Algebra De Baldor - Solucionario

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Daladier
Typewritten text
LIBROS UNIVERISTARIOS 
Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS

LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO
RESUELTOS Y EXPLICADOS
DE FORMA CLARA

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EJERCICIO 1
1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido
negativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estado
económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.
Al recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capital
tantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entonces
la operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada como
se indicase indicase indicase indicase indica
 − + =+60 320 260 bs.
2. 2. 2. 2. 2. 1 170 1 515 345. .− =− sucres
3. 3. 3. 3. 3. 200 56 189 67+ − =+$
4. 4. 4. 4. 4. − − + =+665 1 178 2 280 437. . soles
5. 5. 5. 5. 5. 20 15 40 75 30− + − =−$
6. 6. 6. 6. 6. − + − + =−67 72 16 2 9$
7. 7. 7. 7. 7. 200 78 81 93 41 59 70− − − + − =− colones
8. 8. 8. 8. 8. − − − + − =45 66 79 200 10 0
EJERCICIO 2
1. 1. 1. 1. 1. 12 15 3− =− ∃
2. 2. 2. 2. 2. − + − = −3 8 6 1∃
3. 3. 3. 3. 3. ( )15 3 15 3 18− − = + = ∃
4. 4. 4. 4. 4. ( )− − + = + =8 5 8 5 13∃
5. 5. 5. 5. 5. − + + − = −4 7 2 11 6∃
6. 6. 6. 6. 6. − + ⋅ = − + = − →
− + ⋅ = − + = →
− + ⋅ = − + = + →
8 4 1 8 4 4 7
8 4 2 8 8 0 8
8 4 5 8 20 12 11
∃
∃
∃
am
am
am
7. 7. 7. 7. 7. − − ⋅ = − − = − →
− − ⋅ = − − = − →
− − ⋅ + ⋅ = − − + = − →
− − ⋅ + ⋅ = − − + = + →
1 2 2 1 4 5 10
1 2 3 1 6 7 11
1 2 3 3 1 1 6 3 4 12
1 2 3 3 3 1 6 9 2 2
∃
∃
∃
∃
am
am
am
pm
8. 8. 8. 8. 8. − + =−56 7 49∃
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
− + = −
− + − =−
71 5 66
15 5 20
∃
∃
long
lat.
10. 10. 10. 10. 10. 18 3 21
65 4 61
+ =+
- =+
∃
∃
long
lat.
11. 11. 11. 11. 11. - + =+75 135 60 años
EJERCICIO 3
1. 1. 1. 1. 1. + −32 16m m;
2. 2. 2. 2. 2. + −10 4m m;
3. 3. 3. 3. 3. 50 85 35− =− m
4. 4. 4. 4. 4. − ⋅ = −6 11 66m
5. 5. 5. 5. 5. - × =-
× =+
8 6 48
9 6 54
m
m
6. 6. 6. 6. 6. 400 2 800
400 3 1 200
⋅ = + →
− ⋅ =− →
m corredor
m yo.
7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste
 se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen
 - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- .
 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados.
 - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - .
 Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan
 a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben
 descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima.
 Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa:
 
40 15 25
25 3 28
15 3 12
= +
− − =−
+ − =+
pies
pies
8. 8. 8. 8. 8. 55 52 3− =+ m
9. 9. 9. 9. 9. − + =−32 15 17m
10. 10. 10. 10. 10. 35 47 12− =− m
11. 11. 11. 11. 11. − + =+39 56 17m
12. 12. 12. 12. 12. 90 58 36 4− − =− m
13. 13. 13. 13. 13. 72 30 1 72 30 42
72 30 2 72 60 12
72 30 3 72 90 18
72 30 4 72 120 48
− ⋅ = − =+
− ⋅ = − =+
− ⋅ = − =−
− ⋅ = − =−
m
m
m
m
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )
( )
( )
− − − ⋅ = − + = −
− − − ⋅ = − + =
− − − ⋅ = − + = +
− − − ⋅ = − + = +
120 60 1 120 60 60
120 60 2 120 120 0
120 60 3 120 180 60
120 60 4 120 240 120
Km
Km
Km
EJERCICIO 7.
1. 1. 1. 1. 1. x x x+ =2 3
2. 2. 2. 2. 2. 8 9 17a a a+ =
3. 3. 3. 3. 3. 11 9 20b b b+ =
4. 4. 4. 4. 4. − − = −b b b5 6
5. 5. 5. 5. 5. − − =−8 9m m m
6. 6. 6. 6. 6. − − =−9 7 16m m m
7. 7. 7. 7. 7. 4 5 9a a ax x x+ =
8. 8. 8. 8. 8. 6 8 141 1 1a a ax x x+ + ++ =
9. 9. 9. 9. 9. − − =−+ + +m m mx x x1 1 15 6
10. 10. 10. 10. 10. − − =−− − −3 42 2 2a a ax x x
11. 11. 11. 11. 11. 
1
2
1
2
1 1
2
2
2
a a a a a+ =
+
= =
12. 12. 12. 12. 12. 
3
5
1
10
6
10
7
10
ab ab
ab ab
ab+ =
+
=
13. 13. 13. 13. 13. 
1
3
1
6
2 1
6
3
6
1
2
xy xy xy xy xy+ =
+
= =
14. 14. 14. 14. 14. − − =
− −
= − = −
1
5
4
5
1 4
5
5
5
xy xy xy xy
15. 15. 15. 15. 15. − − =
− −
= −
5
6
1
8
20 3
24
23
24
2 2 2 2a b a b a b a b
16. 16. 16. 16. 16. − − =
− −
= −a a a a
7
8
8 7
8
15
8
17. 17. 17. 17. 17. 8 9 6 23a a a a+ + =
18. 18. 18. 18. 18. 15 20 36x x x x+ + =
19. 19. 19. 19. 19. − − − =−7 8 9 24m m m m
20. 20. 20. 20. 20. − − − =−a b a b a b a b2 2 2 23 5
21. 21. 21. 21. 21. a a a ax x x x+ + =3 8 12
22. 22. 22. 22. 22. − − − =−+ + + +5 3 5 131 1 1 1a a a ax x x x
23. 23. 23. 23. 23. a a a a a+ + =
+ +
=
1
2
2
3
6 3 4
6
13
6
24. 24. 24. 24. 24. − − − =
− − −
= −x x x x x
2
3
1
6
6 4 1
6
11
6
25. 25. 25. 25. 25. 
1
5
3
10
2 3 10
10
15
10
3
2
ax ax ax ax ax ax+ + =
+ +
= =
26.26.26.26.26. − − − =
− − −
= −
3
4
5
6
9 10 12
12
31
12
2 2 2 2 2a x a x a x a x a x
27. 27. 27. 27. 27. 11 8 9 11 39a a a a a+ + + =
28.28.28.28.28. m m m m mx x x x x+ + + + ++ + + =1 1 1 1 13 4 6 14
29. 29. 29. 29. 29. − − − − =−x y x y x y x y x y2 2 2 2 28 9 20 38
30. 30. 30. 30. 30. − − − − =−3 5 6 9 23a a a a am m m m m
31. 31. 31. 31. 31. 
1
2
1
4
1
8
4 2 1 8
8
15
8
a a a a a a+ + + =
+ + +
=
32.32.32.32.32.
2
5
1
2
1
10
1
20
8 10 2 1
20
21
20
ax ax ax ax ax ax+ + + =
+ + +
=
33. 33. 33. 33. 33. 0 5 0 6 0 7 0 8 2 6, , , , ,m m m m m+ + + =
34. 34. 34. 34. 34. − − − −
=
− − − −
= − = −
1
7
1
14
1
28
4 2 1 28
28
35
28
5
4
ab ab ab ab
ab ab ab
35. 35. 35. 35. 35. − − − −
=
− − − −
= −
2
3
1
6
1
9
1
12
24 6 4 3
36
37
36
3 3 3 3
3 3
x y x y x y x y
x y x y
36. 36. 36. 36. 36. ab ab ab ab ab ab2 2 2 2 2 27 9 21 39+ + + + =
37. 37. 37. 37. 37. − − − − − =−m m m m m m8 7 3 20
38. 38. 38. 38. 38. − − − − − =−+ + + + + +x x x x x xa a a a a a1 1 1 1 1 18 4 5 19
39. 39. 39. 39. 39. 
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
30 20 15 12 10
60
87
60
29
20
a a a a a
a a a
+ + + +
=
+ + + +
= =
40. 40. 40. 40.,40. − − − − −
=
− − − − −
= −
1
3
1
6
1
2
1
12
1
9
12 6 18 3 4
36
43
36
ab ab ab ab ab
ab ab
EJERCICIO 8
1. 1. 1. 1. 1. 8 6 2a a a− =
2. 2. 2. 2. 2. 6 8 2a a a− =−
3. 3. 3. 3. 3. 9 15 6ab ab ab− =−
4. 4. 4. 4. 4. 15 9 6ab ab ab− =
5. 5. 5. 5. 5. 2 2 0a a− =
6. 6. 6. 6. 6. − + =7 7 0b b
7. 7. 7. 7. 7. − + =14 32 18xy xy xy
8. 8. 8. 8. 8. − + =25 32 72 2 2x y x y x y
9. 9. 9. 9. 9. 40 51 113 3 3x y x y x y− =−
10. 10. 10. 10. 10. − + =m n m n m n2 2 26 5
11. 11. 11. 11. 11. − + =15 40 25xy xy xy
12. 12. 12. 12. 12. 55 81 263 2 3 2 3 2a b a b a b− = −
13. 13. 13. 13. 13. − + =x y x y2 2 0
14. 14. 14. 14. 14. − + =9 9 02 2ab ab
15. 15. 15. 15. 15. 7 7 02 2x y x y− =
16. 16. 16. 16. 16. − + =101 118 17mn mn mn
17. 17. 17. 17. 17. 502 405 97ab ab ab− =
18. 18. 18. 18. 18. − + =−1024 1018 6x x x
19. 19. 19. 19. 19. − + =15 15 0ab ab
20. 20. 20. 20. 20. 
1
2
3
4
2 3
4
1
4
a a a a− =
−
= −
21. 21. 21. 21. 21. 
3
4
1
2
3 2
4
1
4
a a a a− =
−
=
22. 22. 22. 22. 22. 
5
6
5
12
10 5
12
5
12
2 2 2 2a b a b a b a b− =
−
=
23. 23. 23. 23. 23. − + =
− +
=
4
7
9
14
8 9
14
1
14
2 2 2 2x y x y x y x y
24. 24. 24. 24. 24. 
3
8
5
4
3 10
8
7
8
am am am am− =
−
= −
25. 25. 25. 25. 25. − + =
− +
= −am am am am
3
5
5 3
5
2
5
26. 26. 26. 26. 26. 
5
6
7
8
20 21
24
1
24
mn mn mn mn− =
−
= −
27. 27. 27. 27. 27. − + =
− +
= −a b a b a b a b2 2 2 23
11
11 3
11
8
11
28. 28. 28. 28. 28. 3 4 5 6 2 24 3 4 3 4 3, , ,a b a b a b− =−
29. 29. 29. 29. 29. − + =12 3 4 2 2, , ,yz yz yz
30. 30. 30. 30. 30. 4 2 2a a ax x x− =
31. 31. 31. 31. 31. − + =+ +8 8 01 1a ax x
32. 32. 32. 32. 32. 25 32 71 1 1m m ma a a− − −− =−
33. 33. 33. 33. 33. − + =+ +x xa a1 1 0
34. 34. 34. 34. 34. − + =
− +
=− − − −
1
4
1
2
1 2
4
1
4
2 2 2 2a a a am m m m
35. 35. 35. 35. 35. 
5
6
7
12
10 7
12
3
12
1
4
1 1 1 1 1a a a a am m m m m+ + + + +− =
−
= =
36. 36. 36. 36. 36. 4
1
3
12 1
3
11
3
2 2 2 2a a a a− =
−
=
37. 37. 37. 37. 37. − + =
− +
= −5
3
4
20 3
4
17
4
mn mn mn mn
38. 38. 38. 38. 38. 8 25 172 3 2 3 2 3a b a b a bx x x x x x+ + + + + +− =−
39. 39. 39. 39. 39. − + =
− +
=
7
8
7 8
8
1
8
a b a b a b a bm n m n m n m n
40. 40. 40. 40. 40. 0 85 0 5 0 35, , ,mxy mxy mxy− =
EJERCICIO 9
1. 1. 1. 1. 1. 9 3 5 11a a a a− + =
2. 2. 2. 2. 2. − + − =8 9 0x x x
3. 3. 3. 3. 3. 12 23 5 16mn mn mn mn− − = −
4. 4. 4. 4. 4. − + − =x x x19 18 0
5. 5. 5. 5. 5. 19 10 6 15m m m m− + =
6. 6. 6. 6. 6. − − + =11 15 26 0ab ab ab
7. 7. 7. 7. 7. − + − =−5 9 35 31a a a aX X X X
8. 8. 8. 8. 8. − − + =+ + +24 15 39 02 2 2a a aX X X
9. 9. 9. 9. 9. 
2
3
1
3
2 1 3
3
0
3
0y y y y y+ − =
+ −
= =
10. 10. 10. 10. 10. − + − =
− + −
= −
3
5
1
4
1
2
12 5 10
20
17
20
m m m m m
11. 11. 11. 11. 11. 
3
8
1
4
3 2 8
8
3
8
2 2 2 2 2a b a b a b a b a b+ − =
+ −
= −
12. 12. 12. 12. 12. − + + − =a a a a a8 9 15
13. 13. 13. 13. 13. 7 11 20 31 15ab ab ab ab ab− + − =−
14. 14. 14. 14. 14. 25 50 11 14 02 2 2 2x x x x− + + =
15. 15. 15. 15. 15. − − − + =xy xy xy xy xy8 19 40 12
16. 16. 16. 16. 16. 7 21 80 53ab ab ab ab ab+ − − =−
17. 17. 17. 17. 17. − + + − =−25 11 60 82 362 2 2 2 2xy xy xy xy xy
18. 18. 18. 18. 18. − + − + =72 87 101 243 157ax ax ax ax ax
19. 19. 19. 19. 19. − − − + =82 71 53 206 0bx bx bx bx
20. 20. 20. 20. 20. 105 464 58 301 03 3 3 3a a a a− + + =
21. 21. 21. 21. 21. 
1
2
1
3
1
4
1
5
30 20 15 12
60
13
60
x x x x x x− + − =
− + −
=
22. 22. 22. 22. 22. 
1
3
1
3
1
6
1
12
4 4 2 1
12
1
12
y y y y y y− + − =
− + −
=
23. 23. 23. 23. 23. 
3
5
1
6
1
3
18 5 10 30
30
7
30
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a b
a b a b
− + −
=
− + −
= −
24. 24. 24. 24. 24. − − + −
=
− − + −
= − = −
5
6
1
6
3
8
20 4 24 9
24
9
24
3
8
2 2 2 2
2 2 2
ab ab ab ab
ab ab ab
25. 25. 25. 25. 25. − + − + − = −a a a a a a8 11 15 75 64
26. 26. 26. 26. 26. − + + − + =7 21 14 30 82 80c c c c c c
27. 27. 27. 27. 27. − + − − + =mn mn mn mn mn mn14 31 20
28. 28. 28. 28. 28. a y a y a y a y a y2 2 2 2 27 93 51 48 0− − + + =
29. 29. 29. 29. 29. − + − + − + =a a a a a a a3 6 3
30. 30. 30. 30. 30. 
1
2
2
3
7
6
1
2
3 4 7 3 6
6
3
6
1
2
x x x x x
x x x
+ − + −
=
+ − + −
= − = −
31. 31. 31. 31. 31. − + + + −
=
− + + + −
= − = −
2
3
4
1
4
5
6
48 18 6 24 20
24
20
24
5
6
x x x x x
x x x
32. 32. 32. 32. 32. 7 30 41 9 73 0a a a a ax x x x x− − − + =
33. 33. 33. 33. 33. − + − − + =+ + + + + +a a a a a ax x x x x x1 1 1 1 1 17 11 20 26
34. 34. 34. 34. 34. a a a a a a a+ − + − + =6 20 150 80 31 88
35. 35. 35. 35. 35. − − − − − + =−9 11 17 81 110 9b b b b b b b
36.36.36.36.36. − + + − − + =−a b a b a b a b a b a b a b2 2 2 2 2 2 215 85 131 39 162
37. 37. 37. 37. 37. 84 501 604 715 231 165
1340
2 2 2 2 2 2
2
m x m x m x m x m x m x
m x
− − − + +
= −
38. 38. 38. 38. 38. 
5
6
2
3
1
4
5
8
4
20 16 6 15 96
24
111
24
37
8
4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 5
8
3 2
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
+ − − +
=
+ − − +
=
= =
39.39.39.39.39. 40 81 130 41 83 91 16 28a a a a a a a a− + + − − + =−
40.40.40.40.40. − + − + − − − =21 52 60 84 31 23 0ab ab ab ab ab ab ab
EJERCICIO 10
1. 1. 1. 1. 1. 7 6 9 4
7 6 13 9 4 13
13 13
a a b b
a a a b b b
a b
+ − −
+ = − − =−
= −
2. 2. 2. 2. 2. a b c b c c a
a a b b c c c
+ − − − + −
− = − = − − + =
=
2
0 0 2 0
0
3. 3. 3. 3. 3. 5 11 9 20 1
5 20 25 11 12 9 1 10
25 12 10
x y x y
x x x y y y
x y
− − + − −
+ = − − =− − − =−
= − −
4. 4. 4. 4. 4. − + + − − − −
− − − =− − = − =−
= − + −
6 8 5 6 11
6 6 13 8 7 5 11 6
13 7 6
m n m n m
m m m m n n n
m n
5. 5. 5. 5. 5. − + + − + + −
− + = + − = − + =
=
a b b c a c b
a a a b b b c c
a
2 2 3 2 3
3 2 2 3 0 2 2 0
2
6. 6. 6. 6. 6. − + − + + + −
− + + = + − = −
= −
81 19 30 6 80 25
81 80 0 19 6 25 0 30
30
x y z y x x y
x x x y y y z
z
7. 7. 7. 7. 7. 15 6 8 20 5 31
15 8 8
6 5 12 20 31 11
8 12 11
2 2 2
2 2 2 2
2
a ab a ab a ab
a a a a
ab ab ab ab
a ab
− − + − − + −
− + =
− − − =− − =−
= − −
8. 8. 8. 8. 8. − + − + − + − −
− − + − =
+ − − =−
= −
3 4 6 81 114 31
3 6 31 21
4 81 114 30
21 30
a b a b b a a b
a a a a a
b b b b b
a b
9. 9. 9. 9. 9. − − + + − +
− + − + = −
− + =
= −
71 84 50 84 45 18
71 50 45 18 48
84 84 0
48
3 4 2 3 4 2 3 3
3 3 3 3 3
4 2 4 2
3
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b
10. 10. 10. 10. 10. − + − + + + − − − − − +
− + − =− + − =
− − + = − − =−
= − −
a b c a b c a b c
a a a a b b b
c c c
a
8 2 2 19 2 3 3 3 3
2 3 2 2 3 0
2 3 0 8 19 3 14
2 14
11. 11. 11. 11. 11. m mn m mn m m m m
m m m m m m m m mn mn mn
m m mn
2 2 3 2 2 3
3 3 3 2 2 2 2 2
3 2
71 14 65 115 6
6 7 14 115 129 71 65 6
7 129 6
+ − − + − − +
+ = − − − =− − =
= − +
12. 12. 12. 12. 12. x y x y x y x y x y x y x y x y y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y y
x y x y y
4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3
4 4 4 4 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3
4 3 2 3
8 10 7 9 21 50
8 21 14 7 7
0 10 9 50 31
14 7 31
− + − − − + − − + − +
− + = − + − =−
− = − − − + =
= − − +
13. 13. 13. 13. 13. 5 3 8 5 50 4 65 90 7
8 7 0 3 4 0 5 5 0 50 65 90 25
25
1 2 3 1 2 2 3 3
3 3 3 2 2 2 1 1
a b c a b b c c
c c c b b b a a
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
− − − − + − − + + +
− + + = − + − = − = − − + =−
= −
14. 14. 14. 14. 14. a x a x a x
x x x x a a a a
x a
m m m m m m
m m m m m m m m
m m
+ + + + + +
+ + + + + + + +
+ +
− − + − + − + −
− + − =− − + =− − + − =−
= − − −
2 3 2 3 2 3
3 3 3 3 2 2 2 2
3 2
5 8 3 5 6 5
5 5 3 5 8 6 3
3
15. 15. 15. 15. 15. 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 9 3 3 3
0 3 0 6 3 2 7 0 4 0 7 3 3 3 0 5 0 9 3 3 4
2 7 3 3 3 4
, , , , , ,
, , , , , , , , ,
, , ,
a b c a b c a b c
a a a a b b b b c c c c
a b c
+ + − − − + − −
− + = − − =− − − =−
= − −
16. 16. 16. 16. 16. 
1
2
1
3
2 3
3
4
1
6
3
4
1
2
1
2
2
3
4
2 8 3
4
7
4
1
3
3
1
6
2 18 1
6
17
6
3
4
1
2
3 2
4
1
4
7
4
17
6
1
4
a b a b,a b
a a a a a b b b b b
a b
+ + − − − + −
+ − = + − = − − = − − = − − = − =
= − +
17. 17. 17. 17. 17. 
3
5
2
1
10
1
3
2 2
3
5
1
10
2
6 1 20
10
13
10
2
1
3
2
6 1 6
3
1
3
13
10
1
3
2 2 2
2 2 2 2 2
2
m mn m mn mn m
m m m m m mn mn mn mn mn
m mn
− + − + −
+ − =
+ −
=− − − + =
− − +
= −
= − −
18. 18. 18. 18. 18. − + − + − + − −
− + =
− +
= − − =
− −
= −
− + − = − + − = − = −
= − −
3
4
1
2
5
6
2
3
4
1
6
1
3
2
3
4
7
3
9 28
12
19
12
1
2
3
4
2
2 3 8
4
9
4
5
6
1
6
1
3
5 1 2
6
6
6
19
12
9
4
2 2 1
3
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a ab b a ab b b ab
a a a a ab ab ab ab ab
b b b b b b
a ab b
19. 19. 19. 19. 19. 0 4 31
3
8
0 6
2
5
0 2
1
4
6
0 4
2
5
2 2
5
0
3
8
0 2
3 16
8
14
8
0175
0 6
1
4
2 4 1
4
14
4
0 35 31 6 25
0175 0 35 25
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 3
, , ,
, ,
, ,
,
,
, ,
,
, ,
x y xy y x y xy y
x y x y x y xy xy xy xy xy
y y y y y
xy y
+ + − − − + −
− =
−
= − =
−
= =
− + = − + = − = − − =
= − +
20. 20. 20. 20. 20. 
3
25
7
50
3
5
1
25
0 2
1
5
3
25
3
5
0 2
3 15 5
25
13
25
7
50
1
25
1
5
7 2 10
50
1
50
13
25
1
50
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 2
a b a b a b
a a a a a b b b b b
a b
m m m m m m
m m m m m m m m m m
m m
− − − − − −
− − − − − − − − − −
− −
− + − − +
+ − =
+ −
= − − + =
− − +
=
= +
,
,
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1. 1. 1. 1. 1. 3 3 1 2 6ab = ⋅ ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5 5 1 2 3 5 8 3 1202 3 2 3a b c = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. b mn
2 22
1
2
1
3
4
6
2
3
= ⋅ ⋅ = =
4. 4. 4. 4. 4. 24 24
1
2
1
3
1
4
6
1
27
1
4
6
108
1
18
2 3
2 3
m n p= 





 ⋅ = ⋅ ⋅ = =
5. 5. 5. 5. 5. 
2
3
2
3
1 2
1
2
2
3
4
1
8
8
24
1
3
4 2 3 4 2
3
a b m = ⋅ ⋅ ⋅ 

 = ⋅ ⋅ = =
6. 6. 6. 6. 6. 
7
12
7
12
3
1
4
1
2
189
12
1
16
1
2
189
384
63
128
3 2 3
2
c p m= ⋅ ⋅ 

 ⋅ = ⋅ ⋅ = =
7. 7. 7. 7. 7. m n pb c a =







 ⋅ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
3
1
4
1
4
1
27
1
4
1
432
2 3
8. 8. 8. 8. 8. 
5
6
5
6
1
1
2
5
6
1
2
5
12
1 2 2 1
3 2
a mb c− − −
−
⋅ = ⋅ ⋅ 

 = ⋅ =
9. 9. 9. 9. 9. 2 2 2 3 4 9 36 62 2bc = ⋅ ⋅ = ⋅ = =
10.10.10.10.10. 4 12 4
1
2
12 2 3 2 216 2 6 1223 23 3m bc⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
11. 11. 11. 11. 11. mn a b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = =8
1
2
1
3
8 1 2
1
6
64
8
6
4
3
4 3 4 3
12. 12. 12. 12. 12. 
4
3
4 1
3 2 3
4
18
2
9
a
bc
= ⋅
⋅ ⋅
= =
13. 13. 13. 13. 13. 5
5 2
1
2
1
3
1
4
20
1
4
1
12
5
1
12
60
2 2
2
2
b m
np
=
⋅ ⋅ 


⋅
=
⋅
= =
14. 14. 14. 14. 14. 
3
4
2
3
3
4
2
2
3
3
3 8
4
2 9
3
24
4
18
3
6
6
1
3
2
3
2
b
c
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅ = = =
15. 15. 15. 15. 15. 
2 2
1
2
1
3
1
1
9
1
1
3
3
2 2
m
n
=
⋅




= = =
16.16.16.16.16.
24
2
24
1
2
1
3
2
1
3
1
4
24
6
2
1
9
1
16
4
2
1
144
4
2
1
12
4
1
6
24
2 2 2 2
mn
n p⋅
=
⋅ ⋅
⋅ 






=
⋅ ⋅
=
⋅
=
⋅
= =
17. 17. 17. 17. 17. 3 64
2
3 64 2 3
2
1
2
3 64 8 729 3 373 248 3 72 216
3 63 3 63
3 3⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
b c
m
.
18. 18. 18. 18. 18. 
3
5
3
2
125
3
5
1
1
4
2
3
2
125 2
1
2
3
5
4
4
3
2
250
2
3
5
1
3
2
125
3
5
3
2
5
3
5
15
2
6
75
2
25
2
3
2
3 3
3
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
= = =
apb
bm
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
1. 1. 1. 1. 1. a ab b2 2 2 22 3 2 3 4 4 9 24 16 1− + = − ⋅ ⋅ + = − + =
2. 2. 2. 2. 2. c cd d2 2
2 2
2
1
3
2
1
3
1
2
1
2
1
9
1
3
1
4
4 12 9
36
25
36
+ + =

 + ⋅ ⋅ +



 = + + =
+ +
=
3. 3. 3. 3. 3. 
a
c
b
d
+ = + = + =
3
1
3
4
1
2
9 8 17
4. 4. 4. 4. 4. 
c
d
m
n
− + = − + = − + =
− +
= −2
1
3
1
2
6
1
4
2
2
3
24 2
2 72 6
3
64
3
5. 5. 5. 5. 5. 
a b m2 2 2 2 2 2
3 2 6
3
3
4
2
6
6
9
3
16
2
36
6
3 8 6 1− + = − + = − + = − + =
6. 6. 6. 6. 6. 
3
5
1
2
2
3
5
1
3
1
2
4 2
1
2
1
5
2 1
1 10 5
5
4
5
c b d− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− +
= −
7. 7. 7. 7. 7. 
ab
n
ac
d
bd
m
+ − =
⋅
+
⋅
−
⋅
= + − = + − =
+ −
= =
3 4
1
4
3
1
3
1
2
4
1
2
6
12
1
4
1
1
2
2
6
48 2
1
3
144 6 1
3
149
3
49 23
8. 8. 8. 8. 8. b n m+ + = + + ⋅ = + + =
+ +
= =6 4
1
4
6 6 2
1
2
6
4 1 12
2
17
2
8 12
9. 9. 9. 9. 9. c a d b n d3 16 8
1
3
3 3
1
2
16 4
1
4
8
1
2
1
3
3
1
2
16
1
4
2 1 8
1
2
2 16 1
2
13
2
62 2 12− + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− +
= − = −
10. 10. 10. 10. 10. m
d
a
b = 



= = ⋅ =
6
1
2
216
1
16
216 16 3456
3
4 .
111111. 1. 1. 1. 1. 3
4
4
3
1
3
4
4
1
4
6
1
3
4
1
4
6
1
12
1
24
2 1
24
3
24
1
8
2
2
2 2
c
n
m
+ =




+




= + = + =
+
= =
12. 12. 12. 12. 12. 
4
2
16
2
1 2
1
2
8
1
4
1
2
4
8
16
1
1
2
1
2
1 1 1 0
2 2 2 2d n
+ − = ⋅ 

 + ⋅



 − = + − = + − = − =
13. 13. 13. 13. 13. 
a b
c
b m
d
+
−
+
=
+
−
+
= − = − =
3 4
1
3
4 6
1
2
7
1
3
10
1
2
21 20 1
14. 14. 14. 14. 14. 
b a
n
m b
d
a
−
+
−
+ =
−
+
−
+ ⋅ = + + = + + =5
4 3
1
4
6 4
1
2
5 3
1
1
4
2
1
2
15 4 4 15 23
15. 15. 15. 15. 15. 
12
2
16 1 12
1
3
3
2 4
16
1
4
3
6
1
1
2
4 3
8
4 3
6
2
1
8
1
6
2
3 4 48
24
47
24
12324
c a
b
n a
m d
−
−
−
+ =
⋅ −
⋅
−
⋅ −
+ =
−
−
−
+ = − + =
− +
= =
16. 16. 16. 16. 16. 4
3
3
6
6
4 4
3 3
3
6 6
6
16
9
3
36
6
4
3
3
6
6
4 1 1 4b
a m
+ − = ⋅ +
⋅
−
⋅
= + − = + − = + − =
17. 17. 17. 17. 17. b d c d+ − + =
+ ⋅
−
⋅ + ⋅
= + − + = − = − =2
2
3 8
4
4 2
1
2
2
3
1
3
8
1
2
4
2 1
2
1 2
4
3
2
3
4
6 3
4
3
4
18. 18. 18. 18. 18. 
2
3
3 2
4
2 3 4
3
3 2
1
2
4
3
1
4
2 144
3
3
9
4
4
3
1
2
2 12
3
3
3
2
4
3
2
24
3
9
2
4
3
2
8
9
8
3
2
64 9 12
8
61
8
7
2 2 2 2 2
2
5
8
⋅
+
⋅ +
− ⋅ =
⋅ ⋅
+
⋅ + 


− ⋅ =
⋅
+
⋅
− ⋅
=
⋅
+
⋅
− = + − = + − =
+ −
= =
a b d
a n
EJERCICIO 13
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )a b c d+ ⋅ − = + ⋅ − = ⋅ − = − =1 2 3 4 3 3 4 9 4 5
2. 2. 2. 2. 2. ( )( ) ( )( )a b b a+ − = + − = ⋅ =1 2 2 1 3 1 3
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )b m c n a− − + = −

 −



 + ⋅ =
−



−


 + = ⋅ + = + =
+
= =4 2
1
2
3
2
3
4 1
4 1
2
9 2
3
4
3
2
7
3
4
7
2
4
7 8
2
15
2
72 2 12
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( )2 3 4 2 12 3
2
3
4
1
4
2 1 2 1 4 3 5 152 2m n p b+ + = ⋅ + ⋅

 ⋅ +



 = + + = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( ) ( ) ( )4 8 6 4 12 8
1
4
1 2 6
2
3
4 2 2 30 02 2 2 2m p a b n d+ + − = ⋅ +

 + ⋅ −



 = + ⋅ ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )( ) ( )( )( )c b d c b a m p− − − − = − − − −

 = ⋅ ⋅
−


 =3 2 4 3 2 1
1
2
1
4
1 1 1
2 1
4
1
4
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )b c d a m n x2 2 2 2 562 2 3 4 1 12
2
3
2 0 4 7
3 4
6
28
7
6
168 7
6
161
6
26+ − + + = + − +

 + ⋅ = ⋅ −
+


 = − =
−
= =
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )2 6 4 2 1
2
0 6 2 3 4 4 6 4 9 4 16 6 13 64 78 64 142 2 2 2 2 2mx b c d+ + − = ⋅ ⋅ + + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ − = − =
9. 9. 9. 9. 9. 
8
9
16 8
1
2
9
2
3
16
1
4
2
1
4
18
3
4
2
4
6
2
2
3
2
2 6
3
8
3
2 23
m
n
p
b
a+

 =
⋅
⋅
+
⋅









⋅ = + = + = + =
+
= =
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )x m a d cb c a+ + − = + + − = + − = ⋅ =0 1
2
1 4 3
1
2
1 64 3
1
2
62 312 3 1
11. 11. 11. 11. 11. ( )4 4
1
2
1
4
1
1 2
3
4
2 1
4
1 4
9
4
3
4
5
9
3
5
9
27
5
5
2 2
2
2 2
2
2
5
m p
a
a b
c
+
÷
+
=
+


÷
+
=
+


 ÷
+
= ⋅ ÷ = = =
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( )
( )( )( )
2 3 4 8 6 4 9 20
2
1
2
3
2
3
4
1,4
8
1
4
6
2
3
4
1
2
9
2
3
20
1
4
1 2 1 2 4 2 6 5 4 4 11 176
m n p p n m n p+ + + − +
= ⋅ + ⋅ + ⋅

 ⋅ + ⋅ − ⋅



 ⋅ + ⋅



 = + + + − + = ⋅ ⋅ =
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )c m n d m p b n p2 2 2
2 2 2 2
12
1
63
1
2
2
3
4
1
2
1
4
2
2
3
1
4
9
7
6
16
3
4
4
11
12
21
2
12
44
12
126 144 44
12
26
12
2 2
+ − + + +
= +

 − +



 + +



 = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− +
= = =
14. 14. 14. 14. 14. 
c d
a d
m
2 2 2 2
1
2
2 3 4
1
2
4
1
2
9 16
1
2
2
1
2
25
1
2
2
1
2
5
1
2
5
2
2
+
÷







 =
+
÷







 ⋅ =
+
÷





 ⋅ = ÷





 ⋅ = ⋅ = =
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
4 2 18 24 2 8 2 40
4
1
4
2 2 18
2
3
24
1
4
2 8
1
2
2 40
1
4
1 1 4 12 6 2 4 2 11 5 6 2 66 30 132 162
p b n p m p a+ − + + +
= ⋅ + ⋅

 ⋅ − ⋅



 + ⋅ +



 ⋅ +



 = + − + + = ⋅ + ⋅ = + =
16. 16. 16. 16. 16. 
a
d
b
d b
m
p
+
−
⋅
+
=
+
−
⋅
+








=
+
⋅
+
= ⋅
+
= ⋅
+
= ⋅ = ⋅ = =
5
2
1
4
2
4 2
5
2
1
2
1
4
2 4
2
2
5
2
1
4
1
16
6
2
2
5 8
1
16
3
2
5 8
1
16
3
2
13
1
16
3
2
208
624
2
312
2
2
2
2
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )a b c b m n+ ⋅ + − ⋅ = + ⋅ + ⋅ − ⋅ 

 = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = − =
−
= = =2 2 2
2
4
6
2
38 1 2 3 8 2
1
2
2
3
3 25
1
2
2
3
3 5
2
6
15
2
6
90 2
6
88
6
14 14
18. 18. 18. 18. 18. 
( ) ( )a c n
b
c d p
+
+





 ÷ + ⋅ =
+
+
⋅












÷ + ⋅ = +





 ÷ ⋅ = =
2
6 1 3
2
6
2
3
2
3 4
1
4
4
2
4
2
7
1
2
2
7
2
4
7
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( ) ( )
3 32 2 16
2
3 3 2 32
1
2
2 4 1 16
1
4
2
2
3
3 16 6 4
6
2
3 4 6 2 3 12 12 3 3
c b m d a p
n
− ⋅ − − ⋅ −
= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − − = −
20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )
6
2 8
3
2
6 1 2 3
2 8 2
3
1
2
2
3
2 2 1
3 4
2
3
1
4
1 2 3
36
2 16
1
2
2
6
6
8
1
2
1
3
18 12 8
24
22
24
11
12
abc
b
mn
b a
cdnp
abc⋅
+
−
−
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
+ − = + − =
+ −
= =
21. 21. 21. 21. 21. ( )( ) ( )( )a bb a a b a b
2 2
2 2
2 2
2 2
2
33 2 3
1 2
2 1
3 1 2 2 1 3 2
5
3
3 3 8
5
3
72
5 216
3
221
3
73
+
−
+ + + =
+
−
+ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + =
+
= =
22. 22. 22. 22. 22. b
a b b c n m
2
2
2
2
2 2
1
2
1 1 1 1 1 1
2
1
1
1
2
1
2
1
3
1
2
3
1
1
2
4
3
2
5
6
3
2
2 4
5
4
7
2
21
4
49
4
70
4
35
2
17
+ +

 +



 + +




= + +

 +



 + +










= + ⋅

 + +



 = + +



 = + = = =
23. 23. 23. 23. 23. 
( )( )
( )( )
2 3 4 2 4
2
1
2
3
2
3
4
1
4
2 3 4
1
2
2
3
1 2 1 6 4
1
4
4
9
3 7
4
9
21
4
9
189 4
9
185
9
20
2 2
2 2
5
9
m n p c m n+ + −
= ⋅ + ⋅

 ⋅ + ⋅



 −







 = + + − ⋅ ⋅ = ⋅ − = − =
−
= =
24. 24. 24. 24. 24. 
b
c
ab m
n
b m
2 2
3
2
2
3
3
2 1 2
1
2
2
3
2
1
2
3
4
1
2
2
3
3
2
3
7
2
4
9
6
7
4
9
54 28
63
26
63
−
−
−
−
=
−
⋅ ⋅ −
−
−
=
−
− = − = − =
−
=
EJERCICIO 14
1. 1. 1. 1. 1. a b m+ +
2. 2. 2. 2. 2. m b x2 3 4+ +
3. 3. 3. 3. 3. a a+ +1 2;
4. 4. 4. 4. 4. x x− −1 2;
5. 5. 5. 5. 5. y y y+ + +2 4 6; ;
6. 6. 6. 6. 6. ( )$ a x m+ +
7. 7. 7. 7. 7. m n−
8. 8. 8. 8. 8. ( )bs x. − 6
9. 9. 9. 9. 9. ( )x m Km−
10. 10. 10. 10. 10. ( )$ x a m+ −
11. 11. 11. 11. 11. ( )m a b c Km− − −
12. 12. 12. 12. 12. ( )$ n− 300
13. 13. 13. 13. 13. ( )365− x días
14. 14. 14. 14. 14. $ ; $15 ; $8a a ma
15. 15. 15. 15. 15. 2 3
2
a b
c
+ +
16. 16. 16. 16. 16. a b m⋅ 2
17. 17. 17. 17. 17. 23 2n m
18. 18. 18. 18. 18. x m2 2
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )$ ; $3 6a b ax bm+ +
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a b x y+ +
21. 21. 21. 21. 21. ( )$ 8 48x+
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )bs a x. − +8 4
23. 23. 23. 23. 23. 
75
x
sucres
24. 24. 24. 24. 24. $
a
m
25. 25. 25. 25. 25. 
3 000
1
.
n
colones
−
26. 26. 26. 26. 26. 
x
a
soles
−3
27. 27. 27. 27. 27. 
m
m
14
28. 28. 28. 28. 28. 
x
a
km
h
+1
EJERCICIO 15
29. 29. 29. 29. 29. $
a b
m
+
−2
30. 30. 30. 30. 30. x x
x
hab+ +

2 2
.
31. 31. 31. 31. 31. 1000 3
2
4
. − + +






a
a a
sucres
1. 1. 1. 1. 1. m n m n, → +
2. 2. 2. 2. 2. ( )m n m n m n, − → + − = −
3. 3. 3. 3. 3. − → − +3 4 3 4a b a b,
4. 4. 4. 4. 4. 5 6 6 5b a a b, → − +
5. 5. 5. 5. 5. ( )7 6 7 6 7 6 1, − → + − = − =
6. 6. 6. 6. 6. − → − + =6 9 6 9 3,
7. 7. 7. 7. 7. − → − +2 3 2 3x y x y,
8. 8. 8. 8. 8. ( )5 5 5mn m mn m mn m, − → + − = −
9. 9. 9. 9. 9. 5 7 5 7 12a a a a a, → + =
10. 10. 10. 10. 10. ( )− − → − + − = − − = −8 5 8 5 8 5 13x x x x x x x,
11. 11. 11. 11. 11. − → − + =−11 8 11 8 3m m m m m,
12. 12. 12. 12. 12. 9 15 9 15 6ab ab ab ab ab, − → − =−
13. 13. 13. 13. 13. − − → − − =−xy xy xy xy xy, 9 9 10
14. 14. 14. 14. 14. ( )mn mn mn mn mn mn mn, − → + − = − = −11 11 11 10
15. 15. 15. 15. 15. 
1
2
2
3
1
2
2
3
a b a b, − → −
16. 16. 16. 16. 16. 
3
5
3
4
3
5
3
4
b c b c, → +
17. 17. 17. 17. 17. 
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
b b b b b b, → + = =
18. 18. 18. 18. 18. − − → − − = − = −
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
xy xy xy xy xy xy,
19. 19. 19. 19. 19. − −
− − = − =−
3
5
2
5
3
5
2
5
5
5
abc abc
abc abc abc abc
,
20. 20. 20. 20. 20. −
− + = − + = −
4
3
8
4
3
8
32 3
8
29
8
2 2
2 2 2 2
x y x y
x y x y x y x y
,
21. 21. 21. 21. 21. 
3
8
3
4
3
8
3
4
3 6
8
3
8
mn mn
mn mn mn mn
, −
− =
−
= −
22. 22. 22. 22. 22. a b c a b c, , → + +
23. 23. 23. 23. 23. a b c a b c, ,− → − +
24. 24. 24. 24. 24. a b c a b c, ,− → − +2 2
25. 25. 25. 25. 25. 3 2 4 3 2 4m n p m n p, ,− → − +
26. 26. 26. 26. 26. a ab b a ab b2 2 2 27 5 7 5, ,− − → − −
27. 27. 27. 27. 27. x xy y x xy y2 2 2 23 4 3 4, ,− − → − −
28. 28. 28. 28. 28. x x y x x y3 2 3 26 6, ,− → − +
29. 29. 29. 29. 29. 2 3 2 3 5a b a a a b a b, ,− → + − = −
30. 30. 30. 30. 30. − − → − − + =− −m n n m n n m n, ,8 4 8 4 4
31. 31. 31. 31. 31. − − → − + − = −7 8 7 8a a b a a b a b, ,
32. 32. 32. 32. 32. 
1
2
2
3
3
4
1
2
3
4
2
3
4 6
8
2
3
1
4
2
3
x y x
x x y x y x y
, , −
− + =
−
+ =− +
33. 33. 33. 33. 33. − − −
− − − =
− −
− =− −
3
5
2
3
3
5
2
3
3 5
5
2
3
8
5
2
3
m m mn
m m mn m mn m mn
, ,
34. 34. 34. 34. 34. − −
− − + + =− + +
7 5 3
7 5 3 8 5 3
2 2 2
2 2 2 2 2
a ab b a
a a ab b a ab b
, , ,
35. 35. 35. 35. 35. − + − − = −7 17 5 4 10 92 2 2mn mn m m mn m
36. 36. 36. 36. 36. x x x y x y x x y3 3 2 2 3 27 8 4 5 6 4 5− − + + = − − +
37. 37. 37. 37. 37. 5 9 6 7 4 3 72 2 2 2 2x x xy xy y x xy y− + − + = + +
38. 38. 38. 38. 38. − − + − −
= − − −
8 5 11 7
9 6 7
2 2 2 2 3
2 2 3
a b a b ab ab b
a b ab b
39. 39. 39. 39. 39. m m n m n mn n
m m n mn n
3 2 2 2 3
3 2 2 3
8 7 7
7
− + + −
= − + −
40. 40. 40. 40. 40. 
1
2
1
4
2
3
1
5
6
2 1
4
10 3
15
6
1
4
13
15
6
a a b b
a b a b
− + + −
=
−
+
+
− = + −
41. 41. 41. 41. 41. a a b b c c b− − + − + =3 4 8 8
42. 42. 42. 42. 42. m m m m n m n mn
m m n mn
3 3 3 2 2 2
3 2 2
5 5 4 4 7
8 7
+ − − − −
= − −
43. 43. 43. 43. 43. 9 11 6 4 6 8 17 2x x y y z z x y z− − − + − = − −
44. 44. 44. 44. 44. 6 9 5 7 8 11
15 5 15 11
2 2 2 2
2 2
a a ab b b
a ab b
+ − − − −
= − − −
45. 45. 45. 45. 45. − + − + − −
= − −
x y x y xy xy y
xy y
2 2 2 2 3 3 4
3 4
5 7 4 8
2 4 8
46. 46. 46. 46. 46. 3
1
2
1
2
4 6
6 1
2
1 2
2
2
5
2
1
2
2
a a b b
a b a b
− + − − +
=
−
+
−
+ = − +
47. 47. 47. 47. 47. 
1
2
3
4
2
3
1
3
5
6
5
6
2 3
4
2 1
3
5
4
1
3
2 2 2 2
2 2
x x xy xy y y
x xy x xy
+ + − + −
= + + − = +
48. 48. 48. 48. 48. 5 5 6 5 8 81 1 1 2 2ax ax a a a a ax x x x x− − + + + =+ + + + +
49. 49. 49. 49. 49. 
3
4
2
3
1
3
1
3
5
3 4
4
3
3
1 15
3
7
4
16
3
2 2 2 2
2 2 2 2
x x xy xy y y
x xy y x xy y
+ − − + +
=
+
− +
+
= − +
50. 50. 50. 50. 50. 
3
4
1
4
1
2
1
2
5
6
3 1 4
4
3 3 5
6
3
2
1
6
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b a b ab ab ab
a b ab a b ab
− + + + −
= − + + + − = +,EJERCICIO 16
1. 1. 1. 1. 1. 3 2
2 3
5 5
a b c
a b c
a b
+ −
+ +
+
2. 2. 2. 2. 2. 7 4 5
7 4 6
a b c
a b c
c
− +
− + −
−
3. 3. 3. 3. 3. m n p
m n p
+ −
− − +
0
4. 4. 4. 4. 4. 9 3 5
4
5 4 9
3
x y
x y
x y
x
− +
− − +
− + −
5. 5. 5. 5. 5. a b c
a b c
a b c
b
+ −
+ −
− − +
2 2 2
3 3
2
6. 6. 6. 6. 6. p q r
p q r
p q r
r
+ +
− − +
+ −
−
2 6 3
5 8
4
7. 7. 7. 7. 7. − − +
− −
− + +
−
7 4 6
10 20 8
5 24 2
2
x y z
x y z
x y z
x
8. 8. 8. 8. 8. − + −
− +
− + −
− − −
2 3 6
3 8 8
5 10
4 4 8
m n
m n
m n
m n
9. 9. 9. 9. 9. − − −
− +
− + −
− −
5 2 3
7 3 5
8 5 3
6
a b c
a b c
a b c
a c
10.10.10.10.10. ab bc cd
ab bc cd
ab bc cd
ab
+ +
− − −
+ +
−
8 3 3
5 2 2
2
11. 11. 11. 11. 11. ax ay az
ax ay az
ax ay az
ay az
− −
− − −
+ +
+
5 7 6
4 9 8
12. 12. 12. 12. 12. 5 7 8
4 6
3 8 9
2 23
x y
x y
x y
x
− +
− − +
− + +
− +
13. 13. 13. 13. 13. − + −
− − +
− −
−
am mn s
am mn s
am mn s
am mn
6 4
5 6
3 5 2
4
14. 14. 14. 14. 14. 2 3
6 4
8
9 4
a b
b c
a c
a b c
+
−
− +
+ +
15. 15. 15. 15. 15. 6 3
4 5
5
5 7
m n
n p
m p
m n
−
− +
− −
−
16. 16. 16. 16. 16. 2 3
5 4
8 6
7 9
10 3 12 7
a b
c
a
c
a b c
+
+ −
+
+ −
+ + −
17. 17. 17. 17. 17. 2 3
5 9
6 4
3 5
8 5
x y
z
x
y
x z
−
+ +
−
−
+
21. 21. 21. 21. 21. 5 3 7
8 5 9
11 5 16
14 7
a a a
a a a
a a a
a a
x m n
x m n
x m n
x m
− −
− + −
− + +
− +
22.22.22.22.22. 6 7 5
4 7
5 3 12
5 11 6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
m m m
m m m
m m m
m m m
a a a
a a a
a a a
a a a
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
− −
− −
− + +
− +
23. 23. 23. 23. 23. 8
3 4 2 3
4 5 3 4
9 2
3 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
y z u
+ + +
− − − +
+ + −
− − + +
+ +
7. 7. 7. 7. 7. m n
n mn
m n
m mn
2 2
2
2 2
2
4 3
5 5
4 3
+
+ −
− −
− −
8. 8. 8. 8. 8. 3
4 5
4 6
3 1
3
2
3 2
x x
x
x x
x
+
− +
− + −
−
9. 9. 9. 9. 9. x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 2
3
3 2
− +
− + −
+ −
+ −
10. 10. 10. 10. 10. a ab b
a ab b
a ab b
b
2 2
2 2
2 2
2
3
5
2 8
− +
+ − −
− + −
−
11. 11. 11. 11. 11. − + −
+ −
− − +
− + −
7 5 6
4 8 9
7 14
4 6 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
18. 18. 18. 18. 18. 8 3
5
7 4
19 3
a b c
a b c
a b c
a b c
a c
+ −
− +
− − −
− +
+
19. 19. 19. 19. 19. 7 2 4
9 6 5
3 6
8 3 5
15 7 3 10
x y
y z
y z
x y
x y z
+ −
+ − +
− + −
− −
+ − −
20. 20. 20. 20. 20. − − −
+ −
− + +
+ −
− + + −
m n p
m n
m p
m n
m n p
2 5
6 3 4
5 2 8
3 2 9
24. 24. 24. 24. 24. a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a c
+ − +
− + −
− + − +
− − + −
− +
2 3 2
3 3 4
3 2
25. 25. 25. 25. 25. 5 3 4
2 2 3
2 4 3
3 6
2
ab bc cd
bc cd de
ab bc de
ab bc cd
ab
− +
+ + −
− + +
− − −
26. 26. 26. 26. 26. a b
b c
c d
a c
c d
a d
a d
a
−
−
+
−
−
− +
−
2
12. 12. 12. 12. 12. a a
a a
a a
a a a
3
3 2
2
3 2
4 5
2 6
7 4
2 11 15
− +
− +
+ − +
− − +
13. 13. 13. 13. 13. − + −
− +
− + −
− + −
x x
x x
x x
x x
2
3 2
3
2
6
7 5
8 5
8 9 6
14. 14. 14. 14. 14. a b
a b ab
a ab b
a a b ab b
3 3
2 2
3 2 3
3 2 2 3
5 4
7
2 5 11 2
−
+ −
− −
+ − −
15. 15. 15. 15. 15. x xy y
x x y y
x xy y
x x y xy y
3 2 3
3 2 3
3 2 3
3 2 2 3
5
2 4 5
4 5 3 5
+ +
− −
− −
− − −
16. 16. 16. 16. 16. − +
+ + −
− + +
+ +
7 4
6
7 5
6 8
2 3
3 2 3
3 2 3
2 3
m n n
m mn n
m m n n
mn n
1. 1. 1. 1. 1. x x
x x
x x
2
2
2
4
5
2
+
−
−
2. 2. 2. 2. 2. a ab
ab b
a ab b
2
2
2 2
2
+
− +
− +
3. 3. 3. 3. 3. x x
x
x x x
3
2
3 2
2
4
2 4
+
− +
− + +
4. 4. 4. 4. 4. a a
a a
a a a a
4 2
3
4 3 2
3
4
3 4
−
+ +
+ − +
5. 5. 5. 5. 5. − +
+
− + +
x x
x
x x x
2
3
3 2
3
6
3 6
6. 6. 6. 6. 6. x x
x
x
x x
2
2
2
4
7 6
3 5
4 11 1
−
− +
−
− +
EJERCICIO 17
17. 17. 17. 17. 17. x x x
x x
x x
x x x x
4 2
3 2
2
4 3 2
4 5
7 4 6
2 3 11
− +
+ − +
+ − +
+ + − +
18. 18. 18. 18. 18. + + +
+ − +
+ − −
+ + + − −
a a
a a
a a
a a a a a
6 4
5 3
3 2
6 5 4 3 2
6
3 8
14
2
19. 19. 19. 19. 19. x x
x x
x x
x x x x x
5
4 2
3
5 4 3 2
9
3 7 6
3 4 5
3 3 7 3 2
+ −
+ − +
− − +
+ − − − +
20. 20. 20. 20. 20. a a
a
a a
a
a a
3
2
2
2
3
5
4 7
8 6
5 1
+
+ +
+ +
− −
+ −
21. 21. 21. 21. 21. x x y
x y xy
xy y
x y
x x y x y xy y
4 2 2
3 3
3 4
2 2
4 3 2 2 3 4
5 6
4
4 6
5 5 2 6
−
− +
− +
− −
− − + + −
22. 22. 22. 22. 22. + +
− + −
− + +
− − +
− + −
x xy
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 7
6 5
6 4
7 7
23. 23. 23. 23. 23. a ax x
ax x a x
a x a x
a ax x
a x
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3
3 3
8
6 5
3 5
14
5 2
− +
− − +
− −
+ −
−
24. 24. 24. 24. 24. − + −
+ − +
− + −
+ − −
− + − −
8 6
5
4 4 3
7 4 6
3 3 6 6
2 2 3
3 2 3
3 2 2
2 2
3 2 2
a m am m
a am m
a a m am
a m am
a a m am
25. 25. 25. 25. 25. x x y xy
x y x y y
x y xy y
x xy y
x x y x y x y
5 3 2 4
4 2 3 5
3 2 4 5
5 4 5
5 4 3 2 2 3
2 3
3 4
5 2
2 2 2 3
− −
+ + −
+ − −
+ +
+ + +
26. 26. 26. 26. 26. a a a
a a
a a
a a a
a a a
5 6 2
4 3
2
5 2
6 4 3
6
3 8 5
4 6 5
4
+ +
+ + +
+ − +
− − + −
+ + + +
27. 27. 27. 27. 27. a b
a b a b ab
a a b a b
a b a b b
a ab b
4 4
3 2 2 3
4 3 2 2
3 2 2 4
4 3 4
3 5 4
4 3 3
2 4
−
− + −
− + −
− + −
− − −
28. 28. 28. 28. 28. m n m n
n m n mn
m n mn
m n m n
mn
3 3 2
3 2 2
3 3 2
3 3 2
2
6
4 5
6
2 2
11
− +
+ − +
− +
− + −
29. 29. 29. 29. 29. a a
a a
a a
a a
a a a a
x x
x x
x x
x x
x x x x
−
+ +
+ +
+ −
+ − +
−
− −
− −
− −
− − −
3
5 6
7
13
6 3
2
1 3
3 4
1 3
1 2 4
30. 30. 30. 30. 30. − + +
− − +
− + −
+ − +
− + + −
⇒ − + −
+ +
+ − −
+ +
− − +
+ + +
+ + +
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2
3 1 2
3 2
1 2 2
1 3 2
3 2 1
3
4 5
2 3
3 2
EJERCICIO 18
1. 1. 1. 1. 1. 
1
2
1
3
1
2
1
4
1
2
2 3
6
1
4
1
2
5
6
1
4
2
2
2 2 2 2
x xy
xy y
x xy y x xy y
+
+ +
+
+
+ = + +
2. 2. 2. 2. 2. a ab
ab b
ab b
a ab b a b
2
2
2
2 2 2 2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
5
2 1 1
4
5 2
10
3
10
+
− +
− −
+
− −
+
−
= +
3. 3. 3. 3. 3. x xy
xy y
xy y
x xy y
x xy y x xy y
2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
3
1
6
5
6
2
3
4 1 5
6
3 2
3
2
6
5
3
1
3
5
3
+
− +
− +
+
− −
+
+
= − + = − +
4. 4. 4. 4. 4. 
3
4
1
2
2
5
1
6
1
10
1
3
3
4
4 1
10
3 1 2
6
3
4
3
10
2 2
2
2
2 2 2
x y
xy y
xy y
x xy y x xy
−
− +
+ +
+
− +
+
− + +
= −
5. 5. 5. 5. 5. 
2
3
1
5
1
2
5
6
1
10
1
6
1
12
1
20
1
3
8 10 1
12
4 2 1
20
3 1 2
6
17
12
3
20
4
6
17
12
3
20
2
3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
a ab b
a ab b
a ab b
a ab b
a ab b a ab b
+ −
− +
− + −
+ −
+
− +
+
− + −
= + − = + −
6. 6. 6. 6. 6. 
5
6
2
3
3
4
1
6
1
8
1
2
1
3
1
4
5
6
5 1 2
6
16 3 6
24
9 6 10
12
2
6
7
24
13
12
1
3
13
12
7
24
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x y xy
x y xy
x y xy
x y xy
x y xy x xy y
− +
− + −
− + +
− −
+
− + +
+
− +
= − + ⇒ + −
7. 7. 7. 7. 7. a ab b
ab b a b
a b a b
a ab b a b
a ab b a b a a b ab b
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
1
2
3
8
2
5
6
1
4
3
5
1
2
4 1
4
4 3
8
5 10 3
5
5 3
6
5
4
7
8
8
5
2
6
5
4
1
3
7
8
8
5
− +
− − +
− −
+
+
− −
+
− −
+
−
= − − + ⇒ + − −
8. 8. 8. 8. 8. x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x x x x
4 2
3
4 3
4 2 3
4 2 3 4 3 2
5
3
2
3
3
8
3
5
5
6
3
4
5 3
5
2
4 5
6
3 6
8
2
5
2
9
6
9
8
2
5
3
2
9
8
2
− +
− + −
− + −
−
− + +
+
+
− −
= − + + − ⇒ + − − +
9. 9. 9. 9. 9. 
2
3
1
4
2
5
1
8
3
5
1
6
1
2
2 3
3
2 1
8
2 3 5
5
1 3
6
5
3
1
8
6
5
2
6
5
3
1
3
1
8
6
5
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
m mn n
mn n m n
m n m n
m mn n m n
m mn n m n m m n mn n
− +
+ − +
− −
+
+
− +
+
− −
+
−
= − − − ⇒ − − −
10. 10. 10. 10. 10. x x y y
x x y y xy
x y y x y
x x y y xy x y
x x y y xy x y
x x y x y xy y
4 2 2 4
4 2 2 4 3
2 2 4 3
4 2 2 4,3 3
4 2 2 4 3 3
4 3 2 2 3 4
2
2
7
5
6
3
8
1
14
1
6
1
4
1
7
5
6
6 5
6
16 3 2
8
4 1 2
14
1
6
5
6
1
6
17
8
5
14
1
6
5
6
1
6
5
6
17
8
1
6
5
14
+ +
− + − −
− + −
−
+
+ −
+
− +
− −
= + + − −
⇒ − + − +
11. 11. 11. 11. 11. x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
5 3
5 2
3 2 4
3
5 3 2 4
5 3 2 4
5 4 3 2
2
3
4
5
3
1
10
3
8
1
6
1
4
2
3
1
12
3
5
4
2
8 2 1
12
8 1 6
10
3 2
8
2
3
4
2
7
12
13
10
1
8
2
3
4
2
2
3
7
12
1
8
13
10
4
− +
− − +
+ − −
− + −
− +
− + −
+
− +
+
−
− −
= − − + + − −
⇒ − − − + + −
12.12.12.12.12.
2
9
5
6
1
3
3
7
7
8
1
9
2
3
1
2
1
4
2 6
9
6 7
14
20 21 6
24
3 1
9
4
9
1
14
7
24
4
9
3 2 3
2 2 3
3 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
a ax x
a x ax x
a a x ax
a a x ax x
a a x ax x
+ −
− − −
− + −
−
+
− +
+
− −
+
− −
= − + − −
13. 13. 13. 13. 13. a a a
a a a
a a
a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
6 4 2
5 3
4 2
6 4 2 5 3
6 4 2 5 3
6 5 4 3 2
3
5
3
8
1
2
3
7
5
8
6
3
8
6
7 3
7
8 5
8
3
5
3
8
4 3
8
10
7
3
8
3
5
3
8
7
8
3
5
10
7
3
8
3
8
7
8
− +
+ − −
− − +
− −
+
− −
+
−
+ − +
− −
= − + + − −
⇒ + − − + −
14. 14. 14. 14. 14. x y
x y xy y
y x y x y
x y y x y
x x y xy y x y x y
x x y xy y x y x y
x x y x y x y xy y
5 5
3 2 4 5
5 4 2 3
3 2 5 4
5 3 2 4 5 4 2 3
5 3 2 4 5 4 2 3
5 4 3 2 2 3 4 5
1
10
3
4
1
6
1
9
3
5
5
6
2
5
1
3
2
1 4
10
3
4
18 3 2 6
18
3 10
5
5
6
3
10
3
4
29
18
13
5
5
6
13
5
3
10
5
6
3
4
29
18
−
+ − −
− + −
− − +
+
−
− +
− − − −
+
+
−
= − − − + −
⇒ + − − − −
EJERCICIO 19
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
1. 1. 1. 1. 1. 4 5
3 6 8
2 8
2 4 8 8 8 0
x y
x y
x y
y
−
− + −
− +
−
⇒ ⋅ − = − =
2. 2. 2. 2. 2. x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
5 8
10 30
6 5 50
6 10 72
6 5 10 5 72 6 25 50 72
150 50 72 172
− +
− + −
− + −
− + −
⇒ − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + −
= − + − = −
3. 3. 3. 3. 3. x y
x x y
x x y xy
x y x y x y xy
x x y x y xy y
4 4
4 2 2
4 3 3
4 4 2 2 3 3
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
2 5 8
4 7 10
5 8 7 10
7 5 10 8
5 7 5 4 5 5 4 10 5 4 4 8
625 28 125 5 25 16 50 64 256 8
625 3 500 2 000 3 200 256 8 3 811
−
− −
− + +
− − − − + +
⇒− + − + − −
= − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −
= − + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − −
= − + − + − − =. . . .
4. 4. 4. 4. 4. 3 5 6
6 20 8
12 20 12
9 45 2
9
2
3
45
1
5
2
18
3
45
5
2 6 9 2 1
m n
m n
m n
m n
− +
− − +
− −
− +
⇒ ⋅ − ⋅ + = − + = − + = −
5. 5. 5. 5. 5. nx cn ab
nx cn ab
nx ab
nx cn ab
+ −
− −
− −
− − −
⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
= − − ⋅ −
= − − − =−
8 2
5
10 3 5
10
1
5
5 10
1
5
3 2 3 5
50
5
10
5
6 3 5
10 2 18 5 15
6. 6. 6. 6. 6. a b
a b ab b
a ab
a b b
a ab b
3 3
2 2 3
3 2
2 3
3 2 3
3 2 3
3 8
5 6 8
3 2
4 2 2 8
4 2 2 2 3 2 3 8
4 8 4 9 2 27 8
32 36 54 8 42
+
− + −
− − +
+ −
− + − +
⇒− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ +
= − + − + = −
7. 7. 7. 7. 7. 27 125
9 25
14 8
10 11
27 22 125 8
27
2
3
2
3
1
5
22
2
3
1
5
125
1
5
8
27
8
27
4
9
1
5
44
3
1
25
125
1
125
8
8
4
45
44
75
1 8
4
45
44
75
1
20 132
3 3
2 2
2
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
m n
m n mn
mn
m n mn
m mn mn n
+
− +
− −
+ +
+ + + −
⇒ ⋅ 

 +



 ⋅ + ⋅ ⋅



 + ⋅



 −
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −
= + + + − = + +
=
+ + 225
225
377
225
1152225= =
8. 8. 8. 8. 8. x y m
x y m
y m
x y m
a b x
a b x
b x
a b x
− − −
− − −
− −
− − −
− −
−
+ +
− −
+ −
+ −
⇒ ⋅ + ⋅ − 

 = + − =
1 2 4
1 2 4
2 4
1 2 4
2 1 3 2
5 4
2 2 2
3 2
3 2 3
3 5 2 4 3
2
3
15 8 2 21
9. 9. 9. 9. 9. n m
n m
n m
m
b x
b x
b x
x
− −
− −
− −
−
−
− +
− − +
+ −
⇒ 

 =



 =
1 3
1 3
1 3
3
5 3 2
8
5 3 10
4 5 18
2
3
2
3
4
9
10. 10. 10. 10. 10. x y xy
x y x x y
xy x y
xy y
x y xy x y
x x y xy y
3 3
3 4 2 2
3 2 2
3 4
3 3 4 4
4 3 3 4
4 3 3 4
5
5 6
6 2
3 1
6 4 2
6 4 2
5 6 5 4 4 5 4 4 2
625 24 125 20 64 256 2
625 3 000 1280 256 2 2 091
− +
− + −
− + +
+ + −
− + + −
⇒ + − − +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − +
= + ⋅ − ⋅ − +
= + − − + =. . .
11. 11. 11. 11. 11. 
3
4
2
3
1
3
1
9
1
6
1
3
3
4
2 1
6
6 1 3
9
3
4
1
6
4
9
3
4
2
1
6
2 3
4
9
3
3
4
4
1
6
6
4
9
9 3 1 4 6
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
a b
ab b
ab b
a ab b
a ab b
+
− +
+ −
−
− +
+
+ −
= − +
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
12. 12. 12. 12. 12. 
9
17
25
34
1
4
7
34
5
17
1
2
15
7
34
1
4
30
3
18 7 7
34
25 10
34
1 2 1 12
4
45
18
34
35
34
12
4
45
9
17
45
35
34
3
9
17
2
3
45
2
3
1
5
35
34
1
5
3
9
17
4
9
90
15
35
34
1
25
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
m n
m n mn
m mn
m n mn
m n mn
m mn n
+ −
+ + −
− − −
+
+ −
+
+
+
− + − +
−
= + + −
⇒ − + +
= 

 − ⋅ ⋅ +



 +
= ⋅ − + ⋅ +
= − + + = + −
=
+ −
= − = −
4
17
6
35
850
3
4
17
7
170
3
40 7 510
170
463
170
2 123170
14. 14. 14. 14. 14. 0 2 0 4 0 5
0 6 0 3 0 8
0 4 0 8 6
0 2 15 0 9
01 01 6
01 01 6
01 2 3 2 3 01 3 6
0 3 4 2 9 01 27 6
12 18 2 7 6
25 5
3 2 2
2 2 3
3 2
3 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
, , ,
, , ,
, ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
a ab a b
ab a b b
a a b
a a b b
ab a b b
a b ab b
+ −
+ − −
− − +
+ +
− + +
⇒− + + +
= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= − + + +
=
13. 13. 13. 13. 13. 1
2
3
5
2
3
4
1
10
6
1
4
1
25
4
1
8
2
3
5
4 6 2 1
8
30 5 2 100
50
10 30 20 3
5
7
8
67
50
43
5
7
8
3
2
3
67
50
10
1
5
43
5
7 9 2
24
67
50
43
5
126
24
670
250
43
5
21
4
67
25
43
5
525 268 860
100
1 653
100
16
2
2
2
2
2
2 2
53
100
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
− −
− +
− + +
− + +
+ − −
+
− − + +
+
− + + +
⇒ + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
=
⋅ ⋅
+ + = + + = + +
=
+ +
= =
.
EJERCICIO 20
1. 1. 1. 1. 1. − − = −8 5 13
2. 2. 2. 2. 2. − − = −7 4 11
3. 3. 3. 3. 3. 8 11 3− = −
4. 4. 4. 4. 4. ( )− − − = − + =8 11 8 11 3
5. 5. 5. 5. 5. ( )− − − = − + =1 9 1 9 8
6. 6. 6. 6. 6. 2 3 2 3a b a b− = −
7. 7. 7. 7. 7. 3 2 3 2b b− = −
8. 8. 8. 8. 8. 4 6 4 6x b x b− = −
9. 9. 9. 9. 9. − − =− −5 6 5 6a b a b
10. 10. 10. 10. 10. ( )− − − =− +8 3 8 3x x
11. 11. 11. 11. 11. − − =− −9 5 9 52 2 2 2a b a b
12. 12. 12. 12. 12. ( )− − − = − +7 5 7 5xy yz xy yz
13. 13. 13. 13. 13. 3 4a a a− =−
14. 14. 14. 14. 14. 11 25 142 2 2m m m− =−
15. 15. 15. 15. 15. ( )− − − = − + = −6 6 52 2 2 2 2x y x y x y x y x y
16. 16. 16. 16. 16. ( )11 7 11 7 183 2 3 2 3 2 3 2 3 2a m a m a m a m a m− − = + =
17. 17. 17. 17. 17. ( )− − − = − + =8 8 8 8 02 2 2 2ab ab ab ab
18. 18. 18. 18. 18. ( )31 46 31 46 772 2 2 2 2x y x y x y x y x y− − = + =
19. 19. 19. 19. 19. ( )− − − = − + =84 84 84 84 02 2 2 2a b a b a b a b
20. 20. 20. 20. 20. 3 5 3 51 2 1 2a b a bx x x x+ + + +− = −
21. 21. 21. 21. 21. − − =− −+ +8 11 8 112 2x xa a
22. 22. 22. 22. 22. ( )6 5 6 5 11a a a a an n n n n− − = + =
23.23.23.23.23. ( )− − − = − + =− − − − −45 60 45 60 151 1 1 1 1a a a a ax x x x x
24. 24. 24. 24. 24. ( )54 86 54 86 1401 1 1 1 1b b b b bn n n n n− − − − −− − = + =
25.25.25.25.25. ( )− − − = − + =35 60 35 60 25m m m m ma a a a a
26. 26. 26. 26. 26. 5
1
2
5
1
2
10 1
2
11
2
5 12− −



 = + =
+
= =
27. 27. 27. 27. 27. − − =
− −
= −
2
3
3
4
8 9
12
17
12
28. 28. 28. 28. 28. 
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
2 2 2 2 2 2x x x x x x− −

 = + = =
29. 29. 29. 29. 29. 
4
5
5
6
24 25
30
49
30
3 3 3 3x y x y x y x y− −

 =
+
=
30. 30. 30. 30. 30. − − −



 =
− +
=
1
8
3
4
1 6
8
5
8
2 2 2 2ab ab ab ab
31. 31. 31. 31. 31. − − = −2 3 5
32. 32. 32. 32. 32. ( )7 1 7 1 8− − = + =
33. 33. 33. 33. 33. ( )− − − = − + = −8 5 8 5 3
34. 34. 34. 34. 34. ( )5 4 5 4 9− − = + =
35. 35. 35. 35. 35. ( )− − − = − + =7 7 7 7 0
36. 36. 36. 36. 36. ( )2 5 2 5a a− − = +
37. 37. 37. 37. 37. − − =− −3 3x b x b
38. 38. 38. 38. 38. − − =− −2 5 2 5n m n m
39. 39. 39. 39. 39. ( )3 6 6 3b a a b− − = +
40. 40. 40. 40. 40. ( )8 5 5,83 3b a a b− − = +
41. 41. 41. 41. 41. ( )− − − =− +7 9 7 9a a
42. 42. 42. 42. 42. ( )25 25 25 25ab ab− − = +
43. 43. 43. 43. 43. ( )3 3 4a a a a a− − = + =
44. 44. 44. 44. 44. ( )− − − = − + = −4 3 4 3b b b b b
45. 45. 45. 45. 45. ( )54 11 54 11 653 3 3 3 3x x x x x− − = + =
46. 46. 46. 46. 46. 78 14 642 2 2a b a b a b− =
47. 47. 47. 47. 47. ( )− − − = − + = −54 43 54 43 112 2 2 2 2a y a y a y a y a y
48. 48. 48. 48. 48. − − =−ab ab ab9 10
49. 49. 49. 49. 49. ( )− − − = − + =31 31 31 31 02 2 2 2x y x y x y x y
50. 50. 50. 50. 50. − − = −3 4a a ax x x
51. 51. 51. 51. 51. ( )311 7 311 7 3181 1 1 1 1a a a a ax x x x x+ + + + +− − = + =
52. 52. 52. 52. 52. 105 9 96m m mx x x− =
53. 53. 53. 53. 53. − − =−− − −31 18 491 1 1a a ax x x
54.54.54.54.54. ( )− − − = − + = −236 19 236 19 217m m m m ma a a a a
55. 55. 55. 55. 55. − − =−+ + +85 54 1392 2 2a a ax x x
56. 56. 56. 56. 56. ( )1
4
6
1
4
6− − = +a a
57. 57. 57. 57. 57. ( )− − − =
− +
=
2
3
5
2 15
3
13
3
58. 58. 58. 58. 58. − −
=
− −
= − = −
7
10
3
8
56 30
80
86
80
43
40
3 3
3 3 3
m m
m m m
59. 59. 59. 59. 59. 
5
6
11
12
10 11
12
21
12
7
4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b a b
a b a b a b
− −


=
+
= =
60. 60. 60. 60. 60. − −
=
− −
=
−
= −
1
9
45
1 405
9
406
9
45
3 2 3 2
3 2 3 2 1
9
3 2
a b a b
a b a b a b
EJERCICIO 21
1.1.1.1.1. a b
a b
b
+
− +
2
2. 2. 2. 2. 2. 2 3
2
3 5
x y
x y
x y
−
−
−
3. 3. 3. 3. 3. 8
3 4
11 4
a b
a
a b
+
−
+ −
4. 4. 4. 4. 4. x x
x
x x
2
2
3
5 6
2 6
−
−
+ −
5. 5. 5. 5. 5. a a b
a b ab
a a b ab
3 2
2 2
3 2 2
7 9
8 9
−
− −
− −
6. 6. 6. 6. 6. x y z
x y z
− +
− + −
0
7. 7. 7. 7. 7. x y z
x y z
x y z
+ −
+ −
+ −2 2 2
8. 8. 8. 8. 8. x y xy
x y xy
x y xy
x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 4
2 2
2 2
+ −
− + +
− + +
⇒ − + +
9. 9. 9. 9. 9. x x
x x
x x x
3 2
2
3 2
6
5 6 4
6 4
− +
− − +
− +
10. 10. 10. 10. 10. y y
y y y
y y y y
y y y y
2 3
2 4
2 4 3
4 3 2
6 8
3 2 6
4 2 6 6 8
2 6 4 6 8
+ −
− −
− + − −
⇒ − + + − −
11.11.11.11.11. a ab a
a a b
a ab a a b
a a b ab a
3 2
2
3 2 2
3 2 2
6 9
8 15 5
6 17 15 5
15 6 17 5
− +
+ − −
− + − −
⇒ − − + −
12. 12. 12. 12. 12. x xy y
y x y x y
x xy y x y x y
x x y x y xy y
4 3 4
4 3 2 2
4 3 4 3 2 2
4 3 2 2 3 4
9 11
20 8 6
9 31 8 6
8 6 9 31
+ −
− + +
+ − + +
⇒ + + + −
13. 13. 13. 13. 13. a b c d
a b c d
a b
+ + −
+ − +
+2 2
14. 14. 14. 14. 14. ab ac cd de
ab ac cd de
ab ac cd de
+ − −
− + + −
− + + −
2 3 5
8 4 5 5
7 6 2 10
15. 15. 15. 15. 15. x x x
x x x
x x x
3 2
3 2
3 2
6 9 19
6 11 21 43
5 17 30 24
+ − −
− + − +
− + − +
16. 16. 16. 16. 16. y y y
y y y y
y y y y y y y y y y
5 3 2
3 2 4
5 3 2 4 5 4 3 2
9 6 31
31 8 11 19
40 14 11 19 31 11 40 14 19 31
− + −
− + + +
− + + + − ⇒ + − + + −
17. 17. 17. 17. 17. 5 9 6 8
5 21 14 18
9 27 22 18 27 22 9 18
3 3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 2 3
m n m n mn
m m n mn
n m n mn m n mn n
− + −
− + − +
− + − + ⇒ − − +
18. 18. 18. 18. 18. 4 19 6
25 51 32
29 32 38 29 38 32
3 3 4 2 2
3 3 2 2 4
3 3 4 2 2 4 4 3 2 2 3 4
x y xy y x y
x y xy x y x
x y xy y x y x x x y x y xy y
− + −
+ − +
+ + − + ⇒ + − + +
19. 19. 19. 19. 19. m m n m n
m n m n mn
m m n m n m n mn m m n m n m n mn
6 4 2 2 4
2 4 3 3 5
6 4 2 2 4 3 3 5 6 4 2 3 3 2 4 5
9 19
30 61 13 16
21 80 13 16 13 21 16 80
+ − +
+ + + −
+ + + + − ⇒ + + + − +
20. 20. 20. 20. 20. − + − +
+ + −
− + + + − − +
a b a b ab
a a b a b b
a a b a b a b a b ab b
5 3 3 5
6 4 2 2 4 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 18 42
8 11 11 9
8 11 6 11 18 9 42
21. 21. 21. 21. 21. 1 3 6
24 30 8 15
25 29 7 12 6 6 7 29 12 25
2 4 3 5
2 4 6
2 4 3 5 6 6 5 4 3 2
− + − + −
+ − − +
+ − − − − + ⇒ − − − + − +
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
22. 22. 22. 22. 22. − + − + −
+ + − + −
− + + + − + − ⇒ + + − − + −
6 8 23 80 18
51 21 80 9
6 8 28 101 98 9 8 28 101 6 9 98
2 3 5 4 3 2
4 3 2 5 4
2 3 5 4 3 2 5 4 5 4 3 2 2 3 4 5
x y x x y x y
x y x y y xy
x y x x y x y y xy x x y x y x y xy y
23. 23. 23. 23. 23. m m n m n mn
m n m n mn n
m m n m n m n m n mn n
6 4 2 2 4 5
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
8 21 6 8
23 14 24 8 14
23 8 14 21 18 8 22
− + − +
− + − +
+ − − + + − +
24. 24. 24. 24. 24. x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
7 5 2
6 4 3
7 5 2 6 4 3 7 6 5 4 3 2
8 16 23 15
51 18 8 25 30
59 16 23 3 8 25 30 8 16 25 30 23 59 3
− + − −
− + + − +
− + − + + − + ⇒ + + − + − − +
25. 25. 25. 25. 25. 9 15 31 14
15 3 25 53 9
9 31 4 25 53 9 14 9 25 53 31 9 4 14
6 4 2 2 4 6
4 2 6 5 3 3 5
6 2 4 6 5 3 3 5 6 5 3 3 2 4 5 6
a a b a b b
a b b a b a b ab
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
− + − +
+ − − − +
+ − − − + + ⇒ − − + + − +
26. 26. 26. 26. 26. 
a a a
a a a
a a
x x x
x x x
x x
+ −
− + +
− +
+ +
+ +
+
1 2
1 2
1
5 6
4 7
27. 27. 27. 27. 27. m m m
m m m m
m m m m m m m m m m
a a a
a a a a
a a a a a a a a a a
− +
− − −
− − − − ⇒ − + − − −
− −
− + −
− − + − + − − −
1 2
2 1 3
1 2 1 3 1 1 2 3
3
4 5 3 8
5 2 3 8 3 5 2 8
28. 28. 28. 28. 28. a a a a
a a a a
a a a a a a a a a a a a
m m m m
m m m m
m m m m m m m m m m m m
+ + −
+ − + +
+ + − + + + + + + −
− − +
+ + + +
+ − + + + ⇒ + + + − +
4 2 1
2 1 3 1
4 2 1 3 1 4 3 2 1 1
7 8 6
14 8 5 11
7 8 14 5 11 5 7 11 8 14
29. 29. 29. 29. 29. x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
a a a a
a a a a
a a a a a a a a a a a a
+ − −
− + −
+ − − + − + + − − −
− + +
− − + −
− − + + − ⇒ + − − + −
2 1 2
1 1 3
2 1 2 1 3 2 1 1 2 3
7 9 25
19 45 11 60
26 36 25 11 60 11 26 36 25 60
30. 30. 30. 30. 30. m m m m
m m m m m
m m m m m m m m m m m m
n n n n
n n n n n
n n n n n n n n n n n n
+ − − −
− − − −
+ − − − − + − − − −
− + −
− − − − −
− + − − − ⇒ − − + − −
1 2 3 5
2 3 5 4
1 2 3 5 4 1 2 3 4 5
6 8 19
5 6 9 8
11 2 28 8 8 11 2 28
EJERCICIO 22
1. 1. 1. 1. 1. 
b a
b a
b a a b
−
−
− ⇒ − +2 2 2 2
2. 2. 2. 2. 2. 2 3
4
x y
x y
x y
+
− +
+
3. 3. 3. 3. 3. − +
−
− + − ⇒ − − +
7 5
5
2 5 2 5
a
a b
a b a b
4. 4. 4. 4. 4. − +
− +
− + + ⇒ − + +
x
x x
x x x x
2
2
2 2
6
5
2 6 5 2 5 6
5. 5. 5. 5. 5. x y xy
xy x
x y xy x x x y xy
2 2
2 3
2 2 3 3 2 2
5
6 6
+
+ −
+ − ⇒ − + +
6. 6. 6. 6. 6. 7 5
6 8
5 8 8 5
2 2
2 3
2 2 3 3 2 2
a b ab
a b a
a b ab a a a b ab
+
− +
+ + ⇒ + +
7. 7. 7. 7. 7. − + −
− + −
− + −
a b c
a b c
a b c
2 3
2
2 3 5
8. 8. 8. 8. 8. − + +
+ − −
− + + ⇒ − +
3 4 5
2 3 4 3 2 4
n m p
n m p
n m p m n p
9. 9. 9. 9. 9. x y z
x y z
x y z
+ −
− +
+ −
3 6
2 2 5
10. 10. 10. 10. 10. − + +
− −
+ − ⇒ − + +
5 8
6 3
7 2 2 7
2 2
2 2
2 2 2 2
b ab a
b ab a
b ab a a ab b
11. 11. 11. 11. 11. 
− − +
− + +
− +
5 6
3
6 9
2 2
2 2
2
m n mn
m n mn
m mn
12. 12. 12. 12. 12. − + −
+ − +
− + − + ⇒ − + −
8 5 4
6
8 6 10 8 6 10
2
3
2 3 3 2
x x
x x
x x x x x x
13. 13. 13. 13. 13. 14 8 16
14 9
8 7 8 7
2
2 3
3 3
m n
m m
n m m n
− +
− − −
− + − ⇒ − − +
14. 14. 14. 14. 14. 8 5 6
6
7 6
ab bc cd
ab bc cd
ab bc
+ +
− + −
+
15. 15. 15. 15. 15. a a b b
a b b ab
a a b ab
3 2 3
2 3 2
3 2 2
9
25 8
34 8
− −
− + +
− +
16. 16. 16. 16. 16. 6 8 6
6 4
6 8 7 6 4
3 2 2
2 3
3 2 2 3
x x y xy
xy y
x x y xy y
− −
− + −
− − + −
17. 17. 17. 17. 17. m n c
m n c d
n c d c d n
2
2
9 11 14
7 8
16 19 14 19 16 14
− + +
− − + −
− + + − ⇒ − − +
18. 18. 18. 18. 18. 5 9 40 6
7 8 5
5 2 8 45 5
4 3 3 4
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a a b ab b
a b a b ab b
a a b a b ab b
+ − +
− + − −
+ + − +
19. 19. 19. 19. 19. x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
5 4 2
2 3
5 4 2 3
5 4 3 2
8 25 15
6 7 6 9
8 19 22 6 9
8 6 19 9 22
− + +
− + − +
− + + − +
⇒ − − + + +
20. 20. 20. 20. 20. − − − +
− − − +
− − − + − +
⇒ − − + − − +
3 8 19 18
6 25
9 8 44 18
8 9 44 18
4 3 2 5
4 5 5 2 3
4 3 2 5 5 2 3
5 3 2 2 3 4 5
xy x y y
xy y x x y
xy x y y x x y
x x y x y xy y
21. 21. 21. 21. 21. x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
3 4 2
3 2 5
3 4 2 5
5 4 3 2
6 8 9 15
25 18 46 25 11
24,6 26 37 10 11
11 6 24 26 10 37
− + − +
− + + − +
− − + + − +
⇒ − − + − +
22. 22. 22. 22. 22. a a b ab b
a b a b a b ab
a a b a b a b ab b
5 3 2 4 5
4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
26 8 6
8 15 45 8
8 27 15 53 14
− + − +
− − + + +
− − + + − +
23. 23. 23. 23. 23. y y y
y y y y
y y y y y y
y y y y y y
6 3 2
3 4 5
6 3 2 4 5
6 5 4 3 2
9
23 5 8 15 8
22 14 8 15 8
15 8 22 8 14
+ + +
− + − + +
− + + − + +
⇒ + − − + + +
24.24.24.24.24. x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
8 6 4 2
7 5 3
8 6 4 2 7 5 3
8 7 6 5 4 3 2
3 5 9
36 7 5 23 51
3 5 45 7 5 23 51
7 5 3 23 5 51 45
− + − −
− − − + −
− + − − − − + −
⇒ − − − + + − − −
25.25.25.25.25. x x y x y x y
x y x y y x y xy
x x y x y x y y x y xy
x x y x y x y x y xy y
7 5 2 4 3 2 5
4 3 2 5 7 3 4 6
7 5 2 4 3 2 5 7 3 4 6
7 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
3 35 8 60
60 90 50
3 95 7 60 90 50
3 95 90 7 50 60
− + − +
+ + − − +
− + − + − − +
⇒ − + − − + − +
26. 26. 26. 26. 26. a a
a a a
a a a a
a a a a
x x
x x x
x x x x
x x x x
+ +
+ +
+ + +
+ + +
− −
+ − +
− − − +
⇒ − − + −
3 1
1 2
3 1 2
3 2 1
8 5
5 6
3 5 6
3 6 5
27. 27. 27. 27. 27. − + + +
− − − −
− + + −
⇒− − + +
− − −
− − −
− − −
− − −
8 16 15
7 5 8
15 16 10 8
15 8 10 16
4 2 3
2 3 1
4 2 1
1 2 4
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
28. 28. 28. 28. 28. 15 5 6 41
9 18 31
15 14 6 59 31
15 14 31 6 59
3 2 1
2 1 1 4
3 2 1 1 4
4 3 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
+ + −
+ − + +
+ + − + +
+ + + + −
+ − +
+ + − +
+ − + − +
⇒ + + − − +
29. 29. 29. 29. 29. 9 21 26 14
5 12 8
14 33 26 14 8
14 33 26 8 14
1 2 3 5
1 2 4
1 2 3 5 4
1 2 3 4 5
a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
m m m m
m m m m
m m m m m m
m m m m m m
− − − −
− − −
− − − − −
− − − − −
− + +
− + +
− + + + +
⇒ + − + + +
30.30.30.30.30. − + − − +
+ + +
− + + − − +
+ + − −
+ + + −
+ + + + − −
15 50 14 6 8
23 6
15 23 56 14 5 8
3 1 1 2
4 2 1 1
4 3 2 1 1 2
m m m m m
m m m m
m m m m m m m
x x x x x
x x x x
x x x x x x x
EJERCICIO 23
1. 1. 1. 1. 1. 1
1
2
− +
− +
a
a
2. 2. 2. 2. 2. 0
8
8
− +
− +
a
a
3. 3. 3. 3. 3. −
− − +
− − − ⇒ − − −
9
3 5
3 4 3 4
2
2 2
a a
a a a a
4. 4. 4. 4. 4. +
− + −
− + ⇒ −
16
5 16
5 5
2
2 2
xy x
xy x x xy
5. 5. 5. 5. 5. 1
1 1
3 2 2
3 2 2 3 2 2
− + −
− + − ⇒ − + − +
a a b ab
a a b ab a a b ab
6. 6. 6. 6. 6. x
x x y xy
x x y xy
3
3 2 2
3 2 2
8 6
2 8 6
+ +
+ +
7. 7. 7. 7. 7. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
8 6
8 6
+ − +
+ − +
8. 8. 8. 8. 8. +
− +
− + +
y
x y x y xy
x y x y xy y
4
3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 7 8
5 7 8
9. 9. 9. 9. 9. m
m am a m a m a
m am a m a m a
4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
5 18 7
4 18 7
− + − − +
− + − − +
10. 10. 10. 10. 10. 16
14
30 30
− + − −
− + − − ⇒ − − − +
b a c d
b a c d a b c d
11. 11. 11. 11. 11. x
xy y
x xy y x xy y
2
2
2 2 2 2
1
1 1
−
− −
− − − ⇒ − − −
12. 12. 12. 12. 12. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
6
5 8
5 8 6
+
− + −
− + − +
13. 13. 13. 13. 13. x y
x y xy
x x y xy y
3 3
2 2
3 2 2 3
5 17 5
5 17 5
+
+ − +
+ − + +
14. 14. 14. 14. 14. x
x y x y xy
x x y x y xy
4
3 2 2 3
4 3 2 2 3
1
9 8 15
9 8 15 1
−
− + +
− + + −
15. 15. 15. 15. 15. a b
a b a b a b ab
a a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
5 5
4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
11 2 8 4
11 2 8 4
11 8 2 4
+
+ − − +
+ − − + +
⇒ + − − + +
16. 16. 16. 16. 16. x x
x x
x x x x
4 2
3
4 3 2
50
5 25
5 25 50
+ +
− +
− + + +
17. 17. 17. 17. 17. y y
y y y y
y y y y y y
y y y y y y
6
5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
41
9 17 18
41 9 17 18
9 17 18 41
+ −
− − + −
+ − − − + −
⇒ − − + − + −
18. 18. 18. 18. 18. a a b a b
a b a b ab b
a a b a b a b a b ab b
6 4 2 2 4
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
9
15 17 14
15 9 17 14
+ +
+ − + +
+ + − + + +
19. 19. 19. 19. 19. x x x
x x
x x x x x x x x
4 3
2
4 3 2 4 3 2
11
5 34
16 34 16 34
+ −
− + +
+ − + + ⇒ + + − +
20. 20. 20. 20. 20. m
m n mn n
m m n mn n
3
2 2 3
3 2 2 3
1
7 3
7 3 1
−
− − +
− − + −
EJERCICIO 24
1. 1. 1. 1. 1. 
1
2
1
4
1
3
2
5
2 1
4
1
3
2
5
3
4
1
3
2
5
2
2 2
2 2
2 2
a
a ab b
a ab b
a ab b
+ −
+ + −
= + −
2. 2. 2. 2. 2. 15
4
5
2
3
5
9
4
5
2
3
135 5
9
4
5
2
3
140
9
4
5
2
3
15 59
− − +
− − +
+
= − − +
= − − +
xy yz
xy yz
xy yz
xy yz
3. 3. 3. 3. 3. 
3
5
1
6
3
4
2
9
18 5
30
3
4
2
9
3
4
13
30
2
9
bc
bc ab cd
bc ab cd
ab bc cd
− + +
− + +
⇒ + +
4. 4. 4. 4. 4. 
1
2
2
3
4
5
2
9
1
2
5 8
10
6 2
9
1
2
3
10
8
9
1
2
a b
a b
a b
a b
−
− − +
− − + +
= − − +
5. 5. 5. 5. 5. 
5
9
3
8
1
10
5
7
3
11
5
9
30 8
80
5
7
3
11
5
9
38
80
5
7
3
11
5
9
5
7
19
40
3
11
2 2
2
2 2
2 2
2 2
x y
y xy
x y xy
x y xy
x xy y
−
− − +
−
+
− +
= − − +
⇒ − − +
6. 6. 6. 6. 6. 
5
6
2
9
1
5
1
2
3
8
5
6
10 9
45
1
2
3
8
5
6
1
2
3
8
19
45
3 3
3 2 2
3 3 2 2
3 2 2 3
m n
n m n mn
m n m n mn
m m n mn n
+
+ + −
+ + + −
⇒ + − +
7. 7. 7. 7. 7. 
3
7
1
3
3
5
5
14
1
2
1
8
6 5
14
2 3
6
1
14
1
6
3
5
1
8
2 2
2
2
2 2
a ab b
a ab
a ab
a ab b
+ −
− − +
− + −
− − +
8. 8. 8. 8. 8. 
3
8
5
6
1
10
3
5
3
10
2
15 24
40
50 18
60
1 20
10
39
40
68
60
21
10
39
40
17
15
21
10
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y x xy y
+ −
+ −
+ + + − +
= + − = + −
9. 9. 9. 9. 9. a a a
a a
a a a
a a a
3 2
2
3 2
3 2
5
6
7
8
9
10
7
8
8 7
8
10 9
10
20 21
24
15
8
19
10
1
24
+ − +
+ − −
+ + − + + −
= + − −
10 . 10 . 10 . 10 . 10 . m mn n
mn n m n
m mn n m n
m m n mn n
3 2 3
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2 3
7
12
4
7
5
9
5
21
1
8
21 20
36
4 7
7
5
21
1
8
5
21
1
36
11
7
1
8
+ −
− − + +
+
−
−
+
+ +
⇒ + + − +
12. 12. 12. 12. 12. 
1
2
3
5
7
8
8
9
7
20
1
8
1
9
7
8
1
2
12 7
20
7 1
8
8 1
9
7
8
1
2
19
20
8
8
9
9
7
8
1
2
19
20
7
8
a b c d
b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ − +
+ − + −
+ + − + + + −
= + − + −
= + − + −
6. 6. 6. 6. 6. 5
8
1
4
1
3
7
8
6
5
6
5
8
2 7
8
1 18
3
5
6
5
8
9
8
19
3
5
6
5
6
5
8
9
8
19
3
2 2
2 3
2 2 3
2 2 3
3 2 2
a b ab
ab a
a b ab a
a b ab a
a a b ab
+ −
+ − −
+
+
−
+
−
= + − −
⇒− + + −
7. 7. 7. 7. 7. 
2
11
5
14
1
3
6
7
8
2
9
2
11
20 49
56
3 2
9
6
2
11
29
56
5
9
6
3 2 2 3
4 2 2 3
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
m n m n mn
m m n mn
m m n m n mn
m m n m n mn
+ + −
− +
+ + − + + −
= + − + −
8. 8. 8. 8. 8. − + + + −
− + −
− + − + + + − +
= − − + + −
= − − + + −
7
8
1
14
2
3
1
3
7
1
2
3
7
1
8
2
9
1
2
7
8
1 6
14
2
3
8 3
24
63 2
9
1
2
7
8
5
14
2
3
11
24
65
9
1
2
7
8
5
14
2
3
11
24
7
4 3 2 2 3 4
5 3 2 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 2
9
x y x y x y xy
x x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
1. 1. 1. 1. 1. 3
8
5
6
5
6
9 20
24
5
6
11
24
5
6
2
2
2 2
a a
a
a a a a
−
−
− − =− −
2. 2. 2. 2. 2. 8 6 5
1
2
3
5
16 1
2
30 3
5
5
15
2
33
5
5
a b
a b
a b a b
+ −
− +
−
+
+
− = + −
3. 3. 3. 3. 3. x x y
x y
x x y x x y
3 2
2
3 2 3 2
2
3
6
7
9
6 7
9
6
1
9
6
+ −
−
+ − − = − −
4. 4. 4. 4. 4. a b c
a b c
a b c a b c
+ −
− + −
− + + − + = + −
1
2
3
4
2
3
2 1
2
4 3
4
3 2
3
1
2
7
4
5
3
5. 5. 5. 5. 5. 
2
3
5
6
1
2
2 3
3
5 6
6
1 2
2
1
3
1
6
3
2
m n p
m n p
m n p m n p
+ +
− − +
−
+
−
+
+
= − − +
11. 11. 11. 11. 11. 
3
5
3
4
5
7
2
3
5
8
1
3
5
6
3 5
5
3
4
5
8
15 7
21
4 5
6
2
5
3
4
5
8
8
21
1
6
4 3 3 4
4 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
x x y xy y
x x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y xy y
+ − +
− − + −
− + − − − + −
= − + − − −
EJERCICIO 25
9. 9. 9. 9. 9. 
7
9
2
3
1
8
2
13
7
9
1
11
7
9
6 7
9
1
8
11 1
11
2 13
13
7
9
13
9
1
8
12
11
15
13
5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 4 2 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 6 6 5 4 2 3 3 2 4 6
x y x y x y x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y x y x y,y x x y x y x y x y y
+ − − + +
− + − − +
− + + + − − + + + = − + + − − +
10. 10. 10. 10. 10. 
1
3
7
9
5
8
7
11
2
5
2
3
1
6
3
4
6
1 2
3
14 3
18
5 6
8
7
11
2 30
5
11
18
1
8
7
11
32
5
3 2 2 3
3 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3
x x y xy y
x x y xy
x x y xy y x x y xy y
− + − −
+ − −
+ − − + − − − + = − − − −
11. 11. 11. 11. 11. 
3
10
3
7
5
9
2
13
7
20
5
14
1
3
3
5
2
13
6 7
20
6 5
14
5 3
9
3
5
2
13
13
20
11
14
2
9
3
5
4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
m n m n n
m m n m n n
m m n m n n m m n m n n
− +
+ − − +
+ + − + + − + = + − + +
12. 12. 12. 12. 12. 
3
8
7
22
7
12
1
2
1
3
35
5
11
5
6
3
4
3
13
3
8
7 10
22
7 10
12
1
2
3
4
13 9
39
35
3
8
17
22
17
12
1
2
3
4
22
39
35
5 4 3 2 2 3 5
4 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
c c d c d c d d
c d c d cd d
c c d c d c d cd d
c c d c d c d cd d
+ + + − −
+ + − −
+ + + + + − − + −
= + + + − − −
EJERCICIO 26
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
1. 1. 1. 1. 1. a ab
ab b
a ab b
2
2
2 2
2 2
3
4
1 4 1 2 2 1 8 4 11
−
− −
− −
= − ⋅ ⋅ − = − − =−
2. 2. 2. 2. 2. a b
b a b ab
a b a b ab a a b ab b
3 3
3 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
2 5 6
3 5 6 5 6 3
1 5 1 2 6 1 2 3 2 1 5 2 6 4 3 8
1 10 24 24 11
+
+ + −
+ + − ⇒ + − +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅
= + − + =
3. 3. 3. 3. 3. 
1
2
1
2
5
3
1 2
2
1
2
5
3
1
2
1
2
5
3
1
2
1
1
2
2
5
3
3
1
2
1 5
1 2 10
2
7
2
3 12
a
a b c
a b c a b c
− − +
− − + =− − +
⇒− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − +
= − − + = =
4. 4. 4. 4. 4. 3 5
10 8
2 15 8 2 8 15
2
3
2
8
3
2
2
5
15
2
5
2
9
4
48
10
3
4
5
9
2
24
5
12
5
45 48 24
10
27
10
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
m n
m n mn
m n mn m mn n
−
− − −
− − ⇒ − −
= 

 − ⋅ ⋅ −



 = ⋅ − − ⋅
= − − = =
− −
= −
5. 5. 5. 5. 5. x x y y
x y xy y
x x y x y xy y
4 2 2 4
3 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
18 15
16 6 9
16 18 6 6
4 16 4 5 18 4 5 6 4 5 6 5
256 80 64 18 16 25 24 125 6 625
256 5120 7 200 3 000 3 750 4 926
− +
+ −
+ − + +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= + − + + =. . . . .
6. 6. 6. 6. 6. a am m
am m am
a am m am a a m am m
3 2 3
2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
3 2
2 3
7
5 5 8
2 6 8 8 2 6
1 8 1
3
2
2 1
3
2
6
3
2
1
24
2
2
9
4
6
27
8
1 12
9
2
81
4
4 48 18 81
4
19
4
− +
+ + −
− + − ⇒ − − +
= − ⋅ ⋅ − ⋅ 

 +



 = − − ⋅ + ⋅
= − − + =
− − +
=
7. 7. 7. 7. 7. 
2
3
7
8
1
5
1
6
1
10
4 1
6
7 8
8
2 1
10
1
2
1
8
1
10
1
2
1
1
8
1 2
1
10
2
1
2
2
8
4
10
1
2
1
4
2
5
10 5 8
20
3
20
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a ab b
a ab b
a ab b a ab b
+ −
− − +
−
+
−
−
−
= − −
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − −
= − − =
− −
= −
8. 8. 8. 8. 8. 
2
3
3
4
1
2
1
6
1
4
1
2
4 1
6
3 1
4
5
6
3
2
5
6
3
2
2
5
3
2
2
5
27
8
5
6
18
20
3
2
4
25
27
8
3
4
12
50
675 150 48
200
873
200
2 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3 2 2
3 2 2
m n mn n
m n mn n m
m n mn m m m n mn
+ −
+ + +
+
+
+
+ = + +
= 

 +



 ⋅ +



 = + ⋅ + ⋅
= + + =
+ +
=
9.9.9.9.9. a a b b
a b a b
a a b a b a b b
5 2 4 5
4 2 3 3
5 4 2 3 3 2 4 5
5 4 2 3 3 2 4 5
3
5
5 3
1 1 2 5 1 2 3 1 2 2
1 4 5 8 3 16 32 1 4 40 48 32 21
− +
− +
− + − +
= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +
= − + ⋅ − ⋅ + = − + − + =
10. 10. 10. 10. 10. − + −
−
− + −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= − + − = −
ab mn mx
ab
ab mn mx
10 8
15
16 10 8
16 1 2 10
3
2
2
5
8
3
2
4
32 6 48 74
11. 11. 11. 11. 11. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
11 9
11 9
1 11 1 2 9 1 2 2
1 22 36 8 7
− + −
− + −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
= − + − =
12. 12. 12. 12. 12. 
1
64
2
3
5
6
3
8
1
64
2
3
5
6
3
8
1
64
4
2
3
4
5
6
4
3
8
4
32
3
20
6
3
8
96 256 80 9
24
231
24
77
8
9
4
2
4 2
4 2
5
8
x
x x
x x x
− − +
− − +
= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
= − − + = − − +
= − = − = −
13. 13. 13. 13. 13. x x y xy
x xy y
x x y xy y
x x y xy y
3 2 2
3 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3
16
2
5
3
4
3
5
1
25
4 3
4
3
16
2 3
5
1
25
1
4
3
16
1
5
1
25
1
4
4
3
16
4 5
1
5
4 5
1
25
5
1
4
64
15
16
16
4
5
25
125
25
16 15 20 5 56
+ −
− + +
−
+ −
−
+
⇒ + + +
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= + + + =
EJERCICIO 27
1. 1. 1. 1. 1. + +
− − − +
+ − − +
ab b a
a b a ab b
a ab b ab b
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 4
4 4
2. 2. 2. 2. 2. a
a
+
− + −
−
8 1
6 14
14 13
3. 3. 3. 3. 3. − +
+ +
− + + +
−
− − −
− − −
x xy
x y y
x x y xy y
x y
x x y xy y
x x y xy y
3 2
2 3
3 2 2 3
2
3 2 2 3
3 2 2 3
4
5
5 4
7
5 4
12 4
4. 4. 4. 4. 4. − + −
− + −
+ −
3 4 5
3 4 5 4
4 5 4
3 2 3 4
3 2 3 3
3 4 3
m n mn n m
m n mn n n
n m n
5. 5. 5. 5. 5. 8 9 3 6
7 9 3
5
a b c a
a b c a
a a
+ −
− − + −
6. 6. 6. 6. 6. a b c a b c
a b c a
a a b c
− + + −
− + −
− + −
2
2
14.14.14.14.14. 2
5
5
6
9
2 5
5
5 54
6
3
5
49
6
1
3
5
1
49
6
1
1
3
5
49
6
30 18 245
30
257
30
8
1 3 2
1 3 2
1 3
1 3
4 4 1 4 3
17
30
a a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x
x x x
x x x
x x x
− − −
− − −
− −
− −
− −
+ − +
− + −
− + − −
⇒ − +
= − ⋅ + ⋅
= − + =
+ − +
= =
7. 7. 7. 7. 7. − + − − +
− + − + −
− +
m n p m n p
m n p m n p
m n p
2 2 2
0
8. 8. 8. 8. 8. 9 5 3
9 7 25 25 6
6 25 24 5 3
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
ax a x ax a
ax a x x a
a x x ax a
− − +
− + + − −
+ − − −
9. 9. 9. 9. 9. 5 6 4 1
2 8 6 2 5 2 2
2 5 2 2 5 2 3
2 3
3 3 2
3 2 3 2
a a a
a a a a a
a a a a a a
+ − −
− + − − + −
+ − + − − + −
10. 10. 10. 10. 10. 
5 9 4 1
11 7 6 11 2 9 6 4
11 2 9 6 4 12 2 9 6 5
3 2 4
4 3 4 3 2
4 3 2 4 3 2
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
− + −
− − − + + + −
− − − − + + + + −
11. 11. 11. 11. 11. 35 7 11
7 35 8 6 7 5
7 5 8 5
2 2 3 3
3 2 2 3 2
3 2 3 2 3
a b ab a b
a a b ab a ab
a ab a ab b
− − +
− − + + − +
− + − − + +
12. 12. 12. 12. 12. − + − +
− + −
− + + − +
− +
− − + −
+ − − + −
11 14 25 8
19 6 9 4
11 19 8 16 4
7 4
11 19 8 16 4
11 26 8 20 4
4 2
3 2
4 3 2
5 3
4 3 2
5 4 3 2
n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n n n
13. 13. 13. 13. 13. − + −
− − −
− − + − −
− +
− + + − + +
− + + − + +
6 5 6
7 5 11 6
7 11 11 5 6 6
8
7 11 11 5 6 6
6 11 3 5 7 6
3 3
4 3 2 2 4
4 3 2 2 3 4
4 2 2 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a m am
a a m a m m
a a m a m am m
a a m m
a a m a m am m
a a m a m am m
14. 14. 14. 14. 14. − + −
− + + −
− − + + − −
− + +
+ − − + +
+ − − + +
4 13 9
6 8 2
6 4 8 13 8 2
30 40
6 4 8 13 8 2
7 4 38 13 48 3
4 2 3 4
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x y x y xy
x x y xy y
x x y x y x y xy y
x x y xy y
x x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
15. 15. 15. 15. 15. a b a
a b a b
a b
+
− − +
2
2
2
16. 16. 16. 16. 16. 8 9 8 6 4
6 5 2
8 6 4 8 6 6
x x y
y
x y x y
+ + +
−
+ + + +
17. 17. 17. 17. 17. x y x xy y
xy y y
x xy y x xy y
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
6 7 34
7 40 9 16
7 34 7 43 16
− − +
− + −
− + − + −
18. 18. 18. 18. 18. 4 8 5 5
7 6 4
5 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ab b a ab b
a ab b a ab b
a ab b a b
+ − + +
− + − − +
+ + +
19. 19. 19. 19. 19. x y
x y xy
x x y xy y
x x y xy y
x y
x x y xy y
3 3
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
3 3
3 2 2 3
14 5
14 5
14 5
3 19
4 14 5 20
−
− +
− + −
− + −
−
− + −
20. 20. 20. 20. 20. x x y y x x y y
x y y x x y y
x x y y
4 2 2 4 4 2 2 4
2 2 4 4 2 2 4
4 2 2 4
6 2 32
8 31 2 32
2 32 0
− + − +
+ + − − −
+ +
21. 21. 21. 21. 21. − + +
+ − − −
− + + − −
− + + − −
+ + −
− + + − −
6
7 8 6
6 7 8 6
6 7 8 6
3 8 19
6 4 15 8 25
5 4 2
3 2
5 4 3
5 4 3
6 4 3
6 5 4 3
n n n
n n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n n
22. 22. 22. 22. 22. a a b ab
a b a b ab b
a a b a b ab b
a a b a b ab b
a b a b b
a a b a b a b ab b
5 3 2 4
4 3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
4 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
3 6
22 10 11
22 7 5
22 7 5
5 7
17 7 7 5 2
− +
+ + − −
+ + − −
+ + − −
− + −
+ + + − −
23. 23. 23. 23. 23. 4 5 2 3 5 6 4
7 8 4 5
3 5 6 4 3 5 6 1
3 2 3 2
3 4
3 2 4,3 2
m m m m m m
m m m
m m m m m m m
− − − − + +
− + + −
− − + + − − + −
24. 24. 24. 24. 24. 7 11 2 8
7 11 8 4
2 8 2 4
2 2 2
2 2
2 2
a ab b b
a ab b
b b
− + −
− + + − +
− −
25. 25. 25. 25. 25. 3 4 5
7 8 11 5 6 2 11
2 7 2
5 6 2 11 6 7 11
a b c
a b a b c
a b c a b c
a b c a b
− +
− + − − + − −
− + − − + +
− + − − − + −
26. 26. 26. 26. 26. 5 14 19 8
9 1
3 1
5 17 10 6
3 5
2 8 17 10 1
3 2
5
4 2
5 4 3 2
4 3
5 4 3 2
a a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a a a a
+ − +
+ −
− + −
− + + − +
− + −
− + + − +
27. 27. 27. 27. 27. m m n n
m n m n mn n
m m n m n mn n
m m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
4 2 2 4
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
10 15
11 14 3
11 4 3 16
6 7 8
11 4 3 16
5 11 11 11 17
+ +
− − − +
− − − +
+ + −
− + + + −
+ + + −
28. 28. 28. 28. 28. a a b ab b
a b a b ab b
a b a b ab
a a b a b a b ab b
a a b ab
a a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
5 3 2 4 5
4 2 3 4 5
3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
4 8
7 15 25 3
3 5
7 3 18 22 2
3 6 21 6
7 3 18 22 2
2 7 3 24 2 6
+ + −
− + − +
− + −
− + + − +
− − −
− + − − + −
+ − − + − −
EJERCICIO 28
29. 29. 29. 29. 29. x y
x y x y x y y
x x y x y x y
x x y x y x y xy y
x x y x y x y
x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3
4 3 2 4 5
3 21 18
3 21 18
32 26 18 2
3 21 18
29 47 2
+
+ + −
+ + +
+ − + − +
− − − −
− − +
30. 30. 30. 30. 30. 3 6
7
4
8 7 12
4
8 7 5 13
1
1 2
1 2
2 1 1
1 2
2 1 1 2
a a
a a a
a a a
a a a a
a a a
a a a a a
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
+
− +
− +
− − +
− + −
− − + −
−
− −
− −
+ + −
− −
+ + − −
6. 6. 6. 6. 6. a x x a x ax x
a ax a a x ax x
a a x ax x a a x ax x
a a x ax x
a a x ax x
a x ax
2 3 2 2 3
3 2 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
3 5 11 11
3 4 6 8
3 3 9 17 3
3 3
9 17 3
10 14
− − + −
+ − + +
+ + − − + −
+ + −
− + − +
−
7. 7. 7. 7. 7. x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 2
3 3 2
4 2 4
4 3 2 4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
3
3 5 7 8 3 4
5 4 3
2 4 2 7 8 3 1
2 4 2
7 8 3 1
6 12 4 1
+ −
− − + − + − +
− + −
− − + + − + − +
− − + +
− + − + −
+ − + +
1. 1. 1. 1. 1. x x x x
x x
x x x x
2 2
2 2
5 4 2 1
2 6 6 2
2 1 2 2 3
+ − + −
− − + −
+ − + −
2. 2. 2. 2. 2. 3 5 7 4 6 2
3 8 3 7 7 3
4 6 2 7 7 3 3
a b c a b a b c
a b c b c a b c
a b c a b c a b c
− + + − −
− − − − − + +
− − − − − + +
3. 3. 3. 3. 3. x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
3 3 2
3 2 2 2
3 2 2 3 2
1 9 4 6 8
5 7 3 1 3 8 5
6 8 3 8 5 6 2 8 3
+ + − +
− + − − + − −
− + − + + + − +
4. 4. 4. 4. 4. a a a a
a a a a
a a a a a a a a
2 4 3 2
3 4
3 2 4 4 3 2
1 2
1 2
+ + +
− − − −
+ + − + + −
5. 5. 5. 5. 5. ab bc ac ab bc ac ab bc ac
bc ac ab bc ac ab ac
ab bc ac ab ac ab bc
+ + − + − + −
− + − − + + − −
− + − + − − −
5 3 4 6 9 9
7 8 9 3 5 4 9
6 9 9 4 9 3 6 9
8. 8. 8. 8. 8. m n
m n m n mn m m n m n mn n
m m n n m n mn m m n mn
m n m n mn n m m n mn m m n m n mn n
4 4
3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 2 2 4 2 2 3 4 2 2 3
3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 3 2 2 3 4
17 4 7 6 17 2 7 81
6 80 4 2
17 2 7 81 2 17 3 8 81 2
−
− − − + + − −
− + − − + − + − −
+ − − − − + + + + − − −
9. 9. 9. 9. 9. + + −
− − + − − + − + − − +
− − + − − − + − + + +
− + − − + − + − − − − − − +
a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
3
5 4 2 4 3 2 5 4 3 2
2 3 2 4 3 2
5 4 3 2 4 3 2 5 3 2
7
6 8 4 11 10 27
5 11 26 16 8 7 15 12 7 7 15
11 10 27 12 7 7 15 11 4 3 42
10. 10. 10. 10. 10. 3 3 20 11 8
11 9 14 19 8 9 3 11 8 14
3 11 8 14 20 11 8 17 14
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y x xy y x xy y
xy y x xy y x xy y
x xy y x xy y x
− − − − +
− + − − + − + − +
− + − − + +
11. 11. 11. 11. 11. a a
a a
a
a a
− −
− + −
− +
− +
1 3
1 4
0 3 8
2 1
2
2
 12. 12. 12. 12. 12. a ab b
a ab b a ab b a ab b
a ab b ab b a ab b
a ab b a ab b ab b
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 8 7 9 3 4
5 11 17 8 7 2 9
2 9 4 5
− +
− + − + + − + −
− + − − − − +
− + − − + − − +
13. 13. 13. 13. 13. m
m m m m m m m
m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
4
3 2 5 5 4 2
2 4 2 4 3 2
4 3 2 5 4 2 5 4 3
1
8 6 5 16 16 7 19
7 1 16 7 3 7 13 5
7 13 5 16 7 19 17 13 24
−
− + − + − − + −
− − + − + − − + − + −
− + − + − + − − + + −
14.14.14.14.14. x y
x y x y x y y x y x y xy x x y x y x y xy y
x y xy xy x y x y xy
x x y x y x y xy y x y x y xy x x y x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
3 2 4 4 4 3 2 4
5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
2 5 7 3 7 11 2 2 7 6 4 8
7 6 8 1 7 10 1
2 2 7 6 4 8 7 10 1 9 7 4 4 7
−
− + − − − + − + + + − + +
− + − − − − + −
− − − + − − − + − − + + + + + +
15.15.15.15.15. − + −
− + − +
− − − + − + − + − − + − +
− + − + − + − + + − + − + −
− − + − + − + − − + − + + − − +
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
6 4
5 3 2
4 3 4 2 5 4 3 2
3 2 5 3 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3
7 8
3 11 4
6 11 2 8 3 7 8 5 5 3 7 48 58 13
5 5 4 1 5 7 41 50 8 3 5 4 14 13
3 5 4 14 13 5 3 7 48 58 13 8 4 2 44 2 44− a
16. 16. 16. 16. 16. a a x a x x
a x a x ax a x a x a x
a x ax x a
a a x a x a x ax x a a x a x a x x
a a x a x a x x
a a x a x a x ax x
5 3 2 3 2 5
4 2 3 4 4 3 2 2 3
3 2 4 5 5
5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
7 9 18 4 8
20 21 19 9 17 11
9 7 80 36
20 2 21 26 71 9 11 4 28
9 11 4 28
20 2 21 26 71
11
− + + − −
− + − − − +
+ − + − +
− + + − + − − + + − +
− + + − +
− + − − + − +
a x a x a x ax x4 3 2 2 3 4 510 26 5 99− − + − +
1. 1. 1. 1. 1. a b a
a b a b
a b a b
a b a b
+
− + − −
−
+
+ −
−
= + = −
1
2
3
4
2
3
3
4
1
3
5
4
3 2
3
2 3
4
9 4
12
5
4
1
3
5
4
5
12
5
4
2. 2. 2. 2. 2. 3
8
6
1
2
3
5
5
6
3
5
5
6
3
5
3
8
6
5
6
3
5
3
8
6
3 5
6
3
8
6
4
3
3
8
6
3 2
3 2 3 2
3 2 3
3
a a a
a a a a a
a a a a a
a a
− +
− + − − +
− + + −
+
− +
= − +
3. 3. 3. 3. 3. a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
+ + +
− − + − +
− + − + − + + +
= + + = + +
3
3
5
7
3
6
2
5
2
3
6
1
5
1
6
5 2
5
9 2
3
6
3 1
5
14 1
6
6
3
5
7
3
6
2
5
5
2
6
4. 4. 4. 4. 4. 
1
3
3
7
1
5
1
14
2
9
6
1
3
6 1
14
2
9
1 30
5
1
3
5
14
2
9
31
5
5
6
1
3
5
14
2
9
31
5
5 2
6
5
14
2
9
31
5
7
6
5
14
2
9
6
3 2
2
3 2
3 2
3
3 2
3 2
3 2 1
5
x x
x x
x x x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
− +
− +
−
−
− +
+
= − − +
−
− + + −
−
+
+ + −
= − + + −
EJERCICIO 29
5. 5. 5. 5. 5. 
7
12
7
12
3
7
2
5
6
3
7
2
5
6
3
4
1
5
1
3
7
12
3
7
2
5
6
7 9
12
3
7
2
5
1
5
18 1
3
4
3
3
7
2
5
1
5
17
3
4 4 3 2
3 2 4
4 3 2 4 3 2
4 3 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a
a a a a
− + −
− + − − +
− + −
+
− + − −
−
= − + − −
6. 6. 6. 6. 6. − + − −
− − + − + −
− + − − + + + − +
= − + − + = + −
1
2
2
3
1
4
5
9
2
5
1
9
2
5
3
1
2
5
9
13
20
3
1
2
6 1
9
5 8
20
3
1
2
13
20
2 15
5
1
2
5
9
13
20
3
1
2
13
20
17
5
x y z y
y z x y z
x y z x z
x y z x z
7. 7. 7. 7. 7. − + −
− +
− − + − − −
= − − −
−
+ +
+ +
3
2
3
4
1
8
5
6
2
3
12 1
8
9 10
12
3 2
3
11
8
1
12
1
3
1
2
1
3
11
8
1
12
1
3
1
2
11
8
1
12
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3 3
2 2 3
3 2 2
a b ab b
a b ab b
a b ab b
a b ab b
a b
a b ab b
a a b ab
8. 8. 8. 8. 8. 1
2
2
9
2
3
1
5
1
2
1
9
3
5
1
3
3
5
5
9
1
10
1
9
1
10
1
2
2 3
9
3
5
6 5
9
2 1
10
1
2
6 1
10
1
2
1
9
3
5
1
9
1
10
1
2
7
10
a b b c a b c
b c b c b c
a b c b c a c
a b c b c a c
− + + −
− − − − −
− − − − + − − +
= + − = + = −
9. 9. 9. 9. 9. 
1
3
1
8
1
5
1
4
2
3
1
4
1
3
19
40
2
3
1
8
3
5
3
4
1
10
1
3
29
40
1
8
1
3
19
40
3
4
1
10
1
3
5 24
40
3
4
2 1
10
1
3
10 29
40
2
3
2 1
8
8 9
12
10 8
80
1
3
19
40
3
4
1
10
1
3
19
40
2
3
1
8
1
12
2
80
1
12
1
40
3 2 2 3 2
2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a,+ + − + − − +
− − − − − − + + −
+ − − + − + − − + − − − + −
= − − + = − − + = + = +
10. 10. 10. 10. 10. 
3
5
5
6
2
9
2
9
1
9
2
3
3
5
7
3
13
6
1
2
3
2
1
3
1
4
17
45
22
9
3
2
1
2
3
5
7
3
1
9
1
4
3
5
10 18
12
2 3
9
1
4
10 17
45
1 22
9
4 9
6
1
2
39 2
18
2 1
4
3
5
28
12
1
9
1
4
27
45
21
9
13
6
1
2
37
18
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x xy y x xy y x xy y
xy y x xy y x xy y
x xy y x xy y y
x xy y x xy y y
− + + − − + + +
− − + − − − − − +
− + + − + + + − − + − − + +
= − − + = − − − = +
= − − + = − − −
3
4
3
5
7
3
1
9
1
4
3
5
7
3
13
6
1
2
2 2 2 2x xy y x xy y
11. 11. 11. 11. 11. 
2
7
1
5
1
2
1
4
1
5
3
4
3
8
3
2
7
10
3
4
3
8
1
10
5
4
1
8
3
2
1
2
2
7
3
4
3
8
1
10
2
7
3
4
3
8
2 1
10
2 5
4
2 1
8
3
2
2 5
10
2
7
15 1
10
7
10
2
7
3
4
3
8
1
10
3 3 2 2 2 2 3
2 2 3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3 2 2 3 3 3
3 2 2 3
a b a b ab a b ab b
a b ab b a b ab b a a b ab b
a a b ab b a b ab b a b
a a b ab b
− + − − + − −
− + + − + − − − + − +
− + −
− −
+
+
− −
+
− −
−
−
= − + − =− + − − =− − − = − − −
3
4
3
8
3
2
7
10
2
7
14
10
7
10
2
7
7
5
7
10
2 2 3 3 3 3 3a b ab b a b a b
12. 12. 12. 12. 12. 
1
3
1
4
2
7
3
5
2
5
5
3
5
14
2
5
1
14
7
20
1
4
2
3
5
14
1
4
11
60
1
4
4 1
14
12 7
20
20 24 15
60
1
4
3 5 2
3
1
4
11
60
1
4
2
5
5
14
5
20
11
60
1
4
0
3
2 2 3 4
4 3 2 2 4 4 4
4 3 2 2 4 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3
m n mn n
m m n m n n m n
m m n m n n m m n m n mn
m m n m n mn n m n m n mn n
m m n m n mn n
− −
+ − + −
− + − − − − +
+
+
−
+
− +
− −
− +
− − + −
= + + − − 4
4 3 2 2 35
14
1
4
11
60
1
4
= + + −m m n m n mn
13. 13. 13. 13. 13. 
1
2
1
3
3
4
1
6
2
5
1
4
5
1
2
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
3
8
1
2
4 9
12
5 12
30
1 2
4
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
40 3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
37
8
x y
y z
z m
m n x y z m n
x y z m n x y z m n
x y z m n x y z m n
+
−
+
− + + − − − + − −
+ + − − + − + + − − − + − + −
= + + − + + =− − − + − +
14. 14. 14. 14. 14. 
5
6
1
2
3
5
2
3
3
8
5
3
8
3
4
1
6
2
3
11
24
1
12
1
2
152
33
1
6
39
40
3
11
1
12
3
8
20 9
24
6 9 2
12
4 1
6
24 15 39
40
165 22 9
33
11 24
24
1
2
1216 99
264
11
24
1
12
3
6
0
40
152
33
11
24
1
12
1
2
152
33
4 3
2
4 3 2 4 3 2
3 4 3
4 3 2 4 2
4 3 2 4 3 2
a a a
a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
+ −
− − +
− − + − − − +
+ + + − + −
− + − + − − − + − + − + − − + −
= − − − + = − − + =
.
− − +13
24
1
2
1117
264
4 2a a
.
EJERCICIO 30
1. 1. 1. 1. 1. x x
x x x
x
Rta x x x
3 2
3 2
3 2
5
3 5 6
3 6
3 11
− +
− + + − −
−
− + + −.
 4. 4. 4. 4. 4. x x
x x x
x
Rta x x x
3 2
3 2
3 2
4 8
4 13
5
4 13
− +
− + + −
−
− − +.
 7. 7. 7. 7. 7. 5 8 11
4 8 11
5 8 11
3 2 3
3 3
3 2
3 2 3
a ab b
a b
a ab
Rta a ab b
+ − −
− +
+ −
+ − −.
2. 2. 2. 2. 2. − + −
− + + +
+
− + + +
5 9 6
5 9 6 8 9
8 9
5 9 6 8 9
a b c
a b c x
x
Rta a b c x.
 5. 5. 5. 5. 5. m mn n
m m n mn n
m n
Rta m m n mn n
4 3 4
4 2 2 3 4
2 2
4 2 2 3 4
3 6
4 3 6 8
4 8
4 3 6 8
− +
− + + − −
−
− − + +.
 8. 8. 8. 8. 8. 
1
2
1
3
4
1
2
1
3
4
x y
x y
− −
− +
−
3. 3. 3. 3. 3. a b
a a b ab b
a b ab b
Rta a a b ab b
3 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3
8 5 3
8 5 4
8 5 3
−
− − + −
− + −
− − + −.
 6. 6. 6. 6. 6. 4 5 5 2
5 4 8
4 9 6
4 5 5 2
3 2
2
3
3 2
x x x
x x
x x
Rta x x x
+ − −
− − +
− +
+ − −.
 Rta x y.
1
2
1
3
4− −
9. 9. 9. 9. 9. 5 7 8
5 7 8 1
1
5 7 8 1
2 2
2 2
2 2
x xy y
x xy y
Rta x xy y
− −
− + + +
− + + +.
 10. 10. 10. 10. 10. n
m m n mn n
m m n mn n
m m n mn n
m
Rta m m n mn n
3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
9 8 5
9 8 5 2
10 8 5 2
10 8 5 2
− + − +
− + − +
− + −
− + −.
 11. 11. 11. 11. 11. 0
5 8
5 8
0
3
3
− + −
− + −
a a
a a
Rta.
EJERCICIO 31
1. 1. 1. 1. 1. ( )x x y
x x y
y
− −
= − +
=
 6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )a a b a b
a a b a b
a a a
+ − + − +
= + − − +
= − =2
 11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )x y x y z x y z
x y x y z x y z
x y z
+ + − + − + −
= + + − + − − +
= − +2
2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x
x x x
x
2 2
2 2
3 5
3 5
3 5
+ − − +
= − − +
= − +
 7. 7. 7. 7. 7. a b a a b
a b a a b
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
3 2
+ − + − −
= − + − +
= − =
 12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )a b a a b a b
a b a a b a b
b
− + + − + − − +
= − − − + + −
= −
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3. ( )a b a
a b a
a b
+ − − +
= + + −
= + −
2 3
2 3
3 3
 8. 8. 8. 8. 8. { } { }2 1 3
2 1 3
1 3 4
a x a a x
a x a a x
− − + − − + −
= + − + − − +
= + =
 13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) [ ]− − + + − + − − +
= − + + − + + −
= − + +
x y xy x xy y xy
x y xy x xy y xy
x xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 3
2 3
3 3 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )4 2
4 2
6
m m n
m m n
m n
− − −
= + +
= +
 9. 9. 9. 9. 9. ( ) [ ]x y x xy y x y
x y x xy y x y
x xy y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
+ − + + + − +
= + − − − − +
= − − +
 14. 14. 14. 14. 14. [ ] { } ( )8 2 3 3
8 2 3 3
8 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x xy y x xy y x xy
x xy y x xy y x xy
x y
+ − + − − + − − −
= − + + − + − +
= +
5. 5. 5. 5. 5. ( )2 3 4 3
2 3 4 3
2
x y x y
x y x y
x
+ − +
= + − −
= −
 10. 10. 10. 10. 10.( ) ( )− + + − + −
= − + − + −
= − +
5 6 5 6
5 6 5 6
6 5
m m
m m
m
 15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − − − − + + +
= − − − − + − + +
=
a b a b b a a b
a b a b b a a b
3
3
0
EJERCICIO 32
1. 1. 1. 1. 1. ( )[ ]
[ ]
2
2
2
2
a a a b
a a a b
a a a b
a b
+ − +
= + − −
= + − −
= −
2. 2. 2. 2. 2. ( )[ ]
[ ]
3 2
3 2
3 2
4
x x y x y
x x y x y
x x y x y
x
− + − +
= − + − −
= − − + +
=
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )[ ]
[ ]
2
2
2
2 2
m m n m n
m m n m n
m m n m n
m n
− − − +
= − − − −
= − + + +
= +
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
4 3 2 3
4 3 2 3
4 3 2 3
6 3 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x xy y xy x y
x x xy y xy x y
x x xy y xy x y
x xy y
+ − − + − + − − +
= + − + − + + −
= − + − + + −
= + −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ){ }
{ }
a a b a b c a
a a b a b c a
a a b a b c a
a c
+ − + − − + − +
= + − + + − + +
= − + + − + +
= +
2
2
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
4 2 3 4 2 1
4 2 3 4 2 1
4 2 3 4 2 1
5 2
m m n n m
m m n n m
m m n n m
n
− + − + − − +
= − + − + − − −
= − − + − − −
= − +
7. 7. 7. 7. 7. { }( )[ ]
( )[ ]
[ ]
2 5 2
2 5 2
2 5 2
2 5 2
2
x x y x y
x x y x y
x x y x y
x x y x y
x y
+ − − − + − +
= + − − − − +
= + − + + −
= − + + −
= − +
8. 8. 8. 8. 8. ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
7 3 2
7 3 2
7 3 2
7 3 2
2 4 3
− − + − + − + −
= − − + − − + −
= − − − − + −
= + + + − +
= + +
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + + − + − − + − − +
= − − + − + − − + − +
= − − + − + + − + −
= − − − + + − + −
= −
a b a b a b a b a
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
3 2 2
2
2
2
2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
− + − + + − − − +
= − + − + + − − − −
= − + − + − − − −
= − + − − + + + +
= − +
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y
4 2
4 2
4 2
4 2
3
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
− − + + − + − − + + − + −
= − + − − + − − + −
= − − − + − − + −
= −
a b a b a b b a b
a b a b a b b a b
a b a b a b b a b
a b
2 3
2 3
2 3
3 7
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )[ ]{ } ( ),[ ]{ }
{ }
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 2 5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
m m n n m n
m m n n m n
m m n n m n
m m n n m n
m n
− − + − − − − + − +
= − − + − + + − − −
= − − − + − − + − −
= + + − + + − − −
= + −
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
2 4 4
2 4 4
6 4
6 4
a a b a b a b a
a a b a b a b a
a b a b a b a
a b a b a b a
b
− − + − − − + − − − +
= + − − − − + − + −
= − − − + − +
= − − + − + −
=
14. 14. 14. 14. 14. ( ){ } ( )[ ]( )
{ }[ ]( )
[ ]( )
( )
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
5 5 6
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y
− + − + − + − − +
= − + − + − − + −
= − + − + − − + −
= − − + − − + −
= − + − + + − +
= − +
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ){ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
6 2 2 2
6 2 2 2
6 2 2 2
6 2 2 2
6 7
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
a c
− − + + − + − − + +
= − − − + − − − − − +
= − − − − − − − − +
= + + + + + + + −
= +
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )( ){ } ( )[ ]
( ){ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + − + − + − − − +
= − − − + − + − + − −
= − − − + − + − + − −
= − − − − + − + − −
= − − − + − + − + +
= − + +
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
6 2 1
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n
17.17.17.17.17. ( ) ( )( )[ ] ( ){ }
( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
5 6
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b
+ − + − + − − + − + − − +
= + − + − + − − + − − + −
= + − + − + + − + + + −
= + − − + − − + − − + −
= − − + − − + − − + −
= − − −
18.18.18.18.18. ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }
( )[ ] { }
[ ]
− − + − − − + − + + − − + − +
= − − + − − + + − − − − + − −
= − − − − + − − − − + − −
= + + − − − −
= −
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 4 2 1
4
x x y x y x x y
x x y x y x x y
x x y x y x x y
x x y x y
19. 19. 19. 19. 19. ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }
[ ] [ ] [ ]{ }
{ }
− − − − + − + − − + − + −
= − − − + − − −
= − + + − +
= − +
=
a a b c c
a a b c c
a a b c c
b c c
b
20. 20. 20. 20. 20. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( )
[ ]{ } [ ]{ }
{ } { }
− − − + − + − − − − +
= − − − − − + + − −
= − + − + − −
= − − − − − −
=− −
a b b a a b
a b b a a b
a b b a a b
a b b a a b
a b3 3
21. 21. 21. 21. 21. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( ){ }[ ]
[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]
{ } { } [ ]
− − − + − − + − − + + − − + −
= − − − − + − + − + − + − − −
= − + − − − + − + +
= − − + + − + + +
= − + +
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c2
22. 22. 22. 22. 22. ( )( ){ } ( ) ( ){ }[ ]
( ){ } { }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + − − − + + − + + − +
= − + − − − − + − − − +
= − + − − + + − − − +
= − − − + + − − − +
= − + + − − + + + −
= − + −
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
2 4 7
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m n
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]
[ ]{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + − + − − + − − − + −
= − + − − − − + − + − −
= − + − − + − + − + −
= − − − +
= − + + − = −
x x y x y z x y y
x x y x y z x y y
x x y x y z x y y
x x y z
x x y z y z
2
2 2
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]
[ ]{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− − + − + − − − + − − − +
= − − + − + − − + − − +
= − − + − − − −
= − − − − − − = + +
a a a b a b c a b
a a a b a b c a b
a a c a b
a a c a b a b c3
EJERCICIO 33
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
a b c d
a b c d
− + −
= + − + −
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 6
3 6
− − +
= + − − +
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
x x x
x x x
3 2
3 2
4 3 1
4 3 1
+ − +
= + − +
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
a a b ab b
a a b ab b
3 2 2 3
3 2 2 3
5 3
5 3
− + −
= + − + −
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
x x x x
x x x x
4 3 2
4 3 2
2 2 1
2 2 1
− + − +
= − + − +
6. 6. 6. 6. 6. 
( )
2
2
a b c d
a b c d
+ − +
= − − + −
7. 7. 7. 7. 7. 
( )
x x x
x x x
3 2
3 2
3 4
3 4
+ + −
= − − − +
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
x x y xy y
x x y xy y
3 2 2 3
3 2 2 3
5 3
5 3
− + −
= − − +
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
a x xy y
a x xy y
2 2 2
2 2 2
2
2
− − −
= − + +
10. 10. 10. 10. 10. 
( )
a b bc c
a b bc c
2 2 2
2 2 2
2
2
+ − −
= − − + +
EJERCICIO 34
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( )[ ]
x y x y
x y x y
+ + −
= − − − −
2
2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )
( ) ( )[ ]
4 2 3 2
4 2 3 2
m n m n m n
m n m n m n
− + − − + + −
= − − + − + − −
3. 3. 3. 3. 3. ( )[ ]
( )[ ]{ }
x xy x xy y
x xy x xy y
2 2 2
2 2 2
3
3
− + − +
= − − − +
4. 4. 4. 4. 4. [ ] ( )
[ ] ( )[ ]
x x x x x
x x x x x
3 2
3 2
3 4 2 3 2 3
3 4 2 3 2 3
− + − + − − +
= − − − + + + +
5. 5. 5. 5. 5. ( )[ ]{ }
( )[ ]{ }[ ]
2 3 2
2 3 2
a b a a b a
a b a a b a
+ − − + + −
= − − + − + + −
EJERCICIO 35
6.6.6.6.6. ( )
( )[ ]
− + − +
= − − − +
2 3
2 3
a a b
a a b
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )
( ) ( )[ ]
2 3
2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y xy x y
x xy y xy x y
+ − + + − +
= − − − + + − − +
8. 8. 8. 8. 8. x x x
x x x
3 2
3 2
3 4 2
3 4 2
− − + −
= − − + − + −{ }
9. 9. 9. 9. 9. ( )[ ] ( )
( )[ ] ( ){ }
m m m m
m m m m
4 2
4 2
3 2 3 2 3
3 2 3 2 3
− + + + − +
= − − − + + − − +
1. 1. 1. 1. 1. 2 3 6⋅ − = −
2. 2. 2. 2. 2. − ⋅− =4 8 32
3. 3. 3. 3. 3. − ⋅ =−15 16 240
4. 4. 4. 4. 4. ab ab a b a b⋅− = − = −+ +1 1 1 1 2 2
5. 5. 5. 5. 5. 2 3 6 62 2 1 3x x x x⋅− = − = −+
6. 6. 6. 6. 6. − ⋅ − = =+ +4 4 42 2 2 1 1 2 3 3a b ab a b a b
7. 7. 7. 7. 7. − ⋅ = − = −+ +5 5 53 2 3 1 1 2 4 3x y xy x y x y
8. 8. 8. 8. 8. a b a x a b x a b x2 3 2 2 2 3 4 33 3 3⋅ = =+
9. 9. 9. 9. 9. − ⋅− = =+4 5 20 202 2 2 1 2 3 2m mn p m n p m n p
10. 10. 10. 10. 10. 5 6 302 2 2 2a y x a x y⋅− = −
11. 11. 11. 11. 11. − ⋅− = =+x y y z x y z x y z2 3 3 4 2 3 3 4 2 6 44 4 4
12. 12. 12. 12. 12. abc cd abc d abc d⋅ = =+1 1 2
13. 13. 13. 13. 13. − ⋅− = =+15 16 240 2404 3 2 3 2 4 3 3 2 7 3x y a x a x y a x y
14. 14. 14. 14. 14. 3 4 122 3 2 2 3 2a b x y a b x y⋅− = −
15. 15. 15. 15. 15. 3 7 21 212 3 5 2 1 3 1 5 2 4 6a bx b x a b x a b x⋅ = =+ +
16. 16. 16. 16. 16. − ⋅− = =+8 9 72 722 3 2 4 2 2 1 3 4 2 3 3 4m n a mx a m n x a m n x
17. 17. 17. 17. 17. a b ab a bm n m n⋅− = − + +1 1
18. 18. 18. 18. 18. − ⋅− = + +5 6 302 3 2 3a b a b x a b xm n m n
19. 19. 19. 19. 19. x y c x y c x y c x y cm n m n x m m n n x m n x⋅− = − = −+ + + +1 2 2 1
20. 20. 20. 20. 20. − ⋅− = + +m n m n m nx a x a6 62 2 1
EJERCICIO 36
1. 1. 1. 1. 1. a a a am m m m m⋅ = =+ + + +1 1 2 1
2. 2. 2. 2. 2. − ⋅− = =+ + + +x x x xa a a a a2 2 2 2
3. 3. 3. 3. 3. 4 4 41 1 1 1 2 1a b ab a b a bn x x n x x n x⋅− = − = −+ + + + + +
4. 4. 4. 4. 4. − ⋅ = − =−+ + + + + + + + + +a b a b a b a bn n n n n n n n n n1 2 2 1 2 2 2 3 2 2
5. 5. 5. 5. 5. − ⋅− =+ + + + + +3 4 124 1 2 3 2 6 2 4a b a b a bn n n n n n
6. 6. 6. 6. 6. 3 4 12 122 3 1 2 2 1 3 2 3 5x y x y x y x ym m m m m m⋅ = =+ + + + + + + +
7. 7. 7. 7. 7. 4 5 202 4 5 1 2 7 2 5x b x b x ba a a a a a+ + + + + +⋅− = −
8. 8. 8. 8. 8. a b c a b a b c a b cm n m n m m n n m n⋅− = − = −+ +2 2 2 3
9. 9. 9. 9. 9. − ⋅− =+ + − − − −x y x y c x y cm a m a m a1 2 3 5 2 2 2 2 3 24 4
10.10.10.10.10. − ⋅− =− − − − −5 7 351 2 3 4 3 3 2 5m n c m n m n ca b a b a b
EJERCICIO 37
1. 1. 1. 1. 1. 
1
2
4
5
1
2
4
5
4
10
2
5
2 3 5 5 5a a b a b a b a b⋅ = ⋅ = =
2. 2. 2. 2. 2. − ⋅−
= − ⋅− = =
3
7
7
14
3
7
7
14
21
98
3
14
2 2 3
2 5 2 5 2 5
m n a m
a m n a m n a m n
3. 3. 3. 3. 3. 
2
3
3
5
6
15
2
5
2 3 2 4 2 6 4 2 6 4x y a x y a x y a x y⋅− = − = −
4. 4. 4. 4. 4. − ⋅− = =
1
8
4
5
4
40
1
10
3 4 3 2 3 5 5 3 5 5m n a m n a m n a m n
5. 5. 5. 5. 5. − ⋅ =− =−
7
8
2
7
14
56
1
4
3 4 4abc a a bc a bc
6. 6. 6. 6. 6. − ⋅ − = =
3
5
5
6
3
6
1
2
3 4 2 5 2 3 9 2 3 9x y a by a bx y a bx y
7. 7. 7. 7. 7. 
1
3
3
5
3
15
1
5
1 1a a a am m m⋅ = =+ +
EJERCICIO 38
8. 8. 8. 8. 8. − ⋅ − = ⋅ =+ +
3
4
2
5
3
2
1
5
3
10
3 1 3 1 3a ab a b a bm m m
9. 9. 9. 9. 9. 
5
6
3
10
1
2
1
2
1
4
2
1 2 1 2
a b ab c
a b c a b c
m n
m n m n
⋅ −
= − ⋅ = −+ + + +
10. 10. 10. 10. 10. − ⋅ −
= ⋅ =
+ −,− + − +
2
9
3
5
2
3
1
5
2
15
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
a b a b
a b a b
x m x m
x m x m
11. 11. 11. 11. 11. 
3
8
4
5
12
40
3
10
2 3 2 3 2a b a b a b a bm n m n m n m n⋅ − = − = −
12. 12. 12. 12. 12. − ⋅ −
= ⋅ =
+ − −
− − − −
2
11
44
7
2
4
7
8
7
1 3 2 3 2
2 2 1 2 2 2 1 2
a b c a b
a b c a b c
x x x
x x x x
1. 1. 1. 1. 1. a a a a a⋅− ⋅ = − = −+ +3 3 32 1 1 2 4
2. 2. 2. 2. 2. 3 3 32 3 2 2 2 3 1 2 6x x y a x a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +
3. 3. 3. 3. 3. − ⋅− ⋅− =− =−+ + +m n m mn m n m n2 2 3 2 2 1 1 3 5 43 5 15 15
4. 4. 4. 4. 4. 4 5 20 202 3 2 2 2 3 1 2 2 6 2 2a a x ay a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +
5. 5. 5. 5. 5. − ⋅− ⋅− =− =−+ + + + +a ab a b a b a bm x m x m x2 3 6 62 1 2 1 3 1
6. 6. 6. 6. 6. 
1
2
2
3
3
5
6
30
1
5
3 2 4 2 4 3 1 6 4x a x a m a x m a x m⋅− ⋅− = =+ +
7. 7. 7. 7. 7. 
2
3
3
4
3
18
12
3
2
2 4 4 1
2 4 4 1 6 5
a a b a b
a b a b
m x
m x m x
⋅ ⋅−
= − = −
+
+ + + + + +
EJERCICIO 39
8. 8. 8. 8. 8. − ⋅− ⋅−
= − = −+ + + + +
3
5
5
1
10
15
50
3
10
3 2
2 3 1 2 4
m a m a m
a m a m
x a
x a x a
9. 9. 9. 9. 9. 2 3 4 24 242 3 1 2 3 1 7a a a a a a⋅− ⋅− ⋅ = =+ + +
10. 10. 10. 10. 10. − ⋅− ⋅ ⋅−
= − = −+ + + +
3 4 5
60 60
2 3 2
3 1 2 2 1 1 6 4
b a b ab a x
a b x a b x
11. 11. 11. 11. 11. a b a ab a x
a b x a b x
m x
m x m x
⋅− ⋅− ⋅−
= − = −+ + + + + +
2 2
2 1 2 1 5 1
2 3
6 6
12. 12. 12. 12. 12. − ⋅− ⋅− ⋅−
= =+ + + + +
1
2
3
5
10
3
3
4
6
8
3
4
2 2 3 2
2 1 3 2 1 2 1 8 4
x y xy x x y
x y x y
1. 1. 1. 1. 1. 3
2
6 2
3 2
4 3
x x
x
x x
−
−
− +
2.2.2.2.2. 8 3
2
16 6
2 2
3
5 3 2
x y y
ax
ax y ax y
−
−
3.3.3.3.3. x x
x
x x x
2
3 2
4 3
2
2 8 6
− +
−
− + −
4.4.4.4.4. a a a
ab
a b a b a b
3 2
4 3 2
4 6
3
3 12 18
− +
− +
5.5.5.5.5. a ab b
ab
a b a b ab
2 2
3 2 2 3
2
2
− +
−
− + −
6.6.6.6.6. x x x
a x
a x a x a x
5 3
2 2
2 7 2 5 2 3
6 8
3
3 18 24
− −
− −
7.7.7.7.7. m m n n
m x
m x m n x m n x
4 2 2 4
3
7 5 2 3 4
3 7
4
4 12 28
− +
−
− + −
8.8.8.8.8. x x y xy
ax y
ax y ax y ax y
3 2 2
3
6 5 2 4 3
4 6
4 6
− +
− +
9.9.9.9.9. a a b ab
a m
a m a bm a b m
3 2 2
4 2
7 2 6 2 5 2 2
5 8
4
4 20 32
− −
−
− + +
10.10.10.10.10. a a a
a
a a a
a a a
m m m
m m m
m m m
− +
−
− + −
= − + −
− −
+ − + − +
+ −
1 2
1 1 1 2 1
1 1
2
2 2 2
2 2 2
11. 11. 11. 11. 11. x x x
x
x x x
m m m
m
m m m
+ −
+ −
+ −
+ −
1 1
2
3 1 3 3 1
3
3
3 9 3
12. 12. 12. 12. 12. a b a b a b
a b
a b a b a b
m n m n m n
m n m n m n
+ −
+ −
− + − +
+ + + + +
1 1 2 2
2
2 1 1 2 3
3
3 3 3
EJERCICIO 40
13. 13. 13. 13. 13. x x x
x
x x x x
3 2
2
5 4 3 2
3 5 6
4
4 12 20 24
− + −
−
− + − +
14.14.14.14.14. a a x a x
bx
a bx a bx a bx bx
4 3 2 2
3
4 3 3 4 2 5 3
6 9 8
3
3 18 27 24
− + −
− + −
15.15.15.15.15. a a a a
a x
a x a x a x a x
n n n n
n
n n n n
+ + +
+ + +
− − −
−
− + + +
3 2 1
2
2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2
3 4
3 4
16. 16. 16. 16. 16. x x x x
a x
a x a x a x a x a x
4 3 2
2 3
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3
6 8 7 5
3
3 18 24 21 15
− + − +
−
− + − + −
17. 17. 17. 17. 17. − + − −
− + − −
3 5 7 4
5
15 25 35 20
3 2 2 3
2 2
2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5
x x y xy y
a xy
a x y a x y a x y a xy
18. 18. 18. 18. 18. x x x x
x
x x x x
a a a a
a a a a
+ + + +
+ + + +
− + −
−
− + − +
5 4 3 1
2
7 6 5 3
3 5
2
2 6 2 10
19. 19. 19. 19. 19. a a b a b a b b
a y
a y a b y a b y a b y a b y
8 6 2 4 4 2 6 8
3 2
11 2 9 2 2 7 4 2 5 6 2 3 8 2
3 3
5
5 15 5 15 5
− + − +
−
− + − + −
20. 20. 20. 20. 20. a b a b a b a b
a b
a b a b a b a b
m n m n m n m n
m
m n m n m n m n
+ − +
+ − +
− + − + − +
+ − + − + − +
3
4
4 12 4 4
1 2 2 4 3 6
3
2 3 2 1 5 2 2 7 2 3 9
1. 1. 1. 1. 1. 
1
2
2
3
2
5
2
10
4
15
1
5
4
15
2
1 2 2
3 2
a b
a
a a b
a a b
−
−
= −
+
 2. 2. 2. 2. 2.
2
3
3
4
2
3
4
9
6
12
4
9
1
2
3
3 1 3 1 1
4 3 2
a b
a b
a b a b
a b a b
−
−
− +
= − +
+ +
 3. 3. 3. 3. 3. 
3
5
1
6
2
5
5
3
15
15
5
18
10
15
5
18
2
3
2
1 1 2 2 2 1
2 2 2 3
a b c
ac
a c abc ac
a c abc ac
− +
−
− + −
= − + −
+ +
 4. 4. 4. 4. 4. 
2
5
1
3
2
9
3
6
5
3
3
6
9
6
5
2
3
2 2
2
2 2 2 1 2 2
4 3 2 2
a ab b
a x
a x a bx a b x
a x a bx a b x
+ −
+ −
= + −
+ +
5. 5. 5. 5. 5. 
1
3
2
5
1
4
3
2
3
6
6
10
3
8
1
2
3
5
3
8
2 2
3
2 3 3 1 2 3
2 3 4 5
x xy y
y
x y xy y
x y xy y
− −
− −
= − −
+ +
6. 6. 6. 6. 6. 3 5 6
3
10
9
10
15
10
18
10
9
10
3
2
9
5
2 3
2 1 3 2 3 2 3
3 3 2 3 2 3
a b c
a x
a x a bx a cx
a x a bx a cx
− +
−
− + −
= − + −
+
7. 7. 7. 7. 7. 
2
9
1
3
3
7
6
63
3
7
3
21
2
21
3
7
1
7
4 2 2 4
3 4
4 3 4 2 3 2 4 3 4 4
7 4 5 6 3 8
x x y y
x y
x y x y x y
x y x y x y
− +
− +
= − +
+ + + +
EJERCICIO 41
8. 8. 8. 8. 8. 
1
2
1
3
1
4
1
5
5
8
5
16
5
24
5
32
5
40
5
16
5
24
5
32
1
8
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2 2
a b x y
a m
a m a b m a mx a my
a m a b m a mx a my
− + −
−
− + − +
= − + − +
+
9. 9. 9. 9. 9. 
2
3
1
2
5
6
1
9
3
4
6
12
3
8
15
24
3
36
1
2
3
8
5
8
1
12
3 2 2 3
2 3
3 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 3
5 3 4 4 3 5 2 6
m m n mn n
m n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
+ − −
+ − −
= + − −
+ + + + + +
10. 10. 10. 10. 10. 
2
5
1
3
3
5
1
10
5
7
10
35
5
21
15
35
5
70
2
7
5
21
3
7
1
14
6 4 2 2 4 6
3 4 3
3 6 4 3 3 4 4 2 3 3 2 4 4 3 3 4 6 3
3 10 3 3 8 5 3 6 7 3 4 9
x x y x y y
a x y
a x y a x y a x y a x y
a x y a x y a x y a x y
− + −
−
− + − +
= − + − +
+ + + + + +
1. 1. 1. 1. 1. a
a
a a
a
a a
+
−
+
− −
+ −
3
1
3
3
2 3
2
2
3. 3. 3. 3. 3. x
x
x x
x
x x
+
−
+
− −
+ −
5
4
5
4 20
20
2
2
5. 5. 5. 5. 5. − +
− +
−
− +
− +
x
x
x x
x
x x
3
5
3
5 15
8 15
2
2
7. 7. 7. 7. 7. 3 2
2
6 4
3 2
6 2
2
2
2 2
x y
x y
x xy
xy y
x xy y
−
+
−
+ −
− −
2. 2. 2. 2. 2. a
a
a a
a
a a
−
+
−
−
− −
3
1
3
3
2 3
2
2
4. 4. 4. 4. 4. m
m
m m
m
m m
−
−
−
− +
− +
6
5
6
5 30
11 30
2
2
6. 6. 6. 6. 6. − −
− −
+
+ +
+ +
a
a
a a
a
a a
2
3
2
3 6
5 6
2
2
8. 8. 8. 8. 8. 5 4
3 2
15 12
10 8
15 22 8
2
2
2 2
x y
x y
x xy
xy y
x xy y
−
− +
− +
+ −
− + −
9. 9. 9. 9. 9. 5 7
3
5 7
15 21
5 8 21
2
2
2 2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
−
+
−
+ −
+ −
 11. 11. 11. 11. 11. − +
−
− +
+ −
− + −
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
8 4
8 8
4 4
8 12 4
2
2
2 2
13. 13. 13. 13. 13. − +
+
− +
− +
− + +
9 8
6 4
54 48
36 32
54 12 32
2
2
2 2
m n
m n
m mn
mn n
m mn n
10. 10. 10. 10. 10. 7 3
2 4
14 6
28 12
14 22 12
2
2
x
x
x x
x
x x
−
+
−
+ −
+ −
 12. 12. 12. 12. 12. 6 5
6 5
6 5
6 11 5
2
2
2 2
m n
m n
m mn
mn n
m mn n
−
−
−
− +
− +
14. 14. 14. 14. 14. − −
−
− −
+ +
− + +
7 3
2 11
14 6
77 33
14 71 33
2
2
y
y
y y
y
y y
EJERCICIO 42
1. 1. 1. 1. 1. x xy y
x y
x x y xy
x y xy y
x y
2 2
3 2 2
2 2 3
3 3
+ +
−
+ +
− − −
−
5. 5. 5. 5. 5. a a a
a
a a a
a a a
a a a
3 2
4 3 2
3 2
4 2
1
2
+ −
−
+ −
− − +
− +
 9. 9. 9. 9. 9. m m m
am a
am am am am
am am am a
am am a
3 2
4 3 2
3 2
4
2
2
2
2
− + −
+
− + −
+ − + −
− −
2. 2. 2. 2. 2. a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
2
2
2
3 3
− +
−
− +
− + −
− + −
6. 6. 6. 6. 6. m m n n
m n
m m n m n
m n m n n
m n
4 2 2 4
2 2
6 4 2 2 4
4 2 2 4 6
6 6
+ +
−
+ +
− − −
−
 10. 10. 10. 10. 10. 3 5 2
4 5
12 20 8
15 25 10
12 35 33 10
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
− +
−
− +
− + −
− + −
3. 3. 3. 3. 3. a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
2
2
2
3 3
+ +
+
+ +
+ + +
+ + +
7. 7. 7. 7. 7. x x x
x
x x x x
x x x
x x x
3 2
4 3 2
3 2
4 3
2 3 1
2 3
2 4 6 2
3 6 9 3
2 7 3
− + −
+
− + −
+ − + −
− + −
 11. 11. 11. 11.,11. 5 3
3
15 9 3
5 3
15 5 9 3 3
4 2 2 4
5 3 2 4
4 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
m m n n
m n
m m n mn
m n m n n
m m n m n m n mn n
− +
−
− +
− + −
− − + + −
4. 4. 4. 4. 4. x x
x
x x x
x x
x x x
3 2
4 3
3 2
4 2
3 1
3
3
3 9 3
9 3
− +
+
− +
+ − +
− + +
9. 9. 9. 9. 9. 3 6 5
2
3 6 5
6 12 10
3 5 12 10
3
2
5 3 2
3
5 2
y y
y
y y y
y y
y y y
− +
+
− +
+ − +
+ − +
 12. 12. 12. 12. 12. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
1
1
1
2 1
+ +
− −
+ +
− − −
− − −
− − −
13. 13. 13. 13. 13. x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
2
5 4 3
4 3 2
3 2
5 2
2
2 5
2
2 4 2
5 10 5
12 5
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ −
19. 19. 19. 19. 19. x xy y
x xy y
x x y x y
x y x y xy
x y xy y
x x y xy y
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 3 4
2
3
2
2
3 6 3
3 5 3
− +
− + +
− + −
+ − +
+ − +
− + − +
14. 14. 14. 14. 14. m m n mn
m mn n
m m n m n
m n m n m n
m n m n mn
m m n m n mn
3 2 2
2 2
5 4 3 2
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 4 2 3 4
3 2
2 8
3 2
2 6 4
8 24 16
5 20 16
− +
− −
− +
− + −
− + −
− + −
20. 20. 20. 20. 20. n n
n
n n n
n n
n n n
2
2
4 3 2
2
4 3
2 1
1
2
2 1
2 2 1
− +
−
− +
− + −
− + −
15. 15. 15. 15. 15. x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
1
1
1
2 1
+ +
− −
+ +
− − −
− − −
− − −
21. 21. 21. 21. 21. a a b ab
a b ab b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b a b ab
3 2 2
2 2 3
5 4 2 3 3
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
5 4 2 2 4 5
3 4
2 10
3 4
2 6 8
10 30 40
5 22 40
− +
− −
− +
− + −
− + −
− + −
16. 16. 16. 16. 16. x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
4 2
2
6 4 2
5 3
4 2
6 5 3 2
3 2
2 3
3 2
2 6 4
3 9 6
2 6 7 4 6
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − − +
22.22.22.22.22. 8 12 6 9
2 3
16 24 12 18
24 36 18 27
16 24 27
3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
4 2 2 4
x x y xy y
x y
x x y x y xy
x y x y xy y
x x y y
− + −
+
− + −
+ − + −
− −
17. 17. 17. 17. 17. m m m
m
m m m m
m m m
m m m m m
3 2
3
6 5 4 3
3 2
6 5 4 2
4 1
1
4
4 1
4 4 1
+ − −
+
+ − −
+ + − −
+ − + − −
23. 23. 23. 23. 23. 2 3 4
2 5
4 6 2 8
10 15 5 20
4 4 13 3 20
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
y y y
y
y y y y
y y y
y y y y
− + −
+
− + −
+ − + −
+ − − −
18. 18. 18. 18. 18. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a a
3
2
5 3 2
4 2
3
5 4 2
5 2
5
5 2
5 2
5 25 10
7 27 10
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − +
24. 24. 24. 24. 24. − + +
− −
− + +
+ − −
+ − −
− + + − −
a ax x
a ax x
a a x a x
a x a x ax
a x ax x
a a x a x ax x
3 2 3
2 2
5 3 2 2 3
4 2 3 4
3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
2 3
2 3
2 4 6
3 6 9
2 3
2 3 5 11 3
25. 25. 25. 25. 25. x x y x y xy
x xy y
x x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x x y x y xy
4 3 2 2 3
2 2
6 5 4 2 2 3
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
6 5 2 4 5
3 2
3 2
3 2
3 2
2 3
− + +
− − −
− + − −
− + − −
− + − −
− + − −
30. 30. 30. 30. 30. y y
y y
y y y
y y y
y y
y y y y y
2
4 2
6 5 4
4 3 2
2
6 5 4 3
2 1
2 2
2
2 4 2
2 4 2
2 4 4 2
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− − + − +
26. 26. 26. 26. 26. a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
3 2
3
6 5 4 3
4 3 2
3 2
6 5 2
5 2 3
2 7
5 2 3
2 10 4 6
7 35 14 21
5 31 8 21
− + −
− −
− + −
− + − +
− + − +
− + − +
31. 31. 31. 31. 31. m m
m m
m m m
m m m
m m
m m m m m m
4 2
3
7 5 3
5 3
4 2
7 5 4 3 2
3 4
3 2 1
3 9 12
2 6 8
3 4
3 11 18 3 8 4
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + + − − +
27. 27. 27. 27. 27. m m m
m m
m m m m
m m m m
m m m
m m m m
4 3 2
2
6 5 4 2
5 4 3
4 3 2
6 5 3
3
2 3
3
2 2 2 6
3 3 3 9
5 6 9
+ − +
− +
+ − +
− − + −
+ + − +
− + − +
32. 32. 32. 32. 32. a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
3 2
3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
4 3 2
3 2
6 5 4 3 2
1
2 1
2 2 2 2
1
2 2 3 2 1
+ − +
+ − −
+ − +
+ + − +
− − + −
− − + −
+ − − + − −
28. 28. 28. 28. 28. a a b a b ab b
a ab b
a a b a b a b a b
a b a b a b a b ab
a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
4 3 2 2 3 4
2 2
6 5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 5 6
3
2
3
2 2 6 2 2
3
4 6 3
+ − − +
− +
+ − − +
− − + + −
+ + − − +
− − + − +
33.33.33.33.33. 8 12 6
3 2 4
24 36 18 3
16 24 12 2
32 48 24 4
24 52 38 33 26 4
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x x y xy y
x xy y
x x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y xy y
x x y x y x y xy y
− − +
− +
− − +
− + + −
+ − − +
− + − − +
29. 29. 29. 29. 29. x x y x y xy y
x xy y
x x y x y x y x y
x y x y x y x y xy
x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
4 3 2 2 3 4
2 2
6 5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5 6
6 4 2 3 3 2 4 5 6
2
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2
− + − +
+ −
− + − +
+ − + − +
− + − + −
− + − + −
34. 34. 34. 34. 34. 5 4 2 3 1
2 2
5 4 2 3
10 8 4 6 2
10 8 4 6 2
5 4 8 5 5 2 6 6 2
4 3 2
4 2
8 7 6 5 4
6 5 4 3 2
4 3 2
8 7 6 5 4 3 2
a a a a
a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
− + − −
− +
− + − −
− + − + +
+ − + − −
− − + + − + − −
35. 35. 35. 35. 35. x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
4 3 2
3 2
7 6 5 4 3
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
7 6 5 2
1
2 3 6
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
3 6 3 6
− + − +
− + +
− + − +
− + − + −
+ − + − +
+ − + − +
− + + − +
 40. 40. 40. 40. 40. 3 6 2 3 2
3 4 5
3 6 2 3 2
9 18 6 9 6
12 24 8 12 8
15 30 10 15 10
3 15 14 28 47 28 23 10
5 3 2
4 2
9 7 6 5 4
7 5 4 3 2
6 4 3 2
5 3 2
9 7 6 4 3 2
a a a a
a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a a
− + − +
− + −
− + − +
− + − + −
+ − + − +
− + − + −
− + − + − + −
36. 36. 36. 36. 36. 3 2 5 4
2 1
3 2 5 4
3 2 5 4
6 4 10 8
3 2 5 4
3 5 9 10 8 3 4
3 2
3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
4 3 2
3 2
6 5 4 3 2
a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
+ − −
+ − +
+ − −
+ + − −
− − + +
+ + − −
+ − − + + −
 41. 41. 41. 41. 41. a b c
a b c
a ab ac
ab b bc
ac bc c
a b bc c
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
− + −
2
2
2
2 2 22
37. 37. 37. 37. 37. 5 3 4 2
3 1
5 3 4 2
15 9 12 6
5 3 4 2
5 3 11 11 17 3 4 2
4 3 2
4 2
8 7 6 5
6 5 4 3
4 3 2
8 7 6 5 4 3 2
y y y y
y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y y y y y
− + +
− −
− + +
− + − −
− + − −
− − + − − − −
 42. 42. 42. 42. 42. x y z
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x xy y yz z
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ − + −
2
2
2
2
2 3
2
2
2
2 2 2
38.38.38.38.38. m m n m n n
m m n mn n
m m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n mn
m n m n m n n
m m n m n m n m n m n mn n
4 3 2 2 4
3 2 2 3
7 6 5 2 3 4
6 5 2 4 3 2 5
5 2 4 3 3 4 6
4 3 3 4 2 5 7
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
2 3 4
3 5
2 3 4
3 6 9 12
5 10 15 20
2 3 4
5 14 20 13 9 20 4
− + −
− + − +
− + − +
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − + − − + −
43. 43. 43. 43. 43. 2 3 5
2
2 3 5
2 3 5
4 6 10
2 5 3 10
2
2
2
2 2 2
x y z
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x xy xz y yz z
− +
− + +
− + −
+ − +
+ − +
− + − − − +
39. 39. 39. 39. 39. x x y x y y
x x y xy
x x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x x y x y x y x y xy
6 4 2 2 4 6
5 3 2 4
11 9 2 7 4 5 6
9 2 7 4 5 6 3 8
7 4 5 6 3 8 10
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10
3
2 3
3
2 6 2 2
3 9 3 3
5 8 6 5 3
− − +
− +
− − +
− + + −
+ − − +
− + − − +
 44. 44. 44. 44. 44. x xy xz y yz z
x y z
x x y x z xy xyz xz
x y xy xyz y y z yz
x z xyz xz y z yz z
x xyz y z
2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2 2 2 3
3 3 33
− − + − +
+ +
− − + − +
+ − − + − +
+ − − + − +
− + +
EJERCICIO 43
1. 1. 1. 1. 1. a a a
a
a a a
a a a
a a
x x x
x x x
x x x
x x
+ +
+ + +
+ +
+
− +
+
− +
+ − +
+
2 1
3 2 1
2 1
3
1
2. 2. 2. 2. 2. − + +
+
− + +
− + +
− + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + + +
x x x
x x
x x x
x x x
x x x x
n n n
n n n
n n n
n n n n
3 2 1
2
5 4 3
4 3 2
5 4 3 2
2
2
2
3
 3. 3. 3. 3. 3. m m m m
m m
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m m
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a,a a a
+ + −
+ + + +
+ + +
+ + −
+ + + −
+ − +
− +
+ − +
− − + −
+ + − +
− + − +
2 1 1
2
4 3 2 1
3 2 1
2 1 1
4 3 1 1
2 3
2 2 2 2
3 3 3 3
6 5 3
4. 4. 4. 4. 4. a a a
a a
a a a
a a a
a a a a
n n n
n n
n n n
n n n
n n n n
+ +
+
+ + +
+ +
+ + +
+ −
+
+ −
+ + −
+ + −
2 1
1
2 3 2 2 2 1
2 2 2 1 2
2 3 2 2 2 1 2
3 2
3 2
3 2
4 2
5. 5. 5. 5. 5. x x x
x x
x x x
x x x
x x x x x
a a a
a a
a a a
a a a
a a a a a
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ + + + +
+ −
−
+ −
− − +
+ − − +
2 1
3 1
2 5 2 4 2 3
2 3 2 2 2 1
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1
2
2
2
2 4 2
2 3 4 2
6. 6. 6. 6. 6. a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
− −
+ +
+ −
− −
+ − −
2 3
2 1
2 3
2 4 6
2 3
2 8 3
1 2
2
2 1
1 1
1 2
2 1 2
7. 7. 7. 7. 7. a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ − + −
− −
− −
− −
− − −
− − −
− − − −
3 2
3 2
3 2
3 2
2 4 5 2
1 2
1 2
2 2 1 2 2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 3 2 4
2 2 1 2 2 2 3 2 4
8. 8. 8. 8. 8. m m m m
m m m
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m m m
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a a
+ + + +
− − −
+ + +
+ + −
+ − −
+ + + − −
− − +
− + +
− + + −
+ − − +
+ − − +
− + + − − +
4 3 2 1
1 2 3
2 3 2 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 2 1 2 2
2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2
2
2
2
2
2 2 4
9. 9. 9. 9. 9. x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
− − − −
− − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
+ − +
− −
+ − +
− − + −
− − + −
+ − −
1 2 3 4
1 2 3
2 2 2 3 2 4 2 5
2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 2 5 2 6 2 7
2 2 2 3 2 4 2 7
2
2
2
2
4
10. 10. 10. 10. 10. a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
n n n n
n n
n n n n
n n n n
n n n n n
− + −
−
− + −
− + − +
− + − +
− − −
−
− − −
− − − −
− − − −
1 2 2 3 3 4
2 2 4
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8
2
2
2
2
11. 11. 11. 11. 11. a b
a b
a a b
a b b
a a b a b b
x x
m m
m x m x
x m m x
m x m x x m m x
+
+
+
+ +
+ + +
+
+
+ +
12. 12. 12. 12. 12. a b
a b
a ab
a b b
a ab a b b
x n
x n
x n
x n x n
− −
−
−
− −
−
−
−
− +
− − +
1 1
1
1
1 1
13. 13. 13. 13. 13. − + +
− +
− + +
+ − −
− + +
− + + − +
+ +
− − −
+ −
− −
− − −
+ − − −
5 3
6 8
30 6 18
40 8 24
5 3
30 46 5 23 3
2 2 2 1 2
3 1 3 2 3 3
5 1 5 5 1
5 5 1 5 2
5 1 5 2 5 3
5 1 5 5 1 5 2 5 3
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m m m
14. 14. 14. 14. 14. x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x
+ − + +
− − − − −
+ − − − −
− − − −
− − − − +
+ − −
− +
− − −
− + −
− + −
− + −
− + +
2 1 1 1
2 1 2 2 2 1 2 3
3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1
3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
3 1 2 3 3 2 2 3
4 3
2 4 10
2 8 6
4 16 12
10 40 30
2 4 28 a x a xy x y− − +−2 2 3 3 2 130
EJERCICIO 44
1. 1. 1. 1. 1. 
1
2
1
3
1
3
1
2
1
6
1
9
1
4
1
6
1
6
4 9
36
1
6
1
6
5
36
1
6
2
2
2 2
2 2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
a ab b
−
+
−
+ −
− − −
= + −
2. 2. 2. 2. 2. x y
x y
x xy
xy y
x xy y
x xy y
x xy y
−
+
−
+ −
−
−
−
= + −
= + −
2
5
1
3
5
6
1
3
2
15
5
6
10
30
1
3
4 25
30
10
30
1
3
21
30
1
3
1
3
7
10
1
3
2
2
2 2
2 2
2 2
3. 3. 3. 3. 3. 
1
2
1
3
1
4
2
3
3
2
2
6
2
9
2
12
3
4
3
6
3
8
2
6
8 27
36
2 6
12
3
8
1
3
35
36
8
12
3
8
1
3
35
36
2
3
3
8
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
x xy y
x y
x x y xy
x y xy y
x x y xy y
x x y xy y
x x y xy y
− +
−
− +
− + −
−
+
+
+
−
= − + −
= − + −
4. 4. 4. 4. 4. 
1
4
2
3
1
4
3
2
1
16
1
4
2
12
3
8
3
2
6
6
1
16
2 3
8
2 18
12
1
16
5
8
20
12
1
16
5
8
5
3
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
a a b ab b
a a b ab b
− +
−
− +
− + −
−
+
+
+
−
= − + −
= − + −
5. 
2
5
1
3
1
2
3
2
2
6
10
3
6
3
4
2
5
1
3
1
2
4
5
2
3
2
2
6
10
15 12
30
45 20 48
60
3 4
6
2
2
6
10
3
30
17
60
7
6
3
5
1
10
17
60
7
6
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
m mn n
m mn n
m m n m n
m n m n mn
m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+
−
−
+ −
+
+
−
= + − + −
= + − + −
7. − + +
− +
− + +
+ − −
− + +
− +
+
+
− −
−
−
+
= − + + − +
= − + + − +
1
2
1
3
3
2
3
2
2
3
3
4
3
6
9
4
1
2
1
3
3
2
2
6
2
9
6
6
3
4
3 3
6
27 4 4
12
27 4
18
6
6
3
4
6
6
19
12
23
18
6
6
3
4
19
12
23
18
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
x ax a
x ax a
x ax a x
ax a x a x
a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a x a
9. 
1
4
1
3
1
4
1
2
3
2
1
10
1
5
3
8
3
6
3
8
3
4
1
40
1
30
1
40
1
20
1
20
1
15
1
20
1
10
3
8
60 3
120
45 4 6
120
90 3 8
120
1 1
20
1
10
3
8
63
120
47
120
79
120
2
20
1
10
3
8
21
40
47
120
79
120
1
10
1
10
3 2
2
5 4 3 2
4 3 2
3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x
+ − +
+ −
+ − +
+ + − +
− − + −
+
+
−
− +
+
− −
+
+
−
= + − + + − = + − + + −
 6. 
3
8
1
4
2
5
2
1
3
2
6
8
2
4
4
5
3
24
1
12
2
15
6
8
2
4
4
5
6
8
2
4
96 15
120
2 18
24
8 30
60
4
5
3
4
1
2
111
120
16
24
38
60
4
5
3
4
1
2
37
40
2
3
19
30
4
5
2
3
5 4 3
3 2
2
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ −
+
−
−
+
+
−
= + − + + −
= + − + + −
8. 
2
7
1
5
1
2
1
4
2
3
5
6
2
28
1
20
1
8
4
21
2
15
2
6
10
42
5
30
5
12
2
28
21 80
420
105 112 200
840
10 5
30
5
12
2
28
101
420
417
840
15
30
5
12
1
14
101
420
139
280
1
2
3 2 2
2 2
5 4 3 2
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3
x x y xy
x xy y
x x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y
− +
− +
− +
− + −
+ − +
−
+
+
+ +
−
+
+
= − + − +
= − + − +
5
12
4xy
10.10.10.10.10.
3
4
1
2
2
5
1
4
2
3
2
3
5
2
6
12
2
6
4
15
2
12
6
12
2
6
4
15
2
12
15
8
5
4
10
10
5
8
6
12
4 6
12
32 40 225
120
10 16 75
60
20 120
120
5
8
1
2
10
12
297
120
101
60
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3
m m n mn n
m mn n
m m n m n m n
m n m n m n mn
m n m n mn n
m m n m n m n mn n
m m n m n m n
− + −
− +
− + −
− + − +
+ − + −
−
+
+
+ +
−
+ +
+
+
−
= − + − +
140
120
5
8
1
2
5
6
99
40
101
60
7
6
5
8
4 5 5 4 3 2 2 3 4 5mn n m m n m n m n mn n− = − + − + −
EJERCICIO 45
1. 1. 1. 1. 1. x x x por x
x x x x
3 2 2
5 4 2
1
1 1 1
1 0 1
1 1 1
1 1 1
1 1 0 1 1
− + −
− +
+ −
− +
− + −
− + + −
= − + −
2. 2. 2. 2. 2. x x x por x x
x x x x x x
4 3 2 3 2
7 6 5 4 3 2
3 5 8 2 7
1 3 5 0 8
1 2 0 7
1 3 5 0 8
2 6 10 0 16
7 21 35 0 56
1 1 11 3 13 19 0 56
11 3 13 19 56
+ − + − −
+ − + +
− + −
+ − + +
− − + + −
− − + + −
+ − + − + + −
= + − + − + −
3. 3. 3. 3. 3. a a b a b ab b por a ab b
a a b a b a b a b ab b
4 3 2 2 3 4 2 2
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
3 2 5 2
1 3 2 5 1
1 2 1
1 3 2 5 1
2 6 4 10 2
1 3 2 5 1
1 1 7 12 13 7 1
7 12 13 7
+ − + − − +
+ − + −
− +
+ − + −
− − + − +
+ + − + −
+ − + − + −
= + − + − + −
4. 4. 4. 4. 4. m m n mn n por m mn n
m m n m n m n m n mn n
3 2 2 3 3 2 3
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
5 6 4
1 5 6 1
1 0 4 1
1 5 6 1
4 20 24 4
1 5 6 1
1 5 2 20 19 10 1
5 2 20 19 10
− + + − −
− + +
+ − −
− + +
− + − −
− + − −
− + + − − −
= − + + − − −
5. 5. 5. 5. 5. x x por x x
x x x x
4 2 4 2
8 6 4 2
8 3 6 5
1 0 8 0 3
1 0 6 0 5
1 0 8 0 3
6 0 48 0 18
5 0 40 0 15
1 0 2 0 50 0 58 0 15
2 50 58 15
− + +,−
+ − + +
+ + + −
+ − + +
+ + − + +
− + + + −
+ − + − + + + −
= − − + −
6. 6. 6. 6. 6. a a a por a a a a
a a a a a a a
6 4 2 8 6 4 2
14 12 10 8 6 4 2
3 6 10 4 3 2
1 0 3 0 6 0 10
1 0 4 0 3 0 2
1 0 3 0 6 0 10
4 0 12 0 24 0 40
3 0 9 0 18 0 30
2 0 6 0 12 0 20
1 0 7 0 9 0 23 0 52 0 42 0 20
7 9 23 52 42 20
− − + − + −
+ − + − + +
+ − + + + −
+ − + − + +
− + + + + + −
+ + − + − + +
− + + + + + −
+ − + + + + + − + + + −
= − + + − + −
7. 7. 7. 7. 7. x x x por x x
x x x x x
9 6 3 6 3
15 12 9 6 3
4 3 2 3 8 10
1 0 0 4 0 0 3 0 0 2
3 0 0 8 0 0 10
3 0 0 12 0 0 9 0 0 6
8 0 0 32 0 0 24 0 0 16
10 0 0 40 0 0 30 0 0 20
3 0 0 20 0 0 51 0 0 70 0 0 46 0 0 20
3 20 51 70 46 20
− + − − +
+ + − + + + + + −
+ + − + + +
+ + − + + + + + −
− + + + + + − + + +
+ + + − + + + + + −
+ + − + + + + + − + + + + + −
= − + − + −
9. 9. 9. 9. 9. x x y x y x y y por x y
x x y x y x y x y x y y
5 4 3 2 2 3 5 2 2
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7
3 6 4 2 4
1 3 6 4 0 1
2 0 4
2 6 12 8 0 2
4 12 24 16 0 4
2 6 8 20 24 18 0 4
2 6 8 20 24 18 4
− − − − +
− − − + −
+ +
− − − + −
+ − − − + −
− − − − − + −
= − − − − − −
11.11.11.11.11. n n n n por n n
n n n n n n n n n
6 4 3 4 2
10 8 7 6 5 4 3 2
3 5 8 4 3 4
1 0 3 5 0 8 4
1 0 3 0 4
1 0 3 5 0 8 4
3 0 9 15 0 24 12
4 0 12 20 0 32 16
1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16
6 5 13 23 8 44 12 32 16
− + − + − +
+ − + + − +
+ − + +
+ − + + − +
− + + − + + −
+ + − + + − +
+ − + + − − + − − +
= − + + − − + − − +
13. 13. 13. 13. 13. x x y x y y por x x y x y y10 6 4 2 8 10 6 4 2 2 4 65 3 6 4 5
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
1 0 4 0 5 0 1
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
4 0 0 0 20 0 0 0 12 0 24
5 0 0 0 25 0 0 0 15 0 30
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
1 0 4 0 10 0 21 0 28 0 23 0
− + − − − +
+ + + − + + + + + −
+ − + − + +
+ + + − + + + + + −
− + + + + + + + − + +
− + + + + + + + − + +
+ + + + − + + + + + −
+ − + − + + + + + − + + + + + −
− − + + − + + −
9 0 33 0 6
4 10 21 28 23 9 33 616 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16x x y x y x y x y x y x y x y y
14.14.14.14.14. a a a por a
a a a a a
m m m
m m m m m
− + −
− + +
+ −
− + +
− + + −
− − + + −
= − − + −
− −
+ + − −
3 5 5
1 3 0 5
1 0 5
1 3 0 5
5 15 0 25
1 3 5 20 0 25
3 5 20 25
1 3 2
2 1 1 3
8. 8. 8. 8. 8. m m m por m m m m
m m m m m m m
12 8 4 16 12 8 4
28 24 20 16 12 8 4
7 9 15 5 9 4 3
1 7 9 15
1 5 9 4 3
1 7 9 15
5 35 45 75
9 63 81 135
4 28 36 60
3 21 27 45
1 12 53 127 187 192 87 45
12 53 127 187 192 87 45
− + − − + − +
− + −
− + − +
− + −
− + − +
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − + − + −
= − + − + − + −
10. 10. 10. 10. 10. 6 4 6 2 2 7
6 0 0 4 6 2
1 0 2 1 7
6 0 0 4 6 2
12 0 0 8 12 4
6 0 0 4 6 2
42 0 0 28 42 14
6 0 12 2 36 6 16 38 44 14
6 12 2 36 6 16 38 44 14
5 2 4 2
9 7 6 5 4 3 2
a a a por a a a
a a a a a a a a
− + − − + −
+ + − + −
+ − + −
+ + − + −
− + + + − +
+ + + − + −
− + + + − +
+ − + − + − + − +
= − + − + − + − +
12.12.12.12.12. 3 4 5 3
3 4 0 0 1
1 0 5 3
3 4 0 0 1
15 20 0 0 5
9 12 0 0 3
3 4 15 29 13 0 5 3
3 4 15 29 13 5 3
4 3 4 3 2 3
7 6 5 2 4 3 3 4 6 7
x x y y por x xy y
x x y x y x y x y xy y
− − − +
− + + −
+ − +
− + + −
− + + + +
+ − + + −
− − + − + + −
= − − + − + −
15. 15. 15. 15. 15. a a a por a a a
a a a
a a a a
x x x x x x
x x x
x x x x
+ + − + +
+ + +
+ + −
− − + +
− + −
+ + +
− + −
+ − + −
+ − + −
− + − − − −
= − +
− − − −
2 1 1 3 1
2 5 2 4 2 3
2 2 2 1 2 2 1
5 7 7 6
1 5 0 7
7 0 6 1
7 35 0 49
6 30 0 42
1 5 0 7
7 35 6 78 5 42 7
7 35 6
78 5 42 7
16.16.16.16.16. x x x por x x x x
x x x x
x x x x
a a a a a a a
a a a a
a a a a
+ − + − −
+ + +
− − − −
− − − + +
+ − + −
− + +
+ − + −
− + + + +
+ + − + −
+ + − + −
− − + − + − −
= − − +
− + − −
2 2 1 1 2
2 3 2 2 2 1 2
2 1 2 2 2 3 2 4
5 6 6 4 2
1 0 5 0 6
6 4 2 1
6 0 30 0 36
4 0 20 0 24
2 0 10 0 12
1 0 5 0 6
6 4 28 21 46 19 12 6
6 4 28 21
46 19 12 6
 17. 17. 17. 17. 17. a a a a por a a a
a a a a a a
x x x x x x x
x x x x x x
2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1
5 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2
3 5 6 5 3
1 3 1 5
6 5 3
6 18 6 30
5 15 5 25
3 9 3 15
6 23 12 34 22 15
6 23 12 34 22 15
+ + − + −
+ + + − −
− − − − +
− − −
− +
− − −
− + + +
+ − − −
− + − + −
= − + − + −
EJERCICIO 46
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )4 5 3
4 20
3
4 20
12 60
4 8 60
2
2
a a
a
a
a a
a
a a
+ −
+
−
+
− −
+ −
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )3 1 1
3 3
1
3 3
3 3
3 3
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
a x x
a x a
x
a x a x
a x a
a x a
+ −
+
−
+
− −
−
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )2 3 1 4
2 6
1
2 6
2 6
2 8 6
4
2 8 6
8 32 24
2 26 24
2
2
3 2
2
3
a a a
a
a
a a
a
a a
a
a a a
a a
a a
− − +
−
−
−
− +
− +
+
− +
+ − +
− +
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )x x x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x x
x x x
2 2 2
2
2
4 2
2
4 2
2
6 4 2
4 2
6 4 2
1 1 1
1
1
1
2 1
1
2
2 1
1
+ − +
+
+
+
+ +
+ +
−
+ +
− − −
+ − −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )m m m m
m m
m
m m
m m
m m m
m
m m m
m m m
m m m m
− − +
−
−
−
− +
− +
+
− +
+ − +
− + +
4 6 3 2
4
6
4
6 24
10 24
3 2
3 30 72
2 20 48
3 28 52 48
2
3 2
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )a b a ab b a b
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
a b
a a b a b ab
a b a b ab b
a a b ab b
− − + +
− +
+
− +
+ − +
− − +
−
− − +
− + + −
− + −
2 2
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
4 3 3 4
2
2
2
2
2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )3 2 1 1 1
3 6 3
1
3 6 3
3 6 3
3 9 9 3
1
3 9 9 3
3 9 9 3
3 6 6 3
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
5 4 2
x x x x x
x x x
x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − +
− +
−
− +
− + −
− + −
+
− + −
+ − + −
− + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( )x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x
− + − +
− −
+ +
− −
+ − + −
+ − − −
− −
+ −
− − +
− − +
− − + +
3 4 5 1
3 5
4 1
3 5
4 12 5
12 4 5
4 5
12
4 4 48
5 5 60
3 21 43 60
2 2
2 2
2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( )( )x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
2 2 2
2 2
2
4 3 2 3
2 2
4 3 2 3 2
3 2
7 6 5 4 3
6 5 4 3 2
5 4 3 2
3 2 1 1 3
2 1 3
3 1
2 3
3 6 3 3
2 4 6 3 3 3
3 3
2 4 6 3
2 4 6 3
3 6 12 18
− + + − +
+ + −
+ −
+ + −
+ + + − +
+ + + + − − +
− − +
+ + + +
− − − − −
− − − − −
+ + + + +
+ − − − − + +
9
3 6 12 18 9
9 9 9 9
4 3 2
7 6 5 4 3 2
x
x x x x
x x x x x x x
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( )( )9 3 2 2 1 1 2 1
27 18 2 1
2 1 1
54 36 2
27 18 2 1
54 9 18 2 3 1
2 3 1
108 18 36
162 27 54
54 9 18
108 180 45 45 18
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 2
2
6 5 4
5 4 3
4 3 2
6 5 4 3 2
a a a a a
a a a
a a
a a a a
a a a
a a a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
− + − −
− −
+ −
− −
+ − − +
− − − +
− +
− −
− + +
+ − −
− + − −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )a a b a b b
a a b
a b b
a b a b
a b a b
a b a b
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+ −
+
−
+
− −
−
1 2 1 2
2 1 2
1 2 2
3 2 2 1 2 2
2 1 2 2 3 4
3 2 3 4
8.8.8.8.8. ( )( )( )x x x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x
x x x x
x x x
x x x x x
2 2
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
5 3 2
4 2
5 4 3 2
1 1 2
1
1
1
2 1
2
2
2 2 4 2
2 4 5 2
− + + − −
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
−
− + −
− + − +
− − + − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )a a a
a
a
a a
a
a a a
a
a a a a
a a a
a a a a a
a a
m m m
m
m
m m
m
m m m
m
m m m m
m m m
m m m m m
m m
− + −
−
+
+ −
−
+ − −
−
+ − −
− + − +
+ − − − +
⇒ + −
− −
−
− −
− −
−
− − − −
− −
− − − −
− −
3 2 1
3
2
3
2 6
2 3 6
1
2 3 6
3 2 6
3 3 2 6
3
1 1
1
2 1 1
2 1 1
1
2 1 3 2 2 2 1
2 1 1
2 1 3 2 2 2 1
3 2 2 1 a a am m m2 2 12 3 6− −− − +
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )( )a a a a
a a
a
a a
a a
a a a
a
a a a
a a a
a a a a
− − −
−
−
−
− +
− +
−
− +
− + −
− + −
1 2 3
2
2 2
3 2
3
3 2
3 9 6
6 11 6
2
3 2
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
EJERCICIO 47
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )4 3 5 2
4 12 5 10
9 22
x x
x x
x,+ + +
= + + +
= +
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )6 4 3 1 5 2
6 24 3 3 5 10
8 31
2 2 2
2 2 2
2
x x x
x x x
x
+ − + + +
= + − − + +
= +
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( )a a x a x a a x a
a ax ax a ax a
a ax
− + + − −
= − + + − +
= +
3 2 3
3 6 3
10
2 2 2
2
4.4.4.4.4. ( ) ( )x y y x x y
x y x x y y x y
x y x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 3
3
+ + + −
= + + + −
= − + +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )4 5 3 3
4 5 3 3 3 3
3 3 2
3 2 2 2 2 2 2
3 2 4 2 2 3 2
4 3 2 2 2
m mn m m n mm n
m mn m mn m mn
m m m n mn
− + + − −
= − + + − +
= + + −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )y x y y x y x y x
y x y x y y x y y x y y
y y
2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2
3 2
1 1 1
3
+ − + + + − −
= + − − + + − +
= − +
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )
( )
5 2 1 4 6
5 10 4 4 6
10 4 4
6 6
2
2
2
x x x x
x x x x x
x x x x
x x
+ − + + −
= + − + + + −
= − + − − − −
= − − +
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a
+ − − + − + +
= − + − − − + − + +
= + − − −
= + − − +
= − + +
5 5 3 2 2 5 4
5 5 25 3 2 2 4 5 20
5 5 3 4
5 5 3 12
2 5 7
2 2
2 2
2 2
2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
a b a b a b a b a b a b
a ab b a ab b a ab b
a ab b a ab b a ab b
a ab b
+ − − − + − + −
= + − − − − − − −
= + − − + + − + +
= − + +
4 3 5 2 3 3 6
4 3 15 2 3 3 6
4 3 15 2 3 3 6
14 5 5
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
a c a c
a c a c a c a c
a ac ac c a ac ac c
a ac c a ac ac c
ac
+ − −
= + + − − −
= + + + − − − +
= + + − + + −
=
2 2
2 2 2 2
2 2 2 22
4
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
3 4 3 3
3 4 3 3
3 4 3 3
3 2 4 2 3 3
3 6 3 4 8 4 3 3
2 14 4
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y x y
x y x y x y x y x y
x xy xy y x xy xy y x y
x xy y x xy y x y
x xy y x xy y x y
x xy y
+ − − + −
= + + − − − + −
= + + + − − − + + −
= + + − − + + −
= + + − + − + −
= + −
12.12.12.12.12.( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
m n m n m n
m n m n m n m n m n m n
m mn n m mn n m mn n
m mn n m mn n
m mn n
+ − + + −
= + + − + + + − −
= + + − + + + − +
= − + − − −
= − − +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4
2 2 4 4
2 4 4 8 16
2 6 17 4 4
2 10 16
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x a x x a x a x a x
ax x ax x ax x a x a x a x
ax x x ax x a x a ax ax x
ax x x a a ax ax x
x x ax a a
+ + + − + + − −
= + + + − + + + − − −
= + + − − − − − − − +
= − + − − + + −
= − + + − −
3 1 1 2
3 3 2 2
4 3 2 2
3
2 5
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
a ab ac a ab ac
ab b bc ab b bc
ac bc c ac bc c
a ab ac b bc c a ab ac b bc c
a b c
a b c
a ab ac
ab b bc
ac bc c
a ab
+ − + − + − + +
+ − − +
+ − − +
+ − − +
+ + − − + −
− − + + − +
+ − + − + − + + − +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2ac b bc c
a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
a b c ab ac bc
+ + +
+ − + − +
− + + − +
− − − − − −
− − + − +
⇒ + + − − −
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 6
2 2 6
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( )x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
4 3 2 4 3 2
3 2 3 2
2 2
4 3 2 4 3 2
2
2
4 3 2
3 2 3
3 2
3 2
3 2
3 2
3 3 9 2 2 4
2 5 6 9 2 3 4 4
3
3
3
+ − − − + + − −
+ − + −
+ − + −
+ − + −
+ + − + + −
− − + − − +
+ − − + + − − +
− −
− −
− − 4 3 2
3 2 4 3 2
2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
2 5 6 9
3 2 3 4 4
3 3 9 2 5 6 9
2 5 6 9 2 7 4 14
+ − − +
− + + − − + + −
− + + − − + +
− − + + − − + +
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
17. 17. 17. 17. 17. ( )[ ] ( )[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
+ − − + + −
= + − − − + −
= − − + −
= − − + + −
= − +
2 3 3 1 4
2 3 3 1 4
3 3 2 1 4
6 3 6 3 4
5 5 3
2
2
2
2 2
2
19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] [ ]
[ ][ ]
[ ] [ ]
m n m n m n m n m n m n
m n m mn n m n m n
m n m mn n m n
mn n m n
m n mn mn n
m n mn n
+ − − + + + − −
= − − + + + − +
= − − − − − +
= − − − +
= − + −
= − −
2 3
2 2 2 3 3
2 5
2 2 5
2 10 2 10
2 8 10
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 3
2 2 3
EJERCICIO 48
1. 1. 1. 1. 1. ( )[ ]
[ ]
x a x
x a x
x a x
x a
− + − +
= − − +
= − + −
= − −
3 2 1
3 2 2
3 2 2
3 3 2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )[ ]
[ ]
− + − + − +
= − − − − +
= − − − + −
= − − + ⇒ − + −
a b a b a
a b a ab b
a b a ab b
a b ab a ab b
3 2 2
3 2 2
6 3 6
7 7 3 7 3 7
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )( ) ( )x y z x y x y x xy y
x y z x y
x y z x y
x xy xz x xy
xy y yz xy y
xz yz z x y
x xy xz y yz z
x xy xz y yz z
x y
x xy y
x xy xz y yz z
x y z
+ + − + − + + +
+ + +
+ + −
+ + +
+ + + − −
+ + + −
+ + + + +
+ + + + +
− +
+ +
+ + + + +
⇒ + +
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 5 2 5 2
3 5 + + +5 2 2xy xz yz
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
3 2 4 1 3 4 2 2
3 6 4 4 3 12 2 4
2 8
8 2 16
6 16
2
2
x x x x
x x x x
x x
x x x
x x
+ − + + − +
= + − − + − −
= − + +
= − − + +
= − − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
( )[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
x y x y x y x y x y x
x xy y x xy y x y xy x
x xy y x xy y xy y
x xy y xy y
x y x y x y xy xy y
x y x y xy y
+ − − + − + −
= + + − − + − + −
= + + − + − −
= − + − −
= − + + − − +
= − + − +
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 4
3 2 2 3 4
3
2 3 2
2 3 6 3
2 8 2
2 2 8 8 2 2
2 10 10 2
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
− − + − − + − +
= − − + − − − − −
= − − − −
= + +
3 2 2 2 3 2 1
3 2 2 2 2 6 3
4 6 3
4 6 3
x y x y x y x
x y x y x y x
x y
x y
4. 4. 4. 4. 4. ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
4 3 5 2
4 3 5 2
4 3 5 2
4 4 5
4 4 5
3 4 5
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
− − + − − + −
= − − + − − + −
= − − + + − +
= − − + +
= + − −
= + −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 2 2 4 2
2 3 2 3 3 2 4
2 3 6 6 4 8
2 3 6 6 4 8
4 3 4 8 4 4 3 8
a x a x a b a
a x a x a b a
a x a x a b a
a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x b a b x
− − + − + − − + − +
= − − + − + − − + − −
= − − + − + + − + +
= − − + + − +
= − − + + − +
= + − − + −
= − − + − ⇒ − + − −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
a x y x y x y x y
a x y x y x y x y
a x y x y
a x y x y
a x y
− + − − + − − − − −
= − − − + + − + + +
= − + + +
= − + + +
= − +
3 2 2 2
3 3 2 2 2 2
4 2 2 4
4 2 2 8
2 10
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
m m n m m n n m n
m m n m m n n m n
n m m n
n m m n
n m n
n m n
n m m n
− + − − + − + + − + − + −
= − − − − + − + − + − − +
= − − − + − + −
= − − − − + −
=− − − + −
= − + − +
= − + + ⇒ − +
3 2 2 2 1 1
3 2 2 2 2 1
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 5 2 1
15 6 3
7 15 3 15 7 3
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
− − − + − − + − + − + −
= − + − − − − + − + − + −
= − − − − + − −
= − − − − + − −
= − − − − −
= − − − + +
= − + +
2 3 2 4 2 2 1 2
2 2 3 6 4 2 2 1 2 2
5 4 4 2 2 1
5 4 4 2 2 2 2
5 4 4 3 4 2
5 4 12 16 8
17 12 8
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
a b a b
a b
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }[ ]
{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
[ ]
− + − − + − + − − − − +
= − − − − + − + − − + + +
= − − − − + − + −
= − − − − − + −
= − − − − + −
= − − + − +
= − − +
5 2 2 3 1 2
5 5 2 2 3 1 2
3 5 2 2 2 2 2
3 5 2 4 4 4
3 5 2 3 4
3 5 2 3 4
8 4
x y x y x y x y x
x y x y x y x y x
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y
x y
10.10.10.10.10. ( ) [ ]( ){ }[ ]
( ){ }[ ]
( ){ }[ ]
{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
m m n m n m n m
m m n m n m n m
m n m n m
m n m n m
m n m n
m n m n
m n m n
m n
− + + − − − + − − − + +
= − − + − − − + − − + − +
= − − + − − − + − +
= − − + − − + +
= − − + − − +
= − − + − + −
= − − − + −
= − + −
3 2 2 3 1
3 3 2 2 3 3 3
2 3 5,4 5
2 3 5 4 5
2 3 6 4 5
2 3 6 4 5
2 3 6 4 5
8 5
11.11.11.11.11. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }
[ ]{ } { }
{ }
− − + − − − + − − − +
= − + + − − − − − − − −
= − + + − − − − +
= − + + + − −
= − + + +
= +
3 2 2 4 2 3
3 6 2 4 2 3 3
3 6 2 4 5 3
3 6 2 20 12
4 5 40 24
36 29
x y x x y x y
x y x x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
5 3 2 3 2
5 3 2 3 2 2
5 3 6 3
5 2 18 9
5 16 10
80 50
− + − − + − + + − − + − + −
= − − − − + − − − − − + −
= − − − − + −
= − − + −
= −
= −
a b a b a b a b a b a
a b a b a b a b a b a
a b a b a
a b a b
a b
a b
13. 13. 13. 13. 13. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }
{ } { }
− − + − + − − − − −
= − − − + − − +
= − − − − −
= − + + +
= +
3 4
3 4
3 4
3 3 4 4
7
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b
14.14.14.14.14. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }
{ }{ }
{ }
{ }
− + − − + − + − + − − − + − +
= − + − + + − + − − + − − − +
= − − + + + − − +
= − − + + + + −
= − − + −
= − +
a b a b a b a b a a
a b a b a b a b a a
a b a b a
a b a b
a b
a b
2 3 2 3 1 3 2 1
2 2 3 2 3 3 3 3 2 2
3 3 2 3 3 6
4 3 6 3 6 9
9 3
9 3
EJERCICIO 49
1. 1. 1. 1. 1. − ÷ =−24 8 3
2. 2. 2. 2. 2. − ÷− =63 7 9
3. 3. 3. 3. 3. − ÷− = =−5 5 52 2 1a a a a
4.4.4.4.4. 14 2 7 73 4 2 3 1 4 2 2 2a b ab a b a b÷ − = − = −− −
5. 5. 5. 5. 5. − ÷ = − = −− −a b c a b a b c c3 4 3 4 3 3 4 4
6.6.6.6.6. − ÷− = =− −a b ab a b a2 2 1 1 1
7. 7. 7. 7. 7. 54 6 9 92 2 3 2 3 2 1 2 2 3 3x y z xy z x y z x÷ − = − = −− − −
8. 8. 8. 8. 8. − ÷ = − =−− −5 5 52 2 2 2 1 1m n m n m n
9. 9. 9. 9. 9. − ÷− = =− −8 8 12 3 2 3 2 2 3 3a x a x a x
10. 10. 10. 10. 10. − ÷ = − = −
−
xy y
xy xy2
2 1
2
2 2
11. 11. 11. 11. 11. 5 6
5
6
5
6
4 5 4 4 4 5 1 4x y x y x y y÷ − = − = −− −
12. 12. 12. 12. 12. − ÷ =− =−−a b c c a b c a b8 9 4 4 8 9 4 4 8 98
1
8
1
8
13. 13. 13. 13. 13. 16 5
16
5
16
5
6 4 3 6 4 3 6m n n m n m n÷ − = − = −−
14. 14. 14. 14. 14. − ÷− = =− −108 20
108
20
27
5
7 6 8 6 8 7 6 6 8 8 7a b c b c a b c a
15. 15. 15. 15. 15. − ÷− = =− −2 3
2
3
2
3
2 6 6 2 1 6 6m n mn m n m
16. 16. 16. 16. 16. a a ax x÷ = −2 2
17. 17. 17. 17. 17. − ÷ =− − −3 32 1 2a b ab a bx m x m
18. 18. 18. 18. 18. 5 6
5
6
5
6
3 4 3 4 1 1 3 4a b c a b c a b c a bm n m n m n÷ − = − = −− − − − −
19. 19. 19. 19. 19. a b a b a b
x m m n x m m n÷ − = − − −4
1
4
20. 20. 20. 20. 20. − ÷ − = =− − − − −3 5
3
5
3
5
3 2 3 2 3 3 2m n x m n x m n x m na x x a x x a x x
EJERCICIO 50
1. 1. 1. 1. 1. a a a a am m m m m m+ + + − + + − −÷ = = =3 2 3 2 3 2b g
3.3.3.3.3. − ÷ − = = =− −
− − − − − +3 5
3
5
3
5
3
5
2 5 2 5 2 5 3a a a a am m m m m mb g
5. 5. 5. 5. 5. − ÷− = =− − − − − −4 5
4
5
4
5
2 3 2 2 3 2 5 2a b a b a b a bx n x n x n
7.7.7.7.7. 5 6
5
6
5
6
2 1 3 2 2 4 2 1 2 2 3 4a b a b a b abm x m x m m x x− − − − − − + − − +÷ − = − = −
9. 9. 9. 9. 9. a b a b a b a bm n x a m a m n m x a a n x+ + + − + −÷ = =
2. 2. 2. 2. 2. 2 2 2 24 2 4 2 4 2 2x x x x xa a a a a a+ + + − + + − −÷ − = − = − = −b g
4.4.4.4.4. x x x x x
n n n n n n n2 3 4 2 3 4 2 3 4 14
1
4
1
4
1
4
+ + + − + + − − −÷ − = − = − = −b g
6. 6. 6. 6. 6. − ÷− = =+ − + − − − − −7 8
7
8
7
8
3 1 4 2 3 4 1 2 1 3x y x y x y x ym m m m m m
8. 8. 8. 8. 8. − ÷ =− = −− + − + − − + + − −4 5
4
5
4
5
1 1 1 1 1 1 1 1x y x y x yn n n n n n n n
10. 10. 10. 10. 10. − ÷ =− − − −5 6
5
6
2 3 1 2 3ab c a b c a b cm n x m n x
EJERCICIO 51
1. 1. 1. 1. 1. 
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
2 2 2x x x÷ = =
2.2.2.2.2.
− ÷− = = =− −
3
5
4
5
3
5
4
5
15
20
3
4
3 2 3 2 1 1a b a b a b a a
3.3.3.3.3.
2
3
1
6
2
3
1
6
12
3
45 3 3 5 3 3 5 5xy z z xy z xy xy÷ − = − = − = −−
4.4.4.4.4.
− ÷ − = = =− − − − − −
7
8
3
4
7
8
3
4
28
24
7
6
2 1 2 1 2 1 2a b ab a b a b a bm n m n m n m n
5.5.5.5.5. − ÷− = = =2
9
2
2
9
2
2
18
1
9
4 5 4 5 4 5 4 5x y x y x y x y
6. 6. 6. 6. 6. 3
1
3
3
1
3
94 5 6 4 5 4 4 5 1 6 5 4m n p m np m n p n p÷ − = − = −− − −
7. 7. 7. 7. 7. − ÷ − = = =
− − −7
8
5
2
7
8
5
2
14
40
7
20
2 5 6 5 6 2 1 5 5 6 6a b c ab c a b c a a
8. 8. 8. 8. 8. 2
3
3
5
2
3
3
5
10
9
2 1 2 1 2a b ab a b a bx m x m x m÷ − = − = −− − − −
9. 9. 9. 9. 9. 
− ÷ = − = − = −− − −
3
8
3
4
3
8
3
4
12
24
1
2
3 5 3 5 3 5 3 5c d d c d c d c dx x x x
10.10.10.10.10.
3
4
3
2
3
4
3
2
6
12
1
2
3 3 3 3a b b a b a b a bm n m n m n m n÷ − = − = − = −− − −
11.11.11.11.11. − ÷ − = =+ − + − − − −2
1
2
2
1
2
44 3 4 3 4 4 3 3 6a b a b a b a bx m x m x m
12.12.12.12.12. − ÷
= − = − = −
− + − −
− − + + − +
1
15
3
5
1
15
3
5
5
45
1
9
3 5 2 4 1
3 4 5 1 2 6 2 6 2
a b c a b
a b c ab c ab c
x m x m
x x m m
EJERCICIO 52
1. 1. 1. 1. 1. a ab a
a ab
a
a
a
ab
a
a b2
2 2
− ÷ = − = − = −
2.2.2.2.2. 3 5 3
3 5
3
3
3
5
3
5
3
2 3 2 4 2
2 3 2 4
2
2 3
2
2 4
2
3 2 2
x y a x x
x y a x
x
x y
x
a x
x
y a x
− ÷ −
=
−
−
=
−
−
−
= − +
3. 3. 3. 3. 3. 3 5 6
2
3
2
5
2
6
2
3
2
5
2
3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
a ab a b
a
a
a
ab
a
a b
a
a b ab
− −
−
=
−
−
−
−
−
= − + +
4. 4. 4. 4. 4. 
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
3 2 3 2
24 4 4 1
− + = − + = − +
5. 5. 5. 5. 5. 4 10 5
2
4
2
10
2
5
2
2 5
5
2
8 6 4
3
8
3
6
3
4
3
5 3
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
− −
= − − = − −
6. 6. 6. 6. 6. 6 8 20
2
6
2
8
2
20
2
3 4 10
3 2 2
3 2 2
2 2
m m n mn
m
m
m
m n
m
mn
m
m mn n
− +
−
=
−
−
−
+
−
= − + −
7. 7. 7. 7. 7. 6 3
3
6
3
3
3 3
2
1
3
8 8 6 6 2 3
2 3
8 8
2 3
6 6
2 3
2 3
2 3
6 5 4 3
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b a b
− −
= − − = − −
8.8.8.8.8. x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
4 3 2
4 3 2
3 2
5 10 15
5
5
5
5
10
5
15
5
1
5
2 3
− − +
−
=
−
−
−
−
−
+
−
= − + + −
9. 9. 9. 9. 9. 8 10 20 12
2
8
2
10
2
20
2
12
2
4 5 10 6
9 2 7 4 5 6 3 8
2
9 2
2
7 4
2
5 6
2
3 8
2
7 2 5 4 3 6 8
m n m n m n m n
m
m n
m
m n
m
m n
m
m n
m
m n m n m n mn
− − +
= − − +
= − − +
10. 10. 10. 10. 10. 
a a
a
a
a
a
a
a a
x m x m
x m+ = + = +
− −
− −
1
2 2
1
2
2 3
11. 11. 11. 11. 11. 2 3 6
3
2
3
3
3
6
3
2
3
2
2 4
3
3
2
3
4
3
3 1 1
a a a
a
a
a
a
a
a
a
a a a
m m m
m m m
m m m
− +
−
=
−
−
−
+
−
= − + −
+ +
+ +
− − +
12. 12. 12. 12. 12. a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b a b a b
m n m n m n
m n m n m n
m n m n m n
+ −
= + −
= + −
− + − +
− + − +
− − − − − +
1 2 2 4
2 3
2 3
1 2
2 3
2 4
2 3
2 3 3 1 4 1
13. 13. 13. 13. 13. x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x x x
m m m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+ + −
−
+
− −
+
−
−
−
− + −
= − + −
= − + − ⇒ + − −
2 1 1
2
2
2 2
1
2
1
2
4 2 3 4 3 2
5 6
5 6
5 6 6 5
14. 14. 14. 14. 14. 4 6 8
2
4
2
6
2
8
2
2 3 4
4 1 3 2 2 3
2 4
4 1
2 4
3 2
2 4
2 3
2 4
2 3 2
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b ab b
x m x m x m
x m
x m
x m
x m
x m
x m
x m
+ − + − + −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
−
=
−
−
−
+
−
= − + −
EJERCICIO 53
1.1.1.1.1. 
1
2
2
3
2
3
2
3
3
4
6
6
3
4
1
2x
x
x
x
x x− = − = −
2. 2. 2. 2. 2. 
1
3
3
5
3
5
3
5
1
4
3
5
5
9
15
15
5
12
5
9
5
12
3 2
3 2 3 2
a a a
a a a a a a
−
−
−
+
−
= − + − = − + −
3.3.3.3.3. 1
4
1
4
2
3
1
4
3
8
1
4
4
4
8
3
12
8
8
3
3
2
4
2
3
2
2 2
2
2 2 2 2
m
m
m n
m
m n
m
m mn n m mn n
− +
= − + = − +
4. 4. 4. 4. 4. 
2
3
1
5
1
5
1
5
1
4
1
5
1
5
10
3
5
5
5
4
5
10
3
5
4
5
4 3
3
3 4
3
2 5
3
6
3
3 2 2 3
3 2 2 3
x y
xy
x y
xy
x y
xy
xy
xy
x x y xy y
x x y xy y
−
−
−
+
−
−
−
= − + − +
= − + − +
5. 5. 5. 5. 5. 
2
5
5
1
3
5 5
2
25
1
15
1
5
5 3 3
5
4 2 3 5
a
a
a b
a
ab
a
a a b b− − = − −
EJERCICIO 54
6. 6. 6. 6. 6. 
1
3
1
2
1
4
1
2
2
3
2
4
2
3
1
2
1
1 2 1 2
a
a
a
a
a a a a
m m
m m m m+ = + = +
−
− − − −
7. 7. 7. 7. 7. 
2
3
1
6
1
4
1
6
2
5
1
6
12
3
6
4
12
5
4
12
5
3
2
1
2
1
2 2
3 2 3 2
a
a
a
a
a
a
a a a a a a
x
x
x
x
x
x
+
−
−
− −
− −
= − − ⇒ − −
8. 8. 8. 8. 8. −
−
+
−
−
−
=,− +
= − +
− + + +
− − − − −
− − − − −
3
4
2
5
1
8
2
5
2
3
2
5
15
8
5
16
10
6
15
8
5
16
5
3
1 2
3 2
1
3 2
1
3 2
4 3 1 2 2
4 3 1 2 2
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x a x
a x a x a x
n m n m n m
n m n m n m
n m n m n m
1. 1. 1. 1. 1. a a a
a a a
a
a
2
2
2 3 3
3 1
3
3
+ − +
− − −
− −
+ +
2.2.2.2.2. a a a
a a a
a
a
2
2
2 3 1
3
3 3
3 3
− − +
− − −
− −
+ +
3 .3 .3 .3 .3 . x x x
x x x
x
x
2
2
20 5
5 4
4 20
4 20
+ − +
− − −
− −
+ +
4. 4. 4. 4. 4. m m m
m m m
m
m
2
2
11 30 6
6 5
5 30
5 30
− + −
− + −
− +
+ −
5. 5. 5. 5. 5. x x x
x x x
x
x
2
2
8 15 3
3 5
5 15
5 15
− + − +
− + − +
− +
+ −
6. 6. 6. 6. 6. a a a
a a a
a
a
2
2
5 6 2
2 3
3 6
3 6
+ + +
− − +
+
− −
7. 7. 7. 7. 7. 6 2 2
6 3 3 2
4 2
4 2
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
− − +
− − −
− −
+ +
8. 8. 8. 8. 8. − + − − +
+ − −
−
− +
15 22 8 3 2
15 10 5 4
12 8
12 8
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
9. 9. 9. 9. 9. 5 8 21 3
5 15 5 7
7 21
7 21
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
+ − +
− − −
− −
+ +
10. 10. 10. 10. 10. 14 22 12 7 3
14 6 2 4
28 12
28 12
2
2
x x x
x x x
x
x
+ − −
− + +
−
− +
11.11.11.11.11. − + − − +
+ − −
−
− +
8 12 4
8 8 8 4
4 4
4 4
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
12. 12. 12. 12. 12. 6 11 5
6 6 6 5
5 5
5 5
2 2
2
2
2
m mn n m n
m mn m n
mn n
mn n
− + −
− + −
− +
+ −
13. 13. 13. 13. 13. − + + − +
+ − +
− +
+ −
54 12 32 9 8
54 48 6 4
36 32
36 32
2 2
2
2
2
m mn n m n
m mn m n
mn n
mn n
14. 14. 14. 14. 14. − + + − −
+ + −
+ +
− −
14 71 33 7 3
14 6 2 11
77 33
77 33
2
2
y y y
y y y
y
y
15. 15. 15. 15. 15. x y x y
x x y x xy y
x y
x y xy
xy y
xy y
3 3
3 2 2 2
2
2 2
2 3
2 3
− −
− + + +
− +
−
− +
16. 16. 16. 16. 16. a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
3 3
2
2 3
2 2
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
17. 17. 17. 17. 17. x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
4 2
4 3 3 2
3 2
3 2
9 3 3
3 3 1
3 9
3 9
3
3
− + + +
− − − +
− −
+ +
+
− −
18. 18. 18. 18. 18. a a a
a a a a a
a
a a
a a
a a
4
4 3 3 2
3
3 2
2
2
1+ +
− − − +
−
+ +
+
− −
19. 19. 19. 19. 19. m n m n
m m n m m n n
m n
m n m n
m n n
m n n
6 6 2 2
6 4 2 4 2 2 4
4 2
4 2 2 4
2 4 6
2 4 6
− −
− + + +
− +
−
− +
20.20.20.20.20. 2 7 3 2 3
2 3 2 3 1
4
4 6
6 7
6 9
2 3
2 3
4 3
4 3 3 2
3
3 2
2
2
x x x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
x
x
− + − +
− − − + −
−
+ +
+
− −
− −
+
21. 21. 21. 21. 21. 3 12 5 10 2
3 6 3 6 5
6 12
6 12
5 10
5 10
5 2 2
5 3 3
3
3
2
2
y y y y
y y y y
y y
y y
y
y
− + + +
− − − +
− −
+ +
+
− −
22. 22. 22. 22. 22. am am a am a
am am m m m
am
am am
am am
am am
am a
am a
4
4 3 3 2
3
3 2
2
2
2
2
2 2
2 2
− − +
− − − + −
−
+ +
−
− −
− −
+ +
23. 23. 23. 23. 23. 12 35 33 10 4 5
12 15 3 5 2
20 33
20 25
8 10
8 10
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
24. 24. 24. 24. 24. 15 5 9 3 3 3
15 5 5 3
9 3
9 3
3
3
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 4 2 2 4
3 2 2 3
3 2 2 3
4 5
4 5
m m n m n m n mn n m n
m m n m m n n
m n m n
m n m n
mn n
mn n
− − + + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
EJERCICIO 55
1.1.1.1.1. a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
4 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
2 1 1
1
2 2
1
1
− − − + +
− − − − −
− − −
+ + +
− − −
+ + +
2. 2. 2. 2. 2. x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
5 2 2
5 4 3 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
12 5 2 5
2 5 2
2 5 12
2 4 10
2 5
2 5
+ − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
3. 3. 3. 3. 3. m m n m n mn m mn n
m m n m n m m n mn
m n m n m n
m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
5 4 2 3 4 2 2
5 4 3 2 3 2 2
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
5 20 16 2 8
2 8 3 2
3 8 20
3 6 24
2 4 16
2 4 16
− + − − −
− + + − +
− + +
+ − −
− −
− + +
4. 4. 4. 4. 4. x x x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
4 2 2
4 3 2 2
3
3 2
2
2
2 1 1
1
2
1
1
− − − − −
− + + + +
+ −
− + +
− −
− + +
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x
6 5 3 2 4 2
6 4 2 2
5 4 3 2
5 3
4 2
4 2
2 6 7 4 6 3 2
3 2 2 3
2 3 6 9 4
2 6 4
3 9 6
3 9 6
− + − − + − +
− + − − +
− + + − −
+ − +
− +
− + −
6. 6. 6. 6. 6. m m m m m m m m
m m m m m
m m m
m m m
6 5 4 2 3 2
6 5 4 3 3
3 2
3 2
4 4 1 4 1
4 1
4 1
4 1
+ − + − − + − −
− − + + +
+ − −
− − + +
7. 7. 7. 7. 7. a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
5 4 2 2
5 4 3 3
3 2
3 2
2
2
7 27 10 5
5 5 2
5 7 27
5 5 25
2 2 10
2 2 10
− + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
8. 8. 8. 8. 8. − + − + − +
+ − + − + +
+ −
− + −
− +
− + −
x x y xy y x xy y
x x y x y x xy y
x y x y xy
x y x y xy
x y xy y
x y xy y
4 3 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
3 5 3 2
2 3
5
2
3 6 3
3 6 3
9. 9. 9. 9. 9. n n n n n
n n n n
n n
n n
4 3 2
4 3 2 2
2
2
2 2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
− + − − +
− + − −
− + −
+ − +
10.10.10.10.10. a b a b a b ab a b ab b
a b a b a b a a b ab
a b a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b ab
5 4 2 2 4 5 2 2 3
5 4 2 3 3 3 2 2
4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
3 3 2 4 5
5 22 40 2 10
2 10 3 4
3 10 22
3 6 30
4 8 40
4 8 40
− + − − −
− + + − +
− + +
+ − −
− −
− + +
11. 11. 11. 11. 11. 16 24 27 8 12 6 9
16 24 12 18 2 3
24 36 18 27
24 36 18 27
4 2 2 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
x x y y x x y xy y
x x y x y xy x y
x y x y xy y
x y x y xy y
− − − + −
− + − + +
− + −
− + − +
12.12.12.12.12. 4 4 13 3 20 2 5
4 10 2 3 4
6 13
6 15
2 3
2 5 20
8 20
8 20
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
2
2
y y y y y
y y y y y
y y
y y
y y
y y
y
y
+ − − − +
− − − + −
− −
+ +
−
− − −
− −
+
13.13.13.13.13. − − + − − − + +
+ − − − −
+ − −
− + +
− −
− + +
2 3 5 11 3 2 3
2 4 6 2 3
3 6 11
3 6 9
2 3
2 3
5 4 3 2 4 5 3 2 3
5 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 2 3 4
3 2 4 5
3 2 4 5
a a x a x ax x a ax x
a a x a x a ax x
a x a x a x ax
a x a x ax
a x ax x
a x ax x
14. 14. 14. 14. 14. − + − − − + +
+ − + + − − −
− + + −
+ − + +
− + − −
+ − + +
x x y x y xy x x y x y xy
x x y x y x y x xy y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y x y xy
6 5 2 4 5 4 3 2 2 3
6 5 4 2 3 3 2 2
5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5
2 3 3 2
3 2
2 3
3 2
3 2
3 2
15. 15. 15. 15. 15. a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a
a a a a
a a a
a a
a a
6 5 2 3
6 4 3 3 2
5 4 3 2
5 3 2
4 3 2
4 2
3
3
5 31 8 21 2 7
2 7 5 2 3
5 2 7 31
5 10 35
2 3 4 8
2 4 14
3 6 21
3 6 21
− + − + − −
− + + − + −
− + + +
+ − −
− − −
− + +
− + +
+ − −
16. 16. 16. 16. 16. m m m m m m m
m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m
m m m
6 5 3 4 3 2
6 5 4 2 2
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
4 3 2
5 6 9 3
3 2 3
2 5 3 6
2 2 2 6
3 3 3 9
3 3 3 9
− + − + + − +
− − + − − +
− + + − −
+ + − +
+ − +
− − + −
17. 17. 17. 17. 17. a a b a b a b ab b a ab b
a a b a b a a b a b ab b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b ab
a b ab b
a b ab b
6 5 4 2 3 3 5 6 2 2
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 4 2 3 3
5 4 2 3 3
4 2 3 3
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
3 3 2 4 5
2 4 5 6
2 4 5 6
4 6 3 2
2 3
5 6
2
3 5
3 6 3
3 3
2
2
2
− − + − + − +
− + − + − − +
− +
− + −
− +
+ − +
− + −
+ − +
− +
− + −
18. 18. 18. 18. 18. x x y x y x y xy y x xy y
x x y x y x x y x y xy y
x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
x y xy
x y x y xy
x y xy y
x y xy y
6 4 2 3 3 2 4 5 6 2 2
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 3 3
5 4 2 3 3
4 2 2 4
4 2 3 3 2 4
3 3 5
3 3 2 4 5
2 4 5 6
2 4 5 6
2 2 2 3 2 2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
− + − + − + −
− − + − + − +
− +
+ −
+ −
− − +
− +
+ + −
+ −
− − +
19.19.19.19.19. y y y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y
y y
y y
6 5 4 3 4 2
6 4 2 2
5 4 3 2
5 3
4 2
4 2
2 4 4 2 2 2
2 2 2 1
2 4 2 4
2 4 4
2 2
2 2
− − + − + − +
− + − − +
− +,+ − −
+ − +
− +
− + −
20. 20. 20. 20. 20. 3 11 18 3 8 4 3 4
3 9 12 3 2 1
2 6 8
2 6 8
3 4
3 4
7 5 4 3 2 4 2
7 5 3 3
5 4 3
5 3
4 2
4 2
m m m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m
m m
m m
− + + − − + − +
− + − − +
− + + −
+ − +
− +
− + −
 21. 21. 21. 21. 21. a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
6 5 4 3 2 3 2
6 5 4 3 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2 2 3 2 1 1
2 1
4 2
2 3
2 2 2 2 1
1
1
+ − − + − − + − +
− − + − + − −
− − +
− − + −
− − + −
+ + − + −
− − + −
+ + − +
22. 22. 22. 22. 22. 24 52 38 33 26 4 8 12 6
24 36 18 3 3 2 4
16 56 36 26
16 24 12 2
32 48 24 4
32 48 24 4
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
3 2 2 3 4 5
x x y x y x y xy y x x y xy y
x x y x y x y x xy y
x y x y x y xy
x y x y x y xy
x y x y xy y
x y x y xy y
− + − − + − − +
− + + − − +
− + − −
+ − − +
− − +
− − + −
23.23.23.23.23. 5 4 8 5 6 2 4 6 2 2
5 10 10 5 4 2 3
4 2 5 4 2
4 8 8
2 3 4 6 4
2 4 4
3 6 6
3 6 6
8 7 6 5 4 3 2 4 2
8 6 4 4 3 2
7 6 5 4 3
7 5 3
6 5 4 3 2
6 4 2
5 3
5 3
a a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
− − + + − + − − +
− + − − + −
− + + − −
+ − +
+ − − + +
− + −
− + −
− +
24.24.24.24.24. x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
7 6 5 2 3 2
7 6 5 4 4 3 2
6 5 4
6 5 4 3
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
3 6 3 6 2 3 6
2 3 6 1
3 6
2 3 6
3 6
2 3 6 3
3 5 3
2 3 6 6
2 3 6
2 3 6
− + + − + − + +
− + − − − + − +
− + −
+ − + +
− + +
− + − − −
− + − −
+ − + + +
− + +
− + − −
25. 25. 25. 25. 25. 3 5 9 10 8 3 4 3 2 5 4
3 2 5 4 2 1
3 4 6 8
3 2 5 4
6 12 3
6 4 10 8
3 2 5 4
3 2 5 4
6 5 4 3 2 3 2
6 5 4 3 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
+ − − + + − + − −
− − + + + − +
+ − − +
− − + +
− − + +
+ + − −
+ − −
− − + +
26. 26. 26. 26. 26. 5 3 11 11 17 3 4 2 5 3 4 2
5 3 4 2 3 1
15 9 17 3
15 9 12 6
5 3 4 2
5 3 4 2
8 7 6 5 4 3 2 4 3 2
8 7 6 5 4 2
6 5 4 3
6 5 4 3
4 3 2
4 3 2
y y y y y y y y y y y y
y y y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
− − + − − − − − + +
− + − − − −
− + − −
+ − + +
− + − −
+ − + +
27. 27. 27. 27. 27. − + − + − − + − − + − +
+ − + − − + −
− + −
− + − +
− + − −
+ − + −
m m n m n m n m n m n mn n m m n mn n
m m n m n m n m m n m n n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 3 2 2 3
7 6 5 2 4 3 4 3 2 2 4
6 5 2 4 3 3 4
6 5 2 4 3 3 4
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4
5 14 20 13 9 20 4 3 5
3 5 2 3 4
2 9 19 13
2 6 10 2
3 9 11 9
3 9 15 3m n
m n m n mn n
m n m n mn n
2 5
3 4 2 5 6 7
3 4 2 5 6 7
4 12 20 4
4 12 20 4
− + −
− + − +
28. 28. 28. 28. 28. x x y x y x y x y xy x x y xy
x x y x y x x y x y y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x y x y xy
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10 5 3 2 4
11 9 2 7 4 6 4 2 2 4 6
9 2 7 4 5 6
9 2 7 4 5 6
7 4 5 6 3 8
7 4 5 6 3 8
5 6 3 8 10
5 6 3 8 10
5 8 6 5 3 2 3
2 3 3
3 5 6
3 6 9
3 5
2 3
2 3
2 3
− + − − + − +
− + − − − +
− + −
+ − +
− + −
+ − +
+ − +
− + −
29.29.29.29.29. 3 15 14 28 47 28 23 10 3 6 2 3 2
3 6 2 3 2 3 4 5
9 12 3 30 47 28
9 18 6 9 6
12 15 24 38 22 23
12 24 8 12 8
15 30 10 15 10
9 7 6 4 3 2 5 3 2
9 7 6 5 4 4 2
7 6 5 4 3 2
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 4 3 2
5 3 2
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a
− + − + − + − − + − +
− + − + − − + −
− + + − + −
+ − + − +
+ − − + − +
− + − + −
− + − + −
+15 30 10 15 105 3 2a a a a− + − +
30.30.30.30.30. a b bc c a b c
a ab ac a b c
ab b ac bc
ab b bc
ac bc c
ac bc c
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
− + − + −
− − + − +
− − + +
+ + −
+ −
− − +
 31. 31. 31. 31. 31. − + − − − + − +
+ − + − + +
+ − −
− + −
− +
− + −
2 5 3 10 2 3 5
2 3 5 2
2 4 3
2 3 5
4 6 10
4 6 10
2 2 2
2
2
2
2
2
x xy xz y yz z x y z
x xy xz x y z
xy xz y yz
xy y yz
xz yz z
xz yz z
32.32.32.32.32. x y xyz z x xy xz y yz z
x x y x z xy xyz xz x y z
x y x z y xy xyz z xz
x y y xy xyz y z yz
x z xyz z xz y z yz
x z xyz z xz y z yz
3 3 3 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 3 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
3
2
+ − + − − + − +
− + + − + − + +
+ + − − + −
− − + + + −
− + − + −
− + − + − +
33.33.33.33.33. a b a b
a a b a a b a b ab b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b ab
ab b
ab b
5 5
5 4 4 3 2 2 3 4
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
+ +
− − − + − +
−
+ +
− −
−
+ +
+
− −
34. 34. 34. 34. 34. 21 21 3 3
21 21 7 7 7 7 7
21
21 21
21
21 21
21
21 21
21 21
21 21
5 5
5 4 4 3 2 2 3 4
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
x y x y
x x y x x y x y xy y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy y
xy y
− −
− + + + + +
− +
− +
− +
−
− +
35. 35. 35. 35. 35. 16 16 2 2
16 16 8 8 8 8
16
16 16
16
16 16
16 16
16 16
8 8 2 2
8 6 2 6 4 2 2 4 6
6 2
6 2 4 4
4 4
4 4 2 6
2 6 8
2 6 8
x y x y
x x y x x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
− +
− − − + −
−
+ +
− −
− −
+ +
36. 36. 36. 36. 36. x y x y
x x y x x y x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
10 10 2 2
10 8 2 8 6 2 4 4 2 6 8
8 2
8 2 6 4
6 4
6 4 4 6
4 6
4 6 2 8
2 8 10
2 8 10
− −
− + + + + +
− +
− +
− +
−
− +
37. 37. 37. 37. 37. x y x y
x x y x x y x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
15 15 3 3
15 12 3 12 9 3 6 6 3 9 12
12 3
12 3 9 6
9 6
9 6 6 9
6 9
6 9 3 12
3 12 15
3 12 15
+ +
− − − + − +
−
+
− −
−
+
+
− −
38.38.38.38.38. x x y xy y x xy x y y
x x y xy x xy x x y
x y xy y x xy x
x y xy y xy y y
x xy x y y
x xy x y y
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2
2 2
3 3 1 2 1
2 1
2 1
2
1 2
1 2
+ + + − + + + + +
− − − − − − + −
+ + − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ + + + + +
39.39.39.39.39. x y x x y x y xy y
x x y x y x y xy x y
x y x y x y xy y
x y x y x y xy y
5 5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4 5
+ − + − +
− + − + − +
− + − +
− + − + −
EJERCICIO 56
1. 1. 1. 1. 1. a a a
a a a a a
a
a a
a a
a a
x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
+
+ + + +
+
+ +
+
+
+ +
− − − +
−
+ +
+
− −
3
3 2 2 1
2
2 1
1
1
1
2. 2. 2. 2. 2. − + + + +
+ + − + +
+ +
− −
+
− −
+ + + +
+ + + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
n n n n
n n n n n
n n
n n
n n
n n
5 4 3 2 2
5 4 3 2 1
4 3
4 3
3 2
3 2
3
2
2 3
2 2
3. 3. 3. 3. 3. m m m m m m m
m m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
+ + + −
+ + + + + −
+ + +
+ + +
+ +
+ +
+ −
+ −
− + − + − +
− + − + − +
− +
− + −
− + −
+ − +
− +
− + −
4 3 1 1 2
4 3 2 2 1 1
3 2 1
3 2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
6 5 3 2 3
2 3
3 6
2 3
3 5
2 3
2 3
2 3
4. 4. 4. 4. 4. a a a a a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
n n n n n n
n n n n n
n n
n n
n n
n n
2 3 2 2 2 1 2 1
2 3 2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
2 1 2
2 1 2
4 2
3 2
3
3 3
2 2
2 2
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
+
+
+ + − +
− − + −
+
− −
− −
+
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
a a a a a a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 3 1
2 5 2 3 2 1
2 4 2 3
2 4 2 2
2 3 2 1
2 3 2 1
2 3 4 2 2
2 2
2
2 4
2
2
+ + + + + + +
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ − − + −
− + + −
+ −
− +
− +
+ −
6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − − − −
+ +
+ −
+ −
− −
− −
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
2 1 2 1 2
2 1 2
1 1
1 1
1 2
1 2
2 8 3 2 3
2 3 2 1
2 5 8
2 4 6
2 3
2 3
7. 7. 7. 7. 7. a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2
2 2 1 2 2 1 2
2 1 2 2,2 3
2 1 2 2 2 3
2 2 2 3 2 4
2 2 2 3 2 4
2 4 5 2
3 2
3 5 5
3 3 3
2 2 2
2 2 2
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − − − − −
− − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
 9. 9. 9. 9. 9. x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
a a a a a a a
a a a a a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
2 2 2 3 2 4 2 7 1 2 3
2 2 2 3 2 4 1 2 2 3 4
2 3 2 4
2 3 2 4 2 5
2 4 2 5
2 4 2 5 2 6
2 5 2 6 2 7
2 5 2 6 2 7
4
2
2 3
2 2 2
2
− − − − − − −
− − − − − − −
− −
− − −
− −
− − −
− − −
− − −
+ − − − −
− + + + − +
+ −
− + +
− +
+ − −
+ − −
− + +
10. 10. 10. 10. 10. a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8 1 2 2 3 3 4
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6 2 2 4
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 2
2
2
2
− + − + − + −
− + − + −
− + − +
+ − + −
− − − − − − −
− − − −
− − − −
− − − −
11. 11. 11. 11. 11. a a b a b b a b
a a b a b
a b b
a b b
m x m x x m m x x x
m x m x m m
x m m x
x m m x
+ +
+
+
+
+ + + +
− − +
+
− −
12. 12. 12. 12. 12. a a b b ab a b
a a b a b
b ab
b ab
x x n n
x x x n
n n
n n
− + − −
− + −
−
− +
− −
− − −
−
−
1 1
1 1 1
1
1
8.8.8.8.8. − + + − − + − + +
+ − − − − +
+ + −
− + +
− −
− + +
− + +
+ −
+ + + − − − − −
+ + + + + + +
+ +
+ +
+ −
+ −
− −
m m m m m m m m m
m m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m
a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3
2 3 2 2 2 1 4 3 2 1
2 2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 1 2 2 1
2 1 2 2 1
2 2 1 2 2
2
2 2 4
2
4
2 3
2 2 2
2 1 2 2a am− −−
13. 13. 13. 13. 13. 3 23 5 46 30 8 6
3 24 18 3 5
13 46
8 6
5 40 30
5 40 30
5 3 5 2 5 1 5 5 1 3 3 3 2 3 1
5 3 5 2 5 1 2 2 1 2 2
5 2 5 1 5
5 2 5 1 5
5 1 5 5 1
5 1 5 5 1
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
m m m m m m m m
m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
− − − + − − −
− − − + +
− −
− −
− +
− +
− + + − − +
− + − + −
+ − +
− + −
− + −
− +
14.14.14.14.14. 2 4 28 30 4 3
2 8 6 2 4 10
4 6 28
4 16
3 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 2 1 1 1
3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3
3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
3 2 2 3
x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y
x y x
a x a x a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
a x a
+ − − − − + + − + +
+ − − − − − − − − −
− − − −
−
− − + − + −
− + − − − −
+ − −
− + − − −
− − − − +
− − − − +
−
− +
− + −
1 2 1 3 2 2
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
12
10 40 30
10 40 30
y x y
x y x y x y
x y x y x y
x a x
a x a x a x
a x a x a x
EJERCICIO 57
1. 1. 1. 1. 1. 
1
6
5
36
1
6
1
3
1
2
1
6
1
4
1
2
1
3
1
9
1
6
1
9
1
6
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
+ − +
− − −
− −
+
2. 2. 2. 2. 2. 
1
3
7
10
1
3
2
5
1
3
2
15
1
3
5
6
5
6
1
3
5
6
1
3
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
+ − −
− + +
−
− +
3. 3. 3. 3. 3. 
1
3
35
36
2
3
3
8
1
2
1
3
1
4
1
3
2
9
1
6
2
3
3
2
3
4
1
2
3
8
3
4
1
2
3
8
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
x x y xy y x xy y
x x y xy x y
x y xy y
x y xy y
− + − − +
− + − −
− + −
− +
4. 4. 4. 4. 4. 
1
16
5
8
5
3
1
4
3
2
1
16
3
8
1
4
2
3
1
4
5
3
1
4
3
2
1
6
1
6
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
− + − −
− + − +
− +
−
−
− +
5. 5. 5. 5. 5. 
3
5
1
10
17
60
7
6
3
2
2
3
5
2
5
4
5
2
5
1
3
1
2
1
2
65
60
7
6
1
2
1
3
2
3
3
4
1
2
3
4
1
2
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
m m n m n mn n m mn n
m m n m n m mn n
m n m n mn
m n m n mn
m n mn n
m n mn n
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
− +
6. 6. 6. 6. 6. 
3
4
1
2
37
40
2
3
19
30
4
5
2
1
3
2
3
4
1
8
3
4
3
8
1
4
2
5
1
2
4
5
1
12
19
30
1
2
1
12
1
2
4
5
2
15
4
5
4
5
2
15
4
5
5 4 3 2 3
5 3 2 2
4 3 2
4 2
3
3
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
+ − + + − − +
− + − + −
− − +
− + −
− + −
− +
7. 7. 7. 7. 7. 
9
4
1
12
13
18
1
3
3
2
2
3
9
4
3
2
3
2
1
3
1
2
1
2
13
12
13
18
1
2
1
3
2
9
3
4
1
2
1
3
3
4
1
2
1
3
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
a a x a x ax x a ax x
a a x a x a ax x
a x a x ax
a x a x ax
a x ax x
a x ax x
− − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
− +
8. 8. 8. 8. 8. 
1
14
101
420
139
280
1
2
5
12
2
7
1
5
1
2
1
14
1
20
1
8
1
4
2
3
5
6
4
21
13
35
1
2
4
21
2
15
1
3
5
21
1
6
5
12
5
21
1
6
5
12
5 4 3 2 2 3 4 3 2 2
5 4 3 2 2 2
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
x x y x y x y xy x x y xy
x x y x y x xy y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x y x y xy
− + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
10. 10. 10. 10. 10. 
1
2
5
6
99
40
101
60
7
6
5
8
3
4
1
2
2
5
1
4
1
2
1
3
4
15
1
6
2
3
2
3
5
2
1
2
53
24
91
60
7
6
1
2
1
3
4
15
1
6
15
8
5
4
5
8
15
8
5
4
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
3 2 2 3 4
m m n m n m n mn n m m n mn n
m m n m n m n m mn n
m n m n m n mn
m n m n m n mn
m n m n mn n
m n m n mn
− + − + − − + −
− + − + − +
− + − +
− + −
− + −
− + − +
5
8
5n
EJERCICIO 58
9. 9. 9. 9. 9. 
3
8
21
40
47
120
79
120
1
10
1
10
1
4
1
3
1
4
1
2
3
8
1
2
3
8
3
4
3
2
1
10
1
5
1
40
1
60
11
120
1
10
1
40
1
30
1
40
1
20
1
20
1
15
1
20
1
10
1
20
1
15
1
20
1
10
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
+ − + + − + − +
− − + − + −
− − +
− − + −
− − + −
+ − +
1. 1. 1. 1. 1. x x x x x x x
x
5 4 2 3 2
2
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1
− + − ÷ − +
− + + − − +
− + − + −
− + − ⇒ −
+ − +
2. 2. 2. 2. 2. x x x x x x x x
x x x
7 6 5 4 3 2 3 2
4 3 2
11 3 13 19 56 2 7
1 1 11 3 13 19 0 56 1 2 0 7
1 2 0 7 1 3 5 0 8
3 11 10 13 3 5 8
3 6 0 21
5 10 8 19
5 10 0 35
8 16 0 56
8 16 0 56
+ − + − + − ÷ − −
+ − + − + + − − + −
− + − + + − + +
− + − ⇒ + − +
− + − +
− + + +
+ − + −
− + −
− + − +
3. 3. 3. 3. 3. a a b a b a b a b ab b a ab b6 5 4 2 3 2 2 4 5 6 2 27 12 13 7 2+ − + − + − ÷ − +
 
1 1 7 12 13 7 1 1 2 1
1 2 1 1 3 2 5 1
3 8 12 3 2 5
3 6 3
2 9 13
2 4 2
5 11 7
5 10 5
1 2 1
1 2 1
4 3 2 2 3 4
+ − + − + − − +
− + − + − + −
− + ⇒ + − + −
− + −
− + −
− +
− +
− + −
− + −
+ − +
a a b a b ab b
4. 4. 4. 4. 4. m m n m n m n m n mn n m mn n
m m n mn n
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3
3 2 2 3
5 2 20 19 10 4
1 5 2 20 19 10 1 1 0 4 1
1 0 4 1 1 5 6 1
5 6 21 19 5 6
5 0 20 5
6 1 24 10
6 0 24 6
1 0 4 1
1 0 4 1
− + + − − − ÷ − −
− + + − − − + − −
− − + + − + +
− + + − ⇒ − + +
+ − −
+ − −
− − + +
+ − −
− − + +
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x
x x
8 6 4 2 4 2
4 2
2 50 58 15 6 5
1 2 50 58 15 1 6 5
1 6 5 1 8 3
8 45 58 8 3
8 48 40
3 18 15
3 18 15
− − + − ÷ + −
− − + − + −
− − + − +
− − + ⇒ − +
+ + −
+ −
− − +
6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a a a a a a14 12 10 8 6 4 2 8 6 4 27 9 23 52 42 20 4 3 2− + + − + − ÷ − + −
 
1 7 9 23 52 42 20 1 4 3 2
1 4 3 2 1 3 6 10
3 6 25 52 3 6 10
3 12 9 6
6 34 58 42
6 24 18 12
10 40 30 20
10 40 30 20
6 4 2
− + + − + − − + −
− + − + − − +
− + + − ⇒ − − +
− + −
− + − +
+ − + −
− + −
− + − +
a a a
7. 7. 7. 7. 7. 3 20 51 70 46 20 3 8 10
3 20 51 70 46 20 3 8 10
3 8 10 1 4 3 2
12 41 70 4 3 2
12 32 40
9 30 46
9 24 30
6 16 20
6 16 20
15 12 9 6 3 6 3
9 6 3
x x x x x x x
x x x
− + − + − ÷ − +
− + − + − − +
− + − − + −
− + − ⇒ − + −
− +
− +
− + −
− + −
− +
8.8.8.8.8. m m m m m m m m m m28 24 20 16 12 8 4 12 8 412 53 127 187 192 87 45 7 9 15− + − + − + − ÷ − + −,1 12 53 127 187 192 87 45 1 7 9 15
1 7 9 15 1 5 9 4 3
5 44 112 187 5 9 4 3
5 35 45 75
9 67 112 192
9 63 81 135
4 31 57 87
4 28 36 60
3 21 27 45
3 21 27 45
16 12 8 4
− + − + − + − − + −
− + − + − + − +
− + − + ⇒ − + − +
+ − + −
− + −
− + − +
− + − +
+ − + −
− + −
− + − +
m m m m
 9. 9. 9. 9. 9. 2 6 8 20 24 18 4 2 47 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7 2 2x x y x y x y x y x y y x y− − − − − − ÷ +
 
2 6 8 20 24 18 0 4 2 0 4
2 0 4 1 3 6 4 0 1
6 12 20 3 6 4
6 0 12
12 8 24
12 0 24
8 0 18
8 0 16
2 0 4
2 0 4
5 4 3 2 2 3 5
− − − − − + − + +
− − − − − − + −
− − − ⇒ − − − −
+ +
− − −
+ + +
− + −
+ + +
− + −
+ +
x x y x y x y y
10.10.10.10.10. 6 12 2 36 6 16 38 44 14 2 79 7 6 5 4 3 2 4 2a a a a a a a a a a a− + − + − + − + ÷ − + −
 
6 0 12 2 36 6 16 38 44 14 1 0 2 1 7
6 0 12 6 42 6 0 0 4 6 2
4 6 6 16 38 6 4 6 2
4 0 8 4 28
6 2 12 10 44
6 0 12 6 42
2 0 4 2 14
2 0 4 2 14
5 2
+ − + − + − + − + + − + −
− − + − + + + − + −
− + + − + ⇒ − + −
+ + − + −
− − + −
− − + − +
− + + − +
+ − − + −
a a a
11.11.11.11.11. n n n n n n n n n n n n n
n n
10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3
4 2
6 5 13 23 8 44 12 32 16 3 5 8 4
1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16 1 0 3 5 0 8 4
1 0 3 5 0 8 4 1 0 3 0 4
3 0 13 15 12 44 12 3 4
3 0 9 15 0 24 12
4 0 12 20 0 36 16
4 0 12 20 0 36 16
− + + − − + − − + ÷ − + − +
+ − + + − − + − − + + − + + − +
− − + − − + − + − + +
− + + − − + − ⇒ − +
+ + − + + − +
+ − + + − +
− + + − − + −
13. 13. 13. 13. 13. x x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y
x x y x y y
16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16 6 4 2 2 4 6
10 6 4 2 8 10
4 10 21 28 23 9 33 6 4 5
1 4 10 21 28 23 9 33 6 1 4 5 1
1 4 5 1 1 0 5 0 3 6
5 20 28 23 5 3 6
5 20 25 5
3 18 9 33
3 12 15 3
6 24 30 6
6 24 30 6
− − + + − + + − ÷ − − +
− − + + − + + − − − +
− + + − + − + + −
− + + − ⇒ − + −
+ − − +
− + +
− + + −
− + + −
+ − − +
15. 15. 15. 15. 15. 7 35 6 78 5 42 7 7 62 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + + + − + +− + − − − − ÷ + +
7 35 6 78 5 42 7 7 0 6 1
7 0 6 1 1 5 0 7
35 0 79 5 5 7
35 0 30 5
49 0 42 7
49 0 42 7
2 1 1
− + − − − − + + +
− − − − − + −
− + − − ⇒ − −
+ + + +
− + − −
− + +
+ + −a a ax x x
16. 16. 16. 16. 16. 6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 22 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 2x x x x x x x x x x x xa a a a a a a a a a a a+ + + − − − − + − −− − + − + − − ÷ − + +
6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 2 1
6 4 2 1 1 0 5 0 6
30 20 46 19 5 6
30 20 10 5
36 24 12 6
36 24 12 6
2 2
− − + − + − − − + +
− + − − + − + −
− + − + ⇒ − −
+ − + +
− + − −
− + +
+ −x x xa a a
17. 17. 17. 17. 17. 6 23 12 34 22 15 3 55 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2 2 2 2 1 2 2 1a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + − − + + −− + − + − ÷ − − −
 
6 23 12 34 22 15 1 3 1 5
6 18 6 30 6 5 3
5 18 4 22 6 5 3
5 15 5 25
3 9 3 15
3 9 3 15
3 1 3 3 1
− + − + − − − −
− + + + − +
− + − + ⇒ − +
+ − − −
− − −
− + + +
+ −a a ax x x
12. 12. 12. 12. 12. 3 4 15 29 13 5 3 5 37 6 5 2 4 3 3 4 6 7 3 2 3x x y x y x y x y xy y x xy y− − + − + − ÷ − +
3 4 15 29 13 0 5 3 1 0 5 3
3 0 15 9 3 4 0 0 1
4 0 20 13 3 4
4 0 20 12
1 0 5 3
1 0 5 3
4 3 4
− − + − + + − + − +
− − + − − + + −
− + + − ⇒ − −
+ + − +
− + + −
− − +
x x y y
14.14.14.14.14. a a a a a am m m m m+ + − −− − + − ÷ −2 1 1 3 23 5 20 25 5
 
1 3 5 20 0 25 1 0 5
1 0 5 1 3 0 5
3 0 20 3 5
3 0 15
5 0 25
5 0 25
1 3
− − + + − + −
− − + − + +
− + + ⇒ − +
+ + −
+ + −
− − +
− −a a am m m
EJERCICIO 59
1. 1. 1. 1. 1. a b a
a
b
a
b
2 2 2
2
2
2
2
1
+
− +
2. 2. 2. 2. 2. a a
a a
a
4 3
4
3
2
2
2
+
− +
+
4. 4. 4. 4. 4. 16 20 8 7 4
16 4 5 2
7
4
20
20
8
8
7
4 3 2 2 3 2
4 2 2
3
3
3
2 2
2 2
3
a a b a b ab a
a a ab b
b
a
a b
a b
a b
a b
ab
− + +
− − + +
−
+
−
+
5. 5. 5. 5. 5. x x x
x x x
x
x
x
2
2
7 10 6
6 1
4
6
10
6
4
+ + +
− − + +
+
+
− −
+
6. 6. 6. 6. 6. x x x
x x x
x
x
x
2
2
5 7 4
4 1
3
4
7
4
3
− + −
− + − +
−
− +
−
+
7.7.7.7.7. m m m
m m m
m
m
m
4 2 2
4 2 2
2
2
2
11 34 3
3 8
10
3
8 34
8 24
10
− + −
− + − +
−
− +
−
+
8. 8. 8. 8. 8. x xy y x y
x xy x y
y
x y
xy y
xy y
y
2 2
2
2
2
2
2
6
7
8
7
7 7
8
− + +
− − − +
+
− +
+ +
+
3.3.3.3.3. 9 6 7 3
9 3 2
7
3
6
6
7
3 2 2
3
2
2
2
x x x
x x
x
x
x
+ +
− + +
+
−
+
9. 9. 9. 9. 9. x x x x x
x x x x
x
x x
x
3 2 2
3 2
2
3 2 1
2 2
1
2 2
− + + − +
− + − +
+
− +
+ +
10. 10. 10. 10. 10. x y x y
x x y x xy y
y
x y
x y
x y xy
xy y
xy y
y
3 3
3 2 2 2
3
2
2 2
2 3
2 3
3
2
2
+ −
− + + + +
−
− +
+
− +
11. 11. 11. 11. 11. x y x y
x x y x x y x y xy y
y
x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy y
xy y
y
5 5
4 4 4 3 2 2 3 4
5
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
5
2
2
+ −
− + + + + + +
−
− +
− +
− +
+ +
− +
12. 12. 12. 12. 12. x x x x x
x x x x
x
x x
x x
x x
x
3 2 2
3 2
2
2
2
4 5 8 2 1
2 6
6 2
2 1
6 6 8
6 12 6
6 2
+ − + − +
− + − + +
+
− +
− +
− + −
+
13.13.13.13.13. 8 6 5 9 2 3
8 12 4 3 7
12
2 3
6 5
6 9
14 9
14 21
12
3 2 2 3
3 2 2 2
3
2 2
2 2
2 3
2 3
3
a a b ab b a b
a a b a ab b
b
a b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
b
− + − −
− + + + +
−
+
− +
−
− +
EJERCICIO 60
14.14.14.14.14. x x x x x x
x x x x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
5 4 2 2
5 4 3 3
2
3 2
3 2
2
2
3 9 7 4 3 2
3 2 2 3
20 10
3 2
2 9 7
2 6 4
3 11 4
3 9 6
20 10
− + + − − +
− + − − + +
−
− +
− + +
+ − +
+ −
− + −
−
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:
a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
1.1.1.1.1.
( ) ( )
a ab b2 2
2 2
2
1 2 1 2 2
1 2 2 4 1 4 4 9
− +
= − − − ⋅ +
= + ⋅ + = + + =
 2. 2. 2. 2. 2. 
( ) ( ) ( )
3 4 3
3 1 4 1 2 3 1 2 2
3 4 2 3 4 8 3 8 12 8 31
3 2 2 3
3 2 2 3
a a b ab b− + −
= − − − ⋅ + − −
= − − ⋅ − ⋅ − = − − − − = −
 3. 3. 3. 3. 3. 
( ) ( ) ( )
a a ac bc4 3
4 3
3 2 3
1 3 1 2 1
1
2
3 2
1
2
1 3 2
1
2
6
1
2
1 3 1 3 8
− + −
= − − − + − −

 − ⋅ −




= + + ⋅ + ⋅ = + + + =
4. 4. 4. 4. 4. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a c a c a c ac c5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3
2
2
3 4 5
8 16 20 40
1 8 1
1
2
16 1
1
2
20 1
1
2
40 1
1
2
1
2
1 8
1
2
16
1
4
20
1
8
40
1
16
1
32
1 4 4
5
2
5
2
1
32
1
1
32
32 1
− + − + −
= − − − −

 + − −



 − − −



 + − −



 − −




= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − + − + − + = − + =
− +
32
31
32
= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )
( )
( )
a b b c a c− + − − −
= − − + − −






− − − −






= − + +



− − +



= + 

 − −




= + − = + = + =
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
1 2 2
1
2
1
1
2
3 2
1
2
1
1
2
9
5
2
1
2
9
25
4
1
4
9
24
4
9 6 15
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )
( )[ ]
[ ]
b a b c a c+ − − − −
= + − − − −






− − − −






= − − +



− − +



= − 



− −



= − + = − = − =
−
= − = −
3 3 3
3
3 3
3
3 3
3
3 3
1
2
2 1 2
1
2
1
1
2
2 1 2
1
2
1
1
2
1
5
2
1
2
1
125
8
1
8
1
124
8
1
31
2
2 31
2
29
2
14
7. 7. 7. 7. 7. ab
c
ac
b
bc
a
+ −
=
− ⋅
−
+
− −


−
−


−
= + −
= + − = + =
+
= =
1 2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
1
4
1 3
1
4
12 1
4
13
4
3 14
 8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )a b c a b c c+ + − − − +
= − + + −






− − − − −






+ −


= −



− − +



− = 



− −



−
= − − =
− −
= − = − = −
2 2
2 2
2 2 2 2
2
4
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
1
2
3
1
2
1
2
1
2
5
2
1
2
1
4
25
4
1
2
1 25 2
4
26
4
6 6
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )
3 2 4 2
3 2 1 2 4 1 2
1
2
2
1
2
1 2 3 2 2 4 2
1
2
2
2
3 3 0 4
3
2
6
2
6 3 3
a b a b c c a b+ − + − −
= − + − − + −






− −

 − − = − + + −




+ − = ⋅ + 



− = − =
Para los problemas,10 al 16 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
10. 10. 10. 10. 10. 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x x y xy
y
4 2 2
3
4 2 2
3
8 2
3
2
2
8
2 1
2
3 2 1
2
1
16
8
4
2
6
2
1 2 2 3 1 2
− + −
=
−
−
− −
+
− −
− −
= −
−
+
−
+ = + − + =
11.11.11.11.11.( ) ( ) ( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
a x x y x y m x n− + − + − + −
= − − + − − − + − − − + − −



= + + − + + − − −



= + − + −



= + + 



= + =
+
= =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
2
2 2 2 1 2 1 3 2
1
2
2 2 2 1 4 1 3 2
1
2
4 1 3 1
1
2
16 1 3
1
2
17
3
2
34 3
2
37
2
18
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ] [ ][ ]
[ ]
− − + + − − + + +
= − − − − + − + − − − − − + ⋅ − + − +



= − − + + + − + + − − +



= + − + − +



= − + −



= − − = −
+
= − = −
x y x y x y m b x y n2 2
2 2
1
2
3
2 1 2 1 2 1 3 3
1
3
2 1
1
2
2 1 4 1 5 1 2 1
1
2
1 5 4 3
1
2
1 20
5
2
19
5
2
38 5
2
43
2
21
13.13.13.13.13. ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
[ ][ ] [ ]
3 2 2 4 4
2
3 2 2 1 2
1
2
4 3 4 2 1
2 1
2
6 2 1 12 4 4 1
2 1
2
4 11 16
1
2
44 16
1
2
60
1
2
60
2 2
2 2
1
2
x y n m x y
x y
− − + −
−
= − − − ⋅ − ⋅



+ − − −
− − −
= − + − + ⋅ ⋅ −
− +
= − − + −
−
= + + = + =
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )
x x y m x y x y n x y m n2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 1 3 2 1 2 1
1
2
2 1 3 2
1
2
4 1 1 2 1 4 1
1
2
2 1 9 1 4 2 1 5
1
2
3 8 8
9
2
9 8 80
9
2
160 9
2
− + − − + − + + −
= − − − − + − − − − − + − −



+ − + − − ⋅


= + − − + + −



+ − − − = ⋅ − − −



+ − = + + ⋅ = + =
+
= =
169
2
84 12
16.16.16.16.16. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]
[ ]
3 2 3
2 4
3 2
2
2 1
3
3
1
2
1
3
1
2
2 2 1 4 3
2
3
3
2
6 2 8 1 4
9
4 9
6
2 5 9
13
6
10 19
13
6
114 13
6
127
6
21
3 2 3 2
1
6
a
x
y
m
n
y
m
n
x y+ + − + − + =
⋅
−
+
−
+
⋅
−
− + − − − + = − − − − + − − +
= − −
+
+ − = − − − = − − = −
+
= − = −
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
4
3 2
1 1
4 2
3 1
2
2 1
1
1
2
1
1
3
2 2 3
8
3
8
2 1
2 3 2 16 3
8
3
8 1 2 13
8
3
21 2
8
3
23
8 69
3
77
3
25
3
3
4
3
3
4
2
3
x
y
x
y n b
x x m−
+
+ −

 + −
=
−
−
−
−
+ −
+ −










− + − −
=
−
−
−
−
−
+ − − + − = + + − − +
= + + = + =
+
= =
1. 1. 1. 1. 1. 7 8 9 10
5 2 1 4
am am am am
↓ ↓ ↓ ↓
+ + − −∃ ∃ ∃ ∃
3. 3. 3. 3. 3. x xy x
xy y x y
x y y Rta
2 2
2 2 2
2 2 2
3
3
−
− − +
−
4. 4. 4. 4. 4. 3 5 6
3 8 6
3
2
2
x x
x x Rta
x
− +
− + −
5. 5. 5. 5. 5. 3 2 3 8
2 3 5 8 5
2 3 8 2 5 13
2
2
2 2
a a
a a a
a a a a Rta
− +
− + +
− + + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
− − − + − − +
= − − − + − − −
= − − − + − + +
= − − − − − =− + + + = +
3 4 5 6
3 4 5 6
3 4 5 6
3 3 6 6 3 3 6 6 6 6
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
EJERCICIO 61
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )
( )( )
( )
x y x y x y
x xy xy y x y x y
x y x xy y
x y x xy y
xy y
+ − − +
= − + − − + +
= − − + +
= − − − −
= − −
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
8. 8. 8. 8. 8. 
( ) ( )
( ) ( )
( )
a b c
a b c b
c b
a
= = =
+ − − +
−
−
= + − − +
−
−
= ⋅ − − +
−
−
= + + = + =
2 3 1
3 4
3 2 3 4 1 3
1 3
2
3 5 4 2
2
2
15 8 1 23 1 24
9. 9. 9. 9. 9. 3 5 2 5 6
3 5
2 3 6 6
2 3 6
6
3 3
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
x y x xy y
x xy y x xy
x xy y x y
x xy y
x y
x xy Rta
− + +
− + − − −
+ − +
+ −
+
+
10. 10. 10. 10. 10. 
2
3
1
2
1
5
1
2
3
4
2
1
3
1
4
1
10
1
2
3
8
3
20
4
3
2
5
1
3
1
4
193
120
23
20
2
5
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a ab b
a ab b
a a b a b
a b a b ab
a b ab b
a a b a b ab b
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
+ − + −
11. 11. 11. 11. 11. x x x
x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
5 3 2
4 2
3
5 4 3 2 2
5 4 3 3
3 2
3 2
2
2
5
2 2 10
6 6 30
2 5 7 16 30 2 6
2 6 5
7 16
2 6
5 10 30
5 10 30
− +
− + −
+ − +
− + + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
 12. 12. 12. 12. 12. 
1
4
1
90
1
15
1
2
1
3
1
4
1
6
1
2
1
3
1
5
1
6
1
90
1
6
1
9
1
2
1
5
1
10
1
15
1
2
1
3
1
5
1
10
1
15
3 1
3
4
3
3 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 3 2 2
2 3
a ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab a ab b
ab b a ab b
ab b ab ab
− + +
− − − +
− −
+ + +
+ − + −
− −
+
=
13. 13. 13. 13. 13. − − − +
+ − − +
− − +
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − +
3
2 3 2 2
2 2 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
4 4 3 3
2 3 3 2 3
2 2 3 2 3
2 3 3 2 3
3 2 3
2 2
5 4 2 3
4 3 2 4
3 2 2 3 5
5 4 3 2 4 5
ab b a a b b
a b ab b a b b
a b b a a b b
a a b b
a ab b
a a b a b
a b a b ab
a b a b b
a a b a b ab b
14. 14. 14. 14. 14. x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x
3 2
2 3 2
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2
3 2
2
2
5 4
6 6 3 2 16 5 12
8 8 3 19 6
19 6 3 12
3 12 3
3 4
4 4 12
4 4 12
− +
− − + − + +
− + − − + −
− + + − +
+ − + − +
− + − +
− +
− + −
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 3 3 10 2 3 1
4 4 1 5 2 6 3 10 6 2
4 5 4 4 5 2 6 3 10 6 2
3 10 6 2 3 10 6 2
2 2 2 2 2
2 2 4 3 2 3 2
2 3 3 2 3 2
3 2 3 2
+ + − − + − = + + −
+ + + − + − − + = + + −
+ + + − + + − = + + −
+ + − = + + −
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
16. 16. 16. 16. 16. 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
x y
x y x y x y x y
= − =
+ − + + −
= − + − − + − + − −
= − − + − −
= ⋅ + ⋅ = + =
2 1
2
2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 3 2 1 3
1 9 2 3 9 6 15
2 2
2 2
2 2
17. 17. 17. 17. 17. x x
x x x
x x x Rta
x x x x
2
2
2
2 2
2 8
4 4 6
6 4 8 3
4 6 5 4 3
+ +
+ + +
− − −
+ + − +
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]
{ } [ ]
{ } [ ]
− + − + − + − + − −
= − − + − − = − + − +
= − − = −
= − + = −
−
−
−
3 2 2
3 2 2 2
2 3 2 2
2 3 4
4
2 3
2 7
a b a a b a b a b
a b a a b a b a b
a b b
a b b
b
a b
a b Rta
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] [ ]
[ ]
5 3 8 2
5 3 8 2
5 2 8 3
5 2 5
3
5
3
15 3
5
15 2
2
2
2 2
x x x y x x x y
x x x y x x x y
x x y x x y
x x y x y
x y
x y
x y
x xy
xy y
x xy y Rta
+ − − − + − + − +
= + − − + = + − − +
= + − − = − +
= − − = +
= −
+
−
+
− −
− −
20.20.20.20.20.
( )[ ]
[ ]
[ ]
1
4
1
24
5
12
1
3
1
2
1
4
1
4
1
8
1
2
1
2
1
3
1
6
1
12
1
3
1
6
1
12
1
3
2 5 4
2 5
1
2
1
3
2 6
8 1
2
3 1
3
2 6
9
2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
x x y xy y x xy y
x x y xy x y
x y xy y
x y xy y
x x x y x y
x x x y x y
x x y x y
x x y x
+ + + − +
− + − +
− +
− + −
+ − − − − +
= + − − + − −
= + − + −
+
+
−
= − + − +
2
3
4
y Rta
x y= − +
21. 21. 21. 21. 21. ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )
[ ][ ]
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
2 2 2 2
2 2 4 3 2
4 3 2 3 2 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
3 2 3 4 4 7 6
3 2 3 4 4 7 6
3 3 3 9 2 2 6 4 4 7 6
4 4 7 6 4 4 7 6
− + + − + = − + − +
− − − + = − + − −
− + − + − − + − = − + − −
− + − − = − + − −
 22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]x x y x x y x y x y
x xy x xy x y x y
xy x y
x y x y xy
xy x y xy Rta
x y xy x y xy
+ − − + − −
= + − + = + − +
= = − +
− + − +
−
− + +
2 3
2 2 3 3
2 5
5 2 10
2 4 7
2 10 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 3 3
3 3
3 3 3 3
23.23.23.23.23. x y x y x xy y
x x y x xy y x xy y
x y x x y x y
x y xy x y x y xy
xy x y xy y
xy y x x y x y xy y Rta
3 3 2 2
3 2 2 2 2 2
2 4 3 2 2
2 2 3 2 2 3
2 2 2 3 4
2 3 4 3 2 2 3 4
3
3
3
3
4 3 2
− − + −
− + + + + +
+ −
− + + + −
+ + −
− + + + + −
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )( )
[ ]
[ ]
x y x xy y x y x xy y
x x y xy x y xy y x x y xy x y xy y
x y x y
x y x y
y
− + + − + − +
= + + − − − − − + + − +
= − − +
= − − −
= −
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3
3 3 3 3
3 3 3 3
32,25. 25. 25. 25. 25. 
( ) ( )
( ) ( )
a b c
ab
c
b a
b
a
c b
c
b
= = =
+ − − −
=
⋅
+ −
⋅
− −
= + ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅
= + − =
+ −
=
−
= −
4 9 25
2
9
3
4 9
25
2 9 4
9 9
4
3 25 9
25
9
36
25
2 5
81
16
3 16
5
3
6
5
10
9
4
48
5
3
6
5
45
2
80
12 225 800
10
563
10
56
2
2
3
10
 26. 26. 26. 26. 26. x x x x x x
x x x
x
x x x
x x x Rta
x
x
3 2 2
3 2 2
2
2
3 4 12 3 4 2
3 4
4 12
4 12 4 2
2 2
2 4
2 4
+ − − + − = −
− − −
− −
+ + − −
+ +
−
− +
?
27. 27. 27. 27. 27. ( )( ){ } ( ){ }[ ]
( ){ } { }[ ]
{ } [ ]
( ) ( )
( )
4 3 4 3
4 3 4 3 2
4 3 4 3 6 5 1
4 4 4 3 6 2 5 2 1
6 5 1 6 4 10 1
24 10 1 33
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x x x x x x
x x x x x x Si x
x x x x x x x x
x x x x x
x x
− − − + + − + −
= − − − − + − − =−
= − − + + + − + − −
= − + − + − + = − − − −
= − − = + −
= + − =
29.29.29.29.29. ( )( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) [ ]
( )( ) [ ]
a b a b a b a a a a a b
a b a ab ab b a a a a a b
a b a b a b
a a b a b b a b
a b a b
2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
4 2 2 2 2 4 4 4
4 4 4 4
3 2 2 4 1
3 2 4 4 4
+ + − = − + + − + − +
+ − + − = − + + − − − +
+ − = −
− + − = −
− = −
EJERCICIO 62
28. 28. 28. 28. 28. x x
x x x x Rta
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
2
2 4 3
4 3 2 3 2
2 4 3 2
4 3 2
7 5
9 11 21
7 5 18 14 84 45
9 63 45 7 14 63 45
7 14 63 45
+ −
− − +
+ − − − +
− − + + − − +
+ − − +
 30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
3 3 4 3
5 6 3 4 3
5 3 2 1
2 1
5 3 2
1 2 1
5 2 1
2
3 2 2
3 2 2
2
3 2 2
2
3 2
− + − + − − +
+ − = − − + + −
+ − = − − +
= − + −
+ − − +
+ − + −
+ + − +
x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x x Rta x
1. 1. 1. 1. 1. ( )m m m+ = + +3 6 92 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )5 25 102 2+ = + +x x x
3.3.3.3.3.( )6 36 122 2 2a b a ab b+ = + +
4. 4. 4. 4. 4. ( )9 4 81 72 162 2+ = + +m m m
5. 5. 5. 5. 5. ( )7 11 49 154 1212 2x x x+ = + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )x y x xy y+ = + +2 2 22
7. 7. 7. 7. 7. ( )1 3 1 6 92 2 2 4+ = + +x x x
8.8.8.8.8.( )2 3 4 12 92 2 2x y x xy y+ = + +
9.9.9.9.9.( )a x by a x a xby b y2 2 2 4 2 2 2 2 42+ = + +
EJERCICIO 63
10. 10. 10. 10. 10. ( )3 8 9 48 643 4 2 6 3 4 8a b a ab b+ = + +
11.11.11.11.11. ( )4 5 16 40 255 6 2 10 5 6 12m n m mn n+ = + +
12. 12. 12. 12. 12. ( )7 5 49 70 252 3 4 2 4 6 2 3 4 8a b x a b a b x x+ = + +
13. 13. 13. 13. 13. ( )4 5 16 40 252 3 2 2 4 2 3 2 6ab xy a b ab xy x y+ = + +
14. 14. 14. 14. 14. ( )8 9 64 144 812 3 2 4 2 2 3 6x y m x y x ym m+ = + +
15. 15. 15. 15. 15. ( )x y x x y y10 12 2 20 10 12 2410 20 100+ = + +
16. 16. 16. 16. 16. ( )a a a a am n m m n n+ = + ++2 2 22
17. 17. 17. 17. 17. ( )a b a a b bx x x x x x+ = + ++ + +1 2 2 1 2 22
18. 18. 18. 18. 18. ( )x y x x y ya x a a x x+ − + + − −+ = + +1 2 2 2 2 1 2 2 42
1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a− = − +3 6 92 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x− = − +7 14 492 2
3. 3. 3. 3. 3. ( )9 81 182 2− = − +a a a
4. 4. 4. 4. 4. ( )2 3 4 12 92 2 2a b a ab b− = − +
5. 5. 5. 5. 5. ( )4 1 16 8 12 2 2ax a x ax− = − +
6. 6. 6. 6. 6. ( )a b a a b b3 3 2 6 3 3 62− = − +
7. 7. 7. 7. 7. ( )3 5 9 30 254 2 2 8 4 2 4a b a ab b− = − +
8. 8. 8. 8. 8. ( )x x x2 2 4 21 2 1− = − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )x ay x ax y a y5 2 2 10 5 2 2 43 6 9− = − +
10. 10. 10. 10. 10. ( )a b a a b b7 7 2 14 7 7 142− = − +
11. 11. 11. 11. 11. ( )2 3 4 12 92 2 2m n m mn n− = − +
12. 12. 12. 12. 12. ( )10 9 100 180 813 5 2 6 4 5 2 10x xy x x y x y− = − +
13. 13. 13. 13. 13. ( )x y x x y ym n m m n n− = − +2 2 22
14. 14. 14. 14. 14. ( )a a ax x x− − −− = − +2 2 2 4 25 10 25
15. 15. 15. 15. 15. ( )x x x x xa a a a a+ − + − −− = − +1 2 2 2 2 2 1 2 43 6 9
EJERCICIO 64
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y x y x y+ − = −2 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )m n m n m n− + = −2 2
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )a x x a a x− + = −2 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x a x a x a2 2 2 2 4 4+ − = −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )2 1 1 2 4 12a a a− + = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )n n n− + = −1 1 12
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )1 3 3 1 1 9 2 2− + = −ax ax a x
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )2 9 2 9 4 812m m m+ − = −
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a b a b a b3 2 3 2 6 4− + = −
10.10.10.10.10. ( )( )y y y y y y2 2 4 23 3 9− + = −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )1 8 8 1 1 64 2 2− + = −xy xy x y
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )6 6 362 2 2 2 4 4 2x m x x m x x m x− + = −
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a b a b a bm n m n m n+ − = −2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )3 5 5 3 9 252 2x y y x x ya m m a a m− + = −
15.15.15.15.15. ( )( )a b b a a bx x x x x x+ − − + + −− + = −1 1 1 1 2 2 2 22 2 4
EJERCICIO 65
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y z x y z x xy y z+ + + − = + + −2 2 22
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x y z x y z x y yz z− + + − = − + −2 2 22
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x y z x y z x y yz z+ + − − = − − −2 2 22
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )m n m n m mn n+ + + − = + + −1 1 2 12 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )m n m n m n mn− − − + = + − −1 1 2 12 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )x y x y x y y+ − − + = − + −2 2 4 42 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )n n n n n n n2 2 4 22 1 2 1 4 4 1+ + − − = − − −
EJERCICIO 66
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )a a a a a a2 2 4 22 3 2 3 2 9− + + + = + +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )m m m m m m2 2 4 21 1 3 1− − + − = − +
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )2 2 4 42 2 2a b c a b c a ab b c− − − + = − + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )2 2 4 22 2 2x y z x y z x y yz z+ − − + = − + −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )x x x x x x x2 2 4 25 6 5 6 25 60 36− + + − = − + −
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a ab b a b ab a a b b2 2 2 2 4 2 2 4− + + + = + +
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )x x x x x x x x x x3 2 3 2 6 4 3 22− − + + = − − −
1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a a+ = + + +2 6 12 83 3 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x x− = − + −1 3 3 13 3 2
3. 3. 3. 3. 3. ( )m m m m+ = + + +3 9 27 273 3 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )n n n n− = − + −4 12 48 643 3 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )2 1 8 12 6 13 3 2x x x x+ = + + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )1 3 1 9 27 273 2 3− = − + −y y y y
7. 7. 7. 7. 7. ( )2 8 12 62 3 2 4 6+ = + + +y y y y
8.8.8.8.8. ( )1 2 1 6 12 83 2 3− = − + −n n n n
9. 9. 9. 9. 9. ( )4 3 64 144 108 273 3 2n n n n+ = + + +
10. 10. 10. 10. 10. ( )a b a a b a b b2 3 6 4 2 2 32 6 12 8− = − + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )2 3 8 36 54 273 3 2 2 3x y x x y xy y+ = + + +
12. 12. 12. 12. 12. ( )1 1 3 32 3 2 4 6− = − + −a a a a
EJERCICIO 67
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )a a a a+ + = + +1 2 3 22
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x+ + = + +2 4 6 82
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x x+ − = + −5 2 3 102
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )m m m m− − = − +6 5 11 302
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )x x x x+ − = + −7 3 4 212
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )x x x x+ − = + −2 1 22
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )x x x x− − = − +3 1 4 32
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )x x x x− + = − −5 4 202
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a a a a− + = − −11 10 1102
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )n n n n− + = − −19 10 9 1902
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )a a a a2 2 4 25 9 4 45+ − = − −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )x x x x2 2 4 21 7 8 7− − = − +
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )n n n n2 2 4 21 20 19 20− + = + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )n n n n3 3 6 33 6 3 18+ − = − −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )x x x x3 3 6 37 6 42+ − = + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )a a a a4 4 8 48 1 7 8+ − = + −
17.17.17.17.17.( )( )a a a a5 5 10 52 7 5 14− + = + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a a a a6 6 12 67 9 2 63+ − = − −
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )ab ab a b ab+ − = − −5 6 302 2
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )xy xy x y xy2 2 2 4 29 12 3 108− + = + −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )a b a b a b a b2 2 2 2 4 4 2 21 7 6 7− + = + −
22.22.22.22.22.( )( )x y x y x y x y3 3 3 3 6 6 3 36 8 2 48− + = + −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )a a a ax x x x− + = + −3 8 5 242
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )a a a ax x x x+ + + +− − = − +1 1 2 2 16 5 11 30
EJERCICIO 68
1. 1. 1. 1. 1. ( )x x x+ = + +2 4 42 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x+ + = + +2 3 5 62
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x+ − = −1 1 12
4. 4. 4. 4. 4. ( )x x x− = − +1 2 12 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )n n n n+ + = + +3 5 8 152
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )m m m− + = −3 3 92
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )a b a b a ab b+ − + + = + + −1 1 2 12 2
8. 8. 8. 8. 8. ( )1 1 3 33 2 3+ = + + +b b b b
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a a a2 2 44 4 16+ − = −
10. 10. 10. 10. 10. ( )3 5 9 30 252 2 2 2 2 4ab x a b abx x− = − +
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )ab ab a b+ − = −3 3 9 2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )1,4 1 8 162 2 2− = − +ax ax a x
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a a a a2 2 4 28 7 56+ − = + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )x y x y x y y+ + − − = − − −1 1 2 12 2
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )1 1 1 2− + = −a a a
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )m m m m− + = + −8 12 4 962
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )x x x x2 2 4 21 3 2 3− + = + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )x x x x3 3 6 36 8 2 48+ − = − −
19. 19. 19. 19. 19. ( )5 6 25 60 363 4 2 6 3 4 8x m x xm m+ = + +
EJERCICIO 69
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )x x x x4 4 8 42 5 3 10− + = + −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )1 1 1 22 2− + − − = − + − +a b b a a ab b
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )a b a b a bx n x n x n+ − = −2 2
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )x x x xa a a a+ + + +− + = − −1 1 2 2 18 9 72
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )a b c a b c a b c2 2 2 2 2 2 4 4 4+ − = −
25. 25. 25. 25. 25. ( )2 8 12 63 3 2 2 3a x a a x ax x+ = + + +
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x x x x2 2 4 211 2 13 22− − = − +
27. 27. 27. 27. 27. ( )2 5 4 20 253 4 2 6 3 4 8a b a ab b− = − +
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )a a a a3 3 6 312 15 3 180+ − = − −
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )m m n n m m m m n n m2 2 4 2 2 22− + + + = + + −
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )x x x x4 4 8 47 11 4 77+ − = − −
31. 31. 31. 31. 31. ( )11 121 222 2 2− = − +ab ab a b
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )x y x y x y x y2 3 2 3 4 6 2 38 6 2 48− + = − −
33.33.33.33.33.( )( )( )a b a b a b a a b b+ − − = − +2 2 4 2 2 42
34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )x x x x x+ − − = − +1 1 2 3 22 4 2
35. 35. 35. 35. 35. ( )( )( )a a a a+ + − = −3 9 3 812 4
36. 36. 36. 36. 36. ( )( )( )x x x x x+ − + = − −5 5 1 24 252 4 2
37. 37. 37. 37. 37. ( )( )( )( )a a a a a a+ − + − = − +1 1 2 2 5 44 2
38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )a a a a a a+ − − + = − +2 3 2 3 13 364 2
1. 1. 1. 1. 1. x
x
x
2 1
1
1
−
+
= −
2. 2. 2. 2. 2. 
1
1
1
2−
−
= +
x
x
x
3. 3. 3. 3. 3. 
x y
x y
x y
2 2−
+
= −
4. 4. 4. 4. 4. 
y x
y x
y x
2 2−
−
= +
5. 5. 5. 5. 5. 
x
x
x
2 4
2
2
−
+
= −
6. 6. 6. 6. 6. 
9
3
3
4
2
2−
−
= +
x
x
x
7. 7. 7. 7. 7. 
a b
a b
a b
2 24
2
2
−
+
= −
8. 8. 8. 8. 8. 
25 36
5 6
5 6
4
2
2−
−
= +
x
x
x
9. 9. 9. 9. 9. 
4 9
2 3
2 3
2 2 4
2
2x m n
x mn
x mn
−
+
= −
10. 10. 10. 10. 10. 
36 49
6 7
6 7
2 2 4
2
2m n x
m nx
m nx
−
−
= +
11. 11. 11. 11. 11. 
81 100
9 10
9 10
6 8
3 4
3 4a b
a b
a b
−
+
= −
12. 12. 12. 12. 12. 
a b x y
a b x y
a b x y
4 6 8 10
2 3 4 5
2 3 4 54
2
2
−
+
= +
13. 13. 13. 13. 13. 
x y
x y
x y
n n
n n
n n
2 2−
+
= −
14. 14. 14. 14. 14. 
a
a
a
x
x
x
2 2
1
1100
10
10
+
+
+−
−
= +
15. 15. 15. 15. 15. 
1 9
1 3
1 3
2 4
2
2−
+
= −
+
+
+x
x
x
m
m
m
16. 16. 16. 16. 16. 
( )
( )
x y z
x y z
x y z
+ −
+ −
= + +
2 2
17. 17. 17. 17. 17. 
( )
( )
1
1
1
2
− +
+ +
= − −
a b
a b
a b
18. 18. 18. 18. 18. 
( )
( )
4
2
2
2
− +
+ +
= − −
m n
m n
m n
19. 19. 19. 19. 19. 
( )
( )
x x y
x x y
y
2 2− −
+ −
=
20. 20. 20. 20. 20. 
( )
( )
a x
a x
a x
+ −
+ +
= + −
2
9
3
3
EJERCICIO 70
1. 1. 1. 1. 1. 
1
1
1
3
2+
+
= − +
a
a
a a
2. 2. 2. 2. 2. 
1
1
1
3
2−
−
= + +
a
a
a a
3. 3. 3. 3. 3. 
x y
x y
x xy y
3 3
2 2+
+
= − +
4. 4. 4. 4. 4. 
8 1
2 1
4 2 1
3
2a
a
a a
−
−
= + +
5. 5. 5. 5. 5. 
8 27
2 3
4 6 9
3 3
2 2x y
x y
x xy y
+
+
= − +
6. 6. 6. 6. 6. 
27 125
3 5
9 15 25
3 3
2 2m n
m n
m m n
−
−
= + +
7. 7. 7. 7. 7. 
64 343
4 7
16 28 49
3
2a
a
a a
+
+
= − +
8. 8. 8. 8. 8. 
216 125
6 5
36 30 25
3
2−
−
= + +
y
y
y y
9. 9. 9. 9. 9. 
1
1
1
3 3
2 2+
+
= − +
a b
ab
ab a b
10. 10. 10. 10. 10. 
729 512
9 8
81 72 64
3
2−
−
= + +
b
b
b b
11. 11. 11. 11. 11. 
a x b
ax b
a x axb b
3 3 3
2 2 2+
+
= − +
12. 12. 12. 12. 12. 
n m x
n mx
n nmx m x
3 3 3
2 2 2−
−
= + +
13. 13. 13. 13. 13. 
x y
x y
x x y y
6 3
2
4 2 227
3
3 9
−
−
= + +
14. 14. 14. 14. 14. 
8
2
4 2
9 9
3 3
6 3 3 6a y
a y
a a y y
+
+
= − +
15. 15. 15. 15. 15. 
1
1
1
12
4
4 8−
−
= + +
x
x
x x
16. 16. 16. 16. 16. 
27 1
3 1
9 3 1
6
2
4 2x
x
x x
+
+
= − +
17. 17. 17. 17. 17. 
64
4
16 4
3 9
3
2 3 6a b
a b
a ab b
+
+
= − +
18. 18. 18. 18. 18. 
a b
a b
a a b b
6 6
2 2
4 2 2 4−
−
= + +
19. 19. 19. 19. 19. 
125 343
5 7
25 35 49
15
5
5 10−
−
= + +
x
x
x x
20. 20. 20. 20. 20. 
n
n
n n
6
2
4 21
1
1
+
+
= − +
EJERCICIO 71
1. 1. 1. 1. 1. 
x y
x y
x x y xy y
4 4
3 2 2 3−
−
= + + + 2. 2. 2. 2. 2. 
m n
m n
m m n m n mn n
5 5
4 3 2 2 3 4+
+
= − + − +
3. 3. 3. 3. 3. 
a n
a n
a a n a n an n
5 5
4 3 2 2 3 4−
−
= + + + +
4. 4. 4. 4. 4. 
x y
x y
x x y x y x y xy y
6 6
5 4 3 2 2 3 4 5−
+
= − + − + −
5. 5. 5. 5. 5. 
a b
a b
a a b a b a b ab b
6 6
5 4 3 2 2 3 4 5−
−
= + + + + +
6. 6. 6. 6. 6. 
x y
x y
x x y x y x y x y xy y
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6+
+
= − + − + − +
7. 7. 7. 7. 7. 
a m
a m
a a m a m a m a m am m
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6−
−
= + + + + + +
8. 8. 8. 8. 8. 
a b
a b
a a b a b a b a b a b ab b
8 8
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7−
+
= − + − + − + −
9. 9. 9. 9. 9. 
x y
x y
x x y x y x y x y x y x y x y xy y
10 10
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−
−
= + + + + + + + + +
10. 10. 10. 10. 10. 
m n
m n
m m n m n m n m n m n m n mn n
9 9
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8+
+
= − + − + − + − +
11. 11. 11. 11. 11. 
m n
m n
m m n m n m n m n m n m n mn n
9 9
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8−
−
= + + + + + + + +
12. 12. 12. 12. 12. 
a x
a x
a a x a x a x a x a x a x a x ax x
10 10
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−
+
= − + − + − + − + −
13. 13. 13. 13. 13. 
1
1
1
5
2 3 4−
−
= + + + +
n
n
n n n n 14. 14. 14. 14. 14. 
1
1
1
6
2 3 4 5−
−
= + + + + +
a
a
a a a a a
15. 15. 15. 15. 15. 
1
1
1
7
2 3 4 5 6+
+
= − + − + − +
a
a
a a a a a a
16. 16. 16. 16. 16. 
1
1
1
8
2 3 4 5 6 7−
+
= − + − + − + −
m
m
m m m m m m m
17. 17. 17. 17. 17. 
x
x
x x x
4
3 216
2
2 4 8
−
−
= + + +
18. 18. 18. 18. 18. 
x
x
x x x x x
6
5 4 3 264
2
2 4 8 16 32
−
+
= − + − + −
19. 19. 19. 19. 19. 
x
x
x x x x x x
7
6 5 4 3 2128
2
2 4 8 16 32 64
−
−
= + + + + + +
20. 20. 20. 20. 20. 
a
a
a a a a
5
4 3 2243
3
3 9 27 81
+
+
= − + − +
21. 21. 21. 21. 21. 
x
x
x x x x x
6
5 4 3 2729
3
3 9 27 81 243
−
−
= + + + + +
22. 22. 22. 22. 22. 
625
5
125 25 5
4
2 3−
+
= − + −
x
x
x x x 23. 23. 23. 23. 23. 
m
m
m m m m m m m
8
7 6 5 4 3 2256
2
2 4 8 16 32 64 128
−
−
= + + + + + + +
24. 24. 24. 24. 24. 
x
x
x x x x x x x x x
10
9 8 7 6 5 4 3 21
1
1
−
−
= + + + + + + + + + 25. 25. 25. 25. 25. 
x y
x y
x x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 4243
3
3 9 27 81
+
+
= − + − +
26. 26. 26. 26. 26. 
16 81
2 3
8 12 18 27
4 4
3 2 2 3a b
a b
a a b ab b
−
−
= + + +
27. 27. 27. 27. 27. 
64 729
2 3
32 48 72 108 162 243
6 6
5 4 3 2 2 3 4 5m n
m n
m m n m n m n mn n
−
+
= − + − + +
28. 28. 28. 28. 28. 
1 024 1
2 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
10
9 8 7 6 5 4 3 2. x
x
x x x x x x x x x
−
−
= + + + + + + + + +
29. 29. 29. 29. 29. 
512
2
256 128 64 32 16 8 4 2
9 9
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8a b
a b
a a b a b a b a b a b a b ab b
+
+
= − + − + − + − +
30. 30. 30. 30. 30. 
a
a
a a a a a
6
5 4 3 2729
3
3 9 27 81 243
−
−
= + + + + +
EJERCICIO 72
1. 1. 1. 1. 1. 
x y
x y
x x y y
6 6
2 2
4 2 2 4+
+
= − +
2. 2. 2. 2. 2. 
a b
a b
a a b a b b
8 8
2 2
6 4 2 2 4 6−
+
= − + −
3. 3. 3. 3. 3. 
m n
m n
m m n m n m n n
10 10
2 2
8 6 2 4 4 2 6 8−
−
= + + + +
4. 4. 4. 4. 4. 
a b
a b
a a b a b b
12 12
3 3
9 6 3 3 6 9−
+
= − + −
5. 5. 5. 5. 5. 
a x
a x
a a x a x x
12 12
3 3
9 6 3 3 6 9−
−
= + + +
6. 6. 6. 6. 6. 
x y
x y
x x y x y x y y
15 15
3 3
12 9 3 6 6 3 9 12+
+
= − + − +
7. 7. 7. 7. 7. 
m
m
m m
12
4
8 41
1
1
+
+
= − +
EJERCICIO 73
8. 8. 8. 8. 8. 
m n
m n
m m n m n n
16 16
4 4
12 8 4 4 8 12−
−
= + + +
9. 9. 9. 9. 9. 
a b
a b
a a b a b a b a b b
18 18
3 3
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15−
+
= − + − + −
10. 10. 10. 10. 10. 
x y
x y
x x y x y y
20 20
5 5
15 10 5 5 10 15−
+
= − + −
11. 11. 11. 11. 11. 
m n
m n
m m n m n m n m n m n n
21 21
3 3
18 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18+
+
= − + − + − +
12. 12. 12. 12. 12. 
x
x
x x x
24
6
18 12 61
1
1
−
−
=,+ + +
13. 13. 13. 13. 13. 
a b
a b
a a b a b a b b
25 25
5 5
20 15 5 10 10 5 15 20+
+
= − + − +
14 14 14 14 14 
a m
a m
a a m a m a m m
30 30
6 6
24 18 6 12 12 6 18 24−
−
= + + + +
4. 4. 4. 4. 4. 
x y
x y
x x y y
6 3
2
4 2 227
3
3 9
−
−
= + +
5. 5. 5. 5. 5. 
x y
x y
x y
6 6
3 3
3 349
7
7
−
+
= −
6. 6. 6. 6. 6. 
a b
a b
a a b a b a b a b a b b
14 14
2 2
12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12−
−
= + + + + + +
1. 1. 1. 1. 1. 
x
x
x
4
2
21
1
1
−
+
= −
2. 2. 2. 2. 2. 
8
2
4 2
3 6
2
2 2 4m n
m n
m mn n
+
+
= − +
3. 3. 3. 3. 3. 
1
1
1
5
2 3 4−
−
= + + + +
a
a
a a a a
7. 7. 7. 7. 7. 
1
1
1
3
2+
+
= − +
a
a
a a
8. 8. 8. 8. 8. 
16 25
4 5
4 5
2 4 6
2 3
2 3x y m
xy m
xy m
−
+
= −
9. 9. 9. 9. 9. 
x y
x y
x x y x y x y x y x y x y x y y
27 27
3 3
24 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24+
+
= − + − + − + − +
10. 10. 10. 10. 10. 
a y
a y
a a y y
27 27
9 9
18 9 9 18+
+
= − +
11. 11. 11. 11. 11. 
a b x
a b x
a b x
4 4 6
2 2 3
2 2 364
8
8
−
+
= −
12. 12. 12. 12. 12. 
1
1
1
2 4 8
2 4
2 4−
−
= +
a b c
ab c
ab c
13. 13. 13. 13. 13. 
32 243
2 3
16 24 36 54 81
5 5
4 3 2 2 3 4x y
x y
x x y x y xy y
+
+
= − + − +
14. 14. 14. 14. 14. 
( )
( )
25 1
5 1
4
2
− +
+ +
= −
a
a
a
15. 15. 15. 15. 15. 
1
1
1
12
4
4 8−
−
= + +
x
x
x x
EJERCICIO 74
16.16.16.16.16.
64 343
4 7
16 28 49
6 9
2 3
4 2 3 6x y
x y
x x y y
−
−
= + +
17. 17. 17. 17. 17. 
a b
a b
a a b a b a b a b b
18 18
3 3
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15−
+
= − + − + −
18. 18. 18. 18. 18. 
( )
( )
a x y
a x y
a x y
+ −
+ −
= + +
2 2
19. 19. 19. 19. 19. 
1
1
1
11
10 9 8 7 6 5 4 3 2+
+
= − + − + − + − + − +
x
x
x x x x x x x x x x
20. 20. 20. 20. 20. 
x y
x y
x x y x y x y y
40 40
8 8
32 24 8 16 16 8 24 32−
−
= + + + +
21. 21. 21. 21. 21. 
9 36
3 6
3 6
10
5
5−
+
= −
x
x
x
22. 22. 22. 22. 22. 
x
x
x x x x x x x
8
7 6 5 4 3 2256
2
2 4 8 16 32 64 128
−
−
= + + + + + + +
1.1.1.1.1. x x x2
2
2 3 1
1 2 1 3
1 2 3 2
− + ÷ −
= − ⋅ +
= − + =
4.4.4.4.4.
( ) ( ) ( )
( )
a a a a4 3 2
4 3 2
5 2 6 3
3 5 3 2 3 6
81 5 27 2 9 6
81 135 18 6 228
− + − ÷ +
= − − − + − −
= − − + ⋅ −
= + + − =
7. 7. 7. 7. 7. a a a a5 3
5 3
2 2 4 5
5 2 5 2 5 4
3 125 2 125 10 4
3 125 250 10 4 2 881
− + − ÷ −
= − ⋅ + ⋅ −
= − ⋅ + −
= − + − =
.
. .
10.10.10.10.10.15 11 10 18 3 2
15
2
3
11
2
3
10
2
3
18
15
8
27
11
4
9
20
3
18
40
9
44
9
20
3
18
40 44 60 162
9
18
9
2
3 2
3 2
x x x x− + + ÷ +
= −

 − −



 + −



 +
= −

 − ⋅ − +
= − − − +
=
− − − +
= =
 2. 2. 2. 2. 2. 
( ) ( ) ( )
x x x x3 2
3 2
3 2 2 1
1 3 1 2 1 2
1 3 2 2 8
− + − ÷ +
= − − − + − −
= − − − − = −
 5. 5. 5. 5. 5. m m m m4 3 2
4 3 2
5 4
4 4 4 5
256 64 16 5 309
+ − + ÷ −
= + − +
= + − + =
 8. 8. 8. 8. 8. 6 3 5 2 1
6
1
2
1
2
3
1
2
5
6
1
8
1
4
3
2
5
3
4
1
4
3
2
5
3 1 6 20
4
12
4
3
3 2
3 2
x x x x+ + + ÷ +
= −

 + −



 + −



 +
= −

 + − + = − + − +
=
− + − +
= =
 11. 11. 11. 11. 11.5 12 9 22 21 5 2
5
2
5
12
2
5
9
2
5
22
2
5
21
5
16
625
12
8
125
9
4
25
44
5
21
16
125
96
125
36
25
44
5
21
80
125
36
25
44
5
21
80 180 1 100 2 625
125
1 625
125
13
4 3 2
4 3 2
x x x x x− + − + ÷ −
= 

 −



 +



 −



 +
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +
= − + − +
= − + − +
=
− + − +
= =
. . .
3. 3. 3. 3. 3. x x x4 3
4 3
5 2
2 2 5
16 8 5 13
− + ÷ −
= − +
= − + =
 6. 6. 6. 6. 6. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
x x x x x x5 4 3 2
5 4 3 2
3 2 4 2 2 3
3 3 3 2 3 4 3 2 3 2
243 3 81 2 27 4 9 6 2
243 243 54 36 8 98
+ − + − + ÷ +
= − + − − − + − − − +
= − + ⋅ − − + ⋅ + +
= − + + + + =
9. 9. 9. 9. 9. 12 21 90 3 3
12 1 21 1 90
12 21 90 81
3
3
x x x− + ÷ −
= ⋅ − ⋅ +
= − + =
 12. 12. 12. 12. 12. a a a a a6 4 2
6 4 2
8 4 1 2 3
3
2
3
2
8
3
2
4
3
2
1
729
64
81
16
8
9
4
12
2
1
729
64
81
16
18 6 1
729
64
81
16
23
729 324 1 472
64
419
64
+ − + + ÷ +
= −

 + −



 − −



 + −



 +
= + − ⋅ − +
= + − − + = + −
=
+ −
= −
.
1. 1. 1. 1. 1. x x x
x s
2 7 5 3
1 7 5 3
3 12
1 4 7
4 7
− + ÷ −
−
−
− −
= − −Re .
2. 2. 2. 2. 2. a a a
a s
2 5 1 2
1 5 1 2
2 14
1 7 15
7 15
− + ÷ +
− −
−
−
= − Re .
3. 3. 3. 3. 3. x x x x
x x s
3 2
2
2 2 1
1 1 2 2 1
1 2 4
1 2 4 6
2 4 6
− + − ÷ +
− − −
− −
− −
= − + −Re .
4. 4. 4. 4. 4. x x x x
x s
3 2
2
2 2 2
1 2 1 2 2
2 0 2
1 0 1 0
1 0
− + − ÷ −
− −
= + Re .
5. 5. 5. 5. 5. a a a
a a s
3 2
2
3 6 3
1 3 0 6 3
3 18 54
1 6 18 60
6 18 60
− − ÷ +
− − −
− −
− −
= − + −Re .
EJERCICIO 76
1. 1. 1. 1. 1. x x x2 6 3− − ÷ −
Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)
2. 2. 2. 2. 2. x x x x3 24 10 2+ − − ÷ +
Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)
3. 3. 3. 3. 3. 2 5 7 9 3 14 3 2x x x x x− + − + ÷ −
Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)
4. 4. 4. 4. 4. x x x x x5 4 35 7 8 3+ − − + ÷ +
Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)
5. 5. 5. 5. 5. 4 8 11 4 2 13 2x x x x− − − ÷ −
Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)
6. 6. 6. 6. 6. 6 2 3 3 3 3 15 4 3 2x x x x x x+ − − + + ÷ +
Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)
EJERCICIO 75
6. 6. 6. 6. 6. n n n n
n n n s
4 3
3 2
5 4 48 2
1 5 0 4 48 2
2 14 28 48
1 7 14 24 0
7 14 24 0
− + − ÷ +
− − −
− −
− −
= − + − Re .
7. 7. 7. 7. 7. x x x
x x x s
4
3 2
3 5 1
1 0 0 3 5 1
1 1 1 2
1 1 1 2 3
2 3
− + ÷ −
−
−
−
= + + − Re .
8.8.8.8.8. x x x x x x
x x x s
5 4 3 2
4 3
12 4 2 4
1 1 12 1 4 2 4
4 12 0 4 0
1 3 0 1 0 2
3 2
+ − − − − ÷ +
− − − − −
−
− − −
= − − −Re .
9. 9. 9. 9. 9. a a a a
a a a a s
5 3
4 3 2
3 4 6 2
1 0 3 0 4 6 2
2 4 2 4 16
1 2 1 2 8 10
2 2 8 10
− + − ÷ −
− −
= + + + + Re .
10.10.10.10.10.
x x x
x x x x s
5 2
4 3 2
208 2076 5
1 0 0 208 0 2 076 5
5 25 125 415 2 075
1 5 25 83 415 1
5 25 83 415 1
− + ÷ −
−
− −
− −
= + + − −
.
.
Re .
11.11.11.11.11. x x x x x x
x x x x x s
6 5 4 3 2
5 4 3 2
3 4 3 2 3
1 3 4 3 1 0 2 3
3 18 66 207 618 1 854
1 6 22 69 206 618 1 856
6 22 69 206 618 1 856
− + − − + ÷ +
− − − −
− − −
− − −
= − + − + −
.
.
Re . .
12. 12. 12. 12. 12. 2 3 7 5 2 1
2 3 7 5
1
2
1 1 3
2 2 6 2
3 2
3 2
2
x x x x
x x s
− + − ÷ −
− −
−
− −
= − + −Re .
13. 13. 13. 13. 13. 3 4 5 6 3 2
3 4 5 6
2
3
2 4 6
3 6 9 0
2 3 0
3 2
2
a a a a
a a s
− + + ÷ +
− −
− −
−
= − + Re .
14.14.14.14.14. 3 4 4 10 8 3 1
3 4 4 10 8
1
3
1 1 1 3
3 3 3 9 5
3 5
4 3 2
3 2
x x x x x
x x x s
− + − + ÷ −
− −
− −
− −
= − + − Re .
 15. 15. 15. 15. 15. x x x x x
x x x x s
6 4 3 2
5 4 3
15
8
1 2 3
1 0 1
15
8
1 0 1
3
2
3
2
9
4
15
8
0
3
2
9
4
1
3
2
5
4
0 1
3
2
5
4
1
2
3
4
5
8
1
2
3
4
5
4
− + + − ÷ +
− − −
− − −
− −
= − + + − Re .
7. 7. 7. 7. 7. a +1 Es factor de Es factor de Es factor de Es factor de Es factor de a a a3 22 2 5− + +
 
( ) ( ) ( )− − − + − +
= − − − + =
1 2 1 2 1 5
1 2 2 5 0
3 2
 No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo,,luego a + 1 divide exacta-
 mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es
 un factor de este. un factor de este. un factor de este. un factor de este. un factor de este.
8. 8. 8. 8. 8. x −5 divide a divide a divide a divide a divide a x x x x x5 4 3 26 6 5 2 10+ + − + −
 
5 6 5 6 5 5 5 2 5 10
3125 3750 750 125 10 10 0
5 4 3 2+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −
= − + + + − =
 Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se
 anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a
 x x x x x5 4 3 26 6 5 2 10+ + − + −
9. 9. 9. 9. 9. 4 3x − divide a divide a divide a divide a divide a 4 7 7 7 34 3 2x x x x− + − +
4
3
4
7
3
4
7
3
4
7
3
4
3
324
256
189
64
63
16
21
4
3
324 756 1 008 1 344 768
256
0
256
0
4 3 2


 −



 +



 −



 +
= − + − +
=
− + − +
= =
. .
La variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplaza
por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el
valor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisor. Se observa. Se observa. Se observa. Se observa. Se observa
su anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 es
un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.
10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de
3 2 3 2 6 75 4 3 2n n n n n+ − − + + porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es
múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al
reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-
sultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la división
no será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puede
concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.
11. 11. 11. 11. 11. 2 2 4 16 2
4 12 16
2 6 8 0
2 6 8
3 2
2
a a a a
Exacta coc a a
− − + ÷ +
− −
−
− +; .
12. 12. 12. 12. 12. a a a a
Exacta coc a a
4 2
3 2
2 2 1
1 1 0 2
1 1 0 2 0
2
− + + ÷ +
− −
−
− +; .
13. 13. 13. 13. 13. x x x
Exacta coc x x x
4
3 2
5 6 1
1 1 1 6
1 1 1 6 0
6
+ − ÷ −
+ + +; .
14. 14. 14. 14. 14. x x x x x x
Exacta coc x x x x x
6 4 3 2
5 4 3 2
39 26 52 29 30 6
6 36 18 48 24 30
1 6 3 8 4 5 0
6 3 8 4 5
− + − + − ÷ −
− −
− −
+ − + − +; .
15. 15. 15. 15. 15. a a a a a a a
Inexacta coc a a a s
6 5 4 3 2
5 3
4 4 8 25 4
4 0 4 0 4 16
1 0 1 0 1 4 9
4 9
− − + + − + ÷ −
− −
− −
− + −; . ; Re .
16. 16. 16. 16. 16. 16 24 37 24 4 4 1
4 5 8 4
16 20 32 16 0
4 5 8 4
4 3 2
3 2
x x x x x
Exacta coc x x x
− + − + ÷ −
− −
− −
− + −; .
17. 17. 17. 17. 17. 15 25 18 18 17 11 3 5
25 0 30 20 5
15 0 18 12 3 6
5 6 4 1 6
5 4 3 2
4 2
n n n n n n
Inexacta coc n n n s
+ − − + − ÷ +
− −
− − −
− + − −; . ; Re .
18. 18. 18. 18. 18. 7 5 5
35 150
7 30 0
150
2x x k x
Sik se anula
− + ÷ −
= −
19. 19. 19. 19. 19. x x x k x
k luegok
3 23 4 2
2 2 4
1 1 2 0
4 0 4
− + + ÷ −
−
−
+ = = −,
20. 20. 20. 20. 20. 2 25 3
6 18 54 87
2 6 18 29 0
87 87 0
4a a k a
Parak secumpleque k
+ + ÷ +
− −
− −
= − + =
21. 21. 21. 21. 21. 20 7 29 4 1
5 3 8
20 12 32 0
8 0 8
3 2x x x k x
k entoces k
− + + ÷ +
− −
−
− = =
EJERCICIO 77
1. 1. 1. 1. 1. 
x
x
Inexacta s
5 1
1
2
+
−
Re .
2. 2. 2. 2. 2. 
a b
a b
Inexacta s b
4 4
42
+
+
Re .
3. 3. 3. 3. 3. 
x
x
Exacta
8
2
1
1
−
+
4. 4. 4. 4. 4. 
a
a
Inexacta s
11 1
1
2
+
−
Re .
5. 5. 5. 5. 5. 
a b
a b
Inexacta s b
6 6
2 2
62
+
+
Re .
6. 6. 6. 6. 6. 
x
x
Exacta
7 1
1
−
−
7. 7. 7. 7. 7. 
x
x
Inexacta s
3 8
2
16
−
+
−Re .
8. 8. 8. 8. 8. 
x
x
Exacta
4 16
2
−
+
 9. 9. 9. 9. 9. 
a
a
Inexacta s
5 32
2
64
+
−
Re .
10. 10. 10. 10. 10. 
x
x
Inexacta s
7 128
2
256
−
+
−Re .
11. 11. 11. 11. 11. 
16 81
2 3
4 4a b
a b
Exacta
−
+
12. 12. 12. 12. 12. 
a x b
ax b
Exacta
3 6 9
2 3
+
+
EJERCICIO 78
1. 1. 1. 1. 1. 5 8 15
5 8 15
3 15
15
3
5
x x
x x
x
x
x
= −
− =−
− =−
= −
−
=
 2. 2. 2. 2. 2. 4 1 2
4 2 1
4 1
1
4
x
x
x
x
+ =
= −
=
=
 3. 3. 3. 3. 3. y y
y y
y
y
y
− = −
− =− +
− =−
= −
−
=
5 3 25
3 25 5
2 20
20
2
10
 4. 4. 4. 4. 4. 5 6 10 5
5 10 5 6
5 1
1
5
1
5
x x
x x
x
x
x
+ = +
− = −
− =−
= −
−
=
 5. 5. 5. 5. 5. 9 11 10 12
9 12 10 11
3 1
1
3
y y
y y
y
y
− = − +
− =− +
− =
= −
6. 6. 6. 6. 6. 21 6 27 8
6 8 27 21
2 6
6
2
3
− = −
− + = −
=
=
=
x x
x x
x
x
x
 7. 7. 7. 7. 7. 11 5 1 65 36
16 65 36 1
16 65 35
49 35
35
49
5
7
x x x
x x
x x
x
x
x
+ − = −
= − +
− =−
− =−
= −
−
=
 8. 8. 8. 8. 8. 8 4 3 7 14
11 4 8 14
11 8 14 4
3 18
18
3
6
x x x x
x x
x x
x
x
x
− + = + +
− = +
− = +
=
=
=
 9. 9. 9. 9. 9. 8 9 12 4 13 5
4 9 13
4 13 9
3 22
22
3
22
3
x x x x
x x
x x
x
x
x
+ − = − −
− + =− −
− + =− −
− =−
=
−
−
=
10. 10. 10. 10. 10. 5 6 81 7 102 65
11 81 72 102
11 72 102 81
61 183
183
61
3
y y y y
y y
y y
y
y
y
+ − = + +
− = +
− = +
− =
=
−
= −
 11. 11. 11. 11. 11. 16 7 5 11 3
8 11 10 3
8 10 3 11
2 14
14
2
7
+ − + = − −
+ = −
− =− −
− =−
= −
−
=
x x x x
x x
x x
x
x
x
 12. 12. 12. 12. 12. 3 101 4 33 108 16 100
68 8 16
16 8 68
15 60
60
15
4
x x x
x x
x x
x
x
x
+ − − = − −
− + = −
− + = −
= −
=
−
= −
13.13.13.13.13. 14 12 39 18 256 60 657
9 14 717 256
9 717 256 14
726 242
242
726
1
3
− + − = − −
+ =− +
+ = −
=
=
=
x x x x x
x x
x x
x
x
x
14. 14. 14. 14. 14. 8 15 30 51 53 31 172
88 84 172
88 84 172
172 172
172
172
1
x x x x x x
x x
x x
x
x
x
− − − = + −
− = −
− − =−
− =−
= −
−
=
EJERCICIO 79
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x
x x x
x x
x x
x
x
x
− + = − +
− − = − −
− − = −
− + = +
=
=
=
2 1 8 3 3
2 1 8 3 3
1 5 3
3 5 1
2 6
6
2
3
 2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )15 10 6 2 3
15 10 6 2 3
15 10 4 1
15 4 10 1
11
11
1
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− = − + + − +
− =,− − − +
− = +
− = +
=
=
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )5 3 4 6 8 11 3 6
5 3 4 6 8 11 3 6
1 5 17
5 17 1
4 18
18
4
9
2
− − − + = + − −
− + − = + − +
− = +
− = +
− =
=
−
= −
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ) ( )30 6 5 4 5 6 8 3
30 6 5 4 5 6 8 3
26 2 2 14
26 2 14 2
28 12
12
28
3
7
x x x x x
x x x x x
x x
x x
x
x
x
− − + + − + =− + + − +
+ − − + = − − − +
− = − −
+ = − +
= −
= −
= −
 5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( )15 6 5 2 3 7 23 3 2
15 6 5 2 3 7 23 3 2
10 10 20
10 10 20
20 20
20
20
1
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x
x
+ − + − − − + = − + − + −
− + − + − =− − − + −
= − −
+ = −
= −
=
−
= −
6. 6. 6. 6. 6. ( )[ ] ( )
[ ]
[ ]
3 5 3 8 5 9
3 5 3 8 5 9
3 6 3 3 9
3 6 3 3 9
3 3 3 9
1 3
3 1
2 2
2
2
1
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
+ − − + = + − −
+ − − − = − −
+ − − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = − +
− = − ⇒ =
−
−
=
 7. 7. 7. 7. 7. ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
16 3 6 9 30 3 2 3
16 3 6 9 30 3 2 3
16 12 6 30 4 5
16 12 6 30 4 5
4 6 26 5
4 26 5 6
22 11
11
22
1
2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− − − = + − + − +
− − + = + − − − −
− − = + − −
− + = − −
+ = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }
{ }
{ }
9 5 1 2 8 7 5 9 0
9 5 1 2 8 7 5 9 0
4 1 7 9 0
4 1 7 9 0
12 8 0
12 8
8
12
2
3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
− + − + − − + =
− − − + − + + =
− − + + =
− − − + =
− =
=
=
=
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
− + − − + − − + − + − =−
− + − − + + − − − − =−
− − − − + = −
− − + − =−
− − = −
= −
3 8 15 6 3 2 5 4 29 5
3 8 15 6 3 2 5 4 29 5
3 21 21 4 5
3 21 21 4 5
5
5
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
EJERCICIO 80
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x
x x x
x x
x x
x
x x
+ − = − +
+ − = − −
− = − −
+ = − +
= −
=
−
⇒ = −
3 1 6 4 2 3
3 3 6 8 12
4 3 8 6
4 8 6 3
12 3
3
12
1
4
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )5 1 16 2 3 3 2 7
5 5 32 48 6 21
37 43 5 21
37 5 21 43
32 64
64
32
2
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
− + + = − −
− + + = − −
+ = −
− = − −
= −
=
−
⇒ = −
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 5 3 3 5
6 6 20 12 3 5
14 18 8
14 8 18
6 18
18
6
3
2 2
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x
+ − − = − − +
+ − + = − − −
− + = −
− + = −
− = −
=
−
−
⇒ =
10. 10. 10. 10. 10. ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
71 5 2 3 25 3 4 4 3
71 5 2 3 25 3 4 4 3
71 7 3 25 7 7
71 7 3 25 7 7
74 7 32 7
74 32 7 7
42 14
42
14
3
+ − + − + = − − + − +
+ − − + = − − − − −
+ − + = − − −
− + = + +
− = +
− = +
=
=
=
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
8. 8. 8. 8. 8. ( ){ }[ ]
{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
[ ]
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x x
− + − − + = −
− + − − − = −
− + − − = −
− + − + = −
− − = −
− + = −
= − +
= ⇒ = =
5 3 5 6 3
5 3 5 6 3
5 3 4 6 3
5 3 4 6 3
11 3
11 3
2 3 11
2 8
8
2
4
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )184 7 2 5 301 6 1 6
184 14 35 301 6 6 6
149 14 289 6
149 289 6 14
140 20
140
20
7
− + = + − −
− − = + − −
− = +
− = +
− =
−
=
− =
x x
x x
x x
x x
x
x
x
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( )7 18 6 3 5 7 9 3 2 5 12
126 7 18 30 7 9 6 15 12
108 23 13 36
23 13 36 108
36 144
144
36
4
− − − =− + − + −
− − + =− − − − −
+ = − −
+ = − −
= −
=
−
= −
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 7 1 2 7 4 0
3 9 5 35 2 14 4 0
5 25 0
5 25
25
5
5
2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
x
− + + − + − + + =
− + + − − − − + =
− + =
− = −
=
−
−
=
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − + − − − − =
− − − + − + − + =
− =
=
=
=
3 2 7 5 6 8 1 2 3 0
6 21 5 6 8 16 3 0
4 20 0
4 20
20
4
5
x x x x
x x x x
x
x
x
x
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( )3 4 4 3 6 4 2 5
12 9 16 12 12 38 20
25 38 20 12
13 8
8
13
2 2
x x x x
x x x x x
x x
x
x
− − = − −
− − + = − +
− + = −
=
=
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( )4 5 4 5 10 3 7 2
20 41 20 20 76 21
41 76 21 20
35 1
1
35
1
35
2 2
− − = − −
− + − = − + −
− = − +
− = −
=
−
−
=
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x x
x x
x
x
x
+ + = + − +
+ + = − − +
+ = − −
= −
=
−
= −
1 2 5 2 3 4 5
2 7 5 2 5 12 5
7 5 7 5
12 12
12
12
1
2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )x x
x x x x
x
x
x
x
− − − =
− + − + − =
− =
=
=
=
2 3 1
4 4 9 6 1
2 5 1
2 6
6
2
3
2 2
2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( )
( ) ( )
14 5 1 2 3 17 10 1 6
14 10 13 3 17 10 59 6
14 10 13 3 17 10 59 6
13 59 6
72 6
6
72
1
12
2 2
2 2
− − + = − + −
− + − = − − −
− − + = − + +
− − =
− =
=
−
= −
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
 13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
− + − = + − − + − +
− + + − = + − − + − +
− + = + − − − + +
− + = + − +
− − = −
− = −
=
−
−
=
2 3 3 4 3 2 1 2
4 4 3 3 12 2 2
2 7 4 3 3 36 2 2
2 7 4 2 2 36 4
7 2 36
9 36
36
9
4
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 5 2 2 3 5 2 1 0
9 6 1 5 10 4 12 9 5 3 2 0
20 4 0
20 4
4
20
1
5
2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
x
− − − − + − + − =
− + − + − − − − + + =
− + =
− = −
=
−
−
=
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12
2 12 18 3 6 3 8 15 4 20 4 4 12
4 46 34 4 12
46 12 34
46 46
46
46
1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
x
x
x
x
− − + + − − + − + = −
− + − − − + − + + − + = −
− + = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( )( )5 2 5 3 2 1 5 2 10 0
5 20 20 5 30 45 10 2 10 0
51 27 0
51 27
27
51
9
17
2 2 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
x
− − + + − + − =
− + − − − + − − − =
− − =
− =
=
−
= −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( )x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x
2
2 2
5 15 3 14 5 2 3 13 2
5 15 3 14 5 10 39 6
5 15 4 15
5 4 0
0
0
− + = − − + − + −
− + = − − + − + −
− + = − +
− + =
− =
=
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 5 6 3 2 6 3 4 1 3 9 1 2 0
3 15 8 12 6 3 4 3 9 17 2 0
45 24 36 18 6 24 27 51 6 0
21 6 0
21 6
6
21
2
7
2 2 2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
x
− + − + − − + − =
− − − + − − − − =
− − − − + − + + =
− =
=
=
=
EJERCICIO 81
 19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )( )7 4 3 5 4 1 1 2
7 56 112 3 30 75 4 4 2
4 86 37 4 6
86 6 37
86 43
43
86
1
2
2 2
2 2 2
2 2
x x x x
x x x x x
x x x
x
x
x
x
− − + = + − −
− + − − − = − −
− + = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( ) ( )5 1 6 3 7 3 2 5 2
5 10 5 6 18 42 3 2 10 2
8 47 13 2
8 13 2 47
21 49
49
21
7
3
2 2
2 2 2 2
2 2
− − − − = − − + −
− + − + + = − − − −
− + + =− − −
+ = − −
= −
=
−
= −
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
14 3 2 5 2 1 0
14 3 2 5 2 1 0
11 2 4 3 0
11 2 4 3 0
7 1 0
7 1
1
7
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
− − − + − − =
− + − + − + =
+ − + =
+ − − =
− =
=
=
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) [ ]
3 7 5 2 1 2 3 1
9 42 49 5 2 3 2 3 1
9 42 49 10 15 10 3 1
27 59 3 1
27 3 1 59
30 58
58
30
29
15
2 2
2 2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x
− − + − =− − − +
− + − − − =− − − −
+ − + − + + = +
− + = +
− − = −
− = −
=
−
−
⇒ =
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
6 2 1 5 2 1
6 2 1 5 2 1
4 1 5 2 1
4 1 3 1
4 1 3 1
4 3 1 1
0
x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
− + = − − + − − −
− − = − − + +
− = − − + +
− = − − +
− = −
− = − +
=
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ){ }
{ }
{ }
2 3 1 3 2 1 3 2
2 3 3 3 2 2 3 6
2 3 3 3 8
2 3 3 3 8
2 8 3
11
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
+ − − = − + − − +
− − = − + − − −
− − = − − −
− − = − + +
− = +
=
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
x
x
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 1 4 1 4 0
3 4 4 4 0
3 4 0
3 4 0
4 4 0
4 4
4
4
1
− + + + − − =
− + + + −,− =
− + + − =
− + + − =
− − + =
− = −
=
−
−
=
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( ) ( ){ }[ ]
( ) { }[ ]
[ ]
3 2 1 3 2 5 3 5 10
3 2 5 3 4 20 25 3 15 10
6 15 9 4 20 25 3 15 10
10 5 16 3 15 10
5 3 16 15
2 1
1
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x
+ − + − + =− − − + +
− + + − − − =− − − − +
− + + − − − =− + +
− − − = − − −
− + = −
− =
= −
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
x x
x
x x
+ + − = − + +
+ + − = − − +
− + − + − = + − − − −
− − = − −
− + = − +
− =
=
−
⇒ = −
1 2 3 2 1 1
3 2 3 2 1
3 3 9 2 6 2 2
7 6 3 2
7 3 2 6
4 4
4
4
1
2 2
3 2 2 3 2 2
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x x
+ + − = + + − +
+ + − = + − +
− + − + − = − + − +
+ − = − −
+ = − +
= −
=
−
⇒ = −
2 3 1 4 4 4 7
5 6 1 4 16 7
5 5 6 6 16 4 64 7
4 6 4 16 57
16 57 6
17 51
51
17
3
2 2
3 2 2 3 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )
( )
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x
x x
+ − − = −
+ + + − − + − = −
+ + + − + − + = −
+ = −
= −
−
= ⇒ − =
1 1 6 3
3 3 1 3 3 1 6 18
3 3 1 3 3 1 6 18
6 2 6 18
2 18
2
18
1
9
3 3
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
3 2 5 3 1 1 3
3 4 4 5 3 2 1 1 3
3 12 12 5 3 6 3 1 3
3 15 12 60 12 60 3 3 6 6 3 3 3
3 48 60 3 3
48 3 60
45 60
60
45
4
3
2 2
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x x
− + = + − +
− + + = + + − +
− + + = + + − +
+ − − + + = − + − + − +
− + = −
− + = −
− = −
=
−
−
⇒ =
EJERCICIO 82
1. 1. 1. 1. 1. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
− =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
8
8 106
2 8 106
2 106 8
114
2
57
8 57 8
49
2. 2. 2. 2. 2. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
32
32 540
2 540 32
2 572
572
2
286
32 286 32
254
3. 3. 3. 3. 3. A B bs
A B
A A
A
A
A
A bs
A B
B
bs B
+ =
− =
+ − =
= +
=
=
=
− =
⇒ − =
=
1 154
506
506 1 154
2 1 154 506
2 1660
1660
2
830
506
830 506
324
. .
.
.
.
.
.
.
4. 4. 4. 4. 4. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
24
24 106
2 106 24
130
2
65
24 65 24
41
5. 5. 5. 5. 5. A B años
A B
A A
A
A
A años
A B
B
años B
+ =
+ =
+ + =
= −
=
=
+ =
+ =
=
56
14
14 56
2 56 14
42
2
21
14
21 14
35
6. 6. 6. 6. 6. A B soles
A B
A A
A
A
A soles
A B
B
soles B
+ =
− =
+ − =
= +
=
=
− =
⇒ − =
=
1080
1014
1014 1080
2 1080 1014
2 094
2
1047
1014
1047 1014
33
.
.
. .
. .
.
.
.
. .
7. 7. 7. 7. 7. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
1
1 103
2 103 1
104
2
52
1 52 1
51
8. 8. 8. 8. 8. x N menor
x N medio
x N mayor
x x x
x
x
x
x N menor
x
N medio
x
N mayor
→
+ →
+ →
+ + + + =
+ =
= −
=
= →
+ ⇒ +
= →
+ ⇒ +
= →
º
º
º
º
º
º
1
2
1 2 204
3 3 204
3 204 3
201
3
67
1 67 1
68
2 67 2
69
9. 9. 9. 9. 9. x N x N
x N x N
x x x x
x
x
x
x N
x
N
x x
N N
→ + →
+ → + →
+ + + + + + =
+ =
= −
=
= →
+ ⇒ +
= →
+ ⇒ + + ⇒ +
= → = →
º º
º º
º
º
º º
1 1 2
2 3 3 4
1 2 3 74
4 6 74
4 74 6
68
4
17 1
1 17 1
18 2
2 17 2 3 17 3
19 3 20 4
10. 10. 10. 10. 10. 2
2 2
2 2 2 194
4 194 2
192
4
48
2 2 48
96
2 2 2 48 2
96 2
98
x N menor
x N mayor
x x
x
x
x
x
N menor
x
N mayor
→
+ →
+ + =
= −
=
=
⇒ ⋅
= →
+ ⇒ ⋅ +
= +
= →
º
º
º
º
 11. 11. 11. 11. 11. x N mayor
x N medio
x N menor
x x x
x
x
x
x N mayor
x
N medio
x
N menor
→
− →
− →
+ − + − =
− =
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
º
º
1
2
1 2 186
3 3 186
3 189
189
3
63
1 63 1
62
2 63 2
61
12. 12. 12. 12. 12. caballo coche arreos
coche caballo
coche arreos
coche coche coche
coches
coches
coche
coche
coche caballo
caballo
caballo
coche arreos
arreos
arreos
+ + =
+ =
− =
+ + + − =
+ =
=
=
=
+ =
⇒ + =
=
− =
⇒ − =
=
325
80
25
80 25 325
3 55 325
3 270
270
3
90
80
90 80
170
25
90 25
65
$
$
$
13. 13. 13. 13. 13. x N mayor
x N medio
x N menor
x x x
x
x
x
x N mayor
x
N medio
x
N menor
→
− →
− →
+ − + − =
− =
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
º
º
32
65
32 65 200
3 97 200
3 297
297
3
99
32 99 32
67
65 99 65
34
14. 14. 14. 14. 14. x cesto
x cesto
x cesto
x x x
x
x
x
x cesto
x
cesto
x
cesto
→
− →
− →
+ − + − =
− =
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
1
10 2
15 3
10 15 575
3 25 575
3 600
600
3
200 1
10 200 10
190 2
15 200 15
185 3
º
º
º
º
º
º
15. 15. 15. 15. 15. x mayor
x medio
x menor
x x x
x
x
x
x
x mayor
x
medio
x
menor
→
− →
− →
+ − + − =
− =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
55
70
55 70 454
3 125 454
3 454 125
3 579
579
3
193
55 193 55
138
70 193 70
123
16. 16. 16. 16. 16. x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
→
− →
− − →
⇒ − →
+ − + − =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
1
20 2
20 40 3
60 3
20 60 310
3 310 80
3 390
390
3
130 1
20 130 20
110 2
60 130 60
70 3
º
º
º
º
º
º
º
17. 17. 17. 17. 17. x mayor
x menor
x medio
x x x
x
x
x
x
x mayor
x
menor
x
medio
→
− →
− →
+ − + − =
− =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
20
18
20 18 88
3 38 88
3 88 38
3 126
126
3
42
20 42 20
22
18 42 18
24
18. 18. 18. 18. 18. x mayor
x menor
x x
x
x
x
x
x mayor
x
menor
→
− →
+ − =
− =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
36
36 642
2 36 642
2 642 36
2 678
678
2
339
36 339 36
303
EJERCICIO 83
1. 1. 1. 1. 1. x edadJuan
x edadPedro
x x
x
x
x edadJuan
x
edadPedro
→
→
+ =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
3
3 40
4 40
40
4
10
3 3 10
30
2. 2. 2. 2. 2. x Arreos
x Caballo
x x
x
x
x Arreos
x
Caballo
→
→
+ =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
4
4 600
5 600
600
5
120
4 4 120
480
$
$
3. 3. 3. 3. 3. x piso
x
piso
x
x
x x
x
x
x
x Habt piso
x
Habt piso
→
→
+ =
+ =
= ⋅
=
=
= →
⇒
= →
1
2
2
2
48
2
2
48
3 48 2
3 96
96
3
32 1
2
32
2
16 2
º
º
. º
. º
4. 4. 4. 4. 4. A B C
B A
C A
A A A
A
A
A colones
B A
colones
C A
colones
+ + =
=
=
⇒ + + =
=
=
=
= ⇒ ⋅
=
= ⇒ ⋅
=
300
2
3
2 3 300
6 300
300
6
50
2 2 50
100
3 3 50
150
5. 5. 5. 5. 5. A B C
A
B
C B
B
B B
B
B
B B
B
B
B Sucres
A
B
Sucres
C B
Sucres
+ + =
=
=
⇒ + + =
+ =
+ =
= ⋅
=
=
= ⇒
=
= ⇒ ⋅
=
133
2
2
2
2 133
2
3 133
6
2
133
7 133 2
266
7
38
2
38
2
19
2 2 38
76
6. 6. 6. 6. 6. x N mayor
x
N menor
x
x
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
→
+ =
+
=
= ⋅
=
=
= →
⇒
= →
º
º
º
º
6
6
147
6
6
147
7 147 6
7 882
882
7
126
6
126
6
21
7. 7. 7. 7. 7. A B C
B
A
B A
B
C
B C
B B B
B
B
B Quetz
A B
Quetz
C B
Quetz
+ + =
= ⇒ =
= ⇒ =
+ + =
=
=
=
= ⇒ ⋅
=
= ⇒ ⋅
=
140
2
2
4
4
2 4 140
7 140
140
7
20
2 2 20
40
4 4 20
80
.
.
.
8. 8. 8. 8. 8. x parte
x parte
x parte
x x x
x
x
x parte
x
parte
x
parte
→
→
→
+ + =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
⇒ ⋅
= →
1
4 2
5 3
4 5 850
10 850
850
10
85 1
4 4 85
340 2
5 5 85
425 3
º
º
º
º
º
º
9. 9. 9. 9. 9. x N buscado
x x
x x
x N buscado
→
= +
− =
= →
º
º
2 111
2 111
111
10. 10. 10. 10. 10. x edadRosa
x edadMaría
x x
x
x
x
x edadRosa
x
edadMaría
→
+ →
+ + =
= −
=
=
= →
+ ⇒ ⋅ +
= +
= →
3 15
3 15 59
4 59 15
4 44
44
4
11
3 15 3 11 15
33 15
48
11. 11. 11. 11. 11. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
= +
− =
=
=
= →
º
º
8 21
8 21
7 21
21
7
3
12. 12. 12. 12. 12. x Mi edad
x
x
x
x
x Mi edad
→
+ =
= −
=
=
= →
3 7 100
3 100 7
3 93
93
3
31
13. 13. 13. 13. 13. x parte
x
parte
x
parte
x
x x
x x x
x
x
x
x parte
x
parte
x
parte
→
→
→
+ + =
+ +
=
= ⋅
=
=
= →
⇒ = →
⇒
⋅
= ⋅ = →
1
3
2
4
3
3
3
4
3
96
3 4
3
96
8 96 3
8 288
288
8
36 1
3
36
3
12 2
4
3
4 36
3
4 12 48 3
º
º
º,º
º
º
14. 14. 14. 14. 14. x EdadEnrique
x EdadPedro
x EdadJuan
x EdadEugenio
x x x x
x
x
x EdadEnrique
x EdadPedro
x EdadJuan
x EdadEugenio
→
→
→
→
+ + + =
=
=
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
2
3
6
2 3 6 132
12 132
132
12
11
2 2 11 22
3 3 11 33
6 6 11 66
EJERCICIO 84
1. 1. 1. 1. 1. x parte
x parte
x parte
x x x
x
x
x
x parte
x parte
x
parte
→
→
− →
+ + − =
= +
=
=
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ ⋅ −
= − = →
1
3 2
3 40 3
3 3 40 254
7 254 40
7 294
294
7
42 1
3 3 42 126 2
3 40 3 42 40
126 40 86 3
º
º
º
º
º
º
2. 2. 2. 2. 2. A B C
C A
B C B A
B A
A A A
A
A
A
A Balb
B A Balb
C A Balb
+ + =
=
− = ⇒ − =
= +
+ + + =
= −
=
=
=
= + ⇒ ⋅ + = + =
= ⇒ ⋅ =
130
2
15 15 2
2 15
2 15 2 130
5 130 15
5 115
115
5
23
2 15 2 23 15 46 15 61
2 2 23 46
.
.
.
3. 3. 3. 3. 3. x Número
x
Número
x Número
x
x
x
x
x
x x
x
x
x Número
x
Número
x Número
→
− →
− →
+ − + − =
+ − =
+ = +
= ⋅
=
= →
− ⇒ − = = →
− ⇒ − = →
1
8
2
2
18 3
8
2
18 238
2
2
8
2
256
4
2
256 4
5 260 2
520
5
104 1
8
2
104 8
2
96
2
48 2
18 104 18 86 3
º
º
º
º
º
º
4. 4. 4. 4. 4. x Costo traje
x
Costo sombrero
x Costo bastón
x
x
x
x
x
x x
x
x
x Costo traje
x
Costo sombrero
x Costo bastón
→
→
− →
+ + − =
+ = +
+
=
= ⋅
=
= →
⇒ = →
− ⇒ − = →
8
30
8
30 259
2
8
259 30
16
8
289
17 289 8
2 312
17
136
8
136
8
17
30 136 30 106
.
$
$
$
5. 5. 5. 5. 5. x Número
x
Número
x Número
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x Número
x
Número
x Número
→
−
→
− →
+
−
+ − =
+ − =
+
= +
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= = →
− ⇒ − = →
1
6
5
2
6 3
6
5
6 72
2
5
6
5
78
10
5
78
6
5
11
5
390 6
5
11 396
396
11
36 1
6
5
36 6
5
30
5
6 2
6 36 6 30 3
º
º
º
º
º
º
6. 6. 6. 6. 6. A B
B A
A A
A
A
A
A bs
B A
bs
+ =
= +
+ + =
= −
=
=
=
= + ⇒ ⋅ +
= + =
99
3 19
3 19 99
4 99 19
4 80
80
4
20
3 19 3 20 19
60 19 79
.
.
7. 7. 7. 7. 7. x cm de azúl
x
cm deblanco
x
x
x
x
x x
x
x
x cmde azúl
x
cmde blanco
→
− →
+ − =
+ − =
+
= +
= ⋅
=
= →
− ⇒ −
= = →
14
2
14
2
74
2
14
2
74
2
2
74 7
3 81 2
162
3
54
14
2
54 14
2
40
2
20
 8. 8. 8. 8. 8. A B C
B A
B
A
B C
B
B B
B
B
B B
B
B
B
A
B
C B
+ + =
= − ⇒
+
=
− =
+
+ + − =
+ + = +
+
= −
= ⋅
=
=
=
+
⇒
+
= =
= − ⇒ − =
152
2 8
8
2
32
8
2
32 152
2
8
2
2 152 32
4
2
184 4
5 180 2
360
5
72
8
2
72 8
2
80
2
40
32 72 32 40
$
$
$
 9. 9. 9. 9. 9. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
+ = +
=
=
= →
º
º
80 220 2
2 220 80
3 300
300
3
100
 10. 10. 10. 10. 10. x Tengo ahora
x x
x x
x S Tengo ahora
→
+ = +
− = −
= →
2 10 60
2 60 10
50 /.
 11. 11. 11. 11. 11. x Parte separada
x Laotraparte
x x
x
x
x cm
m Parte separada
x cm
m Laotraparte
→
+ →
+ + =
= −
=
=
⇒ →
+ ⇒ + =
⇒ →
80
80 910
2 910 80
830
2
415
4 15
80 415 80 495
4 95
,
,
12. 12. 12. 12. 12. x Edad padre
x
Edad hijo
x
x
x
x
x x
x
x
x Edad padre
x
Edad hijo
→
−
→
+
−
=
+ − =
+ = +
= ⋅
=
= →
−
⇒
−
= = →
3
3
3
3
83
3
3
3
83
3
3
83 1
4 84 3
252
4
63
3
3
63 3
3
60
3
20
EJERCICIO 85
13. 13. 13. 13. 13. A B C
B A
B C
B B B
B
B
B Votos
A B Votos
C B Votos
+ + =
+ =
− =
+ + + − =
= +
=
=
= + ⇒ + =
= − ⇒ − =
9 000
500
800
500 800 9 000
3 9 000 300
9 300
3
3 100
500 3 100 500 3 600
800 3 100 800 2 300
.
.
.
.
.
. .
. .
14. 14. 14. 14. 14. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
+ = +
=
=
= →
º
º
8 60 60 7
8 7 60 60
15 120
120
15
8
15. 15. 15. 15. 15. x Edad bre
x x
x x
x
x
x Edad bre
→
− = −
+ = +
=
=
= →
hom
hom
2 17 100
2 100 17
3 117
117
3
39
1. 1. 1. 1. 1. x N mayor
x
N menor
x
x
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
→
+ =
+ =
= ⋅
=
= →
⇒ ⋅ = →
º
º
º
º
2
3
2
3
100
3 2
3
100
5 100 3
300
5
60
2
3
2 60
3
40
2. 2. 2. 2. 2. x Edad padre
x
Edad hijo
x
x
x
x
x x
x
x
x
x Edad padre
x
Edad hijo
→
− →
+ − =
+ − =
+
= +
= +
=
=
= →
−
⇒
−
= →
15
2
15
2
60
2
15
2
60
2
2
60
15
2
3
2
120 15
2
3 135
135
3
45
15
2
45 15
2
15
3. 3. 3. 3. 3. x Partemayor
x Partemenor
x x
x
x
x Partemayor
x
Partemenor
→
− →
+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
232
232 1 080
2 1 080 232
1 312
2
656
232 656 232
424
.
.
.
4. 4. 4. 4. 4. A B
A B
A A
A
A
A Soles
B A
Soles
+ =
− =
+ − =
= +
=
=
= − ⇒ −
=
150
46
46 150
2 150 46
196
2
98
46 98 46
52
5. 5. 5. 5. 5. x Ang mayor
x
Ang menor
x
x
x
x
x x
x
x
x
x Ang mayor
x
Ang menor
→
+
→
+
+
=
+ + =
+
= −
=
−
=
=
= →
+
⇒
+
= →
.
.
.
.
45
2
45
2
180
2
45
2
180
2
2
180
45
2
3
2
360 45
2
3 315
315
3
105
45
2
105 45
2
75
∃
∃
6. 6. 6. 6. 6. x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
−
→
+
−
=
+ − =
+
= +
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= = →
º
º
.
.
.
º
º
88
3
88
3
540
3
88
3
540
3
3
540
88
3
4
3
1 620 88
3
4 1 708
1708
4
427
88
3
427 88
3
339
3
113
 7. 7. 7. 7. 7. 
x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
−
→
−
−


 =
− + =
−
= −
= ⋅
=
=
= →
−
⇒
−
= →
º
º
º
º
12
4
12
4
36
4
12
4
36
4
4
36 3
3 33 4
3 132
132
3
44
12
4
44 12
4
8
8 8 8 8 8 x Costo perro
x
Costo collar
x
x
x x
x
x
x
x Costo perro
x
Costocollar
→
→
+ =
+
=
= ⋅
=
=
= →
⇒ = →
8
8
54
8
8
54
9 54 8
9 432
432
9
48
8
48
8
6
$
$
11. 11. 11. 11. 11. x Parte mayor
x
Parte menor
x
x
x
x
x x
x
x
x Parte mayor
x
Parte menor
→
+
→
+
+
=
+ = −
+
=
−
=
=
= →
+
⇒
+
= = →
16
3
16
3
160
3
160
16
3
3
3
480 16
3
4 464
464
4
116
16
3
116 16
3
132
3
44
EJERCICIO 86
9. 9. 9. 9. 9. A B
A B
A B
A B
A A
A
A
A
B A
+ =
− = +
⇒ − − =
− =
+ − =
= +
=
=
= − ⇒ − =
84
16 20
16 20
36
36 84
2 84 36
120
2
60
36 60 36 24
$
$
12.12.12.12.12. x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
+ →
+
+
=
+ = −
+
=
−
=
=
= →
+ ⇒ +
= = →
º
º
.
.
.
º
º
150
3
150
3
506
3
506
150
3
3
3
1518 150
3
4 1368
1 368
4
342
150
3
342 150
3
492
3
164
10. 10. 10. 10. 10. x N Señoritas
x
N Jovenes
x
x
x
x
x x
x
x
x N Señoritas
x
N jovenes
→
−
→
+
−
=
+ = +
+
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= →
º
º
º
º
15
2
15
2
60
2
60
15
2
2
2
120 15
2
3 135
135
3
45
15
2
45 15
2
15
13. 13. 13. 13. 13. x Esti ráfica
x Lapicero
x x
x
x
x bs Esti ráfica
x bs Lapicero
→
− →
+ − =
=
=
= →
− ⇒ − = →
log
. log
.
10
10 18
2 28
28
2
14
10 14 10 4
14. 14. 14. 14. 14. x Parte roja
x Parte negra
x x
x
x cm Parte roja
x cm Parte negra
→
+ →
+ + =
=
= →
+ ⇒ + = →
4
4 84
2 80
40
4 40 4 44
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
2
2 10 3 10
2 10 3 30
2 3 30 10
20
20
2 2 20 40
x Edad actual A
x Edad actual B
x x
x x
x x
x
x Edad actual B
x Edad actual A
→
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
3
3 5 2 5
3 5 2 10
3 2 10 5
5
3 3 5 15
x Edad A
x Edad B
x x
x x
x x
x Edad B
x Edad A
→
→
+ = +
+ = +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
3. 3. 3. 3. 3. 2
2 30 5
2 30 5
25
2 2 25 50
x TieneA
x TieneB
x x
x x
x TieneB
x TieneA
→
→
− = −
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
$
$
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
( )
( )
x
Tiene A
x Tiene B
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x colones Tiene B
x
colonesTiene A
2
2
66 2 90
132
2
2 90
132 4 90
132 4 360
3 492
492
3
164
2
164
2
82
→
→
+ = −
+
= −
+ = −
+ = −
− = −
=
−
−
= →
⇒ = →
5. 5. 5. 5. 5. x N ones
x
N Srtas
x
x
x
x
x x
x
x N ones
x
N Srtas
→
→
+ = −
− = − −
− = −
− =−
= →
⇒ = →
ºvar
º
ºvar
º
3
3
14 10
3
10 14
3
3
24
2 72
36
3
36
3
12
6.6.6.6.6.
( )
3
3 5 2 10
3 5 2 20
25
3 3 25 75
x Edad padre
x Edad hijo
x x
x x
x Edad hijo
x Edad padre
→
→
− = +
− = +
= →
⇒ ⋅ = →
7. 7. 7. 7. 7. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =,=
=
= →
− ⇒ ⋅ −
= − = →
º
º
º
º
2 56
2 56 85
3 141
141
3
47
2 56 2 47 56
94 56 38
10. 10. 10. 10. 10. 4
4 15 21
4 21 15
3 36
36
3
12
4 4 12
48
x DíasTrab Pedro
x DíasTrab Enrique
x x
x x
x
x
x DíasTrab Enrique
x
DíasTrab Pedro
→
→
− = +
− = +
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
.
.
.
.
EJERCICIO 87
 8. 8. 8. 8. 8. 5
5 0 5 0 5
5 0 5 0 5
4 1
1
4
0 25
5 5 0 25
1 25
x Tiene Enrique
x Tienesuhno
x x
x x
x
x
x Tiene suhno
x
Tiene Enrique
→
→
− = +
− = +
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
.
, ,
, ,
$ ,
,
$ ,
 11. 11. 11. 11. 11. 
( )
2
2 14 3 14
2 14 3 42
2 3 42 14
28
28
14
2 14 2 28 14
42
14 28 14
14
x Edad act padre
x Edad act hijo
x x
x x
x x
x
x Edad act hijo
Edadeshace años
x
años padre
x
años hijo
→
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
= →
− ⇒ ⋅ −
= →
− ⇒ −
= →
.
.
.
:
9. 9. 9. 9. 9. x Bolsa
x Bolsa
x x
x
x S Bolsa
x S Bolsa
→
− →
+ − =
=
= →
− ⇒ − = →
1
400 2
400 1 400
2 1 800
900 1
400 900 400 500 2
.
.
/.
/.
 12. 12. 12. 12. 12. 
( )
3
3 22 2 22
3 2 44 22
22
3 3 22 66
x Edad actual Juan
x Edad actual hijo
x x
x x
x Edad actualhijo
x Edad actual Juan
→
→
+ = +
= + −
= →
⇒ ⋅ = →
 13. 13. 13. 13. 13. 
( )
A B A B
A B
B B
B B
B
B
B
A B
+ = ⇒ = −
+ = +
⇒ − + = +
− − = −
− = −
=
−
−
=
= − ⇒ − =
84 84
80 3 4
84 80 3 12
3 12 164
4 152
152
4
38
84 84 38 46
$
$
1. 1. 1. 1. 1. 2
4 50 702
54 702
702
54
13
2 2 13
26
x N Sombreros
x N trajes
x x
x
x
x N trajes
x
N Sombreros
→
→
+ =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
º
º
º
º
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
x Cab
x Vacas
x x
x x
x
x
x Cab
x Vacas
→
− →
+ − =
+ − =
=
=
= →
− ⇒ − = →
.
.
. .
. .
.
.
.
6
600 800 6 40 000
600 800 4 800 40 000
1 400 44 800
44 800
1 400
32
6 32 6 26
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
16
12 16 5 73
192 12 5 73
17 73 192
119
17
7
16 16 7 9
− →
→
− − =
− − =
− = −
=
−
−
= →
− ⇒ − = →
x ob reslt
x ob noreslt
x x
x x
x
x
x ob noreslt
x ob reslt
Pr . .
Pr . .
Pr . .
Pr . .
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
50
3 50 2 90
150 3 2 90
5 60
60
5
12
50 50 12 38
− →
→
− − =
− − =
− = −
=
−
−
= →
− ⇒ − = →
x Días trab
x Días no trab
x x
x x
x
x
x Días no trab
x Días trab
.
.
.
.
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
35 30
25
30 35 25 1 015
1 050 30 25 1 015
5 1 015 1 050
35
5
7 25
35 35 7 28 30
− →
→
− + =
− + =
− = −
=
−
−
= →
− ⇒ − = →
x Trajesde Q
x Trajes de Q
x x
x x
x
x
x Trajes de Q
x Trajesde Q
.
. .
. .
6.6.6.6.6.
( )
x TrajeCal
x Traje
x x
x x
x
x
x balb TrajeCal
x balb Traje
→
− →
+ − =
+ − =
=
=
= →
− ⇒ − = →
.
inf.
.
.
.
.
. .
. inf.
7
32 18 7 1 624
32 18 126 1 624
50 1 750
1 750
50
35
7 35 7 28
 8. 8. 8. 8. 8. 
( )
3 5
6 3 5 5 582
18 30 5 582
23 552
552
23
24
24
3 5 3 24 5
77
x Sac Frij
x Sac azúc
x x
x x
x
x
x
Sac azúc
x
Sac Frij
+ →
→
+ + =
+ + =
=
=
=
⇒ →
+ ⇒ ⋅ +
= →
. .
. .
. .
. .
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
80
0 75 80 0 90 68 40
60 0 75 0 90 68 40
0 15 8 40
8 40
0 15
56
56
80 80 56
24
3
3
− →
→
− + =
− + =
=
=
=
⇒ →
− ⇒ −
= →
x Cedro
x Caoba
x x
x x
x
x
x
pies Caoba
x
pies Cedro
, , ,
, , ,
, ,
,
,
10. 10. 10. 10. 10. 
( )
1 050
3 1 050 2 1 825
3 150 3 2 1 825
5 1 825 3 150
5 1 325
1 325
5
265
265
1 050 1 050 265
785
. .
.
. .
. .
. .
.
.
.
. .
.
− →
→
− − =
− − =
− = −
− = −
=
−
−
=
⇒ →
− ⇒ −
= →
x P mayor
x P menor
x x
x x
x
x
x
x
P menor
x
P mayor
7. 7. 7. 7. 7. 3
0 05 3 0 06 1 47
0 15 0 06 1 47
0 21 1 47
1 47
0 21
7
7
3 3 7 21
x N Lápices
x N cuad
x x
x x
x
x
x
N cuad
x N Lápices
→
→
⋅ + =
+ =
=
=
=
⇒ →
→ ⋅ = →
º
º .
, , ,
, , ,
, ,
,
,
º .
º
EJERCICI0 88
1. 1. 1. 1. 1. x
x
x x
x
x x x
x
x
x
x
x
→
→
+ − →
⇒ − →
+ + − =
= +
=
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ ⋅ −
= − = →
1
2 2
2 20 3
3 20 3
2 3 20 196
6 196 20
216
6
36 1
2 2 36 72 2
3 20 3 36 20
108 20 88 3
º
º
º
º
º
º
º
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
3
3 5 4 5
3 5 4 20
3 4 20 5
15
15
3 3 15 45
x Edad A
x Edad B
x x
x x
x x
x
x Edad B
x Edad A
→
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
x Par zap
x Traje
x x
x x
x
x
x soles Par zap
x soles Traje
→
+ →
+ + =
+ + =
= −
=
= →
+ ⇒ ⋅ + = →
.
.
. .
. .
.
.
2 50
50 2 50 35 16 000
100 2 500 35 16 000
135 16 000 2 500
13 500
135
100
2 50 2 100 50 250
4.4.4.4.4. x Costocasa
x x
x x
x x
x
x
x bs Costocasa
→
= +
= +
= +
=
=
= →
4 6
2 000
4
12 000
6
6 4 48 000
2 48 000
48 000
2
24 000
.
.
.
.
.
. .
5. 5. 5. 5. 5. x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
−
→
+
−
=
+ = +
+
=
+
=
=
= →
−
⇒
⋅ −
= = →
º
º
º
º
2 156
3
2 156
3
108
2
3
108
156
3
3 2
3
324 156
3
5 480
480
5
96
2 156
3
2 96 156
3
36
3
12
 6. 6. 6. 6. 6. x Ancho
x
x
x
x
pies Ancho
→
− =
=
=
=
⇒ →
461 11 9
450 9
450
9
50
50
7. 7. 7. 7. 7. x Gasté
x x
x
x
x
Gasté
→
− =
=
=
=
⇒ →
85 4
85 5
85
5
17
17$
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
( ) ( )
( ) ( )
x Edad act B
x Edad Ahace años
x x
x x
x x
x
x Edad act B
Edad actual de A
x
años
→
− →
− + + = +
− + = +
− = −
− = −
= →
− + ⇒ − +
= ⋅ + =
.
.
:
2 12 12
2 12 24 68 3 12
2 24 92 3 36
2 3 36 68
32
32
2 12 12 2 32 12 12
2 20 12 52
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
x mon cts
x mon cts
x x
x x
x
x
x
x mon cts
x mon cts
→
− →
+ − =
+ − =
= −
=
=
= →
− ⇒ − = →
. .
. .
, , ,
, , , ,
, , ,
, ,
,
,
. .
. .
10
22 5
0 10 0 05 22 1 85
0 10 1 10 0 05 1 85
0 05 1 85 1 10
0 05 0 75
0 75
0 05
15 10
22 22 15 7 5
10. 10. 10. 10. 10. 
( ) ( )
x N buscado
x x
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
=
−
−
= →
º
º
12 24 24 27
12 288 24 648
12 24 648 288
12 360
360
12
30
11. 11. 11. 11. 11. 
( )
x c cab
x x
x x
x
x
x c cab
→
= −
= −
− = −
=
−
−
= →
/ .
$ / .
35 40 10
35 40 400
5 400
400
5
80
12. 12. 12. 12. 12. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
+ = +
=
=
= →
º
º
3 55 233
3 233 55
4 288
288
4
72
13. 13. 13. 13. 13. 
( ) ( )
x N menor
x N medio
x N mayor
x x x
x x x
x
x
x
N menor
x N medio
x N mayor
→
+ →
+ →
+ + + + =
+ + + + =
= −
=
=
⇒ →
+ ⇒ + = →
+ ⇒ + = →
º
º
º
º
º
º
1
2
2 3 1 4 2 740
2 3 3 4 8 740
9 740 11
729
9
81
81
1 81 1 82
2 81 2 83
14. 14. 14. 14. 14. x A caballo
x Enauto
x Apie
x x x
x
x
x Km A caballo
x Km Enauto
x Km Apie
→
→
− →
+ + − =
= +
=
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ − = →
3
20
3 20 150
5 150 20
170
5
34
3 3 34 102
20 34 20 14
15. 15. 15. 15. 15. 
( )
x Partehijo
x Partehijas
x x
x x
x
x
x
colones Partehijo
x
colones Partehijas
→
+ →
+ + =
+ + =
=
=
=
⇒ →
+ ⇒ + =
⇒ →
2 000
3 2 2 000 16 500
3 2 4 000 16 500
5 12 500
12 500
5
2 500
2 500
2 000 2 500 2 000 4 500
4 500
.
. .
. .
.
.
.
.
. . . .
.
16. 16. 16. 16. 16. 
( )
x N mayor
x N menor
x x
x x x
x
x N mayor
x N menor
→
− →
− − =
− + − =
=
= →
− ⇒ − = →
º
º
º
º
1
1 31
2 1 31
2 32
16
1 16 1 15
2 2
2 2
17. 17. 17. 17. 17. 
( )
3
5
12
5
12
5 12
5 60
4 60
15
3 3 15 45
12 15 12 3
x Edad A
x Edad B
x
Edad C
x Edad C
Luego
x
x
x x
x x
x
x Edad B
x Edad A
x Edad C
→
→
→
− →
= −
= −
= −
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ − = →
:
18. 18. 18. 18. 18. 
( ) ( )
x Edad act A
x
Edad B en años
x
Edad Ben años
Luego
x x
x x
x x
x x
x
x Edad act A
Edad actual de B
x
años
→
+
→
+
→
+
+ =
+
+ +
=
+
+ = +
+ = +
− = −
= →
+
− ⇒
+
−
= − =
.
:
.
:
5
3
5
20
2
20
5
3
15
20
2
5 45
3
20
2
2 50 3 20
2 100 3 60
40
40
20
2
20
40 20
2
20
30 20 10
19.19.19.19.19. x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Viernes
x Sábado
x x x x x x
x
x
x
x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Viernes
x Sábado,→
→
→
→
− →
− →
+ + + + − + − =
− =
= +
=
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ ⋅ − = →
− ⇒ ⋅ − = →
2
4
8
8 30
8 20
2 4 8 8 30 8 20 911
31 50 911
31 911 50
961
31
31
2 2 31 62
4 4 31 124
8 8 31 248
8 30 8 31 30 218
8 20 8 31 20 228
$
$
$
$
$
$
 20. 20. 20. 20. 20. x N
x N
x x
x
x
x N
x N
→
− →
+ − = ⋅
= +
=
= →
− ⇒ − = →
º
º
º
º
1
18 2
18 3 18
2 54 18
72
2
36 1
18 36 18 18 2
 21. 21. 21. 21. 21. 
( )
( )
( ) ( )
x Tiene A
x Tiene B
x x
x x
x
x
x Tiene A
x
Tiene B
→
− →
+ − =
+ − =
=
=
= →
− ⇒ −
= ⋅ = →
3 16
3 16 36
3 48 36
4 84
84
4
21
3 16 3 21 16
3 5
$
$15
 22. 22. 22. 22. 22.
( )
3
2
3 1 3 2
2
20
3 1 3 40
2 40 2
38
3 3 38 114
2
38
2
x Tiene A
x Tiene B
x
TieneC
x x
x
x x x
x x
x Tiene B
x Tiene A
x
TieneC
→
→
→
− − − = +


− − + = +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ = →
$
$19
23. 23. 23. 23. 23. x Costo tienda
x x
x x
x x
x
x
bs Costo tienda
→
− =
−
=
− =
=
=
⇒ →
5
800
7
4 000
5 7
7 28 000 5
2 28 000
14 000
14 000
.
.
.
.
. .
24. 24. 24. 24. 24. 
( )
( )
( ) ( )
x Cab peor
x Cab mejor
x x
x x
x
x Cab peor
x
Cab mejor
→
+ →
+ + =
+ + =
=
= →
+ = +
= ⋅ = →
.
.
$ .
$ .
2 15
2 15 120
2 30 120
3 90
30
2 15 2 30 15
2 45 90
25. 25. 25. 25. 25. x queda A
x queda B
x x
x
x
Como A tenía Q
loqueperdío A
x Q
→
→
+ =
=
=
⇒
= − ⇒ − =
3
3 160
4 160
40
80
80 80 40 40
.
.
26. 26. 26. 26. 26. 
( )
2
2 2 400 400
4 800 400
3 1 200
400
2 2 400 800
x Emp A
x Emp B
x x
x x
x
x Emp B
x Emp A
→
→
− = +
− = +
=
= →
⇒ ⋅ = →
.
.
.
$ .
$ .
EJERCICIO 89
27. 27. 27. 27. 27. 
( )
4
4 5 3 5
4 5 3 15
10
4 4 10 40
x Cab
x Vacas
x x
x x
x Vacas
x Cab
→
→
+ = +
+ = +
= →
⇒ ⋅ = →
.
.
2828282828 x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Jueves
x x
x
x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
→
+ →
+ →
+ →
→
+ =
− =−
= →
+ ⇒ + = →
+ ⇒ + = →
⇒ ⋅ = →
6
12
18
4
18 4
3 18
6
6 6 6 12
12 6 12 18
4 4 6 24
$
$
$
29. 29. 29. 29. 29. 
( )
x Tenía ppio
x x
x x
x
x
x
soles Tenía ppio
→
− + − − =
− + − =
=
=
=
⇒ →
.
.
2 50 2 2 50 390 0
2 440 4 100 0
6 540
540
6
90
90
30. 30. 30. 30. 30. 
( )( )
2
2 6 4 2
2 2 24 2
2 24
12
2 2 12 24
2
2 2
x L o
x Ancho
x x x
x x x
x
x m Ancho
x m L o
→
→
− + =
+ − =
=
= →
⇒ ⋅ = →
arg
arg
31. 31. 31. 31. 31. 
( )
3 5
5
3 10 2 10
3 10 2 20
10
3 5 310 5 35
5 10 5 15
x Padrehace años
x Hijohace años
x x
x x
x años
Edad actual Padre
x años
Edad actual Hijo
x años
→
→
+ = +
+ = +
=
+ ⇒ ⋅ + =
+ ⇒ + =
:
:
32. 32. 32. 32. 32. 
( )
3 4
4
3 6 5 6
3 6 5 30
2 24
12
3 4 312 4 32
4 12 4 8
x Edad Aen años
x Edad B en años
x x
x x
x
x años
Edad Actual A
x años
Edad Actual B
x años
→
→
− = −
− = −
− = −
=
− ⇒ ⋅ − =
− ⇒ − =
:
:
1. 1. 1. 1. 1. ( )a ab a a b2 + = +
2. 2. 2. 2. 2. ( )b b b b+ = +2 1
3. 3. 3. 3. 3. ( )x x x x2 1+ = +
4. 4. 4. 4. 4. ( )3 3 13 2 2a a a a− = −
5. 5. 5. 5. 5. ( )x x x x3 4 34 1 4− = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )5 15 5 1 32 3 2m m m m+ = +
7. 7. 7. 7. 7. ( )ab bc b a c− = −
8. 8. 8. 8. 8. ( )x y x z x y z2 2 2+ = +
9. 9. 9. 9. 9. ( )2 6 2 32 2a x ax ax a x+ = +
10. 10. 10. 10. 10. ( )8 12 4 2 32m mn m m n− = −
11. 11. 11. 11. 11. ( )9 18 9 23 2 3 2 2a x ax ax a x− = −
12. 12. 12. 12. 12. ( )15 60 15 43 2 2 3 2 2c d c d c d c d+ = +
13. 13. 13. 13. 13. ( )35 70 35 22 3 3 2 3m n m m n m− = −
14. 14. 14. 14. 14. ( )abc abc abc c+ = +2 1
15.15.15.15.15. ( )24 36 12 2 32 2 2 4 2 2 2a xy x y xy a xy− = −
16. 16. 16. 16. 16. ( )a a a a a a3 2 2 1+ + = + +
17. 17. 17. 17. 17. ( )4 8 2 2 2 4 12 2x x x x− + = − +
18. 18. 18. 18. 18. ( )15 20 5 5 3 4 13 2 2y y y y y y+ − = + −
19. 19. 19. 19. 19. ( )a a x ax a a ax x3 2 2 2 2− + = − +
 20. 20. 20. 20. 20. 
( )
2 2 3
2 2 3
2 2a x ax ax
ax a x
+ −
= + −
21. 21. 21. 21. 21. ( )x x x x x x3 5 7 3 2 41+ − = + −
22. 22. 22. 22. 22. 
( )
14 28 56
14 2 4
2 2 3 4
2 2 2
x y x x
x y x x
− +
= − +
23. 23. 23. 23. 23. 
( )
34 51 68
17 2 3 4
2 2 2
2 2
ax a y ay
a x ay y
+ −
= + −
24. 24. 24. 24. 24. 
( )
96 48 144
48 2 3
2 3
2 3
− +
= − +
mn n
mn n
25. 25. 25. 25. 25. 
( )
a b c a c x a c y
a c b x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
− +
= − +
26. 26. 26. 26. 26. 
( )
55 110 220
55 2 4
2 3 2 3 2 2 3
2 3 3 2 3
m n x m n x m y
m n x n x y
+ −
= + −
27. 27. 27. 27. 27. 
( )
93 62 124
31 3 2 4
3 2 2 3 2 2
2 2 2
a x y a x y a x
a x axy x y
− −
= − −
28. 28. 28. 28. 28. ( )x x x x x x x x− + − = − + −2 3 4 2 31
29. 29. 29. 29. 29. ( )a a a a a a a a6 4 3 2 2 4 23 8 4 3 8 4− + − = − + −
30. 30. 30. 30. 30. 
( )
25 10 15 5
5 5 2 3 1
7 5 3 2
2 5 3
x x x x
x x x x
− + −
= − + −
31. 31. 31. 31. 31. ( )x x x x x x x x15 12 9 6 6 9 6 32 3 2 3− + − = − + −
32. 32. 32. 32. 32. 
( )
9 12 15 24
3 3 4 5 8
2 3 2 3
2 2 3
a ab a b ab
a a b a b b
− + −
= − + −
33. 33. 33. 33. 33. 
( )
16 8 24 40
8 2 1 3 5
3 2 2 4 2 2 3
2 2 2
x y x y x y x y
x y xy x y y
− − −
= − − −
34. 34. 34. 34. 34. 
( )
12 24 36 48
12 1 2 3 4
2 3 2 4 3 5 4
2 2 2 3 3
m n m n m n m n
m n mn m n m n
+ − +
= + − +
35. 35. 35. 35. 35. 
( )
100 150 50 200
50 2 3 4
2 3 2 2 3 3 2
2 2 2
a b c ab c ab c abc
abc ab bc b c c
− + −
= − + −
36. 36. 36. 36. 36. ( )x x x x x x x x x x5 4 3 2 4 3 2 1− + − + = − + − +
37. 37. 37. 37. 37. 
( )
a a a a a
a a a a a
2 3 4 5 6
2 2 3 4
2 3 4 6
1 2 3 4 6
− + − +
= − + − +
38. 38. 38. 38. 38. 
( )
3 6 5 8 4
3 6 5 8 4
2 3 2 2 2
2
a b ab a b a bx ab m
ab a a b ax bm
+ − + +
= + − + +
39. 39. 39. 39. 39. 
( )
a a a a a a
a a a a a a
20 16 12 8 4 2
2 18 14 10 6 2 1
− + − + −
= − + − + −
EJERCICIO 90
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( )( )a x b x x a b+ + + = + +1 1 1
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )( )x a a a x+ − + = + −1 3 1 1 3
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 2x y x x y− + − = − +
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )( )m a b a b n a b m n− + − = − +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )( )2 1 3 1 1 2 3x n y n n x y− − − = − −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )a n n n a+ + + = + +2 2 2 1
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )x a a a x+ − − = + −1 1 1 1
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )( )a b a a b2 2 21 1 1 1+ − + = + −
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 2x x y x x x y− − − = − −
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2− + − = − +x a x x a
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )4 4 1x m n n m m n x− + − = − −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( )− − + + = + −m n x m n m n x 1
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( )a a b b a b a b a b3 2 3 21 1 1− + − − + = − + −
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )4 1 3 1 1 4 32 2 2m a x n x a a x m n+ − + − + = + − +
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( ) ( ) ( )( )
x a b c a b c
x a b c a b c a b c x
2 2
2 2 2 1
+ + − − −
= + + − + + = + + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( ) ( )( )x y n n n x y+ + − + = + + −1 3 1 1 3
17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( ) ( )( )x x y x x x y+ − + − = − + +1 2 3 2 2 1 3
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a+ + − + = + + − = + −3 1 4 1 1 3 4 1 1
19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( ) ( )( )x m n m n m n x2 22 2 4+ − + − = − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )a x a x x a a x− − + − = − − − = − −1 2 1 1 2 2 1
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( ) ( ) ( )( )5 1 1 1 1 6 12 2 2x a x a a x+ + + + = + +
22. 22. 22. 22. 22. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
a b a b a b a b
a b a b a b b a b
+ − − − −
= − + − + = −2
23. 23. 23. 23. 23. ( )( ) ( )( ) ( )m n a m n a m a+ − + − − = −2 2 2 2
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x m x x x n
x x m x n x m n
+ + − + −
= + + − + = + +
1 1
1 1
25. 25. 25. 25. 25. ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x− − + − + = −3 4 3 4 32
26. 26. 26. 26. 26. ( )( ) ( )( )a b a a a a b+ − + − − = + + −1 1 1 1 22 2 2
27. 27. 27. 27. 27. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
a b c x b c a x
x a b c a b c x a
+ − − − − − −
= − + − + − + = −
3 3
3 3 2
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 2 1 1 1 3 2x x y x z x x x y z− − − + −,= − − +
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( ) ( )( )a n b n n n a b+ − + − − = + − −1 1 1 1 1
30.30.30.30.30. ( ) ( ) ( )( )x a a a a x+ − − + + = + +2 2 3 2 2 2
31. 31. 31. 31. 31. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 3 1 2 1 3 1 1 4+ + − + + + = + +a x a x x x a
32. 32. 32. 32. 32. ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
3 2 3 2 1 3 2
3 2 1 1 3 2
x x y z x x y x
x x y z x y z x
+ + − − + − + − +
= + + − − − − + = − +
EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91
1. 1. 1. 1. 1. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a ab ax bx
a ab ax bx
a a b x a b
a b a x
2
2
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
2. 2. 2. 2. 2. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
am bm an bn
am bm an bn
m a b n a b
a b m n
− + −
= − + −
= − + −
= − +
3. 3. 3. 3. 3. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
ax bx ay by
ax bx ay by
x a b y a b
a b x y
− − +
= − − −
= − − −
= − −
2 2 4
2 2 4
2 2 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a x bx a y by
a x bx a y by
x a b y a b
a b x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 3
3 3
3 3
3
− + −
= − + −
= − + −
= − +
5. 5. 5. 5. 5. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3
3 3 2 2
3 1 2 1
1 3 2
4 4
4 4
4 4
4
m n nx mx
m mx n nx
m x n x
x m n
− − +
= + − +
= + − +
= + −
6. 6. 6. 6. 6. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a x a x
a a x x x
a x x x
x x a
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
1
− + −
= − + + +
= − + + +
= + −
7. 7. 7. 7. 7. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 1 4
4 4 1
4 1 1
1 4 1
3 2
3 2
2 2
2
a a a
a a a
a a a
a a
− − +
= + − +
= + − +
= + −
8. 8. 8. 8. 8. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x xy y
x x xy y
x x y x
x x y
+ − −
= + − +
= + − +
= + −
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
1
9. 9. 9. 9. 9. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3
3 3 2 2
3 2
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
abx y x aby
abx aby y x
ab x y x y
x y ab
− − +
= + − +
= + − +
= + −
10. 10. 10. 10. 10. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 6
3 6 2
3 1 2 1 2
1 2 3
2 2
2 2
2
2
a b b x ax
a ax b b x
a x b x
x a b
− + −
= − − −
= − − −
= − −
11. 11. 11. 11. 11. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 4 3 3
4 4 3 3
4 3
4 3
4 3
3 2
3 2
2
2
2
a x a b bm amx
a x a b bm amx
a ax b m b ax
a ax b m ax b
ax b a m
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
12. 12. 12. 12. 12. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
6 3 1 2
6 3 1 2
3 2 1 2 1
2 1 3 1
ax a x
ax a x
a x x
x a
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
13. 13. 13. 13. 13. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 9 3
3 9 3
3 1 3 3 1
3 1 3
3 2
3 2
2 2
2
x ax x a
x x ax a
x x a x
x x a
− − +
= − − −
= − − −
= − −
14. 14. 14. 14. 14. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 5 15 6
2 5 15 6
2 5 3 5 2
2 5 3 2 5
2 5 3
2 2
2 2
2
2
2
a x a y by bx
a x a y by bx
a x y b y x
a x y b x y
x y a b
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
15. 15. 15. 15. 15. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 3
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2
x y xz y z xy
x y xy xz y z
xy x y z x y
x y xy z
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
16. 16. 16. 16. 16. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
6 9 21 14
6 14 9 21
2 3 7 3 3 7
3 7 2 3
m n nx mx
m mx n nx
m x n x
x m n
− + −
= − − −
= − − −
= − −
17. 17. 17. 17. 17. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
n x a y n y a x
n x n y a y a x
n x y a y x
n x y a x y
x y n a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 5
5 5
5
5
5
− − +
= − − −
= − − −
= − + −
= − +
18. 18. 18. 18. 18. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
1 3 3
1 3 3
1 3 1
1 3 1
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
a ab b
a ab b
a b a
a b
19. 19. 19. 19. 19. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 12 3
4 12 3
4 3 3
3 4 1
3 2
3 2
2 2
2
am amn m n
am amn m n
am m n m n
m n am
− − +
= − − −
= − − −
= − −
20. 20. 20. 20. 20. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
20 5 2 8
20 8 5 2
4 5 2 5 2
5 2 4
ax bx by ay
ax ay bx by
a x y b x y
x y a b
− − +
= + − +
= + − +
= + −
21. 21. 21. 21. 21. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 6
3 2 6
3 2 3
3 2 3
3 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
x abx ab
x abx ab
x ab x
x ab x
x ab
22. 22. 22. 22. 22. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
3 2
3 2
2
2
1
1
1 1
1 1
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
23. 23. 23. 23. 23. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 7 3 7
3 3 7 7
3 7
3 7
2 2 2
2 2 2
2
2
a b x ax ab
a ax b x ab
a a x b x a
a x a b
− + −
= + − +
= + − +
= + −
24. 24. 24. 24. 24. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2 2 1
2 2 2 1
2 1 1
2 1 1
am an a m n
am an a m n
a m n m n
a m n
− + − + −
= − + − − +
= − + − − +
= − − +
25. 25. 25. 25. 25. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 6 3 4
3 6 3 2 2 4
3 2 2 2
2 3 2
ax by bx a ay b
ax a ay by bx b
a x y b y x
x y a b
− − − + +
= − + − + −
= − + − + −
= + − −
26. 26. 26. 26. 26. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a a a x a x
a a a x a x
a a x a x
a a x
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1
1
1 1
1 1
+ + + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + +
27. 27. 27. 27. 27. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 3 9 3
3 3 9 3
3 3 3
3 1 3
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a a b ab a ab b
a a b ab a ab b
a a ab b a ab b
a a ab b
− + − + −
= − + − − +
= − + − − +
= − − +
EJERCICIO 92
28. 28. 28. 28. 28. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2 3 6
3 2 2 6
3 2 3
2 3
3 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x nx xz nz ny xy
nx nz ny x xz xy
n x z y x x z y
x n x y z
− + − − +
= − + + + + +
= − + + + + +
= − + +
29. 29. 29. 29. 29. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3 2 3
3 3 3 2 2 2
3 2
3 2
3 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x axy ay xy ax x y
x xy x y axy ay ax
x x y xy a xy y x
x x y xy a xy y x
x a x xy y
+ + − − −
= − − + + −
= − − + + −
= − − − − − +
= − − −
30 30 30 30 30 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a b n a b x n x a b x n x
a b a b x a b x n n x n x
a b x x n x x
a b n x x
2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4
2 3 2 3 2 2 3 4 4 2 4
2 3 2 4 2
2 3 4 2
3 3
3 3
1 3 1 3
1 3
− + − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
1. 1. 1. 1. 1. ( )a ab b a b2 2 22− + = −
2. 2. 2. 2. 2. ( )a ab b a b2 2 22+ + = +
3. 3. 3. 3. 3. ( )x x x2 22 1 1− + = −
4. 4. 4. 4. 4. ( )y y y4 2 2 22 1 1+ + = +
5. 5. 5. 5. 5. ( )a a a2 210 25 5− + = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )9 6 32 2− + = −x x x
7. 7. 7. 7. 7. ( )16 40 25 4 52 4 2 2+ + = +x x x
8. 8. 8. 8. 8. ( )1 14 49 1 72 2− + = −a a a
9. 9. 9. 9. 9. ( )36 12 62 4 2 2+ + = +m m m
10. 10. 10. 10. 10. ( )1 2 13 6 3 2− + = −a a a
11. 11. 11. 11. 11. ( )a a a8 4 4 218 81 9+ + = +
12. 12. 12. 12. 12. ( )a a b b a b6 3 3 6 3 3 22− + = −
13.13.13.13.13. ( )4 12 9 2 32 2 2x xy y x y− + = −
14. 14. 14. 14. 14. ( )9 30 25 3 52 2 4 2 2b a b a b a− + = −
15. 15. 15. 15. 15. ( )1 14 49 1 72 4 2 2 2+ + = +x y x y x y
16. 16. 16. 16. 16. ( )1 2 15 10 5 2− + = −a a a
17. 17. 17. 17. 17. 
( )
49 70 25
7 5
6 3 2 2 4
3 2 2
m am n a n
m an
− +
= −
18. 18. 18. 18. 18. 
( )
100 60 9
10 3
10 4 5 6 8 12
5 4 6 2
x a x y a y
x a y
− +
= −
19. 19. 19. 19. 19. ( )121 198 81 11 96 12 6 2+ + = +x x x
20. 20. 20. 20. 20. 
( )
a am x m x
a m x
2 2 2 4 4
2 2 2
24 144
12
− +
= −
21. 21. 21. 21. 21. ( )16 104 169 4 132 4 2 2− + = −x x x
22. 22. 22. 22. 22. ( )400 40 1 20 110 5 5 2x x x+ + = +
23. 23. 23. 23. 23. 
a
ab b
a
b
2
2
2
4 2
− + = −


24. 24. 24. 24. 24. 1
2
3 9
1
3
2 2
+ + = +


b b b
25. 25. 25. 25. 25. a a b
b
a
b4 2 2
4
2
2 2
4 2
− + = −






26. 26. 26. 26. 26. 
1
25 3
25
36
1
5
5
6
2 4 2 2
− + = −






x x x
27. 27. 27. 27. 27. 16 2 16
4
4
6 3 2
4
3
2 2
x x y
y
x
y
− + = −






28. 28. 28. 28. 28. 
n
mn m
n
m
2
2
2
9
2 9
3
3+ + = +


29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )
( ) ( )
a a a b a b
a a b a b
2 2
2 2
2
2
+ + + +
= + + = +
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )
( ) ( )
4 4 1 1
2 1 1
2
2 2
− − + −
= − + = +
a a
a a
31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )
( ) ( )
4 4
2 3
2 2
2 2
m m n m n m
m n m m n
− − + −
= − + = −
32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )
( )
m n m n
m n
− + − +
= − +
2
2
6 9
3
33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
a x a x x y x y
a x x y a y
+ − + + + +
= + − − = −
2 2
2 2
2
34.34.34.34.34. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ),m n a m m n a m
m n a m m n a
+ − − + + −
= + − + = + −
2 2
2 2
2
2
35. 35. 35. 35. 35. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
4 1 4 1 1 1
2 2 1 2 3
2 2
2 2
+ − + − + −
= + − + = − +
a a b b
a b a b
36.36.36.36.36. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
9 12 4
3 3 2 2 5
2 2
2 2
x y x y x y x y
x y x y x y
− + − + + +
= − + + = −
EJERCICIO 93
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y x y x y2 2− = + −
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )a a a2 1 1 1− = + −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )a a a2 4 2 2− = + −
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )9 3 32− = + −b b b
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )1 4 1 2 1 22− = + −m m m
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )16 4 42− = + −n n n
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )a a a2 25 5 5− = + −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )1 1 12− = + −y y y
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )4 9 2 3 2 32a a a− = + −
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )25 36 5 6 5 64 2 2− = + −x x x
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )1 49 1 7 1 72 2− = + −a b ab ab
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )4 81 2 9 2 92 4 2 2x y x y x y− = + −
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a b c ab c ab c2 8 2 4 4− = + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )100 10 102 6 3 3− = + −x y xy xy
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )a b a b a b10 12 5 6 5 649 7 7− = + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )25 121 5 11 5 112 4 2 2x y xy xy− = + −
17. 17. 17. 17. 17. 
( )( )
100 169
10 13 10 13
2 4 6
2 3 2 3
m n y
mn y mn y
−
= + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a m n am n am n2 4 6 2 3 2 3144 12 12− = + −
19. 19. 19. 19. 19. 
( )( )
196 225
14 15 14 15
2 4 12
2 6 2 6
x y z
xy z xy z
−
= + −
20. 20. 20. 20. 20. 
( )( )
256 289
16 17 16 17
12 4 10
6 2 5 6 2 5
a b m
a b m a b m
−
= + −
21.21.21.21.21. ( )( )1 9 1 3 1 32 4 6 8 2 3 4 2 3 4− = + −a b c d ab c d ab c d
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )361 1 19 1 19 114 7 7x x x− = + −
23. 23. 23. 23. 23. 
1
4
9
1
2
3
1
2
32− = +

 −



a a a
24. 24. 24. 24. 24. 1
25
1
5
1
5
2
− = +

 −




a a a
25. 25. 25. 25. 25. 
1
16
4
49
1
4
2
7
1
4
2
7
2
− = +

 −




x x x
26. 26. 26. 26. 26. 
a x a x a x2 6 3 3
36 25 6 5 6 5
− = +





 −






27. 27. 27. 27. 27. 
x y z x yz x yz2 2 4 2 2
100 81 10 9 10 9
− = +





 −






28. 28. 28. 28. 28. 
x a x a x a6 10 3 5 3 5
49
4
121 7
2
11 7
2
11
− = +





 −






29. 29. 29. 29. 29. 100
1
16
10
1
4
10
1
4
2 4 8 2 4 2 4m n x mn x mn x− = +

 −




30.30.30.30.30. ( )( )a b a b a bn n n n n n2 2− = + −
31. 31. 31. 31. 31. 4
1
9
2
1
3
2
1
3
2x x xn n n− = +

 −




32. 32. 32. 32. 32. ( )( )a b a b a bn n n4 4 2 2 2 2225 15 15− = + −
33. 33. 33. 33. 33. 16 49
4
7
4
7
6
2
3 3x
y
x
y
x
ym
n
m
n
m
n
− = +





 −






34. 34. 34. 34. 34. 49 81
7
9
7
9
10
12
5
6
5
6
a
b
a
b
a
bn
x
n
x
n
x
− = +





 −






35. 35. 35. 35. 35. a b a b a b
n n n n n n2 4 2 21
25
1
5
1
5
− = +

 −




36. 36. 36. 36. 36. 
1
100
1
10
1
10
2− = +

 −



x x x
n n n
EJERCICIO 94
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( )x y a x y a x y a+ − = + + + −2 2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )( )4 1 2 1 2 1 3 12− + = + + − − = + −a a a a a
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( )9 3 32− + = + + − −m n m n m n
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( )m n m n m n− − = − + − −2 16 4 4
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( )x y z x y z x y z− − = − + − −2 24 2 2
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )a b a b a b+ − = + + + −2 1 2 1 2 12
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22− − = + − − +x y x y x y
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )( ) ( )( )
x a x
x a x x a x x a a x
+ −
= + + + − = + −
2 4
2 2 2 2 3 2 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d+ − + = + + + + − −2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d− − − = − + − − − +2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )( ) ( )( )
x x
x x x x x x
+ −
= + + + − = + −
1 16
1 4 1 4 5 1 1 3
2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )( ) ( )( )
64 2
8 2 8 2 9 2 7 2
2 2m m n
m m n m m n m n m n
− −
= + − − + = − +
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( )a b x y a b x y a b x y− − + = − + + − − −2 2 22 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2 2 3 2
2 2
a c a c
a c a c a c a c a a c
− − +
= − + + − − − = −
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( )( ) ( )( )
x x
x x x x x x
+ −
= + + + − = + −
1 4
1 2 1 2 3 1 1
2 2
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( )( ) ( )( )
36 3
6 3 6 3 9 3
2 2x a x
x a x x a x x a x a
− +
= + + − − = + −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( )a a a a a a6 2 3 31 1 1− − = + − − +
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
a m
a m a m a m a m
− − −
= − + − − − + = + − − +
1 2
1 2 1 2 3 1
2 2
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 3 5
2 3 5 2 3 5 3 8 2
2 2
x x
x x x x x x
− − −
= − + − − − + = − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( )1 5 2 1 5 2 1 5 22− + = + + − −a x a x a x
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )( )7 81 7 9 7 92x y x y x y+ − = + + + −
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )m m m m m m6 2 2 3 2 3 21 1 1− − = + − − +
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( )( )16 2 3 4 2 3 4 2 310 2 2 5 2 5 2a a a a a a− + = + + − −
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )( )x y c d x y c d x y c d− − + = − + + − − −2 2
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )
( )( )
( )( )
2
2 2
3 2
2 2
a b c a b
a b c a b a b c a b
a b c a c
+ − − +
= + − + + + − − −
= + − −
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( )100 10 102− − + = + − + − + −x y z x y z x y z
27. 27. 27. 27. 27. ( ) ( )( ) ( )( )x y x x y x x y x y x y2 2 2− − = + − − + = −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 3 5 1
2 3 5 1 2 3 5 1 7 2 4 3
2 2
x x
x x x x x x
+ − −
= + + − + − + = + −
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )
( )( )
( )( )
x y z y z x
x y z y z x x y z y z x
x z y x
− + − − +
= − + + − + − + − + −
= − −
2 2
2
2 2
3 2 2
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 1 4
2 1 4 2 1 4 3 5 3
2 2
x x
x x x x x x
+ − +
= + + + + − − = + −
31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )
( )( )
( )( )
a x x a
a x x a a x x a
a x x
+ + − + −
= + + + + − + + − − +
= + +
2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 3 2
2 2
32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )4 49 2 2 7 2 2 72 2x a y x a y x a y+ − = + + + −
33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )
( )( )
( )( )
25 4
5 5 2 2 5 5 2 2
7 3 3 7
2 2
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
− − +
= − + + − − −
= − −
34. 34. 34. 34. 34. ( ) ( )
( )( )
( )( )
36 121
6 6 11 11 6 6 11 11
17 5 17 5
2 2
m n m n
m n m n m n m n
m n n m
+ − −
= + + − + − +
= − −
EJERCICIO 95
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
( )( )
a ab b x
a b x
a b x a b x
2 2 2
2 2
2+ + −
= + −
= + + + −
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
( )( )
x xy y m
x y m
x y m x y m
2 2 2
2 2
2− + −
= − −
= − + − −
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
( )( )
m mn n
m n
m n m n
2 2
2
2 1
1
1 1
+ + −
= + −
= + + + −
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
( )( )
a a b
a b
a b a b
2 2
2 2
2 1
1
1 1
− + −
= − −
= − + − −
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
( )( )
n n c
n c
n c n c
2 2
2 2
6 9
3
3 3
+ + −
= + −
= + + + −
6.6.6.6.6.
( )
( )( )
a x ax
a x
a x a x
2 2
2
2 4
4
2 2
+ + −
= + −
= + + + −
7. 7. 7. 7. 7. 
( )
( )( )
a a b
a b
a b a b
2 2
2 2
4 4 9
2 9
3 2 3 2
+ − −
= − −
= + − − −
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
( )( )
x y xy
x y
x y x y
2 2
2
4 4 1
2 1
2 1 2 1
+ − −
= − −
= − + − −
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
( )( )
a ay y x
a y x
a y x a y x
2 2 2
2 2
6 9 4
3 4
3 2 3 2
− + −
= − −
= − + − −
10. 10. 10. 10. 10. 
( )
( )( )
4 25 36 20
2 5 36
2 5 6 2 5 6
2 2
2
x y xy
x y
x y x y
+ − +
= + −
= + + + −
11. 11. 11. 11. 11. 
( )
( )( )
9 1 16 24
3 4 1
3 4 1 3 4 1
2 2
2
x a ax
x a
x a x a
− + −
= − −
= − + − −
12. 12. 12. 12. 12. 
( )
( )( )
1 64 16
8 1
8 1 8 1
2 2 4
2 4
2 2
+ − −
= − −
= − + − −
a b x ab
ab x
ab x ab x
13. 13. 13. 13. 13. 
( )
( )
( )( )
a b bc c
a b bc c
a b c
a b c a b c
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
14. 14. 14. 14. 14. 
( )
( )
( )( )
1 2
1 2
1
1 1
2 2
2 2
2
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
a ax x
a ax x
a x
a x a x
15. 15. 15. 15. 15. 
( )
( )
( )( )
m x xy y
m x xy y
m x y
m x y m x y
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
16. 16. 16. 16. 16. 
( )
( )
( )( )
c a a
c a a
c a
c a c a
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1
1 1
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
17.,17. 17. 17. 17. 
( )
( )
( )( )
( )( )
9 25 10
9 10 25
9 5
3 5 3 5
8 2
2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
= − + +
n n
n n
n
n n
n n
18. 18. 18. 18. 18. 
( )
( )
( )( )
4 4 4
4 4 4
4 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
a x x
a x x
a x
a x a x
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
19. 19. 19. 19. 19. 
( )
( )
( )( )
1 9 6
1 6 9
1 3
3 1 1 3
2 2
2 2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
a n an
a an n
a n
a n a n
20. 20. 20. 20. 20. 
( )
( )
( )( )
25 16 8
25 8 16
25 4
5 4 5 4
2 2
2 2
2
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
x y xy
x xy y
x y
x y x y
21. 21. 21. 21. 21. 
( )
( )
( )( )
9 4 4
9 4 4
9 2
3 2 3 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x a m am
x a am m
x a m
x a m x a m
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
22. 22. 22. 22. 22. 
( )
( )
( )( )
16 12 4 9
16 4 12 9
16 2 3
4 2 3 4 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y ab a b
x y a ab b
x y a b
xy a b xy a b
+ − −
= − − +
= − −
= + − − +
23. 23. 23. 23. 23. 
( )
( )
( )( )
− + − −
= − + +
= − +
= + + − −
a m a
m a a
m a
m a m a
2 2
2 2
2 2
25 1 2
25 2 1
25 1
5 1 5 1
24. 24. 24. 24. 24. 
( )
( )
( )( )
49 25 9 30
49 25 30 9
49 5 3
7 5 3 7 5 3
4 2 2
4 2 2
4 2
2 2
x x y xy
x x xy y
x x y
x x y x x y
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
25. 25. 25. 25. 25. 
( ) ( )
( )( )
a ab b c cd d
a b c d
a b c d a b c d
2 2 2 2
2 2
2 2− + − − −
= − − +
= − + + − − −
26. 26. 26. 26. 26. 
( ) ( )
( )( )
x xy y m mn n
x y m n
x y m n x y m n
2 2 2 2
2 2
2 2+ + − + −
= + − −
= + + − + − +
27. 27. 27. 27. 27. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a b ab x ax a
a ab b x ax a
a b x a
a b x a a b x a
a b x b x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 2
4 4 2
2
2 2
2 2 2
+ + − − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + −
28. 28. 28. 28. 28. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a ax y b by
x ax a y by b
x a y b
x a y b x a y b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 9 6
4 4 6 9
2 3
2 3 2 3
+ − − − +
= − + − − +
= − − −
= − + − − − +
29. 29. 29. 29. 29. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
m x n mn ax a
m mn n x ax a
m n x a
m n x a m n x a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
6 9 4 4
3 2
3 2 3 2
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
30. 30. 30. 30. 30. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
9 4 12 25 10
9 12 4 10 25
3 2 5
3 2 5 3 2 5
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x y a xy b ab
x xy y a ab b
x y a b
x y a b x y a b
+ − − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
31. 31. 31. 31. 31. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 9 6
2 6 9
3
3 3
2 2 2
2 2 2
2 2
am x a m x
a am m x x
a m x
a m x a m x
− − + + −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
32. 32. 32. 32. 32. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a a b x b
x x b ab a
x b a
x b a x b a
2 4 2 2
2 2 2 4
2 2 2
2 2
9 6 1 2
2 1 6 9
1 3
1 3 1 3
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33. 33. 33. 33. 33. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
16 1 10 9 24 25
16 24 9 25 10 1
4 3 5 1
4 3 5 1 4 3 5 1
2 2 2
2 2 2
2 2
a m x ax m
a ax x m m
a x m
a x m a x m
− − + − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
34. 34. 34. 34. 34. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
9 2 100 60
2 9 60 100
3 10
3 10 3 10
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
m a acd c d m
a acd c d m m
m a cd
m a cd m a cd
− + − + −
= − − + + − +
= − − −
= − + − − − +
35. 35. 35. 35. 35. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 9 49 30 25 28
4 28 49 9 30 25
2 7 3 5
2 7 3 5 2 7 3 5
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a x b xy y ab
a ab b x xy y
a b x y
a b x y a b x y
− + − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
36. 36. 36. 36. 36. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
225 169 1 30 26
225 30 1 169 26
15 1 13
15 1 13 15 1 13
2 2 2
2 2 2
2
a b a bc c
a a b bc c
a b c
a b c a b c
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
37. 37. 37. 37. 37. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x y x y
x x y y
x y
x y x y
x y x y
2 2
2 2
2 2
4 4 1 2
4 4 2 1
2 1
2 1 2 1
3 1
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +
38. 38. 38. 38. 38. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a x a x
a a x x
a x
a x a x
a x a x
2 2
2 2
2 2
16 36 12 8
12 36 8 16
6 4
6 4 6 4
10 2
− − + + −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +
EJERCICIO 96
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
1
2 1
1
1 1
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
( )( )
m m n n
m n m n
m mn n mn
m n m n
m n mn m n mn
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + + −
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x x x
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
3 4
4 4
2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2 9
4 4
6 9 4
3 4
2 3 2 3
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
( )( )
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
6. 6. 6. 6. 6. 
( )
( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x x x
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
6 1
4 4
2 1 4
1 4
2 1 2 1
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
7. 7. 7. 7. 7. 
( )
( )( )
4 3 9
9 9
4 12 9 9
2 3 9
2 3 3 2 3 3
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
( )( )
4 29 25
9 9
4 20 25 9
2 5 9
2 3 5 2 3 5
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
x x
x x
x x x
x x
x x x x
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
( )( )
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
4 16
4 4
8 16 4
4 4
2 4 2 4
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
10. 10. 10. 10. 10. 
( )
( )( )
16 25 9
16 24 9
4 3
4 3 4 3
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
m mn n
m n m n
m mn n mn
m n mn
m mn n m mn n
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
11. 11. 11. 11. 11. 
( )
( )( )
25 54 49
16 16
25 70 49 16
5 7 16
5 4 7 5 4 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
12. 12. 12. 12. 12. 
( )
( )( )
36 109 49
25 25
36 84 49 25
6 7 25
6 5 7 6 5 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
13. 13. 13. 13. 13. 
( )
( )( )
81 2 1
16 16
81 18 1 16
9 1 16
9 4 1 9 4 1
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
m m
m m
m m m
m m
m m m m
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
14. 14. 14. 14. 14. 
( )
( )( )
c c
c c
c c c
c c
c c c c
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
45 100
25 25
20 100 25
10 25
5 10 5 10
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
15.15.15.15.15.
( )
( )( )
4 53 49
25 25
4 28 49 25
2 7 25
2 5 7 2 5 7
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a a b b a a b b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
16. 16. 16. 16. 16. 
( )
( )( )
49 76 64
36 36
49 112 64 36
7 8 36
8 6 7 8 6 7
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n n
n n
n n n
n n
n n n n
17. 17. 17. 17. 17. 
( )
( )( )
25 139 81
49 49
25 90 81 49
5 9 49
5 7 9 5 7 9
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
18. 18. 18. 18. 18. 
( )
( )( )
49 76 100
64 64
49 140 100 64
7 10 64
7 8 10 7 8 10
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
19. 19. 19. 19. 19. 
( )
( )( )
4 108 121
64 64
4 44 121 64
2 11 64
2 8 11 2 8 11
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
x x
x x
x x x
x x
x x x x
20.20.20.20.20.
( )
( )( )
121 133 36
121 132 36
11 6
11 6 11 6
4 2 4 8
2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
21. 21. 21. 21. 21. 
( )
( )( )
144 23 9
49 49
144 72 9 49
12 3 49
12 7 3 12 7 3
6 12
6 6
6 12 6
6 2 6
3 6 3 6
+ +
+ −,+ + −
= + −
= + + − +
n n
n n
n n n
n n
n n n n
22. 22. 22. 22. 22. 
( )
( )( )
16 9
16 8
4
4 4
4 8
4 4
4 8 4
4 2 4
2 4 2 4
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
c c
c c
c c c
c c
c c c c
23. 23. 23. 23. 23. 
( )
( )( )
64 169 81
25 25
64 144 81 25
8 9 25
8 5 9 8 5 9
4 2 4 8
2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 4 2 4
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
24. 24. 24. 24. 24. 
( )
( )( )
225 5
25 25
225 30 25
15 25
5 15 5 15
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
m m
m m
m m m
m m
m m m m
EJERCICIO 97
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
( )( )
x y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
64
16 16
16 64 16
8 16
4 8 4 8
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
( )( )
4
4 4
4 4 4
2 4
2 2 2 2
8 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
25. 25. 25. 25. 25. 
( )
( )( )
1 126 169
100 100
1 26 169 100
1 13 100
1 10 13 1 10 13
2 4 4 8
2 4 2 4
2 4 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b
ab a b ab a b
26.26.26.26.26.
( )
( )( )
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y
x y xy x y xy
4 4 2 2
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
21 121
22 121
11
11 11
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
27. 27. 27. 27. 27. 
( )
( )( )
49 75 196
121 121
49 196 196 121
7 14 121
7 11 14 7 11 14
8 4 2 2 4 4
4 2 2 4 2 2
8 4 2 2 4 4 4 2 2
4 2 2 2 4 2 2
4 2 2 2 4 2 2 2
c c m n m n
c m n c m n
c c m n m n c m n
c m n c m n
c c mn m n c c mn m n
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
28. 28. 28. 28. 28. 
( )
( )( )
81 292 256
4 4
81 288 256 4
9 16 4
9 2 16 9 2 16
4 8 2 4 8 16
2 4 8 2 4 8
4 8 2 4 8 16 2 4 8
2 4 8 2 2 4 8
2 4 2 4 8 2 4 2 4 8
a b a b x x
a b x a b x
a b a b x x a b x
a b x a b x
a b ab x x a b ab x x
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
( )( )
a b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
324
36 36
36 324 36
18 36
6 18 6 18
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
( )( )
4 81
36 36
4 36 81 36
2 9 36
2 6 9 2 6 9
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
m n
m n m n
m mn n mn
m n mn
m mn n m mn n
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
( )( )
4 625
100 100
4 100 625 100
2 25 100
25 10 2 25 10 2
8
4 4
4 8 4
4 2 4
4 2 4 2
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
x
x x
x x x
x x
x x x x
6. 6. 6. 6. 6. 
( )
( )( )
64
16 16
64 16 16
8 16
4 8 4 8
12
6 6
6 12 6
6 2 6
6 3 6 3
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
a
a a
a a a
a a
a a a a
7. 7. 7. 7. 7. 
( )
( )( )
1 4
4 4
1 4 4 4
1 2 4
2 2 1 2 2 1
4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n
n n
n n n
n n
n n n n
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
( )( )
64
16 16
64 16 16
8 16
8 4 8 4
8 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
( )( )
81 64
144 144
81 144 64 144
9 8 144
9 12 8 9 12 8
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
EJERCICIO 98
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x x x x2 7 10 5 2+ + = + +
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x2 5 6 3 2− + = − −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x x2 3 10 5 2+ − = + −
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x x x x2 2 2 1+ − = + −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )a a a a2 4 3 3 1+ + = + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )m m m m2 5 14 7 2+ − = + −
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )y y y y2 9 20 5 4− + = − −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )x x x x2 6 3 2− − = − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )x x x x2 9 8 8 1− + = − −
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )c c c c2 5 24 8 3+ − = + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )x x x x2 3 2 2 1− + = − −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )a a a a2 7 6 6 1+ + = + +
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )y y y y2 4 3 3 1− + = − −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )n n n n2 8 12 6 2− + = − −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )x x x x2 10 21 7 3+ + = + +
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )a a a a2 7 18 9 2+ − = + −
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )m m m m2 12 11 11 1− + = − −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )x x x x2 7 30 10 3− − = − +
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )n n n n2 6 16 8 2+ − = + −
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a a a a2 21 20 20 1− + = − −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )y y y y2 30 6 5+ − = + −
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )a a a a2 11 28 7 4− + = − −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )n n n n2 6 40 10 4− − = − +
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )x x x x2 5 36 9 4− − = − +
25. 25. 25. 25. 25. ( )( )a a a a2 2 35 7 5− − = − +
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x x x x2 14 13 13 1+ + = + +
27.27.27.27.27. ( )( )a a a a2 14 33 11 3− + = − −
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )m m m m2 13 30 15 2+ − = + −
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )c c c c2 13 14 14 1− − = − +
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )x x x x2 15 56 8 7+ + = + +
31. 31. 31. 31. 31. ( )( )x x x x2 15 54 9 6− + = − −
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )a a a a2 7 60 12 5+ − = + −
33. 33. 33. 33. 33. 
( )( )
x x
x x
2 17 60
60 2
30 2 2 2 5 20
15 3 3 1 3
5 5 20 3 17
1 20 3
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
34. 34. 34. 34. 34. 
( )( )
x x
x x
2 8 180
180 2
90 2 2 3 3 18
45 3 2 5 10
15 3 18 10 8
5 5 18 10
1
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
35. 35. 35. 35. 35. 
( )( )
m m
m m
2 20 300
300 2
150 2 2 3 5 30
75 3 2 5 10
25 5 30 10 20
5 5 30 10
1
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
36. 36. 36. 36. 36. 
( )( )
x x
x x
2 132
132 2
66 2 2 2 3 12
33 3 11 1 11
11 11 12 11 1
1 12 11
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
37. 37. 37. 37. 37. 
( )( )
m m
m m
2 2 168
168 2
84 2 2 2 3 12
42 2 2 7 14
21 3 14 12 2
7 7 14 12
1
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
38. 38. 38. 38. 38. 
( )( )
c c
c c
2 24 135
135 3
45 3 3 3 9
15 3 3 5 15
5 5 15 9 24
1 15 9
+ +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= + +
39. 39. 39. 39. 39. 
( )( )
m m
m m
2
4
2
41 400
400 2
200 2 2 16
100 2 5 25
50 2 25 16 41
25 5 25 16
5 5
1
− +
=
=
⇒ + =
= − −
40. 40. 40. 40. 40. 
( )( )
a a
a a
2
2
380
380 2
190 2 2 5 20
95 5 19 1 19
19 19 20 19 1
1 20 19
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
41. 41. 41. 41. 41. 
( )( )
x x
x x
2 12 364
364 2
182 2 2 13 26
91 7 2 7 14
13 13 26 14 12
1 26 14
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
42. 42. 42. 42. 42. 
( )( )
a a
a a
2
3
2
42 432
432 2
216 2 2 3 24
108 2 2 3 18
54 2 24 18 42
27 3 24 18
9 3
3 3
1
+ +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= + +
43. 43. 43. 43. 43. 
( )( )
m m
m m
2 30 675
675 3
225 5 3 5 3 45
45 3 3 5 15
15 3 45 15 30
5 5 45 15
1
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
44. 44. 44. 44. 44. 
( )( )
y y
y y
2
3
50 336
336 3
112 2 3 7 2 42
56 2 2 8
28 2 42 8 50
14 2 42 8
7 7
1
+ +
⋅ ⋅ =
=
⇒ + =
= + +
45. 45. 45. 45. 45. 
( )( )
x x
x x
2
3
2 528
528 2
264 2 2 3 24
132 2 2 11 22
66 2 24 22 2
33 3 24 22
11 11
1
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
46. 46. 46. 46. 46. 
( )( )
n n
n n
2
4
3
43 432
432 2
216 2 2 16
108 2 3 27
54 2 16 27 43
27 3 16 27
9 3
3 3
1
+ +
=
=
⇒ + =
= + +
47. 47. 47. 47. 47. 
( )( )
c c
c c
2
4
2
4 320
320 2
160 2 2 16
80 2 2 5 20
40 2 20 16 4
20 2 20 16
10 2
5 5
1
− −
=
⋅ =
⇒ − =
= − +
48. 48. 48. 48. 48. 
( )( )
m m
m m
2
2
2 2
8 1 008
1 008 2
504 2 2 7 28
252 2 2 3 36
126 2 36 28 8
63 3 36 28
21 3
7 7
1
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
.
.
EJERCICIO 99
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x x x x4 2 2 25 4 4 1+ + = + +
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x6 3 3 36 7 7 1− − = − +
3.3.3.3.3. ( )( )x x x x8 4 4 42 80 10 8− − = − +
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x y xy xy xy2 2 12 4 3+ − = + −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 15 4 5 4 32x x x x− − = − +
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )( )5 13 5 42 5 7 5 62x x x x+ + = + +
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )x ax a x a x a2 22 15 5 3+ − = + −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )a ab b a b a b2 24 21 7 3− − = − +
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y− + − − = − + − −2 2 24 6 4
10. 10. 10. 10. 10. 
( ) ( )( ) ( )( )
− + +
= − − − = − − + = − +
x x
x x x x x x
2
2
4 5
4 5 5 1 5 1
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )x x x x10 5 5 520,5 4+ − = + −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )m mn n m n m n2 256 8 7+ − = + −
13. 13. 13. 13. 13. 
( )( )
x ax a
x a x a
4 2 2
2 2
7 60
12 5
+ −
= + −
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )
( )( )
2 4 2 3
2 3 2 1
2x x
x x
− +
= − −
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )
( )( )
m n m n
m n m n
− + − −
= − + − −
2
5 24
8 3
16. 16. 16. 16. 16. 
( )( )
x x
x x
8 4
4
4 4
240
240 2
120 2 2 16
60 2 3 5 15
30 2 16 15 1
15 3 16 15
5 5
1
+ −
=
⋅ =
⇒ − =
= + −
17. 17. 17. 17. 17. 
( )
( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
y y
y y
y y y y
2
2
2 15
2 15
5 3 5 3
18. 18. 18. 18. 18. 
( )( )
a b a b
a b a b
4 4 2 2
2 2 2 2
2 99
99 3 3 3 9
33 3 11 1 11
11 11 11 9 2
1 11 9
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
19. 19. 19. 19. 19. 
( )( )
c cd d
c d c d
2 211 28
7 4
+ +
= + +
20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )( )
25 5 5 84
84 2
42 2 2 3 12
21 3 7 1 7
7 7 12 7 5
1 5 12 5 7
2
2
x x
x x
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
21. 21. 21. 21. 21. 
( )( )
a ab b
a b a b
2 221 98
98 2 2 7 14
49 7 7 1 7
7 7 14 7 21
1 14 7
− +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= − −
22. 
( )( )
x y x y
x y x y
4 4 2 2
2 2 2 2
132
132 2
66 2 2 2 3 12
33 3 11 1 11
11 11 12 11 1
1 12 11
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
23. 
( )
( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
x x
x x
x x x x
4 2
4 2
2 2 2 2
2 48
2 48
8 6 8 6
24. ( ) ( )
( )( )
c d c d
c d c d
+ − + +
= + − + −
2
18 65
13 5
25. 
( )( )
a axy x y
a xy a xy
2 2 2
2
2 440
440 2
220 2 2 5 20
110 2 11 2 22
55 5 22 20 2
11 11 22 20
1
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
26. 
( )( )
m n m n
m n m n
6 6 3 3
3
3 3 3 3
21 104
104 2
52 2 2 8
26 2 13 1 13
13 13 13 8 21
1 13 8
− +
=
⋅ =
⇒ + =
= − −
27. 
( )
( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
n n
n n
n n n n
2
2
5 14
5 14
7 2 7 2
28. 
( )( )
x x
x x
6 3
3 3
930
930 2
465 5 2 5 3 30
93 3 31 1 31
31 31 31 30 1
1 31 30
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
29. ( ) ( )
( )( )
4 8 4 105
105 5
21 3 5 3 15
7 7 7 1 7
1 15 7 8
4 15 4 7
2 2 2
2 2
x x
x x
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
30.
( )( )
x abx a b
x ab x ab
4 2 2 2
2 2
5 36
9 4
+ −
= + −
31. 
( )( )
a a b b
a b a b
4 2 2 4
2
2 2 2 2
156
156 2
78 2 2 3 12
39 3 13 1 13
13 13 13 12 1
1 13 12
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
32. 
( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − +
= − +
x ax a
x ax a
x a x a
a x x a
2 2
2 2
4 21
4 21
7 3
7 3
33.
( )( )
x y x y a
x y a x y a
8 8 4 4 2
4 4 4 4
15 100
20 5
− −
= − +
34. ( ) ( )
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
− + − −
⋅ =
=
⇒ − =
= − + − −
= + −
1 3 1 108
108 2
54 2 2 3 12
27 3 3 9
9 3 12 9 3
3 3 1 12 1 9
1 11 10
2
2
2
35. 
( )( )
m abcm a b c
m abc m abc
2 2 2 256
8 7
+ −
= + −
36. ( ) ( )
( )( )
7 24 7 128
128 4
32 4 4 16
8 4 4 2 8
2 2 16 8 24
1 7 16 7 8
2 2 2
2
2 2
x x
x x
+ +
=
⋅ =
⇒ + =
= + +
EJERCICIO 100
1. 
( )
( )( )
( )( )
2 3 2
4 3 2 4
2 4 2 1
2
2 2 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
= + −
2. 
( )
( )( )
( )( )
3 5 2
9 5 3 6
3 6 3 1
3
2 3 1
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
= − +
3. 
( )
( )( )
( )( )
6 7 2
36 7 6 12
6 4 6 3
2 3
3 2 2 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
4. 
( )
( )( )
( )( )
5 13 6
25 13 5 30
5 15 5 2
5
3 5 2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
= + −
5. 
( )
( )( )
( )( )
6 5 6
36 5 6 36
6 9 6 4
3 2
2 3 3 2
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
6. 
( )
( )( )
( )( )
12 6
144 1 12 72
12 9 12 8
3 4
4 3 3 2
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
7. 
( )
( )( )
( )( )
4 15 9
16 15 4 36
4 12 4 3
4
3 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
= + +
8. 
( )
( )( )
( )( )
10 11 3
100 11 10 30
10 6 10 5
2 5
5 3 2 1
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
9. 
( )
( )( )
( )( )
12 13 35
144 13 12 420
420 4 4 7 28
105 5 5 3 15
21 3 28 15 13
7 7
12 28 12 15
4 3
1 3 7 4 5
2
2
m m
m m
m m
m m
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
10.
( )
( )( )
( )( )
20 1
400 1 20 20
20 5 20 4
5 4
4 1 5 1
2
2
y y
y y
y y
y y
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
11. 
( )
( )( )
( )( )
8 14 15
64 14 8 120
120 2
60 2 2 2 5 20
30 2 2 3 6
15 3 20 6 14
5 5
8 20 8 6
4 2
1 2 5 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
12. 
( )
( )( )
( )( )
7 44 35
49 44 7 245
245 5
49 7 7 7 49
7 7 51 5
1 49 5 44
7 49 7 5
7
7 7 5
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
= − +
13. 
( )
( )( )
( )( )
15 16 15
225 16 15 225
225 5
45 5 5 5 25
9 3 3 3 9
3 3 25 9 16
1
15 25 15 9
5 3
3 5 5 3
2
2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
14. 
( )
( )( )
( )( )
2 5 2
4 5 2 4
2 4 2 1
2
2 2 1
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
= + +
15. 
( )
( )( )
( )( )
12 7 12
144 7 12 144
144 2
72 2 2 16
36 2 3 9
18 2 16 9 7
9 3
12 16 12 9
4 3
3 3 3 4 4 3
1
2
2
4
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
16. 
( )
( )( )
( )( )
9 10 1
81 10 9 9
9 9 9 1
9
1 9 1
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
= + +
17. 
( )
( )( )
( )( )
20 9 20
400 9 20 400
400 2
200 2 2 16
100 2 5 25
50 2 25 16 9
25 5
20 25 20 16
5 4
5 5 4 5 5 4
1
2
2
4
2
n n
n
n n
n n
− −
= − −
=
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
18. 
( )
( )( )
( )( )
21 11 2
441 11 21 42
21 14 21 3
7 3
3 2 7 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
19. 
( )( )
( )( )
15 6
225 15 90
15 10 15 9
5 3
3 2 5 3
2
2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
20. 
( )
( )( )
( )( )
15 8 12
225 8 15 180
180 2
90 2 2 3 18
45 5 5 2 10
9 3 18 10 8
3 3
15 18 15 10
3 5
1 5 6 3 2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
21. 
( )
( )( )
( )( )
9 37 4
81 37 9 36
9 36 9 1
9
4 9 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=
+ +
= + +
22. 
( )
( )( )
( )( )
20 44 15
400 44 20 300
300 2
150 2 2 5 50
75 5 2 3 6
15 5 50 6 44
3 3
20 50 20 6
10 2
1 2 5 10 3
2
2
2
n n
n n
n n
n n
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
23. 
( )
( )( )
( )( )
14 31 10
196 31 14 140
140 2
70 2 5 7 35
35 5 2 2 4
7 7 35 4 31
1
14 35 14 4
7 2
2 5 7 2
2
2
m m
m m
m m
m m
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
24. 
( )
( )( )
( )( )
2 29 90
4 29 2 180
180 2
90 2 2 5 20
45 3 3 9
15 3 20 9 29
5 5
2 20 2 9
2
1 2 10 2 9
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
⋅ =
=
⇒ + =
=
+ +
= + +
25. 
( )
( )( )
( )( )
20 7 40
400 7 20 800
800 4
200 4 4 2 32
50 5 5 25
10 5 32 25 7
2 2
20 32 20 25
4 5
1 5 8 4 5
2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
26. 
( )( )
( )( )
4 33
16 4 132
132 2
66 2 2 3 12
33 3 11 1 11
11 11 12 11 1
1
4 12 4 11
4
3 4 11
2
2
2
n n
n n
n n
n n
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
27. 
( )
( )( )
( )( )
30 13 10
900 13 30 300
300 2
150 2 5 25
75 5 2 3 12
15 5 25 12 13
3 3
30 25 30 12
5 6
1 6 5 5 2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
EJERCICIO 101
1. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 5 6
6 5 6 36
6 9 6 4
3 2
2 3 3 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
2. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
5 4 12
5 4 5 60
5 10 5 6
5
2 5 6
6 3
3 2 3
3 3
3 3
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
= + −
3. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
10 29 10
10 29 10 100
10 25 10 4
5 2
2 5 5 2
8 4
4 2 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
4. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 5 21
6 5 6 126
126 2
63 3 2 7 14
21 7 3 3 9
3 3 14 9 5
1
6 14 6 9
2 3
3 7 2 3
2 2
2
a x ax
ax ax
ax ax
ax ax
+ −
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
5. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
20 9 20
20 9 20 400
400 2
200 2 5 25
100 2 2 16
50 2 25 16 9
25 5
20 25 20 16
5 4
5 5 4 5 5 4
1
2 2
2
2
4
x y xy
xy xy
xy xy
xy xy
+ −
= + −
=
=
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
6. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
15 2
15 15 30
15 6 15 5
3 5
5 2 3,2 2
2 2
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
7. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
− − +
= − + −
= − + −
⋅ =
=
⇒ − =
=
− + −
⋅
= − + −
= + −
10 7 12
10 7 12
10 7 10 120
120 2
60 2 5 3 15
30 2 2 8
15 5 15 8 7
3 3
10 15 10 8
5 2
1 2 3 5 4
2 3 4 5
2
2
2
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
8. 
( )
( )( )
( )( )
21 29 72
441 29 21 1 512
1 512 2
756 2 2 7 56
378 2 3 27
189 3 56 27 29
63 3
21 56 21 27
7 3
21 3 3 8 7 9
7 7
1
2 2
2 2
3
3
x xy y
x xy y
x y x y
x y x y
− −
= − −
⋅ =
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
.
.
9. 
( )
( )( )
( )( )
6 13 15
36 13 6 90
6 18 6 5
6
3 6 5
2 2
2 2
m am a
m am a
m a m a
m a m a
− −
= − −
=
− +
= − +
10. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
14 45 14
14 45 14 196
196 2
98 2 7 7 49
49 7 2 2 4
7 7 49 4 45
1
14 49 14 4
7 2
2 7 7 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
11. 
( )
( )( )
( )( )
30 13 3
900 13 30 90
30 18 30 5
6 5
5 3 6
2 2
2 2
a ab b
a ab b
a b a b
a b a b
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
12. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 33 10
7 33 7 70
7 35 7 2
7
5 7 2
6 3
3 2 3
3 3
3 3
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
= − +
13. 
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
= − − +
= − +
3 13 30
3 13 30
9 13 3 90
3 18 3 5
3
6 3 5
6 3 5
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
14. 
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
6 7 5
6 7 5
6 7 6 30
6 10 6 3
2 3
3 5 2 1
5 3 2 1
8 4
8 4
4 2 4
4 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
15. 
( )( )
( )( )
6 15
36 6 90
6 10 6 9
2 3
3 5 2 3
2 2
2 2
a ax x
a ax x
a x a x
a x a x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
16. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 7 15
4 7 4 60
4 12 4 5
4
3 4 5
2 2 2
2 2 2
x mnx m n
x mn x m n
x mn x mn
x mn x mn
+ −
= + −
=
+ −
= + −
17.
( ) ( )
( )( )
( )( )
18 17 15
18 17 18 270
270 2
135 5 3 27
27 3 5 2 10
9 3 27 10 17
3 3
18 27 18 10
9 2
1 2 3 9 5
2 2
2 2
3
a ay y
a y a y
a y a y
a y a y
+ −
= + −
=
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
18. 
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
8 2 15
8 2 15
8 2 8 120
8 12 8 10
4 2
2 3 4 5
3 2 4 5
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
19. 
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
25 5 6
25 5 6
25 5 25 150
25 15 25 10
5 5
5 3 5 2
3 5 5 2
8 4
8 4
4 2 4
4 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
20. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
30 91 30
30 91 30 900
30 100 30 9
10 3
3 10 10 3
10 5
5 2 5
5 5
5 5
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
21. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
30 17 21
30 17 30 630
630 2
315 5 5 7 35
63 3 2 3 18
21 3 35 18 17
7 7
30 35 30 18
5 6
1 6 7 5 3
2 2
2 2
2
m am a
m a m a
m a m a
m a m a
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
22. 
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + −
= − − +
= − − +
= −
− −
⋅
= − − −
= − −
15 16 4
15 16 4
15 16 15 60
15 10 15 6
5 3
3 2 5 2
3 2 2 5
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
 23. 
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + −
= − − +
= − − +
= −
− −
⋅
= − − −
= − −
6 11 4
6 11 4
6 11 6 24
6 8 6 3
2 3
3 4 2
4 3 2
2 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
y x y x
y x y x
y x y x
x y y x
24. 
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + −
= − − +
= − − +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= −
− −
⋅
= − − −
= − −
20 27 9
20 27 9
20 27 20 180
180 2
90 2 2 3 12
45 5 5 3 15
9 3 15 12 27
3 3
20 15 20 12
5 4
1 4 3 5 3
4 3 3 5
2 2
2 2
2 2
2
a ab b
a ab b
a b a b
a b a b
a b a b
a b b a
EJERCICIO 102
1. ( )a a a a3 2 33 3 1 1+ + + = +
2. ( )27 27 9 32 3 3− + − = −x x x x
3. ( )m m n mn n m n3 2 2 3 33 3+ + + = +
4. ( )1 3 3 12 3 3− + − = −a a a a
5. ( )8 12 6 22 4 6 2 3+ + + = +a a a a
6. ( )125 75 15 1 5 13 2 3x x x x+ + + = +
7. ( )8 36 54 27 2 33 2 2 3 3a a b ab b a b− + − = −
8. ( )27 108 144 64 3 43 2 2 3 3m mn mn n m n+ + + = +
9. x x x No es cubo perfecto3 23 3 1− + + =
10. 1 12 6 82 3 3+ − − =a b ab a b No es cubo perfecto
11. ( )125 150 60 8 5 23 2 2 3 3a a b ab b a b+ + + = +
12. ( )8 36 54 27 2 32 3 3+ + + = +x x x x
13. 8 12 642 4 6− − − =a a a No es cubo perfecto
14. ( )a a b a b b a b6 4 3 2 6 9 2 3 33 3+ + + = +
15. ( )x x y x y y x y9 6 4 3 8 12 3 4 39 27 27 3− + − = −
16. ( )64 240 300 125 4 53 2 2 3 3x x y xy y x y+ + + = +
17. ( )216 756 882 343 6 72 4 6 2 3− + − = −a a a a
18. ( )125 600 960 512 5 812 8 5 4 10 15 4 5 3x x y x y y x y+ + + = +
19. ( )a a a a18 12 6 6 33 3 1 1+ + + = +
20. ( )m am n a mn a n m an3 2 2 2 3 3 33 3− + − = −
21. ( )1 18 108 216 1 62 3 4 6 6 9 2 3 3+ + + = +a b a b a b a b
22. ( )64 240 300 125 4 59 6 4 3 8 12 3 4 3x x y x y y x y− + − = −
EJERCICIO 103
1. ( )( )1 1 13 2+ = + − +a a a a
2. ( )( )1 1 13 2− = − + +a a a a
3. ( )( )x y x y x xy y3 3 2 2+ = + − +
4. ( )( )m n m n m mn n3 3 2 2− = − + +
5. ( )( )a a a a3 21 1 1− = − + +
6. ( )( )y y y y3 21 1 1+ = + − +
7. ( )( )y y y y3 21 1 1− = − + +
8. ( )( )8 1 2 1 4 2 13 2x x x x− = − + +
9. ( )( )1 8 1 2 1 2 43 2− = − + +x x x x
10. ( )( )x x x x3 227 3 3 9− = − + +
11. ( )( )a a a a3 227 3 3 9+ = + − +
12. ( )( )8 2 4 23 3 2 2x y x y x xy y+ = + − +
13. ( )( )27 3 9 33 3 2 2a b a b a ab b− = − + +
14. ( )( )64 4 16 46 2 2 4+ = + − +a a a a
15. ( )( )a a a a3 2125 5 5 25− = − + +
16. ( )( )1 216 1 6 1 6 363 2− = − + +m m m m
17. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4a b a b a ab b+ = + − +
18. ( )( )x b x b x x b b6 9 2 3 4 2 3 6− = − + +
19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 3 2 2x y x y x xy y− = − + +
20. ( )( )1 343 1 7 1 7 493 2+ = + − +n n n n
21. ( )( )64 729 4 9 16 36 813 2a a a a− = − + +
22. ( )( )a b x ab x a b abx x3 3 6 2 2 2 2 4− = − + +
23. ( )( )512 27 8 3 64 24 99 3 3 6+ = + − +a a a a
24. ( )( )x y x y x x y y6 12 2 4 4 2 4 88 2 2 4− = − + +
25. ( )( )1 729 1 9 1 9 816 2 2 4+ = + − +x x x x
26. ( )( )27 64 3 4 9 12 163 9 3 2 3 6m n m n m mn n+ = + − +
27. ( )( )343 512 7 8 49 56 643 6 2 2 2 4x y x y x xy y+ = + − +
28. ( )( )x y y xy y x y xy y3 6 9 2 3 2 4 5 6216 6 6 36− = − + +
29. ( )( )a b x abx a b x abx3 3 3 2 2 21 1 1+ = + − +
30. ( )( )x y x y x x y y9 9 3 3 6 3 3 6+ = + − +
31. ( )( )1 000 1 10 1 100 10 13 2. x x x x− = − + +
32. ( )( )a b a b a a b b6 12 2 4 4 2 4 8125 5 5 25+ = + − +
33. ( )( )x y x y x x y y12 12 4 4 8 4 4 8+ = + − +
34. ( )( )1 27 1 3 1 3 93 3 2 2− = − + +a b ab ab a b
35. ( )( )8 729 2 9 4 18 816 2 4 2x x x x+ = + − +
36. ( )( )a b a b a ab b3 12 4 2 4 88 2 2 4+ = + − +
37. ( )( )8 125 2 5 4 10 259 3 6 3 2 6 3 2 2 4x y z x yz x x yz y z− = − + +
38. ( )( )27 343 3 7 9 21 496 9 2 3 4 2 3 6m n m n m mn n+ = + − +
39. ( )( )216 6 36 612 4 4 8− = − + +x x x x
EJERCICIO 104
1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
1 1 1
1 1 2
3 2
2 2
+ + = + + − + + +
= + + − − + + +
x y x y x y x y
x y x y x xy y
2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
1 1 1
1 1 2
3 2
2 2
− + = − + + + + +
= − − + + + + +
a b a b a b a b
a b a b a ab b
3. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
27 3 9 3
3 9 3 3 2
3 2
2 2
+ − = + − − − + −
= + − − + + − +
m n m n m n m n
m n m n m mn n
4. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
x y x y x y x y
x y x xy y x y
− − = − − − + − +
= − − − + + − +
3 2
2 2
8 2 2 4
2 2 2 2 4
5. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
x y x y x y x y
x y x xy y x y
+ + = + + + − + +
= + + + + − − +
2 1 2 1 2 2 1
2 1 4 4 2 1
3 2
2 2
6. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 4 4
3 2
2 2
− − = − − + − + −
= − + + − + − +
a b a b a b a b
a b a b a ab b
7. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
3 3 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 2 1
2 1 1
+ + = + + − + + +
= + − − + + +
= + + +
8. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
8 1 2 1 4 2 1 1
2 1 4 2 2 2 1
1 7 4 1
3 3 2 2
2 2 2
2
a a a a a aa a
a a a a a a a
a a a
− − = − − + − + −
= − + + − + − +
= + − +
9. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
27
3 9 3
3 9 3 3 2
2 13 5
3 3
2 2
2 2 2 2
2 2
x x y
x x y x x x,y x y
x x y x x xy x xy y
x y x xy y
− −
= − − + − + −
= − + + − + − +
= + − +
10. ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
2 27
2 3 2 3 2 9
2 3 4 4 6 3 9
3
2
2 2
a b
a b a b a b
a b a ab b a b
− −
= − − − + − +
= − − − + + − +
11. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )
x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
6 3
2 4 2 2
2 4 3 2 2
2 4 3 2
2
2 2 2
2 2 4 4
2 3 4 4
− +
= − + + + + +
= − − + + + + +
= − − + + + +
12. ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a
+ + −
= + + − + − − + + −
= − + + − + + + − +
= − − +
1 3
1 3 1 3 1 3
2 2 2 1 2 3 6 9
2 2 2 13
3 3
2 2
2 2 2
2
13. ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )
x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
− − +
= − − + − + − + + +
= − − − − + + + − + + +
= − + + = − + +
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 2 1 2 4 4
3 3 3 3 9 1
3 3
2 2
2 2 2
2 2
14. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )
x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x xy y x y x xy y
y x y
− − +
= − − + − + − + + +
= − − − − + + − + + +
= − +
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 3
15. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
m m
m m m m m m
m m m m m m m m
m m m
− + −
= − + − − − − − + −
= − + − − + − + − + − +
= − − +
2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 4 5 6 6 9
2 5 5 7
3 3
2 2
2 2 2
2
16. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 4 6 9 6
5 7 3 3
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x xy y x xy y x xy y
x x xy y
− + +
= − + + − − − + + +
= − + + − + − + + + + +
= + +
 17. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
8
2 4 2
2 2 4 8 4 2 2 2
3 3 6 7
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a ab b a b a ab b
a b a ab b
+ + −
= + + − + − + − + −
= + + − + + − + + − +
= + + +
 18. ( )
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( )( )
64 125
4 5 16 4 5 25
4 4 5 16 32 16 20 20 25
3
2
2 2
m n
m n m n m n
m n m mn n m n
+ −
= + − + + + +
= + − + + + + +
EJERCICIO 105
1. ( )( )a a a a a a5 4 3 21 1 1+ = + − + − +
2. ( )( )a a a a a a5 4 3 21 1 1− = − + + + +
3. ( )( )1 1 15 2 3 4− = − + + + +x x x x x x
4.
( )( )
a b
a b a a b a b a b a b ab b
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
+
= + − + − + − +
5. 
( )( )
m n
m n m m n m n m n m n mn n
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
−
= − + + + + + +
6. ( )( )a a a a a a5 4 3 2243 3 3 9 27 81+ = + − + − +
7. ( )( )32 2 16 8 4 25 2 3 4− = − + + + +m m m m m m
8. ( )( )1 243 1 3 1 3 9 27 815 2 3 4+ = + − + − +x x x x x x
9. 
( )( )
x
x x x x x x x
7
6 5 4 3 2
128
2 2 4 8 16 32 64
+
= + − + − + − +
10. ( )( )243 32 3 2 81 54 36 24 165 2 3 4− = − + + + +b b b b b b
11. ( )( )a b c a bc a a bc a b c ab c b c5 5 5 4 3 2 2 2 3 3 4 4+ = + − + − +
12. 
( )( )
m a x
m ax m m ax m a x m a x m a x ma x a x
7 7 7
6 5 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
−
= − + + + + + +
 13. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6+ = + − + − + − +x x x x x x x x
 14. 
( )( )
x y
x y x x y x y x y x y xy y
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
−
= − + + + + + +
 15. 
( )( )
a
a a a a a a a
7
6 5 4 3 2
2 187
3 3 9 27 81 243 729
+
= + − + − + − +
.
16. ( )( )1 128 1 2 1 2 4 8 16 32 647 2 3 4 5 6− = − + + + + + +a a a a a a a a
 17. ( )( )x y x y x x y x y x y y10 5 2 8 6 4 2 2 3 432 2 2 4 8 16+ = + − + − +
 18. 
( )( )
1 128
1 2 1 2 4 8 16 32 64
4
2 2 4 6 8 10 12
+
= + − + − + − +
x
x x x x x x x
EJERCICIO 106
1. ( )5 5 12a a a a+ = +
2. ( )m mx x m x2 2 22+ + = +
3. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a a ab b a a ab b
a a b a
a a b
2 2
1 1
1
+ − − = + − −
= + − +
= + −
4. ( )( )x x x x2 2 236 6 6 6− = − = + −
5. ( )9 6 32 2 2x xy y x y− + = −
6. ( )( )x x x x2 3 4 1 4− − = − +
7. 
( )( )
( )( )
6 2
36 6 12
6 4 6 3
3 2
3 2 2 1
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
8. ( )( )1 1 13 2+ = + − +x x x x
9. ( )( )27 1 3 1 9 3 13 2a a a a− = − + +
10. ( )( )x m x m x x m x m xm m5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +
11. ( )a a b ab a a ab b3 2 2 2 23 5 3 5− + = − +
12. 
( ) ( ) ( )( )
2 6 3
2 3 3 3 2
xy y xz z
y x z x x y z
− + −
= − + − = − +
13. ( )1 4 4 1 22 2− + = −b b b
14. 
( )
( )( )
4 3
4 4
2
2 2
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
15. 
( )
( )( )
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
6
2 4
2 4
4
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
16. ( )( )a a a a2 30 6 5− − = − +
17. 
( )
( )( )
( )( )
15 11 14
225 11 15 210
15 21 15 10
3 5
5 7 3 2
2
2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
18. ( )( )a a a a6 2 4 21 1 1+ = + − +
19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4m y m y m my y− = − + +
20. ( )16 24 9 4 32 2 2a ab b a b− + = −
21. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6+ = + − + − + − +a a a a a a a a
22. ( )8 12 6 1 2 13 2 3a a a a− + − = −
23. ( )( )1 1 12− = + −m m m
24. ( )( )x x x x4 2 2 24 21 7 3+ − = + −
25. ( )( )125 1 5 1 25 5 16 2 4 2a a a a+ = + − +
26. 
( ) ( )( )
a ab b m
a b m a b m a b m
2 2 2
2 2
2+ + −
= + − = + + + −
27. ( )8 16 24 8 1 2 32 3 2 2 2a b a b a b a b a b+ − = + −
28. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x x x
x x x x x x x x
5 4
5 4 4 4
1
1 1 1 1 1
− + −
= − + − = − + − = + −
29. 
( )
( )( )
( )( )
6 19 20
36 19 6 120
120 2
60 2 2 3 24
30 2 5 1 5
15 3 24 5 19
5 5
6 24 6 5
6
1 4 6 5
2
2
3
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
30. ( )( )25 81 5 9 5 94 2 2 2x y x y x y− = + −
31. ( )( )1 1 13 2− = − + +m m m m
32. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a xy y ab b
x xy y a ab b
x y a b
x y a b x y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33. ( )21 7 7 7 7 3 15 4 2 3 3 2 2 3 2 2m n m n m n m n m n m m n mn− + − = − + −
34. ( ) ( ) ( ) ( )( )a x b x c x a b c x+ − + + + = − + +1 1 1 1
35. ( ) ( ) ( )4 4 22 2+ − + − = + −x y x y x y
36. ( )( )1 1 12 4 2 2− = + −a b ab ab
37. ( )b ab a b a2 2 212 36 6+ + = +
38. ( )( )x x x x6 3 3 34 77 11 7+ − = + −
39. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
15 17 4
15 17 15 60
15 20 15 3
5 3
3 4 5 1
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
40. ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
1 3
1 3 1 3 3
1 3 1 3 6 9
3
2
2 2
+ −
= + − − − + −
= + − − + + − +
a b
a b a b a b
a b a b a ab b
41. 
( )
( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x x x
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
25
9 9
10 25 9
5 9
3 5 3 5
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
42. 
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
28 36
16 16
12 36 16
6 16
4 6 4 6
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
43. ( )( )343 8 7 2 49 14 43 2+ = + − +a a a a
44. ( )12 15 3 4 52 2 2a bx a by a b x y− = −
45. ( )( )x xy y x y x y2 22 15 5 3+ − = + −
46. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
6 4 2 3
6 3 4 2
3 2 1 2 2 1
3 2 2 1
am an n m
am m an n
m a n a
m n a
− − +
= + − +
= + − +
= − +
47. ( )( )81 4 9 2 9 26 2 8 3 4 3 4a b c a bc a bc− = + −
48. ( ) ( )( )16 2 4 2 4 22− + = + + − −a b a b a b
49. 
( )
( )( )
( )( )
20
20
5 4
5 4
2
2
− −
= − + −
= − + −
= + −
x x
x x
x x
x x
50. ( )( )n n n n2 42 7 6+ − = + −
51. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a d n c an cd
a an n c cd d
a n c d
a n c d a n c d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
− + − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
52. ( )( )1 216 1 6 1 6 369 3 3 6+ = + − +x x x x
53 ( )( )x x x x3 264 4 4 16− = − + +
54. ( )x x x x3 4 364 1 64− = −
55. ( )18 36 54 18 2 35 3 4 3 2 8 2 3 3 2 5ax y x y x y x y ax x y− − = − −
56. ( )49 14 1 7 12 2a b ab ab− + = −
57. ( ) ( )( ) ( )( )x x x x x+ − = + + + − = + −1 81 1 9 1 9 10 82
58. ( ) ( )( )a b c a b c a b c2 2− + = + + − −
59. ( ) ( ) ( )m n m n m n+ − + + = + −2 26 9 3
60. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 31 20
7 31 7 140
140 2
70 2 7 5 35
35 5 2 4
7 7 35 4 31
1
7 35 7 4
7
5 7 4
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
⋅ =
=
⇒ − =
=
+ −
= + −
64. 
( )
( )( )
1 27
25 25
1 2 25
1 25
1 5 1 5
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
b b
b b
b b b,b b
b b b b
66. ( )( )c d c d c d4 4 2 2 2 24 2 2− = + −
67. ( )15 15 20 5 3 3 44 3 2 2 2x x x x x x− + = − +
68. 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
a x a x
a x a x a x a x a x a x a x
2 2
2 2 1
− − −
= − − + = + − − + = + − −
61. 
( )
9 63 45
9 7 5
3 2
2
a a a
a a a
+ −
= + −
62. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
ax a x
ax a x
a x x
a x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
1
1
1 1
1 1
63. 
( )
81 25 90
81 90 25
9 5
4 2 2
4 2 2
2 2
x y x y
x x y y
x y
+ −
⇒ − +
= −
 65. 
( )
( )( )
m m n n
m n m n
m mn n mn
m n m n
m mn n m mn n
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
69. 
( )( )
x x
x x
4 2
2 2
8 240
240 4
60 4 4 5 20
15 3 4 3 12
5 5 20 12 8
1 20 12
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
70. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 7 20
6 7 6 120
120 4
30 3 4 2 8
10 5 5 3 15
2 2 15 8 7
1
6 15 6 8
3 2
2 5 3 4
4 2
2 2 2
2 2
2 2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
71. 
( )
9 4 12 9 12 4
3 2
2 2 2 2
2
n a an n an a
n a
+ − ⇒ − +
= −
72. ( )2 2 2 12 2x x+ = +
73. ( ) ( ) ( )( )7 1 3 1 7 3 1a x y b x y a b x y+ − − + − = − + −
74. ( )( )x x x x2 3 18 6 3+ − = + −
75. ( ) ( ) ( )( )a m b n a m b n a m b n+ − + = + + + + − −2 2
76 ( )x x y xy y x y3 2 2 3 36 12 8 2+ + + = +
77. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
8 22 21
8 22 8 168
168 4
42 2 3 2 6
21 3 4 7 28
7 7 28 6 22
1
8 28 8 6
4 2
2 7 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
78. ( )1 18 81 1 92 2 2+ + = +ab a b ab
79. ( )( )4 1 2 1 2 16 3 3a a a− = + −
80. 
( )( )
x x
x x
6 3
3 3
4 480
480 4
120 3 5 4 20
40 4 4 3 2 24
10 5 24 20 4
2 2 24 20
1
− −
⋅ =
⋅ ⋅ =
⇒ − =
= − +
81. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
ax bx b a by ay
ax ay a bx by b
a x y b x y
a b x y
− + − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
1 1
1
82 
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
6 3 2 1
6 3 2 1
3 2 1 2 1 3 1 2 1
am m a
am m a
m a a m a
− − +
= − − −
= − − − = − −
83. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
15 14 8
8 14 15
8 14 8 120
120 4
30 3 4 5 20
10 5 3 2 6
2 2 20 6 14
1
8 20 8 6
4 2
2 5 4 3
5 2 4 3
2
2
2
+ −
= − − −
= − − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
84. ( )a a a a a a a a10 8 6 4 4 6 4 2 1− + + = − + +
85. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 1 1 2 1x a a x a a a x− − + = − − − = − −
86.( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )m n m n n m n m n m n n m n m n+ − + − = − + + = − +3 3 4
87. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
a b b x a x
b b x a a x
b x a x x a b
2 3 3 2 2 2
3 3 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 3
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
− + −
= − − + −
= − − + − = − −
88. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
2 3 3 2
2 3 2 3
2 3 1
am b c cm bm a
am cm bm b c a
m a c b b c a
m a b c a b c
a b c m
− − − − +
= − − − + −
= − − − + −
= − − + − −
= − − +
91. ( ) ( )( ) ( )( )81 9 9 10 82 2x a x x a x x a x x a x a− + = + + − − = + −
92. 
( ) ( ) ( )( )
a a x
a a x a x a x a x
2 2
2 2 2 2
9 6 16
6 9 16 3 16 3 4 4 3
+ − −
= − + − = − − = − + − −
93. 
( ) ( ) ( )( )
9 4 4
9 4 4 9 2 3 2 3 2
2 2
2 2 2 2
a x x
a x x a x a x a x
− − +
= − − + = − − = + − − +
94. 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
9 3
9 3 3 3 3 3 3 1
2 2
2 2
x y x y
x y x y x y x y x y x y x y
− + −
= − + − = + − + − = − + +
95. ( )( )x x x x2 72 9 8− − = − +
96. 
( )
( )( )
36 120 49
36 36
36 84 49 36
6 7 36
6 6 7 6 6 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
97. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a m n mn ab b
a ab b m mn n
a b m n
a b m n a b m n
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
4 4 6 9
2 3
2 3 2 3
− − − + +
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
98. 1
4
9
1
2
3
1
2
3
8 4 4− = +

 −



a a a
99. 
( )
( )( )
81 64
144 144
81 144 64 144
9 8 144
9 12 8 9 12 8
8 12
4 6 4 6
8 4 6 12 4 6
4 6 2 4 6
4 2 3 6 4 2 3 6
a b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a a b b a a b b
+
+ −
+ + −
= + −
= − + + +
89. x x x2
22
3
1
9
1
3
− + = −


90. 
( )( )
4
2 2
2 4
2 2
a b
a b a b
n n
n n n n
−
= + −
101.
( )
( )( )
( )( )
x abx a b
a b a b
x abx a b a b
x ab a b
x ab ab x ab ab
x ab x ab
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 35
36 36
2 36
36
6 6
5 7
− −
+ −
− + −
= − −
= − + − −
= + −
100. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
49 77 30
49 77 49 1 470
1 470 7
210 7
30 5
6 6 7 5 35
1 7 6 42
42 35 77
49 35 49 42
7 7
7 5 7 6
2
2
x x
x x
x x
x x
− +
= − +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
=
− −
⋅
= − −
.
.
102. ( )125 225 135 27 5 33 2 3x x x x− + − = −
103. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
a a
a a a a a
− − +
= − + + − − − = + −
2 3
2 3 2 3 2 1 5
2 2
104. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
4 12 5 15
4 12 5 15
4 3 5 3 3 4 5
2 2
2 2
2 2
a m a n bm bn
a m a n bm bn
a m n b m n m n a b
+ − −
= + − +
= + − + = + −
105. ( )1 6 9 1 33 6 3 2+ + = +x x x
106. ( )( )a a b b a b a b4 2 2 2 23 40 8 5+ − = + −
107. ( )( )m a x m ax m axm a x3 3 3 2 2 28 2 2 4+ = + − +
108. 
( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
1 9 24 16
9 24 16 1
3 4 1
3 4 1 3 4 1
3 4 1 1 4 3
2 2
2 2
2
− + −
= − − + −
= − − −
= − − + − −
= − + + −
x xy y
x xy y
x y
x y x y
x y y x
109. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
1 11 24
24 11 24 24
24 8 24 3
8 3
3 1 8 1
2
2
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
x x
x x
x x
x x
110. ( )9 27 9 9 1 32 3 3 3 5 3 2 3 3x y x y x y x y x x− − = − −
111. ( )
( )( )
a b c x y
a b c xy a b c xy
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
9
3 3
+ − −
= + − + + − −
112. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
8 1 1
2 1 1 4 1 2 1 1
2 2 1 4 8 4 2 2 1
2 1 4 10 7
3
2
2
2
a
a a a
a a a a
a a a
+ −
= + − + + + +
= + − + + + + +
= + + +
113. 
( )( )
100 121
10 11 10 11
4 6 4
2 3 2 2 3 2
x y m
x y m x y m
−
= + −
114. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
a a
a a a a
2 2 2
2 2 2 2
1 5 1 24
1 8 1 3 9 2
+ + + −
= + + + − = + −
115. ( )( )1 1 000 1 10 1 10 1006 2 2 4+ = + − +. x x x x
116. 
( )[ ]
( )[ ]
( )( )
( )( )
49 9 6
6 9 49
3 49
7 3 7 3
7 3 7 3
2 2 2
2 2 2
2 2
a x y xy
x xy y a
x y a
a x y a x y
a x y a x y
− − +
= − − + −
= − − −
= − + − − + −
= + − − +
117. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x y x yz z
x x y yz z
x y z
x y z x y z
4 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2
2 2
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
118. ( )( )a a a a3 264 4 4 16− = − + +
119. ( )( )a x a x a a x a x ax x5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +
120. ( )( )a a b b a b a b6 3 2 3 33 54 9 6− − = − +
121. 
( )
( )( )
( ) ( )
165 4
4 165
165 5
33 3 5 3 15
11 11 11 1 11
1 15 11 4
15 11
15 11
2
2
+ −
= − − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − − +
= − +
x x
x x
x x
x x
122. 
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
1
2 1
1
1 1
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
123. 
x y x y x y2 6 3 3
4 81 2 9 2 9
− = +





 −






124. 16
8
5 25
4
5
2
2 2
x
xy y
x
y
+ + = +


125. 
( )
( )( )
( )( )
a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b a b
4 4 2 2
4 4 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 96
100 100
4 4 100
2 100
2 10 2 10
12 8
+ −
+ −
+ + −
= + −
= + + + −
= + −
126. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
8 7 21 7 8 24
7 21 7 8 8 24
7 1 3 8 1 3
1 3 7 8
2 3 2
2 3 2
2
2
a x y by ay a x a bx
y by ay a x a x a bx
y b a a x a b
b a y a x
+ + − − +
= + − + − +
= + − + − +
= + − +
127. 
( )( )
x x
x x
4 2
2 2
11 390
390 3
130 2 13 2 26
65 5 5 3 15
13 13 26 15 11
1 26 15
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
128. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
7 33 10
10 33 7
10 33 10 70
10 35 10 2
5 2
2 7 5 1
7 2 5 1
2
2
2
+ −
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
m m
m m
m m
m m
m m
m m
129. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
4 9
2 3 2 3
2 2 3 3 2 2 3 3
2 2
a b c d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
+ − +
= + + + + − +
= + + + + − −
130. ( )( )729 125 9 5 81 45 253 12 4 4 2 8− = − + +x y xy xy x y
131. ( ) ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y x y x y+ + + = + + + = + + +2 2 1
132. ( )
( )
( )
( )( )
4 2
4 2
4 2
4 2
4
2 2
2 2
2 2
2 2,2 2
2 2
2
− + +
− − +
+ −
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
a b ab
a b ab
b b
a ab b
a ab b
a b
a b a b
133. 
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
x y x y
x y x y
x y x xy y x y x y x xy y
3 3
3 3
2 2 2 2 1
− + −
= − + −
= − + + + − = − + + +
134. 
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
a b a b
a b a b
a b a b a b a ab b
a b a b a ab b
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2
2 2
− + −
= − + −
= + − + − + +
= − + + + +
EJERCICIO 107
1. 
( ) ( )( )
3 3
3 1 3 1 1
2
2
ax a
a x a x x
−
= − = + −
2. 
( ) ( )( )
3 3 6
3 2 3 2 1
2
2
x x
x x x x
− −
= − − = − +
3. 
( )
( ) ( )( )
2 4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
a x abx b x
x a ab b
x a b x a b a b
− +
= − +
= − = − −
4. 
( ) ( )( )
2 2
2 1 2 1 1
3
3 2
a
a a a a
−
= − = − + +
5. 
( ) ( )( )
a a a
a a a a a a
3 2
2
3 28
3 28 7 4
− −
= − − = − +
6. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x x
3 2
3 2
2
2
4 4
4 4
1 4 1
4 1 2 2 1
− + −
= + − +
= + − +
= − + = + − +
7. 
( )
( )( )
3 3
3
3
3 3
3 3
2 2
ax ay
a x y
a x y x xy y
+
= +
= + − +
8. 
( ) ( )
4 4
4 4 2
2 2
2 2 2
ab abn an
a b bn n a b n
− +
= − + = −
9. 
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
4 2
2 2
2
3 4
4 1
2 2 1
− −
= − +
= + − +
10. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
a a a
3 2
3 2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
11. 
( ) ( )
2 4 2
2 2 1 2 1
2
2 2
ax ax a
a x x a x
− +
= − + = −
12. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
x x x y y
x x x y y
x x y x
x x y x x x y
3 2
3 2
2 2
2
1 1
1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= − + = + − +
13. 
( ) ( )( )
2 6 8
2 3 4 2 4 1
3 2
2
a a a
a a a a a a
+ −
= + − = + −
14. 
( ) ( )
16 48 36
4 4 12 9 4 2 3
3 2 2
2 2 2
x x y xy
x x xy y x x y
− +
= − + = −
15. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
3 3
3 3
3 3
3 3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
2 2
x x y xy y
x x y xy y
x x y y x y
x y x y x y x y x y
− − +
= − − −
= − − −
= − − = − + −
16. 
( ) ( )( )
5 5
5 1 5 1 1
4
3 2
a a
a a a a a a
+
= + = + − +
17. 
( )
( )
( )( )
( )( )
6 2
6 2
36 6 12
6 4 6 3
2 3
3 2 2 1
2
2
2
ax ax a
a x x
a x x
a x x
a x x
− −
= − −
= − −
=
− +
⋅
= − +
18. 
( )( ) ( )( )( )
n
n n n n n
4
2 2 2
81
9 9 3 3 9
−
= − + = + − +
19. 
( ) ( )( )
8 2
2 4 1 2 2 1 2 1
2
2
ax a
a x a x x
−
= − = − +
20. 
( ) ( )( )
ax ax ax
ax x x ax x x
3 2
2
10 25
10 25 5 5
+ +
= + + = + +
21. 
( )
( )
( )
( )[ ]
( )( )
( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
3 2
2
2
2
2 2
6 7
6 7
6 7 16 16
6 9 16
3 4
3 4 3 4
1 7
− −
= − −
= − − + −
= − + −
= − −
= − + − −
= + −
22. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
m m m
m m m
m m m
m m
m m m
3 2
3 2
2
2
3 16 48
3 16 48
3 16 3
3 16
3 4 4
+ − −
= + − +
= + − +
= + −
= + − +
23. 
( ) ( )( )( )
x x y xy y
x y x y x y x y
3 2 2 3
3
6 12 8
2 2 2 2
− + −
= − = − − −
24. ( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ − − −
= − + −
= + − + −
2 2 2 2
2 2 1
1
25. 
( )
( )
( )( )
32 48 18
2 16 24 9
2 4 3
2 4 3 4 3
5 3 2
4 2 2
2 2
2 2
a x a bx ab x
ax a a b b
ax a b
ax a b a b
− +
= − +
= −
= − −
26. 
( )
( ) ( )[ ] ( )( )[ ]
x x x x
x x x x
x x x x x x x
4 3 2
3 2
2 2
1
1 1 1 1
− + −
= − + −
= − + − = − +
27. 
( )
( )( )
( )( )
( )( )
4 32 36
16 32 4 144
144 2
72 2 2 4
36 4 4 3 3 36
9 3 36 4 32
3 3
4 36 4 4
4
1 9 4 4
4 9 1
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
⋅ ⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
= + −
28. ( )
( )( )
( )( )( )
a a
a a a a
a a a a
4 2
2 2
2
2
2 2
2 2 1
− +
= + + − −
= + + − +
29. 
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x x
6 3
3 3
2 3
25 54
27 2
3 3 9 2
− −
= − +
= − + + +
30. 
( )
( )( )
a a
a a
a a a a a a
6
5
4 3 2
1
1 1
+
= +
= + − + − +
31. 
( )
( )[ ]
( )( )
a b a bx abx aby
ab a ax x y
ab a x y
ab a x y a x y
3 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
+ + −
= + + −
= + −
= + + + −
32. 
( )
( )( )
3 3
3 1
3 1 1
2
2
abm ab
ab m
ab m m
−
= −
= + −
33. 
( )
( )( )
81 3
3 27
3 3 9 3
4 4
3 3
2 2
x y xy
xy x y
xy x y x xy y
+
= +
= + − +
34. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
a a a a
4 3
4 3
3
3
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= − + − +
35. 
( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
− −
= − −
= − + −
= − + −
=
− + −
⋅
= − + −
= + −
3 18
1 3 18
18 3 1
18 3 18 18
18 6 18 3
6 3
3 1 6 1
3 1 1 6
2 3
2
2
2
36. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 2 6 2
6 2 6 2
2 3 2 3
3 2 2
2 3
2
2
ax bx ab b
ax bx ab b
x a b b a b
a b x b
x b a b
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= + −
37. 
( )
( )( )
am am am
am m m
am m m
3 2
2
7 12
7 12
4 3
− +
= − +
= − −
38. 
( )
( )( )
4 4
4 1
4 1 1
2 3 2
2 3
2 2
a x a
a x
a x x x
−
= −
= − + +
39. 
( )
( )( )
28 7
7 4
7 2 2
3 3
2 2
x y xy
xy x y
xy x y x y
−
= −
= − +
40. 
( )
( )( )
3 3 18
3 6
3 3 2
2
2
abx abx ab
ab x x
ab x x
− −
= − −
= − +
41. 
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
4 2
2 2
2
8 128
128 4
32 4 4 4 16
8 4 4 2 8
2 2 16 8 8
1 16 8
4 4 8
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
= + − +
42. 
( )
( )( )
18 60 50
2 9 30 25
2 3 5 3 5
2 2 3
2 2
x y xy y
y x xy y
y x y x y
+ +
= + +
= + +
43. ( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
x xy a y a
a x xy y
a x y x y
2 2
2 2
2 1 1
1 2
1
− + + +
= + − +
= + − −
44. 
( )
( )( )
x x y xy
x x xy y
x x y x y
3 2 2
2 2
2 3
2 3
3
+ −
= + −
= + −
45. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a x b x a y b y
a x b x a y b y
x a b y a b
a b x y
a b a b x y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 2 8
4 2 8
4 2 4
4 2
2 2 2
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= − + +
46. 
( )
( )( )
45 20
5 9 4
5 3 2 3 2
2 4 2
2 4
2 2 2
a x a
a x
a x x
−
= −
= + −
47. ( )
( )( )
( )( )( )
a a
a a a a
a a a a
4 2
2 2
2
12
12 12
4 3 12
− −
= + − − +
= + − − +
48. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
bx b x
bx x b
x b b
b x
b x x
2 2
2 2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
49. 
( )
( )( )
2 6 56
2 3 28
2 7 4
4 3 2
2 2
2
x x x
x x x
x x x
+ −
= + −
= + −
50. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
30 55 50
30 55 30 1 500
1 500 2
750 2 5 2 20
375 5 5 3 75
75 5 75 20 55
15 5
30 75 30 20
15 2
3 3 2 5 15 10
1 5 2 5 3 2
2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
= − +
.
.
51. ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )( )( )
9
9 1
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3
2
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y
− − −
= − − −
= − − + − −
= − − + − −
52. 
( )
( )
( )( )
( )( )
6 9
6 9
6 9
3 3
3 3
2 3 2
2 2
2 2
a x a ax
a ax a x
a x ax a
a x a x a
a a x x a
− −
= − −
= − − +
= − − −
= − −
53. 
( )
( )( )
64 125
64 125
4 5 16 20 25
4
3
2
a a
a a
a a a a
−
= −
= − + +
54. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
70 26 24
2 35 13 12
2 35 13 35 420
420 2
210 2
105 5
21 3
7 7
1
2 7 28
3 5 15
28 15 13
35 28 35 15
7 5
2 5 4 7 3
4 3 2
2 2
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
+ −
= + −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
55. 
( )
( )( )
a a a
a a a
a a a
7 6 3
3 4 3
3 2 2
6 55
6 55
11 5
+ −
= + −
= + −
 56. 
( )
( )
16 56 49
16 56 49
4 7
5 3 3 5
4 2 2 4
2 2 2
a b a b ab
ab a a b b
ab a b
− +
= − +
= −
57. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
7 32 15
7 32 15
7 32 7 105
105 5
21 3 5 7 35
7 7 31 3
1 35 3 32
7 35 7 3
7
5 7 3
6 2 4 4 2
2 4 2 2 4
2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x a x a x
x x a x a
x x a x a
x x a x a
x x a x a
+ −
= + −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
58. 
( )( )
( ) ( )
( )( )
x x y
x xy x xy
x x y x x y
x x y x y
m n
m n m n
m n m n
m n m n
2 2 2 2
1 1
2
+
+ +
−
= + −
= + −
= + −
59. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
2 5 54 135
2 54 5 135
2 27 5 27
27 2 5
3 3 9 2 5
4 3
4 3
3 3
3
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
+ − −
=,− + −
= − + −
= − +
= − + + +
60. 
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )
ax ax y axy ax axy ay
a x x y xy x xy y
a x x y xy x xy y
a x x xy y x xy y
a x x xy y
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
+ + − − −
= + + − − −
= + + − + +
= + + − + +
= − + +
61.( )
( )[ ] ( )[ ]
( )( )( )
x y
x y x y
x xy y x y x y
+ −
= + + + −
= + + + + + + −
4
2 2
2 2
1
1 1
2 1 1 1
62. 
( )
( )
( )[ ]
( )[ ]
( )( )
3 3 3
3 1
3 1
3 2 1
3 1
3 1 1
5 3
4 2
4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
a a a
a a a
a a a a a
a a a a
a a a
a a a a a
+ +
= + +
= + + + −
= + + −
= + −
= + + − +
EJERCICIO 108
1. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
8
4 4
4 2 2
4 2
−
= + −
= + + −
= + + + −
a
a a
a a a
a a a a
2. 
( )( )
( ) ( )( )( )
a
a a
a a a a a a
6
3 3
2 2
1
1 1
1 1 1 1
−
= + −
= + − + − + +
3. 
( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
4 2
2
2
2 2
41 400
400 4
100 5 4 16
20 5 5 25
4 4 25 16 41
1 25 16
5 5 4 4
− +
=
=
⇒ + =
= − −
= + − + −
4. 
( )
( )( )[ ] ( ) ( )
a a b b
a b
a b a b a b a b
4 2 2 4
2 2 2
2 2 2
2− +
= −
= + − = + −
5. 
( )
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x
5 3
4 2
2 2
2
2
2
2 1
2 1 1
+ −
= + −
= + −
= + + −
6. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
2 6 2 6
2 6 2 6
2 3 2 3
2 2 3
2 1 3
2 1 1 3
4 3
4 3
3
3
3
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
7. 
( )
( )( )
( )( )( )
3 243
3 81
3 9 9
3 9 3 3
4
4
2 2
2
x
x
x x
x x x
−
= −
= + −
= + + −
8. 
( )
( )( )[ ]
( )( )( )( )
16 8
4
2 2
2 2 2 2
4 2 2 4
2 2 2
2
x x y y
x y
x y x y
x y x y x y x y
− +
= −
= + −
= + − + −
9. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
9 9
9 9
9
9
9 1
3 1 3 1
4 3 2
4 3 2
3
3
2
x x y x xy
x x y x xy
x x y x x y
x x x y
x x x y
x x x x y
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
10. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )( )
12 33 9
3 4 11 3
3 4 11 4 12
3 4 12 4 1
4
3 3 4 1
3 3 2 1 2 1
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax ax a
a x x
a x x
a x x
a x x
a x x x
+ −
= + −
= + −
=
+ −
= + −
= + + −
11. 
( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )( )
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
8 8
4 4 4 4
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2
−
= + −
= + + −
= + + + −
12. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x x x x x
6 3
3 3
2 3
2 2
7 8
8 1
2 2 4 1
2 2 4 1 1
− −
= − +
= − + + +
= − + + + − +
13. 
( )( )
( )( )( )( )
64
8 8
2 4 2 2 4 2
6
3 3
2 2
−
= + −
= + − + − + +
x
x x
x x x x x x
14. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a a b a b b
a a b a b b
a a b b a b
a b a b
a b a b a b a ab b
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 2 2 3 2 2
2 2 3 3
2 2
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= + − − + +
15. 
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( ) ( )( )( )
8 6 2
2 4 3 1
2 4 3 4 4
2 4 4 4 1
4
2 1 4 1 2 1 2 1 2 1
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x
x x
x x x x x
+ −
= + −
= + −
=
+ −
= + − = + + −
16 
( )( )
( )( )( )( )
a a
a a
a a a a
4 2
2
2
2 2
25 144
144 4
36 4 4 16
9 3 3 9
3 3 16 9 25
1
16 9
4 4 3 3
− +
=
=
⇒ + =
= − −
= + − + −
17. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a x a y ax ay
a x a y ax ay
a x y a x y
a a x y
a a x y x xy y
2 3 2 3 3 3
2 3 2 3 3 3
2 3 3 3 3
2 3 3
2 2
2 2
2 2
2
2
2
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − + +
18. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a a
4 3 2
4 3 2
3
3
2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
1 1 2
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
19. 
( )
( )( )[ ]
( ) ( )
1 2
1
1 1
1 1
3 6
3 2
2
2
2 2 2
− +
= −
= − + +
= − + +
a a
a
a a a
a a a
20. 
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
m
m m m
m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m m m m
6
2 4 2
4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
729
9 9 81
3 3 9 81 9 9
3 3 18 81 9
3 3 9 9
3 3 3 9 3 9
−
= − + +
= + − + + + −
= + − + + −
= + − + −
= + − + + − +
21. 
( )
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
5
4
2 2
2
1
1 1
1 1 1
−
= −
= + −
= + + −
22. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
x x y x y y
x x y x y y
x x y y x y
x y x y
x y x xy y x y x y
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 2 2 3 2 2
3 3 2 2
2 2
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − + + −
23. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a b a b a b ab
a b a b a b ab
a b a b ab a b
a b ab a b
ab a b a b
ab a b a b a b
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 3
3 3
2 2
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − −
= + − −
24. 
( )
( )( )
( )( )( )
5 3 125
5 625
5 25 25
5 25 5 5
4
4
2 2
2
a
a
a a
a a a
−
= −
= + −
= + + −
.
25. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]{ }
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a
a a a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 3
2 2 2 3 4 4
2 2 2 1 4
2 1 4
2 1 2 2 1 2
2 1 2 3
1 2 3 4 4
1 2 1 4
1 1 4
1 1 2 1
+ − + −
= + − + − + −
= + − + + −
= + − −
= + − + + − −
= + + + −
= + + − + −
= + + + −
= + + −
= + + + + −( )
( ) ( )( )
2
1 3 1
2
= + + −a a a
26. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a x ax a a
a x ax a a
ax a a a
ax a a
a x a
a x x x a
2 3 3 2
2 3 3 2
3
3
3
2
2 8 16
2 8 16
2 8 2
8 2
8 2
2 2 4 2
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
27.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
6 6
3 3 3 3
2 2 3 3
2 2 2 2
−
= − +
= − + + +
= − + + + − +
a b
a b a b
ab ab a b a b
ab ab a b ab ab a b
 28. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
5 10 5 10
5 10 5 10
5 2 5 2
5 5 2
5 1 2
5 1 1 2
3 2
3 2
2
2
2
ax ax ax a
ax ax ax a
ax x a x
ax a x
a x x
a x x x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
 29. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a x b y b x a y
a x b x b y a y
x a b y b a
x a b y a b
a b x y
a b a b x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
+ − −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
= + − + −
 30. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
8 4
4 4
4 2 2
4 2
2
2 1
2 1 1
2 1 1 1
+ −
= + −
= + + −
= + + + −
 31. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a a
4 3 2
4 3 2
3
3
2
9 9
9 9
1 9 1
9 1
9 1
3 3 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
 32. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a x a x a x x
a x a x a x x
a x x x x
a x x
a a x x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
6 6
6 6
6 6
1 6
1 1 3 2
+ − − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
= + − + −
 33. 
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
16 25 9
16 25 16 144
144 4
36 4 4 16
9 3 3 9
3 3 16 9 25
1
16 16 16 9
16
1 16 9
1 1 4 3 4 3
4 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
m m
m m
m m
m m
m m m m
− +
= − +
=
=
⇒ + =
=
− −
= − −
= + − + −
 34. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
3 12 3 12
3 3 12 12
3 1 12 1
3 12 1
3 4 1
3 2 2 1
2 2
2 2
2
2
2
abx ab bx b
abx bx ab b
bx a b a
bx b a
b x a
b x x a
− + −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
35. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
3 9 30 3 9 30
3 9 30 3 9 30
3 3 10 3 3 10
3 3 3 10
3 1 5 2
2 2
2 2
2 2
2
a m am m a a
a m am m a a
m a a a a
m a a
m a a
+ − + + −
= + − + + −
= + − + + −
= + + −
= + + −
36. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a x a x a x x
a x a x a x x
a x x x x
a x x
a a a x x
3 2 3 3 2
3 2 3 3 2
3 2 2
3 2
2
5 6 5 6
5 6 5 6
5 6 5 6
1 5 6
1 1 3 2
− + + − +
= − + + − +
= − + + − +
= + − +
= + − + − −
37. ( ) ( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )( )
( )( )( )
x x y x x y
x y x x
x y x y x x
x y x y x
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 1
2 1
2 1
1
− − − −
= − − −
= + − − +
= + − −
 38. ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
a x ax x
a x x x ax x
x a x x ax
x ax ax a ax
x ax ax a
a x x x
a x x a x
3
2
2
2
2
2
2 3
1 3 1
1 1 3 1
1 1 3
1 3
1 2
1 2 1
1 1 1
+ + +
= + − + +,+
= + − + +
= + − + +
= + + +
= + + +
= + + = +
EJERCICIO 109
1. 
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x xy
x x y
x x y x y
x x y x y x y
x x y x y x y x y
9 8
8 8
4 4 4 4
2 2 2 2 4 4
2 2 4 4
−
= −
= − +
= + − +
= + + − +
2. 
( )
( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x x
5 3
4 2
2 2
40 144
40 144
36 4
6 6 2 2
− +
= − +
= − −
= − + + −
3. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
a a b a ab
a a b a ab
a a b a a b
a a a b
a a a b a ab b
a a a a b a ab b
6 3 3 4 3
6 3 3 4 3
3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
2 2
1
1 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − + − +
= + − + − +
4. 
( )
( )( )
( ) ( )
4 8 4
4 2 1
4 1 1
4 1 1
4 2
4 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− +
= − +
= − −
= + −
5. 
( )
( )( )
( )( )( )( )
a ab
a a b
a a b a b
a a b a ab b a b a ab b
7 6
6 6
3 3 3 3
2 2 2 2
−
= −
= + −
= + − + − + +
 6. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
2 2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
2 2 2 2
2 2
2 2 1
4 3 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
a a a a b ab b
a a a a b ab b
a a a b a a
a a a b
a a a b a b
− − − + +
= − − − − −
= − − − − −
= − − −
= − + + −
7. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
6 5 2
6 5 2
5
5
4
2 2
2
5 81 405
5 81 405
5 81 5
81 5
81 5
9 9 5
3 3 9 5
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + +
= + − + +
 8. 
( )
( )( )
( )( )( )( )
3 3
3 1
3 1 1
3 1 1 1 1
6
6
3 3
2 2
−
= −
= − +
= − + + + − +
a
a
a a
a a a a a a
9. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
4 2 2
4 2
4
4
4 1
2 1 2 1
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax a ax x a a x ax
ax a x a a ax x
ax a x a a x
ax a a x
a x a x
a x x a x
− + − + −
= − − − +
= − − −
= − −
= − −
= + − −
 10. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x x
7 4 3
7 4 3
4 3 3
4 3
2 2 2
2 2
81 81
81 81
1 81 1
81 1
9 9 1 1
9 3 3 1 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= + − + − +
= + + − + − +
 11. 
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
17
16
8 8
8 4 4
8 4 2 2
8 4 2
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
−
= −
= + −
= + + −
= + + + −
= + + + + −
 12. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
3 75 48 1 200
3 75 48 1 200
3 25 48 25
3 48 25
3 16 5 5
3 4 4 5 5
3 4 2 2 5 5
6 4 2
6 4 2
4 2 2
4 2
4
2 2
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
= + − + −
= + + − + −
.
.
13. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
a x x a x x
a x x a x x
x a x a
x x a
x x a a
x x a a a a a a
6 2 2 6
6 2 2 6
2 6 6
2 6
3 3
2 2
1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − +
= + − + + + − +
14. ( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
a ax x x
a a x x x
a a x x x x x
2 4 2
2 2
82 81
81 1
9 9 1 1
− − +
= − − −
= − + − + −
EJERCICIO 110
1. 
( )( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x
3 2
2
2
1
1 1 1 1 1
1 2 1
1 2 1 0
2 1 1
1 1
+ − −
− − +
= + + −
= + −
2. 
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x
x x x
3 2
2
4 6
1 4 1 6 1
1 5 6
1 5 6 0
5 6 1
3 2 1
− + +
− −
− −
−
= − + +
= − − +
3. 
( )( )
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
3 2
2
3 4 12
1 3 4 12 2
2 2 12
1 1 6 0
6 2
3 2 2
− − +
− − +
− −
− −
= − − −
= − + −
4. 
( )( )
( )( )( )
( )( )
m m
m m m
m m m
m m
3
2
2
12 16
1 0 12 16 2
2 4 16
1 2 8 0
2 8 2
4 2 2
4 2
− +
− +
−
−
= + − −
= + − −
= + −
5. 
( )( )
( )( )( )
2 18 9
2 1 18 9 3
6 15 9
2 5 3 0
2 5 3 3
2 5 3 3
6 3
2 1 0
2 1 3 3
3 2
2
x x x
x x x
x x x
− − +
− − +
−
−
= + − −
− −
−
−
= − − +
6. 
( )( )
a a a
a a a
3 2
2
13 28
1 1 13 28 4
4 20 28
1 5 7 0
5 7 4
+ − −
− − +
= + + −
7. 
( )( )
x x x
x x
3 2
2
2 2
1 2 1 2 2
2 0 2
1 0 1 0
1 2
+ + +
−
− −
= + +
8. 
( )( )
( )( )( )
n n
n n n
n n n
3
2
7 6
1 0 7 6 1
1 1 6
1 1 6 0
6 1
3 2 1
− +
− +
−
−
= + − −
= + − −
9. 
( )( )
( ) ( )
x x
x x x
x x
3 2
2
2
6 32
1 6 0 32 2
2 16 32
1 8 16 0
8 16 2
4 2
− +
− −
− −
−
= − + +
= − +
10. 
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( )( )( )
( )( )( )
6 23 9 18
6 23 9 18 3
18 15 18
6 5 6 0
6 5 6 3
6 5 6 36 3
6 9 6 4 3
3 2
2 3 3 2 3
3 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + −
− −
− −
−
= + − +
= + − +
=
+ − +
⋅
= + − +
11. 
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
x x x x
x x x
x x x x
x x x
4 3 2
3 2
2
2
4 3 4 4
1 4 3 4 4 1
1 3 0 4
1 3 0 4 0
3 4 1
1 3 0 4 1
1 4 4
1 4 4 0
4 4 1 1
2 1 1
− + + −
− − +
−
−
= − + −
− −
− −
−
= − + − +
= − − +
12. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
4 3 2
3
2
2 13 14 24
1 2 13 14 24 2
2 0 26 24
1 0 13 12 0
13 12 2
1 0 13 12 1
1 1 12
1 1 12 0
12 2 1
4 3 2 1
− − + +
− − +
− −
− −
= − − −
− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
13. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
4 2
3 2
2
15 10 24
1 0 15 10 24 1
1 1 14 24
1 1 14 24 0
14 24 1
1 1 14 24 2
2 2 24
1 1 12 0
12 1 2
4 3 1 2
− − +
− − +
− −
− −
= + − − −
− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
14. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
n n n
n n n n
n n n n
n n n n
4 2
3 2
2
27 14 120
1 0 27 14 120 2
2 4 46 120
1 2 23 60 0
2 23 60 2
1 2 23 60 3
3 3 60
1 1 20 0
20 2 3
5 4 2 3
− − +
− − +
− −
− −
= + − − −
− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
15. 
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x
4 3
3 2
2
6 3 140
1 6 0 3 140 4
4 8 32 140
1 2 8 35 0
2 8 35 4
1 2 8 35 5
5 15 35
1 3 7 0
3 7 4 5
+ + +
−
− − −
−
= + − + +
− −
− −
−
= − + + +
16. 
( )( )
( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( )( )( )( )
8 18 75 46 120
8 18 75 46 120 2
16 68 14 120
8 34 7 60 0
8 34 7 60 2
8 34 7 60 4
32 8 60
8 2 15 0
8 2 15 2 4
8 2 8 120 2 4
120 4
30 3 4 3 12
10 2 5 2 10
5 5 12 10 2
1
8 12 8 10 2 4
4 2
2
4 3 2
3 2
2
2
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a
− − + +
− − −
− −
− −
= − − + +
− − +
− −
− −
= − − + −
= − − + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− + + −
⋅
= −( )( )( )( )3 4 5 2 4a a a+ + −
17. 
( )( )
( )( )( )
x x
x x x x
x x x
4 2
3 2
2
22 75
1 0 22 0 75 5
5 25 15 75
1 5 3 15 0
5 3 15 5
1 5 3 15 5
5 0 15
1 0 3 0
3 5 5
− −
− − +
= + + + −
−
− −
= + − +
18. 
( )( )
( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
15 94 5 164 60
15 94 5 164 60 1
15 109 104 60
15 109 104 60 0
15 109 104 60 1
15 109 104 60 6
90 114 60
15 19 10 0
15 19 10 1 6
15 19 15 150 1 6
15 25 15 6 1 6
5 3
3 5 5 2 1 6
4 3 2
3 2
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − − +
− − +
−
−
= + + − −
− −
− −
−
= + − − +
= + − − +
=
+ − − +
⋅
= + − − +
19. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
5 3 2
4 3 2
3 2
2
21 16 108 144
1 0 21 16 108 144 2
2 4 34 36 144
1 2 17 18 72 0
2 17 18 72 2
1 2 17 18 72 3
3 3 42 72
1 1 14 24 0
14 24 2 3
1 1 14 24 2
2 2 24
1 1 12 0
12 2 3 2
4 3 2 3 2
4
− + + −
− − +
− −
− −
= + − − + −
− − −
− −
− −
= − − + − +
− − +
−
−
= + − − + −
= + − − + −
= + ( ) ( )( )x x x− + −3 3 2 2
20. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
5 3 2
4 3 2
3 2
2
23 6 112 96
1 0 23 6 112 96 1
1 1 22 16 96
1 1 22 16 96 0
22 16 96 1
1 1 22 16 96 2
2 6 32 96
1 3 16 48 0
3 16 48 1 2
1 3 16 48 3
3 0 48
1 0 16 0
16 1 2 3
4 4 1 2 3
− − + +
− − −
− − −
− −
= − − + + +
− − −
− −
− −
= − − + + +
− − +
−
−
= − + + −
= + − + + −
21. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( ) ( )
4 3 108 25 522 360
4 3 108 25 522 360 2
8 10 196 342 360
4 5 98 171 180 0
4 5 98 171 180 2
4 5 98 171 180 3
12 21 231 180
4 7 77 60 0
4 7 77 60 2 3
4 7 77 60 4
16 92 60
4 23 15 0
4 23 15 2 3 4
4 23 4
5 4 3 2
4 3 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
+ − − + +
− − −
− − −
− −
= − − + + +
− − +
− −,− −
= + − − + −
− − +
= + + + − −
= + +[ ] ( )( )( )
( )( )( )( )( )[ ]
( )( )( )( )( )
60 2 3 4
4 20 4 3 2 3 4 4
5 4 3 2 3 4
x x x
x x x x x
x x x x x
+ − −
= + + + − − ÷
= + + + − −
 22. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
5 3 2
4 3 2
3 2
2
30 25 36 180
1 0 30 25 36 180 2
2 4 52 54 180
1 2 26 27 90 0
2 26 27 90 2
1 2 26 27 90 5
5 35 45 90
1 7 9 18 0
7 9 18 2 5
1 7 9 18 6
6 6 18
1 1 3 0
3 2 5 6
− − − −
− − − − −
− −
− − −
= − − + − +
− − − −
− −
− −
= − + − + +
− − +
−
−
= − + + + −
24. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
5 3 2
4 3 2
3 2
2
25 25
1 0 25 1 0 25 1
1 1 24 25 25
1 1 24 25 25 0
24 25 25 1
1 1 24 25 25 5
5 20 20 25
1 4 4 5 0
4 4 5 1 5
1 4 4 5 5
5 5 5
1 1 1 0
1 1 5 5
− + −
− − −
− −
− − −
= − − + − +
− − − +
−
−
= + − + + −
− −
− −
−
= − + + − +
 25. 
( )( )
2 8 3 12
2 8 0 0 3 12 4
8 0 0 0 12
2 0 0 0 3 0
2 3 4
5 4
4
a a a
a a
− + −
− − +
= + −
26. 
( )( )
( )( )( )
x x x x x
x x x x
x x x
5 4 3 2
4 3
3
2 15 3 6 45
1 2 15 3 6 45 3
3 15 0 9 45
1 5 0 3 15 0
5 3 15 3
1 5 0 3 15 5
5 0 0 15
1 0 0 3 0
3 3 5
+ − − − +
− − − +
− −
− −
= + − − −
− − −
−
−
= − − +
23. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
6 13 81 112 180 144
6 13 81 112 180 144 2
12 2 166 108 144
6 1 83 54 72 0
6 83 54 72 2
6 1 83 54 72 3
18 57 78 72
6 19 26 24 0
6 19 26 24 2 3
6 19 26 24 4
24 20 24
6 5 6 0
6 5 6 2 3 4
6 5
5 4 3 2
4 3 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
− − + + −
− − − +
− − −
− − −
= − − − + −
− − − −
− −
− −
= − − + − +
− − +
−
−
= + − − + −
= + ( )[ ] ( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
6 36 2 3 4
6 9 6 4 2 3 4
3 2
2 3 3 2 2 3 4
x x x x
x x x x x
x x x x x
− − + −
=
+ − − + −
⋅
= + − − + −
27.
( )( )
( )( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
6 4 42 113 108 36
1 6 4 42 113 108 36 1
1 5 1 41 72 36
1 5 1 41 72 36 0
5 41 72 36 1
1 5 1 41 72 36 1
1 4 5 36 36
1 4 5 36 36 0
4 5 36 36 1 1
1 4 5 36 36 2
2 4 18 36
1 2 9 18 0
+ + − − − −
− − − − −
− −
− − − −
= + − − − − +
− − − − −
− −
− − −
= + − − − + +
− − − −
− −
− −
= ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
x x x x x
x x x
x x x x
3 2 2
2 2 2
2 2
2 9 18 1 2
1 2 9 18 2
2 0 18
1 0 9 0
9 1 2
3 3 1 2
+ − − + +
− − −
−
−
= − + +
= + − + +
28. 
( )( )
( )( )( )
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a
6 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
3 2
32 18 247 162 360
1 0 32 18 247 162 360 1
1 1 31 49 198 360
1 1 31 49 198 360 0
31 49 198 360 1
1 1 31 49 198 360 2
2 2 58 18 360
1 1 29 9 180 0
29 9 180 1 2
1 1 29 9 180 3
3 12 51 180
1 4 17 60 0
4
− + + − −
− − − −
− − −
− − −
= − − + + − +
− − − +
− −
− −
= + − − + + −
− − +
− −
− −
= + −( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
17 60 1 2 3
1 4 17 60 3
3 3 60
1 1 20 0
20 1 2 3 3
5 4 1 2 3 3
2
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
− + − −
− − −
− −
−
= + − + − − +
= + − + − − +
30. 
( )( )
( )( )( )
2 10 34 146 224 424 480
2 10 34 146 224 424 480 1
2 12 22 168 56 480
2 12 22 168 56 480 0
2 12 22 168 56 480 1
2 12 22 168 56 480 2
4 32 20 296 480
2 16 10 148 240 0
2 16 10 148 240 1 2
2 16 10 148 240 2
4 24 28 240
2
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− − + + − −
− − − − −
− − −
− − −
= − − + + − +
− − − −
− − −
− −
= − + + − + +
− − +
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
12 14 120 0
2 12 14 120 1 2 2
2 12 14 120 4
8 16 120
2 4 30 0
2 4 30 1 2 2 4
2 4 2 60 1 2 2 4
2 10 2 6 1 2 2 4
2
5 2 6 1 2 2 4
2 5 3 1 2 2 4
3 2
2
2
−
= − − + + + −
− − +
− −
− −
= − − + + − −
= − − + + − −
=
− + + + − −
= − + + + − −
= − + + + − −
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
29. 
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
6 4 2
5 4 3 2
4 2
2 2
41 184 144
1 0 41 0 184 0 144 1
1 1 40 40 144 144
1 1 40 40 144 144 0
40 40 144 144 1
1 1 40 40 144 144 1
1 0 40 0 144
1 0 40 0 144 0
40 144 1 1
36 4 1 1
6 6 2 2 1 1
− + −
− − +
− −
− −
= + − − + + −
− − −
− −
−
= − + − +
= − − − +
= + − + − − +
31. 
( )( )
( )( )( )
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
8 6 103 344 396 144
1 8 6 103 344 396 144 2
2 12 12 182 324 144
1 6 6 91 162 72 0
6 6 91 162 72 2
1 6 6 91 162 72 2
2 8 28 126 72
1 4 14 63 36 0
4 14 63 36 2 2
1 4 14 63 36 3
3 3 51 36
1 1 17 12
− + + − + −
− − − +
− − −
− − −
= − − + − + −
− − − +
− − −
− − −
= − − + − − −
− − − +
− −
− −
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
17 12 2 3
1 1 17 12 4
4 20 12
1 5 3 0
5 3 2 3 4
3 2 2
2 2
= − − + − −
− − −
− −
−
= − + − − +
a a a a a
a a a a a
32. 
( )( )
( )( )( )
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 3 2
20 2 64 40 128
1 0 20 2 64 40 0 128 2
2 4 32 68 8 64 128
1 2 16 34 4 32 64 0
2 16 34 4 32 64 2
1 2 16 34 4 32 64 2
2 0 32 4 0 64
1 0 16 2 0 32 0
16 2 32 2 2
1 0 16 2 0 32 4
4 16 0 8 32
1 4 0
− − + + −
− − − +
− − −
− − −
= + − − − + + −
− − − + −
− −
− −
= − − + − +
− − +
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
2 8 0
4 2 8 2 2 4
1 4 0 2 8 4
4 0 0 8
1 0 0 2 0
2 2 2 4 4
4 3
3
−
= + − − − + −
− − −
−
−
= − − + − +
x x x x x x
x x x x x
EJERCICIO 111
1. a x ax mcd ax2 2,
2. ab c a bc mcd abc2 2,
3. 2 2 2 3 2x y x y mcd x y,
4. 6 15
6 3 15 3
2 2 5 5
1 1
3 2 6 3 5 15
3 3
2 3 3 4
2 3
a b a b
mcd a b
,
⋅ = ⋅ =
⇒
5. 8 20
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
2 8 2 5 20
2 4
4
3 2 2
3 2
2
2
am n x m
mcd
m
,
= ⋅ =
=
⇒
6. 18 27
18 3 27 3
6 3 9 3
2 2 3 3
1 1
3 2 18 3 27
3 9
9
2 2 3 4
2 3
2
2
mn a m n
mcd
mn
,
⋅ = =
=
⇒
7. 15 24 36
15 5 24 3 36 3
3 3 8 4 12 4
1 2 2 3 3
1 1
5 3 15 3 4 2 24 3 4 36
3 3
2 3 2 4 2
2
2
a b c ab x b x
mcd b
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
⇒
8. 12 18 24
12 3 18 3 24 3
4 2 6 3 8 4
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 2 12 3 2 18 3 4 2 24
3 2 6
2 3 2 3 2
2 2
x yz xy z x yz
mcd xyz
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
9. 28 35 42
28 7 35 7 42 7
4 4 5 5 6 6
1 1 1
7 4 28 7 5 35 7 6 42
7 7
2 3 4 3 4 5 4 5 6
2 3 4
a b c a b c a b c
mcd a b c
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
10. 72 96 120
72 8 96 8 120 8
9 3 12 3 15 3
3 3 4 4 5 5
1 1 1
8 3 72 8 3 4 96 8 3 5 120
8 3 24
3 4 4 2 2 3 4 5 7
2
2 2 3
x y z x y z x y z
mcd x y z
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
11. 42 56 70
42 14 56 14 70 14
3 3 4 4 5 5
1 1 1
14 3 42 14 4 56 14 5 70
14 14
2 3 2 4 2
2
am n m n x m n y
mcd m n
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
12. 75 150 225
75 15 150 15 225 15
5 5 10 5 15 5
1 2 2 3 3
1 1
15 5 75 15 5 2 150 15 5 3 225
15 5 75
4 3 2 5 7 2 3 6 2
3 3
a b c a b x a b y
mcd a b
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
13. 4 8 2 10
4 2 8 2 2 2 10 2
2 2 4 4 1 5 5
1 1 1
2 4 2 4 8 2 2 2 5 10
2 2
2 3 2 2 3 2
2
a b a b a bc ab c
mcd ab
, , ,
= ⋅ = = ⋅ =
⇒
14. 38 76 95
38 19 76 19 95 19
2 2 4 4 5 5
1 1 1
19 2 38 19 4 76 19 5 95
19 19
2 6 4 4 7 5 6
4 4
a x y mx y x y
mcd x y
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
EJERCICIO 112
1. ( )
( )
2 2 2
4 4 2
2
2
2 2
a ab a a b
a ab a a b
mcd a
+ = +
− = −
2. ( )
( )
6 6 2 3 1
9 18 3 2
3
3 2 2
3 2 2 2 2 2 2
2
x y x y x y x
x y x y x y x
mcd x y
− = ⋅ −
+ = +
3. 
( )
12 4 3
4 8 4 2
4
2 3 2 3
3 2 2 3 2 2
2 2
a b a b
a b a b a b a b
mcd a b
= ⋅
− = −
4. ( )
( )
ab b b a
a a a a
mcd a
+ = +
+ = +
+
1
1
1
2
5. ( )
( )
( )
x x x x
x x x x
mcd x x
2
3 2 2
1
1
1
− = −
− = −
−
6. ( )
( )
30 15 5 3 2
10 20 5 2 2
5
2 3 2
2 2 2 2
ax x x a x
axy x y xy a x
mcd x
− = ⋅ −
− = ⋅ −
7. 
( )
18 6 3
6 18 6 3
6
2 3 4 2 3 4
2 2 4 2 4 2 4
2 4
a x y a x y
a x y a xy a xy x
mcd a xy
= ⋅
− = −
8. ( )
( )
( )
5 15 5 3
3 3
3
2
3 2 2
a a a a
a a a a
mcd a a
− = −
− = −
−
9. ( )
( )
( )
3 15 3 5
5 5
5
3 2 2
2
x x x x
ax ax ax x
mcd x x
+ = +
+ = +
+
10. ( )(,)
( )
( )
a b a b a b
a ab b a b
mcd a b
2 2
2 2 22
− = + −
− + = −
−
11. ( )( )
( )
m n m n m mn n
am an a m n
mcd m n
3 3 2 2
3 3 3
+ = + − +
+ = +
+
12. ( )( )
( )( )
x x x
x x x x
mcd x
2
3 2
4 2 2
8 2 2 4
2
− = + −
− = − + +
−
13. 13. 13. 13. 13. ( )
( ) ( )( )
( )
2 4 2 2
6 6 3 2
2
2
3 2 2
ax ax ax x
x x x x x x x x x
mcd x x
+ = +
− − = − − = − +
+
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )
( )
9 1 3 1 3 1
9 6 1 3 1
3 1
2
2 2
x x x
x x x
mcd x
− = + −
− + = −
−
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 4 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2 2
a ab b a b
a ab ab b a ab ab b
a a b b a b
a b a b
mcd a b
+ + = +
− + − = − + −
= − + −
= + −
+
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
3 3 60 3 20
3 5 4
6 18 24 6 3 4
3 2 4 1
3 4
2 2
2 2
x x x x
x x
x x x x
x x
mcd x
+ − = + −
= + −
− − = − −
= ⋅ − +
−
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )
( )
( )( )
8 2 4 2
4 4
2 2
2
3 3 2 2
2 2 2 2
x y x y x xy y
ax ay a x y
a x y x y
mcd x y
+ = + − +
− = −
= + −
+
18. 18. 18. 18. 18. ( )
( )
( )
( )( )
( )
2 12 18 2 6 9
2 3
9 9
3 3
3
3 2 2 2 2
2
3 2 2 2
a a b ab a a ab b
a a b
a x ab x ax a b
ax a b a b
mcd a a b
− + = − +
= −
− = −
= + −
−
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
ac ad bc bd ac ad bc bd
a c d b c d
a b c d
c cd d c cd d
c d
mcd c d
+ − − = + − +
= + − +
= − +
+ + = + +
= +
+
2 2 2 2
2
2
2 4 2 2 2
2
2 2 2 2
2
20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
3 6 45 3 2 15
3 5 3
6 24 30 6 4 5
3 2 5 1
3 5
2 2 2 2 2 2
2
2 2
a m a m a a m m
a m m
am x amx ax ax m m
ax m m
mcd a m
+ − = + −
= + −
+ − = − −
= ⋅ + −
+
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )
( ) ( )( )
4 2 2
2 2 2
2
4 2 2 2
2 2 2 2
2
x y x y x y
x y x y x y
mcd x y
− = + −
+ = + +
+
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )
3 3 3 1 3 1 1
3 1 1 1
9 9 9 1 3 1 1
3 1 1
5 4 2 2
2
3 2 2
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
mcd x x x
− = − = + −
= + + −
− = − = + −
+ −
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( )
( )
a ab a a b
ab b b a b
a a b a a b
mcd a b
2
2
3 2 2
+ = +
+ = +
+ = +
+
 24. 24. 24. 24. 24. ( )
( )
( )
( )
2 2 2 1
3 3 3 1
4 4 4 1
1
3 2 2
2
3 2 2
x x x x
x x x x
x x x x
mcd x x
− = −
− = −
− = −
−
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
mcd x x
4 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
2
9 9 3 3
5 6 5 6 3 2
6 9 6 9 3
3
− = − = + −
− + = − + = − −
− + = − + = −
−
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
a b a b ab ab a ab b ab a b
a b a b a b a b a b a b a b
mcd ab a b
3 2 2 3 2 2 2
4 2 3 2 2 2 2
2 2+ + = + + = +
− = − = + −
+
27. 27. 27. 27. 27. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 4 2 2 2 2 1
2 8 6 2 4 3 2 3 1
2 2 2 1 2 1 1
2 1
2 2
2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
mcd x
+ − = + − = + −
− + = − + = − −
− = − = + −
−
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
ax ax ax ax x x ax x x
ax ax a a x x a x x
a x a x a x a x x x a x x x
mcd a x
3 2 2
2 2
2 3 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 4 2
6 6 3 2
3 10 3 10 5 2
2
− − = − − = − +
− − = − − = − +
− − = − − = − +
+
29. 29. 29. 29. 29. ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 16 32 2 8 16
2 4 4 2 2 2
2 8 2 4 2 2 2
2 16 2 8 2 2 2 4
2 2
4 2 4 2
2 2 2 2
3 2
2 3 2 2 3 2 2
an an a a n n
a n n a n n
an an an n an n n
a n a a n a n n n
mcd a n
− + = − +
= − − = + −
− = − = + −
+ = + = + − +
+
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
4 8 12 4 2 3 2 3 1
2 6 4 2 3 2 2 2 1
6 18 24 6 3 4 32 4 1
2 1
2 2 2
2 2
2 2
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
mcd a
+ − = + − = + −
− + = − + = − −
+ − = + − = ⋅ + −
−
31. 31. 31. 31. 31. ( )( )
( )( )
( )
4 2 2
8 2 4 2
4 4 2
2
2 2
3 3 2 2
2 2 2
a b a b a b
a b a b a ab b
a ab b a b
mcd a b
− = + −
+ = + − +
+ + = +
+
32. 32. 32. 32. 32. 
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
mcd x
2
2
3 2 2
2 8 4 2
12 4 3
9 20 9 20 5 4
4
− − = − +
− − = − +
− + = − + = − −
−
33. 33. 33. 33. 33. ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
mcd a a
2
3 2 2
6 5 4 3 2
1
6 7 6 7 7 1
1 1 1
1
+ = +
− − = − − = − +
+ = + = + − + − +
+
34. 34. 34. 34. 34. ( )( )
( )
( )
x x x x
x x x x
x x x x x x
mcd x x
3 2
2 2
4 3 2 2 2
2
27 3 3 9
2 6 18 2 3 9
3 9 3 9
3 9
+ = + − +
− + = − +
− + = − +
− +
35. 35. 35. 35. 35. ( )( )
( )( )
( )
x ax a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a
mcd x a
2 2
2 2
2 2 2
6 3 2
2 3 3
6 9 3
3
+ − = + −
+ − = + −
+ + = +
+
36. 36. 36. 36. 36. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
54 250 2 27 125 2 3 5 9 15 25
18 50 2 9 25 2 3 5 3 5
18 60 50 2 9 30 25 2 3 5
2 3 5
3 3 2
2 2
2 2 2
x x x x x
ax a a x a x x
x x x x x
mcd x
+ = + = + − +
− = − = + −
+ + = + + = +
+
37. 37. 37. 37. 37. ( ) ( )( )[ ]
( )( )
( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x x x
mcd x
2 2
2
2
4 2 2 2
1 1 1
4 5 5 1
1 1 1 1 1 1
1
− = + −
− − = − +
− = + − = + + −
+
38. 38. 38. 38. 38. ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
4 28 4 7
8 7 8 7 7 1
15 56 15 56 8 7
7
2
2 3 2 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2
ax ax ax x
a x a x a x a x x x a x x x
ax ax ax ax x x ax x x
mcd ax x
− = −
− + = − + = − −
− + = − + = − −
−
39. 39. 39. 39. 39. ( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
3 6 3 2
4 4 2 2
2 2
2 2 1
2
2
3 2
2
2
a a a a
a a a a a a a
a b ab ab a
a a a a
mcd a
− = −
− = − = + −
− = −
− − = − +
−
40. 40. 40. 40. 40. ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 3 1
27 1 3 1 9 3 1
9 6 1 3 1
3 6 2 3 6 2
3 1 2 3 1
2 3 1
3 1
2
3 2
2 2
x x x x
x x x x
x x x
ax a x ax a x
a x x
a x
mcd x
− = −
− = − + +
− + = −
− + − = − + −
= − + −
= + −
−
41. 41. 41. 41. 41. ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a x a x ax x a x a x ax x
a x a x a
a x x a x a a
a a a a a a
a a a
a a
4 2 2 2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2
2 2
5 3 2 5 3 2
3 2 2
3
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
− = + − = + + −
+ + + = + + +
= + + + = + +
+ + + = + + +
= + + +
= + + = + +
+ + + = + + +
= + + +
= + ( ) ( )( )( )
( )( )
2 2 2
2
1 1 1 1
1 1
+ = + − + +
+ +
a a a a
mcd a a
42. 42. 42. 42. 42. ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2 4 2 2 2
2
2 2 2 2
2
3 2 2 3 2 2
2 2
3 3 2 2
3 2 2 2
m mn n m mn n
m n
m m n mn n m m n n m n
m n m n
m n m n m mn n
m mn m m n
m m n m n
mcd m n
+ + = + +
= +
+ + + = + + +
= + +
+ = + − +
− = −
= + −
+
43. 43. 43. 43. 43. ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
a a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a a
mcd a
3 2 3
2
2
2 2
2 2
3 2
2
3 3 1 1 3 1
1 1 3 1
1 1 3
1 2 1 1 1
2 1 1
1 1 1
4 3 3 1
1
− + − = − − −
= − + + − −
= − + + −
= − − + = − −
− + = −
− = − = + −
− + = − −
−
44. 44. 44. 44. 44. ( )
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )
16 54 2 8 27
2 2 3 4 6 9
12 42 90 6 2 7 15
6 2 7 2 30
6 2 10 2 3 2
3 2 5 2 3
32 24 36 4 8 6 9
4 8 6 8 72
4 8 12 8 6 4
2 2 3 8
3 3
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
3 2 2
2
2
a x x x a
x a a a
a x ax x x a a
x a a
x a a
x a a
a x a x ax ax a a
ax a a
ax a a
ax a
+ = +
= + − +
− − = − −
= − −
= − + ÷
= ⋅ − +
+ − = + −
= + −
= + − ÷
= + ( )
( )( )
( )
( )
( )( )[ ]
( )
a
ax a a
a x a x x x a a
x a
x a a
mcd x a
−
= + −
− + = − +
= −
= + −
+
6
2 2 3 4 3
32 144 162 2 16 72 81
2 4 9
2 2 3 2 3
2 2 3
3
4 2 4 2
2 2
2
45. 45. 45. 45. 45. ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
xy y x y xy y
y x xy y y x y
x y xy y y x xy y y x y x y
ax y ay ay x y ay x y x xy y
x y y y x y y x y x y
mcd y x y
+ = + +
= + + = +
− − = − − = − +
+ = + = + − +
− = − = + −
+
2 2 2 2 3 4
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
3 4 3 3 2 2
2 3 2 2
2
2
2 3 2 3 3
46. 46. 46. 46. 46. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ],( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
2 4 2 2 4 2
2 2 2
2 2
2 2
6 5 4 6 5 6 24
6 8 6 3 2 3
3 4 2
16 72 40 8 2 9 5
8 2 9 2 10
8 2 10 2 2
2 2
2 3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
a am a m a am a m
a a m a m
a a m
am m m a m
a am m a m a m
a m a m
a m a m
a am m a am m
a m a m
a m a m
− + − = − + −
= − + −
= + −
− = −
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ − = + −
= + −
= + − ÷
( )( )= + −
−
8 5 2
2
a m a m
mcd a m
47. 47. 47. 47. 47. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
12 6 24 12 12 6 24 12
6 2 12 2
6 12 2
3 2 2 2
3 24 3 8
3 2 2 4
9 9 18 9 2
3 2
12 24 12 2 4 3 2
3 2
3 3 3 3
2 2
2 2 2 2
2
2
ax ay bx by ax ay bx by
a x y b x y
a b x y
a b x y
a b a b
a b a ab b
a ab b a ab b
a b a b
a ab a a b a a b
mcd a b
− + − = − + −
= − + −
= + −
= ⋅ + −
+ = +
= + − +
+ − = + −
= + −
+ = + = ⋅ +
+
48. 48. 48. 48. 48. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )
5 5 5 5 5 5
5 5 5
15 15 15 15 15 15
15 15
15
5 3
20 20 20 20 20 20
20 20
20
2
3 2 2 2 2 2
2 2
2 2
3 2 2 2 2 2
2 2
2
a ax ay xy a a x y a x
a y a x a y a x
a ax a y x y a a y x a y
a x a y
a x a y
a x a x a y
a ay a x xy a a x y a x
a y a x
a
+ + + = + + +
= + + = + +
− + − = + − +
= − +
= − +
= ⋅ + − +
− + − = + − +
= − +
= −( )( )
( )( )( )
( )( )
y a x
a y a y a x
mcd a y a x
2
5 4
5
+
= ⋅ + − +
+ +
EJERCICIO 113
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
( )
12 8 1 2 5 3
12 30 18 6
38 19 2
2 5 3 2 1
2
6 3 3
2 1 2 1
2 1 1 2 1
2 2
2
2
2
x x x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x mcd x
+ + − −
− + +
+ ÷
− − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − +
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )
( )
( )
3 2 6 6 2 20 2
6 3 18 3 10
6 2 20 2
2
3 10 2
3 6 3
5 10 2
2 2
2 1 2
3 2 2
3 2 2
3 2
2
2
2
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a
a
a a
a mcd a
− − − − ÷
− − − −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷
− −
− + −
;
3. 3. 3. 3. 3. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 5 6 3 4
15 18 3 3 4
15 18 3
15 18 3 3 4
15 20 5 5
2 2 2
3 4
3 3 3
1
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
a a x ax a a x ax
a a x ax a a ax x
a a ax x
a ax x a ax x
a ax x
ax x x
a ax x a x
a ax a
ax x x
a x a x
a x mcd a a x
− + − +
= − + = − +
= − +
− + − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
;
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
2 4 4 6 2
2 2 3 2
2 1
1
2 1
2 2 2 2
1 1
1 1 1
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2 2
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x mcd x x
+ − + ÷
+ − + + − +
− − + −
− +
+ − + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + − − +
5. 5. 5. 5. 5. 
( ) ( )
( )
8 6 7 3 2 3 2
8 6 7 3 2 3 2
8 6 7 3 2 3 2 3
8 12 8 4
18 15 3 3
6 9 6 6 5
6 5
4 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3 2 2 3
2 2
a a x a x ax a a x ax
a a a x ax x a a ax x
a a x ax x a ax x x
a a x ax a
a x ax x
a x ax x a x ax x
a x ax
− + − + −
= − + − = + −
− + − + −
− − +
− + − ÷ −
+ − − +
− +
;
( )
−
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
x
ax x x
a x ax x a x
a x ax ax
ax x x
a x a x
a x mcd a a x
3
2 3 2
2 2 3
2 2
2 3 2
1
14 7 7
6 5 2
6 3 3
2
2 2
2 1 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( )
( )
( )
( )
12 3 26 5 10
12 3 26 5 10 3 3 4 5 15 5
12 12 16 20 60 4
15 42 25 70 1
15 15 20 25 75 15 42 25 70 19
15 42 25 70
57 45 95 75 5
285 798
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2
ax ax ax ax a a
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x
− + − + ÷
− + − + + − + −
− − + − +
− + − + −
+ − + − − + −
− + − +
− + −
−
( )
( )
+ − − + −
− + − +
− − ÷ −
− + − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − +
475 1 330 285 225 475 375
285 225 475 375 1
573 955 191
285 225 475 375 3 5
285 475 95
225 375 75
3 5 3 5
3 5 1 3 5
3 2
3 2
2
3 2 2
3
2
2 2
2 2
x x x x
x x x
x
x x x x
x x x
x
x x
x mcd x
.
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )
( )
6 4 3 5 2 3 2 9 6 7
6 4 18 12 2
21 17 2
21 14 63 42 21 17 2
21 17 2
3 61 42
21 17 2 3 61 42
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
2 2 3 4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2
x x y x y xy y x x y xy y
x x y x y xy x
x y xy y y
x x y xy y x xy y
x x y xy x
x y xy y y
x xy y x xy y
− − + − − + −
− + − +
− + − ÷ −
− + − − +
− + −
+ − ÷
− + + −
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
21 427 294 7
444 296 148
3 61 42 3 2
3 2
63 42 21
3 2 3 2
3 2 1 3 2
− + +
− + ÷ −
+ − −
− +
− ÷
− −
− + −
x xy y
xy y y
x xy y x y
x xy x
xy y y
x y x y
x y mcd x y
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )
( )
( )
ax ax ax ax a a
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x
4 3 2
4 3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
3 2 6 8
4 4
3 2 6 8 4 4
4 4
10 8 1
4 4 10 8
10 8 1
3 9 12 3
10 8 3 4
3 4
+ − + − ÷
+ − − ÷
+ − + − + − −
− − + +
− − + − −
+ − − + − +
− − + −
+ − ÷
+ − + + −
− − +
;
( )
x x
x x
x x x x
x x mcd x x
− − + ÷ −
+ − + −
− − + + −
2 6 8 2
3 4 3 4
3 4 1 3 4
2
2 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( )
( )
( )
( )
3 2 4 6 3
3 6 8 10 5
6 12 3 18 9 3 6 8 10 5
6 12 16 20 10 2
19 38 19 19
3 6 8 10 5 2 1
3 6 3 3
5 10 5 5
2
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2
m m m m
m m m m m m
m m m m m m m m
m m m m
m m
m m m m m m
m m m m
m m
m m
− − + −
− + − + ÷
− − + − − + − +
− + − + −
− + − ÷ −
− + − + − +
− + −
− + ÷
−
;
+ − +
− + − − +
1 2 1
2 1 1 2 1
2
2 2
m m
m m mcd m m
10. 10. 10. 10. 10. 
( ) ( )
( )
Factor común a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a
a a
7 3 6 16 2 5 3 7 14 33 4 10
21 42 112 14 35 21 42 99 12 30
21 42 112 14 35 21 42 99 12 30
21 42 99 12 30 1
13 26 65 13
21 42 99
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3
− + − + − + + −
= − + − + = − + + −
− + − + − + + −
− + − − +
− + ÷
− +
;
;
( )
( )
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a mcd a a a
2 2
4 3 2 2
2
2 2
2 2
12 30 2 5
21 42 105 21
6 12 30 6
2 5 2 5
2 5 1 2 5
+ − − +
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − − +
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
45 75 18 30 3
24 40 30 50 2
4 15 25 6 10 5 12 20 15 25
60 100 24 40 60 100 75 125 5
60 100 75 125 1
51 85 17
12 20 15 25 3 5
12 20 4
15 25 5
3 5 3 5
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2 2
ax ax ax a a
ax ax ax a a
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x
x x x
x
x x
+ − − ÷
+ − − ÷
+ − − + − −
+ − − + − − ÷
− − + +
+ ÷
+ − − +
− −
− − ÷ −
+ +
−
;
;
( )3 5 1 3 5x mcd a x− +
12. 12. 12. 12. 12. 
( )
( )
( )
Factor común
x ax a x a x ax a x a
x ax a x a x ax a x a
x ax a x a
ax a a
x ax a x a x a
x a x x
ax a a
x a x a
x a mcd x a
2
2 2 2 2 10 4 10 4
5 2 5 2
5 5 5 5 5
3 3 3
1 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3
3 2 2 3 2 2
3 2
2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
:
;+ + + + + +
+ + + + + +
− − − −
− − ÷ −
+ + + +
− −
+ ÷
+ +
− − +
13. 13. 13. 13. 13. 
( )
( )
( )
Factor común
x ax a x a
x ax a x a
x ax a x a x ax a x a
x ax a x a
ax a x a a
x ax a x a x ax a
x ax a x x
ax a x a a
x
3
9 15 3 3
12 21 6 3 3
12 21 6 3 3 5
12 20 4 4 4
2
3 5 2
3 6 3 3
2
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2
:
;+ + −
+ + −
+ + − + + −
− − − +
+ + ÷
+ + − + +
− − −
− − − ÷ −
( )
+ + + +
− − − + +
2 2
2 1 3 2
2 2 2
2 2 2 2
ax a x ax a
x ax a mcd x ax a
14. 14. 14. 14. 14. 
( )
( )
Factor común ab
a b a b ab a b a b a b ab
a a b b a a b ab b
a a b b a a b ab b
a a b ab b
a b ab b b
a a b ab b a ab
2
8 4 4 12 18 12 6
3 4 2 2 6 9 6 3
12 6 6 6 9 6 3
12 18 12 6 2
24 12 12 12
6 9 6 3 2
4 3 2 4 4 3 2 2 3 4
3 2 3 3 2 2 3
3 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2
:
;+ + − + −
+ + − + −
+ + − + −
− + − +
− + ÷
− + − −
( )
( )
+
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − − +
b
a a b ab a
a b ab b b
a ab b a ab b
a ab b mcd ab a ab b
2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
6 3 3 3
6 3 3 3
2 2
2 1 2 2
15. 15. 15. 15. 15. 
( )
( )
( )
Factor común a n
a n a n a n a n
a n a n a n a n
a a n an n a a n an n
a a n,an n
a n an n n
a a n an n a an n
3
9 33 27 6
9 12 21 6
3 11 9 2 3 4 7 2 5
3 4 7 2 1
15 16 4
15 20 35 10 15 16 4 12
15
2 2
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4 2 5
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
:
;− + −
+ − +
− + − + − +
− − + −
− + − ÷ −
+ − + − +
−
( )
( )
( )
( )
a a n an a
a n an n n
a an n a an n
a an n
an n n
a an n a n
a an a
an n n
a n a n
a n mcd a n a n
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
16 4
36 39 10
180 192 48 36 39 10
180 195 50 5
3 2
36 39 10 3 2
36 24 12
15 10 5
3 2 3 2
3 2 1 3 3 2
+ −
− + ÷
− + − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( )
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a
7 6 4 5 4 3
7 6 5 3 2 2
6 5 4 3 2
6 5 4 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 3
6 5 4 3 2 5 3
6 4 2
1 2 1
2
1
2 1
1 1
1 1
1 1
− + + − + + −
− + − − +
− + − + +
− + + − − + − + +
− + − + − −
− + − − −
− + − + + − + +
− + − −
( )
( )
( )
a a
a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a mcd a a
− + − − + −
− + + − + + −
− + − − +
− + ÷
− + + − − +
− + −
− + − −
− + − +
− + − − +
5 4 3
5 3 5 4 3
5 4 3
4 3
5 4 3 4 3
5 4
4 3
4 3 4 3
4 3 4 3
2 1 1
1 2 1
2 1 1
2 2 2 2
2 1 1
1 1
1 1
1 1 1
17. 17. 17. 17. 17. 
( )
( )
( )
Factor común a
ax ax ax ax a
ax ax ax ax a
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x
x x
2
6 4 6 10 4
36 24 18 48 24
18 12 9 24 12 3 2 3 5 2 9
18 12 18 30 12 6
27 54 24 1
27 18 27 45 18 27 54 24 4
27 54 24
36 3
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
:
;− + − +
− − + −
− − + − − + − +
− + − + −
− + − −
− + − + − +
− + −
+ − ( )
( )
( )
( )
( )
( )
45 18 3
108 216 96 12 15 6 25
108 9 135 54 9
225 231 54 3
300 25 375 150 75 77 18 111
300 308 72 4
333 447 150 3
8 325 8 547 1 998 111 149 50 2 628
8 325 11 175 3 750 75
2 628 1 752
291
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
+ ÷
− + + − +
− − + −
− + − ÷ −
+ − + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + −
−
. . . .
. . .
. .
( )
( )
( )
. . . . .
. .
. . .
708 391 572 131 400 2 628 1 752 876
291 708 194 472 111
197 100 131 400 65 700
3 2 3 2
3 2 1 2 3 2
2
2
x x x
x x x
x
x x
x mcd a x
− + − ÷
− +
− + ÷ −
− −
− + −
EJERCICIO 114
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
( )
( )
( )
2 5 6 9 2 5 3
2 5 3
3 9 3
2 5 3 3
2 6 2
3
2 5 6 3
3
5 6
3 5 6
5 6 1
2 6 2
5 6 3
2
3 6 3
3 3
3
3 2 2
3 2
2
2
3 2
3 2 2
2
2 2
2
2
x x x x x
x x x x
x
x x x
x x x
x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
− − + − −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
−
− − + −
− +
− +
− − +
+ −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + 1 3mcd x−
3. 3. 3. 3. 3. ( )
( )
( )
( )
( )
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2
2 2 2 2 2
1 1
1 1
0
5 5 2 2 1 10
5 5 5 5 5
10 7 3 1
10 10 10 10 10 7 3 17
10 7 3
17 7 10
170 119
+ − − ÷
+ − − ÷
+ − − + − −
− − + +
− + − + − −
− − + +
− + + −
+ − − − −
− + +
− −
− −
;
( )
( )
51 17 7 10
170 70 100 10
49 49 49
17 7 10 1
17 17 17
10 10 10
1 1
1 1 1
2
2
2
2
x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x mcd x
− −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷
− −
− + −
2. 2. 2. 2. 2. 
( )
( )
8 6 3 2 2
8 4 8 4 4
10 5 5 5
2 2 2
2
2
2 2
2 1
0
6 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x x y xy y x x y xy y
x x y xy y
x y xy y y
x x y xy y x xy y
x x y xy x
x y xy y y
x xy y x xy y
x xy y
x xy y x xy y
+ − − − − +
− + + −
+ − ÷
− − + + −
− − +
− − + ÷ −
+ − + −
− − +
− − + −
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
6 3 3 3
4 2 2
2 2
2
2
2 2
2 1 2
− − +
− + ÷ −
+ − −
− +
− ÷
− −
− + −
x xy y
xy y y
x xy y x y
x xy x
xy y y
x y x y
x y mcd x y
4. 4. 4. 4. 4. 
( )
( )
( )
3 9 4 3 2 3 3 2
3 9 3 9 6 3
6 8
3 3 2 6 8 3
6 8
3 7 3 2
3
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
2 2 3 4 2
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2
3 2 2 3 4
3
a a x a x ax x a a x a x ax x
a a x a x ax x
a x ax x x
a a x a x ax x a ax x a
a a x a x a
a x a x ax x x
a
+ + − + + + − −
− − − + +
+ + ÷
+ + − − + +
− − −
− − − − ÷−
( )
( )
( )
( )
+ + + + +
− − − −
+ − ÷
+ + + + −
− − +
+ + ÷
+ − + +
− − −
− −
18 24 3 7 3 2 11
3 7 3 2 1
11 21 2
33 77 33 22 11 21 2 14
33 63 6 3
14 39 22
154 294 28 14 39 22
154 429 242 11
135
2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
a x ax a a x ax x
a a x ax x
a x ax x x
a a x ax x a ax x
a a x ax a
a x ax x x
a ax x a ax x
a ax x
ax ( )
( )
( )
270 135
14 39 22 2 2 2
14 28 14 2 1
11 22 11 0
4 8 2 2
4 8 4
2
2 2
2 1 2
2
2 2
2
2
3 2 2 3
3 2 2
2 3 2
x x
a ax x a x a x a x
a ax a a x
ax x x
a a x ax x a x
a a x a
ax x x
a x a x
a x mcd a x
÷ −
+ + + + +
− − − −
+ ÷
+ − − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − +
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
( )
( )
( )
( )
Factor común x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 3 3 2
4 4 3 3
8 3 4
8 8 6 6 8 3 4 5
8 3 4 1
5 7 2 1
40 15 5 20 5 7 2 41
40 56 16 8
5 4 2
4 3 3 2
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
+ − −
+ − − − + −
− + − +
− − −
− + − − − −
− + + +
− + − −
− − − − +
− + −
( )
( )
( )
41 21 20
205 287 82 41 21 20
205 105 100 5
182 182 182
41 21 20 1 1 1
41 41 41 1 1
20 20 20 0
3 4 3 4 1 3
3 3 3
3 4 3 4
2
2 2
2
2
2
6 4 3 4
6 5 5
5 4 3
x x
x x x x
x x
x
x x x x x
x x x x
x
x x x x x x
x x x
x x x x
− −
− + − −
− + +
− + ÷ −
− − − − −
− + − +
− ÷
− − + −
− +
− − +
Continua.Continua.Continua.Continua.Continua.
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 4 3 4
3 4 3 4 1
3 4
3 4 3 4 3 4 13
3 9 12 3
13 3 12 4 1
13 39 52 13 3 12 4 3
13 3 12 4 1
36 12 48 12
39 9
5 4 5 4 3
5 4 3
4 3
4 3 2 3 2
4 3
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x
− − − + ÷
− + + −
+ − ÷
− − + + −
− − +
− − + + ÷−
+ − + − −
− − + +
+ − ÷
+
( )
( )
( )
( )
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x mcd x x
2 2
3 2
2
2 2
2
2
2
36 12 3 4
39 13 52 13
4 16 12 4
3 4 4 3
3 12 9 3
13 13 13
4 3 1
3 3 3
1 1
1 1 1
− − + −
− − +
− + − ÷ −
+ − − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.
EJERCICIO 115
16. 16. 16. 16. 16. 3 6 9 183 2 4 2 4 2x x x y mcm x y, ,
17. 17. 17. 17. 17. 9 12 18 362 2 2 3 3 3 3 2a bx ab x a b x mcm a b x, ,
18. 18. 18. 18. 18. 10 15 20 602 2 3 2 3m mn n mcm m n, ,
19. 19. 19. 19. 19. 18 24 36 723 2 3 3 3a b ab mcm a b, ,
20. 20. 20. 20. 20. 20 24 30
20 24 30 6
20 4 5 5 6 5 4 120
4 4 1 4 120
1 1
2 3 3 2
3 3
m n m n mn
mcm m n
, ,
⋅ ⋅ =
⇒
21. 21. 21. 21. 21. ab bc a c b c mcm a b c2 2 2 3 3 3 2 3 3, , ,
22. 22. 22. 22. 22. 2 8 4 12 242 3 2 3 3 3 3 3x y xy a x a mcm a x y, , ,
23. 23. 23. 23. 23. 6 9 12 18 362 2 3 2 3 2a x ay x y mcm a x y, , ,
24. 24. 24. 24. 24. 15 10 20 25
15 10 20 25 5
3 2 4 5 5 5 3 2 300
3 2 4 1 3 300
1 2 4 2
1 2 2
1
2 2 3 4
2 2
2 4
mn m n mn
mcm m n
, , ,
⋅ ⋅ =
⇒
25.25.25.25.25. 24 36 40 60
24 36 40 60 2
12 18 20 30 2
6 9 10 15 3 2 3 5 360
2 3 10 5 5 360
2 3 2 1 3
2 1 2 2
1 1
2 3 2 4 2 5 3 6
3 2
3 3 6
a x a y x y a y
mcm a x y
, , ,
⋅ ⋅ =
⇒
26. 26. 26. 26. 26. 3 8 10 12 16
3 8 10 12 16 2
3 4 5 6 8 2
3 2 5 3 4 2 2 3 5 240
3 1 5 3 2 2 240
3 5 3 1 3
1 5 1 5
1
3 2 2 3 2 2
4
3 3
a ab b a b a b
mcm a b
, , , ,
⋅ ⋅ =
⇒
1. 1. 1. 1. 1. a ab mcm a b2 2 2 2,
2. 2. 2. 2. 2. x y xy mcm x y2 2 2 2,
3. 3. 3. 3. 3. ab c a bc mcm a b c2 2 2 2,
4. 4. 4. 4. 4. a x a bx mcm a bx2 3 3 2 3 3,
5. 5. 5. 5. 5. 6 4 122 3 3m n m mcm m n,
6. 6. 6. 6. 6. 9 15 453 2 5 3 5ax y x y mcm ax y,
7. 7. 7. 7. 7. a ab a b mcm a b3 2 2 3 2, ,
8. 8. 8. 8. 8.,x y xy xy z mcm x y z2 2 3 2 3, ,
9. 9. 9. 9. 9. 2 4 8 82 2 3 3 2ab a b a mcm a b, ,
10. 10. 10. 10. 10. 3 4 6 122 3 3 3 2 4 4 3 2x y z x y z x mcm x y z, ,
11. 11. 11. 11. 11. 6 9 12 362 2 3 3 3 3mn m n m n mcm m n, ,
12. 12. 12. 12. 12. 3 4 8 242 2 2 2 2 2a b x mcm a b x, ,
13. 13. 13. 13. 13. 5 10 15 302 2 2 2x xy xy mcm x y, ,
14. 14. 14. 14. 14. ax y a xy a x y mcm a x y3 2 3 2 2 3 3 3 3, ,
15. 15. 15. 15. 15. 4 6 3 122 2 2 2ab a b mcm a b, ,
EJERCICIO 116
1. 1. 1. 1. 1. 
( )
( )
2 2
4 8 2 2
4 2
2
a a
x x
mcm a x
=
− = −
−
2. 2. 2. 2. 2. ( )
( )
ab b b a b
b b
mcm b a b
− = −
=
−
2
2 2
2
3 3
3
3. 3. 3. 3. 3. ( )
( )
x y xy xy x y
x y x y
mcm x y x y
2 2
2 2
2
+ = +
=
+
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( ) ( )
4 8 2 1 2
8 2
2 1 2 8 1 2
2
3
3
+ = +
=
+ = +
a a
mcm a a
5. 5. 5. 5. 5. 
( )
( )
6 2 3
3 6 3 2
6 2
2 2
2 2 3 2
2 2
a b a b
a b ab ab a b
mcm a b a b
= ⋅
+ = +
+
6. 6. 6. 6. 6. 
( )
( )
14 7 2
6 4 2 3 2
14 3 2
2 2
2
2
x x
x xy x x y
mcm x x y
= ⋅
+ = +
+
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
9 3
6 12 2 3 2
2 3 2
18 2
2
2
2
m m
mn mn mn n
mcm mn n
mn n
=
− = ⋅ −
⋅ −
⇒ −
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
( )
15 5 3
3 6 3 2
15 2
= ⋅
+ = +
+
x x
mcm x
9. 9. 9. 9. 9. 
( )
( )
10 5 2
5 15 5 1 3
10 1 3
= ⋅
− = −
−
b b
mcm b
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( )
( )
4 12 2 3
36 2 3
2 3 3
36 3
2
2 2 2 2
2 2 2
2
ax ay a x y
a a
mcm a x y
a x y
− = −
= ⋅
⋅ −
⇒ −
11. 11. 11. 11. 11. 
( )
( )
12 2 3
2 5 2 5
12 2 5
2 2 2
2 3 2 3 2 3
2 3
xy xy
ax y x y x y a
mcm x y a
= ⋅
+ = +
+
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )
mn mn mn n
mn mn
m m
mcm m n n
3 2 2
2 2
2 2
1
1
− = −
=
=
−
13. 13. 13. 13. 13. ( )
( )
3 6 3 2
2 2
6 2 3
6 2
2
2 2
2
a ab a a b
a a
ab ab
mcm a b a b
− = −
=
= ⋅
−
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )
5 5 5 1
5 1
5 4 4
2 2
2 3 2 3
4 3
x x x x
xy xy
x y x y
mcm x y x
− = −
=
=
−
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( )
( )
27 81 3 3
9 3
18 2 3
2 3 3
54 3
4 3 2 3 3
2 2 2
3 2 3
3 3 3
3 3
a b a b a b a b
a a
b b
mcm a b a b
a b a b
+ = +
=
= ⋅
⋅ +
⇒ +
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( )
( )
9 9 3
10 5 2
6 2 3
5 2 3
90
3 3 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y xy xy x y
x x
mcm x y x y
x y x y
+ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ ⋅ +
⇒ +
17. 17. 17. 17. 17. ( )
( )
( )( )
( )
x y xy xy x
x x x x
x x
mcm x y x x
x y x
2
3 2 2
2
2 2
2 2
1
1
4 2
2 1 1
4 1
− = −
+ = +
=
− +
⇒ −
18. 18. 18. 18. 18. ( )
( )
( )( )
( )
6 18 2 3 3
8 24 2 3
24 2 3
2 3 3 3
24 9
2
3
3
3
2
m m mm
m m
mcm m m m
m m
+ = ⋅ +
− = −
= ⋅
⋅ + −
⇒ −
19. 19. 19. 19. 19. ( )
( )
( )( )
3 3 3 1
2 2
6 18 2 3 3
6 1 3
2 2 2 2
2 2
ax a a x
a b a b
x x
mcm a b x x
+ = +
=
− = ⋅ −
+ −
 20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )
( )( )
( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x
2 2
3 2 2
2 2
2 2
4 4 2
2 2
2 1
2 1
+ + = +
+ − = + −
= + −
=
+ −
21. 21. 21. 21. 21. ( )
( )
( )
( )
9 18 3 2
4 4 2
6 2 3
3 2 2
18 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a x a y a x y
x xy y x y
ab ab
mcm a b x y
a b x y
− = −
− + = −
= ⋅
⋅ −
⇒ −
22. 22. 22. 22. 22. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
9 36 3 4
3 2 2
3 3 18 3 6
3 3 2
6 2 3
2 3 2 2 3
18 4 3
4 2 2 2 2
2 2
3 2 2
3 3
2 3
3 2
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x x
x x x
− = −
= + −
− − = − −
= − +
= ⋅
⋅ + − −
⇒ − −
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( )
( )
( )
4 12 9 4 12 9
2 3
2 3 2 3
2 3
3 2 2 2 2
2
4 3 3
2 2 2 2
2 3 2
x x y xy x x xy y
x x y
x x y x x y
a x a x
mcm a x x y
− + = − +
= −
− = −
=
−
24. 24. 24. 24. 24. ( )
( )
( )
9 45 3 5
12 3 2
8 2
3 2 5
72 5
2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
2 3 3 2
3 2
x x x x
x y x y
x x
mcm x y x
x y x
− = −
= ⋅
=
⋅ −
⇒ −
25. 25. 25. 25. 25. ( )
( )
( )
( ) ( )
n x n y n x y
nx nxy ny n x xy y
n x y
n n
an an
mcm an x y x y
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
3 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2
+ = +
+ + = + +
= +
=
=
+ +
26. 26. 26. 26. 26. ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
4 24 36 2 6 9
2 3
2 8 8 2 4 4
2 2
6 6
3 2
8 2
8 3 2
3 2 2 2
2 2
3 2 2
2
3 2 2
2 3 2
2 2 2
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x
+ + = + +
= +
− + = − +
= −
+ − = + −
= + −
=
+ −
27. 27. 27. 27. 27. ( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
6 6 2 3 1
2 2 2 2 1
1 1 1
3 3
2 3 1 1
6 1 1
3 2 2
2 2
3 2
3 3
3 2
3 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
mcm x x x x
x x x x
+ = ⋅ +
− + = − +
+ = + − +
=
⋅ + − +
⇒ + − +
29. 29. 29. 29. 29. ( )
( )
( )
( ) ( )
5 5 5
12 24 12 2 3 2
2 3
6 2 3
4 2
2 2
5 2 3 60
3 4 3
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 3 2 2 3 2
ab b b a b
a ab b a ab b
a b
a b a b
b b
a a
mcm a b a b a b a b
− = −
− + = ⋅ − +
= ⋅ −
= ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ − ⇒ −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ax a bx b a x b x a b x
a ab b a b
xy xy
x x x x
mcm x y a b x x y a b x
− + − = − + − = + −
+ + = +
=
− = −
⋅ + − ⇒ + −
1 1 1
2
4 2
3 3 3 1
2 3 1 12 1
2 2 2
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
14 14 7 2 1
2 1 1
7 7 7 1
28 7 2
1 1
28 1 1
2 2
2 2
2
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x
x x
mcm x x x
+ = ⋅ +
+ + = +
+ = +
= ⋅
+ = +
+ +
EJERCICIO 117
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( )
( )( )
( )
6 6 2 3 1
3 3 3 1
2 3 1 1
6 12
x x
x x
mcm x x
x
− = ⋅ −
+ = +
⋅ − +
⇒ −
2. 2. 2. 2. 2. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
10 40 5 2 4
5 2 2 2
5 10 5 2
5 2 2 2
10 4
2 2
2
x x
x x
x x
mcm x x
x
− = ⋅ −
= ⋅ + −
+ = +
⋅ + −
⇒ −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
( )( )
( )
x y x y x y
x x y x x y
mcm x x y x y
x x y
2 2
3 2 2
2
2 2 2
4 2 2
2 2
2 2
4
− = + −
+ = +
+ −
⇒ −
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
( )
x x x
a x a a x
mcm a x
2 2
2 2 2
2 2
6 9 3
3 9 3 3
3 3
− + = −
− = −
−
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )( )
( )( )
4 12 9 2 3
4 9 2 3 2 3
2 3 2 3
2 2 2
2 2
2
a ab b a b
a b a b a b
mcm a b a b
− + = −
− = + −
+ −
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( )
( )
( )
a a b ab a a ab b
a a b
a a b a a b
mcm a a b
3 2 2 2 2
2
3 2 2
2 2
2 2+ + = + +
= +
+ = +
+
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
2 6 8 2 3 4
2 4 1
3 12 3 4
2 3 4 1
6 4 1
2 2bx bx b b x x
b x x
ax a a x
mcm b a x x
ab x x
+ − = + −
= + −
+ = +
⋅ + −
⇒ + −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
x x x x
x x x x
x x x
mcm x x x x
x x x
2
3 2
2
2 15 5 3
25 25
5 5
5 5 3
25 3
+ − = + −
− = −
= + −
+ − −
⇒ − −
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x x
mcm x x
− = −
− = + −
+ −
1 1
1 1 1
1 1
2 2
2
2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )( )
x x
x x
mcm x x
+ = +
+ = +
+ +
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
x y x y x xy y
x y x y
mcm x y x xy y
3 3 2 2
3 3
3 2 2
+ = + − +
+ = +
+ − +
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
x y x y x xy y
x y x y
mcm x y x xy y
3 3 2 2
3 3
3 2 2
− = − + +
− = −
− + +
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )( )
4 7 2 4 7 4 8
4 8 4 1 4
2 4 1
3 10 5 2
2 4 1 5
2 2
2
x x x x
x x
x x
x x x x
mcm x x x
− − = − −
= − + ÷
= − +
+ − = + −
− + +
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
mcm a a a
2
2
30 6 5
3 18 6 3
6 3 5
+ − = + −
+ − = + −
+ − −
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x
x x x
mcm x x x x
x x x
4 3 2 2 2
2
3 2 2 2
2
2
2 2
2 15 2 15
5 3
9 5 45 9 5 9
5 9
5 3 3
5 3 3
5 9
+ − = + −
= + −
− + − = − + −
= + −
= + + −
+ + −
⇒ + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
ax ax ax ax x x
mcm ax x x x x
6 3 3 3
2 3
4 3 2 2 2
2 2 3
4 32 8 4
2 2 4 4
2 4 2 4
2 2 4 4
− − = − +
= − + + +
+ + = + +
− + + +
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
12 2 3
8 2
2 3 24
2 2 2
2 3 2
3 2 2
x y x y x y
x y x y
mcm x y x y x y x y
− = ⋅ + −
− = −
⋅ + − ⇒ + −
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
5 5
10,5 2
10
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y x y
x y x y
mcm x y x y
+ = +
+ = ⋅ +
+ +
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
6 2 3
4 2
2 3
12
3 3
2 3 3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 3 2 2
a m n a m n
a b m n a b m n m mn n
mcm a b m n m mn n
a b m n m mn n
+ = ⋅ +
+ = + − +
⋅ + − +
⇒ + − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
ax m n ax m n
x m n x m n m mn n
mcm ax m n m mn n
− = −
− = − + +
− + +
3 3
3 3 3 3 2 2
3 3 2 2
21. 21. 21. 21. 21. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2 2 1
3 3 3 1
1 1 1
2 3 1 1 6 1
2
2
4 2 2 2 2
2 2 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a
mcm a a a a a
+ = +
− = −
− = − = + −
⋅ + − ⇒ −
22. 22. 22. 22. 22. ( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
x x x x
x x x x
x x x
mcm x x x x x
2
3 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 2 4
+ = +
− = −
− = + −
− + ⇒ −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
2
2
2
2 2 1
4 3 3 1
6 3 2
2 1 3
+ − = + −
− + = − −
− − = − +
+ − −
24. 24. 24. 24. 24. ( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )( )
4 12 9 2 3
3 14 8 3 14 3 24
3 12 3 2 3 4 3 2
6 13 6 6 13 6 36
6 9 6 4 32 2 3 3 2
4 2 3 3 2
2 2
2 2
2 2
2
+ + = +
+ + = + +
= + + ÷ = + +
+ + = + +
= + + ÷ ⋅ = + +
+ + +
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
mcm a a a
25. 25. 25. 25. 25. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
10 10 5 2 1
15 15 5 3 1
5 5 5 1 5 1 1
5 2 3 1 1 1 30 1 1
2 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x x x
mcm x x x x x
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +
− = − = + −
⋅ ⋅ + + − ⇒ + −
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )( ) ( )( )
ax bx ay by x a b y a b
x y a b
x xy x x y
x xy x x y
mcm x x y x y a b x x y a b
− + − = − + −
= + −
+ = +
− = −
+ − − ⇒ − −
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
27. 27. 27. 27. 27. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
4 4 2
6 6 2 3
15 15 5 3 5 3
2 3 5 60
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
a b ab ab a b
a b a b
a b a b a b a b
mcm ab a b a b ab a b
+ = +
− = ⋅ −
− = ⋅ − = ⋅ + −
⋅ ⋅ + − ⇒ −
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )
( )( )
( )
( )( )( )
x x x
x x x x
x x
mcm x x x x
2
3 2
2
25 5 5
125 5 5 25
2 10 2 5
2 5 5 5 25
− = + −
− = − + +
+ = +
+ − + +
29. 29. 29. 29. 29. ( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
a b a b ab ab a ab b
ab a b
a ab b a b a b
ab b b a b
mcm ab a b a b
3 2 2 3 2 2
2
2 2
2 3 2
2 2
6 9 6 9
3
2 3 3
3
− + = − +
= −
− − = − +
+ = +
− +
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2 2
4 4 2
6 6 2 3 2 3
2 3 12
2
2 2
3 3 2 2
2 2 2
m mn m m n
mn n n m n
m n mn mn m n mn m n m n
mcm mn m n m n mn m n
+ = +
− = −
− = ⋅ − = ⋅ + −
⋅ + − ⇒ −
31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20 2 5
15 5 3
12 2 3
2 5 3 60
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
x y x y x y
x y x y
x y x y
mcm x y x y x y x y
− = ⋅ + −
− = ⋅ −
+ = ⋅ +
⋅ ⋅ + − ⇒ + −
 32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ax ax a a x x a x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
mcm ax x x x
2 2
3 2 2 2
4 3 2 2 2 2
2 2
5 14 5 14 7 2
14 49 14 49 7
7 18 7 18 9 2
7 2 9
+ − = + − = + −
+ + = + + = +
+ − = + − = + −
+ − +
33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 12 18 2 6 9 2 3
3 27 3 9 3 3 3
5 30 45 5 6 9 5 3
2 3 5 3 3 30 3 3
3 2 2 2
4 2 2 2 2
3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
mcm x x x x x x
− + = − + = −
− = − = + −
+ + = + + = +
⋅ ⋅ + − ⇒ + −
34. 34. 34. 34. 34. ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )( ) ( )
3 3 3 1 3 1 1
6 6 2 3 1
12 12 2 3 1
9 9 3 1
2 3 1 1 1
36 1 1 36 1
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 4
− = − = + −
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +
− = −
⋅ + + −
⇒ + − = −
a a a a
a a
a a
a a
mcm a a a
a a a
35. 35. 35. 35. 35. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 2 3 2
135 40 5 27 8 5 3 2 9 6 4
12 8 2 3 2
5 2 3 2 9 6 4
20 3 2 9 6 4
2 2
3 3 2
2
2 2 2
2 2
n n
n n n n n
n n
mcm n n n
n n n
− = −
− = − = − + +
− = −
⋅ − + +
⇒ − + +
36. 36. 36. 36. 36. ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
12 8 3 2 4 3 2 3 2
4 1 3 2
48 3 32 2 16 3 2 3 2
16 1 3 2
4 1 4 1 3 2
6 5 6 6 56 36
6 9 6 4 3 2
2 3 3 2
4 1 4 1 3 2 2 3
16 1 3 2 2 3
2 2 2
2
2 2
2
mn m n m n n
m n
m n n m m n n
m n
m m n
n n n n
n n
n n
mcm m m n n
m n n
+ − − = + − +
= − +
− + − = + − +
= − +
= + − +
− − = − −
= − + ÷ ⋅
= − +
+ − + −
⇒ − + −
37. 37. 37. 37. 37. ( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )
( )
15 16 15 15 16 15
15 16 15 225
15 25 15 9 5 3
3 5 5 3
18 60 50 2 9 30 25
2 9 30 9 225
2 9 15 9 15 3 3
2 3 5
12 20 2 3 5
2
2 5 2 4 2 3 2 3 2
2 3 2
2 3
2 3
3 2 2
2
2
3 2 2 2
2
a x a x a x a x x x
a x x x
a x x x
a x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
ax ax ax x
mcm a
+ − = + −
= + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + +
= + + ÷ ⋅
= +
+ = +
= ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2
2 3 2
3 5 5 3
4 3 5 5 3
x x x
a x x x
+ −
= + −
38. 38. 38. 38. 38. ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
16 8 4
16 8 4 2 2
16 4 4 4 2 2
4 2 2
2 4 2 2
2 4 2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2 2
+ + = +
− + = − = − +
− = + − = + + −
+ + −
x x x
x x x x x
x x x x x x
mcm x x x
39. 39. 39. 39. 39. 
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
3 2
2 2 2
+ = +
+ = +
+ = + − +
+ − + +
a a
a a
a a a a
mcm a a a a
40. 40. 40. 40. 40. ( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( )( )( )
8 10 3 8 10 8 24
8 12 8 2 4 2 2 3 4 1
20 13 2 20 13 20 40
20 8 20 5 4 5 5 2 4 1
10 11 6 10 11 10 60
10 15 10 4 5 2 2 3 5 2
2 3 5 2 4 1
2 2
2 2
2 2
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
mcm n n n
− − = − −
= − + ÷ ⋅ = − +
+ + = + +
= + + ÷ ⋅ = + +
− − = − −
= − + ÷ ⋅ = − +
− + +
41. 41. 41. 41. 41. 
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )
6 2 36 6 12
6 4 6 3 2 3
3 2 2
15 22 8 15 22 15 120
15 12 15 10 3 5
5 4 3 2
10 3 4 10 3 10 40
10 8 10 5 2 5
5 4 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ab b a ab b
a b a b
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b
mcm a b a
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + + ÷ ⋅
= + +
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ −( )( )b a b5 4+
 42. 42. 42. 42. 42. ( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
12 5 2 12 5 12 24
12 8 12 3 4 3
3 2 4
15 13 2 15 13 15 30
15 10 15 3 5 3
3 2 5
20 20 20 20
20 5 20 4 5 4
4 5
4 5 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
mcm x y x y x
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + + ÷ ⋅
= + +
− − = − −
= − + ÷ ⋅
= − +
− + ( )+ 2y
43. 43. 43. 43. 43. ( )
( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )
6 6 2 3 1
3 3 3 1
1 1 1 1 1 1
2 3 1 1 1
6 1 1
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
b x b x b x x
a x a x a x x
x x x x x x
mcm a b x x x x
a b x x x
+ = ⋅ +
− = −
− = + − = + + −
⋅ + + −
⇒ + −
44. 44. 44. 44. 44. ( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
x x x x x x
x x
x x x x
a x a x a x a x x x
a x x x
x x x x x x
mcm a x x x x x
4 3 3
3
2
2 4 2 3 2 2 2 2 2
2 2
4 3 2 2 2
2 2 2
8 4 32 4 8 4
8 4
2 2 4 4
2 8 2 8
4 2
2 4 8 2 2 4
2 2 2 4 4
+ − − = − + −
= + −
= + − + −
− − = − −
= − +
− + = − +
+ − + −
45. 45. 45. 45. 45. ( )
( )
( )
( )( )
( )( )( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
x x x x
x x x x
x
4 2 4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
10 9 10 9 4 4
6 9 4
3 4
2 3 2 3
3 1 3 1
4 3 4 3 1 1
4 4 1
2 1
2 1 2 1 3 1
4 3 4 3 1 1
− + = − + + −
= − + −
= − −
= − − + −
= − + + −
+ + = + + + −
= + + −
= + −
= + + + − = + +
− + = − + + −
= −( )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
4 4 1
2 1
2 1 2 1 1 3
9 9 1 9 1
9 1
3 3 1
3 3 1 1 9 1
2
3 2 2
2
2 2
x
x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x
mcm x x x x,x x
+ −
= − −
= − + − − = − −
− + − = + − +
= − +
= + − +
+ − + − ⇒ − −
46. 46. 46. 46. 46. ( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
1 1 1
1 1
1 1 1
1 2 1
1 1 1
3 2
2
2 2
2 2
− = − + +
− = −
− = + −
− + = −
− + + +
a a a a
a a
a a a
a a a
mcm a a a a
47. 47. 47. 47. 47. ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a ab b a b a b ab a b
b a ab b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b
a b ab ab a b
mcm a b a b a b
− = − = −
+ = + = +
− = − = + −
− = −
+ −
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
48. 48. 48. 48. 48. ( )( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )( )
m n m n m mn n
m n m n m n
m mn n m n
m mn n m mn n
mcm m n m mn n m n
3 3 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
27 3 3 9
9 3 3
6 9 3
3 9 3 9
3 3 9 3
− = − + +
− = − +
− + = −
+ + = + +
− + + +
EJERCICIO 118
1. 1. 1. 1. 1. 
a
ab
a
b
2
=
2. 2. 2. 2. 2. 
2
8
1
42
a
a b ab
=
3. 3. 3. 3. 3. 
x y
x y xy
2 2
3 3
1=
4. 4. 4. 4. 4. 
ax
x y
a
x y
3
5 24 4
=
5. 5. 5. 5. 5. 
6
3
2
2 3
3m n
m
mn=
6. 6. 6. 6. 6. 
9
24
3
8
2 3
2 3 4 2
x y
a x y a xy
=
7. 7. 7. 7. 7. 
8
24 3
4 3 2
2 2
3m n x
mn x
m n=
8. 8. 8. 8. 8. 
12
32
3
8
3 4 5
2
2 2 4x y z
xy z
x y z
=
9. 9. 9. 9. 9. 
12
60
1
5
2 3
3 5 6 2 6
a b
a b x ab x
=
10. 10. 10. 10. 10. 
21
28
3
4
3 6
4 2 2
4
3
mn x
m n x
nx
m
=
11. 11. 11. 11. 11. 
42
26
21
13
2 3
4 5 2 2
a c n
a c m
n
a c m
=
12. 12. 12. 12. 12. 
7
34
1
2
3 4 6
7 8 10 4 4 4
x y z
x y z x y z
=
13. 13. 13. 13. 13. 
30
45
2
3
6 2
3 4 3
2 2
3 3
x y
a x z
x y
a z
=
14. 14. 14. 14. 14. 
a b
a b c a b c
5 7
8 9 3 23
1
3
=
15. 15. 15. 15. 15. 
21
63 3
8 10 12
4 2
4 9 10a b c
a bc
a b c=
16. 16. 16. 16. 16. 
54
63
6
7
9 11 13
10 12 15 2
x y z
x y z xyz
=
17. 17. 17. 17. 17. 
15
75 5
12 15 20
11 16 22 2
a b c
a b c
a
bc
=
18. 18. 18. 18. 18. 
75
100
3
4
7 5
3 12 3
4
7 3
a m
a m n
a
m n
=
EJERCICIO 119
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )
3
2 2
3
2
3
2
2 3 2
ab
a x a
ab
a x a
b
a x a+
=
+
=
+
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )
xy
x y xy
xy
xy x y x y3 3 3
1
3
2 2−
=
−
=
−
3. 3. 3. 3. 3. 
( )
( )
2 4
3 6
2 2
3 2
2
3
ax bx
ay by
x a b
y a b
x
y
+
+
=
+
+
=
4. 4. 4. 4. 4. 
( )( )x x
x
x x
x
x
2 2 3
3
3 1
3
1
− −
−
=
− +
−
= +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )
10
80 8 8
2 3
3 2
2 3
2
3a b c
a a b
a b c
a a b
b c
a b−
=
−
=
−
6. 6. 6. 6. 6. 
( )( )
( )
x
ax a
x x
a x
x
a
2 4
5 10
2 2
5 2
2
5
−
+
=
+ −
+
=
−
7. 7. 7. 7. 7. 
( ) ( )
( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
3 4 15
5 6
3 4 3 45
3 2
3 9 3 5 3
3 2
3 3 5
3 2
3 5
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
− −
− +
=
− −
− −
=
− + ÷
− −
=
− +
− −
=
+
−
8. 8. 8. 8. 8. 
( )
( )
15 45
10 30
15 3
10 3
3
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
a bn a bm
a b n a b m
a b n m
a b n m b
−
−
=
−
−
=
9. 9. 9. 9. 9. 
( )( )
( )
x y
x xy y
x y x y
x y
x y
x y
2 2
2 2 22
−
+ +
=
+ −
+
=
−
+
10. 10. 10. 10. 10. 
( )
( )( )
3 15
25
3 5
5 5
3
5
2
2
x y xy
x
xy x
x x
xy
x
+
−
=
+
+ −
=
−
11. 11. 11. 11. 11. 
( )
( )( )
a ab b
a b
a b
a b a ab b
a b
a ab b
2 2
3 3
2
2 2 2 2
4 4
8
2
2 2 4
2
2 4
− +
−
=
−
− + +
=
−
+ +
12. 12. 12. 12. 12. 
( )
( )
( )( )
( )( )
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
3 2
3
2
2
4 21
9
4 21
9
7 3
3 3
7
3
+ −
−
=
+ −
−
=
+ −
+ −
=
+
+
13. 13. 13. 13. 13. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
6 5 6
15 7 2
6 5 6 36
15 7 15 30
6 9 6 4 32
15 10 15 3 5 3
2 3 3 2
3 2 5 1
2 3
5 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ −
− −
=
+ −
− −
=
+ − ÷ ⋅
− + ÷ ⋅
=
+ −
− +
=
+
+
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )
a
a a a
a
a a a
a
a a a
3
4 3
3
3
3
3
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
+
− + −
=
+
− + −
=
+
+ −
=
−
15. 15. 15. 15. 15. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 4 2
4 2 8
2 2 2
2 4 2
2 2
4 2
2
4
ax ay bx by
ax a bx b
x a b y a b
x a b a b
x y a b
x a b
x y
x
+ − −
− − +
=
− + −
− − −
=
+ −
− −
=
+
−
16. 16. 16. 16. 16. 
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
a ab b
a x a bx ab x
a b a b
ax a b b
a b a b
ax a b
a b
ax a b
2 2
3 2 2
2 2 2
6
6 9
3 2
6 9
3 2
3
2
3
− −
− +
=
− +
− +
=
− +
−
=
+
−
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )
m n
m n
m n
m n m n m n
2 2
4 4
2 2
2 2 2 2 2 2
1+
−
=
+
+ −
=
−
18. 18. 18. 18. 18. ( )
( )( )
( ) ( )
x y
x y
x y x xy y
x y
x xy y
x y
3 3
3
2 2
3
2 2
2
+
+
=
+ − +
+
=
− +
+
19. 19. 19. 19. 19. 
( ) ( )
( )( )
m n
m n
m n
m n m n
m n
m n
−
−
=
−
+ −
=
−
+
2
2 2
2
20. 20. 20. 20. 20. 
( ) ( )
( )( )
( )a x
a x
a x
a x a ax x
a x
a ax x
−
−
=
−
− + +
=
−
+ +
3
3 3
3
2 2
2
2 2
21. 21. 21. 21. 21. 
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
a a
a
a
2
2
20
7 10
5 4
5 2
4
2
− −
− +
=
− +
− −
=
+
−
22. 22. 22. 22. 22. 
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )
1
2 1
1 1
1
1
2 2
2
2
2
2−
+ +
=
+ −
+
= −
a
a a
a a
a
a
 23. 23. 23. 23. 23. 
( )
( )( )
a b a b
a b
a b a b
a b a b
a b
a b
4 2 2 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
−
−
=
−
+ −
=
+
 24. 24. 24. 24. 24. 
( )( )
( )( )
x y
x y
x y x y
x y x xy y
x y
x xy y
2 2
3 3 2 2 2 2
−
−
=
+ −
− + +
=
+
+ +
 25. 25. 25. 25. 25. 
( )
( )
( )
( )
24 8
36 24 4
8 3
4 9 6
2 3
3
2
3
3 2 2
4 3 2 2
2
2 2 2 2
a b a b
a a b a b
a b a b
a a ab b
b a b
a b
b
a b
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+
=
+
 26. 26. 26. 26. 26. 
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
n n
n n
n n
n n
n n n
n n
n n
n
3
2
2
5 6
1
6 1
1 1
6 1
1
6
−
− −
=
−
− +
=
+ −
− +
=
−
−
 27. 27. 27. 27. 27. 
( )( )
( )
8 1
8 4 2
2 1 4 2 1
2 4 2 1
2 1
2
3
3 2
2
2
n
n n n
n n n
n n n
n
n
+
− +
=
+ − +
− +
=
+
28. 28. 28. 28. 28. ( )
( )
( )( )
( )( )
a b c
a b c
a b c a b c
a b c a b c
a b c
a b c
2 2
2 2
− −
+ −
=
+ − − +
+ − + +
=
− +
+ +
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a b c d
a c b d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
a b c d
a b c d
+ − −
+ − −
=
+ + − + − +
+ + − − + +
=
+ − +
− + +
2 2
2 2
30. 30. 30. 30. 30. 
( )
( )
3 9
6 9
3 3
3
3
3
3 2
2
2
2
2x x
x x
x x
x
x
x
+
+ +
=
+
+
=
+
31. 31. 31. 31. 31. ( )
( )( )
( )
( )
10
6 6 6
10
6
5
3
2 3 3
4 3 2 2
2 2 2
2 2 2
a a b
a a b a b
a a b a ab b
a a ab b
a b
+
− +
=
+ − +
− +
=
+
32. 32. 32. 32. 32. 
( )
( )
( )
( )
a a ab
x a ab
a a b
ax a b
a
x
4 8
3 6
4 2
3 2
4
3
2
2
2−
−
=
−
−
=
33. 33. 33. 33. 33. 
( )
( )
x x
x x
x x
x
x
x
3 2
2
2
2
26
12 36
6
6 6
−
− +
=
−
−
=
−
34. 34. 34. 34. 34. ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
x y
x x y
x y
x x y
x y
x x y x xy y
x y
x x xy y
−
−
=
−
−
=
−
− + +
=
−
+ +
4
64
4
64
4
4 4 16
4
4 16
2
5 2 3
2
2 3 3
2
2 2 2
2 2 2
35. 35. 35. 35. 35. 
( )
( )
x xy
x x y y
x x y
x y
x
x y
3 2
4 2 2 4
2 2
2 2 2 2 2
3
6 9
3
3 3
−
− +
=
−
−
=
−
36. 36. 36. 36. 36. 
( )
( )( )
m n m n mn
m
mn m m
m m m
mn
m
3 2
3
2
2
3 9
27
3 9
3 3 9 3
+ +
−
=
+ +
− + +
=
−
37. 37. 37. 37. 37. 
( )( )
( )( )
x x
x
x x
x x
x
x
4 2
4
2 2
2 2
2
2
8 15
9
5 3
3 3
5
3
− +
−
=
− −
+ −
=
−
+
38. 38. 38. 38. 38. 
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
a a
a
a
4 2
4 2
2 2
2 2
2
2
6 7
8 9
7 1
9 1
7
9
+ −
+ −
=
+ −
+ −
=
+
+
 39. 39. 39. 39. 39. 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
3 19 20
6 17 12
3 19 3 60
6 17 6 72
3 15 3 4 3
6 8 6 9 2 3
5 3 4
3 4 2 3
5
2 3
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
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