نظریه مدل

نظریه مدل (به انگلیسی: Model Theory) در ریاضیات مطالعهٔ ساختارهای ریاضی از یک مرتبه بالاتر است.

در تعریف اولیه منظور از ساختار، یک ساختار جبری ست پس موضوع این نظریه به جبر مربوط می‌شود و از طرفی نگاه معناشناسی منطقی به ساختارها دارد که این نظریه را در دامنهٔ منطق ریاضی قرار می‌دهد.

نظریه مدل چیست؟

در تعریف اولیه منظور از ساختار، یک ساختار جبری ست پس موضوع این نظریه به جبر مربوط می‌شود و از طرفی نگاه معناشناسی منطقی به ساختارها دارد که این نظریه را در دامنهٔ منطق ریاضی قرار می‌دهد.

اساتید مختلف چند تعریف از گستره و موضوع بحث این نظریه بیان می‌کنند:

• فرا ریاضیاتِ دستگاه‌های جبری
• جبر جهانی + منطق مرتبه اول = نظریه مدل
• میدان‌ها- هندسه جبری = نظریه مدل (که البته این بیان به واقعیت کنونی این شاخهٔ مطالعاتی نزدیکتر است)

قضایای اساسی

• قضیهٔ فشردگی: مجموعهٔ $\Gamma$ از جمله‌ها در زبان ${\mathcal {L}}$ مدل دارد اگر و فقط اگر هر زیر مجموعهٔ متناهی از آن مدل داشته باشد.
• قضیهٔ لوفِن‌هایم-اسکولِم: فرض کنید $\Gamma$ مجموعه‌ای سازگار از جمله‌ها در زبان ${\mathcal {L}}$ باشد و ${\mathcal {L}}={\boldsymbol {\kappa }}$ اگر $\Gamma$ مدلی نامتناهی داشته باشد آنگاه برای هر عدد اصلی ${\boldsymbol {\kappa }}\leq {\boldsymbol {\lambda }}$، مدلی به اندازهٔ ${\boldsymbol {\lambda }}$ دارد.

منابع

• محمد اردشیر (۱۳۸۳)، منطق ریاضی، انتشارات هرمس با همکاری مرکز بین‌المللی گفتگوی تمدن‌ها، شابک ۹۶۴-۳۶۳-۲۲۹-۶