Ero sivun ”Kvaternio” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: zh-classical:四元數 |
Lähde & johdannon rakenne. |
||
| (38 välissä olevaa versiota 30 käyttäjän tekeminä ei näytetä) | |||
Rivi 1:
{{Lähteetön}}
'''Kvaterniot''' ovat [[kompleksiluku]]jen nelikomponenttinen laajennus muotoa <math>t + x i + y j + z k</math>, jossa <math>t</math>, <math>x</math>, <math>y</math> ja <math>z</math> ovat reaalilukuja ja <math>i</math>, <math>j</math> ja <math>k</math> ovat peruskvaternioita, joiden laskusäännöt määrittää kaava▼
'''Kvaterniot''' ovat [[kompleksiluku]]jen nelikomponenttinen laajennus, jossa yhden [[Imaginaariyksikkö|imaginääriakseli]]n <math>i</math> sijaan on käytössä kolme ei-reaalista akselia <math>i</math>, <math>j</math> ja <math>k</math>. Kvaterniot keksi irlantilainen matemaatikko [[Sir William Rowan Hamilton]] vuonna 1843.<ref>{{Verkkoviite|osoite=https://www.britannica.com/science/quaternion|nimeke=quaternion {{!}} mathematics {{!}} Britannica|julkaisu=www.britannica.com|viitattu=2023-01-10|ietf-kielikoodi=en}}</ref><ref>{{Verkkoviite|Osoite=http://www.taloussanomat.fi/informaatioteknologia/2012/01/02/onko-angry-birdsin-suosion-selitys-i--j--k--ijk---1/201220147/12|Nimeke=Onko Angry Birdsin suosion selitys i² = j² = k² = ijk = -1?|Tekijä=|Julkaisu=Taloussanomat|Julkaisupaikka=|Ajankohta=2.1.2012|Julkaisija=|Viitattu=2.1.2012}}</ref>
▲
:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,</math>▼
▲:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,</math>.
Tästä kaavasta on helppo nähdä etteivät kvaterniot ole vaihdannaisia kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään Hamiltonin kunniaksi merkillä <math>\mathbb{H}\,</math>. Kvaterniot keksi irlantilainen matemaatikko [[Sir William Rowan Hamilton]] vuonna [[1843]]. Myöhemmin kehitetyt [[vektori]]t ovat havainnollisempina jossain määrin syrjäyttäneet kvaterniot ja jotkut matematiikan historioitsijat pitävätkin niitä lähinnä historiallisesti merkittävinä huolimatta siitä, että niillä on monia sovelluksia eri aloilla.▼
Reaali- ja kompleksiluvuista poiketen kvaterniot eivät ole [[vaihdannaisuus|vaihdannaisia]] kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään keksijänsä Hamiltonin kunniaksi merkillä <math>\mathbb{H}\,</math>. Kvaterniot voidaan myös ymmärtää [[reaaliluku|reaaliluvun]] ja kolmiulotteisen [[vektori]]n yhdistelmäksi.
▲
== Historia ==
Rivi 11 ⟶ 16:
Ratkaisu löytyi reaalilukunelikoista, kvaternioista. Hamiltonin itsensä mukaan hän keksi kvaternioiden ominaisuudet määrittävän peruskaavan <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> yhtäkkisesti ollessaan vaimonsa kanssa kävelyllä. Tarinan (erään version) mukaan hän kaiversi kaavan saman tien läheisen Broughamin sillan erääseen kiveen. Hamiltonin määritelmän mukaan kvaternioiden kertolasku ei ollut vaihdannainen, esimerkiksi <math>ij</math> ≠ <math>ji</math>, vaan <math>ij = -ji</math>. Tämä oli aikanaan radikaalia eikä kvaternioita tämän vuoksi aina hyväksytty kunnolla. Ne olivat ensimmäisiä askelia kohti "algebran vapautumista", eli järjestelmien, joissa tavalliset laskulait – [[liitäntälaki|liitäntä-]], [[vaihdantalaki|vaihdanta-]], ja [[osittelulaki]] – eivät ole voimassa, tutkimuksen alkamista. Geometriassa samankaltainen "vapautuminen" oli tapahtunut [[epäeuklidinen geometria|epäeuklidisten geometrioiden]] myötä.
Kvaterniot eivät kuitenkaan koskaan saavuttaneet kovin suurta suosiota.{{Lähde}} [[1900-luku|1900-luvun]] puoliväliin tultaessa muun muassa [[Oliver Heaviside]]n ja [[Willard Gibbs]]in kehittämät [[vektorialgebra]] ja [[vektorianalyysi|-analyysi]] olivat syrjäyttäneet kvaterniot lähes kokonaan, huolimatta siitä että kvaternioiden merkintätapa oli Hamiltonin seuraajien mielestä vektoreihin verrattuna ylivertainen. Kvaterniot ovat kuitenkin vektoreita vaikeammin yleistettävissä useampaan kuin kolmeen ulottuvuuteen.
Nykyään kvaternioita käytetään [[tietokonegrafiikka|tietokonegrafiikassa]] ja siihen liittyvässä
== Merkintätapa ja peruslaskutoimitukset ==
Rivi 85 ⟶ 90:
|-
|
|<math> = (t_1 t_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2) + (t_1 x_2 + x_1 t_2 + y_1 z_2
|}
Rivi 114 ⟶ 119:
:<math>q=(t,x,y,z)=t+(xi+yj+zk)=t+(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})=t+\mathbf{v}=(t,\mathbf{v})</math>
Kvaterniota jonka skalaariosa <math>t = 0</math>, kutsutaan '''puhtaaksi kvaternioksi''', '''vektorikvaternioksi''' tai yksinkertaisesti '''vektoriksi'''. Vastaavasti kvaternio, jonka vektoriosa on nolla, on '''skalaarikvaternio''' tai pelkkä '''skalaari'''. Kvaterniotulon ja vektoreille määriteltyjen [[pistetulo|piste-]]
:<math>q p = (t+\mathbf{v})(s+\mathbf{u}) = t s +
:<math>q = (t, \mathbf{
Kun <math>t=s=0\,</math>, eli kun kvaterniot <math>q</math> ja <math>p</math> ovat vektoreita, sieventyy kvaterniotulon lauseke muotoon
:<math>\mathbf{vu} = \mathbf{v} \times \mathbf{u} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}
josta saadaan risti- ja pistetulolle identiteetit
Rivi 183 ⟶ 188:
* Arkustangentti: <math>\arctan{q} = -\sgn{\mathbf{v}}\,\operatorname{arctanh}\,(q \sgn{\mathbf{v}})</math>
<!--
Rivi 196 ⟶ 198:
== Katso myös ==
== Lähteet ==▼
-->
{{Viitteet}}
{{Lukujoukkoja}}
[[Luokka:Lukuavaruudet]]
| |||