Teorema de Löwenheim-Skolem

Los lenguajes de primer orden no puden en ningún caso discriminar entre estructuras isomorfas. Por lo tanto, lo máximo a lo que puede aspirar un lenguaje de primer orden a la hora de representar una estructura es representarla hasta el isomorfismo. Los teoremas de Löwenheim y Skolem muestran que, en el caso de estructuras infinitas, ni siquiera la representación hasta el isomorfismo es posible.

Teorema de Lowenheim y Skolem descendente

Si L es un lenguaje de primer orden de cardinalidad $kappa$, donde $kappa$ es un cardinal infinito, entonces, todo conjunto de oraciones de L que tiene un modelo, tiene un modelo de cardinalidad menor o igual que $kappa$.

El teorema establece una conexión entre la cardinalidad del lenguaje (esto es, la cardinalidad de su vocabulario extralógico) y la cardinalidad de sus modelos. La prueba del teorema emplea el teorema de la existencia de modelos dentro de la prueba de completud para la lógica de primer orden.

El teorema impone serias restricciones sobre la representación de estructuras infinitas. Si ${\mathcal {A}}$ es una estructura para un lenguaje L de cardinalidad mayor que la cardinalidad de L, ningún conjunto de oraciones de L podrá representar a ${\mathcal {A}}$ hasta el isomorfismo ya que, según el teorema, cualquier conjunto de oraciones de L que tenga modelos, tendrá algún modelo de cardinalidad menor que la cardinalidad de ${\mathcal {A}}$; y este modelo no puede ser isomorfo con ${\mathcal {A}}$.

Teorema de Löwenheim y Skolem ascendente

Si un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene modelos arbitrariamente grandes.

(Un conjunto de oraciones tiene modelos arbitrariamente grandes si y sólo si, para todo cardinal $\kappa$, tiene modelos de cardinalidad al menos $\kappa$.)

La prueba emplea el teorema de compacidad para lenguajes de primer orden.

Este segundo teorema elimina cualquier esperanza de representar cualquier estructura infinita hasta el isomorfismo. Pues si un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden L tiene un modelo infinito, tendrá otros de cardinalidad mayor y, por tanto, no isomorfos.

Teorema de Löwenheim, Skolem y Tarski

Si un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden L tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo de cada cardinalidad infinita mayor o igual que la cardinalidad de L.

Este teorema es un resultado reforzado del teorema de Löwenheim y Skolem, que se puede obtener combinando los otros dos resultados.