معادله دیفرانسیل

با معادله دیفرانس اشتباه نشود.

معادله دیفرانسیل نوعی معادله ریاضی است که بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق هایی با مرتبه‌های مختلف نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربرد های فراوانی دارند.

معادلات دیفرانسیل در بسیاری از پدیده‌های علمی رخ می دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود داشته و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده باشند می‌توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.

به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهند. در چنین شرایطی می توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیلی که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.

شاخه‌بندی

روش‌های حل معادلات دیفرانسیل بسیار مرتبط با نوع معادله هستند. معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد.

معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیر مستقل است.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیر خطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات پاره ای را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هوموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

مجسم‌سازی جریان هوا به داخل لوله که با معادلات ناویه-استوکس، مدل‌سازی شده‌است، مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

نوع عادی یا جزئی

معادله شامل متغیر مستقل x، تابع (y=f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامند. معادله‌ای پدید آمده از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامند.

مرتبه: عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

درجه: پس از حذف مخرج کسرها و رادیکال‌های مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش، بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله است.

معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n پاسخی شامل n ثابت دلخواه دارد. این پاسخ را پاسخ عمومی می‌نامند.

ساختار معادلات دیفرانسیل، متفاوت است و هر ساختار، ویژگی‌های متفاوتی دارد:

• معادلات مرتبه اول از درجه اول با متغیرهای جدایی‌پذیر؛
• همگن؛
• خطی برنولی با دیفرانسیل‌های کامل؛
• معادلات مرتبه دوم؛
• معادلات خطی با ضرایب ثابت

1. همگن
2. ناهمگن

روش‌های تقریب‌زدن

1. سری‌های توانی
2. روش‌های عددی

صورت‌های معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.

Mdx + Ndy = 0

در معادله بالا هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله پاسخ بدست می‌آید. یعنی:

M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫

معادله دیفرانسیل همگن

گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.

dy/dx + py = Q

معادله را که بتوان آن را به صورت

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.

M/∂y = ∂N/∂x∂

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:

F (x,y،dy/dx,d2y/dx2) = 0

این گونه معادلات را معمولاً با یک متغیر مناسب مانند dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد

معادله دیفرانسیل خطی

معادله دیفرانسیل را که در آن توابع بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه nام می‌نامند که البته اگر در تعریف بالا (F(x مساوی صفر باشد معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود. سپس با نوشتن معادله کمکی p(r)=0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r پاسخ معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن، علاوه بر عملیات بالا، پاسخ‌های معادله ناهمگن را با شیوه‌های خاصی پیدا کرده و به پاسخ بالا می‌افزایند.

حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه nام توسط سری‌های توانی معادله دیفرانسیل را در نظر می‌گیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:

همینطور با جاگذاری سری مربوط به (y=f(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم. کاربردها کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. مسائل فیزیکی زیادی پس از فرمول‌بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند همین‌طور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو، قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.

روش‌های حل معادلات

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند. برخی از معادلات دارای پاسخ دقیق و فرم تابعی هستند اینگونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به پاسخ دقیق رسید. معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد. از روش‌های نیمه‌تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد. روش‌های عددی دامنه وسیع تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد.

معادلات دیفرانسیل مشهور

• قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
• معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
• واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
• معادله موج
• معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
• معادلات پواسن
• معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
• مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
• فرمول انیشتین.
• قانون گرانش نیوتن.
• معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
• معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
• معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
• معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
• معادله موج برای تار مرتعش.
• نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی.
• نظریه پتانسیل.
• معادله موج برای غشای مرتعش.
• معادلات شکار و شکارچی.
• مکانیک غیر خطی.
• مسئلهٔ مکانیکی آبل.
• معادلات دسته لین-امدن
• معادله ابرگاز کروی
• معادله کوتوله سفید
• معادلات امدن-فاولر
• معادله جمعیتی ولترا
• معادله توماس فرمی
• معادله بلاسیوس
• معادله فالکنر اسکن
• معادله فوکر-پلانک
• معادله لوتکا ولترا
• معادله زابولوتسکایا-خوخولوف
• معادله برنولی

منابع

• سیمونز آرش دارابی فرد ج.اف.، معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، ترجمه:علی اکبر بابایی، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ یازدهم
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Differential equation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

پیوند به بیرون

• معادلات دیفرانسیل در متلب