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Integración por sustitución trigonométrica

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Trigonometría
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En matemáticas, la sustitución trigonométrica consiste en la sustitución de determinadas expresiones mediante el uso de funciones trigonométricas. En cálculo, la sustitución trigonométrica es una técnica que permite evaluar integrales, puesto que se pueden utilizar identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales.[1][2]

Caso I: Integrando conteniendo

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Se hace el cambio de variable y se utiliza la identidad trigonométrica .

Construcción geométrica para Caso

Integral Indefinida

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Ejemplo I

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Para calcular la integral

se puede realizar el cambio de variable

entonces

Los pasos anteriores requirieron que y .

Es posible escoger para que sea la raíz principal de e imponer la restricción utilizando la función arco seno.

Para una integral definida, se debe averiguar cómo cambian los límites de la integración. Por ejemplo, cuando va de a , entonces va de a , y va de a . En consecuencia,

Se necesita elegir los límites con cuidado. Debido a que la integración anterior requiere que , solo puede pasar de a . Si se ignora esta restricción, se podría haber elegido para pasar de a , lo que habría resultado en un valor real negativo.

Alternativamente, se deben evaluar completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, la antiderivada da

como antes.

Ejemplo II

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La integral

puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

donde de modo que y

porque y

Luego

Integral Definida

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Para una integral definida, los límites de integración cambian una vez que se realiza la sustitución y estos están determinados por

con valores para en el rango

Ejemplo I

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Considérese la integral definida

que puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

y en este caso, los límites de integración estarán determinados por

Tenemos que

si entonces

y si entonces

entonces

Por otro lado, si aplicamos directamente los límites de integración para la fórmula de la antiderivada obtenemos

Caso II: Integrando conteniendo

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Se hace el cambio de variable y se utiliza la identidad trigonométrica .

Integral Indefinida

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Construcción geométrica para Caso

Ejemplo I

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En la integral

hacemos el cambio de variable

de modo que la integral se convierte en

para .

Ejemplo II

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La integral

puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

donde de modo que y

por lo que y .

Entonces

La integral de la secante cúbica puede ser evaluada utilizando integración por partes, dando como resultado

Integral Definida

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Para una integral definida, los límites de integración cambian una vez que se hace la sustitución y estos están determinados por

con valores para en el rango

Ejemplo I

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Considérese la integral definida

esta puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

con los límites de integración determinados por .

Tenemos que

si entonces

y si entonces

de modo que

Caso III: Integrando conteniendo

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Se hace el cambio de variable y se utiliza la identidad trigonométrica .

Integral Indefinida

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Ejemplo I

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Construcción geométrica para Caso

La integral

también puede ser evaluada utilizando fracciones parciales en lugar de utilizar sustitución trigonométrica. Sin embargo, la integral

no. En este caso, una sustitución apropiada es

donde de modo que y

suponiendo que , de modo que y .

Entonces,

Uno puede evaluar la integral de la función secante multiplicando tanto el numerador como el denominador por y evaluar la integral de la secante cúbica integrando por partes.[3]​ Como resultado,

Sustituciones que eliminan funciones trigonométricas

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La sustitución de una nueva variable por una función trigonométrica en ocasiones puede ser usada para facilitar el cálculo de la integral, dejando el integrando sin funciones trigonométricas.

La última sustitución es conocida como la Sustitución de Weierstrass, que hace uso de las fórmulas de la tangente del ángulo mitad.

Ejemplo

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Considérese la integral

Si utilizamos la sustitución de Weierstrass entonces

Sustitución hiperbólica

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También se pueden utilizar sustituciones mediante funciones hiperbólicas para simplificar determinadas integrales.[4]

Por ejemplo, en la integral

se realiza la sustitución ,

Entonces, usando las identidades y


Véase también

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Referencias

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  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th edición). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th edición). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2. 
  3. Stewart, James (2012). «Section 7.2: Trigonometric Integrals». Calculus - Early Transcendentals. United States: Cengage Learning. pp. 475-6. ISBN 978-0-538-49790-9. 
  4. Boyadzhiev, Khristo N. «Hyperbolic Substitutions for Integrals». Archivado desde el original el 26 de febrero de 2020. Consultado el 4 de marzo de 2013.