Notación de Schoenflies

La notación de Schoenflies (o también de Schönflies), llamada así por el matemático alemán Arthur Moritz Schönflies (1853-1928), es un sistema de anotación utilizado principalmente para especificar grupos de puntos en tres dimensiones. Debido a que un grupo de puntos por sí solo es completamente adecuado para describir la simetría de una molécula, la notación suele ser suficiente y se usa comúnmente en espectroscopia. Sin embargo, en cristalografía, hay simetría traslacional adicional, y los grupos de puntos no son suficientes para describir la simetría completa de los cristales, por lo que generalmente se usa el grupo espacial completo en su lugar. La denominación de grupos del espacio completo suele seguir otra convención común, la notación de Hermann-Mauguin, también conocida como notación internacional.^[1]

Aunque la notación de Schoenflies sin superíndices es una notación de grupo de puntos pura, opcionalmente, se pueden agregar superíndices para especificar aún más los grupos de espacios individuales. Sin embargo, para los grupos espaciales, la conexión con los elementos de simetría subyacentes es mucho más clara en la notación de Hermann-Mauguin, por lo que generalmente se prefiere esta última notación para los grupos espaciales.

Elementos de simetría

Los elementos de simetría se denotan con i para los centros de inversión, C para los ejes de rotación propios, σ para los planos del espejo y S para la los ejes de rotación impropia (rotorreflexión). C y S suelen ir seguidos de un número de subíndice (denominado de forma abstracta como n) que indica el orden de rotación posible.

Por convención, el eje de rotación propia de mayor orden se define como el eje principal. Todos los demás elementos de simetría se describen en relación con él. Un plano de espejo vertical (que contiene el eje principal) se denota como σ_v; un plano de espejo horizontal (perpendicular al eje principal) se denota como σ_h.

Grupos de puntos

Artículo principal: Grupos de puntos en tres dimensiones

Véase también: Simetría molecular

En tres dimensiones, hay un número infinito de grupos de puntos, pero todos ellos se pueden clasificar en varias familias.

C_n (por cíclico) tiene un eje de rotación de multiplicidad n.
- C_nh es C_n con la adición de un plano de espejo (reflexión) perpendicular al eje de rotación (plano horizontal).
- C_nv es C_n con la adición de n planos de simetría que contienen el eje de rotación (planos verticales).
C_s denota un grupo con solo un plano de espejo (por Spiegel, espejo en alemán) y ningún otro elemento de simetría.
S_2n (también por Spiegel, la palabra en alemán para espejo) contiene solo una rotorreflexión de multiplicidad 2n. El índice debe ser par porque cuando n es impar, un eje de rotorreflexión de multiplicidad n es equivalente a una combinación de un eje de rotación de multiplicidadn y un plano perpendicular, por lo tanto S_n = C_nh para n impar.
C_ni solo tiene un eje de rotoinversion. Esta notación rara vez se usa porque cualquier eje de rotoinversión se puede expresar como un eje de rotación-reflexión: Para n impar, C_ni = S_2n y C_2ni = S_n = C_nh, y para incluso n, C_2ni = S_2n. Solo se usa comúnmente la notación C_i (que significa C_1i), y algunas fuentes escriben C_3i, C_5i, etc.
D_n (por diédrico, o de dos lados) tiene un eje de rotación de multiplicidad n más n ejes dobles perpendiculares a ese eje.
- D_nh tiene, además, un plano de espejo horizontal y, en consecuencia, también n planos de espejo verticales, cada uno de los cuales contiene el eje de multiplicidad n y a uno de los ejes de doble simetría.
- D_nd tiene, además de los elementos de D_n, n planos verticales de espejo que pasan entre dos ejes (planos diagonales).
T (el grupo tetraédrico quiral) tiene los ejes de rotación de un tetraedro (tres ejes dobles y cuatro ejes triples).
- T_d incluye planos de espejo diagonales (cada plano diagonal contiene solo un eje doble y pasa entre otros dos ejes dobles, como en D_2d). Esta adición de planos diagonales da como resultado tres operaciones de rotación impropias S₄.
- T_h incluye tres planos de espejo horizontales. Cada plano contiene dos ejes dobles y es perpendicular al tercer eje doble, lo que da como resultado el centro de inversión i.
O (el grupo octaédrico quiral) tiene los ejes de rotación de un octaedro o un cubo (tres ejes cuádruples, cuatro ejes triples y seis ejes diagonales dobles).
- O_h incluye planos de espejo horizontales y, en consecuencia, planos de espejo verticales. Contiene también centro de inversión y operaciones de rotación impropia.
I (el grupo icosaédrico quiral) indica que el grupo tiene los ejes de rotación de un icosaedro o un dodecaedro (seis ejes quíntuples, diez ejes triples y 15 ejes dobles).
- I_h incluye planos de espejo horizontales y también contiene operaciones de centro de inversión y rotación impropia.

Todos los grupos que no contienen más de un eje de orden superior (orden 3 o más) se pueden organizar como se muestra en la tabla que figura a continuación. Los símbolos en rojo rara vez se utilizan:

	n= 1	2	3	4	5	6	7	8	...	∞
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	...	C_∞
C_nv	C_1v= C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_5v	C_6v	C_7v	C_8v	...	C_∞v
C_nh	C_1h= C_s	C_2h	C_3h	C_4h	C_5h	C_6h	C_7h	C_8h	...	C_∞h
S_n	S₁= C_s	S₂= C_i	S₃= C_3h	S₄	S₅= C_5h	S₆	S₇= C_7h	S₈	...	S_∞= C_∞h
C_ni (redundante)	C_1i= C_i	C_2i= C_s	C_3i= S₆	C_4i= S₄	C_5i= S₁₀	C_6i= C_3h	C_7i= S₁₄	C_8i= S₈	...	C_∞i= C_∞h
D_n	D₁= C₂	D₂	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇	D₈	...	D_∞
D_nh	D_1h= C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_5h	D_6h	D_7h	D_8h	...	D_∞h
D_nd	D_1d= C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_5d	D_6d	D_7d	D_8d	...	D_∞d= D_∞h

En cristalografía, debido al teorema de restricción cristalográfica, n está restringido a los valores de 1, 2, 3, 4 o 6. Los grupos no cristalográficos se muestran con fondos grises. D_4d y D_6d también están prohibidos porque contienen rotorreflexión con n = 8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos de puntos de la tabla más T, T_d, T_h, O y O_h constituyen los 32 grupos de puntos cristalográficos.

Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos de puntos en tres dimensiones. Hay dos grupos límite más, que no figuran en la tabla: K (por la palabra alemana Kugel para bola o esfera), el grupo de todas las rotaciones en el espacio tridimensional; y K_h, el grupo de todas las rotaciones y reflexiones. En matemáticas y física teórica se conocen respectivamente como grupo ortogonal especial y grupo ortogonal en el espacio tridimensional, con los símbolos SO(3) y O(3).

Grupos espaciales

Los grupos espaciales con un grupo de puntos dado están numerados por 1, 2, 3, ... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se agrega como un superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo de puntos correspondiente. Por ejemplo, los grupos con números del 3 al 5 cuyo grupo de puntos es C₂ tienen los símbolos de Schönflies C1
2, C2
2, C3
2.

Mientras que en el caso de los grupos de puntos, el símbolo de Schönflies define los elementos de simetría del grupo sin ambigüedades, el superíndice adicional para el grupo espacial no tiene ninguna información sobre la simetría traslacional del grupo espacial (centrado de celosía, componentes traslacionales de ejes y planos), y por lo tanto, se necesita consultar tablas especiales que contienen información sobre la correspondencia entre las notaciones de Schönflies y de Hermann-Mauguin. Dicha tabla se proporciona en la página Anexo:Grupos espaciales.

Véase también

Referencias

↑ Istvan Hargittai, Magdolna Hargittai (2007). Symmetry through the Eyes of a Chemist. Springer Science & Business Media. pp. 101 de 469. ISBN 9780585312347. Consultado el 24 de agosto de 2022.

Bibliografía

Flurry, R. L., Symmetry Groups : Theory and Chemical Applications. Prentice-Hall, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
Cotton, F. A., Chemical Applications of Group Theory, John Wiley & Sons: New York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
Harris, D., Bertolucci, M., Symmetry and Spectroscopy. New York, Dover Publications, 1989.

Enlaces externos

Symmetry@Otterbein

Datos: Q903255

[IHMH-1] Istvan Hargittai, Magdolna Hargittai (2007). Symmetry through the Eyes of a Chemist. Springer Science & Business Media. pp. 101 de 469. ISBN 9780585312347. Consultado el 24 de agosto de 2022.

[1]