Disco de Poincaré
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En geometría, el modelo del disco de Poincaré, también llamado representación conforme, es un modelo de la geometría hiperbólica n-dimensional en el que los puntos de la geometría están en un disco o bola n-dimensional; y en el que las líneas rectas son arcos de circunferencia contenidos en el disco y ortogonales a su frontera, o bien diámetros del disco. Junto con el modelo de Klein y el modelo del semiespacio de Poincaré, fue propuesto por Eugenio Beltrami, quien utilizó estos modelos para mostrar que la geometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana.
Métrica
[editar]Si u y v son dos vectores en un espacio vectorial real n-dimensional Rn con la norma euclidiana usual, ambos de norma inferior a uno, entonces se puede definir un invariante isométrico por
donde denota la norma euclidiana usual. La función de distancia es
Esta función de distancia está definida para cualesquiera dos vectores de norma inferior a uno, y el conjunto de tales vectores forman un espacio métrico que es un modelo de espacio hipérbólico de curvatura constante −1. El modelo tiene la propiedad conforme que el ángulo entre las dos curvas que se intersecan en el espacio hipérbólico es el mismo que el ángulo en el modelo.
El tensor métrico asociado al disco de Poincaré está dado por
donde las xi son las coordenadas cartesianas del espacio euclídeo ambiente. Las geodésicas del modelo del disco son círculos perpendiculares a la esfera frontera Sn−1.
Relación con el modelo del hiperboloide
[editar]El modelo del disco de Poincaré, así como el modelo de Klein, se relacionan con el modelo del hiperboloide proyectivamente. Dado un punto [t, x1, ..., xn] sobre la hoja superior de un hiperboloide del modelo del hiperboloide, se define un punto del modelo del hiperboloide, que se puede proyectar sobre la hipersuperficie t = 0 haciendo la intersección con una línea trazada desde [−1, 0, ..., 0]. El resultado es el correspondiente punto del disco de Poincaré.
Para las coordenadas cartesianas (t, xi) del hiperboloide e (yi) del plano, las fórmulas de conversión son :
Compárese las fórmulas con la proyección estereográfica entre una esfera y un plano.
Construcciones de geometría analítica en el plano hiperbólico
[editar]Una construcción básica de la geometría analítica es la de hallar una recta que pase por dos puntos dados. En el modelo del disco de Poincaré, las rectas del plano se definen por porciones de círculos con ecuaciones de la forma
que es la forma general de un círculo ortogonal al círculo unitario, o sino por diámetros. Dados dos puntos u y v en el disco que no estén en un diámetro, se puede resolver para el círculo de esta forma pasando por ambos puntos, y obtener
Si los puntos u y v son puntos de la frontera del disco que no están en los extremos de un diámetro, esto se simplifica a
Ángulos
[editar]Puede calcularse el ángulo entre el arco circular cuyos extremos (puntos ideales) están dados por vectores unitarios u y v, y el arco cuyos extremos son s y t, dada una fórmula. Dado que los puntos ideales son los mismos en el modelo de Klein y en el modelo del disco de Poincaré, las fórmulas son idénticas para ambos modelos.
Si las rectas de ambos modelos son diámetros, de modo que v = −u y t = −s, entonces meramente se encuentra el ángulo entre dos vectores unitarios, y la fórmula para el ángulo θ es
Si v = −u pero no t = −s, la fórmula se convierte, en términos del producto exterior, en
donde
Si ambas cuerdas no son diámetros, la fórmula general obtiene
donde
Utilizando la identidad de Binet–Cauchy y el hecho de que estos vectores son unitarios, las expresiones precedentes pueden rescribirse en términos puramente del producto escalar, como
Realizaciones artísticas
[editar]La edición Circle Limit IV por M.C. Escher, es una visualización artística del disco de Poincaré.
Véase también
[editar]- Geometría hiperbólica
- Modelo de Klein
- Semiplano de Poincaré
- Métrica de Poincaré
- Pseudoesfera
- Modelo del hiperboloide
- Geometría inversiva
- Teselados uniformes en plano hiperbólico
Referencias
[editar]- James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
- Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
- Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993
Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Poincare Hyperbolic Disk». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.