Isomorfismo

En matemáticas, un isomorfismo (del griego iso-morfos: Igual forma) es un homomorfismo (o más generalmente un morfismo) que admite un inverso.​ El concepto matemático de isomorfismo pretende captar la idea de tener la misma estructura. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas.

Definición formal

Se puede definir concisamente como un homomorfismo biyectivo tal que su inversa es también homomorfismo.​ Esto es:​​

Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados $(P,\leq )$ y $(Q,\leq ')$ es una función biyectiva ${\begin{array}{rrcl}h:P\to Q\\\end{array}}$ tal que: Para todo $p_{1},p_{2}\in P$ se tiene que $p_{1}\leq p_{2}$ si y sólo si $h(p_{1})\leq 'h(p_{2})$.

Si existe un isomorfismo entre $(P,\leq )$ y $(Q,\leq ')$, entonces $(P,\leq )$ y $(Q,\leq ')$ se llaman isomorfos y la biyección $h$ se conoce como isomorfismo entre $(P,\leq )$ y $(Q,\leq ')$. Además, $P$ y $Q$ se llaman similares entre sí.​​

Si $P=Q$ se dice que el isomorfismo es un automorfismo. Se puede demostrar que dado un conjunto bien ordenado el único automorfismo posible es la función identidad.​

Propiedades en los órdenes totales

Los isomorfismos en conjuntos linealmente ordenados tienen una Relación de equivalencia, es decir, cumplen la reflexividad, la simetría y la transitividad, esto es:​

Sean $(A,\leq )$, $(B,\leq ')$ y $(C,\leq '')$ conjuntos linealmente ordenados, luego: $(A,\leq )$ es isomorfo a $(A,\leq )$. Si $(A,\leq )$ es isomorfo a $(B,\leq ')$, entonces $(B,\leq ')$ es isomorfo a $(A,\leq )$. Si $(A,\leq )$ es isomorfo a $(B,\leq ')$ y a su vez, $(B,\leq ')$ es isomorfo a $(C,\leq '')$ entonces $(A,\leq )$ es isomorfo a $(C,\leq '')$.

Historia y concepto

En el siglo XX se ha precisado en matemáticas la noción intuitiva de estructura, siguiendo la concepción de Aristóteles de la materia y la forma, según la cual cada estructura es un conjunto X dotado de ciertas operaciones (como la suma o el producto) o de ciertas relaciones (como una ordenación) o ciertos subconjuntos (como en el caso de la topología), etc. En este caso, el conjunto X es la materia y las operaciones, relaciones, etc., en él definidas, son la forma.

El descubrimiento de Platón de que la forma es lo que importa se recoge en matemáticas con el concepto de isomorfismo. Una aplicación f:X→Y entre dos conjuntos dotados del mismo tipo de estructura es un isomorfismo cuando cada elemento de Y proviene de un único elemento de X y f transforma las operaciones, relaciones, etc., que hay en X en las que hay en Y. Cuando entre dos estructuras hay un isomorfismo, ambas son indistinguibles, tienen las mismas propiedades, y cualquier enunciado es simultáneamente cierto o falso. Por eso en matemáticas las estructuras deben clasificarse salvo isomorfismos.

En el siglo XX el biólogo y filósofo de la ciencia austriaco, Ludwig von Bertalanffy, recuperó este concepto como elemento en la formulación de su Teoría general de sistemas. Para este autor existían una serie de coincidencias en la evolución de los procesos que se llevan a cabo en diferentes campos del conocimiento (la biología, la demografía, la física, la sociedad, etc.) a las que denominó isomorfismo.​ Resultaba importante para el planteamiento de la nueva teoría, debido a que «el isomorfismo hallado entre diferentes terrenos se funda en la existencia de principios generales de sistemas, de una teoría general de los sistemas más o menos bien desarrollada».​

Isomorfismo parcial

Está definido por:​

Un isomorfismo parcial entre dos conjuntos ordenados $(P,\leq )$ y $(Q,\leq ')$ es una función biyectiva ${\begin{array}{rrcl}h:X\to Q\\\end{array}}$ con $X\subseteq P$ tal que para todo $p_{1},p_{2}\in X$ se tiene que: $p_{1}\leq p_{2}$ si y sólo si $h(p_{1})\leq 'h(p_{2})$.

Ejemplos de isomorfismos

Por ejemplo, si X es el conjunto de los números reales positivos con el producto e Y es el conjunto de los números reales con la suma, la función logarítmica ln:X→Y es un isomorfismo, porque $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales, que suele ser más simple.

Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³ consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas geométricos es el núcleo de la llamada geometría analítica.^{[cita requerida]}

Características del isomorfismo

El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo que nos da dos puntos de vista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión. También significa una analogía como una forma de inferencia lógica basada en la asunción de que dos cosas son la misma en algunos aspectos, aquellos sobre los que está hecha la comparación. En ciencias sociales, un isomorfismo consiste en la aplicación de una ley análoga por no existir una específica o también la comparación de un sistema biológico con un sistema social, cuando se trata de definir la palabra "sistema". Lo es igualmente la imitación o copia de una estructura tribal en un hábitat con estructura urbana.

Los morfismos

Los isomorfismos de una estructura consigo misma de manera biyectiva se denominan automorfismos.​

En general, en una categoría arbitraria, los isomorfismos se definen por ser los morfismos f:X→Y que admiten un morfismo inverso h:Y→X, inverso tanto por la derecha como por la izquierda. Pueden no ser los morfismos biyectivos, como ya ocurre en el caso de los espacios topológicos.

Referencias

• Datos: Q189112