Logika proposizional

Logika proposizionala, proposizioak eta horiek lotzen dituzten lokailuak osagaitzat hartzen dituen sistema formal bat da. Logika proposizionalean "hizkuntza" edo proposizio konplexuak, proposizioak beraien artean lokailuen bitartez lotuz osatzen da. Premisa izeneko proposizio multzo batetik logikaz erator daitekeen ondoriozko proposiziora heltzea du helburu logika proposizionalak. Logika-sistema guztiak bezalaxe, logika proposizionalak ez du aztertzen proposizio bat errealitatean egiazkoa edo faltsua den, beste proposizioetatik deduzitzeko baliatu den prozesu logikoa edo argumentua zuzena den baizik. Logika proposizionala XIX. mendearen amaieran asmatu zuen Charles Sanders Peirce filosofoak eta XX. mendearen hasieran Ludwig Wittgenstein filosofoak osatu zuen, Tractatus logicus-philosophicus liburuan.

Zehatzago, logika proposizionalak proposizio atomiko edo bakunak egiazkoak edo faltsuak diren hartzen du kontuan, ondoren egia-taula izenekoen bitartez proposizio konplexuen egia-balioa aztertzeko: proposizio bakunen egiazko balio guztietarako proposizio konplexua egia bada, proposizio konplexua tautologia dela esaten da; proposizio bakunen egia-balio guztietarako proposizio konplexua faltsua bada, ondorioa kontraesana izango da eta proposizio konplexuaren egi-balioa batzuetan egia eta beste batzuetan faltsua bada, orduan argumentua sendoa da kasu batzuetan. Aldi berean, logika proposizionalak inferentzia edo argumentuak deduzitzeko erregelak ematen ditu, proposizio bakun edo konplexuen multzo batetik ondorioak deduzituz: premisak (proposizio atomikoak edo konposatuak) egiazkoak direnerako soilik, ondorioa egiazkoa bada, argumentua zuzena izango da.

Sarrera

Argumentu hau aztertuko da:

1. Gaur asteazkena da edo gaur osteguna da. (1. premisa)
2. Gaur ez da osteguna. (2. premisa)
3. Beraz, gaur asteazkena da. (ondorioa)

Argumentu hau baliozkoa da. Honek esan nahi du, ezinezkoa dela (1) eta (2) Premisak egia izatea eta (3) ondorioa faltsua.

Kontuan hartu behar da, irakurlea hau irakurtzen ari den eguna igandea, astelehena edo asteartea den beste edozein eguna izan daitekeela, eta beraz baliteke ondorioa errealitatearekin bat ez etortzea eta alde horretatik faltsua izatea, baina hala ere, premisak betetzen badira, ondorioa egiazkoa izango da zalantzarik gabe, argumentua zuzena baita. Argumentuaren baliozkotasuna ez dator «bihar asteakena da» edo «bihar osteguna da» esaldien zentzutik, argumentuaren egituratik baizik. Premisa hauek beste batzuengatik alda ditzakegu, eta argumentua baliozkoa izaten jarraituko du. Adibididez:

1. Gaur egun eguzkitsua da edo lainotua da.
2. Gaur ez da egun lainotua.
3. Beraz, gaur egun eguzkitsua da.

Aurreko bi argumentuen baliozkotasuna, «edo» eta «ez» adierazpenetatik dator. Bi hauetako bat beste batez aldatuko bagenu, argumentua ez baliozkoa biurtu ahalko litzateke. Adibidez, azter dezagun ondorengo argumentu ez baliozkoa:

1. Gaur ez da egun eguzkitsua ezta lainotua ere.
2. Gaur ez da egun lainotua.
3. Beraz, gaur egun eguzkitsua da.

«Edo» eta «ez» motako adierazpenei lokailu logiko deritzegu. «Egun eguzkitsua da» eta «bihar osteguna da» motako adierazpenei buruz garrantzia duen bakarrak, egiazko balioa izan dezaten da. Horregatik ordezka ditzazkegu letrekin. Letra hauei aldagai proposizionalak deritze, eta normalean, latindar alfabetotik hartzen ditugu, p-tik hasita (proposiziotik), eta ondoren q, r, s, eta abar. Honen arabera, lehenengo bi argumentuak era honetan formaliza ditzakegu:

1. p edo q
2. Ez q
3. Beraz, p

Eta hirugarren argumentua, nahiz eta baliozkoa ez izan, era honetan idatz dezakegu:

1. Ez p ez q
2. Ez q
3. Beraz, p

Lokailu logikoak

Jarraian dagoen taulan agertzen dira logika proposizionalaren barruan aurki ditzakegun lokailu logiko guztiak. Hauez gain, adibideak daude hizkuntza naturalean eta hizkuntza formalean adierazteko sinboloetan.

Lotura	Hizkuntza naturalean adierazpena	Adibidea	Artikulu honetako sinboloa	Ordezko sinboloak
Ezeztapena	ez	Ez du euria ari.	$\neg \,$	$\sim \,$
Konjuntzioa	eta	Euria ari du eta lainotuta dago.	$\land$	$\And \,$ $.$
Disjuntzioa	edo	Egun euritsua da edo eguzkitsua da.	$\lor$
Inplikazioa/Baldintzazkoa	baldin... orduan...	Baldin eguzkia dago, orduan egunez da.	$\to \,$	$\supset$
Baldintzabikoa	baldin eta soilik baldin	Lainotuta dago baldin eta soilik baldin lainoak ikusten badira.	$\leftrightarrow$	$\equiv \,$
Kontrako disjuntzioa	ez... ezta...	Ez da egun eguzkitsua ezta lainotua ere.	$\downarrow \,$
Disjuntzio baztertzailea	edo... edo...	Edo egun eguzkitsua da, edo lainotua da.	$\nleftrightarrow$	$\oplus ,\not \equiv ,W$

Logika proposizionalean, lokailu proposizionalak egia funtzio bezala tratatzen ditugu. Hau da, egiazko baloreak jasotzen, eta egiazko baloreak itzultzen dituzten funtzio bezala. Adibidez, «ez» lokailu logikoa, T (True) balioa hartzen duenean F (False) balioa itzultzen duen, eta F balioa hartzean T itzulzen duen funtzioa da. Horrela, «ez» funtzioa aplikatzen badiogu proposizio faltsua adierazten duen letra bati, ondorioa egiazko zerbait izango da. Gezurra bada «euria ari duela», orduan egia izango da «ez duela euria ari».

Lokailu logikoen esanahia, funtzioak jaso ditzakeen balio guztien aurrean itzultzen dituen balioak jasotzen dituen taula baten bidez adieraz daiteke.

Ezeztapena	Konjuntzioa	Disjuntzioa	Inplikazioa	Baldintzabikoa	Disjuntzio baztertzailea
${\begin{array}{c||c}\phi &\neg \phi \\\hline T&F\\F&T\\\end{array}}$	${\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \land \psi \\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&F\\F&F&F\\\end{array}}$	${\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \lor \psi \\\hline T&T&T\\T&F&T\\F&T&T\\F&F&F\\\end{array}}$	${\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \to \psi \\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&T\\F&F&T\\\end{array}}$	${\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \leftrightarrow \psi \\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&F\\F&F&T\\\end{array}}$	${\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \nleftrightarrow \psi \\\hline T&T&F\\T&F&T\\F&T&T\\F&F&F\\\end{array}}$

Logikaren oinarrizko baliokidetasun legeak

Logika klasikoaren legeen artean hauek dira aipagarrienak:

• Ukapen bikoitza
• Idenpotentzia legeak
• Trukatze legeak
• Elkartze legeak
• Banatze legeak
• De Morganen legeak

Hirugarrena baztertzearen printzipioa bezalako beste lege batzuk logika klasikoan onartzen dira, baina logika intuizionistan, adibidez, ez dago lege horren baliokiderik.

Logika proposizionalaren mugak

Logika proposizionalak argumentu askoren baliozkotasuna aztertzeko balio digu. Hala ere, badaude argumentu batzuk logikoki baliozkoak direnak, baina ezin direnak logika proposizionalaren bidez frogatu. Adibidez, azter dezagun honako adibide hau:

1. Gizaki guztiak hilkorrak dira.
2. Sokrates gizakia da.
3. Ondorioz, Sokrates hilkorra da.

Argumentu honek ez duenez «ez», «eta», «edo» motako lokailurik, logika proposizionalaren arabera, honela formalizatuko genuke:

1. p
2. q
3. Ondorioz, r

Baina hau ez da baliozko argumentu bat. Mota honetako argumentuak frogatu ahal izateko, aldagai proposizionalen barne egitura aztertu behar dugu. Honetaz, lehen ordenako logika arduratzen da. Beste sistema formal batzuek ere ahalbidetzen dute hau, hala nola, bigarren ordenako logika, logika modala eta denborazko logika.

Logika proposizionalaren bi sistema formal

Jarraian, logika proposizionalerako bi sistema formal estandar aurkezten dira. Lehenengoa sistema axiomatiko sinple bat da, eta bigarrena berriz axiomarik gabea, dedukzio naturalekoa.

Sistema axiomatikoa

Alfabetoa

Sistema formal baten alfabetoa sistemaren lengoaiari dagozkion sinboloen multzoa da. Logika proposizionalaren sistema axiomatiko honi L izena esleituz, orduan L-ren alfabetoa honetan datza:

• Aldagai proposizionalen kantitate finitu baina arbitrarioki handia. Orokorrean, albafeto latindarretik hartzen ditu, p letrarekin hasiz, eta ondoren q,r, etab., eta beharrezkoa edo komenigarria denean azpiindizeak erabiliz. Aldagai proposizionalek proposizioak adierazten dituzte, esaterako, "euria ari du" edo "beroaren eraginez metalak dilatatu egiten dira."

• Lokailu edo eragile proposizionalen multzo bat: $\neg ,\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow$.

• Bi puntuazio ikur: ezker eta eskuin parentesiak. Hauen funtzio bakarra zalantzazko adierazpenak argitzea da. 2+2÷2 adierazpenak, adibidez, (2 + 2) ÷ 2 edo 2 + (2 ÷ 2) esanahiak eduki ditzazke.

Gramatika

Behin alfabetoa definituta, hurrengo urratsa sistemaren lengoaiari zein sinboloren konbinaziok dagokion zehaztea da, eta hau gramatika formalaren bidez lortzen da. Gramatika formalak arau batzuk ezartzen ditu, eta hauek leongoaiari dagozkion karaktere-kateak definitzen dituzte. Arau hauen bidez eraikitako karaktere-kateei ongi eratutako formulak deritze. L sistemaren arauak ondorengoak dira:

1. L alfabetoko aldagai proposizionalak ongi eratutako formulak dira.
2. $\phi \,$ L sistemako ongi eratutako formula izanik, orduan $\neg \phi \,$ ere hala izango da.
3. $\phi \,$ eta $\psi \,$ L-ko ongi eratutako sistemak badira, $(\phi \land \psi )$, $(\phi \lor \psi )$, $(\phi \to \psi )\,$ eta $(\phi \leftrightarrow \psi )$ ere izango dira.
4. 1etik 3ra bitarteko baieztapenen eta pausu kopuru finitu baten bidez sortutako adierazpenak soilik izango dira L-ren ongi eratutako formulak.

Arau hauen arabera, jarraian datozen karaktere-kateak ongi eratutako formulen adibideak dira:

$p\,$

$\neg \neg \neg q\,$

$(p\land q)$

$\neg (p\land q)$

$(p\leftrightarrow \neg p)$

$((p\to q)\land p)$

$(\neg (p\land (q\lor r))\lor s)$

Hauek, berriz, gaizki eratuako formulen adibideak dira:

Formula	Akatsa	Zuzenketa
$(p)\,$	Parentesiak soberan	$p\,$
$\neg (p)\,$	Parentesiak soberan	$\neg p\,$
$(\neg p)\,$	Parentesiak soberan	$\neg p\,$
$p\to q\,$	Parentesiak faltan	$(p\to q)\,$
$(p\land q\to r)$	Parentesiak faltan	$((p\land q)\to r)\,$

Bestalde, parentesien funtzio bakarra zalantzagarriak gerta daitezkeen formulak argitzea izanik, oro har beharrezkoak diren parentesiak soilik erabiltzen dira. Beraz, hurrengo adierazpenak ongi eratutako formulen adibide gisa har daitezke:

$p\land q$

$\neg p\to q\,$

$(p\land q)\lor \neg q$

$(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow (q\leftrightarrow p)$

Parentesien erabilerari dagokion beste arau batzuk ere badaude. Konjuntzio eta disjuntzioek lehentasun txikiagoa dute inplikazioa eta baldintzabikoa baino. Beraz, parentesi gabeko formula bat emanik, konjuntzio eta disjuntzioak inplikazio eta baldintzabikoen aurretik elkartu behar dira. Adibidez:

Formula	Irakurketa zuzena	Irakurketa okerra
$p\land q\to r\,$	$(p\land q)\to r\,$	$p\land (q\to r)\,$
$\neg p\leftrightarrow q\lor r\,$	$\neg p\leftrightarrow (q\lor r)\,$	$(\neg p\leftrightarrow q)\lor r\,$
$p\land q\leftrightarrow r\lor s\,$	$(p\land q)\leftrightarrow (r\lor s)\,$	$(p\land (q\leftrightarrow r))\lor s\,$

Arau hauek oinarrizko algebran daudenen berdintsuak dira, non biderketa eta zatiketa, batuketa eta kenketa baino lehen ebatzi behar diren. Esaterako, 2 + 2 x 2 ekuazioa (2 + 2) x 2 edota 2 + (2 x 2) gisa uler daiteke. Aurrenekoaren emaitza 8 da, eta bigarrenarena, berriz, 6. Baina biderketa batuketa baino lehen ebatzi behar denez emaitza zuzena 6 izango da, eta ez 8.

Axiomak

Sistema formal bateko axiomak ongi eratutako formulen multzoak dira, hurrengo frogapenetan abiapuntutzat hartzen direnak. Axioma multzo estandar bat Jan Łukasiewiczek aurkitutakoa da.

• $(\phi \to (\psi \to \phi ))\,$
• $((\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi )))\,$
• $((\neg \phi \to \neg \psi )\to (\psi \to \phi ))\,$

Inferentzia erregelak

Inferentzia erregela bat formula multzoetatik formuletara doan funtzio bat da. Funtzioak argumentu bezala hartzen duen formula multzo horri premisa deritzo, eta ondorioztatzen den formulari, berriz, konklusio. Orokorrean, helburua inferentzia erregelek premisen egiazkotasuna konklusiora helaraztea da. Hau da, ezinezkoa izatea premisak egiazkoak izanik konklusioa faltsua izatea. L-ren kasuan, inferentzia erregela bakarra modus ponens da:

$(\phi \to \psi ),\phi \vdash \psi$

Kontuan izan behar da $\phi \,$ eta $\psi \,$ ez direla formulak, aldagaiak baizik, eta hauek ongi eratutako edozein formulaz ordezka daitezke.

Dedukzio naturala

Logika proposizionaleko sistemak axiomen multzo hutsak abiapuntutzat hartuta ere sor daitezke. Horretarako, inferentzia erregela batzuk zehazten dira eta hauek, lotura logikoak naturalki aztertzeko dugun modua atzematen saiatzen dira.

Ukapena sartzea

$(p\to q)$ $(p\to \neg q)$-tik, $\neg p$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\{(p\to q),(p\to \neg q)\}\vdash \neg p$.

Ukapena ezabatzea

$\neg p$-tik, $(p\to r)$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\{\neg p\}\vdash (p\to r)$.

Ukapen bikoitza ezabatzea

$\neg \neg p$-tik, $p$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\neg \neg p\vdash p$.

Konjuntzioa sartzea

$p$ eta $q$-tik, $(p\land q)$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\{p,q\}\vdash (p\land q)$.

Konjuntzioa sinplifikatzea/ezabatzea

$(p\land q)$-tik, $p$ ondorioztatzen da.

$(p\land q)$-tik, $q$ ondorioztatzen da.

Hau da, $(p\land q)\vdash p$ eta $(p\land q)\vdash q$.

Disjuntzioa sartzea

$p$-tik, $(p\lor q)$ ondorioztatzen da.

Hau da, $p\vdash (p\lor q)$ eta $q\vdash (p\lor q)$.

Disjuntzioa ezabatzea

$(p\lor q)$ eta $(p\to r)$ eta $(q\to r)$-tik, $r$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\{p\lor q,p\to r,q\to r\}\vdash r$.

Baldintzabikoa sartzea

$(p\to q)$ eta $(q\to p)$-tik, $(p\leftrightarrow q)$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\{p\to q,q\to p\}\vdash (p\leftrightarrow q)$.

Baldintzabikoa ezabatzea

$(p\leftrightarrow q)$-tik, $(p\to q)$ ondorioztatzen da.

$(p\leftrightarrow q)$-tik, $(q\to p)$ ondorioztatzen da.

Hau da, $(p\leftrightarrow q)\vdash (p\to q)$ eta $(p\leftrightarrow q)\vdash (q\to p)$.

Modus ponens (Inplikazioa ezabatzea)

$p$ eta $(p\to q)$-tik, $q$ ondorioztatzen da.

Hau da, $\{p,p\to q\}\vdash q$.

Inplikazio proba (Inplikazioa sartzea)

[$p$-k $q$-ren proba onartzen duela onartuz]-tik, $(p\to q)$ ondorioztatzen da.

Hau da, $(p\vdash q)\vdash (p\to q)$.

Oinarrizko argumentu eta derbaden formulak

Izena	Atzekaria	Deskribapena
Modus ponens	$((p\to q)\land p)\vdash q$	Baldin $p$ orduan $q$; $p$; ondorioz $q$
Modus tollens	$((p\to q)\land \neg q)\vdash \neg p$	Baldin $p$ orduan $q$; ez $q$; ondorioz ez $p$
Silogismo hipotetikoa	$((p\to q)\land (q\to r))\vdash (p\to r)$	Baldin $p$ orduan $q$; baldin $q$ orduan $r$; ondorioz, baldin $p$ orduan $r$
Silogismo disjuntiboa	$((p\lor q)\land \neg p)\vdash q$	Edozein $p$ edo $q$, edo biak; ez $p$; orduan, $q$
Dilema eraikitzailea	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\vdash (q\lor s)$	Baldin $p$ orduan $q$; eta baldin$r$ orduan $s$; baina $p$ edo $r$; ondorioz $q$ edo$s$
Dilema suntsitzailea	$((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\vdash (\neg p\lor \neg r)$	Baldin $p$ orduan $q$; eta baldin $r$ orduan $s$; baina ez $q$ edo ez $s$; ondorioz ez $p$ edo ez $r$
Bi noranzkoko dilema	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\vdash (q\lor \neg r)$	Baldin $p$ orduan $q$; eta balidn $r$ orduan $s$; baina $p$ edo ez $s$; ondorioz $q$ edo ez $r$
Sinplifikazioa	$(p\land q)\vdash p$	$p$ eta $q$ egiazkoak badira; ondorioz $p$ egiazkoa da
Konjuntzioa	$p,q\vdash (p\land q)$	$p$ eta $q$ bakoitza bere aldetik egiazkoak badira; orduan elkarrekin egiazkoak dira
Batuketa	$p\vdash (p\lor q)$	$p$ egiazkoa da; ondorioz disjuntzioa ($p$ edo $q$) egiazkoa da
Osaketa	$((p\to q)\land (p\to r))\vdash (p\to (q\land r))$	Baldin $p$ orduan $q$; eta baldin $p$ orduan $r$; ondorioz baldin $p$ egiazkoa da edo bestela $q$ eta $r$ egiazkoak dira
De Morgan-en legea (1)	$\neg (p\land q)\vdash (\neg p\lor \neg q)$	($p$ eta $q$)-ren ezeztatzearen parekoa da (ez $p$ edo ez $q$)
De Morgan-en legea (2)	$\neg (p\lor q)\vdash (\neg p\land \neg q)$	($p$ o $q$)-ren ezeztapenaren parekoa da (ez $p$ eta ez $q$)
Trukatze legea (1)	$(p\lor q)\vdash (q\lor p)$	($p$ edo $q$) , ($q$ o $p$)-ren baliokidea da
Trukatze legea (2)	$(p\land q)\vdash (q\land p)$	($p$ eta $q$) , ($q$ y $p$)-ren baliokidea da
Trukatze legea (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash (q\leftrightarrow p)$	($p$ , $q$-ren baliokidea da) , ($q$, $p$-ren baliokidea da)-ren baliokidea da
Elkartze legea (1)	$(p\lor (q\lor r))\vdash ((p\lor q)\lor r)$	$p$ edo ($q$ edo $r$), ($p$ edo $q$) edo $r$-ren baliokidea da
Elkartze legea (2)	$(p\land (q\land r))\vdash ((p\land q)\land r)$	$p$ eta ($q$ eta $r$) , ($p$ eta $q$) eta $r$-ren baliokidea da
Banaketa legea(1)	$(p\land (q\lor r))\vdash ((p\land q)\lor (p\land r))$	$p$ eta ($q$ edo $r$) , ($p$ eta $q$) edo ($p$ eta $r$)-ren baliokidea da
Banaketa legea (2)	$(p\lor (q\land r))\vdash ((p\lor q)\land (p\lor r))$	$p$ edo ($q$ eta $r$) , ($p$ edo $q$) eta ($p$ edo $r$)-ren baliokidea da
Ezeztapen bikoitza	$p\vdash \neg \neg p$	$p$ , ez $p$-ren ezeztapenaren baliokidea da
Iraulketa	$(p\to q)\vdash (\neg q\to \neg p)$	Baldin $p$ orduan $q$-ren baliokidea da, baldin ez $q$ orudan ez $p$
Implikazio materiala	$(p\to q)\vdash (\neg p\lor q)$	Baldin $p$ orduan $q$-ren baliokida da ez $p$ edo $q$
Baliokidetza materiala (1)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\to q)\land (q\to p))$	($p$ baldin eta soilik baldin $q$)ren baliokidea da (baldin $p$ egiazkoa da orduan $q$ egiazkoa da) eta ($q$ egiazkoa bada orduan $p$ egiazkoa da)
Baliokidetza materiala (2)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))$	($p$ baldin $q$)ren baliokidea da bietako bat betetzen bada: ($p$ eta $q$ egiazkoak dira) edo ($p$ eta $q$ faltsuak dira)
Baliokidetza materiala (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))$	($p$ baldin $q$)ren baliokidea da: bai ($p$ eta ez $q$ egiazkoak dira) eta (ez $p$ edo $q$ egiazkoak dira)
Esportazio	$((p\land q)\to r)\vdash (p\to (q\to r))$	hemendik (baldin $p$ eta $q$ egiazkoak dira, orduan $r$ egiazkoa da) hau egiazta dezakegu ($q$ egiazkoa bada orduan $r$ egiazkoa dela, $p$ egiazkoa bada)
Inportazio	$(p\to (q\to r))\vdash ((p\land q)\to r)$	$p$k inplikatzen du $q$k inplikatzen du $r$ren baliokidea da $p$ eta $q$k inplikatzen du $r$
Tautologia (1)	$p\vdash (p\lor p)$	$p$ egiazkoa da eta honen baliokidea da $p$ egiazkoa da edo $p$ egiazkoa da
Tautologia (2)	$p\vdash (p\land p)$	$p$ egiazkoa da eta honen baliokidea da $p$ egiazkoa da eta $p$ egiazkoa da
Hirugarrena baztertzearen printzipioa	$\vdash (p\lor \neg p)$	$p$ edo ez $p$ egiazkoa da
Ez kontraesanaren printzipioa	$\vdash \neg (p\land \neg p)$	$p$ eta ez $p$ faltsuak dira

Frogapen adibidea

Frogatu: $A\to A\,$

Froga posible bat hau da (baliozkoa da baina beharrezkoak ez diren urrats batzuk ematen dira) eta honela egin daiteke:

Urrats	Formula	Arrazoia
1	$A$	Premisa.
2	$A\lor A$	(1) urratsetik disjuntzioa sartu.
3	$(A\lor A)\land A$	(1) eta (2) urratsetatik konjuntzioa sartu.
4	$A$	(3). urratsetik conjuntzioa ezabatu.
5	$A\vdash A$	(1)etik (4)rako urratsen laburpena.
6	$\vdash A\to A$	(5). urratsetik kondizionala sartuz. QED

Interpretatu $A\vdash A$ honela: "Jakinik $A$k $A$ inferitzen duela". Irakurrri $\vdash$ $A\to A$ honela "Ezer suposatu gabe, inferituz $A$k inplikatzen duela $A$", edo " Tautologia bat dela $A$k inplikatzen duela $A$", edo "Beti egia dela $A$k inplikatzen duela $A$".

Lengoaia formala BNF notazioan

Logika proposizionalaren lenguaia formala gramatika formala erabiliz adieraz dezakegu BNF notifikazioarekin deskribatuz.

${\begin{array}{rcl}{\rm {\langle Baldintzabikoa\rangle }}&::=&{\rm {\langle Baldintzatua\rangle \leftrightarrow \langle Baldintzabikoa\rangle \mid \langle Baldintzatua\rangle }}\\{\rm {\langle Baldintzatua\rangle }}&::=&{\rm {\langle Konjuntzio\rangle \rightarrow \langle Baldintzatua\rangle \mid \langle Konjuntzio\rangle }}\\{\rm {\langle Konjuntzio\rangle }}&::=&{\rm {\langle Disjuntzio\rangle \vee \langle Konjuntzio\rangle \mid \langle Disjuntzio\rangle }}\\{\rm {\langle Disjuntzio\rangle }}&::=&{\rm {\langle Literal\rangle \wedge \langle Disjuntzio\rangle \mid \langle Literal\rangle }}\\{\rm {\langle Literal\rangle }}&::=&{\rm {\langle Atomo\rangle \mid \neg \langle Atomo\rangle }}\\{\rm {\langle Atomo\rangle }}&::=&{\rm {\top \mid \bot \mid \langle Letra\rangle \mid \langle Agrupazio\rangle }}\\{\rm {\langle Agrupazio\rangle }}&::=&{\rm {(\langle Baldintzabikoa\rangle )\mid [\langle Baldintzabikoa\rangle ]\mid \{\langle Baldintzabikoa\rangle \}}}\end{array}}$

Aurreko gramatikako operazioak lehentasun hauek dituzte:

1. Ezeztapena ($\neg \,$)
2. Konjuntzioa ($\land \,$)
3. Disjuntzioa ($\lor \,$)
4. Material baldintzatua ($\to \,$)
5. Baldintzabikoa ($\leftrightarrow$)

Semantika

Logika proposizionalen sistemaren interpretazio bat aldagai bakoitzaren egi balioa ezartzean datza, operazio logikoak jarriz bakoitza bere lekuan. Aldagai proposizional bakoitzari bi balore esleitzen zaizkio: T(egiazkoa) edo F(faltsua). Honek esan nahi du n aldagai baldin badaude, 2ⁿ interpretasio daude.

Hemendik abiatuz nozio semantikoak definitzeko aukera dugu. L lengoiaren edozein A eta B formulak badira, $\Gamma$ L formulen multzoa izango litzateke eta M Lren interpretazio bat, orduan:

• A egiazkoa da Mren interpretasiorako eta baldin eta soilik baldin Mk T egi balioa ezartzen badio Ari.
• A faltsua da Mren interpretasiorako eta baldin eta soilik baldin Mk F egi balioa ezartzen badio Ari.
• A tutologia bat da baldin eta soilik baldin M interpretasio guztirako, Mk T egi balioa ezartzen dio Ari.
• A kontradizio bat da baldin eta soilik baldin M interpretasio guztirako, Mk F egi balioa ezartzen dio Ari.
• A satisfaktiblea da baldin eta soilik baldin Mren interpretasio batean Ak T egi balioa baldin badu.
• $\Gamma$ konsistentea da baldin eta soilik baldin existitzen bada interpretasio bat non $\Gamma$ko fomula guztiak egiazkoa diren.
• A $\Gamma$ formulen konjuntuaren ondorio semantikoa da baldin eta soilik baldin ez bada existitzen interpretasio guztietarako eta A faltsua izanik. A ondorio semantikoa izatean honela idazten da: $\Gamma \models _{L}A$.
• A egi balioa da baldin eta soilik baldin A konjuntzio huts baten ondorio semantikoa bada eta honela idazten da: $\models _{L}A$.

Egi taulak

Egi taula, formula baten interpretazio posible guztiak aztertzen dituen taula bat da, formulan agertzen diren aldagai proposizional guztiak erabiliz. Adibidez, hau da formula honen egi taula $\neg (p\lor q)\to (p\to r)$:

${\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c}p&q&r&(p\lor q)&\neg (p\lor q)&(p\to r)&\neg (p\lor q)\to (p\to r)\\\hline T&T&T&T&F&T&T\\T&T&F&T&F&F&T\\T&F&T&T&F&T&T\\T&F&F&T&F&F&T\\F&T&T&T&F&T&T\\F&T&F&T&F&T&T\\F&F&T&F&T&T&T\\F&F&F&F&T&T&T\\\end{array}}$

Ikusten den bezala, formula honek 2ⁿ interpretazio posible ditu non n aldagai proposizional kopurua da, kasu honetan hiru aldagai daude, hau da, p, q eta r eta tautologia da, hau da, interpretazio guztietarako eta egi balioa da formula guztirako.

Forma normalak

Askotan, beharrezkoa da formula bat eraldatzea, batez ere, formula bat bere forma normalera eraldatzea. Hau lortzeko, formula bere baliokide batean eraldatzen da, eta prozesu hau errepikatzen da, oinarrizko lokailuak ($\land ,\lor ,\neg$) bakarrik dituen adierazpena lortu arte. Hau lortzeko erabiltzen dira baliokidetasun logikoak:

$(p\to q)\leftrightarrow (\neg p\lor q)$

$(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow [(\neg p\lor q)\land (\neg q\lor p)]$

Adibidez, ikus dezagun honako formula:

$(p\to q)\land (\neg q\leftrightarrow p)$

Formula hau era honetan gara dezakegu:

$(\neg p\lor q)\land (q\lor p)\land (\neg p\lor \neg q)$

Formula bat forma normal disjuntiboan (FND) dagoela esaten da baldin eta soilik baldin honako itxura badu:

$A_{1}\lor A_{2}\lor ...\lor A_{n}$

non A bakoitza formulen konjuntzioa den. Adibidez, honako formula forma normal disjuntiboan dago:

$p\land (q\lor s)\land (\neg q\lor p)$

Formula bat forma normal konjuntiboan (FNK) dagoela esaten da baldin eta soilik baldin honako itxura badu:

$A_{1}\land A_{2}\land ...\land A_{n}$

non A bakoitza formulen disjuntzioa den. Adibidez, honako formula forma normal konjuntiboan dago:

$p\land (q\lor s)\land (\neg q\lor p)$

De Morgan-en legeen arabera, posible da forma normal disjuntibotik forma normal konjuntibora pasatzea, eta alderantziz:

$\neg (A\lor B)\leftrightarrow (\neg A\land \neg B)$

$\neg (A\land B)\leftrightarrow (\neg A\lor \neg B)$

FNK eta FND elkar dualak dira. Frogapena, De Morgan-en legeen bidez, eta konjuntzioaren eta disjuntzioaren banakortasun legeen bidez egiten da. Honako adierazpena bete behar da:

$\neg [(A_{1}\land B_{1})\lor (A_{2}\land B_{2})\lor ...\lor (A_{n}\land B_{n})]\leftrightarrow [(\neg A_{1}\lor \neg B_{1})\land (\neg A_{2}\lor \neg B_{2})\land ...\land (\neg A_{n}\lor \neg B_{n})]$

Eta alderantziz:

$\neg [(A_{1}\lor B_{1})\land (A_{2}\lor B_{2})\land ...\land (A_{n}\lor B_{n})]\leftrightarrow [(\neg A_{1}\land \neg B_{1})\lor (\neg A_{2}\land \neg B_{2})\lor ...\lor (\neg A_{n}\land \neg B_{n})]$

Logika proposizionala eta konputazioa

Konputagailuek informazio bitarrarekin lan egiten dutenez, Booleren aljebra oso egokia da konputagailuen funtzionamendua aztertzeko eta diseinatzeko. Booleren aljebra hasiera batean logikaren ikerketarako sortu zen. 1938. urtean izan da konputagailu digitaletan dituen aplikazioak areagotu diren arte. Gaur egun, tresna hau beharrezkoa da konputagailuen garapenerako, zirkuitu logikoen analisia eta sintesia azkar egitea baimentzen baitigu.

Ikus gainera

• Booleren aljebra
• Grafo teoria
• Silogismo