Kvaternio

Kvaterniot ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus muotoa $t+xi+yj+zk$, jossa $t$, $x$, $y$ ja $z$ ovat reaalilukuja ja $i$, $j$ ja $k$ ovat peruskvaternioita, joiden laskusäännöt määrittää kaava

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,$

Tästä kaavasta on helppo nähdä etteivät kvaterniot ole vaihdannaisia kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään Hamiltonin kunniaksi merkillä $\mathbb {H} \,$. Kvaterniot keksi irlantilainen matemaatikko Sir William Rowan Hamilton vuonna 1843. Myöhemmin kehitetyt vektorit ovat havainnollisempina jossain määrin syrjäyttäneet kvaterniot ja jotkut matematiikan historioitsijat pitävätkin niitä lähinnä historiallisesti merkittävinä huolimatta siitä, että niillä on monia sovelluksia eri aloilla.

Historia

Toisin kuin aikaisemmat lukualueen laajennukset, kvaternioita ei kehitetty tarpeesta saattaa minkääntyyppistä yhtälöä ratkeavaksi, vaan tavoitteena oli laajentaa lukualuetta kahdesta ulottuvuudesta kolmeen. Kvaterniot lopulta keksinyt matemaatikko Sir William Rowan Hamilton oli esittänyt kompleksiluvut järjestettyinä lukupareina, josta oli käsitteellisesti lyhyt matka järjestettyihin lukukolmikoihin. Hamilton etsi kompleksilukujen yleistystä, jonka avulla voitaisiin määritellä kertolasku, jolla olisi yhteys kolmiulotteiseen kiertoon samaan tapaan kuin tavallisten kompleksilukujen kertolaskulla on yhteys kiertoon kompleksitasolla. Kolmikoilla tämä ei kuitenkaan onnistu, eikä Hamiltonin onnistunut määritellä luvuille $a+bi+cj$ kertolaskua, joka vastaisi vektorin kiertoa, ja voidaankin osoittaa että tämä ei ole edes mahdollista.

Ratkaisu löytyi reaalilukunelikoista, kvaternioista. Hamiltonin itsensä mukaan hän keksi kvaternioiden ominaisuudet määrittävän peruskaavan $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ yhtäkkisesti ollessaan vaimonsa kanssa kävelyllä. Tarinan (erään version) mukaan hän kaiversi kaavan saman tien läheisen Broughamin sillan erääseen kiveen. Hamiltonin määritelmän mukaan kvaternioiden kertolasku ei ollut vaihdannainen, esimerkiksi $ij$ ≠ $ji$, vaan $ij=-ji$. Tämä oli aikanaan radikaalia eikä kvaternioita tämän vuoksi aina hyväksytty kunnolla. Ne olivat ensimmäisiä askelia kohti "algebran vapautumista", eli järjestelmien, joissa tavalliset laskulait – liitäntä-, vaihdanta-, ja osittelulaki – eivät ole voimassa, tutkimuksen alkamista. Geometriassa samankaltainen "vapautuminen" oli tapahtunut epäeuklidisten geometrioiden myötä.

Kvaterniot eivät kuitenkaan koskaan saavuttaneet kovin suurta suosiota. 1900-luvun puoliväliin tultaessa muun muassa Oliver Heavisiden ja Willard Gibbsin kehittämät vektorialgebra ja -analyysi olivat syrjäyttäneet kvaterniot lähes kokonaan, huolimatta siitä että kvaternioiden merkintätapa oli Hamiltonin seuraajien mielestä vektoreihin verrattuna ylivertainen. Kvaterniot ovat kuitenkin vektoreita vaikeammin yleistettävissä useampaan kuin kolmeen ulottuvuuteen.

Nykyään kvaternioita käytetään tietokonegrafiikassa ja siihen liittyvässä geometrisessä tutkimuksessa kiertojen ja esineiden suunnan esittämiseen, sillä ne vaativat muita esitystapoja kuten matriiseja vähemmän tilaa ja niiden laskutoimitukset ovat tehokkaampia.

Merkintätapa ja peruslaskutoimitukset

Kvaternio on järjestetty reaalilukunelikko $(t,x,y,z)\,$. Peruskvaterniota $(1,0,0,0)\,$ vastaa reaaliluku 1, kun taas peruskvaternioille $(0,1,0,0)\,$, $(0,0,1,0)\,$ ja $(0,0,0,1)\,$ on annettu symbolit $i\,$, $j\,$ ja $k\,$.

Skalaarilla kertominen

Kvaternion kertominen skalaarilla eli reaaliluvulla on vaihdannainen operaatio ja vastaa vektorin kertomista skalaarilla:

$s(t,x,y,z)=(t,x,y,z)s=(st,sx,sy,sz),\,$

Yhteen- ja vähennyslasku

Kvaternioiden yhteen- ja vähennyslaskut ovat analogisia vektorien yhteen- ja vähennyslaskujen kanssa:

$(t_{1},x_{1},y_{1},z_{1})+(t_{2},x_{2},y_{2},z_{2})=(t_{1}+t_{2},x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})\,$

$(t_{1},x_{1},y_{1},z_{1})-(t_{2},x_{2},y_{2},z_{2})=(t_{1}-t_{2},x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})\,$

Yhteenlasku on vaihdannainen. Kvaternion vastaluku on

Yllä olevia laskusääntöjä käyttäen voidaan kvaterniot esittää peruskvaternioiden summana:

$(t,x,y,z)\,$	$=(t,0,0,0)+(0,x,0,0)+(0,0,y,0)+(0,0,0,z)\,$
	$=t(1,0,0,0)+x(0,1,0,0)+y(0,0,1,0)+z(0,0,0,1)=t+xi+yj+zk\,$

Kertolasku

Kvaternioiden kertolasku ei ole vaihdannainen, mutta olettamalla että se on assosiatiivinen (kuten se onkin), voidaan Hamiltonin kaavasta

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,$

johtaa seuraava peruskvaternioiden kertotaulu:

$\cdot \,$	$1\,$	$i\,$	$j\,$	$k\,$
$1\,$	$1\,$	$i\,$	$j\,$	$k\,$
$i\,$	$i\,$	$-1\,$	$k\,$	$-j\,$
$j\,$	$j\,$	$-k\,$	$-1\,$	$i\,$
$k\,$	$k\,$	$j\,$	$-i\,$	$-1\,$

Mielivaltaisten kvaternioiden $q_{1}$ ja $q_{2}$ kertolasku voidaan laskea yllä olevilla säännöillä:

$q_{1}q_{2}\,$	$=(t_{1}+x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k)(t_{2}+x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k)\,$
	$=(t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2})+(t_{1}x_{2}+x_{1}t_{2}+y_{1}z_{2}+z_{1}y_{2})i+(t_{1}y_{2}-x_{1}z_{2}+y_{1}t_{2}+z_{1}x_{2})j+(t_{1}z_{2}+x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}+z_{1}t_{2})k\,$

Jakolasku

Kvaternioiden jakolaskun määrittelemiseksi määritellään ensin kvaternion $q=t+xi+yj+zk\,$ konjugaatti eli liittoluku ${\bar {q}}=t-xi-yj-zk$ ja huomataan, että kun kvaternio kerrotaan liittoluvullaan, saadaan kvaternion modulin eli itseisarvon $|q|={\sqrt {t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ neliö:

$q{\bar {q}}=(t+xi+yj+zk)(t-xi-yj-zk)=t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=|q|^{2}$

Kvaternioiden jakolasku voidaan muuttaa kertolaskuksi laventamalla nimittäjän liittoluvulla:

${q_{1} \over q_{2}}={q_{1}{\bar {q_{2}}} \over q_{2}{\bar {q_{2}}}}={q_{1}{\bar {q_{2}}} \over |q_{2}|^{2}}={(t_{1}+x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k)(t_{2}-x_{2}i-y_{2}j-z_{2}k) \over t_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}$

Kvaternion argumentti ja merkkifunktio

Kvaternion $q=t+xi+yj+zk\,$ argumentti $\arg {q}$ on kvaternion ja yksikköskalaarin 1 välinen kulma ja se lasketaan

$\arg {q}=\arccos {t \over |q|}.$

Kvaternion merkkifunktio $\operatorname {sgn} {q}\,$ palauttaa kvaternion suuntaisen yksikkökvaternion ja se lasketaan

$\operatorname {sgn} {q}={q \over |q|}.$

Vektoriesitys

Kun rinnastetaan kvaternio (1,0,0,0) reaalilukuun 1 ja peruskvaterniot $i$, $j$, $k$ suorakulmaisen kolmiulotteisen koordinaatiston yksikkövektoreihin, voidaan kvaterniot esittää skalaarin ja vektorin summana:

$q=(t,x,y,z)=t+(xi+yj+zk)=t+(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )=t+\mathbf {v} =(t,\mathbf {v} )$

Kvaterniota jonka skalaariosa $t=0$, kutsutaan puhtaaksi kvaternioksi, vektorikvaternioksi tai yksinkertaisesti vektoriksi. Vastaavasti kvaternio, jonka vektoriosa on nolla, on skalaarikvaternio tai pelkkä skalaari. Kvaterniotulon ja vektoreille määriteltyjen piste- ja ristitulon välillä on yhteys

$qp=(t+\mathbf {v} )(s+\mathbf {u} )=ts+t\mathbf {v} +s\mathbf {u} +\mathbf {v} \times \mathbf {u} -\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} .$

,jossa

$q=(t,\mathbf {u} )$ ja $p=(s,\mathbf {u} ).$

Kun $t=s=0\,$, eli kun kvaterniot $q$ ja $p$ ovat vektoreita, sieventyy kvaterniotulon lauseke muotoon

$\mathbf {vu} =\mathbf {v} \times \mathbf {u} -\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ,$

josta saadaan risti- ja pistetulolle identiteetit

$\mathbf {v} \times \mathbf {u} ={1 \over 2}(\mathbf {vu} -\mathbf {uv} )$

ja

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} =-{1 \over 2}(\mathbf {vu} +\mathbf {uv} )$

Kvaterniomuuttujaisia funktioita

Seuraavat tavalliset funktiot voidaan määritellä kvaterniomuuttujille $q=(t,\mathbf {v} )$ ja $p=(s,\mathbf {u} )$.

Eksponentiaali- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot voidaan määritellä kvaternioille, sillä kvaterniot muodostavat jakoalgebran.

• Luonnollinen eksponentti: $e^{q}=e^{t}(\cos {|\mathbf {v} |}+\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\sin {|\mathbf {v} |})$

• Luonnollinen logaritmi: $\ln {q}=\ln {|q|}+\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\arg {q}$

• Potenssi: $p^{q}=e^{\ln {p}q}\,$

Trigonometriset funktiot

• Sini: $\sin {q}=\sin {t}\cosh {|\mathbf {v} |}+\cos {t}\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\sinh {|\mathbf {v} |}$

• Kosini: $\cos {q}=\cos {t}\cosh {|\mathbf {v} |}-\sin {t}\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\sinh {|\mathbf {v} |}$

• Tangentti: $\tan {q}={\frac {\sin {q}}{\cos {q}}}$

Hyperboliset funktiot

• Hyperbolinen sini: $\sinh {q}=\sinh {t}\cos {|\mathbf {v} |}+\cosh {t}\operatorname {sgn} {|\mathbf {v} |}\sin {|\mathbf {v} |}$

• Hyperbolinen kosini: $\cosh {q}=\cosh {t}\cos {|\mathbf {v} |}+\sinh {t}\operatorname {sgn} {|\mathbf {v} |}\sin {|\mathbf {v} |}$

• Hyperbolinen tangentti: $\tanh {q}={\frac {\sinh {q}}{\cosh {q}}}$

Hyperboliset käänteisfunktiot

• Hyperbolinen arkussini: $\operatorname {arcsinh} \,q=\ln(q+{\sqrt {q^{2}+1}})$

• Hyperbolinen arkuskosini: $\operatorname {arccosh} \,q=\ln(q+{\sqrt {q^{2}-1}})$

• Hyperbolinen arkustangentti: $\operatorname {arctanh} \,q={\frac {\ln(1+q)-\ln(1-q)}{2}}$

Trigonometriset käänteisfunktiot

Nämä luetellaan viimeisinä koska määrittelyssä tarvitaan kvaternioarvoisia hyperbolisia käänteisfunktioita.

• Arkussini: $\arcsin {q}=-\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\,\operatorname {arcsinh} \,(q\operatorname {sgn} {\mathbf {v} })$

• Arkuskosini: $\arccos {q}=-\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\,\operatorname {arccosh} \,q$

• Arkustangentti: $\arctan {q}=-\operatorname {sgn} {\mathbf {v} }\,\operatorname {arctanh} \,(q\operatorname {sgn} {\mathbf {v} })$