Ver el código de «Relación binaria»

Una '''relación binaria''' '''''R''''' es el [[subconjunto]] de los elementos del [[producto cartesiano]] <math> A_1 \times A_2 \ </math> que cumplen una determinada condición:

: Si los pares ordenados: (2a + 2; 14), (10; b2-2)  (10; b²-2)son iguales.

== Taxonomía de las relaciones binarias ==
En el gráfico ilustrativo de la [[taxonomía]] de las relaciones binarias se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido dependiente de las [[Flecha (símbolo)|flechas]].
{{Relación binaria 000}}

== Clasificación ==
La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas [[estructuras algebraicas]] o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.
{{Relación binaria 001}}

En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas, de las heterogéneas. En las primeras, la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad, lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo. Una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

{{clear}}

=== Relación homogénea ===
Una relación binaria ''R'' es homogénea si los conjuntos son iguales:
:<math>
R (a_1,a_2): \; (a_1,a_2)\in A_1 \times A_2 \land A_1 = A_2
</math>

Dado que <math>
   A_1
</math> y <math>
A_2
</math> son el mismo conjunto, se representa como:
:<math>
   R (a_1,a_2): \; (a_1,a_2)\in A \times A
</math>

O bien:
:<math>
 R (a_1,a_2): \; (a_1,a_2)\in A^2
</math>

=== Relación heterogénea ===
Una relación binaria ''R'' es heterogénea si los conjuntos no son iguales:
:<math>
R (a_1,a_2): (a_1,a_2)\in A_1 \times A_2 \land A_1 \ne A_2
</math>

== Conceptos previos ==
=== Par ordenado ===
Dados los conjuntos '''<math>
A_1
</math>''' y '''<math>
A_2
</math>''' se describe el [[par ordenado]] '''<math>
(a_1,a_2)
</math>''' que cumple:

'''<math>
a_1 \in A_1
</math>''' 

'''<math>
a_2\in A_2
</math>'''

Se representa como:

:<math>
   A_1 \times A_2 =
   \{(a_1,a_2) \; :
   a_1 \in A_1 \land a_2 \in A_2 \}
</math>

Se lee como:

''El [[producto cartesiano]] <math>
   A_1 \times A_2
</math> es el subconjunto de los pares ordenados '''<math>
(a_1,a_2)
</math>''' tal que '''<math>
a_1
</math>''' pertenece a '''<math>
A_1
</math>''' y '''<math>
a_2
</math>'''pertenece a '''<math>
A_2
</math>'''''.

=== Producto cartesiano ===
{|  style="margin:2em" align="right"
|<math>
  \begin{array}{|r|ccc|}
      \hline
               a & (1,a) & (2,a) & (3,a) \\
               b & (1,b) & (2,b) & (3,b) \\
               c & (1,c) & (2,c) & (3,c) \\
      \hline
      A_1 \times A_2 &     1 &     2 &     3 \\
      \hline
   \end{array}
</math>
|}

Definidos los conjuntos:
:<math> A_1 = \{1, 2, 3 \} </math>
:<math> A_2 = \{a, b, c \} </math>

El producto cartesiano ''<math>
   A_1 \times A_2
</math>'' se describe en la tabla adjunta.

La relación binaria <math>
R (a_1,a_2)
</math> queda definida como: 
:<math>
   A_1 \times A_2 = \{
     (1,a), (1,b), (1,c),
     (2,a), (2,b), (2,c),
     (3,a), (3,b), (3,c)
   \} \,
</math>

== Relación binaria homogénea ==
Dado un único conjunto ''<math> A = \{a, b, c, d \} </math>'', la relación binaria R queda determinada como:
: <math>
   R \subset A^2
</math>
: <math>
   R = \{ (a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a) \}
</math>
[[Archivo:Relación binaria 12.svg|200px|right]]

Una forma de representar el producto cartesiano es:
: <math>
   R: A \rightarrow A
</math>

Tomando como conjunto inicial y final a '''<math> A </math>''', se asocia un elemento inicial a uno final dentro de un mismo conjunto '''<math>A </math>''', determinando una '''[[operación matemática]]''', teniendo siempre en cuenta que si bien el conjunto inicial y final son el mismo, la relación es unidireccional. Si el elemento inicial está relacionado con el elemento final, necesariamente no implica que el elemento final esté relacionado con el elemento inicial.

En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas

Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto <math> A \times A </math> de pares ordenados (x, y), donde '''x''', '''y''' pertenecen a '''A''', la relación binaria será el subconjunto de <math> A \times A </math> que contiene todos los pares de elementos relacionados.

{| class="wikitable" align="right"
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | d || (a, d) || (b, d) || '''(c, d)''' || '''(d, d)'''
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | c || (a, c) || '''(b, c)''' || (c, c) || (d, c)
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | b || '''(a, b)''' || (b, b) || (c, b) || '''(d, b)'''
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | a || (a, a) || '''(b, a)''' || (c, a) || (d, a)
|- align="center"
| bgcolor="F0F0F0" | A×A
| bgcolor="F0F0F0" | a
| bgcolor="F0F0F0" | b
| bgcolor="F0F0F0" | c
| bgcolor="F0F0F0" | d
|}

Si el producto <math> A \times A </math> es:
{|
| <math> A \times A </math>
| <math> = \{ \,</math>
| <math> (a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d), </math>
|
|-
|
|
| <math> (b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d), </math>
|
|-
|
|
| <math> (c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d), </math>
|-
|
|
| <math> (d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d) </math>
| <math> \} \, </math>
|}

el conjunto '''R''' de la relación binaria se representa:
: <math> R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,</math>

Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

=== Propiedad de la relación binaria homogénea ===
{{ap|Propiedad de la relación binaria homogénea}}
Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

==== Propiedad reflexiva ====
{{ap|Relación reflexiva}}
[[Archivo:Propiedad reflexiva 1.svg|280px|derecha]]
Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento está relacionado consigo mismo.

Si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva o es arreflexiva.
: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

Para todo elemento '''a''' que pertenezca al conjunto '''A''', el par ordenado '''(a,a)''' pertenece a la relación binaria '''R'''.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:
: <math>
   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \notin R
</math>

No existe ningún elemento '''a''' en '''A''', para el que el par ordenado '''(a,a)''' no pertenezca a la relación '''R'''. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

==== Propiedad irreflexiva ====
{{ap|Relación irreflexiva}}
[[Archivo:Propiedad reflexiva 3.svg|280px|derecha]]
Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:
: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R
</math>

Que también puede expresarse
: <math>
   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

No existe ningún elemento '''a''' en el conjunto '''A''' que cumpla que: '''(a,a)''' pertenezca a '''R'''.

==== Propiedad simétrica ====
{{ap|Relación simétrica}}
[[Archivo:Propiedad simétrica 1.svg|280px|derecha]]
Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado '''(a,b)''' pertenece a la relación entonces el par '''(b,a)''' también pertenece a esa relación:
: <math>
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R
</math>

Para todo par ordenado '''(a,b)''' que pertenezca a '''R''', implica que el par '''(b,a)''' también pertenece a '''R''', téngase en cuenta que si el par '''(a,b)''' no pertenece a la relación el par '''(b,a)''' tampoco tiene que pertenecer a esa relación:
: <math>
   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \notin R
</math>

No existe ningún par ordenado '''(a,b)''' que pertenezca a '''R''' y que el par '''(b,a)''' no pertenezca a '''R'''._[_

==== Propiedad antisimétrica ====
{{ap|Relación antisimétrica}}
[[Archivo:Propiedad simétrica 3.svg|280px|derecha]]
Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado '''(a,b)''' y '''(b,a)''' pertenecen a la relación entonces '''a = b''':
: <math>
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a = b
</math>

Dicho de otra manera, no existen los elementos '''a''', '''b''' de '''A''', que cumplan las condiciones:
* '''a''' está relacionado con '''b'''
* '''b''' está relacionado con '''a'''
* '''a''' y '''b''' son distintos

: <math>
   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \in R
   \quad \land \quad
   a \ne b
</math>

==== Propiedad transitiva ====
{{ap|Relación transitiva}}
[[Archivo:Propiedad transitiva 1.svg|280px|derecha]]
Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos '''a''', '''b''', '''c''' del conjunto, si '''a''' está relacionado con '''b''' y '''b''' está relacionado con '''c''', entonces '''a''' está relacionado con '''c''':
: <math>
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R
</math>

==== Propiedad intransitiva ====
{{ap|Relación intransitiva}}
[[Archivo:Propiedad transitiva 3.svg|280px|derecha]]
Una relación binaria tiene la propiedad intransitiva cuando, dado los elementos '''a''', '''b''', '''c''' del conjunto, si '''a''' está relacionado con '''b''' y '''b''' está relacionado con '''c''', entonces '''a''' no está relacionado con '''c''':
: <math>
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \notin R
</math>

==== Propiedad total ====
{{ap|Relación total}}

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: '''a''', '''b'''; o '''a''' está relacionado con '''b''' o '''b''' está relacionado con '''a''', esto es el grafo de la relación es conexo:
: <math>
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R
</math>

=== Clases de las relaciones binarias homogénea ===
{{Relación binaria 100}}
Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:

{{clear}}

==== Relación reflexiva ====
La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.

Las relaciones reflexivas son las definidas así:
{{definición|
Dado un conjunto '''A''', y una relación binaria '''R''' entre sus elementos:
: <math>
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}
</math>

Se dice que '''R''' es '''relación reflexiva''', si cumple:

1.- La propiedad reflexiva:

: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

Todo elemento '''a''' de '''A''' está relacionado consigo mismo.}}

El caso más claro de propiedad reflexiva es la de [[igualdad matemática]], así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo [[número natural]] es igual a sí mismo.

[[Archivo:RelaRef 01.svg|200px|right]]
Dado un conjunto '''A''', formado por los siguientes elementos:
: <math>
   A =
   \{ a, b, c, d \} \;
</math>

Y una relación '''R''' entre los elementos del conjunto, definida así:
: <math>
   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d)
   \Big \}
</math>

Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:
: <math>
   (a,a) \in \R \quad
   (b,b) \in \R \quad
   (c,c) \in \R \quad
   (d,d) \in \R
</math>
Luego la relación '''R''' es reflexiva.

[[Archivo:RelaRef 11.svg|120px|right]]
La relación '''R''', también se puede representar en [[coordenadas cartesianas]] la [[función identidad]].

En el eje horizontal (abscisas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(ordenadas) el conjunto final, de abajo arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blanco, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.

[[Archivo:RelaRef 21.svg|120px|right]]
En la [[diagonal principal]], inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva.

Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:

Para todo elemento '''e''' del conjunto '''A''', el par ordenado '''(e,e)''' pertenece a la relación '''R'''.

En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.

==== Relación no reflexiva ====
[[Archivo:Propiedad reflexiva 2.svg|280px|derecha]]
Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva, que se puede denominar arreflexiva. Ver diagrama:
:{|
| <math>
   Relaciones \; homog\acute{e}neas
   \begin{cases}
      reflexivas       \\
      no \; reflexivas
      \begin{cases}
         irreflexivas   \\
         arreflexivas
      \end{cases}      \\
   \end{cases}
</math>
|}

Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.
{{definición|
Dado un conjunto '''A''', y una relación binaria '''R''' entre sus elementos:
: <math>
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}
</math>

Se dice que '''R''' es '''relación irreflexiva''', si cumple:

1.- La propiedad irreflexiva:

: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R
</math>

Todo elemento '''a''' de '''A''' no está relacionado consigo mismo.
}}

También podemos decir que una relación es irreflexiva si:
: <math>
   \nexists a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R
</math>

Una relación es irreflexiva si no existe un '''a''' en '''A''' que cumpla que '''a''' está relacionado consigo mismo.

[[Archivo:RelaRef 05.svg|200px|right]]
Dado el conjunto:
: <math>
   A =
   \{ a, b, c, d \} \,
</math>

y la relación entre los elementos de este conjunto:
: <math>
   R =
   \Big \{
   (a,b), (b,c), (d,b)
   \Big \}
</math>

Podemos ver que:
: <math>
   (a,a) \notin R \quad
   (b,b) \notin R \quad
   (c,c) \notin R \quad
   (d,d) \notin R
</math>

Para todo elemento '''e''' del conjunto '''A''', el par ordenado '''(e,e)''' no pertenece a la relación '''R''', luego esta relación en irreflexiva.

[[Archivo:RelaRef 25.svg|120px|right]]
La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.

La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:
: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

y si es irreflexiva, se cumple:
: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R
</math>

Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:

Una relación binaria es '''no reflexiva''' si:
: <math>
   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \notin R
</math>

Y una relación es '''no irreflexiva''' cuando:
: <math>
   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R
</math>

Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:
: <math>
   \begin{cases}
      \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R  \\
      \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R
   \end{cases}
</math>

veamos un ejemplo, dado el conjunto:
: <math>
   A =
   \{ a, b, c, d \} \,
</math>

[[Archivo:RelaRef 03.svg|200px|right]]
En la que se ha definido la relación binaria:
: <math>
   R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b)
   \Big \}
</math>

Podemos ver que:
: <math>
   (a,a) \in R \quad
   (c,c) \in R
</math>

Y también que:
: <math>
   (b,b) \notin R \quad
   (d,d) \notin R
</math>

Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.

[[Archivo:RelaRef 23.svg|120px|right]]
Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.

En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:
* Relaciones reflexivas
* Relaciones irreflexivas
* Relaciones arreflexivas

Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.

==== Relación de dependencia ====
{{ap|Relación de dependencia}}

Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:
{{definición|
Dado un conjunto '''A''', y una relación binaria '''R''' entre sus elementos:
: <math>
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}
</math>

Se dice que '''R''' es '''relación de dependencia''', si cumple:

1.- La propiedad reflexiva:

: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

Todo elemento '''a''' de '''A''' está relacionado consigo mismo.

2.- La propiedad simétrica:

: <math>
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R
</math>

Si un elemento '''a''' está relacionado con otro '''b''', entonces el '''b''' también está relacionado con el '''a'''.
}}

Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia '''D''' entre dos números, como el [[valor absoluto]] de su diferencia:
: <math>
   \forall a, b \in \N : \;
   D= | a-b|
</math>

y decimos que dos números naturales '''a''', '''b''' están próximos si su distancia es a lo sumo un valor '''D''' conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:
: <math>
   (a, b) \in R : \;
   (a, b) \in \N^2
   \quad \land \quad
   |a-b| \le D
</math>

es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:
: <math>
   \forall a \in \N : \;
   |a-a| \le D
</math>

es simétrica:
: <math>
   \forall a, b \in \N : \;
   |a-b| \le D
   \quad \longrightarrow \quad
   |b-a| \le D
</math>

relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:
: <math>
   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
       |a-b| \le D
      \quad \land \quad
       |b-c| \le D
   \Big )
   \quad \nrightarrow \quad
    |a-c| \le D
</math>

que la distancia entre '''a''' y '''b''' sea a lo sumo '''D''' y que la distancia entre '''b''' y '''c''' no supere '''D''', no implica necesariamente que la distancia entre '''a''' y '''c''' no sea mayor que '''D'''. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.

==== Conjunto preordenado ====
{{ap|Conjunto preordenado}}

Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:

{{definición|
Dado un conjunto '''A''', y una relación binaria '''R''' entre sus elementos:

: <math>
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}
</math>

Se dice que '''R''' define un '''conjunto preordenado''', si cumple:

1.- La propiedad reflexiva:

: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

Todo elemento '''a''' de '''A''' está relacionado consigo mismo.

2.- La propiedad transitiva:

: <math>
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R
</math>

 Si un elemento '''a''' está relacionado con otro '''b''', y este '''b''' con otro '''c''', entonces el elemento '''a''' esta también relacionado con el '''c'''.}}

==== Relación de equivalencia ====
{{ap|Relación de equivalencia}}

Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:<ref>{{Cita libro|apellidos=Gutiérrez Gómez |nombre=Andrés|coautores=García Castro, Fernando |título=Álgebra lineal |edición=1 |año=1981 |editorial=Ediciones Pirámide, S.A.|isbn=978-84-368-0174-3 |capítulo=2.3. Relaciones de equivalencia |página=74}}</ref>

{{definición|
Dado un conjunto '''A''', y una relación binaria '''R''' entre sus elementos:

: <math>
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}
</math>

Se dice que '''R''' es '''relación de equivalencia''', si cumple:

1.- La propiedad reflexiva:

: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

Todo elemento '''a''' de '''A''' está relacionado consigo mismo.

2.- La propiedad simétrica:

: <math>
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R
</math>

Si un elemento '''a''' está relacionado con otro '''b''', entonces el '''b''' también está relacionado con el '''a'''.

3.- La propiedad transitiva:

: <math>
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R
</math>

Si un elemento '''a''' está relacionado con otro '''b''', y este '''b''' con otro '''c''', entonces el elemento '''a''' esta también relacionado con el '''c'''.}}

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto '''A''' lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto '''A''', entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto '''A''', veamos un ejemplo.

En [[Aritmética modular]] se define la operación módulo como el resto de la división, así:
: <math>
   5 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 2 = 1
</math>
: <math>
   6 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 0
</math>
: <math>
   7 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 1
</math>

: el resto de dividir 5 entre 2 es 1
: el resto de dividir 6 entre 3 es 0
: el resto de dividir 7 entre 3 es 1

se dice que dos números son congruentes módulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto:
: <math>
   8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} 3)
</math>

el 8 y el 17 son congruentes módulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.

La congruencia modular de grado '''n''', de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:
: <math>
   \forall a \in \N : \;
   a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
</math>

es simétrica:
: <math>
   \forall a, b \in \N : \;
   a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \longrightarrow \quad
   b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
</math>

y es transitiva
: <math>
   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
      a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
      \quad \land \quad
      b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
</math>

==== Conjunto parcialmente ordenado ====
{{ap|Conjunto parcialmente ordenado|Diagrama de Hasse}}
Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:
{{definición|
Dado un conjunto '''A''', y una relación binaria '''R''' entre sus elementos:

{{ecuacion|<math>
   R = 
   \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}
</math>||left}}

Se dice que '''R''' define un '''conjunto parcialmente ordenado''', si cumple:

1.- La propiedad reflexiva: 

: <math>
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
</math>

Todo elemento '''a''' de '''A''' está relacionado consigo mismo.

2.- La propiedad transitiva:

: <math>
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R
</math>

Si un elemento '''a''' está relacionado con otro '''b''', y este '''b''' con otro '''c''', entonces el elemento '''a''' esta también relacionado con el '''c'''.

3.- La propiedad antisimétrica:

: <math>
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b
</math>

Si los pares ordenado '''(a,b)''' y '''(b,a)''' pertenecen a la relación '''R''', entonces '''a''' y '''b''' son iguales.}}

Tomando un conjunto '''A''', formado, por ejemplo, por los elementos:
: <math>
   A = \{ a, b, c \} \;
</math>

Se define el [[Conjunto potencia]] de '''A''' como el formado por todos los subconjuntos de '''A''':
: <math>
   P (A) =
   \Big\{
      \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\},
      \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \}
   \Big\}
</math>

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:
: <math>
   A_1 = \{ \} \;
</math>
: <math>
   A_2 = \{a\} \;
</math>
: <math>
   A_3 = \{b\} \;
</math>
: <math>
   A_4 = \{c\} \;
</math>
: <math>
   A_5 = \{a, b\} \;
</math>
: <math>
   A_6 = \{a, c\} \;
</math>
: <math>
   A_7 = \{b, c\} \;
</math>
: <math>
   A_8 = \{a, b, c\} \;
</math>

Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es [[Subconjunto]] del segundo:
: <math>
   R = 
   \Big\{
      (A_i , A_j )\in \; P (A)
      : \quad
      A_i \subseteq A_j
   \Big\}
</math>

La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un [[conjunto parcialmente ordenado]], al ser reflexiva:
: <math>
   \forall A_i \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_i
</math>

Transitiva:
: <math>
   \forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \;
   \Big (
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_k
   \Big )
   \longrightarrow \quad
    A_i \subseteq A_k
</math>

Antisimetrica:
: <math>
   \forall A_i, A_j \in P (A) : \;
   \Big (
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_i
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   A_i = A_j
</math>
Por lo que el '''conjunto de las partes de A''', respecto a la relación binaria '''pertenencia''' es un '''conjunto parcialmente ordenado'''.

Esta relación no es total dado que:
: <math>
   \neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_j
   \quad \lor \quad
   A_j \subseteq A_i
</math>

Que se denominan ''no comparables'', los pares de conjuntos no comparables son:
[[Archivo:OrdenParcial.svg|200px|right]]
: <math>
   1. \;
   \Big(\{a\}, \{b\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a\} \nsubseteq \{b\}
   \; \land \;
   \{b\} \nsubseteq \{a\}
</math>
: <math>
   2. \;
   \Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{a\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{a\}
</math>
: <math>
   3. \;
   \Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{b\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{b\}
</math>
: <math>
   4. \;
   \Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a\}
</math>
: <math>
   5. \;
   \Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{b\}
</math>
: <math>
   6. \;
   \Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{c\} \nsubseteq \{a, b\}
   \; \land \;
   \{a, b\} \nsubseteq \{c\}
</math>
: <math>
   7. \;
   \Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{a, b\}
</math>
: <math>
   8. \;
   \Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, b\}
</math>
: <math>
   9. \;
   \Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, c\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, c\}
</math>

A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.

==== Conjunto acotado ====
{{ap|Acotado}}
{{ap|Elemento maximal y minimal}}
{{ap|Elemento máximo y mínimo}}
Para un [[conjunto]] '''A''' y una '''relación binaria''' <math> \precsim </math> definida entre los elementos de '''A''', que expresaremos <math> (A, \precsim) </math> y la relación la representamos:
: <math>
   x, y \in A
   \; , \quad
   x \precsim y
</math>

que se lee: '''x''' antecede a '''y'''.

La no relación se representa:

: <math>
   x, y \in A
   \; , \quad
   x \not \precsim y
</math>

Si un elemento '''a''' está relacionado con otro '''b''', y este '''b''' con otro '''c''', entonces el elemento '''a''' esta también relacionado con el '''c'''.

3.- La relación '''R''' es antisimétrica:

: <math>
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b
</math>

Si los pares ordenado '''(a,b)''' y '''(b,a)''' pertenecen a la relación '''R''', entonces '''a''' y '''b''' son iguales.

4.- La relación '''R''' es total:

: <math>
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R
</math>

Si para cualquiera dos elemento del conjunto: '''a''', '''b'''; o '''a''' está relacionado con '''b''' o bien '''b''' está relacionado con '''a'''.

Si tomamos el conjunto de los [[Número entero|números enteros]] '''Z''', por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos '''menor o igual''', podemos ver que es reflexiva:
: <math>
   \forall a \in \Z : \;
   a \le a
</math>

es transitiva:
: <math>
   \forall a, b, c \in \Z : \;
   \Big (
      a \le b
      \quad \land \quad
      b \le c
   \Big )
   \longrightarrow \quad
 a \le c
</math>

es antisimetrica:
: <math>
   \forall a,b \in \Z : \;
   \Big (
      a \le b
      \quad \land \quad
      b \le a
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b
</math>

y es total:
: <math>
   \forall a, b \in \Z : \;
   a \le b
   \quad \lor \quad
   b \le a
</math>

==== Conjunto con orden total y acotado ====
{{ap|orden total}}
{{ap|Orden total acotado}}
{{ap|Conjunto bien ordenado}}
Dado un [[conjunto]] '''A''' y una '''relación binaria''' <math> \precsim </math> definida entre los elementos de '''A''', que expresaremos <math> (A, \precsim) </math> y la relación se representa:
: <math>
   a \precsim b
</math>

Se dice que se ha definido un ''orden total'' en el conjunto A, si la relación <math> (A, \precsim) </math> cumple las propiedades:
: '''1.''' Reflexiva.
: '''2.''' Antisimétrica.
: '''3.''' Transitiva.
: '''4.''' Es, además, una [[relación total]], es decir, se cumple que todos los elementos de un conjunto con [[orden total]] son ''comparables'':
:: <math>
   \forall a, b \in A: \quad
   a \precsim b
   \quad \lor \quad
   b \precsim a
</math>

Dado un conjunto '''A''' en el que se ha definido una relación binaria <math> \precsim </math>, siendo <math> (A, \precsim) </math> un conjunto totalmente ordenado.

El elemento '''y''' de '''A''' que cumple:
: <math>
   y \in A \; es \; m \acute{a} ximo \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   x \precsim y
</math>

Se denomina máximo y define una cota superior en '''A'''; el elemento máximo es único. Si el conjunto '''A''' y la relación binaria <math> \precsim </math>, que expresaremos <math> (A, \precsim) </math> es un orden total y tiene máximo, entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente.

Del mismo modo el elemento '''z''' de '''A''' que cumple:
: <math>
   z \in A \; es \; m \acute{\imath} nimo \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   z \precsim x
</math>

Se denomina mínimo y define una cota inferior en '''A'''; el elemento mínimo es único. Si el conjunto '''A''' y la relación binaria <math> \precsim </math>, que expresaremos <math> (A, \precsim) </math> es un orden total y tiene mínimo, entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente.

Un conjunto con orden total solo se dice '''acotado''', si está acotado superior e inferiormente.

== Relación binaria heterogénea ==
{{ap|Correspondencia matemática}}
{{ap|Galería de correspondencias matemáticas}}
[[Archivo:Correspon 0102.svg|180px|right]]

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto de B:
: <math>
   R (a,b): \;
   (a,b) \in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B
</math>

Lo que también se llama [[correspondencia matemática]].<ref>{{Cita web
 |url          = http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf
 |título      = ÁLGEBRA Curso 2008/09
 |fechaacceso  = 2010
 |autor        = José Juan Carreño Carreño
 |año         = 2008
 |mes          = 10
 |formato      = pdf
 |páginas     = 12
 |urlarchivo   = https://web.archive.org/web/20130717235248/http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf
 |fechaarchivo = 17 de julio de 2013
}}</ref><ref name="Notas de_1">{{Cita libro |título=Notas de álgebra |editor=1 |editorial=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones |año=2004|isbn=978-84-9705-623-6 |página=18}}</ref>

A la derecha podemos ver lo que se denomina un '''diagrama sagital''', en el cual se representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas, asociando a cada pincel la cara que está pintada del mismo color.
: [[Archivo:Correspon 32.svg|120px]]

Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.

En el diagrama podemos ver el '''conjunto inicial''' ( o dominio ) de pinceles '''P''', sobre el que está definida la relación:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Solo algunos elementos del conjunto inicial tienen asociado un elemento, estos elementos forman el '''conjunto origen''':
:{|
| <math> O = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Y el '''conjunto final''' ( o codominio ) de caras pintadas '''C''' es:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama '''conjunto imagen''':
:{|
| <math> I = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

La relación binaria es la formada por los pares ordenados:
:{|
| <math> R =\, \{(  </math>
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]], [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]]
| <math> ) , \, (  </math>
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]], [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]]
| <math> ) , \, (  </math>
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]], [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> ) , \, (  </math>
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]], [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> ) \}\, </math>
|}

Una relación binaria homogénea:
: <math>
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A
</math>

Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos, si lo que se está tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos serían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea, si es factible.

=== Propiedades de las relaciones binarias heterogénea ===
{{Relación binaria 203}}

Partiendo de una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.

{{clear}}

==== Condición de existencia de imagen. (ei) ====
[[Archivo:Correspon 1002.svg|180px|right]]

La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera '''a''' de '''A''' tiene al menos una imagen '''b''' en '''B'''.
: <math>
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>

para todo elemento '''a''' de '''A''' se cumple que existe al menos un '''b''' de '''B''', '''a''' y '''b''' estén relacionado.

En la figura podemos ver el conjunto '''P''' de los pinceles:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

y el '''C''' de las caras pintada:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

==== Condición de existencia de origen. (eo) ====
[[Archivo:Correspon 0702.svg|180px|right]]

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento '''b''' de '''B''' tiene al menos un origen '''a''' en '''A'''.
: <math>
   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>

para todo '''b''' de '''B''' se cumple que existe un '''a''' en '''A''' y que '''a''' y '''b''' están relacionados.

Si vemos la figura podemos ver el conjunto '''P''' de pinceles con pintura:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

y el conjunto '''C''' de caras pintada:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

==== Condición de unicidad de imagen. (ui) ====
[[Archivo:Correspon 0502.svg|180px|right]]

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos '''a''' de '''A''' que están relacionados con algún '''b''' de '''B''' está relacionado con un único elemento '''b''' de '''B''', es decir:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>

si un elemento '''a''' de '''A''' está relacionado con dos elementos '''b''' de '''B''' esos dos elementos son iguales.

Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de '''A''' tengan imagen, esta diferencia es importante.

En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto '''P''':
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Y el conjunto final '''C''', de caras pintada:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

==== Condición de unicidad de origen. (uo) ====
[[Archivo:Correspon 0202.svg|180px|right]]

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos '''b''' de '''B''' que están relacionados con algún '''a''' de '''A''' está relacionado solo con un único elemento '''a''' de '''A''', es decir:
: <math>
   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \land \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a_1 = a_2.
</math>

En el diagrama tenemos el conjunto inicial '''P''' de pinceles con pintura de colores:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

y el conjunto final '''C''' de caras pintadas:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C5.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

==== Galería de ejemplos ====
Según las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás, podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.

Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura '''T''', y como conjunto final el de pinceles '''P''', asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.
{| align="center"
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 0101.svg|140px]]
|-
| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| no
|-
| Unicidad origen:|| no
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|}
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{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 0301.svg|140px]]
|-
| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
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| Unicidad imagen:|| no
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| Existencia origen:|| no
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| Unicidad origen:|| no
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|}
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| [[Archivo:Correspon 0201.svg|140px]]
|-
| align=center | C. Unívoca
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| si
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| Existencia origen:|| no
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| Unicidad origen:|| no
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|}
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| [[Archivo:Correspon 0401.svg|140px]]
|-
| align=center | Aplicación
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
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| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| no
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| Unicidad origen:|| no
|}
|}
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|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 0901.svg|140px]]
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| align=center | Correspondencia
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|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| si
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| Unicidad origen:|| no
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1101.svg|140px]]
|-
| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
|-
| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| si
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| Unicidad origen:|| no
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|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1001.svg|140px]]
|-
| align=center | C. Unívoca
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| si
|-
| Unicidad origen:|| no
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1201.svg|140px]]
|-
| align=center | A. Sobreyectiva
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
|-
| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| si
|-
| Unicidad origen:|| no
|}
|}
|-
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| [[Archivo:Correspon 0501.svg|140px]]
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| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| no
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| Unicidad origen:|| si
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|}
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| [[Archivo:Correspon 0701.svg|140px]]
|-
| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
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| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| no
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| Unicidad origen:|| si
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|}
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| [[Archivo:Correspon 0601.svg|140px]]
|-
| align=center | C. Biunívoca
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| no
|-
| Unicidad origen:|| si
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|}
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| [[Archivo:Correspon 0801.svg|140px]]
|-
| align=center | A. Inyectiva
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
|-
| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| no
|-
| Unicidad origen:|| si
|}
|}
|-
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{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1301.svg|140px]]
|-
| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| si
|-
| Unicidad origen:|| si
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1501.svg|140px]]
|-
| align=center | Correspondencia
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
|-
| Unicidad imagen:|| no
|-
| Existencia origen:|| si
|-
| Unicidad origen:|| si
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1401.svg|140px]]
|-
| align=center | C. Biunívoca
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| no
|-
| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| si
|-
| Unicidad origen:|| si
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Archivo:Correspon 1601.svg|140px]]
|-
| align=center | A. Biyectiva
|-
|
{| align="center"
| Existencia imagen:|| si
|-
| Unicidad imagen:|| si
|-
| Existencia origen:|| si
|-
| Unicidad origen:|| si
|}
|}
|}

=== Clases de las relaciones binarias heterogénea ===
{{ap|Correspondencia matemática}}
{{Relación binaria 200}}
Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar los siguientes casos.

{{clear}}

==== Correspondencia unívoca ====
{{ap|Correspondencia unívoca}}

Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:
{{definición|
Dada una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Esta relación es una '''correspondencia unívoca''', si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de imagen''' si los elementos '''a''' de '''A''' que tienen imagen, tienen una sola imagen:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>
}}

Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada unívoca.

==== Correspondencia biunívoca ====
{{ap|Correspondencia biunívoca}}

Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen:
{{definición|
Dada una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Esta relación es una '''correspondencia biunívoca''', si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de imagen''' si los elementos '''a''' de '''A''' que tienen imagen, tienen una sola imagen:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>

2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de origen''' si los elementos '''b''' de '''B''' que tienen origen, tienen un solo origen:
: <math>
   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \land \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a_1 = a_2.
</math>
}}

==== Aplicación ====
{{ap|Aplicación matemática}}

Una correspondencia <math>R: A \to B</math> se denomina aplicación si todo elemento de '''A''' admite una única imagen en '''B'''.,<ref> {{Cita web |url=http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf |título=ÁLGEBRA Curso 2008/09 |fechaacceso=2010 |autor=José Juan Carreño Carreño |año=2008 |mes=10 |formato=pdf |página=13 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20130717235248/http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf |fechaarchivo=17 de julio de 2013 }}</ref><ref> {{Cita web |url=http://dmaii.etsii.upm.es/~mlopez/pdfs/a1tema1-0506.pdf |título=Algebra I |fechaacceso=2013 |autor=Mario López Gómez |año=2005 |mes=9 |formato=pdf |página=5 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20130319180309/http://dmaii.etsii.upm.es/~mlopez/pdfs/a1tema1-0506.pdf |fechaarchivo=19 de marzo de 2013 }} </ref><ref name="Notas de_1"/><ref>{{Cita libro |título=Matemática discreta |apellido=Gregori Gregori |nombre=Valentín |apellido2=Ferrando |nombre2=J. C. |editorial=Editorial Reverté, S.A. |año=2011 |edición=8|isbn=978-84-291-5179-4 |página=48}}</ref><ref>{{Cita libro |título=Problemas de matemática discreta |apellido=Alegre Gil |nombre=Carmen |apellido2=Martínez Pastor |nombre2=Ana |apellido3=Pedraza Aguilera |nombre3=M Carmen |editorial=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones. |año=1997 |edición=1|isbn=978-84-7721-495-3 |página=189}}</ref><ref>{{Cita libro |título=Álgebra moderna |apellido=Ayres |nombre=Frank |editorial=McGraw-Hill |año=1992 |edición=1|isbn=968-422-917-8 |página=6}}</ref> esto es si cumple la condición de unicidad de imagen y de existencia de imagen.

Una aplicación ''f'' de '''A''' en '''B''', siendo '''A''' y '''B''' dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia entre '''A''' y '''B''', total y unívoca.<ref>{{Cita libro |año=1993 |título=Gran enciclopedia temática Plaza |volumen=Matemáticas |página=72 |página=400|edición=2 |editorial=Plaza & Janés Editores, S.A.|isbn=978-84-01-61659-4}}</ref> según otra nomenclatura.

Si la aplicación la representamos como '''R''', tendremos:
: <math>
   \begin{array}{rcl}
      R : \; A & \longrightarrow & B       \\
      a        & \longmapsto     & b = R(a)
   \end{array}
</math>

por la que definimos una aplicación que a cada elemento '''a''' de '''A''' se le asigna un único '''b''' de '''B'''.
: <math>
   \forall a \in A
   \, : \quad
   \exists !  b \in B
   \; / \quad
   b = R(a)
</math>

Para todo '''a''' de '''A''', se cumple que existe un único '''b''' de '''B''', tal que '''b''' es el resultado '''R(a)'''.

: ''El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.''<ref>
{{Cita libro|apellidos=Gutiérrez Gómez |nombre=Andrés|coautores=García Castro, Fernando |título=Álgebra lineal |edición=1 |año=1981 |editorial=Ediciones Pirámide, S.A.|isbn=978-84-368-0174-3 |capítulo=3.2. Aplicaciones o funciones |página=131}}
</ref>

: ''Es usual hablar de aplicación en lugar de función, reservando esta última expresión, habitualmente, para el caso en el cual los conjuntos A y B son numéricos. Si A y B son conjuntos de puntos, se suele hablar de transformación geométrica.''<ref>
{{Cita libro|apellidos=Pérez Fernández |nombre=Francisco Javier |título=Introducción al método matemático |edición=1 |año=1998 |editorial=Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz|isbn=978-84-7786-509-4 |capítulo=6 Aplicaciones |página=130}}
</ref>

: ''Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más '''cantidades'''.''<ref>
{{Cita web
 |url=http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
 |título=Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.
|fechaacceso= 2010
 |autor=Alejandro Carreiras
 |páginas=2. Funciones
}}</ref>

: ''En inglés una aplicación se llama'' '''map'''<ref>
{{Cita libro|apellidos=Maravall Casesnoves |nombre=Dario |título=Diccionario de matematicas modernas |edición=2 |año=1982 |editorial=Editorial nacional|isbn=84-276-1235-4}}
</ref>

{{definición|
Dada una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Esta relación es una '''aplicación''', si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de imagen''' si los elementos '''a''' de '''A''' que tienen imagen, tienen una sola imagen:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la '''condición de existencia de imagen''' si para todos los elementos '''a''' de '''A''' existe al menos una imagen '''b''' en '''B''':
: <math>
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>
}}

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.

==== Aplicación inyectiva ====
{{ap|Aplicación inyectiva}}

Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.
{{definición|
Dada una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Esta relación es una '''aplicación inyectiva''', si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de imagen''' si los elementos '''a''' de '''A''' que tienen imagen, tienen una sola imagen:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la '''condición de existencia de imagen''' si para todos los elementos '''a''' de '''A''' existe al menos una imagen '''b''' en '''B''':
: <math>
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de origen''' si los elementos '''b''' de '''B''' que tienen origen, tienen un solo origen:
: <math>
   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \land \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a_1 = a_2.
</math>
}}

Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una Aplicación inyectiva.

De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.

==== Aplicación sobreyectiva ====
{{ap|Aplicación sobreyectiva}}

Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:
{{definición|
Dada una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Esta relación es una '''aplicación sobreyectiva''', si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de imagen''' si los elementos '''a''' de '''A''' que tienen imagen, tienen una sola imagen:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la '''condición de existencia de imagen''' si para todos los elementos '''a''' de '''A''' existe al menos una imagen '''b''' en '''B''':
: <math>
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>

3.- Existencia de origen: se dice que cumple la '''condición de existencia de origen''' si para todos los elementos '''b''' de '''B''' existe al menos un origen '''a''' en '''A''':
: <math>
   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>
}}

Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición de existencia de origen.

==== Aplicación biyectiva ====
{{ap|Aplicación biyectiva}}

Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:
{{definición|
Dada una relación binarias heterogénea '''R''', entre los conjunto '''A''' y '''B''':
: <math>
   R: A \rightarrow B
</math>

Esta relación es una '''aplicación biyectiva''', si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de imagen''' si los elementos '''a''' de '''A''' que tienen imagen, tienen una sola imagen:
: <math>
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.
</math>

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la '''condición de existencia de imagen''' si para todos los elementos '''a''' de '''A''' existe al menos una imagen '''b''' en '''B''':
: <math>
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la '''condición de unicidad de origen''' si los elementos '''b''' de '''B''' que tienen origen, tienen un solo origen:
: <math>
   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \land \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a_1 = a_2.
</math>

4.- Existencia de origen: se dice que cumple la '''condición de existencia de origen''' si para todos los elementos '''b''' de '''B''' existe al menos un origen '''a''' en '''A''':
: <math>
   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.
</math>
}}

Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

== Propiedades ==
Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. ''R'' será:
{|
| [[Relación reflexiva]]
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\in R </math>
|-
| [[Relación irreflexiva]]
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\notin R </math>
|-
| [[Relación simétrica]]
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R </math>
|-
| [[Relación asimétrica]]
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\notin R </math>
|-
| [[Relación antisimétrica]]
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,a)\in R \Rightarrow a = b </math>
|-
| [[Relación transitiva]]
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (a,c)\in R </math>
|-
| [[Relación intransitiva]]
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (a,c)\notin R </math>
|-
| [[Relación circular]]
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (c,a)\in R </math>
|-
| [[Relación total]]
| <math> \forall a, b \in A,\; (a,b)\in R \; \lor \; (b,a) \in R </math>
|}

== Véase también ==
* [[Teoría del orden]]

{{Navegación
|name  = Navegador de relaciones
|title = [[Relación matemática|Relaciones matemáticas]]

|group1 = Según n.º de términos
|list1  = [[Relación unaria|Unaria]] · '''Binaria''' · [[Relación ternaria|Ternaria]] · [[Relación cuaternaria|Cuaternaria]] · [[Relación n-aria|n-aria]]

|group2 = [[Relación de equivalencia|Relaciones de equivalencia]]
|list2  = [[Relación reflexiva|Reflexiva]] · [[Relación simétrica|Simétrica]] · [[Relación transitiva|Transitiva]]

|group3 = [[Relación de orden|Relaciones de orden]]
|list3  = [[Relación reflexiva|Reflexiva]] · [[Relación antisimétrica|Antisimétrica]] · [[Relación transitiva|Transitiva]]

|group4 = [[Clausura de relación|Clausuras]]
|list4  = [[Clausura reflexiva]] · [[Clausura simétrica]] · [[Clausura transitiva]]

|group5 = [[Diagrama]]s
|list5  = [[Grafo]] · [[Diagrama de Hasse]] · [[Matriz de adyacencia]] · [[Matriz de incidencia]]
}}

== Referencias ==
{{listaref}}

=== Bibliografía ===
# {{Cita libro|apellidos=González Gómez |nombre=Antonia |título=Álgebra lineal |año=2009|mes=6 |editorial=Fundación Conde del Valle de Salazar|isbn=978-84-96442-28-3}}
# {{Cita libro|apellidos=Baquerizo Azofra |nombre=Clara |título=Matemática discreta y álgebra lineal |edición=1 |año=2008|mes=4 |editorial=Martín Gómez, Emilia|isbn=978-84-612-3787-6}}
# {{Cita libro|apellidos=Hortalá González |nombre=María Teresa |título=Matemática discreta y lógica matemática |edición=2 |año=2001|mes=10 |editorial=Editorial Complutense, S.A.|isbn=978-84-7491-650-8 }}
# {{Cita libro|apellidos=Climent Coloma |nombre=Joan Josep |título=Álgebra. Teoría de conjuntos y estructuras algebraicas |edición=1 |año=2001|mes=6 |editorial=Editorial Club Universitario|isbn=978-84-8454-081-6}}
# {{Cita libro|apellidos=Gutiérrez Gómez |nombre=Andrés|coautores=García Castro, Fernando |título=Álgebra lineal |edición=1 |año=1981 |editorial=Ediciones Pirámide, S.A.|isbn=978-84-368-0174-3}}
# {{Cita libro|apellidos=Losada Rodríguez |nombre=Ramón |título=Análisis matemático |año=1978|mes=7 |editorial=Ediciones Pirámide, S.A.|isbn=978-84-368-0096-8}}
# {{Cita libro|apellidos=Losada Rodríguez |nombre=Ramón |título=Conjuntos Álgebra Lineal |edición=2 |año=1973|mes=9|isbn=978-84-400-6592-6}}

=== Enlaces externos ===
* [https://web.archive.org/web/20091122163043/http://webs.uvigo.es/matematicas/campus_vigo/cursos03-04/Relacions/apuntes2.pdf Relaciones binarias]
* [https://web.archive.org/web/20090317003453/http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=103&Itemid=132 Relaciones binarias]
* [https://web.archive.org/web/20100619055023/http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf Conjuntos, aplicaciones y relaciones binarias.]
* [https://web.archive.org/web/20101122082333/http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/IN01206M.pdf Relaciones binarias y grafos]
* {{Enlace roto|1=[http://www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/material/relaciones.pdf Relación] |2=http://www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/material/relaciones.pdf |bot=InternetArchiveBot }}
* [http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/20d.-INTRODUCCION-A-LAS-ESTRUCTURAS-ALGEBRAICAS.pdf Introducción a las estructuras algebraicas]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Relaciones]]
[[Categoría:Relaciones binarias]]