanssa, sillä se on homeomorfinen itsensä kanssa.
- Yleisemmin avaruus on n-monisto.
- Pallokuori on yksinkertainen esimerkki ei-triviaalista monistosta. Se on n-1-monisto jos topologia peritään avaruuden tavallisesta topologiasta.
Sileän moniston struktuureita
muokkaaTässä osiossa tarkastelemme sileälle monistolle määriteltyjä struktuureita, joita tutkitaan syvällisemmin Riemannin geometriassa. Oletamme tässä aina, että on sileä monisto jollain sileällä kartastolla. Tarvitsemme ensin tangenttiavaruuden käsitteen.
Tangenttiavaruus
muokkaaOlkoon mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta , jolle . Lokaalisti tälle pisteelle määrittelemme tangenttivektorit . Kun tarkastelemme koordinaatteja , niin vastaa suuntavektoria jonka kanta on pisteessä . Voimme myös ajatella sitä suoran , missä , nopeusvektorina. Ongelma tosin on, että monistoilla kaiken pitäisi olla määritelty invariantisti. Mitä siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit samalle pisteelle. Tällöin sanomme, että vektorit ja ovat ekvivalentteja, jos
.
Tässä oikeanpuoleinen derivaatta on funktion derivaatta lineaarisena kuvauksena. Näin kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkitään , joka on isomorfinen :n kanssa. Edellisestä määritelmästä on mahdollista määritellä sileä tangenttimonisto, joka sisältää kaikki tangenttiavaruudet yhteen, ja sitä merkitään [11]. Tangenttiavaruus on esimerkki vektorikimpusta. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon kartasto monistolla . Sitten määrittele
ja translaatiokuvaukset on annettu koordinaateissa kaavalla
Nyt jos määrittelemme topologisen avaruuden , missä samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. Tällöin inkluusiot ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.
Riemannin monisto
muokkaaSileä monisto on Riemannin monisto, jos voimme määritellä sileän bilineaarisen positiivisesti definiitin tensorikentän, eli jokaisessa pisteessä on määritelty kuvaus
,
joka toteuttaa seuraavat ehdot.
- Kuvaus on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla , ks. [11].
- Kuvaus on bilineaarinen: .
- Kuvaus on positiivisesti definiitti: ja .
- Kuvaus on symmetrinen:
Riemannin monistoille voidaan määritellä etäisyysfunktio, ja siten niistä tulee metrisiä avaruuksia. Jos pudotamme oletuksen, että metriikka on positiivisesti definiitti saamme semi-definiitit riemannin monistot. Näistä tärkeimmät ovat Lorenzin monistoja, jotka mallintavat yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruutta, ja siten koko universumia. Tällöin metriikkaan liittyvä kaarevuus kuvaa painovoimaa Einsteinin yhtälöitten kautta.
Symplektinen monisto
muokkaaSymplektinen monisto on Riemannin monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus
,
joka toteuttaa seuraavat ehdot.
- Kuvaus on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla , ks. [11].
- Kuvaus on bilineaarinen: .
- Kuvaus on antilineaarinen:
- Tekninen oletus, että kuvaus on eidegeneroituva, eli ei ole olemassa tangenttivektoria , jolle kaikille pätee .
Tärkein esimerkki symplektisestä monistosta on mielivaltaisen sileän moniston tangenttiavaruus . Tämä on keskeisessä roolissa, kun ratkaistaan epälineaarisia ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä nk. karakteristika-menetelmällä. Symplektiset monistot ovat keskeisessä asemassa Hamiltonisessa mekaniikassa.
Melkein kompleksinen monisto
muokkaaMelkein kompleksinen monisto on sileä monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus
,
joka toteuttaa seuraavat oletukset.
- Kuvaus on sileä, ks. [11].
- Kuvaus on lineaarinen: .
- Kuvaus toteuttaa: , missä on identiteettikuvaus (kansan kielellä yksikkömatriisi).
Jokainen kompleksinen monisto on melkein kompleksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot.
Lähteet
muokkaa- ↑ Tämän havainnollistamiseksi: muinoin uskottiin Maan olevan litteä, kun taas nykyään tiedämme sen olevan pallo. Tämä ristiriitaisuus tulee pääasiassa siitä, että paikallisesti nähtynä Maa tosiaan on "litteä". Yleisesti ottaen siis mikä tahansa objekti, joka on miltei litteä pienessä mittakaavassa, on monisto. Mathworld: Manifold
- ↑ a b c d e Jussi Väisälä: ”Monistot”, Topologia II, s. 61–62. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
- ↑ L.P. Eisenhart: Riemannian Geometry. Princeton University Press, 1926. ISBN 978-0691023533.
- ↑ a b Oswald Veblen ja J.H.C. Whitehead: The Foundations of Differential Geometry. Cambridge University Press, 1936. ISBN 978-0521066747.
- ↑ Hassler Whitney: Differentiable Manifolds. Annals of Mathematics, 1936, nro 3.
- ↑ Kobayashi, Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Classics Library, 1996. ISBN 978-0471157335.
- ↑ John W. Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Annals of Mathematics, 1956, nro 64.
- ↑ Donald Marshall: The Uniformization theorem math.washington.edu.
- ↑ Andreas Gathmann: Algebraic Geometry mathematik.uni-kl.de. Arkistoitu 17.5.2011. Viitattu 9.5.2014.
- ↑ Väisälä, s. 50
- ↑ a b c d Ilkka Holopainen: Johdatus Differentiaaligeometriaan helsinki.fi.