Relación de Parseval
En matemáticas, la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación procede de un teorema de 1799 sobre series, cuyo creador fue Marc Antoine Parseval. Esta relación se aplicó más tarde a las Series de Fourier.
Aunque la Relación de Parseval se suele usar para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier, sobre todo en física e ingeniería, la forma generalizada de este teorema es la Relación de Plancherel.
Definición
[editar]En física e ingeniería, la Relación de Parseval se suele escribir como:
donde representa la transformada continua de Fourier de y representa la frecuencia (en hercios) de .
La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal es igual a la energía total de su transformada de Fourier a lo largo de todas sus componentes frecuenciales.
Para señales de tiempo discreto, la relación es la siguiente:
donde es la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de y representa la frecuencia angular (en radianes) de .
Por otro lado, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación es:
donde es la DFT de , ambas de longitud .
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Marc-Antoine Parseval des Chênes» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Parseval/.
- George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
- Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
- William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Relación de Parseval». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.