AeroGral_v200311

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Aeronáutica General
Apuntes de la Cátedra
Departamento de Aeronáutica
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Copyright c© 2020 Gustavo Krause
PUBLICACIÓN INDEPENDIENTE
Prohibida su reproducción, almacenamiento o distribución por cualquier medio, total o parcial, sin
el permiso previo y por escrito del autor y/o la editorial. También se encuentra totalmente prohibido
su tratamiento informático y distribución por medios electrónicos tales como internet o cualquier
otro soporte.
Primera impresión, marzo de 2020
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Prefacio
El presente texto está concebido como material de apoyo para estudiantes y profesionales de
la ingeniería que se inician en el ámbito de la Aeronáutica. Este libro surgió de la necesidad de
cubrir de manera introductoria los aspectos más importantes que rigen el vuelo del avión, tanto
desde el punto de vista físico como tecnológico, permitiendo así un abordaje integral del problema
sin necesidad de recurrir a múltiples publicaciones específicas que pueden resultar complejas para
quienes comienzan a introducirse en esta disciplina. Aunque ya existen textos que plantean esta
temática desde un punto de vista similar, ellos no suelen encontrarse en idioma español y –a juicio
del autor– muchas veces carecen de la adecuada fundamentación física y matemática que requiere
la formación de futuros profesionales técnicos de la industria, el desarrollo y la investigación
aeronáutica.
Los contenidos del presente texto surgieron de la recopilación de material realizada durante
los sucesivos dictados de la asignatura introductoria de la carrera de Ingeniería Aeronáutica que
se dicta en la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de la Universidad Nacional de
Córdoba. Teniendo en cuenta que los estudiantes de dicha asignatura cuentan con una buena base
en Física y Matemática, la cual fue adquirida durante los años correspondientes al ciclo básico
de la carrera, se asume que el lector tiene la capacidad de comprender los fundamentos físicos
y los desarrollos matemáticos planteados a lo largo del libro. Por otro lado, se resalta el carácter
introductorio y orientativo de estas notas, recomendándose fervientemente la profundización de los
temas abordados a través de las referencias bibliográficas citadas en el texto.
La organización del libro puede resumirse de la siguiente forma. En el Capítulo 1 se realiza la
presentación de las definiciones y fundamentos físicos elementales que rigen el movimiento de los
fluidos, en nuestro caso particular el aire, necesarios para comprender los fenómenos que involucra
el vuelo del avión. En el Capítulo 2 se presentan las definiciones de las fuerzas y momentos
aerodinámicos más importantes y se introduce el Análisis Dimensional, que es una herramienta
fundamental de la Aerodinámica para dar lugar a los diferentes coeficientes aerodinámicos. En el
Capítulo 3 se hace una introducción al Análisis Experimental, otra de los aspectos fundamentales
de la Aerodinámica. En el Capítulo 4 se abordan los principios básicos de las propiedades de los
perfiles aerodinámicos, que son las formas elementales que permiten el vuelo del avión. En el
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Capítulo 5 se presenta un análsis introductorio para comprender los fundamentos de la aerodinámica
del ala. En el Capítulo 6 se describen los principales componentes del avión, planteando al mismo
como un sistema integral destacando la función principal de cada uno de ellos. Finalmente, en los
Capítulos 7 y Capítulos 8, se realiza un análisis introductorio de la estabilidad, el control y las
performances del avión.
Gustavo Krause
Córdoba, marzo de 2020
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Índice general
1 Fundamentos físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Propiedades del aire 1
1.1.1 Hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Ecuación hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 La atmósfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 El baroaltímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Fundamentos del flujo de aire 16
1.2.1 Conceptos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Determinación de la velocidad: El tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Flujo viscoso 36
1.3.1 Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.2 Condición de no deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.3 El número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.4 Flujo laminar y flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Capa límite 47
1.4.1 Desarrollo de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.2 Capa límite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.3 Capa límite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.4 Separación de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4.5 Determinación experimental de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.5 Guía de estudio 56
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2 Fuerzas y coeficientes aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo 59
2.2 Introducción al Análisis dimensional 62
2.2.1 Principio de homogeneidad dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 El Teorema Pi de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Coeficientes aerodinámicos 67
2.3.1 Condiciones de similitud en Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 La fuerza de sustentación 71
2.4.1 Distribución de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 El fundamento “circulatorio” de la sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 76
2.5.1 Resistencia parásita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.2 Resistencia de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.3 Resistencia de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.4 Características generales de la resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.5 Resistencia de esferas y cilindros . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5.6 Concepto de área frontal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 Problemas propuestos 90
3 Análisis experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1 Medición de presiones 91
3.1.1 Sondas de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.2 Sonda Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.3 Tomas de presión estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.4 Sonda Pitot-estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.1.5 Determinación de la dirección del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Indicadores de presión 105
3.2.1 Manómetros de columna de líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.2 Transductores de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3 Túneles de viento 117
3.3.1 Túneles de viento subsónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.2 Túnel de viento de circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.3 Túneles de viento de circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3.4 Ensayos aerodinámicos en túneles de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.5 Consideraciones para el diseño de túneles de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3.6 Túneles de viento de uso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 Perfiles aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1 Introducción 135
4.1.1 Características geométricas de los perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.2 Generación de sustentación en un perfil alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.3 La circulación en perfiles aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 Características aerodinámicas de los perfiles alares 140
4.2.1 Sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.2 Resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.3 Momento de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.4 Efectos de la geometría del perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
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4.2.5 Efecto del número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Distribución de presiones en un perfil alar 152
4.3.1 Obteniendo el Cl a partir del Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4 Efectos de compresibilidad en los perfiles alares 156
4.4.1 Número de Mach crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.2 Divergencia de la resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5 Superficies móviles 161
4.5.1 Momento de charnela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6 Desarrollo y diseño de perfiles alares 163
4.6.1 Etapa de sistematización: Perfiles NACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6.2 Etapa computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5 Superficies sustentadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1 Introducción 177
5.1.1 Definiciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1.2 Consideraciones aerodinámicas de las alas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.2 Alas finitas 183
5.2.1 Efectos del campo de movimiento tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2.2 Sustentación en alas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2.3 Resistencia inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.4 Estrategias para reducir la resistencia inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.3 Efectos de compresibilidad en las alas finitas 202
5.3.1 Influencia del ángulo de flecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4 Dispositivos hipersustentadores 205
5.4.1 Flaps de borde de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4.2 Flaps de borde de ataque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.3 Otros dispositivos hipersustentadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4.4 Frenos aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6 Componentes del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.1 Componentes básicos del avión 215
6.1.1 Fuselaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.1.2 Ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.1.3 Empenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.1.4 Tren de aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.1.5 Sistema propulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2 Instrumentos básicos del avión 233
6.2.1 Clasificación de los instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2.2 El altímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.3 El anemómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.2.4 El indicador de velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2.5 Instrumentos giroscópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.3 Problemas propuestos 255
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7 Estabilidad y control del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.1 Introducción 257
7.1.1 El sistema de ejes cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.1.2 Velocidades, fuerzas y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.2 Controles básicos 260
7.2.1 Control lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.2.2 Control longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.2.3 Control direccional . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.3 Estabilidad del avión 264
7.3.1 Conceptos básicos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.3.2 Estabilidad longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.3.3 Modos dinámicos longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.3.4 Estabilidad estática direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.3.5 Estabilidad estática lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.3.6 Modos dinámicos asimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8 Actuaciones del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1 Ecuaciones de movimiento 285
8.1.1 Grados de libertad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1.2 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.1.3 Ecuaciones de movimiento del vuelo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.1.4 Características de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2 Performances estáticas 293
8.2.1 Condiciones de vuelo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.2 Vuelo estacionario, recto y nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.3 Trepada estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2.4 Vuelo sin potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.3 Performances de despegue y aterrizaje 309
8.3.1 Despegue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.3.2 Aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.3.3 Efecto suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.4 Vuelo acelerado 323
8.4.1 Giro nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.4.2 Las maniobras de pull-up y pull-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.4.3 El diagrama V–n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
B Ecuaciones de la Atmósfera Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
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1. Fundamentos físicos
Un avión es un vehículo que se desplaza a través de la atmósfera aprovechando las fuerzas que
se generan por el movimiento relativo entre el aire y dicho vehículo. Estas fuerzas se denominan
fuerzas aerodinámicas y las mismas dependen directamente de las propiedades del medio y de
las características del flujo que se genera alrededor del cuerpo. De este modo, resulta fundamental
conocer las propiedades de la atmósfera terrestre y los principios físicos del flujo de aire para
comenzar a comprender cuáles son los mecanismos que permiten el vuelo de un avión.
1.1 Propiedades del aire
Se definen como propiedades de un gas (o mezcla de gases) a un conjunto de cantidades
físicas que permiten describir la condición o el estado del mismo. Estas propiedades físicas son
fundamentales tanto para caracterizar el estado de la atmósfera como para llevar a cabo el estudio
de cualquier fenómeno que involucre el flujo de aire o de cualquier otro gas o mezcla de gases. Para
nuestro análisis se establecen cuatro propiedades fundamentales: densidad, presión, temperatura y
velocidad:
Definición 1.1 — Densidad. La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen de una
determinada sustancia. En nuesto campo de estudio la sustancia se encuentra en estado gaseoso y
la densidad se designa generalmente con la letra griega ρ. Esta propiedad se expresa en unidades
de masa por unidad de volumen (kg/m3 en el Sistema Internacional de unidades). Si 1m3 de
aire tiene una masa de 1kg, entonces la densidad promedio de ese aire es ρ = 1kg/m3.
Definición 1.2 — Presión. La presión es la fuerza por unidad de área ejercida por un fluido
(líquido o gas) en dirección normal a una determinada superficie. La presión p es una cantidad
física fundamental en el estudio de la dinámica de los fluidos y en el Sistema Internacional de
unidades se mide en pascales (1Pa = 1N/m2). Como veremos a continuación, la magnitud de la
presión depende del marco de referencia a partir del cual se la mide.
Cuando hablamos de presión podemos referirnos a una presión absoluta o una presión relativa,
dependiendo de la referencia con la cual se hace la medición. En el primer caso, como su nombre lo
1
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2 Capítulo 1. Fundamentos físicos
indica, la presión absoluta es justamente la presión que efectivamente se está ejerciendo sobre una
superficie, es decir que se mide con respecto a una referencia de presión nula correspondiente al
vacío absoluto. Esto implica que la presión absoluta es siempre positiva. Por otra parte, la presión
relativa es la diferencia de presión entre la presión (absoluta) medida y una determinada presión
(absoluta) de referencia. Esto significa que la presión relativa puede ser negativa. El valor de la
presión relativa en un determinado punto es el que se obtiene cuando se utiliza un manómetro, que
es el elemento empleado para la medición de presiones. Este elemento provee una lectura relativa
cuya referencia es la presión atmosférica del lugar, de allí que el término presión manométrica
también se utiliza para referirse a la presión relativa.
La presión atmosférica es producto de la fuerza que ejerce la masa del fluido, en este caso
el aire, por acción de la aceleración de la gravedad. En otras palabras, la presión atmosférica
es el “peso” de la columna de aire que se encuentra por encima de un determinado objeto. La
presión atmosférica se mide mediante el uso de un barómetro. De manera general, las presiones
ejercidas por un fluido en reposo por acción gravitatoria se conocen presiones hidrostáticas. Este
tipo de presiones tienen la propiedad de que su valor es constante para una determinada altura
de columna de fluido independientemente de la orientación de la superficie de medición. En un
fluido en movimiento esta propiedad ya no se verifica y decimos que estamos en presencia de una
presión hidrodinámica, cuyo valor sí depende de la orientación de la superficie de medición con
respecto a la dirección del movimiento. Estos conceptos son fundamentales en nuestro estudio y
serán desarrollados más adelante.
Desde el punto de vista de la Teoría Cinética de los Gases, la presión puede entenderse como el
resultado macroscópico de la acción colectiva de las múltiples moléculas que conforman un fluido,
cuyas colisiones con las paredes del recipiente contenedor o del objeto sumergido en el fluido se
traducen en una fuerza neta sobre las superficies. Esta transferencia de cantidad de movimiento
entre las moléculas del fluido y las moléculas de la superficie depende de la frecuencia de las
colisiones, es decir, de la cantidad de veces que las moléculas “chocan” con las paredes,,lo cual
está relacionado con la cantidad de moléculas involucradas en el intercambio, y con la velocidad1
de las mismas, cuya magnitud además influye en la intensidad de esos “choques”. El indicador
macroscópico de la velocidad (promedio) de las moléculas es la temperatura.
Definición 1.3 — Temperatura. La temperatura es una medida de la energía promedio de las
moléculas que conforman una sustancia. En un fluido las moléculas pueden desplazarse más o
menos libremente, por lo tanto, a mayor temperatura mayor energia cinética. Esta propiedad se
designa con la letra T y su unidad en el Sistema Internacional es el kelvin (K)·
De acuerdo a esta definición, resulta que existe un nivel mínimo de temperatura dado por el
reposo absoluto de la materia, situación donde las moléculas que conforman la misma se encuentran
“detenidas” y por lo tanto su energía asociada al movimiento es nula. Esta condición (teórica) se
conoce como el cero absoluto y corresponde al punto T = 0K de la escala de medición. Esto
implica que, al igual de lo que sucede con la presión absoluta, la temperatura (absoluta) es siempre
positiva.
Hasta aquí hemos definido las propiedades que definen el estado termodinámico de un fluido
pero aún no hemos establecido a qué se denomina fluido. Como sabemos, la materia puede
presentarse dentro de nuestra atmósfera principalmente de tres formas o estados diferentes: sólido,
líquido o gaseoso. Existe un cuarto estado conocido como plasma, que aunque es por lejos la
principal forma en que se encuentra la materia en el universo, dentro de nuestro planeta sólo se
presenta en situaciones muy particulares. Puede decirse que las características de cada uno de los
1Esta velocidad es la velocidad de agitación molecular de cada molécula, no debe confundirse con la velocidad del
fluido.
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1.1 Propiedades del aire 3
estados sólido, líquido o gaseaso están dadas por la forma en que se comportan las moléculas que
componen la materia en cada uno de ellos. Mientras que en el estado sólido el movimiento de
las moléculas está restringido solamente a una vibración, en los estados líquido y gaseoso éstas
pueden desplazarse más o menos libremente, lo cual confiere a la materia la capacidad de fluir, es
decir, de deformarse “indefinidamente” frente a la acción de fuerzas tangenciales. A partir de este
comportamiento, el cual está presente en los líquidos y en los gases, un fluido se define simplemente
como aquella sustancia que tiene la capacidad de fluir.
Desde un punto de vista microscópico, está claro que un fluido no puede estar en reposo ya que
su definición justamente implica el movimiento relativamente libre de sus moléculas. Sin embargo,
para las aplicaciones de ingeniería en general estamos más interesadosen lo que sucede con el
fluido a escala macroscópica. A ese nivel, decimos que la velocidad del fluido es un promedio de
las velocidades moleculares de acuerdo a la siguiente definición:
Definición 1.4 — Velocidad. La velocidad del fluido es la medida del movimiento neto del
mismo, es decir, sin considerar las componentes aleatorias de velocidades moleculares. En otras
palabras, la velocidad de una masa de fluido es la velocidad promedio de todas las moléculas
individuales que conforman esa masa, sumadas vectorialmente. La velocidad (vector) se designa
con la letra V y su magnitud (escalar) se expresa como V .
1.1.1 Hipótesis del continuo
Mientras que la densidad, la presión y la temperatura son propiedades termodinámicas, la
velocidad es una propiedad cinemática. Siendo que estas cantidades son definiciones macroscópicas,
la validez de las mismas dependerá fundamentalmente de la escala del problema, de modo que las
promediaciones estadísticas representadas por la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad
estén basadas en una cantidad representativa y suficientemente grande de moléculas. Es así que
estas definiciones macroscópicas pierden sentido en condiciones de muy bajas densidades o en
dominios extremadamente pequeños donde el efecto del movimiento individual de las moléculas
no puede caracterizarse de manera colectiva. En principio esto no parecería generar una limitación
significativa considerando que, en los problemas de nuestro interés, usualmente no se presentan
condiciones extremas que invaliden los conceptos anteriores. Sin embargo, esto plantea algunos
problemas desde el punto de vista de la modelización matemática.
Está claro que, en los problemas reales, las propiedades del fluido en general no son uniformes,
sino que son variables dentro del dominio considerado y además pueden cambiar en cada instante
de tiempo. Para representar matemáticamente esta variación se utiliza la definición de campo que
indica que, de manera general, la densidad, la presión y la velocidad2 son una función de las tres
coordenadas espaciales (x,y,z) y del tiempo t:
ρ = ρ(x,y,z, t),
p = p(x,y,z, t),
V = V(x,y,z, t).
Esto indica que las propiedades del fluido varían punto a punto para cada instante de tiempo. Es
aquí donde surge la siguiente contradicción: ¿cómo es posible obtener una propiedad macroscópica
en un punto que, por definición, es infinitamente pequeño?. Para resolver este conflicto se propone
la siguiente idealización.
Definición 1.5 — Hipótesis del continuo. Esta hipótesis supone que el fluido que constituye un
2La temperatura podría obtenerse a partir de las relaciones que vinculan una propiedad termodinámica con las
restantes.
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4 Capítulo 1. Fundamentos físicos
medio está conformado por elementos de volumen diferenciales infinitamente pequeños, cada
uno de los cuales posee propiedades “puntuales” que definen su propio estado.
La hipótesis del continuo equivale a asumir, por ejemplo, que cualquier volumen de aire, por más
pequeño que sea, tiene las mismas características que el aire a escala macroscópica. Naturalmente,
esta suposición no es verdadera ya que, si se consideran dimensiones en el rango molecular, el
aire luce muy diferente de la forma en que lo percibimos cotidianamente. Sin embargo, cuando
se consideran problemas donde las longitudes características son mucho mayores que el camino
libre medio entre moléculas3, como es el caso de la mayoría de los problemas relacionados al
estudio del vuelo atmosférico, la idealización de la hipótesis del continuo es perfectamente válida
y permite el tratamiento matemático de problemas que involucran el flujo de gases y líquidos de
forma relativamente simple. En el marco de esta hipótesis, la definición de partícula se refiere a un
volumen infinitesimal de fluido, es decir, un punto material que conserva las mismas características
que el fluido a escala macroscópica. Una partícula, definida según el concepto de la hipótesis del
continuo, no debe confundirse entonces con una molécula de fluido ya que. según esta idealización,
una partícula de fluido está formada por una gran cantidad de moléculas.
En términos formales, la validez de la hipótesis del continuo se evalúa en función de una
relación adimensional conocida como el número de Knudsen. Esta relación es simplemente el
cociente entre el camino libre medio molecular λmfp del fluido que conforma el medio y la longitud
de referencia `ref que define la escala del problema, es decir:
Kn=
λmfp
`ref
. (1.1)
La condición de validez de la hipótesis del continuo es entonces Kn� 1. Como veremos a lo largo
de este libro, las cantidades adimensionales son de gran utilidad en el campo de la Mecánica de los
Fluidos.
Es importante notar que la modelización matemática de las propiedades macroscópicas a través
de campos es posible solamente bajo la hipótesis del continuo ya que, de esta manera, es válido
asumir propiedades (macroscópicas) asociadas a un punto. De este modo, la presión y la densidad
pueden definirse en términos de cantidades diferenciales:
p = lı́m
δA→0
δF
δA
=
dF
dA
,
ρ = lı́m
δυ→0
δm
δυ
=
dm
dυ
,
siendo dA un elemento diferencial de área y dυ un elemento diferencial de volumen.
1.1.2 Ecuación,de estado
Las ecuaciones de estado describen la relación entre las diferentes propiedades termodinámicas
de un gas o una mezcla de gases, como es el caso del aire. Existen diferentes ecuaciones de
estado que son válidas dependiendo del problema analizado, del tipo de gas (o mezcla) y de
las condiciones particulares de densidad, presión y temperatura. En las aplicaciones de nuestro
interés es posible considerar al aire en equilibrio químico y termodinámico, lo cual significa que su
composición química no cambia y que las propiedades termodinámicas satisfacen en todo momento
las relaciones de estado, ya que la escala de tiempo del problema es mucho mayor que el tiempo de
“ajuste” termodinámico. Además, se puede asumir que los valores de presión y temperatura están lo
suficientemente alejados de condiciones extremas, de modo que que es válida la condición de gas
3El camino libre medio se define como la distancia promedio recorrida por las moléculas entre dos colisiones
sucesivas.
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1.1 Propiedades del aire 5
perfecto o ideal. Esto nos permite suponer que el aire responde a la ecuación de estado de los gases
ideales.
Teniendo en cuenta que la presión se debe a la transferencia de cantidad de movimiento produ-
cida por las colisiones de las moléculas contra la superficie, resulta que la misma es proporcional
a la velocidad de las moléculas y a la frecuencia de las colisiones. Esto implica que la presión es
proporcional a la temperatura (absoluta) T , que es la medida de la energía cinética de las moléculas,
y al número de moléculas nm (por unidad de volumen), entendiendo que a mayor cantidad de
moléculas mayor es la frecuencia de colisiones, entonces:
p = nmkBT.
La constante de proporcionalidad kB = 1,38065× 10−23 J/K en esta relación es la constante de
Boltzmann.
Teniendo en cuenta que el número de moléculas puede escribirse en términos de la densidad
como nm = NAρ/µm, siendo NA = 6,02214× 1023 mol−1 el número de Avogadro y µm la masa
molar del gas (o mezcla), la expresión anterior resulta:
p = ρ
R ′
µm
T, (1.2)
donde R ′ = kBNA = 8,314472J/(Kmol) es la llamada constante universal de los gases. Conside-
rando el caso particular del aire cuya masa molar es µmaire = 28,97×10−3 kg/mol, la ecuación de
estado para esta mezcla de gases es
p = ρRaireT, (1.3)
donde
Raire =
R ′
µm aire
= 287,058
J
Kkg
. (1.4)
es la constante particular del aire. indexconstante del aire
Debe tenerse en cuenta que, naturalmente, la ecuación de estado de los gases ideales no es
válida en cualquier condición. Para presiones muy elevadas o temperaturas demasiado bajas o
demasiado altas, entran en juego efectos que no son considerados por la ecuación de estado ideal y
deben considerarse los efectos de gas real. Estos efectos están asociados a las fuerzas de atracción-
repulsión de las moléculas y al volumen finito que las mismas ocupan. Por lo tanto, en el caso de
que las moléculas resulten muy confinadas, como sucede a muy elevadas presiones (o densidades),
o cuando las fuerzas de atracción-repulsión no sean despreciables, como sucede a muy bajas
temperaturas donde la energía cinética de las moléculas es relativamente baja, la ecuación de estado
de los gases ideales pierde validez y deben considerarse otros modelos como la ecuación de Van
der Waals. Por otro lado, a muy elevadas temperaturas se activan reacciones químicas en el aire
que producen la disociación molecular y el cambio de composición de la mezcla de gases, lo cual
obviamente invalida la utilización de un modelo tan sencillo como el de gas perfecto (o ideal) que
asume el equilibrio químico del medio.
Ejemplo 1.1 Determinar la densidad de un volumen de aire cuya temperatura es de 15 oC y que
se encuentra a una presión de 1atm.
De acuerdo a la ecuación de estado de los gases ideales, la densidad se determina mediante
ρ =
p
RaireT
.
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6 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Para utilizar esta ecuación es necesario escribir las propiedades del aire en unidades consistentes,
las cuales además deben tener referencias absolutas. Entonces, en el Sistema Internacional de
unidades
p = 1atm = 101325Pa,
T = 15 oC = 288,15K.
Para esta condición la densidad del aire resulta:
ρ =
101325
287,058×288,15
= 1,225
kg
m3
.
Como veremos más adelante, los valores de presión, temperatura y densidad establecidos
en este ejemplo representan una condición de referencia muy importante en las aplicaciones
aeronáuticas: son las llamadas condiciones estándar a nivel del mar. �
1.1.3 Ecuación hidrostática
Como sabemos, todos los elementos que se encuentran sobre la superficie terrestre y en sus
inmediaciones están sumergidos dentro de una masa de aire que conforma la atmósfera terrestre. El
peso de esta masa de aire se traduce en una presión, la llamada presión atmosférica, que ejerce el
fluido sobre los elementos dentro de la atmósfera, cuya magnitud depende de la “altura” de aire que
existe por encima y de la densidad del mismo.
La ecuación hidrostática, también llamada ecuación de altura, establece de qué manera varía
la presión de un fluido en reposo en función de la distancia vertical (o altura) a una superficie de
referencia. Para conocer esta variación se analizan las condiciones de equilibrio de fuerzas para un
elemento diferencial de volumen de área dA y altura dh en presencia de un campo gravitatorio de
magnitud g (ver Figura 1.1):
(p+ dp) dA+gρdhdA = pdA,
por lo tanto,
dp
dh
=−ρg. (1.5)
La ecuación (1.5) indica cómo varía la presión con respecto a la altura en un fluido en reposo.
Si el fluido es un líquido podemos asumir con gran nivel de precisión que la densidad es constante
y la ecuación anterior se integra muy fácilmente pero, para el caso de un gas (o mezcla) como el
aire en la atmósfera terrestre, la suposición de ρ = cte ya no es válida. Esto implica que la ecuación
anterior cuenta con dos incógnitas (p y ρ), por lo que debemos imponer una forma de variación
de la densidad para conocer así la distribución de presión con respecto a la altura h. Teniendo en
cuenta las características de la atmósfera, que es el medio que deseamos modelar, en la cual puede
suponerse que la temperatura ambiente varía de forma lineal con la altura o se mantiene constante
con ésta dentro de cada capa atmosférica, asumimos estas dos formas de variación vinculando T y
ρ a través de la ecuación de estado. Para ello, resolvemos la ecuación (1.5) para las condiciones de
temperatura constante (atmósfera isotérmica) y con gradiente térmico constante (variación lineal de
la temperatura con la altura).
Por otro lado, la aceleración de la gravedad g es una cantidad conocida que puede considerarse
constante siempre que se trabaje con variaciones de altura mucho menores que el radio terrestre
(RTierra ≈ 6400km). En lo referente a aplicaciones aeronáuticas convencionales, suponer una
aceleración de la gravedad constante es una simplificación muy aceptable, cuyo valor se toma igual
al que se registra a nivel del mar sobre el ecuador:
g= 9,80665
m
s2
. (1.6)
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1.1 Propiedades del aire 7
Figura 1.1: Equilibrio de fuerzas en un elemento de volumen de un fluido en reposo.
Temperatura constante
En el caso isotérmico (T = cte), la ecuación hidrostática (1.5) se reescribe considerando la
ecuación de estado (1.3):
dp
dh
=− pg
RT
,
por lo tanto,
dp
p
=− g
RT
dh.
Integrando ambos miembros de la ecuación, siendo pref una presión de referencia conocida a la
altura de referencia href, se obtiene
ˆ p
pref
1
p
dp =−
ˆ h
href
g
RT
dh,
ln
(
p
pref
)
=− g
RT
(h−href) .
De esta forma queda determinada la variación de la presión en función de la altura para una
temperatura constante T :
p
pref
= exp
[
− g
RT
(h−href)
]
. (1.7)
Considerando la ecuación de estado, para T = cte la densidad es proporcional a la presión, entonces
su variación para el caso isotérmico se escribe de la misma manera:
ρ
ρref
= exp
[
− g
RT
(h−href)
]
. (1.8)
Gradiente térmico constante,Como veremos más adelante, en la capa más baja de la atmósfera la temperatura, en general, no
se mantiene constante con la altura sino que varía de manera aproximadamente lineal, disminuyendo
a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Estas variaciones son importantes si se
consideran cambios de altitud del orden de los 500m, por lo que las variaciones de la temperatura
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8 Capítulo 1. Fundamentos físicos
no pueden despreciarse si tenemos en cuenta que, durante un vuelo convencional, suelen registrarse
cambios en la altura muy superiores a ese valor.
Considerando entonces un gradiente de temperatura constante λ tal que la variación de tempe-
ratura con la altura es:
T (h) = Tref +λ(h−href), (1.9)
la ecuación hidrostática puede escribirse como
dp
p
=− g
Rλ
dT
T
,
ya que, de acuerdo a la ecuación (1.9), tenemos
dT
dh
= λ→ dh = dT
λ
.
Integrando ambos miembros y considerando los valores de referencia pref y Tref a la altura href se
obtiene
ln
(
p
pref
)
=− g
λR
ln
(
T
Tref
)
,
por lo tanto,
p
pref
=
(
T
Tref
)−[g/(λR)]
.
Escribiendo la temperatura en función de la altura se obtiene la expresión de la variación de la
presión con la altura en un medio con gradiente térmico constante:
p
pref
=
[
1+
λ
Tref
(h−href)
]−g/(λR)
. (1.10)
La variación de la densidad se determina considerando la relación p/pref = ρT/(ρrefTref) que surge
de la ecuación de estado, entonces:
ρ
ρref
=
[
1+
λ
Tref
(h−href)
]−g/(λR)−1
. (1.11)
De esta manera quedan definidas las distribuciones de presión y densidad tanto para el caso de
atmósfera isotérmica como para gradiente térmico constante en relación a la altura.
1.1.4 La atmósfera terrestre
De manera general, se define como atmósfera a la capa de gas o mezcla de gases que cubre la
superficie de los cuerpos celestes. En nuestro planeta esta mezcla de gases se denomina aire y está
compuesta mayormente por Nitrógeno y Oxígeno con una composición que varía principalmente
con la distancia a la superficie terrestre. En las regiones donde se desarrolla la vida, es decir, en la
zona cercana a la superficie, y para altitudes de hasta 80km, puede considerarse que la composición
del aire es aproximadamente constante con la siguiente proporción en volumen:
N2 = 78 %
O2 = 21 %
Ar = 1 %
CO2 = 0,3 %
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1.1 Propiedades del aire 9
Esta condición permite asumir que el medio por el cual se desplazan los aviones (convencio-
nales) está conformado por una mezcla de gases con una composición química constante. Por
otra parte, hay que destacar que, además de los gases indicados anteriormente, también pueden
encontrarse rastros de otros gases en proporciones muy pequeñas, tales como Neón, Hidrógeno,
Criptón y Helio, además de vapor de agua, cuyo porcentaje es muy variable dependiendo de la
región de la Tierra y de la época del año.
Capas de la atmósfera
La atmósfera terrestre puede dividirse en diferentes capas considerando distintos criterios. Por
ejemplo, desde el punto de vista de la concentración de los gases constituyentes, la homósfera es la
capa inferior de la atmósfera donde esta concentración se mantiene aproximadamente constante (a
excepción del vapor de agua y el ozono), mientras que la heterósfera se extiende por encima de la
anterior hasta aproximadamente los 3500km, dentro de la cual la proporción de los gases comienza
a variar debido a fenómenos de difusión molecular. Otra clasificación posible es considerando
la carga eléctrica del gas, donde se diferencia una zona de gases eléctricamente neutros hasta
aproximadamente los 80km de altitud denominada neutrósfera, y una zona de gases ionizados (o
plasma) llamada ionósfera, que se extiende por encima de la anterior hasta los 500km.
Para los objetivos de nuestro estudio, conviene realizar una clasificación más detallada basada en
otros aspectos que incluyen la variación de las propiedades termodinámicas del aire, particularmente
la temperatura, ya que, como veremos más adelante, esto nos permitirá caracterizar la atmósfera y
construir un modelo de la misma. Desde este punto de vista pueden distinguirse principalmente las
siguientes capas atmosféricas:
Tropósfera: es la capa más baja de la atmósfera y donde se producen los fenómenos mete-
reológicos (nubes, tormentas) que percibimos diariamente. Su espesor varía de acuerdo con
la latitud y la época del año desde unos 10km en los polos hasta unos 17km sobre el ecuador.
En condiciones normales, la tropósfera se caracteriza por la disminución de la temperatura
con la altura.
Estratósfera: es la segunda capa atmosférica situada aproximadamente entre los 10km y los
50km, donde la temperatura se mantiene más o menos constante hasta los 36km y luego se
incrementa con la altitud hasta alcanzar un valor de alrededor de 0 oC. Se caracteriza porque
dentro de esta capa se produce la disociación del oxígeno que genera el ozono (O3) entre
los 16km y los 40km. El ozono es el encargado de absorber gran parte de la radiación solar
nociva.
Mesósfera: se extiende desde los 50km a los 80–90km, donde la temperatura disminuye
con la altura. Esta capa finaliza en la Mesopausa, zona en la cual se presenta la segunda
temperatura mínima, del orden de 190K (−83 oC) a una altitud de 85km.
Termósfera: es la capa situada entre los 90km y los 500km de altitud en la cual la tempera-
tura crece rápidamente hasta unos 250 oC y luego sobre los 1000 oC hasta 2000 oC durante
el día. Las moléculas de N2 y O2 se disocian y se ionizan. Sobre los 300km se forma una
atmósfera aproximadamente isotérmica de unos 400 oC por la noche y hasta 1300 oC durante
el día.
Exósfera: Es considerada la última capa de la atmósfera. En ella se encuentran gases
monoatómicos como Hidrógeno y Helio en capas estratificadas. Esta capa se extiende hasta
donde la intensidad del campo magnético terrestre ya no es capaz de repeler la acción del
plasma interplanetario (viento solar).
Además de las capas atmosféricas detalladas anteriormente, existen subcapas como la Tropo-
pausa, Estratopausa, Mesopausa y Termopausa que separan las capas adyacentes. En la Figura 1.2
se presenta la distribución esquemática de las distintas capas de la atmósfera incluyendo las
clasificaciones basadas en la composición química y en la carga eléctrica del gas.
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10 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.2: Esquema de la atmósfera terrestre. En línea continua se observa la variación
promedio de la temperatura en función de la altitud.
1.1.5 Atmósfera estándar
En algunos pasajes de los párrafos anteriores hemos reemplazado la palabra “altura” por el
término altitud, sin especificar cuál es la diferencia entre estos aparentes sinónimos. Inicialmente po-
dríamos pensar que las propiedades referidas a la atmósfera, de carácter termodinámico, no guardan
relación con el concepto de altitud, de carácter eminentemente geométrico. Sin embargo, teniendo
en cuenta las características de la atmósfera y el principio de funcionamiento de los instrumentos
utilizados para estimar la posición vertical durante un vuelo, las propiedades atmosféricas y la
altitud están estrechamente vinculadas y su relación es fundamental para la operación aeronáutica.
Desde el punto de vista geométrico pueden distinguirse distintos “tipos” de altitud que son
útiles en Aeronáutica:
La altitud geométrica es la mínima distancia entre un objeto y la superficie formada por el
nivel medio del mar. A menudo nos referimos a la altitud geométrica simplemente como
altitud.
La altitud absoluta es similar a la anterior pero tiene como referencia el centro de la Tierra, y
se utiliza cuando se consideran grandes altitudes, como en el caso de vehículos aeroespaciales
o satélites, donde debe tenerse en cuenta la variación de la aceleración de la gravedad con la
distancia al centro de la Tierra.
La altitud geopotencial toma como referencia niveles donde la aceleración de la gravedad
es constante, los cuales no se corresponden estrictamente con niveles,de altitud geométrica
constante ya que, como se sabe, la Tierra no es perfectamente esférica.
Por otra parte, teniendo en cuenta la naturaleza de la atmósfera terrestre, donde la presión, la
densidad y la temperatura varían con la altitud, se definen las altitudes de presión, de densidad y de
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 11
Capa Altitud inicial
[km]
Gradiente
térmico [K/km]
Temperatura
base Tref [K]
Tropósfera 0 −6,5 288,15
Tropopausa 11 0 216,65
Estratósfera 20 +1,0 216,65
Estratósfera 32 +2,8 228,65
Estratopausa 47 0 270,65
Mesósfera 51 −2,8 270,65
Mesòsfera 71 −2,0 214,65
Mesopausa 85 0,0 186,87
Tabla 1.1: Distribución de temperaturas en la atmósfera estándar internacional (1976) válida
hasta una altitud de 100km .
temperatura. Como ya hemos anticipado, el objetivo de definir este tipo de altitudes obedece a que
la mayoría de los dispositivos primarios utilizados para la estimación de la altitud en aeronaves son,
en realidad, elementos que miden la presión atmosférica, y se valen de que esta presión disminuye
con la altitud, entregando un valor calibrado en unidades de altitud de acuerdo a las variaciones que
se registran en la atmósfera. Sin embargo, la atmósfera terrestre es un sistema dinámico que cambia
constantemente, donde las propiedades del aire varían de acuerdo a la ubicación geográfica, hora del
día, época del año, etc. Claramente no es posible tener en cuenta todas estas condiciones para definir
niveles de presión constante que se traduzcan en unidades de altitud. Entonces, a los efectos de
garantizar una misma calibración de altitudes para los distintos altímetros, independientemente de
las condiciones particulares de la atmósfera en cada lugar, existe una convención internacional que
define un modelo de atmósfera de referencia denominada atmósfera estándar internacional (ISA
por sus siglas en inglés), la cual no sólo permite la navegación aérea, sino que además proporciona
un marco de referencia para la realización de cálculos aerodinámicos y de performance consistentes.
El modelo ISA divide a la atmósfera en distintas capas dentro de las cuales la temperatura varía
linealmente según valores basados en condiciones promedio en latitudes medias. Las propiedades
termodinámicas se obtienen considerando que el aire es un gas perfecto con R = 287,058J/(K kg))
en reposo (velocidad nula), para el cual existe una distribución impuesta de temperatura donde la
presión y la densidad se calculan mediante la ecuación de estado de los gases ideales asumiendo
equilibrio hidrostático con gravedad constante g = 9,80665m/s2. El punto de partida para los
valores de referencia en la atmósfera estándar se establece en el nivel medio del mar donde se fijan
los siguientes valores:
TMSL = 288,15K = 15 oC,
pMSL = 101325Pa = 1atm,
ρMSL = 1,225kg/m3.
(1.12)
En la atmósfera estándar se asume una variación lineal de la temperatura en las distintas
capas atmosféricas. En la Tabla 1.1 se muestran los gradientes térmicos correspondientes a cada
capa (un valor nulo indica temperatura constante), además de las altitudes de transición entre
ellas y las temperaturas de referencia en el inicio de cada capa. Según se observa en esta tabla,
existen regiones de variación lineal de la temperatura (gradiente térmico constante) y regiones de
temperatura constante (regiones isotérmicas). Por lo tanto, teniendo en cuenta los desarrollos de la
Sección 1.1.3, es posible obtener los valores de la presión y la densidad para una altitud dada, tal
como se muestra en el siguiente ejemplo.
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12 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Ejemplo 1.2 Calcular los valores de densidad, presión y temperatura para una altitud de 14km
en la atmósfera estándar internacional.
Una altitud de 14km corresponde a la Tropopausa (ver Tabla 1.1), por lo tanto el medio es
isotérmico y los valores de referencia necesarios para completar las ecuaciones son los del final
de la Tropósfera. En esa región los valores de referencia son Tref = 288,15K, ρref = 1,225kg/m3,
pref = 101325Pa con gradiente térmico constante λ = −0,0065K/m, entonces en el límite
superior de esta región (h = 11km), utilizando las ecuaciones (1.10) y (1.11) se obtiene:
p11km = pref
(
1+
λ
Tref
11000m
)−g/(λR)
= 22632,6Pa,
ρ11km = ρref
(
1+
λ
Tref
11000m
)−g/(λR)−1
= 0,36393
kg
m3
.
En la Tropopausa tenemos temperatura constante, con lo cual se emplean las expresiones (1.7) y
(1.8) con los valores de referencia calculados anteriormente, resultando:
T14km = 216,65K,
p14km = p11km exp
[
− g
RT11km
(h−11000m)
]
= 14102,3Pa,
ρ14km = ρ11km exp
[
− g
RT
(h−11000m)
]
= 0,22676
kg
m3
.
�
Para agilizar los cálculos en problemas posteriores, en el Apéndice B se presentan las ecuaciones
de la atmósfera estándar incluyendo los valores de referencia de cada capa atmosférica. Con estas
ecuaciones sólo es necesario introducir el valor de la altitud considerando la capa correspondiente
para obtener directamente los resultados de ρ, p y T en unidades del Sistema Internacional.
1.1.6 El baroaltímetro
El altímetro es el instrumento utilizado en una aeronave para conocer la posición vertical de la
misma. Este instrumento es el principal y más importante elemento para la navegación vertical y
para establecer la separación vertical del avión con el suelo y otras aeronaves.
Un altímetro convencional es, en realidad, un baroaltímetro, que básicamente consiste en un
dispositivo que mide la presión abiente en la posición de vuelo. El baroaltímetro está compuesto
por un manómetro conectado a un orificio expuesto a la presión atmosférica local y un dial
indicador cuya escala se encuentra calibrada en unidades de altitud en lugar de expresar unidades
de presión. La transformación entre el valor de presión ambiente y la lectura de altitud que exhibe el
instrumento es posible gracias a la definición de la atmósfera de referencia ISA, cuyo modelo provee
la equivalencia entre presión atmosférica y altitud que permite la calibración del instrumento. En la
Figura 1.3 se muestra el esquema de funcionamiento elemental de un baroaltímetro. Allí vemos
que se dispone una cápsula aneroide4 que se encuentra expuesta a la presión atmosférica exterior.
La deformación de la cápsula, producida por los cambios en la presión ambiente, se transmite
mediante un mecanismo especial al dial indicador, el cual entrega una lectura de altitud o altura
dependiendo de la presión de referencia o de calaje fijada para realizar la estimación. La acción
de fijar la presión de referencia del baroaltímetro se denomina calado, y para esto el instrumento
4Se define como cápsula aneroide a una cápsula elástica cerrada herméticamente que se expande o se contrae frente a
los cambios de presión atmosférica.
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1.1 Propiedades del aire 13
0
1
2
3
45
6
7
8
9
29.8
29.
6
Figura 1.3: Esquema de funcionamiento elemental de un baroaltímetro.
cuenta con una perilla que permite ajustar el altímetro a la presión correspondiente, la cual se
observa en una pequeña ventana conocida como ventanilla de Kollsman.
Es importante tener en cuenta que la información entregada por un altímetro (convencional) es
una estimación aproximada de la posición vertical de la aeronave con respecto a un determinado
marco de referencia definido por la presión de calaje, de manera de poder comparar esta informa-
ción con la posición de otros elementos (suelo, otras aeronaves) que obviamente debe estimarse
considerando la misma referencia. En todos los casos, aunque estas estimaciones se expresen en
metros (o pies), las mismas son en realidad valores de presión que se transforman a unidades de
longitud utilizando el modelo de atmósfera estándar. En otras palabras, se dice que el altímetro
entrega una altitud de presión de acuerdo a la siguiente definición:
Definición 1.6 — Altitud de presión. La altitud de presión es la altitud que le corresponde a la
presión ambiente local en el modelo de atmósfera estándar (ISA), es decir, la altitud a la,cual se
obtiene la misma presión que la ambiente en la atmósfera estándar. Dado que a una altitud de
presión determinada la presión es constante, una superficie de presión constante (isobara) define
una superficie de altitud de presión constante.
El concepto de altitud (a secas) utilizado en la definición anterior es una definición eminen-
temente geométrica y, por lo tanto, no debe cofundirse con la altitud de presión que provee el
altímetro, cuyo marco de referencia está basado en la distribución de presión. La definición formal
de altitud se presenta a continuación.
Definición 1.7 — Altitud. La altitud es la distancia vertical, también entendida como la mínima
distancia, entre el nivel, punto u objeto considerado y el nivel medio del mar (MSL: mean sea
level). Para enfatizar el carácter geométrico de esta definición suele referirse a la altitud real
como altitud verdadera (TA: true altitude), la cual suele expresarse en pies sobre el nivel del
mar (ft AMSL: feet above mean sea level) en el contexto aeronáuticoa.
aEn la operación y la industria aeronáutica se han heredado múltiples unidades del Sistema Imperial que continúan
utilizándose masivamente como consecuencia de la fuerte influencia norteamericana en el sector.
Teniendo en cuenta que la operación de las aeronaves convencionales se produce dentro de
la Tropósfera, la equivalencia entre presión y altitud para obtener la altitud de presión se realiza
considerando la ecuación de altura para gradiente térmico constante. De la ecuación (1.10) se
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14 Capítulo 1. Fundamentos físicos
obtiene la siguiente expresión:
h =
Tref
λ
[(
p
pref
)−λR/g
−1
]
+href. (1.13)
Entonces, para los valores de referencia de la atmósfera estándar en la Tropósfera (ver Tabla 1.1) y
teniendo en cuenta que el gradiente térmico es negativo, la altitud de presión resulta:
hMSL [m] = 44330,77
[
1−
(
p
pMSL
)0,19027]
. (1.14)
Definición 1.8 — Altitud de densidad. En forma análoga a la altitud de presión, la altitud de
densidad indica la altura necesaria en la atmósfera estándar (ISA) para obtener una densidad
igual a la densidad ambiente.
A diferencia de la altitud de presión, la altitud de densidad no se utiliza como una referencia de
altitud, sino que es más bien un idicador de performance ya que, como veremos más adelante, la
densidad del aire influye directamente en el desempeño de una aeronave. Por ejemplo, una altitud
de densidad elevada, lo cual implica un valor bajo de densidad, reduce la potencia disponible del
motor, disminuye la fuerza de sustentación y extiende las carreras de despegue y aterrizaje. La
altitud de densidad se obtiene mediante la ecuación (1.11):
hρ =
Tref
λ
[(
ρ
ρref
)−1/[g/(λR)+1]
−1
]
+href, (1.15)
lo cual resulta para la tropósfera:
hρMSL [m ] = 44330,77
[
1−
(
ρ
ρref
)0,23497]
, (1.16)
donde ρref es la densidad de referencia. Debido a la complejidad para obtener valores precisos
de densidad, en general es preferible deducir la altitud de densidad indirectamente mediante los
valores de altitud de presión y temperatura ambiente, para lo cual existen gráficos de doble entrada
que permiten realizar esta estimación de manera rápida durante un vuelo.
Otras importantes definiciones altimétricas corresponden a los conceptos de altura y elevación,
los cuales están relacionados con alguna posición sobre la superficie terrestre.
Definición 1.9 — Altura. La altura se define como la distancia vertical entre el nivel, punto u
objeto considerado y la superficie terrestre. Esta cantidad suele expresarse en pies sobre el nivel
del terreno (ft AGL: feet above ground level).
Definición 1.10 — Elevación. La elevación se refiere siempre a un punto fijo sobre la superficie
terrestre e indica la distancia vertical entre ese punto y el nivel medio del mar. Cuando se hace
referencia a la elevación de un aeródromo, ésta indica la elevación más alta del área de aterrizaje.
Al igual que la altitud, la elevación suele expresarse en ft AMSL.
Durante un vuelo, la altura del avión puede conocerse a través de un instrumento denominado
radio altímetro, el cual consiste básicamente en un emisor de señales de radio que mide el tiempo
que le demanda a la señal reflejada en el terreno retornar a la aeronave. Mediante esta información
el instrumento calcula la distancia recorrida por la señal estimando así la altura de vuelo. Aunque el
radio altímetro es un importante dispositivo de seguridad, la información “instantánea” de la altura
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1.1 Propiedades del aire 15
de vuelo no es de gran utilidad para la navegación aérea. Para este propósito es más adecuado utilizar
referencias fijas como ser el nivel medio del mar dado por la presión estándar o un aeródromo
cercano, cuya posición de referencia vertical se estima considerando la presión atmosférica del
lugar. A partir de este valor se define la altura de presión:
Definición 1.11 — Altura de presión. La altura de presión es la diferencia entre la altitud de
presión del nivel, punto u objeto considerado y la altitud de presión de un punto fijo sobre la
superficie terrestre con respecto al cual se estima la medición.
Ejemplo 1.3 Determinar la altitud de presión y la altura de presión de una aeronave que se
desplaza en una posición donde la presión atmosférica es de 540hPa y se encuentra volando
sobre una superficie de 2000m de elevación cuya presión atmosférica es de 787hPa.
La determinación de la altitud de presión es directa por medio de la ecuación (1.14):
hMSL,avión = 44330,77
[
1−
(
540
1013,25
)0,19027]
= 5002,93m = 16414ft AMSL.
Para obtener la altura de presión primero debemos calcular la altitud de presión del punto de
referencia sobre la superficie terrestre:
hMSL,grnd = 44330,77
[
1−
(
787
1013,25
)0,19027]
= 2080,97m.
Con este valor determinamos la altura de presión de la aeronave
hgrnd,avión = hMSL,avión−hMSL,grnd = 2921,96m = 9586ft AGL.
Nótese que un valor aproximado bastante preciso para la altura de presión puede obtenerse
utilizando la presión y la temperatura ambiente del lugar de referencia sobre la superficie terrestre
como valores de referencia en la ecuación (1.14). Tomando Tgrnd = 288,15−0,0065×2000 =
275,15K se obtiene
h̃grnd,avión = 44330,77
Tgrnd
TMSL
[
1−
(
540
787
)0,19027]
= 2927,56m = 9604ft AGL.
Como vemos, la diferencia entre ambos resultados es de menos del 1%.
�
Nótese que para el cálculo de la altura de presión no es necesario conocer la elevación del
punto de referencia en la superficie terrestre sino solamente la presión atmosférica del lugar. Esta
presión, la cual generalmente corresponde a un aeródromo cercano y se designa como QFE, es muy
importante en la operación aeronáutica ya que, a partir de este valor, se define la presión QNH, que
es la presión de referencia utilizada para la navegación a altitudes relativamente bajas. Por otro
lado, la presión de la atmósfera estándar a nivel del mar recibe el nombre de QNE y se utiliza como
referencia cuando el vuelo se realiza a grandes altitudes. Estos conceptos se analizarán en detalle en
el Capítulo 6, donde se presentan los principales instrumentos del avión (entre ellos el altímetro).
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16 Capítulo 1. Fundamentos físicos
1.2 Fundamentos del flujo de aire
La Mecánica de los Fluidos es la rama de la Mecánica de los Medios Continuos que estudia el
movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que lo provocan y las acciones
que se generan por el movimiento. Dentro de esta disciplina, la Aerodinámica se ocupa del estudio
del flujo de gases, particularmente el aire, y de su interacción con cuerpos sólidos cuando existe
movimiento relativo entre ellos. Un entendimiento acabado de los fenómenos físicos involucrados
en estos procesos es fundamental para todo aquel que pretenda diseñar, construir o inclusive operar
una aeronave.
El objetivo principal de la Aerodinámica es fundamentalmente el de cuantificar y predecir
las fuerzas y momentos que se generan como consecuencia,de la interacción entre el sólido y el
medio gaseoso, es decir, determinar las acciones aerodinámicas que experimenta el sólido debido
al movimiento (relativo) del aire. En esta sección presentaremos los conceptos básicos relativos a
estos aspectos.
1.2.1 Conceptos iniciales
Lejos de ser sencillo, el estudio del flujo de gases puede resultar extremadamente complejo si se
consideran todos los fenómenos involucrados en este tipo de problemas. Sin embargo, dependiendo
de la profundidad del análisis y de las características particulares del problema, pueden llevarse a
cabo una serie de simplificaciones que reducen notablemente la dificultad del análisis, permitiendo
su abordaje mediante ecuaciones relativamente sencillas que aún así son de gran utilidad.
A continuación se presentan las principales definiciones y simplificaciones que pueden realizarse
sobre los problemas de flujo de fluidos, y que serán esenciales a lo largo de este texto.
Representación del problema
En los problemas convencionales de Estática y Dinámica, e incluso en muchos problemas
de Termodinámica, suele imponerse la idea de sistema para la representación y el análisis de los
mismos. Esto significa que suponemos que el medio en estudio es una colección de materia de
identidad fija (los elementos o partículas que conforman esa materia son siempre los mismos).
Así, por ejemplo, en el análisis del movimiento de un cuerpo rígido el sistema está constituido
precisamente por ese cuerpo, el cual está formado por una determinada cantidad de materia que
nosotros seguiremos durante el estudio.
En el análisis del flujo de fluidos, la idea de sistema puede resultar desventajosa ya que, en
general, las partículas de materia “acceden” al dominio para luego abandonarlo conforme se
desarrolla el flujo, haciendo imposible la definición de un sistema de identidad fija. Por este motivo
suele utilizarse el enfoque del volumen de control para el análisis de flujos, donde la identidad fija la
constituye una geometría definida en el espacio que no depende del flujo, y cuya masa interna puede
variar en el tiempo. Desde este punto de vista, el fluido fluye a través del volumen de control y el
estudio consiste en analizar lo que sucede dentro y en los límites del mismo, utilizando un marco
de referencia fijo a dicho volumen. Esto es lo que se conoce como un análisis local o euleriano del
problema, el cual se contrapone con el análisis sustancial o lagrangiano.
La definición del volumen de control en general dependerá de las características geométricas del
problema. Así, por ejemplo, si deseamos estudiar las propiedades del flujo a través de una sección
de tubería, el volumen de control estará dado por las paredes de la tubería y por las secciones
transversales a la misma a través de las cuales ingresa y egresa el fluido. Algo similar sucede en
el caso de flujos en conductos o canales. Sin embargo, la definición del volumen de control no
resulta tan trivial cuando se considera el movimiento de cuerpos sólidos en medios fluidos. En estos
casos, el flujo ya no se encuentra confinado en un volumen fijo por lo que suele ser necesario definir
un volumen de control móvil que sigue el movimiento del cuerpo. En la Figura 1.4 se muestran
dos ejemplos de volúmenes de control que ilustran la forma de representar problemas de flujo de
DR
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 17
Figura 1.4: Definición de volúmenes de control para el análisis de problemas de flujo. (a)
Volumen de control fijo. (b) Volumen de control móvil.
fluidos.
Flujo estacionario
La idea de flujo estacionario en principio podría parecer contradictaria, ya que por definición
un flujo implica movimiento. Sin embargo, desde un punto de vista local, la estacionariedad del
flujo se refiere a que las propiedades del fluido en una determinada posición no cambian en el
tiempo, es decir, que la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad se mantienen constantes
a lo largo del tiempo y sólo son función de la posición:
ρ = ρ(x,y,z),
p = p(x,y,z),
T = T (x,y,z),
V = V(x,y,z).
(1.17)
La suposición de flujo estacionario es quizás la principal simplificación que puede realizarse
para el tratamiento del movimiento de los fluidos. Con ella se logra una notable simplificación en
las ecuaciones que gobiernan el flujo, ya que todos los términos asociados a variaciones temporales
desaparecen. Naturalmente, esta simplificación será válida únicamente en aquellos problemas
que respondan a la condición de estacionariedad, como por ejemplo el flujo constante de gases o
líquidos a través de un conducto, los movimientos no acelerados de cuerpos en medios fluidos, etc.
Definición del marco de referencia
Si bien la idea más simple de volumen de control es una geometría fija en el espacio, un gran
número de problemas de Mecánica de Fluidos pueden simplificarse considerablemente al utilizar
volúmenes de control móviles, especialmente cuando el movimiento se realiza a velocidad constante.
Estos casos corresponden fundamentalmente al desplazamiento de cuerpos en medios fluidos, como
el que se produce por el vuelo de un avión en la atmósfera terrestre. En esa situación existe una
velocidad relativa entre el aire en reposo y el avión que se mueve a velocidad constante V∞, cuyo
efecto aerodinámico es el mismo que se obtiene al considerar al avión en reposo inmerso en una
corriente de aire de velocidad V∞. En términos formales, esto es una transformación galileana, ya
que el cambio de sistema de referencia se debe solamente a una velocidad constante (en magnitud y
dirección), por lo que la transformación no introduce fuerzas adicionales cuando el sistema inicial
es inercial. Este principio es el que se utiliza en los túneles de viento, en los cuales el análisis
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18 Capítulo 1. Fundamentos físicos
aerodinámico se realiza experimentalmente colocando un cuerpo en reposo dentro de una corriente
de aire con el objetivo de recrear las condiciones “reales” del movimiento.
La utilización de un volumen de control móvil permite transformar el campo de movimiento
eminentemente inestacionario que produce un cuerpo desplazándose en un fluido en reposo a un
problema estacionario en el cual el cuerpo está fijo e inmerso en una corriente que fluye estacio-
nariamiente a su alrededor. Para ilustrar este concepto imaginemos un automóvil desplázandose
a velocidad constante en una carretera recta. Para un observador ubicado a un lado del camino,
el movimiento es claramente inestacionario, donde el aire cambia sus propiedades en regiones
diferentes a medida que el auto avanza. Pero para un observador que se encuentra dentro del
vehículo, el movimiento del aire es esencialmente estacionario, ya que las propiedades del flujo no
cambian dentro de un volumen que contiene al automóvil y se mueve junto con éste.
Teniendo en cuenta lo anterior, cuando se analiza el movimiento estacionario de cuerpos en
medios fluidos, en general se considera un marco de referencia fijo al cuerpo y alineado con la
velocidad del mismo. Se define como velocidad de la corriente libre a la velocidad del flujo relativa
al cuerpo en regiones tan alejadas del mismo que no existen perturbaciones debidas a su presencia.
Por este motivo, esta velocidad suele indicarse como V∞, haciendo referencia a que se trata de la
velocidad del flujo “en el infinito”. Nótese que en el caso de una transformación galileana en el
problema de un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniforme, la velocidad V∞ es igual a la velocidad
de desplazamiento del cuerpo. Del mismo modo que la velocidad, las propiedades restantes del
flujo asociadas a la corriente libre también se indican con el subíndice ∞ (ρ∞, p∞ y T∞).
Concepto de velocidad de flujo y líneas de corriente
La velocidad del flujo debe entenderse como la velocidad de desplazamiento de cada partícula de
fluido5 que conforma dicho flujo. Considerando las idealizaciones de la hipótesis del continuo (ver
Sección 1.1.4), puede definirse una velocidad para cada punto,del dominio, o sea que la velocidad
del gas puede variar punto a punto tanto en magnitud como en dirección. En otras palabras, la
velocidad del flujo en cada punto fijo del dominio es la velocidad del elemento diferencial de masa
en dicho punto fijo para un instante de tiempo dado.
A partir del concepto de la velocidad del flujo se realizan una serie de definiciones que facilitan
la interpretación y el análisis de los problemas que involucran el movimiento de fluidos. Estas
definiciones corresponden a las líneas de corriente, líneas de trayectoria y líneas de traza de un
flujo. Entre ellas, las líneas de corriente están más asociadas al análisis teórico, mientras que las
líneas de trayectoria y las líneas de traza son generalmente más usadas en el análisis experimental.
Definición 1.12 — Líneas de corriente. Una línea de corriente es una curva que en cada punto es
tangente al vector velocidad del flujo. Según su definición, existen infinitas líneas de corriente
asociadas a los infinitos puntos que conforman el dominio, las cuales no pueden intersectarse ya
que hay un solo vector velocidad (y por lo tanto una sola dirección tangencial al mismo) por
cada punto.
Matemáticamente las líneas de corriente se definen considerando un elemento diferencial de
arco ds = (dx, dy, dz), el cual por definición debe ser paralelo a la velocidad V = (u,v,w) en
cada punto, por lo tanto:
ds×V = (w dy− v dz) î+(u dz−w dx) ĵ+(v dx−u dy) k̂ = 0.
De la expresión anterior se deduce
dx
u
=
dy
v
=
dz
w
. (1.18)
5Entendiendo a una partícula de fluido de acuerdo a las idealizaciones asumidas en la hipótesis del continuo (ver
Definición 1.5).
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 19
Figura 1.5: Esquema de una línea de corriente para el instante de tiempo t = ti y una línea de
trayectoria para la partícula P1 en el intervalo t0 ≤ t ≤ tN .
La definición de las líneas de corriente se relaciona con la idea de “fotografía” del movimiento, ya
que las líneas de corriente representan una situación instantánea del flujo. Contrariamente, las líneas
de trayectoria representan la “historia” del movimiento de cada partícula fluida, con lo cual suelen
asociarse a la idea de “película” del movimiento. Esta diferencia puede verse esquemáticamente en
la Figura 1.5.
Definición 1.13 — Líneas de trayectoria. Como su nombre lo indica, una línea de trayectoria es
una curva que representa el camino recorrido por una partícula de fluido dentro del dominio
considerado. Al igual que para las líneas de corriente, en cada instante de tiempo existen infinitas
líneas de trayectoria asociadas a los infinitos elementos de fluido que existen teóricamente,
pero a diferencia del caso anterior, las líneas de trayectoria sí pueden intersectarse ya que dos
elementos de fluido pueden haber ocupado la misma posición en diferentes instantes de tiempo.
La línea de trayectoria para una partícula de fluido P se expresa matemáticamente como las
funciones xP(t), yP(t) y zP(t) que expresan la variación de la posición xP = (xP,yP,zP) de la
partícula en el tiempo:
xP(t) = xP(t0)+
ˆ t
t0
u(xP(τ),τ) dτ,
yP(t) = yP(t0)+
ˆ t
t0
v(xP(τ),τ) dτ,
zP(t) = zP(t0)+
ˆ t
t0
w(xP(τ),τ) dτ.
La expresión anterior es equivalente a:
dxP
dt
= VP(xP, t), (1.19)
que es la ecuación de movimiento cinemática de la partícula P.
Hay que enfatizar el hecho de que el vector xP representa la posición de una misma partícula
a lo largo del tiempo, por lo tanto la derivada dxP/dt es una derivada sustancial y xP no debe
confundirse con una posición fija en el dominio.
Definición 1.14 — Líneas de traza. Una línea de traza se define como una curva formada por
todas las partículas de un flujo que previamente han pasado por un mismo punto del dominio.
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20 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.6: Fotografía del flujo de baja velocidad alrededor de un perfil aerodinámico. La
visualización se logra mediante la inyección de humo en algunos puntos del campo
de movimiento.
Nuevamente, dado que existen infinitos puntos dentro de un dominio, existen también infinitas
líneas de traza asociadas a cada uno de estos puntos.
Tanto las líneas de corriente como las líneas de traza representan una “situación instantánea”
que pueden variar. En el caso de flujo estacionario ambos conjuntos de líneas permanecen fijos
en el tiempo. Por otro lado, las líneas de trayectoria también podrán variar o permanecer fijas
dependiendo del recorrido que realicen las “nuevas” partículas de fluido que ingresan al dominio.
Bajo la condición de flujo estacionario, los tres grupos de curvas serán coincidentes entre sí, ya
que los elementos de fluido que pasan por un punto determinado recorrerán siempre la misma
trayectoria, haciendo indistinguibles las líneas de traza de las trayectorias. Además, la velocidad
que experimentará cada partícula de fluido a lo largo de su trayectoria será la misma, ya que el flujo
es estacionario, por lo tanto las líneas de corriente también coinciden con las líneas de trayectoria.
Esto puede verificarse analizando la expresión (1.19), que para el caso donde la velocidad (local)
no depende del tiempo, se reduce a la ecuación (1.18) cuando se considera un punto fijo en la línea
de trayectoria xP.
De esta manera, bajo la condición de flujo estacionario es posible visualizar experimentalmente
las líneas de corriente de forma relativamente sencilla. La técnica consiste en introducir en el
flujo un elemento contaminante que permita la visualización, tal como humo o algún colorante, de
modo que el fluido arrastre dicho elemento con el movimiento. Aunque de esta forma se estarán
reproduciendo líneas de traza tal como sucede con el humo que sale de una chimenea, a diferencia
de dicho ejemplo donde generalmente el viento desplaza el humo aleatoriamente configurando un
flujo no estacionario, la condición de estacionariedad del flujo hace que las líneas de traza coincidan
con las líneas de corriente permitiendo así visualizar estas últimas. En la Figura 1.6 se muestra la
fotografía de las líneas de corriente correspondientes al flujo estacionario alrededor de un perfil
aerodinámico que se observa mediante la inyección de humo.
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 21
Flujo bidimensional
La definición de las líneas de corriente permite estableceer otras definiciones tendientes a
simplificar el tratamiento de los problemas de movimiento de fluidos. Si para un flujo determinado
las líneas de corriente quedan en todo momento contenidas dentro de planos paralelos, se dice
que el movimiento es plano y el mismo puede reducirse a un flujo bidimensional si es que las
propiedades no varían en dirección normal a dichos planos. Un ejemplo de flujo bidimensional es el
que se muestra en la Figura 1.6, ya que el campo de movimiento puede caracterizarse considerando
únicamente dos dimensiones, con un comportamiento se “repite” en la dirección perpendicular al
plano considerado.
La reducción de un problema tridimensional a uno bidimensional es otra de las principales
simplificaciones que pueden realizarse en el tratamiento del flujo de fluidos. Obviamente, la
posibilidad de llevar a cabo esta simplificación dependerá de la naturaleza del problema, ya que
para que su aplicación sea válida el campo de movimiento debe cumplir con los requerimientos del
movimiento plano. Este aspecto se pone en evidencia en el Capítulo 5 cuando se estudia el flujo
alrededor del ala de un avión.
Una simplificación similar a la de flujo bidimensional es la de flujo axisimétrico, la cual se
aplica en el caso de flujos que poseen simetría axial, tal como puede ocurrir en el movimiento de
fluidos a través de tubos rectos de sección circular o en el flujo alrededor de cuerpos de revolución
alineados con la corriente principal. En estos casos, las propiedades del flujo se repiten en cada
plano longitudinal que contiene al eje de simetría del problema, permitiendo reducir los grados de
libertad del análisis.
Flujo no viscoso,Una simplificación posible y válida en muchos problemas de interés es suponer que no existen
fuerzas de fricción producidas por el movimiento del aire sobre las paredes de los elementos
sólidos, es decir, suponer que el aire tiene viscosidad nula. La viscosidad puede entenderse como
la resistencia o la oposición a fluir que intrínsecamente poseen todos los fluidos (este concepto se
estudia en detalle en la Sección 1.3). Esta propiedad es evidente en líquidos “pesados” como aceites
o pinturas, en los cuales la viscosidad determina el comportamiento del flujo, pero en el caso del
flujo de gases como el aire, sus efectos pueden despreciarse si se cumplen ciertas condiciones.
La suposición de flujo no viscoso o flujo ideal equivale a asumir que no existen pérdidas de
energía durante el movimiento del fluido, ya que no existen otros mecanismos de disipación de la
energía en el marco de procesos adiábaticos como asumimos que son los problemas de nuestro
interés. Sin embargo, no deben perderse de vista las limitaciones de la hipótesis de flujo no viscoso
especialmente en aquellos casos donde existe desprendimiento del flujo o cuando las tensiones
debidas a la fricción no son despreciables (estos conceptos se analizarán en profundidad en el
Capítulo 2).
Compresibilidad del aire
Está claro que el aire, como cualquier gas o mezcla de gases, constituye un medio compresible,
lo cual significa que su densidad puede cambiar punto a punto e instante a instante por acción de la
presión o del movimiento. Esto implica que, debido a la propiedad de comprimirse y expandirse,
los cambios o perturbaciones que sufre el medio no se transmiten instantáneamente por todo el
dominio sino que lo hacen a una velocidad finita viajando en forma de ondas que se propagan desde
el origen de la perturbación. Éste es el caso de las ondas de compresión que viajan por el aire y que
percibimos en forma de sonido, de allí que la velocidad a la cual se transmite la “información” a
través de un medio gaseoso se conoce como la velocidad del sonido.
En el caso de gases perfectos (o ideales), tal como se asume al aire bajo las condiciones presentes
en nuestros estudios, la velocidad del sonido a es una función de la temperatura solamente:
a =
√
γRT , (1.20)
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22 Capítulo 1. Fundamentos físicos
donde la constante particular del aire R es constante (ya que se asume la hipótesis de gas perfecto)
y γ= cp/cv es la relación de calores específicos a presión y volumen constante, igual al coeficiente
isoentrópico. Siendo que el aire es un gas poliatómico resulta γ= 7/5= 1,4. Por otro lado, teniendo
en cuenta la expresión de la ecuación de estado para gases ideales, la velocidad del sonido puede
escribirse en términos de la relación entre la presión y la densidad:
a =
(
γ
p
ρ
)1/2
. (1.21)
La velocidad del sonido es una propiedad fundamental de un medio gaseoso cuya magnitud
determina gran parte de las características del flujo. Para establecer la influencia de este parámetro
se lleva a cabo una de las definiciones más importantes en el estudio del flujo de gases:
Definición 1.15 — Número de Mach. Se define como número de Mach Ma al cociente entre la
velocidad del flujo en un punto determinado del campo de movimiento y la velocidad (local) del
sonido:
Ma=
V
a
. (1.22)
El número de Mach constituye una de las cantidades fundamentales en Aerodinámica, ya
que a partir de este valor pueden clasificarse distintos regímenes de flujos con características y
comportamientos particulares:
1. Flujo subsónico para Ma< 1
2. Flujo sónico para Ma= 1
3. Flujo supersónico para Ma> 1
Además de estos tres regímenes, cuyos límites están bien definidos, pueden establecerse los
regímenes de flujo transónico (0,8 .Ma . 1,2) y flujo hipersónico (Ma > 5) cuyos límites son
algo flexibles dentro de cierta variación.
El número de Mach indica la relación que existe entre la velocidad del flujo y la velocidad a la
cual se transmite la información en el medio. El efecto del movimiento sobre la densidad es más
importante a medida que aumenta el número de Mach ya que, de modo muy simplificado, podemos
pensar que cuando ambas velocidades V y a son comparables (Ma. 1), la acción del movimiento
es tan rápida con respecto a la velocidad de propagación de las ondas que llevan la información
de lo que sucede corriente abajo que las moléculas del fluido no son capaces de “reacomodarse”
generándose así cambios en la densidad. Aunque estos cambios siempre se producen en el flujo
de gases, éstos pueden despreciarse cuando la velocidad del flujo es lo suficientemente baja en
compraración con la velocidad del sonido. Es importante notar que los cambios en la densidad a los
que nos referimos en este caso son aquellos que se deben solamente a la acción del movimiento y
no de una compresión hidrostática como sucede en un gas en reposo.
Teniendo en cuenta que la gran mayoría de los problemas de Aerodinámica presentan varia-
ciones de altura pequeñas con respecto a la escala atmosférica, tal que los cambios en la densidad
asociados a compresiones hidrostáticas pueden despreciarse, en ocasiones es posible asumir que el
aire es un fluido incompresible, es decir, que la densidad permanece constante en todo el campo de
movimiento. La suposición de incompresibilidad es válida para el regímen de flujo subsónico de
baja velocidad, el cual establece que la máxima velocidad del flujo debe cumplir la condición
Mamáx =
Vmáx
a
. 0,3. (1.23)
De acuerdo a esta relación, para un flujo de aire en condiciones estándar a nivel del mar, la
suposición de incompresibilidad es válida para Vmáx . 100m/s, ya que bajo esas condiciones la
velocidad del sonido es a ≈ 340m/s.
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 23
Figura 1.7: Definición de un tubo de flujo.
Más allá de esta idealización, no debe perderse de vista que el aire, como todos los gases,
constituye un medio compresible y que la idea de incompresibilidad está asociada “más al flujo
que al fluido”, de allí que que esta hipótesis se conoce como de flujo incompresible. La razón por
la cual la condición Ma . 0,3 permite asumir que la densidad es constante será justificada más
adelante (ver Sección 1.2.4).
1.2.2 Ecuaciones de conservación
Teniendo en cuenta los conceptos detallados anteriormente, a continuación vamos a proceder
a presentar algunas ecuaciones fundamentales para describir las propiedades de un fluido en
movimiento. Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones de conservación ya que expresan los
principios físicos de conservación de la masa y de conservación de la energía. Para nuestro análisis
estas ecuaciones serán determinadas asumiendo las hipótesis de flujo incompresible, estacionario y
no viscoso.
Ecuación de continuidad
Los principios de la Mecánica de los Fluidos están sustentados en las leyes de la Física. De
estos principios, seguramente el más intuitivo es el de conservación de la masa, el cual postula que,
lejos de los límites relativísticos, la materia no puede ser creada ni destruida. Esto significa que el
cambio en la masa dentro de un volumen de control se debe a la diferencia entre el flujo de masa
que ingresa y el flujo de masa que sale del volumen cuando no existen fuentes ni sumideros dentro
del mismo. Esto implica que cualquier incremento de la masa interna debe necesariamente provenir
del flujo entrante y cualquier disminución de la misma debe producirse necesariamente por el flujo
saliente del volumen de control.
Bajo la hipótesis de flujo estacionario, las propiedades locales del fluido se mantienen constantes
en el tiempo lo cual implica que la masa del fluido dentro del volumen de control también es
constante. Por lo tanto, de acuerdo al principio de conservación de la masa, el flujo de masa
entrante al volumen de control es igual al flujo de masa saliente. Para ejemplificar esta situación,
consideremos (sin pérdida de generalidad) un volumen conformado por la superficie en forma de
tubo que se genera por un grupo de líneas de corriente,y dos superficies normales a las mismas,
tal como se muestra en la Figura 1.7. Un volumen definido de esta manera se conoce como tubo
de flujo, ya que el fluido no puede abandonar el mismo a través de las paredes formadas por las
líneas de corriente, de lo contrario se estaría violando la condición de que las líneas de corriente
no pueden intersectarse. Por lo tanto, la superficie cerrada formada por las líneas de corriente se
comporta como si efectivamente se tratara de un tubo de paredes sólidas.
Teniendo en cuenta entonces la definición del tubo de flujo, y recordando que el flujo es
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24 Capítulo 1. Fundamentos físicos
estacionario, resulta que el tubo de flujo permanece fijo en el dominio y las propiedades del fluido
no cambian en el tiempo. Esto implica que el caudal másico que pasa a través de una de las
superficies transversales del tubo de flujo debe ser igual al caudal másico que atraviesa la otra
superficie. Si no se cumpliera esta condición significaría que dentro del tubo se está creando o
destruyendo materia, lo cual violaría el principio de conservación de la masa. Entonces, podemos
escribir:
ρ1V1A1 = ρ2V2A2, (1.24)
donde los subíndices 1 y 2 corresponden a los valores promedio de densidad y velocidad en cada
una de las superficies de área A1 y A2.
La ecuación (1.24) es la llamada ecuación de continuidad para flujo estacionario, la cual
constituye una simple ecuación algebraica. La ecuación de continuidad presentada de esta forma se
utiliza para el cálculo del flujo a través de todo tipo de ductos y tubos, tales como túneles de viento
o motores de cohetes.
Si a la condición de flujo estacionario le añadimos la condición de flujo incompresible, debe
cumplirse ρ1 = ρ2 y la ecuación de continuidad se reduce a una expresión que vincula la relación
de velocidades con la relación de áreas:
V1
V2
=
A2
A1
. (1.25)
Naturalmente, esta ecuación es especialmente válida para el caso de líquidos, los cuales pueden
asumirse como incompresibles con un alto grado de precisión. En el caso de los gases, como el aire,
deben tenerse en cuenta los límites de la suposición de incompresibilidad del flujo.
La ecuación (1.25) explica por qué las toberas utilizadas para acelerar el flujo de líquidos, como
el caso de una manguera de riego, son siempre convergentes, es decir, que reducen su área en la
dirección del movimiento. Este principio es válido también para el flujo de gases sólo en régimen
subsónico, tal como ocurre en la construcción de túneles de viento de baja velocidad, pero para
velocidades superiores a la velocidad del sonido deben considerarse los efectos de compresibilidad
del gas y las toberas resultan con una forma convergente-divergente (tobera de Laval).
Ejemplo 1.4 Determinar la velocida (media) a la entrada y a la salida de un convergente que
tiene una sección de entrada de 0,75m2 y una sección de salida de 0,20m2, a través del cual
circula un caudal de aire de 6m3/s.
La velocidad media de un fluido que circula a través de un conducto es simplemente la relación
entre el caudal volumétrico y la sección transversal, entonces a la entrada del convergente:
Vin =
6m3/s
0,75m2
= 8
m
s
.
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 25
Para obtener la velocidad media a la salida podemos utilizar la expresión anterior considerando
la sección de salida del convergente o podemos emplear la ecuación de continuidad para flujo
incompresible considerando la relación entre las secciones de entrada y salida, es decir:
VoutAout =VinAin→Vout =Vin
Ain
Aout
= 30
m
s
.
�
Ecuación de Bernoulli
A continuación procederemos a obtener la Ecuación de Bernoulli, una de las ecuaciones
fundamentales de la Mecánica de los Fluidos, la cual expresa el principio de conservación de la
energía. Para este desarrollo se hace uso de los postulados de la Mecánica Clásica, más precisamente
de la segunda Ley de Newton:
F = ma, (1.26)
donde F es el vector fuerza, m la masa y a el vector aceleración.
Para simplificar el análisis asumimos además que el flujo es bidimensional. Un elemento
diferencial de fluido se desplaza a lo largo de una línea de corriente con velocidad V en un
determinado instante de tiempo, tal como se muestra en la Figura 1.8. La fuerza que actúa sobre
este elemento es la resultante de las fuerzas debidas a los siguientes fenómenos:
1. La presión, que actúa en dirección normal a las caras del elemento.
2. La fricción que actúa en dirección tangencial a las caras del elemento y que se debe a la
viscosidad del fluido.
3. El peso que actúa sobre el elemento de fluido debido a la aceleración gravitatoria g.
Asumiendo flujo no viscoso (fluido ideal) las fuerzas de fricción son nulas y la resultante de las
fuerzas externas es la suma de las fuerzas de presión y las fuerzas gravitatorias. Entonces, teniendo
en cuenta que la velocidad es tangente a la línea de corriente y que nos interesa conocer la fuerza en
esa dirección, la ecuación vectorial (1.26) se reduce a la siguiente ecuación escalar que considera
las componentes de las fuerzas en la dirección s del flujo:
m
dV
dt
=
(
Fpresión +Fgravitatorias
)
s .
Las componentes de las fuerzas de presión y gravitatorias se obtienen observando la Figura 1.8,
teniendo en cuenta que la coordenada s es tangente a la línea de corriente y que dh es normal a s.
Entonces, recordando que asumimos flujo bidimensional (las áreas y volúmenes están referidas a
un ancho unitario), la ecuación anterior resulta:
ρ dhds
dV
dt
= pdh− (p+ dp) dh−ρg sinβ dhds.
donde ρ es la densidad promedio dentro del volumen diferencial.
Siendo
dV
dt
=
dV
ds
ds
dt
=V
dV
ds
,
podemos escribir
ρV
dV
ds
=−dp
ds
−ρg sinβ. (1.27)
Esta ecuación relaciona el cambio en la cantidad de movimiento de la partícula fluida (miembro
izquierdo) con las fuerzas actuantes sobre la misma (miembro derecho). Hay que tener en cuenta que
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26 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.8: Diagrama de fuerzas sobre un elemento de fluido para la derivación de la ecuación
de Bernoulli.
ella es válida tanto para flujo incompresible como compresible, ya que aún no hemos introducido
ninguna restricción en cuanto a la variación de la densidad. La interpretación física de esta ecuación
es que el cambio en la velocidad de la partícula se logra a través de una adecuada combinación
entre el gradiente de presión y el peso de la misma a lo largo de la línea de corriente. Mientras
que en un fluido en reposo las fuerzas de presión y gravitatorias se balancean entre sí (el miembro
izquierdo de la ecuación es nulo), en un fluido en movimiento estas fuerzas no necesariamente son
iguales y el desbalance entre ellas provee la fuerza que produce la aceleración de la partícula fluida.
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (1.27) por ds e integrando entre dos puntos s1 y
s2 de la línea de corriente para un fluido incompresible (ρ = cte):
ρ
ˆ V2
V1
V dV =−
ˆ p2
p1
dp+ρ
ˆ s2
s1
g sinβ ds,
1
2
ρ
(
V 22 −V 21
)
=−(p2− p1)−ρg (H2−H1)
donde se ha utilizado la relación entre la coordenada de altura H y s tal que
dH
ds
= sinβ→ dH = dssinβ,
con lo cual
ˆ s2
s1
ρg sinβ ds =
ˆ H2
H1
ρg dH.
Finalmente podemos escribir la siguiente relación para dos puntos genéricos 1 y 2 dispuestos
sobre una misma línea de corriente:
1
2
ρV 21 + p1 +ρgH1 =
1
2
ρV 22 + p2 +ρgH2 (1.28)
Esta ecuación expresa el principio de conservación de la energía para flujo estacionario, in-
compresible y no viscoso. El primer término representa la energía cinética, el segundo la energía
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 27
de presión y el último la energía potencial. Esta expresión indica que, bajo la suposición de un
flujo ideal donde no existen mecanismos de disipación, la energía no puede “perderse” sino que se
transforma. En otras palabras, la energía mecánica total del sistema se mantiene constante:
1
2
ρV 2 + p+ρgH = constante. (1.29)
La ecuación de conservación de la energía,expresada en la forma de la ecuación (1.29) es la
llamada Ecuación de Bernoulli, la cual fue derivada por Daniel Bernoulli en 1737 aplicada al flujo
de agua. Esta ecuación es también conocida como Principio de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli.
Aunque las suposiciones utilizadas para su derivación pueden parecer un tanto restrictivas, la
ecuación de Bernoulli es de gran utilidad para resolver muchos problemas reales que pueden
modelarse asumiendo flujo estacionario, incompresible y no viscoso, encontrando su solución
mediante la aplicación de este principio.
En el caso particular del estudio del flujo de aire para aplicaciones aerodinámicas, la ecuación
de Bernoulli generalmente se ve reducida en un término, ya que la energía potencial ρgH suele
mantenerse prácticamente constante debido a que el aire tiene una densidad relativamente baja y a
que, en general, existen variaciones pequeñas en la altura H. Bajo esta condición la ecuación (1.29)
se se reduce a:
1
2
ρV 2 + p = p0. (1.30)
donde p0 representa la energía mecánica total del sistema y por lo tanto es constante a lo largo de
cada línea de corriente.
Cada uno de los términos en la ecuación de Bernoulli expresada en la forma (1.30) recibe
una denominación especial. El conocimiento de lo que representa cada uno de estos términos es
fundamental para el entendimiento de muchas de las aplicaciones aerodinámicas.
Definición 1.16 — Presión estática p. La presión estática en un punto dado es la presión que
“siente” una superficie infinitesimal tangente a la dirección del flujo (es decir, tangente a la línea
de corriente). Esta definición indica que en presencia de un movimiento (V 6= 0), la presión
estática es la presión debida a la transferencia de cantidad de movimiento a nivel molecular que
ejerce el fluido sobre la superficie considerada.
El concepto de presión estática tiene sentido en el contexto del movimiento de un fluido puesto
que en el caso de un fluido en reposo no es posible definir una dirección del flujo, no obstante, en
general se asume que las presiones hidrostáticas son también presiones estáticas. Por otro lado,
algunos autores incorporan a la definición anterior la condición de que la superficie infinitesimal
sobre la cual se mide la presión estática debe moverse con el fluido, lo cual parecería no introducir
modificaciones con respecto a la medición de una superficie fija siempre que ésta sea tangente al
flujo (en ese caso la velocidad macroscópica no aporta cantidad de movimiento).
Definición 1.17 — Presión dinámica q. La presión dinámica puede definirse como la porción de
la energía del flujo asociada a la velocidad, es decir, que corresponde al término de la energía
cinética en la ecuación de Bernoulli. Esta cantidad suele indicarse con la letra q = 12 ρV
2 y en el
caso de flujo incompresible también se la conoce como presión cinética o presión de velocidad.
Definición 1.18 — Presión total p0. La presión total cuantifica la energía total disponible en el
flujo. En el caso de la ecuación de Bernoulli simplificada para el aire (sin considerar la variación
de la energía potencial), la presión total es la suma de la presión estática y la presión dinámica
(p0 = p+q). Debido a que la presión total resulta igual a la presión estática para velocidad nula,
ella también se conoce como presión de impacto o presión de estancamiento.
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28 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Es importante notar que la presión total es una propiedad del flujo en un punto dado, la cual
se mantiene constante a lo largo de una misma línea de corriente (asumiendo la condición de
flujo no viscoso). Por otro lado, considerando la relación entre la presión y las demás variables
termodinámicas, en Dinámica de Gases también se definen “valores totales o de impacto” para
la temperatura y la densidad (T0 y ρ0, respectivamente). Además, hay que tener en cuenta que
las definiciones de presión estática, presión dinámica y presión total son válidas tanto para flujo
incompresible como compresible, aunque las relaciones entre ellas que surgen de la ecuación de
Bernoulli sólo son válidas en el marco de las hipótesis utilizadas para obtener dicha ecuación,
es decir, flujo estacionario, no viscoso e incompresible. En este punto, cabe destacar que la
irrotacionalidad6 del flujo no es un requerimiento necesario para la validez de la ecuación de
Bernoulli tal como fue obtenida anteriormente, ya que la constante que define la energía mecánica
total de cada línea de corriente puede variar de una a otra y esta variación se produce en dirección
normal al movimiento, por lo tanto, la ecuación (1.28) puede utilizarse en un flujo rotacional entre
dos puntos sobre una misma línea de corriente (Katz y Plotkin, 2001, págs. 28–29).
Ejemplo 1.5 Teniendo en cuenta los datos del Ejemplo 1.4, determinar la presión total del flujo
a través del convergente y la presión estática a la salida del mismo si la presión atmosférica a la
entrada es de 1013hPa y la densidad del aire de 1,23kg/m3.
De acuerdo a los resultados del ejemplo 1.4 tenemos que las velocidades a la entrada y a la
salida del convergente son Vin = 8m/s y Vout = 30m/s, respectivamente. Por lo tanto, la presión
dinámica en cada sección es
qin =
1
2
ρV 2in = 39,36Pa,
qout =
1
2
ρV 2out = 553,5Pa.
Conociendo la presión atmosférica a la entrada del convergente, que en este caso es igual a la
presión estática del flujo en esa sección, la presión total resulta
p0 = pin +qin = 101339,36Pa.
La presión estática a la salida es entonces (asumiendo que no existen pérdidas por fricción)
pout = p0−qout = 100785,86Pa.
�
1.2.3 Determinación de la velocidad: El tubo Pitot
El principal “aporte” de la ecuación de Bernoulli es brindar una relación entre la presión y la
velocidad del flujo. Esta relación permite obtener la velocidad de una corriente de aire a partir de la
medición de la presión estática y la presión total. El instrumento encargado de medir la presión
total de una corriente se denomina tubo (o sonda) Pitot, el cual debe su nombre a su inventor, el
francés Henri Pitot quien desarrolló esta idea en el siglo XVIII. Un esquema básico de un tubo Pitot
se muestra en la Figura 1.9. Este instrumento consiste en un tubo colocado en forma paralela a la
corriente cuyo extremo delantero (nariz) se encuentra abierto al flujo (punto A de la figura), mientras
que el otro extremo del tubo está cerrado (punto B). De esta manera, el fluido que ingresa por el
extremo abierto queda “estancado” en el punto B hasta que se alcanza la condición estacionaria y
en efecto todo el fluido dentro del tubo Pitot se encuentra “detenido”, incluso en el punto A. Como
6La irrotacionalidad es la condición cinemática que exige que la vorticidad del flujo sea nula, es decir, ∇×V = 0.
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 29
Figura 1.9: Esquema básico de un tubo Pitot.
consecuencia, este punto constituye un punto de estancamiento del flujo, por lo tanto la presión
medida en dicho punto es la presión total (o de estancamiento) p0. Esta presión se transmite a través
del tubo Pitot que se conecta a un manómetro para obtener finalmente el valor de la presión total.
Para la medición de la presión estática debemos tener presente que, de acuerdo a la Defini-
ción 1.16, esta presión se registra sobre una superficie paralela (o tangencial) al flujo, de modo que
no exista aporte de cantidad de movimiento de la velocidad (macroscópica). Para esta medición se
dispone una superficie paralela a las líneas de corriente en la cual se realiza un pequeño orificio
que se conecta a un manómetro, el cual indicará la presión estática en dicho punto. Esta medición
puede realizarse con la misma sonda encargada de medir la presión total, que debe recibir las modi-
ficaciones necesarias para tal fin. Esta sonda se conoce como sonda Pitot-estática. Este dispositivo
es similar a la sonda Pitot convencional pero en este caso se disponen orificios llamados tomas
estáticas sobre el cuerpo de la sonda, en la región,donde la superficie se encuentra alineada con la
dirección de la corriente, tal como se observa en la Figura 1.10. Debe prestarse especial atención
a los defectos que se producen sobre la medición de la presión estática, los cuales son debidos a
la posición y a la forma de las tomas estáticas, puesto que la dicha presión es muy sensible a las
perturbaciones que pueda sufrir el flujo en la zona de medición. Estos efectos se estudian en el
Capítulo 3 donde se presentan los detalles acerca del funcionamiento de las sondas de presión.
Una vez conocidos los valores de la presión total y de la presión estática es posible determinar la
velocidad de un flujo incompresible mediante la utilización de la ecuación de Bernoulli. Despejando
la velocidad de la ecuación (1.29) resulta:
V =
[
2(p0− p)
ρ
]1/2
. (1.31)
Es importante notar que la velocidad del flujo depende de la diferencia entre la presión total y
la presión estática, por lo tanto es indistinto expresar estos valores como presiones absolutas o
relativas. Desde el punto de vista de la medición, naturalmente es más conveniente utilizar valores
relativos que son medidos mediante manómetros.
Consideremos entonces una sonda Pitot-estática como la de la Figura 1.10, cuyas tomas de
presión total y estática se encuentran conectadas a un manómetro diferencial7 de columna de líquido.
7Un manómetro diferencial es aquel que mide la diferencia de presión entre dos puntos.
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30 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.10: Esquema de una sonda Pitot-estática conectada a un manómetro diferencial de
columna de líquido.
De acuerdo al principio de vasos comunicantes, la presión dentro del líquido a un determinado nivel
debe ser igual en cada tubo, por lo tanto, tomando el nivel A indicado en la figura se puede escribir:
p0 +ρg∆h = p+ρlíqg∆h,
donde ρlíq es la densidad del líquido manométrico y g la aceleración de la gravedad. Los términos
ρg∆h y ρlíqg∆h son las respectivas presiones hidrostáticas debidas a la columna de aire en el tubo
de la izquierda y a la columna de líquido en el tubo de la derecha. Hay que tener en cuenta que en
este caso hemos despreciado posibles efectos de capilaridad, los cuales pueden alterar la altura ∆h.
Teniendo en cuenta que para el aire resulta ρ� ρlíq, podemos despreciar el aporte del término
ρg∆h en la expresión anterior, por lo tanto:
p0− p = ρlíqg∆h. (1.32)
Como podemos observar, en el caso de flujo incompresible el manómetro diferencial mide
directamente la presión dinámica del flujo que es justamente la diferencia entre la presión total y la
presión estática, con lo cual la velocidad de la corriente resulta
V =
[
2g∆h
ρlíq
ρ
]1/2
.
Esta expresión es muy utilizada en aerodinámica experimental, donde los manómetros diferenciales
de columna de líquido son ampliamente utilizados para conocer la diferencia entre la presión total y
la presión estática. Como veremos en el Capítulo 3, este tipo de manómetros tiene la ventaja de no
requerir la calibración del instrumento y permite realizar mediciones con una precisión aceptable.
Para la medición de la densidad del gas debe tenerse en cuenta que las relaciones obtenidas
anteriormente son válidas únicamente bajo la hipótesis de flujo incompresible, por lo tanto ρ = cte
y su valor se obtiene a partir de las mediciones de la presión p y la temperatura T en algún punto
del campo de movimiento, utilizando luego la ecuación de estado ρ = p/(RT ).
Independientemente del método empleado para medir las presiones, está claro que la ecuación
de Bernoulli nos permite determinar la velocidad de una corriente de aire en régimen incompresible.
Las aplicaciones derivadas de la expresión (1.31) van desde la determinación de la distribución
de velocidades dentro de la cámara de ensayo de un túnel de viento hasta la estimación de la
velocidad de vuelo de una aeronave (en este caso en regímen de vuelo subsónico de baja velocidad).
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1.2 Fundamentos del flujo de aire 31
Estas estimaciones serán válida siempre que las velocidades sean suficientemente bajas como para
justificar la suposición de flujo incompresible, es decir, que la velocidad sea menor a 0,3 veces la
velocidad del sonido (Ma. 0,3).
Por otro lado, debe tenerse en cuenta que la precisión de la estimación de la velocidad estará
dada fundamentalmente por la correcta medición de la diferencia entre la presión total y la presión
estática. Esto implica que el tubo Pitot debe estar adecuadamente alineado con respecto a la
dirección de la corriente libre para capturar de manera precisa las condiciones de estancamiento.
Además, las tomas estáticas deben disponerse en una región del campo de movimiento que no
se encuentre alterada en relación a las condiciones del flujo libre, con sus orificios perfectamente
paralelos con respecto a esa dirección. Cualquier desviación de estas condiciones introducirá errores
en la medición de las presiones y por lo tanto una estimación defectuosa de la velocidad del flujo.
Estos aspectos se analizan en detalle en el Capítulo 3.
En el caso particular de la medición de la velocidad de vuelo de un avión las complejidades
suelen ser mayores, ya que las sondas de presión deben ser capaces de determinar la presión total y
la presión estática del flujo libre cuyas condiciones en teoría se registran infinitamente lejos del
avión, donde su presencia no perturba las condiciones del flujo libre. El aspecto más “problemático”
de estas mediciones es sin dudas la determinación de la presión estática ya que, contrariamente
a lo que sucede con la presión total donde las condiciones de estancamiento son relativemente
sencillas de recrear, cualquier distorsión del flujo en la zona de las tomas estáticas puede introducir
errores significativos. Más allá de estas consideraciones, asumiendo que las mediciones se realizan
correctamente, la ecuación de Bernoulli permite obtener directamente la velocidad de vuelo de una
aeronave en flujo subsónico de baja velocidad:
V∞ =
[
2(p0− p∞)
ρ∞
]1/2
, (1.33)
entendiendo como velocidad de vuelo a la velocidad relativa entre la aeronave y la atmósfera.
Como ya hemos anticipado, la precisión en la estimación de la velocidad V∞ dependerá funda-
mentalmente de la precisión con la que se fetermine la presión diferencial p0− p∞. Esto implica que
debe prestarse especial atención en cuanto a la posición y la orientación con las cuales se instalan
los instrumentos de medición. Esta situación representa un gran desafío para los diseñadores, ya que
la sonda Pitot-estática es un elemento vital para la operación de una aeronave que debe proporcionar
mediciones precisas en todo momento para garantizar la seguridad del vuelo. El anemómetro es
el instrumento mediante el cual se estima la velocidad de vuelo de un avión. En el caso de vuelos
en régimen subsónico, este instrumento es básicamente un manómetro diferencial que mide la
diferencia entre la presión total y la presión estática de la corriente libre, entregando un valor
calibrado en unidades de velocidad. Naturalmente, el anemómetro mide la velocidad del avión
con relación a la atmósfera, es decir, la velocidad relativa al aire, por este motivo en aeronáutica
se utiliza el término airspeed (velocidad del aire) para referirse a la velocidad de vuelo. En el
Capítulo 6 se detalla el funcionamiento y la operación de un anemómetro y además se presentan
una serie de definiciones relacionadas a la velocidad de vuelo de un avión.
Ejemplo 1.6 Determinar la velocidad de vuelo (verdadera) de un avión de baja velocidad que
se desplaza a una altitud donde se registra una temperatura ambiente de −5 oC y una presión
atmosférica de 702hPa, y cuya sonda Pitot registra 741hPa (presión absoluta).
En este ejemplo, el hecho de que se trate de un avión de baja velocidad implica que podemos
asumir que estamos en el régimen de flujo incompresible y por lo tanto es válido la utilizar las
relaciones que surgen de la ecuación de Bernoulli.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
32 Capítulo,1. Fundamentos físicos
El primer paso es determinar la densidad ambiente a partir de los valores
pamb = 702hPa = 70200Pa,
Tamb =−5 oC = 268,16K,
por lo tanto
ρamb =
pamb
RTamb
= 0,9121
kg
m3
.
La velocidad de vuelo se obtiene directamente de la ecuación (1.33), teniendo en cuenta que
la presión estática p∞ del flujo libre es igual a la presión ambiente, entonces
V∞ =
√
2(p0− p∞)
ρamb
= 92,47
m
s
= 180kt.
Naturalmente, la expresión anterior no sería válida para velocidades tales que los efectos de
compresibilidad del aire no puedan ser despreciados. �
1.2.4 Efectos de compresibilidad
Como se dijo anteriormente, las relaciones obtenidas mediante la ecuación de Bernoulli son
válidas siempre que las condiciones analizadas respondan a las hipótesis asumidas para su deriva-
ción, es decir, flujo estacionario, no viscoso e incompresible. En el caso de flujos con velocidades
cuyos números de Mach son Ma> 0,3, la suposición de flujo incompresible ya no puede asumirse
y deben tenerse en cuenta los efectos de compresibilidad del aire. En consecuencia, la ecuación de
Bernoulli pierde validez y deben utilizarse otras relaciones que admiten cambios en la densidad
para determinar la velocidad del flujo.
Aún considerando flujo estacionario y no viscoso, en régimen subsónico (Ma< 1) la hipótesis
que se asume válida para múltiples aplicaciones aeronáuticas es la de flujo isoentrópico. Un flujo
isoentrópico es aquel en el cual la entropía se mantiene constante, condición que se cumple siempre
que:
1. El proceso sea reversible, es decir que no existen “pérdidas” de energía por efectos disipativos
como la fricción.
2. El proceso sea adiabático, lo cual implica que no existe transferencia de calor desde o hacia
el sistema (δQ = 0).
Anteriormente se dedujo que la ecuación de la energía de una partícula que en flujo estacionario
y no viscoso viaja a lo largo de una línea de corriente es:
ρV dV =−dp,
es decir
V dV +
dp
ρ
= 0, (1.34)
donde se ha asumido que no existen cambios de altura durante el movimiento.
Operando sobre el segundo término de esta última ecuación y teniendo en cuenta algunas
definiciones y propiedades termodinámicas se obtiene:
dp
ρ
= d
(
p
ρ
)
− pd
(
1
ρ
)
= d(pυ)− pdυ,
siendo υ el volumen específico del gas.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.2 Fundamentos del flujo de aire 33
El cambio en la energía interna ε del gas está dado por la diferencia entre el calor aportado al
sistema δQ y el trabajo realizado por el sistema δW, lo cual está vinculado al cambio en la entropía
y el volumen específico:
dε = δQ−δW = T dS− pdυ,
siendo S la entropía específica. En condiciones de flujo adiabático es δQ = 0 y el trabajo realizado
por el sistema se debe al cambio en el volumen producido por las fuerzas de presión, por lo tanto,
de acuerdo a lo anterior
V d
(
p
ρ
)
= d(pυ)+ dε = dh, (1.35)
donde h = ε+ pυ se define como la entalpía de un gas perfecto. Introduciendo ahora la definición
del calor específico a presión constante
cp =
(
∂h
∂T
)
p=cte
,
se puede escribir para flujo adiabático y reversible (es decir, flujo isoentrópico)
d
(
p
ρ
)
= dh = cp dT.
Finalmente, la ecuación de la energía (1.34) resulta
V dV + cp dT = 0. (1.36)
Integrando esta ecuación entre dos puntos 1 y 2 de una misma línea de corriente se obtiene
1
2
V 21 + cpT2 =
1
2
V 21 + cpT1,
es decir:
V 2 +2cpT = cte, (1.37)
sobre una línea de corriente. Esta última ecuación expresa el principio de conservación de la energía
en flujo isoentrópico. En la condición de estancamiento (V = 0) la expresión anterior se reduce a
V 2 +2cpT = 2cpT0 (1.38)
siendo T0 la temperatura de estancamiento del flujo. Haciendo uso de las siguientes relaciones
termodinámicas
cp− cυ =R,
cp
cυ
= γ, cp =
γ
γ−1
R
donde cυ es el calor específico a volumen constante, la ecuación de la energía es
V 2 +
2γ
γ−1
p
ρ
=
2γ
γ−1
p0
ρ0
.
Ahora escribimos la velocidad V en términos de la velocidad del sonido a =
√
γp/ρ y el número
de Mach (V = aMa):
γ
p
ρ
Ma2 +
2γ
γ−1
p
ρ
=
2γ
γ−1
p0
ρ0
.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
34 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Teniendo en cuenta que en un proceso isoentrópico se cumple la siguiente relación entre la
presión y la densidad
p
ργ
=
p0
ρ
γ
0
= cte, (1.39)
tenemos que
ρ0 =
(
p0
p
)1/γ
ρ.
Por lo tanto, reemplazando esta igualdad en la última expresión de la ecuación de la energía se
obtiene
p
ρ
Ma2 +
2
γ−1
p
ρ
=
2
γ−1
p
ρ
(
p0
p
)1−1/γ
De esta manera, hemos obtenidp una expresión que relaciona la presión de estancamiento y la
presión estática, la cual tiene en cuenta los efectos de compresibilidad en flujo subsónico:
p0
p
=
(
1+
γ−1
2
Ma2
)γ/(γ−1)
, (1.40)
donde p0, al igual que en el caso incompresible, también se denomina presión total.
La expresión anterior indica que la relación entre la presión total de una línea de corriente en
flujo isoentrópico y la presión estática en un punto genérico 1 sobre la misma línea de corriente es
una función del número de Mach del flujo en dicho punto:
p0
p1
=
(
1+
γ−1
2
Ma21
)γ/(γ−1)
. (1.41)
Nótese que en caso de velocidad nula (Ma= 0), la presión total y la presión estática son iguales, lo
cual representa justamente la condición de estancamiento.
A partir de la ecuación de estado y teniendo en cuenta la condición de expansión isoentrópi-
ca (1.39) se determinan las relaciones entre los valores estáticos y de estancamiento para la densidad
y la temperatura:
ρ0
ρ1
=
(
1+
γ−1
2
Ma21
)1/(γ−1)
, (1.42)
T0
T1
=1+
γ−1
2
Ma21. (1.43)
Con la relación entre presión estática y presión total para flujo isoentrópico a lo largo de una
línea de corriente podemos obtener la velocidad del flujo en función de estos dos valores y de la
velocidad (local) del sonido:
V 21 =
2a21
γ−1
[(
p0
p1
)(γ−1)/γ
−1
]
. (1.44)
De esta forma, considerando los valores de presión estática y velocidad del sonido correspon-
dientes a la corriente libre, arribamos a una expresión para la velocidad de un flujo en régimen
compresible
V∞ =
{
2a2∞
γ−1
[(
p0
p∞
)(γ−1)/γ
−1
]}1/2
. (1.45)
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.2 Fundamentos del flujo de aire 35
Esta expresión nos permite calcular la velocidad de vuelo (verdadera) de una aeronave despla-
zándose en la atmósfera a velocidades subsónicas cuando p∞ y a∞ corresponden a los valores
atmosféricos en la posición de vuelo.
Teniendo en cuenta el principio de funcionamiento del anemómetro, que consiste básicamente
en un manómetro diferencial, conviene escribir la ecuación anterior en términos de la diferencia de
presión p0− p, para lo cual hacemos uso de la ecuación (1.21) y de la siguiente relación:
p0
p∞
=
p0− p∞ + p∞
p∞
=
p0− p∞
p∞
+1
de modoq que la ecuación (1.45) resulta
V∞ =
{
2γ
γ−1
p∞
ρ∞
[(
p0− p∞
p∞
+1
)(γ−1)/γ
−1
]}1/2
. (1.46)
Como vemos en esta expresión, contrariamente al caso de flujo incompresible, la velocidad ya
no depende solamente de la diferencia de presión p0− p∞ y la densidad ρ∞, sino también de la
presión estática “sola”. Esta dependencia funcional genera algunos problemas a la hora de estimar
la velocidad de vuelo de la aeronave mediante el anemómetro, con lo cual es necesario definir
diferentes “tipos” de velocidades tal como veremos en el Capítulo 6.
Ejemplo 1.7 Determinar la velocidad y el número de Mach de vuelo de un avión subsónico que
se desplaza a una altitud donde se registra una temperatura ambiente de −45 oC y una presión
atmosférica de 270hPa y cuya sonda Pitot mide una presión (manométrica) de 125hPa.
El primer paso para determinar la velocidad y el número de Mach de vuelo de la aeronave es
calcular la densidad ambiente a partir de los datos
pamb = 270hPa = 27000Pa,
Tamb =−45 oC = 228,15K,
por lo tanto
ρ =
pamb
RTamb
= 0,4123
kg
m3
.
La velocidad de vuelo se obtiene directamente de la ecuación (1.46), para el valor de densidad
calculado y una diferencia de presión (p0− p∞) = 12500Pa igual a la presión manométrica
medida por la sonda, recordando que el coeficiente isoentrópico del aire es 1,4:
V∞ =,{
7
p∞
ρ∞
[(
12500
p∞
+1
)2/7
−1
]}1/2
= 229,44
m
s
= 446kt.
El número de Mach de vuelo se obtiene mediante
Ma∞ =
V∞
a∞
=
V∞√
γRTamb
= 0,76.
�
Flujo supersónico
Debe tenerse en cuenta que las relaciones dadas en las ecuaciones (1.41), (1.42) y (1.43) son
válidas solamente en régimen de flujo subsónico, por lo tanto no pueden emplearse en el caso de
DR
AF
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Kr
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36 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.11: Tubo Pitot en flujo supersónico. Cambios a través de una onda de choque.
velocidades con Ma > 1. En flujo supersónico la medición de la velocidad es cualitativamente
diferente que en el rango subsónico, ya que una onda de choque se forma delante del tubo Pitot.
Las ondas de choque son regiones muy delgadas del flujo (del orden de 10−3 mm), a través de las
cuales se producen severos cambios en las propiedades del flujo. Además las ondas de choque
involucran procesos disipativos por lo tanto la presión total no se conserva a través de ellas (ver
Figura 1.11). Esto implica que el flujo a través de una onda de choque es un proceso irreversible por
lo que la suposición de flujo isoentrópico pierde validez. Por lo tanto, deben utilizarse relaciones
especiales para determinar las propiedades del gas por delante y por detrás de la onda de choque
para establecer así la velocidad del flujo. En estos casos debe aplicarse la llamada fórmula del tubo
Pitot de Rayleigh:
p0,2
p1
=
[
(γ+1)2Ma21
4γMa21−2(γ−1)
]γ/(γ−1)
1−γ+2γMa21
γ+1
. (1.47)
Esta ecuación relaciona la presión total p0,2 detrás de la onda de choque con la presión estática de
la corriente libre, lo cual permite la calibración de un indicador de Mach supersónico a través de
las mediciones de un manómetro diferencial.
Límite de incompresibilidad
Hasta este punto hemos establecido “casi arbitrariamente” el límite Ma. 0,3 como el rango
válido para asumir que un flujo de aire es incompresible. En este apartado presentamos una breve
justificación de esta restricción basada en las relaciones isoentrópicas entre las propiedades estáticas
y de estancamiento obtenidas previamente. Consideremos para ello un fluido en reposo (V = 0,
Ma = 0) de densidad ρ0. Acelerando este flujo isoentrópicamente hasta una velocidad V y un
número de Mach Ma, las propiedades termodinámicas del gas van a cambiar de acuerdo a las
relaciones isoentrópicas (1.41), (1.42) y (1.43). En la Figura 1.12 se muestra la variación ρ/ρ0
en función del número de Mach para γ= 1,4. Allí observamos que para Ma< 0,3 el cambio en
la densidad es menor al 5 %. De esta manera, para propósitos prácticos podemos considerar que
la densidad se mantiene aproximadamente constante cuando Ma . 0,3 y el tratamiento se hace
asumiendo un flujo incompresible. Con esta suposición, el error en el cálculo de velocidad para un
flujo con Ma= 0,3 es de algo más del 1% cuando se utiliza la formulación de flujo incompresible.
1.3 Flujo viscoso
En la sección anterior hemos analizado el flujo de aire desde un punto de vista isoenergético,
es decir, asumiendo que durante el movimiento del fluido no se producen pérdidas de energía.
Naturalmente, dicha hipótesis es una idealización ya que el movimiento de cualquier fluido es en
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
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)
1.3 Flujo viscoso 37
Figura 1.12: Variación de la densidad en función del número de Mach para γ= 1,4, indicando
la región donde el cambio de densidad es menor al 5 %.
realidad un proceso que involucra algún nivel de disipación de energía debido fundamentalmente
a las pérdidas generadas por la fricción viscosa. Por lo tanto, siendo la viscosidad una propiedad
inherente a todos los fluidos, ya sean éstos líquidos o gases, las fuerzas de rozamiento estarán
presentes siempre que exista un movimiento relativo entre el fluido y un objeto inmerso en él.
En ocasiones, los efectos viscosos son tan pequeños que pueden despreciarse, pero en muchos
problemas prácticos de Aerodinámica estos efectos son importantes y deben ser incorporados al
análisis ya que pueden llegar a dominar la dinámica del flujo.
1.3.1 Viscosidad
Los fluidos son muchas veces definidos como el estado de la materia que es capaz de fluir, es
decir, capaz de deformarse “continuamente” frente a esfuerzos tangenciales. Esta propiedad de fluir
no es igual para todos ellos, sino que existe cierta oposición al cambio cuya magnitud depende de
cada fluido. Para definir esta propiedad consideremos el siguiente experimento que consiste en dos
placas rígidas (indeformables) extremadamente extensas, colocadas de forma horizontal una sobre
la otra y separadas entre sí por una distancia b. Entre las dos placas se introduce algún material,
como indica la Figura 1.13. Si la placa inferior se mantiene fija y se aplica una fuerza F a la placa
superior, la cual se encuentra libre de moverse, el comportamiento de ésta dependerá del tipo de
material que existe entre ambas placas:
Si el material es algún sólido que se encuentra adherido rígidamente a ambas placas, entonces
la placa superior se moverá una pequeña distancia δa y la línea vertical AB rotará un pequeño
ángulo δβ a una nueva posición AB′ (ver Figura 1.13). La magnitud de estas deformaciones
estará dada por las propiedades elásticas del material y por la intensidad de la fuerza aplicada.
Si el material dispuesto entre las placas es algún fluido, como por ejemplo agua, veremos
que debido a la aplicación de la fuerza F la placa superior comenzará a moverse continua-
mente con una velocidad U (después de un período transitorio de aceleración inicial), en
concordancia con la definición de que un fluido se deforma continuamente frente a esfuerzos
tangenciales.
Una inspección del movimiento del fluido entre ambas placas mostrará que, mientras que el
fluido en contacto a la placa inferior (fija) se mantiene en reposo “adherido” a esta placa, el fluido
en contacto con la placa en movimiento se mueve con velocidad U , es decir, con la misma velocidad
de la placa. Esto significa que la velocidad del fluido entre las placas no es constante, sino que
existe un perfil de velocidades u = u(y), siendo y la distancia medida desde la superficie inferior.
La propiedad del fluido de “adherirse” a las paredes de los sólidos en contacto, en este caso las
DR
AF
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38 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.13: Comportamiento de un fluido dispuesto entre dos placas paralelas que se despla-
zan entre sí.
placas, es un concepto muy importante en Mecánica de los Fluidos conocido como la condición de
no deslizamiento. Todos los fluidos, ya sean líquidos o gases, satisfacen esta condición8.
Con respecto al perfil de velocidades, experimentalmente se encuentra que, si la distancia entre
las placas b es pequeña, la variación de la velocidad del fluido es aproximadamente lineal, es decir:
u(y) =U
y
b
, (1.48)
por lo que el gradiente de velocidad puede asumirse constante (du/dy =U/b).
Independientemente del material que se disponga entre las placas, una tensión de corte (tangen-
cial) se producirá en las interfaces placa-material,
τw =
F
A
,
siendo F la fuerza aplicada y A el área de la placa. Esta tensión será el resultado de las deformaciones
elásticas en el caso de que un material sólido llene el espacio entre ambas placas, o será consecuencia
de la oposición del fluido a deformarse continuamente, es decir, será consecuencia de la viscosidad.
Consideremos ahora la deformación del fluido durante un pequeño intervalo de tiempo δt. En
este caso, la línea vertical AB rotará un pequeño ángulo δβ dado por:
δβ≈ tanδβ = δa
b
,
siendo δa =Uδt el desplazamiento del punto B fijo a la placa superior, por lo tanto:
δβ≈ Uδt
b
.
Como se observa, el ángulo δβ es una función tanto de la fuerza F , que determina la magnitud de
la velocidad U , como del intervalo de tiempo considerado (δt). Esto implica que no es conveniente
relacionar la tensión tangencial τw con el ángulo de deformación δβ, tal como se hace en el caso de
la mecánica de sólidos, sino que conviene definir la tasa de deformación angular:,γ̇ = lı́m
δt→0
δβ
δt
=
U
b
.
Asumiendo que el perfil de velocidades del fluido entre las placas es lineal como el dado en la
ecuación (1.48), la tasa de deformación puede expresarse en términos de cantidades diferenciales:
γ̇ =
U
b
=
du
dy
. (1.49)
8Esta afirmación no es estrictamente válida ya que no se cumple bajo condiciones muy particulares, pero puede
asumirse totalmente verdadera considerando las condiciones presentes en los problemas de nuestro interés.
DR
AF
T
(G
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)
1.3 Flujo viscoso 39
Experimentalmente se demuestra que la tasa γ̇ crece proporcionalmente con el aumento de la
fuerza F , esto implica que
τw ∝ γ̇,
ya que la tensión tangencial es directamente proporcional a F . Por lo tanto, de acuerdo a la
ecuación (1.49), la tensión de corte es proporcional al gradiente de velocidad du/dy
τw = µ
du
dy
. (1.50)
La constante de proporcionalidad µ en la ecuación (1.50) se denomina viscosidad absoluta,
viscosidad molecular o simplemente viscosidad del fluido. El valor de µ depende de cada fluido
en particular, y para un fluido determinado la viscosidad dependerá fundamentalmente de su
temperatura. Por otro lado, aquellos fluidos en los cuales las tensiones de corte dependen linealmente
de la tasa de deformación angular (es decir que µ no depende de γ̇) se denominan fluidos newtonianos.
Para este tipo de fluidos el análisis se simplifica considerablemente con respecto a los fluidos no
newtonianos. Afortunadamente, muchos de los fluidos “cotidianos”, como el agua y el aire, son
fluidos newtonianos por lo que nuestro estudio considera únicamente este tipo de fluidos.
Viscosidad dinámica
Siendo que la viscosidad se manifiesta solamente cuando un fluido está en movimiento, se
suele referir a esta propiedad como viscosidad dinámica. Además, se dice que la viscosidad es una
propiedad de transporte del fluido, ya que está asociada al movimiento y produce el transporte de
la cantidad de movimiento.
Desde el punto de vista dimensional, la expresión de las tensiones viscosas dada en la ecua-
ción (1.50), indica que el coeficiente de viscosidad µ debe tener unidades de fuerza por tiempo
sobre longitud al cuadrado (FTL−2), de manera de producir unidades de tensión (FL−2) al ser
multiplicado por el gradiente de velocidad. Esta característica reafirma la condición de “dinámica”
de la viscosidad µ, ya que dimensionalmente involucra unidades de fuerza y tiempo.
Teniendo en cuenta que en el Sistema Internacional de unidades la unidad de fuerza (newton)
es una unidad derivada, las unidades de la viscosidad dinámica pueden presentarse de diferentes
maneras:
[µ] = Pas≡ N
m2
s≡ kg
ms
.
En el sistema CGS se define el poise (P) como unidad de viscosidad dinámica, siendo esta
unidad en general más utilizada que la derivada del Sistema Internacional. La relación entre ellas es
la siguiente:
1P = 1
g
cms
= 0,1
kg
ms
.
Debido a que, en general, la viscosidad dinámica es una cantidad muy pequeña, suele utilizarse el
centipoise (1cP = 10−2 P) para expresar su valor.
Como se dijo previamente, la viscosidad es una propiedad de cada fluido que a su vez depende
de la temperatura. Esta dependencia es cualitativamente diferente en el caso de líquidos y gases:
mientras que la viscosidad decrece con el aumento de temperatura cuando se trata de líquidos, ésta
aumenta cuando se incrementa la temperatura en el caso de los gases. La diferencia se debe a la
naturaleza a nivel molecular que existe entre estos dos estados de la materia.
En los líquidos la distancia entre moléculas es relativamente pequeña en comparación con la
que se registra en los gases, por lo que las fuerzas de cohesión molecular son grandes. Esto produce
DR
AF
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(G
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)
40 Capítulo 1. Fundamentos físicos
una cierta resistencia al movimiento relativo entre “capas” adyacentes de fluidos. Con el incremento
de la temperatura las fuerzas cohesivas se reducen con una consecuente reducción de la resistencia
al movimiento, por lo tanto, siendo la viscosidad un indicador de esta resistencia, ella se reduce con
el incremento de temperatura. Este aspecto puede visualizarse claramente en algunos líquidos de
viscosidad relativamente grande, como el aceite de cocina, el cual que aumenta notablemente su
fluidez al ser calentado. Lo mismo sucede con todos los líquidos aunque no podamos percibirlo a
simple vista.
Contrariamente a lo que sucede en los líquidos, en los gases las moléculas se encuentran
ampliamente distanciadas y las fuerzas de cohesión son despreciables. En este caso, la resistencia
al movimiento relativo surge del intercambio de cantidad de movimiento entre moléculas de capas
adyacentes de gas, cuando las mismas son transportadas por el movimiento aleatorio producido
por la agitación térmica desde regiones de baja velocidad del flujo (relativa a las paredes sólidas) a
regiones de velocidad mayor y viceversa. Durante este traslado existe un intercambio de cantidad
de movimiento entre las moléculas el cual se opone al movimiento relativo entre capas de fluido.
Entonces, siendo que la agitación molecular aumenta con el incremento de la temperatura, el
intercambio de cantidad de movimiento también aumentará y consecuentemente la viscosidad
dinámica crecerá.
En la Figura 1.14 se observa el cambio de la viscosidad en función de la temperatura para
algunos gases y líquidos. Allí puede verse que la influencia de la temperatura es mucho más
importante en los líquidos que en los gases. Este comportamiento permite asumir que la viscosidad
es aproximadamente constante para el caso del aire en múltiples aplicaciones aeronáuticas, cuyo
valor se fija en
µaire = 1,7894×10−5 Pas, (1.51)
correspondiente a la temperatura estándar TMSL = 15 oC.
Para considerar el efecto de la temperatura sobre la viscosidad pueden utilizarse formulaciones
empíricas que permiten aproximar esta relación. En el caso de los gases se emplea la ecuación de
Sutherland, la cual utiliza dos constantes empíricas para obtener la relación entre la viscosidad y la
temperatura:
µ =
CT 3/2
T +S
(1.52)
donde T es la temperatura absoluta y las constantes empíricas C y S dependen del fluido, siendo
para el aire Caire = 1,458×10−6 kg/(msK1/2) y S = 110,4K.
Viscosidad cinemática
En muchos problemas de Mecánica de Fluidos y Aerodinámica, la viscosidad aparece com-
binada con la densidad, especialmente cuando se estudian fenómenos que involucran efectos de
compresibilidad. En estas ocasiones suele utilizarse el llamado coeficiente de viscosidad cinemática,
el cual se define como la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido:
ν =
µ
ρ
. (1.53)
Como vemos, el coeficiente de viscosidad cinématica tiene dimensiones de longitud al cuadra-
do sobre tiempo (L2 T−1), de allí su nombre ya que dimensionalmente sólo involucra unidades
“cinemáticas”.
En el Sistema Internacional de unidades la viscosidad cinemática tiene unidades de m2/s, pero
en general es más usual encontrar este coeficiente en unidades del sistema CGS, donde la cantidad
cm2/s es llamada stoke y tiene abreviatura St. De igual manera que para la viscosidad dinámica,
también suele utilizarse el centistoke (cSt).
DR
AF
T
(G
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)
1.3 Flujo viscoso 41
Figura 1.14: Viscosidad dinámica de algunos fluidos cotidianos en función de la temperatura.
En el caso del aire en condiciones estándar la viscosidad cinemática resulta:
νaire =
µaire
ρMSL
= 1,4607×10−5 m
2
s
. (1.54)
1.3.2 Condición de no deslizamiento
Anteriormente se hizo referencia a la llamada condición de no deslizamiento, la cual expresa la
propiedad de que no existe moviemiento relativo entre una superficie sólida y el fluido en contacto
con ella. Esta condición puede verificarse experimentalmente de manera muy sencilla al observar
cómo un líquido “moja” las paredes del cuerpo que están expuestas al flujo. Este fenómeno de
“adherencia” implica que la velocidad del fluido en cualquier interfaz fluido-sólido es igual a la
velocidad de la superficie del sólido.
Más allá de la evidencia,de que un fluido moja un cuerpo, la condición de no deslizamiento
puede resultar poco intuitiva especialmente cuando consideramos el flujo de gases. Esta condición
es una consecuencia de la naturaleza molecular de los fluidos, en los cuales las fuerzas cohesivas, es
decir las fuerzas que mantienen a las moléculas “unidas” entre sí, son mucho más débiles que en los
sólidos. Son las fuerzas cohesivas las que permiten que dos superficies sólidas lo suficientemente
planas y lisas puedan deslizarse entre sí sin sufrir deformaciones, pero en los fluidos estas fuerzas
no son suficientes para evitar que sus moléculas se “desoeguen” y se adhieran a los sólidos, ya que
que en la interfaz de contacto fluido-sólido prevalece la fuerza de adhesión por sobre la de cohesión
molecular, haciendo que la molécula se “separe” y se adhiera a la superficie. En los sólidos, las
fuerzas cohesivas son mucho mayores que las de adhesión, lo cual permite el deslizamiento relativo
entre ellos.
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42 Capítulo 1. Fundamentos físicos
A pesar de que la condición de no deslizamiento se verifica para la gran mayoría de los
problemas prácticos de Aerodinámica, hay que reconocer que esta condición no siempre está
garantizada. Existen situaciones de flujos de muy baja presión y densidad, como los que se dan
a muy elevadas altitudes, en las cuales las moléculas cerca de la superficie son tan escasas que
“rebotan” en las paredes.
Desde el punto de vista del modelo matemático, la ecuación (1.50) reproduce la condición
de no deslizamiento en el sentido de que un movimiento relativo entre el fluido y la superficie
en la interfaz implicaría que existe un gradiente de velocidad infinito y por lo tanto la tensión
tangencial sería también infinita para µ > 0, lo cual naturalmente no tiene sentido físico. Este
resultado debe entenderse como una simple consecuencia de la formulación matemática y no como
una verificación del cumplimiento de la condición de no deslizamiento, ya que no hay que perder
de vista que dicha formulación fue obtenida justamente al asumir la validez de dicha condición de
acuerdo a las evidencias experimentales.
Finalmente, hay que tener en cuenta que la condición de no deslizamiento opera solamente
cuando se considera flujo viscoso, ya que bajo el modelo de flujo no viscoso se asume un fluido
ideal con µ = 0, por lo que las tensiones tangenciales son nulas aun cuando el fluido se desliza
sobre la superficie sólida y el gradiente de la velocidad en la superficie es infinito.
1.3.3 El número de Reynolds
En todo problema de flujo viscoso el parámetro fundamental que define las características
principales del flujo es el llamado número de Reynolds, un número adimensional que vincula los
valores referenciales de densidad, viscosidad y velocidad de un flujo con la escala de longitud ` del
problema:
Re=
ρV `
µ
=
V
ν
`. (1.55)
El número de Reynolds es entonces una función tanto de las propiedades del fluido, a través
de la densidad y la viscosidad, como de las carecterísticas del flujo, a través de la velocidad y la
longitud de referencia. Esto muestra que tanto fluidos de propiedades diferentes en condiciones
de flujo similares como fluidos de propiedades similares en condiciones de flujo diferentes se
comportarán de formas distintas dependiendo del número de Reynolds. Por ejemplo, para un flujo
con V = 1m/s y `= 1m el número de Reynolds será de alrededor de 9×103 para aceite SAE-10,
de 7×104 para aire y de 106 para el agua. A pesar de que la escala geométrica y la velocidad del
problema son las mismas, las diferencias en el número de Reynolds generan comportamientos
de flujo sustancialmente distintos. Del mismo modo, modificaciones en la velocidad o en la
escala geométrica también hacen variar el número de Reynolds de manera que, por ejemplo, las
características del flujo de aire alrededor de una pequeña partícula de arena serán muy diferentes a
las del flujo de aire alrededor de una aeronave.
La definición de este parámetro se debe a los estudios realizados por el investigador norteameri-
cano Osborne Reynolds, quien en 1883 pudo establecer experimentalmente las diferencias entre
flujo laminar y flujo turbulento. Su experimento consistía en inyectar un colorante dentro de un
líquido que circula en un tubo largo y recto de sección circular constante (ver Figura 1.15). Si bien
las líneas de corriente “teóricas” de este flujo son paralelas a la pared del tubo, Reynolds observó
que dicho movimiento existe estrictamente sólo cuando se verifica una determinada relación entre la
velocidad del flujo, las propiedades del líquido (densidad y viscosidad) y el tamaño de la instalación
(escala del problema). Esta relación está dada por el número de Reynolds, y del valor de este
parámetro dependerá el comportamiento del flujo.
En términos dinámicos, el número de Reynolds expresa la relación entre las fuerzas de inercia,
asociadas a la masa del fluido (a través de la densidad) y a la velocidad del flujo, y las fuerzas
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1.3 Flujo viscoso 43
Figura 1.15: Esquema del tanque de Reynolds.
viscosas o de rozamiento asociadas naturalmente a la viscosidad. Así, en flujos con altos números
de Reynolds la dinámica estará “gobernada” por acciones inerciales, mientras que números de
Reynolds bajos indician una fuerte influencia de la viscosidad. El número de Reynolds constituye
una de las definiciones más importantes de la Mecánica de los Fluidos, y debe tenerse siempre
presente que este parámetro es una característica del flujo y no del fluido.
1.3.4 Flujo laminar y flujo turbulento
Durante su experiencia, Reynolds notó que para velocidades del flujo relativamente bajas o
cuando el diámetro del conducto es pequeño, el colorante inyectado en el centro de la corriente
permanece concentrado como una línea de corriente paralela a la dirección del flujo. Bajo estas
condiciones sólo existe una pequeña difusión entre el colorante y el líquido en la dirección radial, en
la cual el liquido principal que circula por el tubo se mezcla con el colorante a nivel molecular, de
modo que el límite entre ambos líquidos puede distinguirse claramente. Durante este comportamien-
to se observa además que cualquier perturbación que se le imparte al flujo se amortigua rápidamente
haciendo que el movimiento del colorante sea paralelo a la dirección del flujo principal.
Contrariamente, Reynolds determinó que para velocidades o diámetros del conducto suficiente-
mente grandes, el movimiento del colorante se hace muy sensible a cualquier perturbación, la cual
llega a amplificarse rápidamente generando un flujo irregular que fluctúa erráticamente perdiendo
su carácter estacionario. En este caso, el flujo de colorante ya no permanece fijo sobre una línea
de corriente teórica sino que el diámetro del filamento inyectado crece, su contorno se difumina y
el líquido coloreado se disemina en amplias regiones del flujo principal aguas abajo del punto de
inyección. Estos comportamientos se muestran en la Figura 1.16.
El primer régimen de flujo, donde el colorante prácticamente no se mezcla con el líquido se
conoce como régimen de flujo laminar, ya que el flujo se comporta como si estuviera compuesto
por láminas paralelas que constituyen tubos de flujo en los cuales no existe transporte de masa en
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44 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.16: Fotografías de los distintos regímenes de flujo en la experiencia de Reynolds.
dirección perpendicular al movimiento, más allá de una pequeña porción debida al movimiento
molecular. El segundo patrón de flujo se conoce como régimen de flujo turbulento, y su característica
es justamente la de un flujo errático, fluctuante, turbulento que a escala macroscópica es altamente
inestacionario. En este caso, además de la difusión molecular, existe movimiento perpendicular
de las partículas de fluido9, las cuales intercambian su cantidad de movimiento con las partículas
de las capas adyacentes. Este movimiento es el que produce,que en la experiencia de Reynolds el
colorante se difumine dentro del líquido. El comportamiento caótico del flujo turbulento no sólo se
da en la velocidad, sino en varios de los parámetros característicos del fluido, como ser la presión,
la temperatura, las tensiones de corte y cualquier otra variable que tenga una descripción de campo.
El parámetro que define qué régimen de flujo ha de presentarse en una condición de flujo
determinada es el número de Reynolds, que en el caso de la experiencia llevada a cabo por el
investigador norteamericano se calcula utilizando el diámetro `� del conducto como longitud
de referencia de la escala geométrica (Re = ρV `�/µ). Los experimentos muestran que para un
conducto liso con Re . 2100, el flujo será laminar, mientras que para Re & 4000, el flujo será
turbulento, existiendo entre estos valores una región de transición con un flujo con características
9Entendiendo a las partículas como volúmenes muy pequeños de fluido que satisfacen la hipótesis del continuo, es
decir, que están compuestos por un gran número de moléculas.
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1.3 Flujo viscoso 45
Figura 1.17: Transición de régimen laminar a turbulento en el flujo en un conducto.
intermedias a las de ambos regímenes. El valor del número de Reynolds para el cual comienza a
perderse la laminaridad para dar lugar a la transición se conoce como número de Reynolds crítico o
de transición.
La transición entre flujo laminar y flujo turbulento puede, en cierta medida, reproducirse de
maneras muy sencilla considerando muchas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, al abrir
un grifo de agua, siempre que la velocidad del “chorro” de salida no sea demasiado grande podemos
visualizar un flujo de agua uniforme, pero al abrir más la canilla y aumentar la velocidad (o restingir
el paso del agua reduciendo la sección de salida), el agua se comporta de manera diferente, el
chorro deja de ser uniforme y hasta puede “escucharse el desorden” del movimiento. Otro ejemplo
revelador es el del humo de un cigarrillo en una atmósfera en reposo. En este caso, el humo asciende
prolijamente por el aire en forma de un filamento relativamente delgado, hasta que la distancia
recorrida (que es la longitud de referencia del problema) hace alcanzar el número de Reynolds
crítico y comienza a mezclarse con el aire circundante siguiendo un patrón irregular.
Aunque es sencilla de visualizar, la turbulencia es un fenómeno muy díficil de comprender para
el cual aún en la actualidad no existe una explicación completa. Sin embargo, existen múltiples
modelos matemáticos que permiten modelar sus efectos con distintos niveles de precisión. Para ello
se realizan algunas definiciones tendientes a cuantificar la turbulencia que se centran fundamen-
talmente en la velocidad del flujo. Para presentar las definiciones más importantes del fenómeno,
consideremos el flujo a través de un conducto recto y analicemos qué sucede a medida que au-
mentamos la velocidad. En la Figura 1.17 se muestra esquemáticamente la variación típica de la
componente axial u = u(t) registrada en algún punto dado del campo de movimiento. Como vemos,
a medida que hacemos crecer el número de Reynolds aumentando la velocidad, eventualmente se
alcanza el número de Reynolds crítico y comienzan a aparecen variaciones irregulares y aleatorias
en la velocidad del flujo que son características del flujo turbulento. Al estabilizar la velocidad (y por
lo tanto el número de Reynolds) dentro de este régimen de flujo, esperando obtener una condición de
flujo estacionario, vemos que las fluctuaciones de velocidad continúan, lo cual parecería inhabilitar
la posibilidad de utilizar la idealización de flujo estacionario o inclusive flujo bidimensional, ya
que las fluctuaciones se producen en todas direcciones. Sin embargo, simplificaciones tan sencillas
como la de la ecuación de Bernoulli han mostrado ser válidas aun en regímenes de flujo totalmente
turbulento, ya que en ocasiones es posible despreciar el efecto de las fluctuaciones al considerar
valores medios de las velocidades y las propiedades del fluido. Para el tratamiento de este tipo de
flujos se realizan las siguientes definiciones:
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46 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Definición 1.19 — Velocidad instantánea. Se define como velocidad instantánea Vi a la velocidad
del flujo en un punto dado del campo de movimiento para un instante de tiempo determinado.
Definición 1.20 — Velocidad media. Se define como velocidad media V = (u,v,w) al valor medio
de la velocidad instantánea del flujo en un punto dado del campo de movimiento, promediado
durante un determinado intervalo de tiempo ∆t:
V =
1
∆t
ˆ t0+∆t
t0
Vi dt. (1.56)
El intervalo ∆t debe ser considerablemente más grande que el período de las fluctuaciones de
la velocidad instantánea pero significativamente más pequeño que el tiempo característico de
cualquier perturbación “externa” de la velocidad media.
Definición 1.21 — Velocidad aleatoria. Se define como velocidad aleatoria v′ = (u′,v′,w′) a una
velocidad aleatoria fluctuante que afecta continuamente a la velocidad del flujo y que puede
considerarse como la desviación de la velocidad media tal que:
Vi = V+v′. (1.57)
De acuerdo a esta definición, se verifica la siguiente condición para la velocidad aleatoria:
ˆ t0+∆t
t0
v′ dt = 0. (1.58)
Estas definiciones se conocen como promediaciones de Reynolds. En un flujo laminar las velo-
cidades aleatorias son esencialmente nulas y la velocidad instantánea se asume igual a la velocidad
media. Por el contrario, en régimen turbulento las velocidades aleatorias estarán siempre presentes
y existirán por lo tanto fluctuaciones de la velocidad del flujo con respecto a la velocidad media. La
intensidad de estas fluctuaciones se cuantifica mediante un factor adimensional denominado nivel
de turbulencia del flujo, el cual se calcula para cada componente de la velocidad mediante:
Iu =
1
u∆t
ˆ t0+∆t
t0
[
(u′)2
]1/2
dt, (1.59)
y de manera análoga para las componentes v y w de la velocidad media. Naturalmente, cuanto
más grande es el nivel de turbulencia, más grandes serán las fluctuaciones de la velocidad (y de
los demás parámetros) del flujo. Por ejemplo, túneles de viento bien diseñados presentan niveles
de turbulencia típicos del orden de 0,01 mientras que en el viento atmosférico o en el flujo de
ríos y canales pueden llegar a encontrarse niveles de turbulencia mayores a 0,1, es decir que la
velocidad instantánea llega a alcanzar desviaciones del orden del 10 % de la velocidad media en
dichas condiciones.
Un punto importante a tener en cuenta es que la expresión (1.50) para el cálculo de las tensiones
de corte viscosas obtenida en la sección anterior es válida únicamente para flujo en régimen laminar
y no resulta adecuado extender su aplicación a flujo turbulento simplemente por la utilización de
la velocidad media para el cálculo del gradiente du/dy. Esto se debe a que en flujo laminar las
partículas fluidas fluyen suavemente a lo largo de capas paralelas a la pared y el flujo transversal a
través de cada capa se produce sólo a nivel molecular, que es la escala que considera el coeficiente
de viscosidad dinámica µ para cuantificar la transferencia de cantidad de movimiento. Como vimos,
para el caso de fluidos newtonianos como el aire, µ no depende de las condiciones de flujo sino
solamente de la temperatura. En régimen turbulento la situación es diferente, ya que además del
movimiento molecular presente en flujo laminar existe también desplazamiento macroscópico de
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1.4 Capa límite 47
Figura 1.18: Características del flujo viscoso, estacionario y de alto número de Reynolds
pasando a través de una placa plana paralela a la corriente libre.
las partículas fluidas en dirección normal al flujo, lo cual permite un intercambio de cantidad de
movimiento a mayor escala, generándose de ese modo mayores tensiones de corte. En este caso, las
tensiones de corte no son sólo función,de la viscosidad y del gradiente de velocidad sino también
de las componentes de las velocidades aleatorias u′, v′ y w′.
La teoría para el cálculo de las tensiones de corte turbulentas escapa al alcance de estas notas,
pero es importante conocer que las tensiones viscosas en régimen turbulento pueden ser de 100 a
1000 veces mayores que en régimen laminar. Sin embargo, si consideramos el rozamiento del fluido
con una pared sólida, debido a la restricción física que constituye la presencia de dicha pared para
el movimiento turbulento de las partículas fluidas, se genera en una región muy delgada adyacente
a la pared una subregión de flujo laminar donde la expresión (1.50) resulta válida. De esta manera,
podemos calcular la fuerza de fricción sobre un cuerpo debida a un flujo utilizando esta fórmula
sencilla siempre que sea posible establecer el gradiente de velocidad en la subregión laminar.
1.4 Capa límite
En esta sección el análisis consiste en estudiar los efectos viscosos producidos sobre un cuerpo
inmerso en una corriente fluida. Para ello, consideramos inicialmente el caso particular de una
placa plana colocada en dirección paralela a un flujo de velocidad constante U∞. Como vimos
anteriormente, debido a la condición de no deslizamiento, se puede verificar experimentalmente
que la velocidad del fluido sobre la superficie de la placa es nula, mientras que en regiones más
alejadas de la superficie la forma de variación de la velocidad dependerá de las propiedades del
fluido que compone el flujo, de la velocidad de la corriente libre y de la escala geométrica del
problema, es decir, dependerá del número de Reynolds. En muchas de las aplicaciones aeronáuticas
convencionales se presentan condiciones de flujo donde el número de Reynolds es relativamente
grande, siendo en general mayor a 105. Esto significa que los efectos de inercia del flujo predominan
por sobre los efectos viscosos y, en el caso particular de la placa plana, se observará que la velocidad
del flujo será igual a la velocidad de la corriente libre en la mayor parte del campo de movimiento,
inclusive en zonas más o menos cercanas a la pared sólida, exceptuando una pequeña región
adyacente a la superficie donde se producirá la variación de la velocidad desde un valor nulo (sobre
la superficie) hasta el valor de la corriente libre, tal como se muestra en la Figura 1.18. Esta región
donde se asume que se concentran los efectos viscosos se denomina capa límite.
La presencia de la capa límite establece un importante punto conceptual en aerodinámica
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48 Capítulo 1. Fundamentos físicos
teórica: un flujo puede ser separado en dos regiones, una de ellas donde los efectos viscosos son
importantes (dentro de la capa límite), y otra región donde el flujo es no viscoso (fuera de la
capa límite). Este concepto fue inicialmente introducido por el físico alemán Ludwig Prandtl en
1904, revolucionando la aerodinámica teórica moderna. Por otro lado, se puede demostrar teórica y
experimentalmente que la presión (estática) dentro de la capa límite no varía en dirección normal
a la superficie. Éste es un fenómeno muy importante ya que permite utilizar teorías de flujo no
viscoso para calcular la distribución de presión sobre la superficie de un cuerpo, donde los efectos
viscosos son importantes. Esta idealización será válida siempre que la capa límite sea delgada y
se encuentre adherida al cuerpo, ya que al aplicar la hipótesis de flujo no viscoso uno en realidad
está calculando la presión sobre una superficie “ficticia” externa a la capa límite, la cual no varía
significativamente de la geometría real si la capa límite es delgada.
La fricción que se produce en la interfaz fluido-placa se debe a la viscosidad del fluido, por lo
tanto la tensión tangencial en principio responde a la ecuación (1.50), donde el valor del gradiente
de velocidad corresponde al que se registra sobre la superficie de la placa:
τw = µ
du
dy
∣∣∣∣
y=0
. (1.60)
Teniendo en cuenta que dentro de la capa límite los efectos viscosos son importantes, resulta
claro que en esa región no es válido asumir la hipótesis de flujo isoenergético. Esto implica que la
presión total no se conserva a lo largo de las líneas de corriente interiores a la capa límite. De esta
forma, una expresión basada en el principio de conservación de la energía como la ecuación de
Bernoulli sólo puede utilizarse para establecer la relación entre las presiones estática, dinámica y
total en cada punto del flujo dentro de la capa límite.
1.4.1 Desarrollo de la capa límite
Observemos nuevamente la Figura 1.18. La distancia δ que define el tamaño de la capa límite
se conoce como espesor de la capa límite. En forma práctica, este valor se determina conociendo
la distancia donde la velocidad del flujo alcanza el 99 % de la velocidad de la corriente libre10,
medida en dirección normal a la placa desde la superficie de la misma. El espesor de la capa límite
no es constante sino que aumenta conforme el flujo avanza por sobre la placa. Este crecimiento
o desarrollo de la capa límite se debe al intercambio de cantidad de movimiento entre capas
adyacentes de fluido, el cual hace que la velocidad disminuya en regiones cada vez más alejadas
de la superficie sólida a medida que el flujo “avanza” por sobre la placa. En las cercanías del
borde de ataque de la placa sólo las capas más próximas a la superficie sólida se ven afectadas al
intercambiar su cantidad de movimiento con la pared, pero conforme el flujo avanza cada vez más
capas son afectadas por las capas más cercanas a la placa que ya han reducido su energía. De esta
manera es que el espesor de la capa límite crece a lo largo de la placa.
Naturalmente, el desarrollo de la capa límite será mayor cuando el mecanismo de intercambio
de cantidad de movimiento entre capas adyacentes de fluido sea más eficiente. Como vimos en
la sección anterior, este mecanismo depende fundamentalmente del régimen de flujo, el cual está
dado por el número de Reynolds. De esta manera, la capa límite puede ser laminar o turbulenta
dependiendo de este parámetro cuya longitud de referencia es la distancia recorrida por el fluido
sobre la placa plana, es decir:
Rex =
ρ∞U∞x
µ∞
, (1.61)
siendo x la distancia medida desde el borde de ataque de la placa.
10Hay que tener en cuenta que existen otras formas de definir el espesor de la capa límite, como ser el espesor de
cantidad de movimiento o el espesor de desplazamiento.
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1.4 Capa límite 49
Figura 1.19: Esquema de variación del espesor de la capa límite. Transición de laminar a
turbulenta.
De acuerdo a esta expresión, el número de Reynolds crece linealmente desde el borde de ataque
de la placa plana, por lo tanto existe una primera región donde Rex < Recrít y el flujo es laminar.
Bajo este régimen de flujo el crecimiento del espesor de la capa límite es relativamente bajo, ya
que la transferencia de cantidad de movimiento desde las capas de fluido próximas a la pared se
da a escala molecular. Con el avance del fluido por sobre la placa eventualmente se alcanza el
número de Reynolds crítico y la capa límite transiciona a turbulenta. Esto hace que el intercambio
de cantidad de movimiento entre capas adyacentes de fluido se incremente debido a la interacción a
nivel de partículas (macroscópico) que se da en dirección normal a la dirección del flujo libre. Esto
genera un gradiente de velocidad du/dy mayor en la región próxima a la pared y a un aumento en
la tasa de crecimiento del espesor de la capa límite, la cual se engrosa más rápidamente en este
régimen de flujo (ver Figura 1.19). De este modo, podemos distinguir dos tipos de capa límite con
características diferentes, la capa límite laminar y la capa límite turbulenta.
1.4.2 Capa límite laminar
Como se dijo previamente, la capa límite laminar se caracteriza justamente porque en su interior
el flujo es laminar, por lo tanto el transporte de masa en dirección normal al flujo se da sólo a escala
molecular. En esta,sección se muestran algunos resultados para capas límites laminares en placas
planas, los cuales se obtienen mediante la teoría de capa límite laminar y cuyo desarrollo está más
allá del alcance de estas notas. Estos resultados son válidos para el problema de la placa plana
alineada con el flujo, donde el gradiente de presión en dirección de la corriente se asume nulo, es
decir ∂p/∂x = 0 (este punto será detallado más adelante).
Las dos cantidades físicas de interés en este análisis son el espesor de la capa límite δ y la
tensión de corte viscosa τw sobre la pared en una determinada posición x de la placa (medida desde
el borde de ataque). También es de interés conocer el perfil de velocidades dentro de la capa límite.
De acuerdo a la solución de Blasius (ver por ejemplo Munson et al. (2009); White (2008)), el
espesor de una capa límite laminar resulta:
δlaminar =
5x√
Rex
= 5
(
µ∞
ρ∞U∞
x
)1/2
, (1.62)
Es destacable cómo una expresión tan sencilla como ésta puede capturar un fenómeno tan complejo
como lo es el desarrollo de la capa límite. Esto pone de manifiesto la poderosa influencia del número
de Reynolds en el comportamiento de un flujo.
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50 Capítulo 1. Fundamentos físicos
La ecuación (1.62) muestra que el espesor de la capa límite crece a un factor
√
x desde el borde
de ataque, es decir que δ ∝
√
x y la capa límite crece parabólicamente en régimen de flujo laminar.
La tensión de corte viscosa local τw también es una función de la posición x. Este valor puede
obtenerse en términos del coeficiente de fricción local C f , el cual es un número adimensional dado
por la relación entre la tensión y la presión dinámica de la corriente libre11:
C f =
τw
1
2 ρ∞U
2
∞
≡ τw
q∞
, (1.63)
Mediante la teoría de capa límite laminar se obtiene
C f laminar =
0,664√
Rex
,
por lo tanto
τw,laminar =C f laminarq∞ =
0,664√
Rex
1
2
ρ∞U2∞. (1.64)
Esta expresión muestra la ventaja de utilizar coeficientes adimensionales: mientras que la tensión
τw depende de varias cantidades (ρ∞, U∞ y Rex) que además involucran unidades, el coeficiente
C f depende solamente del número de Reynolds. Por otro lado, se observa que, a diferencia de lo
que sucede con el espesor δ, el coeficiente C f decrece con un factor 1/
√
x, de modo que la tensión
viscosa disminuye a lo largo de la superficie de la placa. La fuerza de fricción total sobre la placa
se obtiene integrando las tensiones τw en toda la superficie:
D f = b
ˆ `
0
τw dx, (1.65)
siendo b el ancho (uniforme) de la placa y ` su longitud.
En cuanto al perfil de velocidades, una solución exacta basada en el modelo de flujo bidimensio-
nal de la teoría de capa límite laminar no es tan sencilla, ya que se alcanza una ecuación diferencial
no lineal ordinaria de tercer orden que no tiene solución exacta y debe resolverse numéricamente.
Sin embargo, pueden obtenerse buenas aproximaciones utilizando polinomios de segundo grado.
Una de estas aproximaciones es el perfil parábolico propuesto por Kárman:
u(x,y)≈U∞
(
2y
δ
− y
2
δ2
)
, 0≤ y≤ δ(x). (1.66)
Esta expresión se reproduce en el gráfico de la Figura 1.20 donde se compara el perfil de velocidad
de una capa límite laminar y una capa límite turbulenta.
1.4.3 Capa límite turbulenta
Como hemos visto anteriormente, la capa límite inicialmente laminar se hará turbulenta cuando
se alcance el número de Reynolds crítico basado en la distancia recorrida sobre la placa. No existe
un único valor de número de Reynolds para que se produzca la transición, sino que éste dependerá
de múltiples factores como ser la rugosidad de la placa y el nivel de turbulencia del flujo libre. Como
regla general, para superficies más rugosas y niveles de turbulencia del flujo libre más elevados, la
transición se producirá a menores números de Reynolds (usualmente se dice que se adelanta la
11La utilización de coeficientes adimensionales es una práctica muy extendida en Aerodinámica, tal como se verá en
los capítulos posteriores
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1.4 Capa límite 51
transición). El valor de referencia del número de Reynolds crítico para placas planas con superficies
lisas convencionales y una corriente libre “relativamente tranquila” es:
Rex,crít ≈ 5×105,
aunque se han logrado valores de transición mucho más elevados al utilizar superficies cuidadosa-
mente pulidas y flujos con niveles de turbulencia muy bajos.
Una vez que la capa límite transiciona a turbulenta, el flujo dentro de ella es turbulento con lo
cual existe movimiento de las partículas de fluido en dirección normal a la superficie de la placa
plana. Sin embargo, debido a la restricción al movimiento que significa la presencia de la superficie
sólida, en una región muy delgada y adyacente a ésta existe una zona de flujo laminar que se
denomina subcapa laminar.
Bajo las mismas condiciones de flujo, una capa límite turbulenta será más “gruesa” que una
capa límite laminar ya que la transferencia de cantidad de movimiento es más eficiente en flujo
turbulento debido al movimiento transversal de las partículas de fluido que transfieren su energía a
escala macroscópica.
A diferencia del caso laminar, no existen resultados teóricos para capas límites turbulentas, por
lo tanto las estimaciones de δ y τw se basan en ensayos experimentales y simulaciones numéricas
que utilizan formulaciones empíricas para modelar la turbulencia. Estos métodos permiten obtener
la siguiente aproximación para flujo turbulento:
δturbulenta =
0,16x
Re
1/7
x
. (1.67)
Esta expresión muestra que el espesor de la capa límite turbulenta crece con un factor x6/7 (casi
linealmente), mucho más rápidamente que la capa límite laminar cuyo factor de crecimiento es
x1/2.
Un resultado aproximado del coeficiente de fricción local para capa límite turbulenta es:
C f turbulenta =
0,027
Re
1/7
x
, (1.68)
el cual, como era de preverse, es mayor que el correspondiente a capa límite laminar.
Con respecto al perfil de velocidades, Prandtl propuso la siguiente función para aproximar la
velocidad (media) dentro de la capa límite turbulenta:
u(x,y)≈U∞
( y
δ
)1/7
, 0≤ y≤ δ(x). (1.69)
la cual produce una buena aproximación para números de Reynolds relativamente bajos (Rex < 106).
En la Figura 1.20 se muestran los perfiles de velocidades típicos para capas límites laminares y
turbulentas basados en las expresiones aproximadas dadas en las ecuaciones (1.66) y (1.69). Allí se
observa la clara diferencia en el gradiente de velocidad que se produce en la interfaz placa-fluido.
Además se observa cómo dentro de la capa límite turbulenta la velocidad es mayor que en la capa
laminar, de allí que se dice que una capa límite turbulenta es “más energética” que una laminar.
Ejemplo 1.8 Estimar la fuerza de fricción que produce un flujo de aire uniforme de velocidad
U∞ = 12m/s actuando tangencialmente sobre un letrero rectangular de dimensiones 2m (en
dirección del flujo) por 1,50m, el cual puede idealizarse como una placa plana lisa de espesor
despreciable. Utilizar para el cálculo las propiedades del aire “estándar” a nivel del mar y asumir
un número de Reynolds crítico de 5×105.
El primer paso para resolver este problema es determinar el número de Reynolds del flujo
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52 Capítulo 1. Fundamentos físicos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 1.20: Comparación de los perfiles de velocidades (adimensionales) para capas límites
laminar y turbulenta en una placa plana.
tomando como longitud de referencia la dimensión del letrero en dirección del flujo (`= 2m):
Re` =
ρMSLU∞`
µMSL
= 1,643×106.
Como vemos, Re` > 5×105, por lo tanto existen regiones de flujo turbulento. Esto significa que
debemos considerar dos regiones dadas por x < xcrít y x > xcrít, donde xcrít es la longitud para la
cual se alcanza el número de Reynolds de transición:
xcrít =
RecrítµMSL
ρMSLU∞
= 0,609m.
La tensión de corte viscosa sobre una placa plana para capa límite laminar está dada por la
ecuación (1.64):
τw,lam = q∞
0,664√
Rex
=,0,664
q∞
√
µMSL√
ρMSLU∞
x−1/2,
entonces la fuerza de fricción producida por el flujo en la región laminar resulta
D f ,lam = 2b
ˆ xcrít
0
τw,lam dx = 2b0,664
q∞
√
µMSL√
ρMSLU∞
2
√
xcrít = 0,2361N,
donde b = 1,50m es el ancho del letrero y el factor 2 se incluye para considerar ambos lados de
la placa.
Ahora realizamos un procedimiento similar para la región de capa límite turbulenta utilizando
la ecuación (1.68):
τw,turb = q∞
0,027
Re
1/7
x
= 0,027
q∞µ
1/7
MSL
(ρMSLU∞)
1/7 x
−1/7,
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1.4 Capa límite 53
por lo tanto
D f ,turb = 2b
ˆ `
xcrít
τw,turb dx = 2b0,027
q∞µ
1/7
MSL
(ρMSLU∞)
1/7
7
6
(
`6/7− x6/7crít
)
= 1,3790N.
Finalmente, la fuerza de fricción total que produce el flujo de aire sobre el letrero es la suma
de ambas contribuciones:
D f = D f ,lam +D f ,turb = 1,6186N.
Nótese que la mayor parte de la fuerza de fricción viscosa se debe al efecto de la capa límite
turbulenta, por ello en ocasiones el cálculo se realiza asumiendo que la totalidad del flujo se
encuentra en esa condición, especialmente cuando no se conocen de manera más o menos
precisa los valores de transición de la capa límite. �
1.4.4 Separación de la capa límite
Los resultados presentados en las secciones anteriores tanto para capa límite laminar como
para capa límite turbulenta se obtuvieron considerando el caso especial de un flujo paralelo a una
placa plana de espesor muy pequeño. Bajo esta condición, las líneas de corriente son esencialmente
paralelas a la placa y las propiedades del flujo son constantes en todo el campo de movimiento,
a excepción de la región interna a la capa límite. Naturalmente, esta condición de flujo es muy
particular, ya que en general estaremos en presencia de geometrías más complejas que producirán
campos de movimiento de propiedades variables. Precisamente, en la mayoría de las aplicaciones
aeronáuticas se busca generar cambios en las propiedades del flujo para obtener los resultados
deseados, como por ejemplo producir una determinada distribución de presión sobre la superficie
del ala de un avión para generar una fuerza de sustentación.
Si bien el problema de la placa plana constituye un muy buen modelo para estudiar los conceptos
básicos de la capa límite, éste posee una condición que pocas veces se satisface en los problemas
prácticos: la presión (estática) es constante a lo largo de las líneas de corriente, es decir que el
gradiente de presión es nulo en la dirección del flujo (dp/dx = 0). Esto se debe a que la velocidad
es esencialmente constante fuera de la capa límite, por lo tanto, de acuerdo a la ecuación de
Bernoulli, la presión estática no cambia. Sin embargo, si la superficie del cuerpo es curvada, las
líneas de corriente también se curvan y la velocidad cambia con un consecuente cambio en la
presión estática12, produciéndose de este modo un gradiente de presión en dirección del flujo. Hay
que tener en cuenta que los cambios de velocidad dentro de la capa límite no pueden asociarse
directamente con cambios de presión considerando la ecuación de Bernoulli (o alguna otra expresión
de conservación de la energía), ya que en esa región el flujo no es isoenergético debido al efecto
disipativo de la viscosidad del fluido (la presión total no se conserva en las líneas de corriente
interiores a la capa límite). Las características de todo el campo de movimiento, tanto dentro como
fuera de la capa límite, en general dependerán fuertementemente de los efectos del gradiente de
presión dp/dx dentro de la capa límite.
Para visualizar estos efectos consideremos el flujo alrededor de un cilindro como el que se
indica en la Figura 1.21. Si el fluido fuera completamente no viscoso (µ= 0), el número de Reynolds
sería infinito y las líneas de corriente serían simétricas respecto al plano medio del cilindro normal
a la dirección del flujo libre. La velocidad del flujo en la línea de corriente adherida a la superficie
del cuerpo variaría desde un valor nulo en el punto de estancamiento, hasta un valor máximo en
la parte superior (e inferior) del cilindro debido al estrechamiento de las líneas de corriente, para
12Es justamente este efecto el que se aprovecha en los perfiles aerodinámicos, que son las formas bidimensioniales
que conforman las secciones de las alas de un avión. La superficie curva del perfil genera una dismminución de la presión
en la superficie superior del ala produciendo así la fuerza de sustentación.
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54 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.21: Características de la capa límite en un cilindro. Separación de la capa límite y
perfiles de velocidad típicos en distintas posiciones.
nuevamente reducir su valor a cero en el punto de estancamiento posterior. Consecuentemente, de
acuerdo a la ecuación de Bernoulli la cual puede aplicarse en este caso de flujo ideal, la presión
estática variaría desde un valor máximo igual a la presión total en el punto de estancamiento, hasta
un valor mínimo donde la velocidad del flujo es máxima, para nuevamente aumentar hasta la presión
total en el punto de estancamiento posterior. Es decir que la presión resulta simétrica con respecto
al plano medio del cilindro normal al flujo (plano vertical que pasa por el centro del cilindro).
Durante la primera parte de este movimiento, una partícula de fluido viaja desde el frente del
cilindro hasta la zona superior (o inferior) del mismo, desde una región de mayor presión hacia
una región de menor presión En este caso decimos entonces que existe un gradiente de presión
favorable para el movimiento, ya que el desplazamiento se produce en la dirección “natural” en la
cual se mueve un fluido frente a diferencias de presión, tendiendo a equiparar su valor en todo el
dominio. Esto puede pensarse entendiendo a la presión como un indicador de energía potencial y
suponiendo que el movimiento se realiza sobre una “colina de presión”. Bajo la condición de un
gradiente de presión favorable, la partícula se estaría desplazando cuesta abajo de la colina desde
una posición de máxima energía potencial hasta un punto donde alcanza su máxima energía cinética
(máxima velocidad) en la parte “más baja del valle”. De manera contraria, en el movimiento que se
produce detrás del cilindro el intercambio de energía es inverso de modo que la energía cinética
de la partícula se transforma en energía de presión, viajando desde una región de menor presión
hacia una de mayor presión. Esto sería como desplazarse hacia arriba en la colina de presión, por lo
que decimos que existe un gradiente de presión adverso o desfavorable. Si el fluido es no viscoso
no existen pérdidas de energía por fricción, por lo que la partícula dispone de suficiente energía
cinética como para recuperar totalmente su energía de presión inicial, ya que la energía mecánica
total del sistema debe conservarse en ausencia de mecanismos de disipación. En la analogía de la
colina de presión significa que la partícula recupera su altura inicial luego de haber viajado cuesta
arriba desde el valle aprovechando la energía cinética obtenida al alcanzar la zona más baja.
Consideremos ahora el mismo problema descrito anteriormente pero para el caso de un fuido
real (µ > 0) y un número de Reynolds suficientemente grande de manera que se produzca una
capa límite. En esta situación, las partículas de fluido tanto dentro como fuera de la capa límite
experimentan la misma distribución de presión que se produce para flujo no viscoso, es decir,
un gradiente de presión favorable inicial y luego un gradiente de presión adverso en la parte
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1.4 Capa límite 55
posterior del cilindro. Sin embargo, debido a los efectos disipativos de la viscosidad, en este caso
las partículas fluidas que se mueven en el interior de la capa límite sufren una pérdida de energía a
lo largo del movimiento. Esta pérdida significa que estas partículas ya no poseen energía suficiente
como para contrarrestar el gradiente de presión adverso. En la analogía de la colina,de presión
significa que ya no son capaces de “subir” nuevamente la colina desde la parte más baja del valle
(parte superior (o inferior) del cilindro indicado como punto C de la Figura 1.21) hasta la cima
(región posterior del cilindro). Esta pérdida de energía cinética se manifiesta en un cambio en el
perfil de velocidades de la capa límite a lo largo del cilindro, tal como se observa en la Figura 1.21.
Debido a que el fluido no dispone de un suministro adicional de energía, llega un punto en el cual
el flujo no puede contrarrestar el incremento de presión con la energía cinética disponible. En este
punto el gradiente de velocidad en dirección normal a la superficie se hace nulo y más allá del
mismo aparece un flujo inverso generado por la diferencia de presión que hace que la capa límite se
separe del cuerpo.
Como consecuencia de la separación, detrás del cuerpo se genera una región de flujo inesta-
cionario y turbulento denominada estela. Dentro de la estela no es posible realizar mediciones
confiables ya que existe un gran nivel de turbulencia del flujo (la propiedad ∂p/∂y≈ 0 dentro de la
capa límite pierde validez una vez que se produce la separación). Por otro lado, la presión en la
región posterior del cilindro es menor que la presión en la región frontal puesto que la disipación
de energía por fricción impide recuperar totalmente la presión de estancamiento. Este desbalance
de presiones produce una fuerza de resistencia aerodinámica que será mayor cuanto mayor sea el
tamaño de la estela, es decir, cuanto mayor sea el área de flujo separado. De allí que en aerodinámica
generalmente se busca reducir lo más posible las regiones de flujo desprendido13.
Hay que destacar que el fenómeno de separación tal como fue detallado se produce únicamente
cuando existe una capa límite en el campo de movimiento, es decir, cuando el número de Reynolds
es lo suficientemente grande (exceptuando naturalmente el caso de flujo ideal donde Re= ∞). En
flujos altamente viscosos o de muy baja velocidad (Re→ 0), las regiones del campo de movimiento
afectadas por la viscosidad ya no se reducen a una pequeña zona cercana al cuerpo sino que se
extienden mucho más allá de la superficie, con lo cual el comportamiento es sustancialmente
diferente.
1.4.5 Determinación experimental de la capa límite
En el análisis experimental de la capa límite se busca determinar fundamentalmente el espesor
de la misma y el perfil de velocidades dentro de ella. Como hemos visto anteriormente, siempre
que la capa límite se encuentre adherida a la superficie es válido asumir que la presión estática en
dirección normal al flujo no cambia (∂p/∂y≈ 0). Por otro lado, la presión total varía en la medida
que cambia la velocidad, ya que la energía se disipa por fricción. De esta manera, es posible obtener
un perfil de velocidades a partir de la medición de presión estática registrada directamente sobre la
superficie sólida y la medición de la distribución de presión total en dirección normal a la pared.
A diferencia de lo que sucede en muchos ensayos aerodinámicos, la mayor complejidad en este
experimento radica en la medición de la presión total, la cual debe hacerse en numerosos puntos
de una región generalmente muy pequeña. Esto implica que debemos contar con un elemento
que permita desplazar la sonda de presión total de manera muy precisa y ésta además debe ser lo
suficientemente pequeña de manera de poder realizar múltiples mediciones dentro de la capa límite
sin producir perturbaciones excesivas en el campo de movimiento. Por otro lado, hay que tener en
cuenta que deben realizarse correcciones de la posición del centro efectivo de la sonda ya que la
medición de la presión total se hace en regiones donde existe un gradiente de velocidad en dirección
normal al eje de la sonda. Estos detalles serán analizados en la Sección 3.1.2 del Capítulo 3.
13Excepto en aplicaciones donde el objetivo es generar una gran resistencia, como el caso de los frenos aerodinámicos
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56 Capítulo 1. Fundamentos físicos
1.5 Guía de estudio
Preguntas
1. ¿Qué son la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad de un fluido? ¿A partir de qué
enfoque se realizan estas definiciones y cuáles son las limitaciones para su utilización?
2. Desde el punto de vista de la mecánica de los fluidos, ¿cuál es la diferencia entre una partícula
de fluido y una molécula de fluido?. ¿A qué tipo de enfoque corresponde cada una de ellas?
3. Escriba la ecuación de estado de los gases ideales e indique en qué condiciones es válido
aplicar esta idealización.
4. Deduzca la ecuación de altura de un gas ideal en reposo en presencia de un campo gravitario
constante para una condición de temperatura constante y de gradiente térmico constante.
5. Explique qué entiende por atmósfera y describa brevemente las diferentes formas de caracte-
rizar la estructura de la atmósfera terrestre.
6. ¿Qué es la atmósfera estándar internacional y para qué se utiliza?
7. ¿Cuál es el principio de funcionamiento de un baroaltímetro y qué elementos básicos compo-
nen este instrumento?.
8. ¿Cuáles son las diferencias entre la altitud y altura geométricas y la altitud y altura de presión?
9. ¿Qué suposiciones y bajo qué circunstancias pueden asumirse para simplificar el tratamiento
de un problema de flujo de aire?
10. ¿Qué son las líneas de corriente, las líneas de trayectoria y las líneas de traza de un flujo?
¿Qué relación existe entre ellas?
11. ¿Qué es el número de Mach de un flujo y qué implicancias tiene este parámetro en las
características del flujo?
12. ¿Qué es es un tubo de flujo en una corriente fluida?
13. Escriba la ecuación de continuidad para un flujo estacionario compresible e incompresible.
¿Qué principio físico expresa esta relación?
14. Escriba la ecuación de Bernoulli e indique qué representa cada uno de sus términos. ¿Qué
principio físico expresa esta relación y cuáles son las condiciones de validez de la misma?
15. ¿Qué son la presión estática, la presión dinámica y la presión total de un flujo? Escriba la re-
lación que existe entre estas cantidades para un flujo estacionario, no viscoso e incompresible
con variación de altura despreciable.
16. Muestre esquemáticamente cómo funciona una sonda Pitot y explique para qué se utiliza este
instrumento indicando las relaciones matemáticas que intervienen.
17. ¿Cómo se determina la velocidad de una corriente de aire de baja velocidad utilizando
una sonda Pitot-estática y un manómetro diferencial de columna de líquido? Indique las
expresiones matemáticas que se utilizan en el proceso.
18. ¿Cómo se mide la velocidad de un flujo en regímen subsónico compresible?
19. ¿En función de qué parámetro se establece el límite de incompresibilidad de un flujo de aire?
¿Cuáles son los fundamentos de dicha simplificación?
20. ¿Qué es la viscosidad molecular (o absoluta) de un fluido? ¿Qué fenómeno representa esta
propiedad de transporte?
21. Defina viscosidad dinámica y viscosidad cinemática de un fluido indicando en qué unidades
de medida suelen expresarse estas propiedades.
22. Explique brevemente los mecanismos por los cuales se manifiesta la viscosidad en gases y en
líquidos. ¿Cuál es la influencia de la temperatura en cada caso?
23. ¿Qué es la condición de no deslizamiento de un flujo y cuál es el origen de la misma?
24. ¿Qué parámetro adimensional establece la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
viscosas de un flujo?
25. Explique brevemente las características principales del flujo laminar y del flujo turbulento.
¿Qué es el número de Reynolds crítico?
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1.5 Guía de estudio 57
26. ¿Qué son la velocidad instantánea, la velocidad media y la velocidad aleatoria de un flujo?
¿En qué regimen de flujo tienen sentido estas definiciones?
27. ¿Qué es la intensidad (o nivel) de turbulencia de un flujo?
28. ¿Qué es la capa límite? ¿Bajo qué condiciones tiene sentido esta definición y cómo se
desarrolla la misma a lo largo de una placa plana paralela,a la corriente libre?
29. ¿Cómo varía la tensión de corte viscosa dentro de una capa límite laminar cuyo perfil de
velocidades es u(y) =U∞
[
2 y
δ
−
( y
δ
)2], y dentro de una capa límite turbulenta con un perfil
u(y) = u∞
( y
δ
)1/7?
30. ¿A qué se debe la separación de la capa límite y qué condición origina dicho fenómeno?
Problemas
1. Calcular el peso de la masa de aire que se encuentra en el interior de una habitación donde se
registra una presión atmosférica de 975hPa y una temperatura de 16 oC, cuyas dimensiones
son 4,50m de largo, 3,50m de ancho y 2,60m de altura.
2. Determinar la presión en el interior de un tanque de 80litros de capacidad dentro del cual se
han bombeado 10kg de gas metano a una temperatura de 20 oC. La masa molar del metano
es µm,metano = 16,04g/mol.
3. Los requerimientos de diseño de una determinada aeronave indican que deben satisfacerse
una serie de requisitos de performance a una altitud de 20000ft AMSL. Determinar qué valor
de densidad utilizará el diseñador para realizar los cálculos correspondientes.
4. Determinar la densidad del aire en la posición de un avión en vuelo cuyo baroaltímetro indica
una altitud de presión de 15000ft y donde se registra una temperatura ambiente de 0 oC.
Asumir que no existen errores en la indicación de los instrumentos.
5. Determinar la presión atmosférica en la posición de una aeronave que se encuentra volando a
una altura de presión de 20000ft medida con respecto a un punto sobre la superficie terrestre
de 300m de elevación donde se registra una presión atmosférica de 950hPa.
6. En cálculos preliminares de performance de una aeronave suele emplearse una forma aproxi-
mada para estimar la variación de la densidad del aire con la altitud:
ρ
ρMSL
= exp(−kh) .
Determinar el valor de la constante k de modo que la expresión anterior entregue el valor
exacto de la densidad para h = 5000m. Posteriormente evaluar el error en la densidad para
h = 6000,7000,8000,9000 y 10000m.
7. Calcular la temperatura del aire en la posición de un avión que se encuentra volando a una
altitud de presión de 33000ft y una altitud de densidad de 30000ft.
8. Determinar el caudal de aire y la velocidad de salida de una corriente que circula a través de
un conducto convergente a una velocidad de entrada de 200m/s. La sección de entrada del
conducto es de 0,30m2 y la sección de salida de 0,20m2. La densidad del aire a la entrada es
de 1kg/m3 y a la salida de 0,75kg/m3.
9. Determinar la velocidad del aire en un punto sobre la superficie de un perfil aerodinámico
donde la presión estática es de 1004,5hPa y la presión atmosférica, la densidad y la velocidad
de la corriente libre son de 1013,25hPa, 1,225kg/m3 y 50m/s, respectivamente.
10. Un avión se desplaza a una altitud de presión de 10000m donde la temperatura ambiente es
de −43 oC. Determinar el número de Mach del vuelo si la sonda Pitot abordo de la aeronave
registra una presión de 420hPa.
11. Determinar cuánto cambia la viscosidad dinámica del aire en un flujo donde la temperatura
varía desde los −30 oC a los 30 oC. Determinar además la viscosidad cinemática en estas dos
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58 Capítulo 1. Fundamentos físicos
situaciones asumiendo que la presión es de 410hPa para el caso frío y de 1013hPa para el
caso cálido.
12. Estimar el espesor de la capa límite para x = 1,50m que se registra en una placa plana lisa
sometida a un flujo de aire uniforme de 10m/s, asumiendo que la transición se produce para
un número de Reynolds de 6,5×105. Utilizar para el cálculo las propiedades del aire estándar
a nivel del mar.
13. En el juego del tejo se utiliza un disco de diámetro 8cm que se desliza sobre un “colchón”
de aire. Asumiendo que el disco es plano y liso, estimar la fuerza de fricción viscosa que
ejerce el aire sobre el disco si éste se desplaza a una velocidad de 4m/s. ¿Cuánto cambiaría
la fuerza de fricción si el disco fuera rugoso de modo que la capa límite resultara turbulenta?.
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2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Uno de los principales objetivos del estudio del flujo de fluidos es calcular las fuerzas y
momentos que se generan sobre un cuerpo que se encuentra inmerso en el flujo. En nuestro caso
particular, el fluido en movimiento es el aire y las fuerzas y momentos que éste ejerce sobre el cuerpo
se conocen como acciones o fuerzas aerodinámicas. El desafío de los diseñadores aeronáuticos es
justamente aprovechar estas acciones aerodinámicas para hacer posible el vuelo de máquinas más
pesadas que el aire. Aunque las ecuaciones de gobierno del movimiento de un fluido son conocidas,
muy pocos problemas de interés práctico poseen una solución analítica que permita un estudio
directo por esa vía. Por lo tanto, muchos problemas de este tipo son abordados en base a datos
determinados experimentalmente. Es por ello que el análisis dimensional juega un rol fundamental
dentro de la Mecánica de los Fluidos en general y de la Aerodinámica en particular, ya que mediante
este enfoque es posible establecer los criterios a tener en cuenta para poder extrapolar los resultados
obtenidos experimentalmente en los laboratorios a los problemas reales.
2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo
La interacción aerodinámica entre un fluido y un cuerpo sólido puede darse ya sea por el
impacto del fluido en movimiento contra el cuerpo en reposo, como sucede por ejemplo con la
incidencia del viento sobre estructuras civiles, por el movimiento del cuerpo en un medio en reposo,
como es el caso del desplazamiento de los vehículos en general en la atmósfera terrestre, o por
una combinación de ambos efectos. En otras palabras, es necesario que exista un movimiento
relativo entre el fluido y el cuerpo. Independientemente de cuál sea la situación, siempre que el
moviemiento sea estacionario, es posible escoger un sistema de coordenadas fijo al cuerpo y evaluar
el problema asumiendo un flujo incidente sobre un cuerpo en reposo, lo cual permite simplificar
considerablemente el análisis.
Por otro lado, en muchas de las aplicaciones de nuestro interés, también podemos asumir que la
velocidad del flujo incidente es uniforme y constante en el tiempo a una distancia lo suficientemente
alejada y corriente arriba del cuerpo. Aunque esto no es estrictamente cierto en la gran mayoría
de los problemas prácticos, una simplificación de este tipo permite determinar cuáles son los
principales efectos de los distintos parámetros que intervienen en la generación de las acciones
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60 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
aerodinámicas. Hay que tener en cuenta que la condición de que el flujo incidente sea estacionario
no implica que no puedan existir regiones de flujo no estacionario en algunas zonas del campo de
movimiento. De hecho, esta situación se produce frecuentemente debido a la presencia de la estela
que se genera por la separación de la capa límite.
Consideremos entonces un cuerpo sólido indeformable sumergido en una corriente estacionaria
de velocidad V∞. Físicamente, pueden distinguirse dos mecanismos por los cuales el fluido que
compone la corriente produce una fuerza sobre el cuerpo. El primero de ellos se debe a la presión
ejercida por el fluido sobre la superficie del cuerpo. El segundo es consecuencia de las tensiones de
corte que se producen sobre la superficie del cuerpo por acción de la viscosidad. Mientras que la
presión ejerce una fuerza por unidad de área en dirección normal a la superficie, las tensiones de
corte actúan en dirección paralela a la pared. La integración de las presiones y las tensiones de corte
viscosas en toda la superficie del cuerpo expuesta al flujo se traduce en una fuerza aerodinámica
total conocida como resultante aerodinámica:
R =
ˆ
A
−pn dA+
ˆ
A
τws dA, (2.1)
siendo p la presión, n un vector unitario normal saliente a la superficie, τw la tensión de corte
viscosa y s un vector unitario paralelo a la superficie. La integración se realiza en toda la superficie
del,cuerpo expuesta al flujo (superficie mojada), representada por el área total A.
Debido a la naturaleza de las aplicaciones aeronáuticas, conviene descomponer la resultante
aerodinámica en dos componentes que tienen en cuenta la dirección del “viento relativo” de acuerdo
a las siguientes definiciones:
Definición 2.1 — Sustentación. Se define como fuerza de sustentación (o simplemente sustenta-
ción) a la componente de la resultante aerodinámica que actúa en dirección perpendicular a la
corriente libre. La fuerza de sustentación suele indicarse con la letra L (del inglés lift).
Definición 2.2 — Resistencia aerodinámica. Se define como fuerza de resistencia aerodinámica
(o simplemente resistencia) a la componente de la resultante aerodinámica que actúa en dirección
paralela a la dirección del flujo libre. La resistencia aerodinámica suele indicarse con la letra D
(del inglés drag).
Si bien la sustentación L y la resistencia D son en rigor cantidades vectoriales, se admite utilizar
para ellas un tratamiento escalar, ya que la dirección de estos vectores está determinada por su
definición.
De acuerdo a las definiciones geométricas de la Figura 2.1, la fuerza de sustentación y la fuerza
de resistencia aerodinámica están dadas por las siguientes integrales:
L =
ˆ
A
(−psinθ+ τw cosθ) dA, (2.2)
D =
ˆ
A
(pcosθ+ τw sinθ) dA, (2.3)
siendo θ el ángulo formado entre la dirección normal a la superficie del cuerpo y el vector velocidad
del flujo libre, tal como se muestra en la figura. En general, la mayor porción de la fuerza de
sustentación se producirá por el desbalance de las fuerzas de presión en dirección normal a la
dirección de la corriente libre, dado que la tensión viscosa no realiza un aporte significativo
en esa dirección. Por otro lado, la fuerza de resistencia aerodinámica puede estar conformada
mayormente por uno u otro efecto, dependiendo fundamentalmente de la forma del cuerpo. En
la Figura 2.1 se muestran esquemáticamente los efectos de la presión y las tensiones de corte
viscosa sobre un perfil aerodinámico junto con la definición gráfica de las fuerzas de sustentación y
resistencia aerodinámica. Nótese que las rectas de acción de estas fuerzas son siempre coplanares,
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2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo 61
Figura 2.1: Fuerzas debidas al flujo en un cuerpo bidimensional (izquierda) y fuerzas sobre
un pequeño elemento de superficie del cuerpo (derecha).
es decir que los vectores L y D se encuentran contenidos dentro del mismo plano. En el caso
de flujo bidimensional, como el esquematizado en la figura, la resultante aerodinámica también
está contenida en el mismo plano. En flujo tridimensional aparece otra componente aerodinámica
perpendicular a la sustentación y a la resistencia conocida como fuerza lateral N.
Además de la resultante aerodinámica existe otra acción aerodinámica que se produce sobre
un cuerpo por la acción de una corriente fluida. Esta acción es un momento o cupla que se genera
sobre el cuerpo debido a la distribución de fuerzas sobre la superficie las cuales, en el caso general,
originan una cupla libre que tienden a hacer rotar el cuerpo. Este efecto se conoce como momento
aerodinámico . Para el caso particular de flujo bidimensional, la rotación del cuerpo se produce
dentro del plano del movimiento y el momento asociado se conoce como momento de cabeceo:
Definición 2.3 — Momento de cabeceo. Se define como momento de cabeceo a la componente
del momento aerodinámica cuya recta de acción actúa en dirección normal al plano formado por
las fuerzas de sustentación y resistencia aerodinámica. El momento de cabeceo suele indicarse
con la letraM y la convención de signos mayormente adoptada establece que el mismo es
positivo si tiende a hacer rotar el cuerpo en sentido horario (llamado momento a cabecear o
cabrear, ya que tiende a levantar la región delantera del cuerpo), o negativo si la rotación es en
sentido antihorario (momento a picar, ya que tiende a bajar la nariz).
La contribución de las fuerzas viscosas al momento de cabeceo es, en general, muy pequeña por
lo tanto esta acción aerodinámica suele calcularse considerando solamente el aporte de la presión
con respecto a un punto de referencia (x0,y0) dado:
M=
ˆ
A
[−(x− x0)psinθ+(y− y0)pcosθ] dA. (2.4)
Naturalmente, en condiciones de flujo tridimensional existen otras componentes del momento
aerodinámico que actúan en dirección paralela a la fuerza de sustentación (momento de guiñada
N ) y paralela a la resistencia aerodinámica (momento de rolido L). A lo largo de este capítulo
y en gran parte de estas notas, consideraremos el caso particular del movimiento plano, por lo
tanto, se asume que N = 0, N = 0 y L = 0. Para los objetivos de nuestro análisis, la condición de
flujo bidimensional no resulta restrictiva, ya que muchos de los problemas en los cuales estamos
interesados se estudian, modelan o desarrollan bajo esa condición.
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62 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Habiendo definido las acciones aerodinámicas, la solución del problema parecería ser tan
simple como evaluar las integrales dadas en las ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) para determinar la
sustentación, la resistencia y el momento de cabeceo. Sin embargo, estas expresiones en principio
sencillas requieren conocer cómo se distribuyen la presión y la tensión viscosa sobre la superficie
del cuerpo expuesta al flujo. Es aquí donde radica el “problema”, dado que en la mayoría de los
casos prácticos estas distribuciones no se encuentran disponibles debido a que es extremadamente
complejo obtenerlas. Recordemos que un enfoque analítico del problema por lo general no es
posible dada la complejidad de las ecuaciones de flujo, las cuales no poseen solución analítica. Por
otro lado, aunque las simulaciones numéricas se encuentran muy desarrolladas en la actualidad,
todavía persiste cierto nivel de incertidumbre en cuanto a los resultados numéricos que, en muchos
casos, no permiten tomar decisiones finales de diseño. Por estos motivos, es de práctica común en
Aerodinámica estimar las acciones aerodinámicas a partir de datos obtenidos experimentalmente
mediante ensayos aerodinámicos, los cuales se realizan de manera tal de poder extrapolar directa-
mente los valores de las fuerzas aerodinámicas determinadas en modelos a escala a la condición real
de flujo. Es en este contexto que el análisis dimensional constituye una herramienta fundamental
en Aerodinámica.
2.2 Introducción al Análisis dimensional
Básicamente, el análisis dimensional es un método utilizado para reducir el número y la com-
plejidad de las variables que afectan un determinado fenómeno físico. Si ese fenómeno determinado
depende de n variables dimensionales, es decir, aquellas que tienen dimensiones físicas y deben
expresarse acompañadas de unidades, el análisis dimensional permitirá reducir ese número a sólo
k variables adimensionales, donde la reducción será tal que n− k = 1, 2, 3 ó 4 dependiendo de
la complejidad del problema. En general, n− k es igual al número de dimensiones “diferentes”
involucradas en el problema, es decir que n− k es igual al número de dimensiones fundamentales
(unidades de base) que describen el problema. En Mecánica de los Fluidos las dimensiones de base
usuales son cuatro: masa M, longitud L, tiempo T y temperatura K.
Aunque el propósito inicial del análisis dimensional es reducir variables agrupándolas en forma
adimensional, este método tiene múltiples ventajas. La primera de ellas es la de posibilitar un
gran ahorro de tiempo (y recursos en general) en lo que respecta al desarrollo de experimentos
y/o simulaciones. Para visualizar esta situación, imaginemos que se conoce que la fuerza sobre un
cuerpo particular inmerso en una corriente fluida depende solamente de la longitud del cuerpo `, de
la velocidad de la corriente libre V∞, de la densidad ρ∞ y de la viscosidad µ∞, es decir:
F = f (`,V∞,ρ∞,µ∞).
Supongamos que la forma del cuerpo y las condiciones de flujo no,permiten un análisis teórico
del problema, por lo tanto, la función f (`,V∞,ρ∞,µ∞) debe ser encontrada ya sea experimentalmente
o por medio de simulaciones numéricas. Si tenemos en cuenta que necesitamos una cantidad de
N puntos para definir una curva, y queremos parametrizar los resultados para distintos valores de
cada una de las n = 4 variables intervinientes, necesitaríamos entonces un total de Nn experimentos
para completar la información. Esto significa que para este problema particular, para definir cada
curva con N = 10 puntos serán necesarios 104 experimentos. Obviamente, este valor es demasiado
grande como para encarar una campaña de ensayos que resulte técnica y económicamente viable.
Es en este punto donde entra en juego el análisis dimensional, ya que mediante este procedimiento
es posible reducir inmediatamente el problema a la siguiente forma equivalente (como veremos
más adelante):
F
ρ∞V 2∞`2
= g
(
ρ∞V∞`
µ∞
)
,
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
2.2 Introducción al Análisis dimensional 63
o, escrito de otra manera,
CF = g(Re).
El coeficiente de fuerza adimensional CF es una función sólo del número de Reynolds del flujo.
La función g(Re) es matemáticamente diferente a la función f (`,V∞,ρ∞,µ∞), pero igualmente
conserva “toda la información” contenida en la función f 1.
La otra gran ventaja del análisis dimensional es que este método ayuda al entendimiento
y planeamiento tanto de experimentos como de teorías. En ocasiones, el análisis dimensional
permite descartar variables en la dependencia de un resultado. Por otro lado, el análisis dimensional
establece las leyes de escala entre los modelos de laboratorio y los problemas reales permitiendo
obtener relaciones del tipo:
Si Remodelo = Rereal, entonces CF modelo =CF real,
por lo tanto[
F
ρ∞V 2∞`2
]
modelo
=
[
F
ρ∞V 2∞`2
]
real
.
Este tipo de relaciones encuentran un gran campo de aplicación en Aerodinámica y permiten
realizar un análisis sistemático y relativamente simple de las fuerzas y momentos aerodinámicos
que produce un flujo sobre un cuerpo.
2.2.1 Principio de homogeneidad dimensional
Para lograr la reducción de una expresión de n variables a otra de sólo n− k variables se
explota una regla que es casi un axioma de la Física. Esta regla se conoce como el principio de
homogeneidad dimensional y se refiere, como su nombre lo indica, a que si una ecuación expresa
una relación adecuada entre variables en un proceso físico, esta ecuación debe ser dimensionalmente
homogénea, lo cual significa que cada uno de sus términos aditivos tiene la misma dimensión. En
otras palabras, este principio indica que todos los términos de una ecuación que representa un
proceso físico deben tener “las mismas unidades”2.
Este principio, que seguramente ya era conocido por todos nosotros e incluso fue utilizado
intuitivamente para comprobar alguna formulación, permite diferenciar entre los distintos factores
que conforman una ecuación que modela un proceso físico:
Las variables dimensionales son las cantidades que realmente varían en un determinado caso
y que poseen dimensiones.
Las constantes dimensionales son cantidades dimensionales que pueden variar de un caso a
otro pero no dentro de un determinado proceso. Las constantes dimensionales también son
llamadas parámetros.
Las constantes puras son cantidades que permanecen siempre fijas y no tienen dimensiones.
Surgen de la manipulación matemática.
El soporte detrás del análisis dimensional es que cualquier ecuación dimensionalmente homogé-
nea puede transformarse a una expresión adimensional equivalente más compacta. Existen diferentes
métodos y teorías para obtener estas expresiones reducidas. A continuación presentaremos uno de
los más conocidos.
1Este resultado es sólo un ejemplo y no debe entenderse como la generalidad de los problemas de flujo sobre cuerpos
ya que, en ocasiones, las fuerzas debidas al flujo son débilmente dependientes del número de Reynolds y se ven afectados
fuertemente por otros conjuntos adimensionales de variables.
2Nótese que la integración o la diferenciación de una ecuación puede cambiar la dimensión de la misma pero no
altera la homogeneidad dimensional de la expresión.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
64 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
2.2.2 El Teorema Pi de Buckingham
Entre los diferentes métodos para la adimensionalización de una expresión física, probablemente
el más difundido sea el propuesto por Buckingham en 1914, que se conoce como Teorema Pi. Este
teorema establece que, si una ecuación que involucra n variables es dimensionalmente homogénea,
entonces puede reducirse a una relación entre n− k productos adimensionales de variables, donde k
es el mínimo número de dimensiones de referencia requerido para describir las variables.
Los productos adimensionales son usualmente denominados términos pi, ya que Buckingham
en su publicación utilizó el símbolo Π para representarlos, de allí el nombre del teorema. Aunque el
teorema Pi es simple de entender y de aplicar, su demostración resulta bastante compleja y escapa al
alcance de nuestro análisis, con lo cual aquí sólo explicaremos su aplicación asumiendo su validez.
Para explicar el método, consideremos una ecuación que representa algún proceso físico y que
cumple con la condición de homogeneidad dimensional:
u1 = f (u1,u2, . . . ,un),
donde los elementos ui pueden ser variables o constantes dimensionales. De acuerdo al teorema Pi,
podemos agrupar las variables y parámetros ui en productos adimensionales Πi tal que
Π1 = g(Π1,Π2, . . . ,Πn−k),
donde cada producto Πi es función de algunas de las variables ui.
Existen varios métodos para obtener los productos adimensionales. Aquí presentaremos un
método que permite determinar sistemáticamente estos productos asegurando que los mismos
resulten adimensionales e independientes entre sí. Este método es conocido como el Método de
variables repetitivas, el cual consiste en los siguientes pasos:
1. Listar todas las variables que están involucradas en el problema, entendiendo por
“variable” a toda cantidad dimensional o adimensional, constante o variable, que juegue
un rol en el fenómeno bajo estudio. Estas variables deben ser independientes entre sí con
el objetivo de obtener el mínimo número de ellas necesario para describir el problema.
La determinación de estas variables está basada en los experimentos y en las leyes físicas
que gobiernan el fenómeno. Típicamente, serán necesarias aquellas variables que permiten
describir la geometría del sistema, las propiedades del medio y los efectos externos que
afectan al sistema.
2. Expresar cada variable en términos de las dimensiones de base. Para los problemas
típicos de Aerodinámica, considerando el Sistema Internacional de unidades, las dimensiones
de base serán la masa M, la longitud L y el tiempo T. Por ejemplo, [ρ] = ML−3, [V ] = LT−1,
[`] = L, etc.
3. Determinar la cantidad de productos Π requeridos. Esto se logra mediante el teorema
Pi de Buckingham, es decir que la cantidad de productos Π es igual a n−k, siendo n el número
de variables en el problema (obtenido en el primer paso) y k el número de dimensiones de
base, que para los problemas de nuestro interés suele ser k = 3 (M, L y T).
4. Seleccionar una cantidad de variables repetitivas. Esta cantidad es igual al número
de dimensiones de base k y las variables repetitivas deben ser escogidas considerando que
todas las dimensiones de base que definen el problema deben estar incluidas en el grupo
formado por estas variables. Además, cada variable repetitiva debe ser dimensionalmente
independiente de las otras, es decir que la dimensión de una variable repetitiva no puede ser
reproducida por alguna combinación de productos de las restantes variables repetitivas.
5. Formar los productos Π. Esto se logra multiplicando cada una de las variables no
repetitivas por un producto de las variables repetitivas elevadas a exponentes tales que resulte
una combinación adimensional. Esencialmente, cada producto Π tendrá la forma
Πi,= uiua2u
b
3u
c
4,
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
2.2 Introducción al Análisis dimensional 65
donde {u2,u3,u4} es el conjunto de variables repetitivas, ui es una variable no repetitiva y
los exponentes a, b y c se determinan de manera que la combinación resulte adimensional.
Este paso debe repetirse para cada variable no repetitiva para obtener los n− k productos Π.
6. Expresar la relación funcional entre los productos Π. Una vez obtenidos todos los
productos Πi se procede a escribir una relación funcional de la forma
Π1 = g(Π2,Π3, . . . ,Πn−k),
donde Π1 contendría la variable dependiente en el numerador. La relación funcional particular
g(Π2,Π3, . . . ,Πn−k) en general debe obtenerse mediante experimentación.
Para ilustrar la aplicación del teorema Pi consideremos el problema de la fuerza (en alguna
dirección dada) que experimenta un cuerpo inmerso en una corriente fluida. Supongamos que el
primer paso ya fue llevado a cabo y que pudo establecerse que la fuerza depende de la densidad
del fluido ρ∞, de la velocidad del flujo libre V∞, de la viscosidad del fluido µ∞, de la velocidad del
sonido a∞ y de una longitud de referencia `:
F = f (ρ∞,V∞,µ∞,a∞, `),
donde las dimensiones de cada una de las variables son
Variable Símbolo Unidad (SI) Dimensiones de base
Fuerza F N MLT−2
Densidad ρ∞ kg/m3 ML−3
Velocidad V∞ m/s LT−1
Viscosidad µ∞ Pa s ML−1 T−1
Velocidad a∞ m/s LT−1
Longitud ` m L
Siendo que el problema consta de n = 6 variables, deben obtenerse n−k = 6−3 = 3 productos
Π. Escogemos como variables repetitivas a la densidad ρ∞, a la velocidad V∞ y a la longitud de
referencia `, verificando que entre ellas se encuentran las tres dimensiones de base MLT y que son
dimensionalmente independientes entre sí. De este modo resulta entonces:
Π1 = F ρa1∞ V
b1
∞ `
c1 ,
Π2 = µ∞ ρa2∞ V
b2
∞ `
c2 ,
Π3 = a∞ ρ
a3
∞ V
b3
∞ `
c3 ,
por lo tanto, dimensionalmente tenemos que
[Π1] = MLT−2 Ma1 L−3a1 Lb1 T−b1 Lc1 ,
[Π2] = ML−1 T−1 Ma2 L−3a2 Lb2 T−b2 Lc2 ,
[Π3] = LT−1 Ma3 L−3a3 Lb3 T−b3 Lc3 .
De acuerdo a estas expresiones, deben cumplirse las siguientes relaciones para que los productos
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
66 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Πi resulten adimensionales:
1+a1 = 0
1−3a1 +b1 + c1 = 0
−2−b1 = 0
1+a2 = 0
−1−3a2 +b2 + c2 = 0
−1−b2 = 0
a3 = 0
1−3a3 +b3 + c3 = 0
−1−b3 = 0
de donde resulta
a1 =−1
b1 =−2
c1 =−2
a2 =−1
b2 =−1
c2 =−1
a3 = 0
b3 =−1
c3 = 0
Con estos exponentes, los productos Πi finalmente resultan:
Π1 =
F
ρ∞V 2∞`2
=
F
2q∞`2
,
Π2 =
µ∞
ρ∞V∞`
=
1
Re
,
Π3 =
a∞
V∞
=
1
Ma∞
.
El hecho de que en este ejemplo la fuerza que experimenta un cuerpo inmerso en una corriente
fluida resulte una función de la presión dinámica q∞, del número de Reynolds Re y del número
de Mach Ma∞ no es casual. De hecho, veremos que para los problemas de nuestro interés, estos
parámetros son fundamentales. El producto Π1 asociado a la variable dependiente, que es la fuerza
F , representa un coeficiente de fuerza que, por definición, es el cociente entre una determinada
fuerza aerodinámica y la presión dinámica de la corriente libre multiplicada por una dimensión
geométrica de referencia (en este caso una superficie de referencia `2).
Ejemplo 2.1 Se determinó que la fuerza de tracción T producida por una hélice en régimen
de flujo incompresible depende de la potencia suministrada P, del diámetro de la hélice `�,
de la velocidad de rotación ω, de la densidad ρ∞ y de la velocidad de avance V . Con estas
consideraciones se pide obtener los productos Πi correspondientes si se escoge a `�, ω y ρ∞
como variables repetitivas.
Para las variables repetitivas escogidas resultan los siguientes productos Πi:
ΠP = P`
a1
�ω
b1ρc1∞ , [ΠP] = ML
2 T−3 La1 T−b1 Mc1 L−3c1
ΠT = T `
a2
�ω
b2ρc2∞ , [ΠT ] = MLT
−2 La2 T−b2 Mc2 L−3c2
ΠV =V `
a3
�ω
b3ρc3∞ , [ΠV ] = LT
−1 La3 T−b3 Mc3 L−3c3 .
Con estas igualdades se forman los siguientes sistemas de ecuaciones:
a1−3c1 +2 = 0
c1 +1 = 0
−b1−3 = 0

a2−3c2 +1 = 0
c2 +1 = 0
−b2−2 = 0

a3−3c3 +1 = 0
c3 = 0
−b3−1 = 0
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
2.3 Coeficientes aerodinámicos 67
de donde se obtiene
a1 =−5
b1 =−3
c1 =−1
a2 =−4
b2 =−2
c2 =−1
a3 =−1
b3 =−1
c3 = 0
por lo tanto
ΠP =
P
`5�ω
3ρ∞
, ΠT =
T
`4�ω
2ρ∞
, ΠV =
V
`�ω
.
En el estudio de performance de hélices se denomina coeficiente de potencia al producto ΠP,
coeficiente de tracción al producto ΠT y relación de avance al producto ΠV . �
2.3 Coeficientes aerodinámicos
Consideremos nuevamente un flujo estacionario y uniforme que incide sobre un cuerpo sólido
sumergido en él, como por ejemplo un avión. El objetivo de esta sección es aplicar el análisis
dimensional para determinar los coeficientes aerodinámicos asociados a las fuerzas y momentos
aerodinámicos que experimenta dicho cuerpo.
Tal como anticipamos en el primer ejemplo de la sección anterior, las fuerzas de sustentación
(L) y de resistencia (D), y el momento de cabeceo (M) que experimenta el cuerpo por la acción del
flujo, dependerán fundamentalmente de lo siguiente:
1. Velocidad de la corriente libre V∞.
2. Densidad de la corriente libre ρ∞.
3. Coeficiente de viscosidad µ∞.
4. Tamaño del cuerpo representado por una longitud de referencia `.
5. Forma del cuerpo.
6. Actitud del cuerpo (es decir, la orientación del mismo con respecto a la corriente libre).
7. Compresibilidad de la corriente de aire, la cual está dada indirectamente por la velocidad del
sonido a∞.
Para un cuerpo de una forma dada con una determinada actitud frente al flujo, se obtienen
entonces las siguientes relaciones funcionales:
L = fL(V∞,ρ∞,µ∞, `,a∞),
D = fD(V∞,ρ∞,µ∞, `,a∞),
M = fM(V∞,ρ∞,µ∞, `,a∞).
Aplicando la técnica de las variables repetitivas como en el ejemplo de la sección anterior,
se obtienen las siguientes relaciones para los productos Π asociados a cada una de las acciones
aerodinámicas:
L
1
2 ρ∞V
2
∞`
2
= gL (Re,Ma∞) , (2.5)
D
1
2 ρ∞V
2
∞`
2
= gD (Re,Ma∞) , (2.6)
M
1
2 ρ∞V
2
∞`
3
= gM (Re,Ma∞) . (2.7)
donde la incorporación de una constante 1/4 para obtener la presión dinámica en el denominador de
los coeficientes de fuerza no altera la relación funcional. De igual forma, la relación de las fuerzas
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
68 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
aerodinámicas con la inversa de los números de Reynolds y Mach establece que existe alguna otra
relación funcional entre dichas fuerzas y los mencionados números adimensionales. A partir de
estas relaciones se efectúan las siguientes definiciones:
Definición 2.4 — Coeficiente de sustentación. Se define como coeficiente de sustentación CL, al
coeficiente de fuerza asociado a la fuerza de sustentación, es decir, al cociente entre dicha fuerza
y la presión dinámica del flujo libre multiplicada por una superficie de referencia S:
CL =
L
1
2 ρ∞V
2
∞S
. (2.8)
Definición 2.5 — Coeficiente de resistencia. Se define como coeficiente de resistencia aerodiná-
mica (o simplemente coeficiente de resistencia) CD, al coeficiente de fuerza asociado a la fuerza
de resistencia aerodinámica, es decir, al cociente entre dicha fuerza y la presión dinámica del
flujo libre multiplicada por una superficie de referencia S:
CD =
D
1
2 ρ∞V
2
∞S
. (2.9)
Definición 2.6 — Coeficiente de momento de cabeceo. Se define como coeficiente de momento de
cabeceo (o simplemente coeficiente de momento) CM, al coeficiente de adimensional asociado
al momento aerodinámico de cabeceo, es decir, al cociente entre dicho momento y la presión
dinámica del flujo libre multiplicada por una superficie de referencia S y una longitud de
referencia `:
CM =
M
1
2 ρ∞V
2
∞S`
. (2.10)
Las ecuaciones (2.5)–(2.7) muestran que, para valores fijos del número de Reynolds y del
número de Mach, las acciones aerodinámicas son una función de sus respectivos coeficientes
aerodinámicos y de las cantidades de referencia:
L =CLq∞S, (2.11)
D =CDq∞S, (2.12)
M =CMq∞S`, (2.13)
Como vemos, una fuerza aerodinámica es igual al coeficiente aerodinámico,respectivo multipli-
cado por la presión dinámica de la corriente libre y la dimensión de referencia (para el caso de la
sustentación y la resistencia, una superficie, y para el momento, una superficie por una longitud).
Estas ecuaciones son de las relaciones más importantes en aerodinámica aplicada. Ellas indican, por
ejemplo, que la sustentación es directamente proporcional a la presión dinámica, o sea al cuadrado
de la velocidad, y también es directamente proporcional al área de referencia, que en aviones suele
ser igual a la superficie del ala.
No debe perderse de vista que los coeficientes aerodinámicos para un cuerpo dado y una deter-
minada actitud son función del número de Reynolds (Re basado en alguna longitud de referencia `)
y del número de Mach de la corriente libre (Ma∞), como se refleja en las ecuaciones (2.5)–(2.7).
En general, los coeficientes aerodinámicos son obtenidos mediante ensayos en túneles de viento o,
más recientemente, mediante simulaciones numéricas, tomando valores fijos de Re y Ma∞ para un
determinado cuerpo, en función de algún parámetro que define la actitud del mismo en relación al
flujo libre (en nuestro caso utilizaremos fundamentalmente el ángulo de ataque que definiremos en
el Capítulo 4).
DR
AF
T
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)
2.3 Coeficientes aerodinámicos 69
Las ecuaciones (2.11)–(2.13) muestran el poder del análisis dimensional: de repente las com-
plejas integrales necesarias para obtener las fuerzas aerodinámicas se transformaron en expresiones
muy simples. La vinculación entre estos dos resultados la proveen los coeficientes aerodinámicos,
que son quienes “encierran” toda la complejidad física del problema. De este modo, la determina-
ción correcta de las fuerzas aerodinámicas en un cuerpo dado será posible siempre que se conozcan
dichos coeficientes y que los mismos hayan sido obtenidos en las condiciones apropiadas. Siendo
que la tarea de obtener los coeficientes aerodinámicos no es trivial sino que puede resultar bastante
compleja, este requerimiento puede parecer un poco decepcionante y echar por tierra las “bonda-
des” del análisis dimensional. Sin embargo, teniendo en cuenta que las “condiciones apropiadas”
generalmente son comunes a muchas aplicaciones, este enfoque posibilita la generación sistemática
de bases de datos experimentales válidas para numerosos problemas reales, las cuales podrán ser
utilizadas siempre que las condiciones de similitud entre el experimento y el sistema real sean
verificadas.
Ejemplo 2.2 Un avión de 2750kgf de peso y 21,3m2 de superficie alar se desplaza en vuelo
estacionario, recto y nivelado a una velocidad (verdadera) de 220kt y una altitud donde la
densidad del aire es 0,85kg/m3. Se pide determinar el coeficiente de sustentación del avión
y la fuerza de empuje que debe proveer el sistema propulsivo si el coeficiente de resistencia
aerodinámica para esa condición de vuelo es CD = 0,021.
La condición de vuelo estacionario, recto y nivelado implica que el avión se desplaza en una
trayectoria horizontal sin aceleraciones, por lo tanto, tal como veremos en el Capítulo 8, debe
cumplirse el siguiente equilibrio de fuerzas:
L =W,
D = T,
donde W = 26968N el peso de la aeronave y T la fuerza propulsiva.
De acuerdo a lo anterior, el coeficiente de sustentación del avión para una velocidad de
vuelo V∞ = 220kt = 113m/s es
CL =
W
1
2 ρ∞V
2
∞S
= 0,23.
La fuerza propulsiva se obtiene de la condición D = T utilizando el dato del coeficiente de
resistencia CD = 0,021:
T =
1
2
ρ∞V 2∞SCD = 2435N = 248kgf.
Los resultados de este ejemplo dan una idea de la magnitud de los coeficientes CL y CD que
se registran en condiciones de vuelo nivelado en aviones convencionales. �
2.3.1 Condiciones de similitud en Aerodinámica
Como vimos anteriormente, el análisis dimensional permite reducir la cantidad de parámetros
de control que gobiernan un proceso físico, pero no provee por sí solo una respuesta acerca de cómo
es la relación entre los nuevos parámetros adimensionales y el resultado buscado. En Aerodinámica,
estas relaciones muchas veces se determinan mediante ensayos experimentales adecuados, los
cuales deben satisfacer ciertas condiciones de similitud de manera de poder extrapolar los resultados
obtenidos en el laboratorio a un problema físico real.
Existen teorías y métodos muy desarrollados acerca de la modelización experimental y las
DR
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)
70 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
condiciones de similitud. En este texto introductorio nos referimos únicamente a los aspectos más
básicos y generales de esta materia. En los problemas clásicos de Aerodinámica podemos definir
los siguientes criterios de similitud:
Similitud geométrica: dos cuerpos serán geométricamente similares siempre que exista una
relación fija entre todas las dimensiones homólogas `i. Es decir que para dos sistemas A y B
debe cumplirse:
`1,A
`1.B
=
`2,A
`2,B
,
siendo `i,A/`i,B la escala de longitud del problema. Para que exista similitud geométrica debe
haber una única escala de longitud. La condición de similitud geométrica implica que todos
los ángulos del cuerpo son preservados, es decir que los ángulos del sistema A son iguales a
los ángulos del sistema B.
Similitud cinemática: para que dos sistemas A y B sean cinemáticamente similares debe
verificarse que los mismos sean geométricamente similares y que las relaciones entre las
componentes de velocidad en cada punto homólogo de cada sistema sean iguales, es decir:
uA
vA
=
uB
vB
,
uA
wA
=
uB
wB
,
vA
wA
=
vB
wB
.
donde u, v y w son las tres componentes del vector velocidad. Las relaciones entre las distintas
componentes u, v y w equivalen a exigir que los ángulos de los vectores velocidad sean
iguales en los puntos homólogos de cada sistema. Por otro lado, debe verificarse que ambos
sistema posean la misma escala de tiempo. Esto significa que dos partículas homólogas de
cada sistema se ubican en los mismos puntos homólogos a instantes de tiempo homólogos.
Similitud dinámica: se dice que existe similitud dinámica entre dos sistemas cuando existe
similitud geométrica, similitud cinemática y además existe una única escala de fuerzas, lo
cual significa que los coeficientes de fuerza son iguales en cada sistema. En los problemas de
Aerodinámica que son de nuestro interés, la similitud dinámica significa que en cada sistema
se registra el mismo número de Reynolds y el mismo número de Mach3, de allí que estos
números adimensionales suelen denominarse como parámetros de similitud o semejanza. En
otros problemas de Mecánica de Fluidos pueden requerirse otras condiciones para satisfacer
la similitud dinámica, referidas, por ejemplo, al número de Froude, número de Weber, etc.
Satisfaciendo las condiciones de similitud es posible, por ejemplo, estudiar experimentalmente
el comportamiento aerodinámico de un avión en escala (geométrica) reducida mediante la utilización
de un túnel de viento, para luego extrapolar los resultados obtenidos en el modelo al avión en
escala real. Desafortunadamente, en la mayoría de los ensayos de modelos de pequeña escala no es
posible satisfacer completamente los requerimientos de similitud ya que, debido a la naturaleza
de los parámetros adimensionales que caracterizan el flujo (tanto el número de Reynolds como el
número de Mach son proporcionales a la velocidad), no siempre se pueden obtener los mismos
valores de Re y Ma en el ensayo que en los correspondientes al problema real. Esto significa
que los resultados experimentales muchas veces deben ser extrapolados a las condiciones reales
de manera aproximada, introduciendo algún nivel de error que debe ser subsanado mediante la
aplicación de diferentes criterios de corrección. Más allá de esto, en el estudio experimental de
numerosos problemas de interés aeronáutico, como es el caso del flujo sobre perfiles aerodinámicos,
se suelen alcanzar muy buenos niveles de similitud permitiendo predecir de manera precisa el
comportamiento aerodinámico de dichas formas bidimensinoales.,Este estudio será abordado en el
Capítulo 4.
3Esta condición es en general relajada dependiendo el régimen de flujo, por ejemplo, para Ma< 0,3 se asume flujo
incompresible y “sólo importa” el número de Reynolds para satisfacer la similitud dinámica.
DR
AF
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)
2.4 La fuerza de sustentación 71
Ejemplo 2.3 Se desea analizar mediante ensayos en túneles de viento un determinado problema
aerodinámico en el cual se registra un número de Reynolds Re = 105 y un número de Mach
Ma= 0,15. ¿Bajo qué condiciones es posible alcanzar la similitud dinámica entre el problema
real y un ensayo en escala (geométrica) reducida si se mantienen constantes los parámetros de
referencia del fluido (ρ∞ y µ∞)en ambas situaciones?
Como vimos previamente, siendo que tanto el número de Reynolds como el número de Mach
son proporcionales a la velocidad, en principio no sería posible satisfacer completamente la
similitud dinámica en ensayos de escala reducida si no se modifican otros parámetros del flujo.
Sin embargo, puesto que el proceso se desarrolla en el rango de flujo incompresible (Ma≤ 0,3,
es posible asumir que la similitud dinámica se cumple satisfaciendo únicamente la igualdad del
número de Reynolds, siempre que la condición de incompresibilidad se verifique tanto en el
problema real como en el ensayo. De este modo, el experimento debe satisfacer las siguientes
condicionies:
Rereal = Reensayo,
Maensayo =
Vensayo
a∞
≤ 0,3,
donde a∞ es la velocidad del sonido que es igual en ambos casos.
Teniendo en cuenta que Re = ρ∞V∞`/µ∞ y que las propiedades del fluido (densidad y
viscosidad) son las mismas en ambas situaciones, la condición Rereal = Reensayo implica que
Vreal`real =Vensayo`ensayo,
por lo tanto, siendo
Vreal =Mareala∞ = 0,15a∞,
Vensayo =Maensayoa∞ ≤ 0,3a∞,
la mínima escala geométrica del modelo se obtiene para el máximo número de Mach admisible
para el ensayo
`ensayo
`real
=
0,15
0,3
=
1
2
.
Es decir que la mínima escala geométrica del modelo para un ensayo experimental donde no se
modifican otros parámetros del flujo es 1:2. Debe notarse que el resultado de este ejemplo mera-
mente ilustrativo sería válido únicamente en condiciones donde no existan fuertes aceleraciones
del flujo, de modo que no se originen regiones de flujo compresible en el campo de movimiento.
�
2.4 La fuerza de sustentación
Como hemos definido en la Sección 2.1, la componente de la resultante aerodinámica que
experimenta un cuerpo sumergido en una corriente cuya recta de acción es normal a la dirección
del flujo libre se denomina fuerza de sustentación. La fuerza de sustentación es la destinataria de
gran parte de los esfuerzos de los diseñadores aeronáuticos, los cuales están dirigidos a maximizar
esta fuerza de modo de incrementar la eficiencia aerodinámica de las aeronaves. La sustentación es,
sin dudas, la principal fuerza aerodinámica de un avión, ya que es ella quien permite el vuelo de
vehículos más pesados que el aire en forma relativamente eficiente.
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72 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
2.4.1 Distribución de presión
La fuerza de sustentación se produce fundamentalmente por la acción de la presión (estática)
sobre las paredes de un cuerpo inmerso en una corriente fluida, cuyo efecto total sobre la superficie
expuesta al flujo se traduce en una fuerza cuya componente normal a la dirección del flujo libre es:
L =
ˆ
A
−psinθ dA. (2.14)
donde θ es el ángulo formado entre el vector normal a la superficie local y la dirección de la
corriente libre (ver Figura 2.1).
La expresión anterior indica que el cuerpo experimentará una fuerza de sustentación siempre
que exista una distribución de presión tal que se produzca una fuerza neta en dirección normal
al flujo libre. La variación de la presión a lo largo de las paredes del cuerpo estará dada por la
variación de la velocidad, la cual en general no será constante debido a la geometría particular del
cuerpo, cuya presencia induce aceleraciones y desviaciones en el flujo. De esta manera, teniendo
en cuenta la relación que existe entre la velocidad y la presión estática del flujo, se origina sobre
el cuerpo una determinada distribución de presión. Para representar esta distribución, hacemos
nuevamente uso de definiciones adimensionales que permiten simplificar el análisis, que para el
caso de la presión se conoce como coeficiente de presión:
Definición 2.7 — Coeficiente de presión. Se define como coeficiente de presión Cp al número
adimensional que indica la variación de la presión en un punto respecto a una presión de
referencia (generalmente la presión estática de la corriente libre p∞), en relación a la presión
dinámica de la corriente libre, es decir:
Cp =
p− p∞
1
2 ρ∞V
2
∞
. (2.15)
Con la definición del coeficiente de presión, la ecuación (2.14) de la sustentación sobre un
cuerpo sometido a una corriente uniforme de densidad ρ∞, velocidad V∞ con un presión ambiente
p∞, resulta:
L =
1
2
ρ∞V 2∞
ˆ
A
−Cp sinθ dA, (2.16)
ya que la integral de una presión constante sobre una superficie cerrada es nula, tal como sucede
con los cuerpos en la atmósfera, los cuales no experimentan una fuerza neta por acción de la presión
atmosférica4. Por lo tanto, la presión ambiente p∞ no contribuye a la sustentación (
´
A p∞ sinθ dA =
0), y la sustentación queda escrita directamente en términos del coeficiente de presión y de la
presión dinámica del flujo libre.
Teniendo en cuenta ahora la definición del coeficiente de sustentación dada en la ecuación (2.8)
y considerando la expresión anterior de la sustentación, se obtiene:
CL =
1
S
ˆ
A
−Cp sinθ dA, (2.17)
lo cual evidencia la relación directa entre el coeficiente de sustentación y la distribución de presión
sobre el cuerpo.
Si descomponemos la integral anterior en las contribuciones realizadas sobre la superficie
superior y sobre la superficie inferior de un determinado cuerpo, definiendo cada una de ellas de
4Matemáticamente, esto resulta de que
‚
A p∞n dA = p∞
‚
A(−cosθî+ sinθ)ĵ) dA = 0, ya que la integral cerrada de
las funciones trigonométricas es nula.
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2.4 La fuerza de sustentación 73
acuerdo a algún criterio geométrico, puede escribirse:
CL =−
1
S
[ˆ
Asup
Cp sinθ dA+
ˆ
Ainf
Cp sinθ dA
]
,
Esto indica que la fuerza de sustentación será no nula (CL 6= 0) siempre que los aportes de la
presión sobre las superficies superior e inferior no se cancelen entre sí. De este modo, distribuciones
simétricas de la presión respecto a un eje paralelo a la dirección del movimiento naturalmente
no generarán sustentación. Por otro lado, nótese que la contribución de cada superficie superior e
inferior al coeficiente CL será mayor cuanto más grande (en valor absoluto) sea el coeficiente de
presión a lo largo de cada una de ellas. Para establecer los límites de variación del coeficiente Cp,
consideremos la ecuación de Bernoulli (ver Sección 1.2.2), siendo p0 la presión total de la corriente
libre, tal que para flujo incompresible, estacionario y no viscoso se cumple:
p = p0−
1
2
ρ∞V 2, y p∞ = p0−
1
2
ρ∞V 2∞.
Introduciendo estas igualdades en la definición (2.15) obtenemos,
Cp = 1−
(
V
V∞
)2
. (2.18)
Esta expresión permite visualizar claramente los valores extremos que puede adoptar el coefi-
ciente de presión bajo la condición de flujo incompresible. Para V = 0 se obtiene su valor máximo,
Cp = 1, que corresponde a una presión p igual a la presión total p0, que es lógicamente la condición
de estancamiento (velocidad nula). Por otro lado, en principio no existiría un valor extremo inferior
para el Cp, ya que, en teoría5, la velocidad V podría crecer indefinidamente. De esta forma, el rango
de variación del coeficiente de presión para flujo incompresible es
−∞  0 y ρ > 0) el
número de Reynolds estará comprendido entre estas dos situaciones extremas y la naturaleza del
flujo dependerá fuertemente de si Re� 1 (predominio de efectos de inercia) o Re� 1 (predominio
de efectos viscosos). Como regla general, los flujos con Re> 100 están dominados por efectos de
inercia y son los flujos que más interesan desde el punto de vista de las aplicaciones aeronáuticas,
mientras que flujos con Re< 1 están dominados por efectos viscosos. Como sabemos, cuando el
número de Reynolds es grande podemos aplicar los conceptos de capa límite, lo cual significa que
los efectos viscosos son importantes en una pequeña región del campo de movimiento, adyacente a
la superficie del cuerpo y en la zona posterior al mismo, siempre que no existan grandes separaciones
de la capa límite.
El estudio de la resistencia parásita se hace generalmente analizando en forma separada la
resistencia de fricción y la resistencia de presión. En el primer caso, el elemento clásico empleado
para llevar a cabo el estudio es la placa plana de espesor infinitesimal dispuesta en dirección paralela
a la corriente libre. En esta condición (ideal) de flujo no existen regiones de flujo separado ya
que el área del cuerpo expuesta frontalmente a la corriente es virtualmente nula. En el caso de
la resistencia de presión, el análisis suele hacerse estudiando el comportamiento del flujo sobre
un cilindro colocado en dirección transversal a la corriente, el cual produce grandes regiones de
separación del flujo cuando Re� 1. Nótese que tanto la placa plana como el cilindro nos permiten
reducir el campo de movimiento a la condición de flujo bidimensional (flujo plano).
En la Figura 2.3 se muestran los distintos comportamientos del flujo, tanto para la placa plana
como para el cilindro, en función del número de Reynolds. En el primer caso, dicho parámetro está
basado en la longitud de la placa `, mientras que para el cilindro longitud de referencia está dada
por el diámetro `� del mismo. Aunque en las aplicaciones aeronáuticas convencionales interesa
casi exclusivamente la condición de Re� 1, es importante identificar el comportamiento del flujo
en los distintos regímenes de número de Reynolds, ya que esto nos permitirá entender por qué
la acción del aire en movimiento se manifiesta de diferentes formas dependiendo de la escala
geométrica del problema. De esta forma, en la Figura 2.3 se puede ver que para Re∼ 1 los efectos
viscosos son relativamente fuertes, y la presencia del cuerpo afecta produce cambios en el campo
de movimiento “originalmente” uniforme a grandes distancias de la superficie, aun en el caso de la
placa plana, es decir, que en flujos de muy bajo Reynolds los efectos viscosos son relevantes en
regiones alejadas del cuerpo en todas direcciones. Por otro lado, en esta condición no se registran
zonas de flujo desprendido. A medida que el número de Reynolds se incrementa, por ejemplo
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78 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Figura 2.3: Comportamiento del campo de movimiento a distintos valores del número de
Reynolds para una placa plana (izquierda) y un cilindro (derecha).
aumentando la velocidad del flujo, las zonas donde se evidencian los efectos viscosos se hacen cada
vez más pequeñas en todas direcciones, excepto corriente abajo del cuerpo, donde la estela es la
consecuencia clara de la viscosidad. Si consideramos el flujo sobre la placa plana, vemos,que la
estela continúa reduciéndose si aumentamos el número de Reynolds, pero para el caso del flujo
sobre el cilindro se observa que la misma no presenta una reducción sustancial y el flujodesprendido
afecta casi toda la región posterior al cuerpo. Ésta es una característica fundamental de los cuerpos
romos: producir una marcada separación del flujo y consecuentemente una gran estela en relación
a su tamaño. La presencia de una gran estela genera un fuerte desbalance de presión en dirección
del flujo principal, lo cual se traduce en una fuerte componente de resistencia de presión. De esta
manera, en los cuerpos aerodinámicos como la placa plana, la resistencia parásita estará dada
mayormente por el efecto de las tensiones viscosas, es decir que estará mayormente compuesta por
resistencia de fricción, mientras que en los cuerpos romos la resistencia aerodinámica en su mayor
parte estará conformada por resistencia de presión, tal como se estableció anteriormente.
2.5.2 Resistencia de fricción
Como su nombre lo indica y hemos visto previamente, la resistencia de fricción se debe al
rozamiento producido por el movimiento del fluido sobre la superficie del cuerpo. Este efecto es
entermente debido a la viscosidad µ, la cual produce una tensión de corte sobre la pared del cuerpo
inmerso en la corriente cuya magnitud está dada por (ver Capítulo 1):
τw = µ
du
dy
∣∣∣∣
y=0
, (2.28)
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2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 79
donde y es la coordenada normal a la pared y u es la velocidad paralelaa la misma.
Continuando con la preferencia de utilizar cantidades adimensionales, se define el coeficiente
de fricción local como
C f =
τw
1
2 ρ∞U
2
∞
. (2.29)
Entonces, para una placa de dimensiones b× `, asumiendo que la tensión viscosa es constante en la
dirección del ancho b, la resistencia de fricción resulta:
D f = b
ˆ `
0
τw dx =
1
2
ρ∞U2∞b
ˆ `
0
C f dx. (2.30)
Finalmente el coeficiente de resistencia aerodinámica para una superficie de referencia b` queda
expresado en términos del coeficiente de fricción local
CD f =
D f
1
2 ρ∞U
2
∞b`
=
1
`
ˆ `
0
C f dx. (2.31)
Como hemos visto en el Capítulo 1, no existen desarrollos matemáticos exactos para determinar
el coeficiente de fricción local C f para obtener así el coeficiente de resistencia de fricción CD f .
En general, el coeficiente de resistencia de fricción se obtiene mediante gráficos o formulaciones
empíricas obtenidas a partir de ensayos experimentales en función del número de Reynolds y de la
rugosidad superficial del cuerpo, cuyo efecto es determinante.
Influencia de la rugosidad superficial
Como sabemos, la magnitud de las tensiones viscosas depende fuertemente del tipo de capa
límite (laminar o turbulenta). El número de Reynolds crítico donde se produce la transición de la
capa límite está fuertemente influenciado por la rugosidad superficial del cuerpo, por lo tanto este
factor juega un rol preponderante en el desarrollo de la resistencia de fricción.
La rugosidad superficial se mide en términos de una relación adimensional entre la altura
promediada de las imperfecciones superficiales ε y la longitud de referencia, en este caso, el
largo de la placa `. La influencia de la rugosidad superficial sobre la resistencia aerodinámica, a
través del coeficiente CD f , se determina experimentalmente ya que la relación entre el coeficiente
CD f , el número de Reynoldos y la rugosidad superficial es compleja y no existe una formulación
matemática que abarque todo el rango de variación de estos dos parámetros.
El efecto de la rugosidad superficial en la resistencia de fricción se manifiesta de dos formas.
Por un lado, modifica el número de Reynolds crítico de modo que la capa límite transiciona para
un menor valor de Rex = ρ∞U∞x/µ∞) frente a mayores rugosidades superficiales, con lo cual se
dice que este factor adelanta el número de Reynolds crítico. De esta forma, a mayor rugosidad
superficial existirá una mayor región con capa límite turbulenta sobre la placa. Por otro lado, en
régimen de flujo turbulento, el coeficiente de resistencia de fricción CD f es mayor cuando mayor es
la relación ε/`.
En la Figura 2.4 se muestra la relación entre el coeficiente CD f y el número de Reynolds para
diferentes valores de rugosidad relativa. Allí se observa que para un flujo con capa límite laminar
el coeficiente de resistencia de fricción es sólo función del número de Reynolds, pero para capa
límite turbulenta el coeficiente CD f es función solamente de la rugosidad superficial en las zonas
posteriores a la región de transición (Re> Recr). Esto puede verse en la ecuación empírica utilizada
para aproximar el coeficiente CD f en régimen de flujo totalmente turbulento6
CD f = [1,89−1,62log(ε/`)]−5/2 , (2.32)
donde vemos que el número de Reynolds no interviene en la expresión.
6Ecuación tomada del libro de Munson et al. (2009)
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80 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Figura 2.4: Coeficiente de resistencia de fricción para una placa plana paralela a la dirección
de la corriente libre.
2.5.3 Resistencia de presión
La resistencia de presión es la componente de la resultante aerodinámica en dirección de la
corriente libre debida a la acción de la distribución de presión sobre el cuerpo. Debido a que la
distribución de presión está fuertemente influenciada por la forma del objeto, la resistencia de
presión es también llamada resistencia de forma.
De acuerdo a la expresión (2.3), una vez conocida la distribución de presión es posible determi-
nar la resistencia aerodinámica asociada a ésta:
Dp =
ˆ
A
pcosθ dA, (2.33)
de donde puede obtenerse el coeficiente de resistencia de presión en términos del coeficiente de
presión Cp = (p− p∞)/q∞:7
CD p =
Dp
1
2 ρ∞U
2
∞A
=
1
A
ˆ
A
Cp cosθ dA, (2.34)
En este caso la superficie de referencia del coeficiente CD p es la superficie del cuerpo “mojada” por
el flujo y la introducción de la presión de referencia p∞ no afecta el valor de la resistencia ya que la
fuerza neta sobre un cuerpo inmerso en un campo de presión constante (en este caso p∞) es nula.
La resistencia de presión, o análogamente el coeficiente asociado a ella, será no nula en la
medida que exista separación de la capa límite, ya que este fenómeno se produce porque la presión
total no se conserva a lo largo de las líneas de corriente afectadas por la viscosidad. Por este
7Recuérdese que la integral cerrada de una constante es nula, por lo tanto podemos incluir el término de la presión de
referencia p∞ sin alterar el resultado del coeficiente CD p.
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2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 81
motivo, no es posible recuperar la presión de impacto en las regiones posteriores del cuerpo y en
consecuencia se genera un desbalance de presiones en la dirección del flujo libre, lo cual da origen
a la resistencia de presión.
Como hemos visto en la Sección 1.4.4 del Capítulo 1, la separación de la capa límite se debe
a la presencia de la viscosidad, por lo tanto, bajo la idealización de flujo no viscoso no existirá
desprendemiento del flujo, sin importar cuál sea la forma del cuerpo. Esto significa que la presión
se recupera totalmente detrás del cuerpo y la resistencia de presión (al igual que la de fricción
(estamos suponiendo µ = 0) será nula para cualquier cuerpo (simétrico o no). Esta situación es la
que da origen a la conocida paradoja de D’alembert, la cual establece que aunque en condición de
viscosidad nula la resistencia aerodinámica es siempre nula, para µ > 0 la resistencia de presión
no depende de la viscosidad, ya que la distribución de presión, en principio, no depende de este
parámetro.
Para ilustrar esta situación consideremos el flujo alrededor de un cilindro. En la Figura 2.5 se
muestra la distribución de presión sobre la porción superior del cuerpo expresada en términos del
coeficiente Cp para el caso de fluido ideal (µ = 0), capa límite laminar y capa límite turbulenta. En
el primer caso, vemos,que en el punto de impacto anterior (punto A) es Cp = 1, ya que la velocidad
es nula en ese punto, por lo tanto se registra la presión de impacto (p = p0 = 12 ρ∞U
2
∞ + p∞ en A).
Avanzando sobre la superficie del cuerpo la presión estática disminuye en la medida que el flujo se
acelera hasta alcanzar su valor mínimo en el punto superior, a partir del cual la presión comienza a
aumentar hasta alcanzar nuevamente el valor de la presión total de la corriente libre, en el punto de
impacto posterior. Como hemos visto en el Capítulo 1, esta recuperación es posible gracias a que
no existen pérdidas de energía debidas a la viscosidad.
Considerando ahora el caso real (µ > 0), se observa que la presión ya no se recupera totalmente
en la región posterior del cilindro, sino que se produce un desbalance de presiones en dirección
del flujo lo cual genera la resistencia de presión. Vemos además que este desbalance es mayor en
el caso de capa límite laminar, es decir que, a diferencia de lo que sucede con la resistencia de
fricción, una capa límite turbulenta produce una menor resistencia de presión en algunos cuerpos
romos. Esto se debe a que el punto de separación de la capa límite está más retrasado en régimen
turbulento que en régimen laminar, generándose así una estela más estrecha detrás del cuerpo y
consecuentmente una menor resistencia de presión (el “área de desbalance” de presiones es menor).
La explicación de este fenómeno radica en la estructura de la capa límite. En régimen turbulento
existe un mayor intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del flujo, el cual
se da a escala de partículas (macroscópica), permitiendo energizar más la capa límite para vencer el
gradiente adverso de presión. De esta forma, el flujo puede “viajar” una mayor distancia adherido
al cuerpo bajo la condición de un gradiente de presión desfavorable de lo que puede hacerlo con
una capa límite laminar.
Debido a este comportamiento es que la resistencia aerodinámica de cuerpos romos como
esferas o cilindros tienen una fuerte dependencia del número de Reynolds y de la rugosidad relativa
ε/`� (siendo `� el diámetro), ya que tanto el Re`� como la rugosidad superficial definen el tipo
de capa límite que se presentará en el flujo. Sin embargo, la resistencia aerodinámica de cuerpos
extremadamente romos, como una placa plana colocada en dirección normal al flujo principal,
prácticamente no se ve influida por estos dos parámetros8, ya que en estos casos las tensiones
de corte no tienen componentes en dirección del flujo y el punto de separación de la capa límite
permanece aproximadamente fijo sin importar el régimen de flujo dentro de la misma.
2.5.4 Características generales de la resistencia aerodinámica
Como hemos visto en las secciones previas, la resistencia neta es producida por los efectos
de las tensiones de corte viscosas y la distribución de presión. Estos dos efectos se agrupan en el
8Considerando números de Reynolds suficientemente grandes como para que valga el concepto de capa límite.
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82 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Figura 2.5: Líneas de corriente en un flujo con µ = 0 (izquierda). Distribución del coeficiente
de presión Cp sobre la superficie superior del cilindro para fluido ideal, capa límite
laminar y capa límite turbulenta.
coeficiente de resistencia CD. Existe una gran cantidad de información de coeficientes de resistencia
disponible en la literatura, cubriendo flujo viscoso incompresible o compresible para una gran
variedad de formas y tipos de objetos. Más allá de esta información, es importante conocer cuál es
la influencia de los diferentes parámetros para anticipar el comportamiento aerodinámico de un
cuerpo en lo que a resistencia aerodinámica se refiere.
Influencia de la forma
De acuerdo a lo establecido anteriormente, el coeficiente de resistencia de un cuerpo dependerá
fuertemente de la forma del mismo, entendiendo como forma a la combinación de la geometría del
objeto y de su orientación con respecto a la corriente libre, es decir, su actitud. Según su forma,
los distintos cuerpos pueden clasificarse como cuerpos aerodinámicos o cuerpos romos de acuerdo
a la relación de aspecto A‖/A⊥, siendo A‖ la proyección de la superficie del cuerpo en dirección
paralela al flujo libre y A⊥ la superficie proyectada en dirección normal a la corriente. De esta
forma, cuando A‖/A⊥→ 0 estaremos en presencia de un cuerpo extremadamente romo y cuando
A‖/A⊥→ ∞ el cuerpo será extremadamente aerodinámico. En el caso de flujo bidimensional (o
axisimético), las áreas de referencia pueden reducirse a dimensiones lineales como ser la longitud `
del cuerpo y su diámetro o espesor.
En la Figura 2.6 se muestra esquemáticamente cómo varía el coeficiente CD en función de la
relación de aspecto del cuerpo para un dado número de Reynolds (Re= 106 en la figura). El objeto
considerado consiste en un cilindro de sección elíptica cuya relación de aspecto es la relación entre
los ejes de la elipse ` (en dirección paralela al flujo) y D (en dirección normal). Para relaciones de
aspecto muy elevadas (`/D→ ∞), el cilindro se comporta como una placa plana paralela al flujo y
la resistencia aerodinámica es casi exclusivamente resistencia de fricción. En esta configuración,
similar al caso de un perfil aerodinámico delgado a bajos ángulos de ataque, es conveniente expresar
el coeficiente CD en términos del área en planta, es decir A‖ = b` siendo b el ancho (o envergadura)
ya que, a fin de cuentas, es en esta superficie donde actúan las tensiones de corte que producen la
resistencia aerodinámica. Una relación `/D→ 0 indica un cuerpo extremadamente romo que se
asemeja a una placa plana colocada en dirección normal al flujo. Para esta geometría la resistencia
aerodinámica está formada casi totalmente por resistencia de presión, resultando en valores de
CD mucho mayores que en el caso anterior. En esta situación conviene referir el coeficiente de
resistencia aerodinámica al área frontal A⊥ = Db, ya que la diferencia de presión causante de la
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2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 83
Figura 2.6: Coeficiente de resistencia para una elipse de geometría variable considerando el
área frontal como superficie de referencia (línea llena) o el área en planta (línea
de trazos).
Figura 2.7: Dos objetos de tamaño considerablemente diferente que producen aproximada-
mente la misma fuerza de resistencia aerodinámica. CDcilindro ≈ 10CDperfil.
resistencia actuará mayormente sobre esa superficie.
Más allá de los valores numéricos del coeficiente CD en la Figura 2.6, es importante notar que
para números de Reynolds suficientemente grandes, como son los registrados en la mayoría de los
flujos de interés aeronáutico, la resistencia de presión es siempre mucho más importante que la
resistencia de fricción. De allí que se presta un especial cuidado en el diseño aerodinámico con el
objetivo de evitar regiones de flujo separado. Para evidenciar el comportamiento, consideremos
los dos objetos bidimensionales presentados en la Figura 2.7. A pesar de su gran diferencia de
tamaño. estos dos objetos producen aproximadamente la misma resistencia aerodinámica, ya que la
estela provocada por el perfil aerodinámico es mucho menor que aquélla producida por el pequeño
cilindro de sección circular.
Influencia del número de Reynolds
Otro parámetro que repercute fuertemente en la resistencia aerodinámica es el número de
Reynolds. Esta influencia puede analizarse considerando las siguientes categorías de flujos en
función del números de Reynolds:
Flujos con muy bajos números de Reynolds (Re. 1).
Flujos con números de Reynolds moderados (capa límite laminar).
Flujos con altos a muy altos números de Reynolds (capa límite turbulenta).
Flujos con Re. 1 son normalmente conocidos como flujos reptantes o flujos de Stokes. Este
tipo de flujos se producen en presencia de fluidos muy viscosos, como aceites muy pesados o
pinturas, o cuando las dimensiones del,cuerpo son muy pequeñas, como en el movimiento de
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84 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Cuerpo CDRe.1
20,4
Re
13,6
Re
24,0
Re
22,2
Re
Tabla 2.1: Coeficientes de resistencia para flujos de muy bajos números de Reynolds (área de
referencia A = πD2/4).
partículas de tierra o arena en el aire, o durante el vuelo de insectos muy pequeños. Estos flujos
están gobernados por un balance entre las fuerzas viscosas y las fuerzas de presión, siendo las
fuerzas de inercia virtualmente despreciables. En estos casos, la fuerza de resistencia es función de
la velocidad del flujo, del tamaño del cuerpo y de la viscosidad:
DRe.1 = f (U∞, `,µ),
por lo tanto, de acuerdo a consideraciones dimensionales (ver Sección 2.2):
DRe.1 =Cµ`U∞,
donde el coeficiente C depende de la forma del cuerpo. Teniendo en cuenta la definición del
coeficiente de resistencia (CD = D/(12 ρU
2
∞`
2)) y del número de Reynolds (Re= ρU∞`/µ), resulta:
CDRe.1 =
2C
Re
, (2.35)
es decir que el coeficiente de resistencia es inversamente proporcional al número de Reynolds. En
la Tabla 2.1 se muestran algunos valores de CDRe.1 para diferentes geometrías. Es interesante notar
que, en este caso de flujo reptante, el coeficiente de resistencia de un disco circular colocado en
dirección normal al flujo es apenas un 50 % mayor que el correspondiente al disco orientado en
dirección paralela. Este comportamiento contrasta con lo que sucede en flujos con números de
Reynolds moderados y altos, donde un cuerpo aerodinámico presenta una resistencia sustancial-
mente menor que un cuerpo romo. En este caso, la “estilización” del cuerpo puede llegar a ser
contraproducente, lo cual ponen de manifiesto la gran influencia del número de Reynolds en la
resistencia aerodinámica.
El comportamiento de la resistencia para números de Reynolds moderados y altos es el que
describimos en las secciones anteriores. En estos casos, el flujo tiende a formar una estructura de
capa límite y las consecuencias de la forma del cuerpo responden a lo postulado en la sección
anterior, es decir, cuerpos aerodinámicos presentan mayor resistencia de fricción que resistencia de
presión y sus coeficientes de resistencia son sustancialmente menores que los de cuerpos romos en
las mismas condiciones de flujo. En cuanto al tipo de capa límite, en cuerpos aerodinámicos donde
predomina la resistencia de fricción, una capa límite turbulenta producirá una mayor resistencia
aerodinámica, mientras que en cuerpos romos moderados (como cilindros), la transición de la capa
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2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 85
Figura 2.8: Coeficiente de resistencia aerodinámica en función del número de Reynolds para
objetos de varias formas.
límite puede ser beneficiosa para disminuir la resistencia al reducir el área de la estela, tal como
se explicó en la Sección 2.5.3. Por otro lado, en cuerpos extremadamene romos, el número de
Reynolds (en el rango de números de Reynolds moderados en adelante) no tiene mayor influencia
ya que el punto de separación se posiciona en los bordes del objeto independientemente del tipo de
capa límite.
En la Figura 2.8 se muestra la variación del coeficiente de resistencia en función del número
de Reynolds para distintos cuerpos inmersos en flujos con números de Reynolds de moderados en
adelante. Allí se puede observar que, para una rugosidad relativa comparable, todos estos cuerpos
presentan una región de transición similar que ocurre para 300000. Recr . 600000. El valor del
número de Reynolds crítico separa los flujos entre números de Reynolds moderados y números de
Reynolds altos. Por otro lado, en la figura se observa nuevamente la gran diferencia de magnitud
entre el coeficiente de resistencia debido mayormente a resistencia de fricción y aquél debido a
resistencia de presión (nótese que el gráfico se presenta en escala logarítmica).
Influencia de la rugosidad superficial
Como hemos visto en la Figura 2.4, la resistencia sobre una placa plana paralela al flujo es
bastante dependiente de la rugosidad superficial siempre que la capa límite sea turbulenta. En estos
casos, las imperfecciones de la superficie sobresalen a través de la subcapa laminar adyacente a la
superficie sólida alterando las tensiones de corte en la pared. Por otro lado, tal como se observa
en la misma figura, la rugosidad superficial también modifica el número de Reynolds crítico
para el cual se produce la transición de capa límite laminar a turbulenta, haciendo que una placa
“rugosa” tenga una mayor porción de flujo turbulento que una placa “suave”. Consecuentemente, la
resistencia aerodinámica neta será mayor en las placas más rugosas para iguales condiciones de
flujo. De esta manera, para cuerpos aerodinámicos donde la resistencia de fricción es dominante, la
resistencia aerodinámica aumenta con el incremento de la rugosidad superficial. Es así que muchas
veces se presta un especial cuidado en el diseño de las superficies de un avión para hacerlas lo
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86 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Figura 2.9: Efecto de la rugosidad superficial en el coeficiente de resistencia de una esfera en
el rango de números de Reynolds donde se produce la transición de la capa límite.
más suaves posible, ya que elementos salientes como remaches o tornillos pueden generar un
aumento considerable de la resistencia aerodinámica. Sin embargo, en ocasiones es necesario
inducir “artificialmente” la turbulencia colocando, por ejemplo, elementos rugosos con el objetivo
de energizar la capa límite para reducir el área de flujo desprendido disminuyendo de esa forma la
resistencia de presión.
El efecto de la rugosidad en la resistencia aerodinámica de cuerpos romos es sustancialmente
diferente al que se produce en cuerpos aerodinámicos. Como hemos visto previamente, en el
caso de cuerpos extremadamente romos, como una placa plana normal al flujo, las tensiones de
corte prácticamente no actúan en dirección del flujo libre por lo que la incidencia de la rugosidad
es virtualmente nula. Por otro lado, en cuerpos más redondeados como esferas y cilindros, un
incremento en la rugosidad superficial puede en efecto disminuir la resistencia aerodinámica ya que
la transición de capa límite laminar a turbulenta genera un flujo más energético adyacente a la pared,
el cual es capaz de retrasar el punto de separación de la capa límite (el flujo puede “viajar más lejos”
con un gradiente de presión adverso). De esta forma, la resistencia de presión, que es dominante
en estas configuraciones de flujo, puede reducirse considerablemente aumentando la rugosidad
para una condición de flujo cuyo número de Reynolds sea un poco menor al número de Reynolds
de transición. Este efecto puede visualizarse en la Figura 2.9 donde se muestra la variación del
coeficiente CD para una esfera a números de Reynolds del orden del valor de transición. Allí se
observa cómo se reduce fuertemente el coeficiente CD al incrementar la rugosidad debido a la
disminución del número de Reynolds crítico, lo que se traduce en una disminución real de la fuerza
de resistencia aerodinámica. Este efecto es el que se aprovecha en muchos deportes, como el golf o
el tenis, en los cuales se introduce deliberadamente rugosidad a la pelota con el objetivo de reducir
su resistencia en el rango de velocidades (y por lo tanto de números de Reynolds) en los que suele
desarrollarse el juego.
Efectos de compresibilidad
Los conceptos establecidos hasta el momento están referidos a flujo incompresible, es decir
para la condición Ma. 0,3). Si la velocidad del flujo respecto al cuerpo sólido es suficientemente
alta, los efectos de compresibilidad se hacen importantes y el coeficiente de resistencia resulta
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2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 87
ser también una función del número de Mach. La introducción del número de Mach naturalmente
complica el análisis, ya que la resistencia aerodinámica para,un objeto determinado será función
tanto del Mach como del número de Reynolds, entre otros factores. Estos dos efectos suelen estar
muy conectados debido a que ambos números (Re y Ma) son directamente proporcionales a la
velocidad de la corriente libre. De este modo, un incremento en la velocidad aumenta en igual
medida el número de Reynolds y el número de Mach (asumiendo que las otras propiedades del
flujo no cambian).
La dependencia precisa del coeficiente CD en función de Re y Ma es, en general, compleja de
obtener, no obstante, para números de Mach suficientemente bajos los efectos de compresibilidad
pueden ser despreciados y asumirse que el coeficiente de resistencia es independiente de este
parámetro. El límite para el cual esta suposición es válida puede depender, en cierta medida,
de la forma del cuerpo, pero como regla general puede fijarse un valor límite9 Ma . 0,5. En la
Figura 2.10 se muestra la variación del CD en función del número de Mach para distintos cuerpos.
Allí se observa que el coeficiente permanece aproximadamente constante hasta valores más allá
del límite Ma= 0,5, hasta que la resistencia crece dramáticamente en cercanías de la condición
sónica (Ma= 1). Este fuerte crecimiento, conocido como divergencia de la resistencia, se debe
a la formación de ondas de choque, las cuales pueden existir solamente en presencia de flujo
supersónico, y proveen un nuevo mecanismo para la generación de resistencia aerodinámica que
obviamente no se manifiesta en flujos de baja velocidad.
Las características de la variación del coeficiente CD en función del número de Mach son
diferentes para cuerpos romos y cuerpos fuselados. Como se observa en la Figura 2.10, objetos
“afilados” o “puntiagudos” desarrollan su máximo coeficiente de resistencia entorno a la condición
sónica, mientras que en los cuerpos romos este coeficiente continúa creciendo más allá de Ma= 1.
Este comportamiento se debe a la estructura de las ondas de choque y del flujo separado que
naturalmente son diferentes para cada tipo de cuerpo. Por este motivo, es que las alas de los aviones
supersónicos están conformadas por perfiles aerodinámicos de bajo espesor con bordes de ataque
agudos, muy diferentes de los perfiles subsónicos que presentan forma más redondeada y espesores
relativamente grandes. Más allá de estas diferencias, está claro que, independientemente de la
geometría del cuerpo, el hecho de “atravesar la barrera del sonido” implica un gran aumento en la
resistencia aerodinámica. Este comportamiento representó un escollo difícil de sortear para que la
industria aeronáutica alcanzara el vuelo supersónico.
2.5.5 Resistencia de esferas y cilindros
El análisis de la resistencia en esferas y cilindros se refiere fundamentalmente al estudio de la
variación del coeficiente de resistencia en función del número de Reynolds. Por lo tanto, en este
caso no se tienen en cuenta los efectos de compresibilidad asumiendo que el número de Mach es lo
suficientemente bajo para justificar esta simplificación.
Algunas de las características principales de la resistencia en esferas y cilindros ya fueron
analizadas en las secciones anteriores. A estas alturas ya sabemos que este tipo de cuerpos ro-
mos, para números de Reynolds de moderados en adelante, deben su resistencia aerodinámica
principalmente a la resistencia de presión. Por otro lado, hemos establecido que los efectos de la
rugosidad pueden ser beneficiosos en la reducción de la fuerza de resistencia para una condición
de flujo con un número de Reynolds próximo al valor de transición. En cuanto al comportamiento
de la resistencia para números de Reynolds muy bajos, el caso de las esferas y los cilindros no
difiere del de otros cuerpos en esa condición de flujo reptante, donde los coeficientes de resistencia
resultan inversamente proporcionales al número de Reynolds (CD ∼ Re−1, tal como se observa en
la Tabla 2.1 para una esfera.
9No confundir este límite, referido al valor a partir del cual los efectos de compresibilidad se hacen importantes en la
resistencia aerodinámica, con el límite Ma< 0,3 utilizado para la hipótesis de flujo incompresible.
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88 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
Figura 2.10: Coeficiente de resistencia aerodinámica en función del número de Mach en flujo
subsónico (izquierda) y flujo supersónico (derecha).
En la Figura 2.11 se muestra la variación típica del coeficiente de resistencia en función del
número de Reynolds para una esfera y un cilindro de superficie suave. Nótese que en este gráfico,
tanto las abscisas como las ordenadas, se expresan en escala logarítmica, lo cual pone de manifiesto
la gran variación del coeficiente CD en este tipo de cuerpos. A continuación se describen los
diferentes comportamientos del flujo que se registran para distintos rangos del número de Reynolds:
Una primera región (Re. 1) donde CD ∼ Re−1 correspondiente al flujo de bajo Reynolds
(flujo reptante).
Una segunda región (1. Re. 102) donde los efectos viscosos aún se observan en grandes
extensiones del campo de movimiento y donde ya comienzan a vislumbrarse zonas de flujo
separado, las cuales se presentan en forma de una burbuja estacionaria ubicada detrás del
cuerpo.
Una tercera región (102 . Re. 103) en la cual los efectos viscosos comienzan a concentrarse
en las zonas más próximas a la superficie del cuerpo y en la gran estela que se forma en la
parte posterior del mismo debido a la separación del flujo. En este caso, la estela se presenta
como una calle de vórtices conocidos como vórtices de von Karman, los cuales se desprenden
alternativamente desde uno y otro lado del cuerpo. Es este movimiento el que produce, por
ejemplo, el flamear de una bandera, y cuya consecuencia sobre algunas estructuras civiles
(como cables de puentes) puede ser catastrófica cuando su frecuencia de oscilación es similar
a la frecuencia natural del elemento estructural.
Una cuarta región (103 . Re. 5×105) donde ya puede observarse la formación de una capa
límite en régimen laminar. En este caso los efectos viscosos quedan confinados al interior de
la capa límite y a la estela que presenta un área frontal algo mayor que la superficie frontal
del cuerpo.
Una quinta región (Re & 5×105) donde, luego de una rápida transición, la capa límite se
hace turbulenta y se reduce el tamaño de la estela detrás del cuerpo. Durante la transición
no sólo disminuye el coeficiente CD (como se observa en la figura), sino que la fuerza de
resistencia real también se reduce. Esto plantea cierta contrariedad al “sentido común”, ya
que la fuerza de resistencia aerodinámica en efecto disminuye con el aumento de la velocidad
(aumento del número Reynolds) en la región de transición.
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2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 89
Figura 2.11: Coeficiente de resistencia en función del número de Reynolds para una esfera y
un cilindro de superficie “suave” y los distintos patrones de flujo que se presentan.
2.5.6 Concepto de área frontal equivalente
El concepto de área frontal equivalente o EFPA por sus siglas en inglés (equivalent flat plate
area) es una forma alternativa de expresar la resistencia aerodinámica de un cuerpo en términos
de coeficientes adimensionales. Aunque en este caso la EFPA tendrá unidades de superficie (L2),
indirectamente representa al coeficiente de resistencia del objeto en cuestión.
El motivo de la definición de la EFPA surge de la expresión del coeficiente CD:
CD =
D
1
2 ρ∞V
2
∞Ac
,
donde se observa que para evaluar la resistencia aerodinámica de un cuerpo no es suficiente conocer
el valor del CD, sino que además debe ser informada el área Ac de referencia con respecto a la cual
está basado el coeficiente.
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90 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos
El área frontal equivalente Aeq se define como el área de un cuerpo de referencia que produce
la misma resistencia aerodinámica que el cuerpo analizado. Es decir,
1
2
ρ∞V 2∞CDAc =
1
2
ρ∞V 2∞CDrefAeq,,por lo tanto
Aeq = Ac
CD
CDref
, (2.36)
donde CDref es el coeficiente de resistencia del cuerpo de referencia.
La utilización de la definición anterior anterior tendrá sentido en la medida que se conozca
el coeficiente de resistencia del cuerpo de referencia, de manera de poder obtener la resistencia
aerodinámica del cuerpo simplemente con la información del EFPA. Por este motivo, suele utilizarse
como cuerpo de referencia una placa plana normal al flujo, cuyo coeficiente CD es aproximadamente
constante (ver Figura 2.6) e independiente de otros factores como la rugosidad. Finalmente, la
resistencia aerodinámica de un cuerpo determinado cuya EFPA es Aeq resulta:
D =
1
2
ρ∞V 2∞CDrefAeq, (2.37)
siendo CDref ≈ 1,30 para números de Reynolds lo suficientemente grandes. La definición del área
frontal equivalente no es muy utilizada en aeronáutica, donde en general se prefiere emplear la
definición clásica del coeficiente de resistencia, pero sí cuenta con cierta popularidad en la industria
automovilística donde muchas veces la resistencia aerodinámica del vehículo se expresa en términos
de la sección de una placa plana normal al flujo que produce la misma resistencia.
2.6 Problemas propuestos
1. Demuestre que las definiciones de los coeficientes aerodinámicos dados en las ecuacio-
nes (2.8)–(2.10) corresponden a los productos Pi adimensionales cuando se aplica el Teorema
de Buckingham a las acciones aerodinámicas que se generan sobre un cuerpo inmerso en
una corriente de aire uniforme de velocidad V∞, densidad ρ∞, viscosidad µ∞ y velocidad del
sonido a∞, cuya superficie y longitud de referencia son S y `, respectivamente.
2. El momento de cabeceo con respecto al borde de ataqueMLE de un perfil aerodinámico
supersónico es una función de la longitud del perfil c (cuerda), del ángulo de actitud α
(ángulo de ataque), de la velocidad del flujo libre V∞ y de su densidad ρ∞, de la velocidad del
sonido a∞ y de la relación de calores específicos γ (adimensional). Determinar los productos
Π del problema si se escoge a V∞, ρ∞ y c como variables repetitivas.
3. Bajo ciertas condiciones, el viento provoca la oscilación de un cartel indicador que se
encuentra fijado al suelo mediante un poste. La frecuencia de oscilación ω es una función
del ancho b y la altura h del cartel, de la velocidad del viento V∞, de la densidad del aire
ρ∞ y de la constante elástica k del poste de sujeción que tiene dimensiones de fuerza por
longitud (FL). Determinar los productos Π del problema escogiendo un conjunto adecuado
de variables repetitivas.
4. Se ha determinado mediante algún método que la resistencia hidrodinámica que experimenta
una embarcación al desplazarse sobre el agua depende de la densidad y de la viscosidad del
líquido ρa y µa, de la velocidad de avance relativa Ve, de la longitud de la embarcación en la
línea de flotación ` y de la aceleración de la gravedad g. Se pide determinar los productos Π
asociados al problema utilizando como variables repetitivas ρa, Ve y `.
5. Muestre que para el problema anterior no es posible obtener similitud “completa” si se realiza
un experimento en escala reducida `exp = 110`real y se mantienen iguales las propiedades del
fluido en la condición real y en el experimento (ρareal = ρaexp y µareal = µaexp).
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3. Análisis experimental
El análsis experimental es uno de los aspectos más importantes en el estudio de la Aerodinámica
en general y constituye una herramienta indispensable para entender, modelar y predecir los efectos
que experimenta un cuerpo inmerso en una corriente de aire. Aún hoy, donde la evolución de los
métodos numéricos aplicados a problemas de Mecánica de los Fluidos y el avance de la capacidad
de cálculo y almacenamiento de las computadoras actuales permiten un abordaje integral de este
tipo de problemas, la verificación experimental de los resultados numéricos es un paso ineludible
para garantizar la validez de los mismos. De hecho, el modo más exitoso para abordar cualquier
problema de diseño aerodinámico resulta de una correcta combinación entre la aplicación de
fundamentos teóricos, técnicas computacionales y adecuados ensayos experimentales. En este
capítulo abordaremos los principales aspectos relacionados a los ensayos aerodinámicos realizados
en túneles de viento.
3.1 Medición de presiones
La medición de presiones constituye uno de los aspectos más importantes en aerodinámica
experimental, donde en general es necesario no sólo conocer el estado del gas, sino determinar la
presión sobre la superficie del modelo ensayado. Por otro lado, la medición de la presión también
constituye un aspecto fundamental en las aplicaciones aeronáuticas, ya que a partir de los valores
de las “diferentes” presiones podemos estimar la altitud y la velocidad de vuelo de una aeronave.
Por estos motivos resulta determinante conocer las técnicas que se utilizan para realizar la medición
de presiones y establecer las causas de los diferentes problemas que pueden presentarse durante
este proceso.
3.1.1 Sondas de presión
La medición de presiones en aplicaciones aeronáuticas en general se realiza mediante la
utilización de sondas de presión, las cuales “transmiten” el valor local de la presión en un punto
dado del campo de movimiento hacia un manómetro o hacia alguno de los dispositivos indicadores
de altitud o velcidad durante el vuelo. Naturalmente, existen diferentes tipos de sondas dependiendo
91
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92 Capítulo 3. Análisis experimental
de la medición que se realice, es decir si se trata de presión estática, presión total o presión
diferencial.
El principal inconveniente en la medición de presiones radica en la naturaleza misma del
problema del flujo de fluidos. Como sabemos, la introducción de cualquier objeto en el seno de una
corriente provoca un “reacomodamiento” del flujo que obviamente ya no será igual al flujo que
existía antes de colocar el objeto. En consecuencia, las propiedades del flujo en la región perturbada
no serán las mismas que las del flujo libre o sin perturbar y la magnitud de las diferencias entre
ambas condiciones de flujo dependerá de la geometría del objeto inmerso en la corrienten y de
su orientación. De esta manera, el desafío en el diseño de las sondas de presión es obtener un
elemento capaz de transmitir la presión y que a la vez produzca la menor perturbación posible
del flujo, lo cual en general es difícil de conseguir. Por otro lado, aun una sonda de presión
correctamente diseñada puede entregar lecturas imprecisas si no se opera adecuadamente. Estos
errores están asociados fundamentalmente a fallas en la orientación de la sonda, es decir, cuando
no se posiciona correctamente el dispositivo con respecto a la corriente libre, y en menor medida
a posibles obstrucciones que impiden “conducir” la presión hacia el manómetro. Los errores
por orientación de la sonda son sin dudas los más importantes y por lo tanto deben estimarse
para conocer la tolerancia del dispositivo a la falta de alineación con el flujo. A pesar de los
inconvenientes mencionados anteriormente, hay que destacar que los anemómetros de tubos de
presión1 aún hoy son considerados los elementos más confiables para determinar la velocidad en
una corriente de aire.
Desde el punto de vista conceptual, la presión se define como la fuerza por unidad de área que
se registra sobre una superficie de área infinitesimal:
p = lı́m
∆A→0
∆F
∆A
. (3.1)
Esto significa que el elemento expuesto al flujo para medir la presión en un punto dado debería
ser infinitamente pequeño. Es obvio que en la práctica esta definición no puede cumplirse estricta-
mente, y aunque sí podríamos emplear tomas extremadamente delgadas que nos acerquen más a la
definición anterior, esto no sería adecuado debido a dos factores: por un lado las fuerzas de roza-
miento se hacen importantes en orificios y conductos muy delgados por lo que la presión no podría
“transmitirse” correctamente a través de ellos; y por el otro, a escalas extremadamente,pequeñas
pierde validez la hipótesis del continuo y por lo tanto pierde sentido el concepto macroscópico
de presión, como la medida de la acción colectiva de las moléculas que conforman el fluido. De
este modo, para los fines prácticos las tomas de presión serán lo más pequeñas posibles siempre
que la viscosidad, en este caso del aire, no interfiera en la precisión de las mediciones ni retarde
demasiado la respuesta del instrumento de medición.
3.1.2 Sonda Pitot
Considerando flujos en régimen subsónico, en términos prácticos la presión total (o de impacto)
puede obtenerse con un simple tubo con un extremo enfrentado a la corriente y el otro conectado a
un manómetro. Éste es el principio básico de la sonda Pitot presentado en el Capítulo 1, la cual es
universalmente adoptada para la medición de la presión total. Teniendo en cuenta que la presión
total se conserva a lo largo de una línea de corriente en flujo no viscoso, resulta que el tubo Pitot
debería tener un diámetro infinitamente pequeño tal que sólo una línea de corriente sea “atrapada”
por el mismo. Naturalmente esta condición no es estrictamente satisfecha por las sondas reales, las
1Se denominan de esta forma a los anemómetros basados en la medición de la presión para determinar la velocidad.
En estos dispositivos (que son básicamente sondas de presión) no existe un flujo de aire, a diferencia de lo que sucede
con otros instrumentos como el orificio calibrado o el tubo de Venturi. Además existen otros anemómetros basados en
principios mecánicos o eléctricos, que se calibran considerando por ejemplo la velocidad de rotación de un pequeño
“molino” de viento o la tasa de enfriamiento de un filamento metálico calentado eléctricamente.
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3.1 Medición de presiones 93
Figura 3.1: Error de medición de la presión total en función del ángulo de guiñada de la sonda
para diferentes tipos de tomas (tomado de Chue (1975)).
cuales obviamente trabajan con fluidos reales con viscosidad no nula. Además de estas diferencias,
existen otros factores que generarán errores en las mediciones de la presión total, los cuales suelen
cuantificarse de manera adimensional en relación a la presión dinámica de la corriente libre:
∆p0 =
p0,i− p0
1
2 ρ∞V
2
∞
, (3.2)
donde p0,i es la presión total indicada por el manómetro y p0 es la presión total real.
La diferencia ∆p0 estará definida en primer lugar por las características geométricas de la sonda,
es decir, la forma de la nariz y la relación entre el diámetro interno y el diámetro externo d/D del
tubo. Este factor en general no introduce por sí solo errores significativos en la medición, pero
su influencia es fundamental cuando se considera en conjunto con otro factor que es la fuente
principal de generación de errores: la falta de alineación de la sonda. En la Figura 3.1 se muestra
esquemáticamente cómo varía ∆p0 en función del ángulo de guiñada2 para distintas formas de la
sonda de presión total. Además se indica para cada caso el ángulo de guiñada critico, definido como
el ángulo para el cual la medición registra un error del 1 % de la presión dinámica de la corriente
libre.
En dicha figura observamos el rol preponderante que juega la forma de la toma a la hora de
considerar ángulos admisibles de desalineación de la sonda. Vemos que geometrías con relaciones
d/D más cercanas a la unidad son beneficiosas ya que admiten mayores desviaciones de la posición
de la sonda con respecto a la corriente sin que se produzcan errores excesivos. Esta característica
puede explicarse desde el punto de vista de la perturbación del flujo, ya que sondas de orificios
pequeños con paredes gruesas generarán mayores distorsiones en la corriente en la región del
extremo que enfrenta el flujo y consecuentemente mayores errores de medición. Esta cualidad
es muy importante especialmente en el análisis de flujo turbulento donde pueden presentarse
2El ángulo de guiñada se define colocando la sonda con el soporte en dirección normal al flujo y rotando la sonda
alrededor del mismo.
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94 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.2: Efecto del espesor de la pared de la sonda de presión total en el error por desali-
neación del flujo (tomado de Orwen y Pankhurst (1977)).
componentes de velocidad transversales a la dirección de la sonda que magnifican el ángulo de
guiñada del instrumento con respecto al flujo sin perturbar.
Para observar más claramente el efecto del espesor de la pared, en la Figura 3.2 se grafica el
error porcentual de la presión total en términos de la presión dinámica para distintas relaciones
d/D con una geometría de la toma como la del caso 1 de la Figura 3.1 (extremo plano). En virtud
de los resultados queda claro que una sonda de presión total es en general un dispositivo bastante
preciso siempre que la misma tenga una geometría adecuada incluso cuando exista algún grado de
desalineación relativamente grande.
Efectos de compresibilidad
En régimen de flujo subsónico compresible (0,3 < Ma < 1) se encuentra que la marcada
“insensibilidad” de las sondas Pitot a la desalineación del flujo para un amplio rango de ángulos
de guiñada que se registra en régimen de baja velocidad se mantiene prácticamente hasta el límite
sónico (Ma< 1). A modo de ejemplo ilustrativo, en la Figura 3.3 se muestra el error porcentual de
la presión total en función del número de Mach hasta la condición sónica (Ma= 1), considerando
diferentes ángulos de guiñada para una sonda de nariz semiesférica. En este caso vemos que para
un ángulo de guiñada nulo el incremento del número de Mach prácticamente no introduce errores
en la medición. Por otro lado, para ángulos de guiñada no nulos el error se mantienen por debajo
del 1 % en todo el rango subsónico incluso para desviaciones de la sonda tan grandes como 15 o.
Considerando desviaciones mayores a ese valor comienza a evidenciarse alguna influencia del
número de Mach en el error de medición, pero para esos niveles tan elevados de desalineación
probablemente el error ya sería inadmisible aun para el caso incompresible.
Efecto del gradiente de velocidad
Las sondas Pitot en general se calibran considerando una condición de flujo uniforme, es decir,
asumiendo que la velocidad es constante en toda la sección del orificio de la sonda. Sin embargo,
en la práctica pueden existir variaciones de velocidades en dirección normal al eje del tubo lo cual
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3.1 Medición de presiones 95
Figura 3.3: Influencia del número de Mach en la medición de la presión total para diferentes
ángulos de guiñada de una sonda Pitot de nariz semiesférica. T es la presión
indicada y p0 la presión total real (tomado de Orwen y Pankhurst (1977)).
significa que (en general) también existe un gradiente de la presión total en esa dirección, tal como
sucede cuando se realizan mediciones en cercanías de una pared sólida donde se ha desarrollado
la capa límite. En estos casos, inclusive sondas correctamente calibradas y alineadas no indicarán
la presión total en el centro geométrico del orificio, sino que existirán errores causados por los
siguientes efectos:
La presión total es proporcional al cuadrado de la velocidad3 y cuando la misma es integrada
sobre el orificio, ella tendrá un valor mayor que la presión de estancamiento calculada con la
velocidad en el centro geométrico del orificio.
La presencia de la sonda en una región con gradiente de velocidad provoca deflexiones de las
líneas de corriente hacia la zona de menores velocidades. Esta deflexión genera que la presión
indicada sea mayor que la que existe en la misma posición en ausencia del dispositivo.
Como es de esperar, estos efectos se reducen al disminuir el tamaño de la sonda. Un estudio
analítico de los mismos es difícil de realizar ya que en general no es posible conocer de antemano
la distribución de velocidades sobre el orificio. De esta manera, las correcciones suelen hacerse en
base a ensayos experimentales a través de los cuales se determinaron fórmulas,empíricas.
Numerosos ensayos experimentales mostraron que existe una relación lineal entre el despla-
zamiento δ del centro efectivo de una sonda Pitot de nariz recta y la relación entre los diámetros
interior d y exterior D de la misma (ver Fighura 3.4):
δ
D
= 0,131+0,083
d
D
, (3.3)
la cual es válida dentro del rango
0,35 <
d
D
< 0,75. (3.4)
El hecho de que la corrección (3.3) sea independiente del gradiente de velocidad es bastante
sorprendente, ya que esto implica que existe una discontinuidad en el desplazamiento δ cuando
el gradiente de velocidad se anula. Sin embargo, esta expresión muestra un aceptable grado de
precisión (Chue, 1975).
3Esto es así porque se asume que la presión estática no varía en la dirección normal a la pared
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96 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.4: Desplazamiento del centro efectivo debido al gradiente de velocidad en una sonda
Pitot.
3.1.3 Tomas de presión estática
De acuerdo a la definición de la presión estática (ver Definición 1.16 del Capítulo 1), habíamos
establecido que esta presión es aquella que se registra sobre una superficie infinitesimal que se
dispone en dirección perfectamente tangencial a la línea de corriente local o que se mueve a la
misma velocidad que el flujo. Desde el punto de vista práctico, resulta virtualmente imposible
construir un elemento capaz de registrar la presión sobre una superficie que se mueva a la velocidad
del flujo y que además transmita ese valor a un manómetro que permanece fijo. Por este motivo, la
técnica que se utliza en la práctica para medir la presión estática consiste en utilizar tomas fijas
orientadas tangencialmente a las líneas de corriente, de manera que el movimiento del fluido no
realice ningún aporte a la presión “que siente” la toma.
A diferencia del caso de la presión total donde hemos visto que en general la medición es
bastante simple, pudiendo obtenerse valores precisos aun frente a desalineaciones considerables de
la sonda incluso en flujo (subsónico) compresible, en la medición de la presión estática estas virtudes
desaparecen y la medición se hace mucho más dificultosa. En este caso, pequeñas desalineaciones
de la toma estática con respecto a la corriente libre pueden generar errores importantes, y además
los efectos producidos por la forma y el tamaño de los orificios tienen una relevancia mucho más
significativa.
En el diseño de las tomas de presión estática se busca lograr que las condiciones del flujo libre
se reproduzcan con la mayor precisión posible en la región donde se encuentra el orificio que
transmitirá la presión al manómetro. Esto significa que en el lugar donde efectivamente se está
midiendo la presión estática, la velocidad tanto en magnitud como en dirección debe ser lo más
próxima posible a la del flujo sin perturbar. En otras palabras, la velocidad “sobre” el orificio debe
ser “la misma” que existiría si la toma de presión no estuviera presente. Naturalmente esta condición
es imposible de conseguir y el diseño entonces consiste en minimizar las desviaciones del flujo
causadas por el fispositivo o, en su defecto, emplear configuraciones donde los efectos causados por
los distintos elementos se compensen entre sí. Esto a su vez introduce un requerimiento adicional
sobre la sonda de presión total y cualquier otro dispositivo de medición inmerso en el campo de
movimiento, los cuales no deberán alterar las condiciones del flujo en la región donde se ubican las
tomas de presión estática.
Efectos de la geometría de la toma
En términos prácticos, la presión estática puede estimarse básicamente de tres formas diferentes
dependendiendo de la configuración del flujo:
Mediante pequeños orificios realizados en la superficie del contorno de un flujo confinado
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3.1 Medición de presiones 97
Figura 3.5: Efecto del tamaño del orificio en el error de medición de la presión estática
registrado para diferentes números de Mach con una toma de bordes rectos.
(tomado de Chue (1975)).
evitando que las líneas de corriente resulten distorsionadas.
A través de pequeños orificios dispuestos sobre una sonda cuyo efecto sobre el flujo puedan
ser compensado.
mediante pequeños orificios colocados estratégicamente en posiciones críticas de cuerpos
aerodinámicos donde la presión estática ocurre “naturalmente”.
El primer caso lo constituyen las llamadas tomas de pared, el segundo está formado por los
denominados tubos estáticos y el tercero se conforma por sondas que presentan formas esféricas,
de cuñas, cónicas, etc. Como vemos, independientemente del elemento empleado, los orificios
estarán siempre presentes y de allí que es tan importante conocer cómo se comporta el flujo en su
presencia.
Puede intuirse que un orificio lo más pequeño posible con sus contornos rectos y agudos causará
las menor distorsión en un flujo que se desplaza sobre una pared recta, entonces podríamos deducir
que así se obtendrían las mediciones más precisas de presión estática. Sin embargo, orificios muy
pequeños son difíciles de maquinar, resultan propensos a obstrucciones y presentan una respuesta
muy lenta a los cambios de presión, por lo tanto es necesario utilizar orificios de diámetros mayores
aplicando correcciones a las lecturas, buscando una solución de compromiso entre practicidad y
precisión de las mediciones.
El efecto del tamaño del orificio en la medición de la presión estática se evalúa casi exclusi-
vamente de manera experimental. La diferencia entre la presión estática real y la presión estática
relevada por la toma se mide en relación a la presión dinámica del flujo libre, o en algunos casos
considerando la tensión tangencial sobre la pared debida a la acción viscosa, ya que se supone que
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98 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.6: Comportamiento del flujo dentro de la toma de presión estática.
la variación de la presión surge de las distorsiones producidas en la capa límite. En ese caso, la
tensión de corte es una medida de la capa límite ya que ella caracteriza el gradiente de velocidad
del flujo dentro de la misma (τw = µ(dV/dy)). En la Figura 3.5 se muestra el error de medición
de la presión estática en función del diámetro del orificio considerando diferentes regímenes de
flujo. De estos resultados se desprende que el error crece rápidamente con el aumento del tamaño
de la toma y que este crecimiento se hace más evidente a medida que aumenta el número de Mach
de la corriente. Por otro lado, podemos ver que una vez alcanzado un cierto valor, la curva de
error comienza a aplanarse y el aumento del diámetro del orificio ya no genera un incremento
significativo del error. En esta situación sólo los efectos de compresibilidad producen un aumento
del error de la medición.
Además del tamaño del orificio, el otro factor que incide sobre la precisión de las tomas estáticas
es la forma de la toma, más precisamente la forma de sus bordes. En presencia de un orificio de
bordes rectos, el flujo se separa de la pared “limpiamente” al comenzar el agujero y las líneas de
corriente son apenas distorsionadas en esa región. No obstante, por efectos de la viscosidad se
induce una pequeña velocidad en dirección del flujo al fluido que se encuentra dentro de la toma
estática, lo cual genera un “torbellino” que produce una componente de velocidad en dirección del
conducto (ver Figura 3.6). Esto provoca un consecuente aumento de la presión que efectivamente
“siente” el manómetro. De la misma forma, la implementación de otras formas en los bordes de la
toma, como por ejemplo bordes redondeados o achaflanados también generan modificaciones en el
fluido interno del orificio y en el flujo que está “en contacto” con la toma, generando por lo tanto
variaciones en la presión estática que efectivamente está midiendo el manómetro. Estas variaciones
podrán ser positivas o negativas con respecto a la presión estática real dependiendo de la forma
de la toma, tal como se muestra en la Figura 3.7 donde se indica,la influencia de la forma de los
bordes del orificio.
Como observamos en la figura, la forma de los bordes de la toma estática no introduce errores
significativos en relación al orificio de bordes rectos. Incluso en los casos de bordes marcadamente
redondeados o cuando existen inclinaciones del orficio con respecto a la pared, los errores no
exceden el 1 %. Si consideramos bordes achaflanados vemos que las diferencias son menores. Esto
es una gran ventaja desde el punto de vista de la construcción de las tomas, ya que nos permite
maguinar los bordes del agujero para eliminar posibles rebabas sin introducir con esto errores
importantes en las mediciones. De no realizar este trabajo, la presencia de imperfecciones en forma
de protuberancias en los bordes del orificio pueden generar una fuerte distorsión de las línas de
corriente y llegar a separar la capa límite en esa región, lo cual producirá errores significativos en
las lecturas.
Tubos estáticos
Cuando las tomas de presión estática son empleadas en condiciones de flujo externo, como
sucede en muchas aplicaciones aeronáuticas, o cuando las mediciones se realizan en regiones
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3.1 Medición de presiones 99
Figura 3.7: Efecto de la forma del borde del orificio en la medición de la presión estática.
Las variaciones se indican en porcentajes de la presión relevada en el orificio de
bordes rectos (tomado de Benedict (1984)).
alejadas de la pared del conducto en flujo confinado, suelen utilizarse sondas o tubos estáticos sobre
los cuales se disponen las tomas. En estos casos, asumiendo inicialmente que la sonda se encuentra
correctamente alineada, la precisión de las mediciones dependerá mayormente de la posición de
los orificios con respecto a la nariz y al soporte (o bastón) del tubo. Efectos de aceleración del
flujo debidos a la nariz tenderán a reducir la presión relevada por la toma, mientras que el efecto de
estancamiento de la corriente causado por el bastón de sujeción tenderán a incrementar la presión
estática. En principio, estas variaciones podrían evitarse disponiendo los orificios lo suficientemente
alejados tanto de la nariz como del soporte para que las desviaciones causadas por dichos elementos
resulten despreciables, pero esto resultaría en distancias muy largas entre la nariz, los orificios y el
soporte y consecuentemente la sonda tendría una longitud desproporcionada.
La idea para construir sondas de presión estática de dimensiones aceptables consiste en disponer
los distintos elementos de la sonda de modo de compensar los efectos opuestos que causan los
mismos, es decir que se busca que los efectos de disminución y de incremento de la presión
simplemente se cancelen entre sí en el plano donde se colocan las tomas estáticas. Este concepto se
muestra esquemáticamente en la Figura 3.8, donde se indica la disminución de la presión generada
por la presencia de la nariz de la sonda (curva inferior) y el incremento de la presión provocado
por el bastón (curva superior). La línea ∆p = 0 en este diagrama corresponde a la presión estática
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100 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.8: Esquema de la variación de la presión estática debido a la nariz y al soporte de la
sonda.
de la corriente libre. De esta manera podemos establecer una posición en la cual ambos efectos
se compensan entre sí, por lo tanto la presión estática medida en ese punto se corresponde con la
presión del flujo sin perturbar.
La distancia necesaria entre la nariz y las tomas estáticas para lograr la compensación de los
efectos depende de la longitud de la sonda, es decir, de la distancia entre la nariz y el bastón.
Desplazar hacia atrás el bastón equivale a disminuir su efecto sobre la región de la nariz, por
lo tanto será necesaria una mayor distancia entre las tomas y el extremo delantero de la sonda.
Por el contrario, desplazando hacia adelante el soporte se genera mayor presión en la nariz y
consecuentemente las tomas estáticas deberán disponerse más próximas a ella para compensar ese
incremento. Naturalmente, una vez establecida la longitud de la sonda y determinada la posición
de las tomas estáticas, las dimensiones quedarán fijas para construir el dispositivo. Longitudes
excesivas de la sonda no son deseables desde el punto de vista de la alineación del tubo, mientras
que longitudes demasiado cortas pueden repercutir en la calidad de las mediciones ya que las tomas
estáticas se encontrarían en regiones de fuertes gradientes de presión que hacen difícil determinar de
manera precisa la posición correcta para la compensación de ambos efectos. A partir de numerosas
investigaciones se recomienda colocar los orificios a 6 diámetros por detrás de la base de la nariz y
a 8 diámetros por delante del eje del bastón, lo cual arroja una longitud aproximada del cuerpo de
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3.1 Medición de presiones 101
Figura 3.9: Efecto de la alineación del flujo en diferentes sondas estáticas para flujo de baja
velocidad. En todos los casos existen dos tomas estáticas separadas 180 o (tomado
de Chue (1975)).
la sonda de 14 diámetros. Estos valores son válidos para sondas con una forma semiesférica de la
nariz (Orwen y Pankhurst, 1977).
En la determinación de la presión estática mediante este tipo de sondas, la precisión dependerá
fundamentalmente de la correcta alineación del dispositivo con respecto a la dirección del flujo
libre. A diferencia de lo que sucede en la medición de la presión total, los tubos estáticas son
extremadamente sensibles a la desalineaciones y en general admiten ángulos de guiñada de pocos
grados para obtener lecturas aceptables. Esto supone un gran desafío a la hora de operar las
sondas estáticas, especialmente en aquellos casos donde la dirección del flujo no se conoce de
manera precisa o en presencia de un alto nivel de turbulencia que genere velocidades transversales
importantes. En la Figura 3.9 se muestra el error de medición de la presión estática en términos de
la presión dinámica en función del ángulo de guiñada considerando diferentes formas de la nariz
del tubo estático.
Sondas aerodinámicas
Una alternativa a los tubos estáticos para medir la presión estática en condiciones de flujo
externo son las sondas aerodinámicas. En estos dispositivos la precisión de la medición estará
dada por el correcto posicionamiento de las tomas en el cuerpo, más allá de los errores asociados
a la geometría de los orificios y a la alineación del flujo. Ejemplos de sondas aerodinámicas son
cilindros, discos, conos y cuñas. Sobre estos elementos la distribución de presión es conocida,
por lo tanto los orificios pueden ubicarse en los puntos donde se espera que se registre la presión
estática de la corriente libre o donde la misma pueda ser obtenida a partir de los valores medidos.
En el caso de cilindros, éstos se posicionan en dirección normal al flujo y se define como ángulo
critico al ángulo con respecto a la dirección de la corriente donde la presión estática registrada en
la superficie del cilindro es igual a la del flujo libre (ver Figura 3.10). Las sondas de este tipo tienen
dos orificios separados por un ángulo igual al doble del ángulo crítico. Esta configuración permite
determinar la orientación correcta de la sonda. El procedimiento consiste en conectar inicialmente
ambos orificios a un manómetro diferencial y rotar el cilindro hasta que el manómetro indique
una diferencia de presión nula. Esto implica que ambos orificios se encuentran posicionados en el
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102 Capítulo 3. Análisis experimental
ángulo crítico y por ello “sienten” la misma presión.
Figura 3.10: Distribución de ∆p = pi− p sobre un cilindro colocado en dirección normal
al flujo con dos tomas estáticas. Nótese que si la dirección del flujo cambia, el
incremento de presión en una toma es aproximadamente igual a la disminución
de presión en la otra (tomado de Benedict (1984)).
Una ventaja de las sondas aerodinámicas cilíndricas es que son,bastante tolerantes a desviaciones
del flujo, permitiendo ángulos de hasta ±20 o de desviación (Benedict, 1984). Esto es así cuando
ambos orificios se conectan en forma de manifold al manómetro, lo cual produce que la disminución
de presión en un orificio se compense con el incremento en el otro, aprovechando la distribución
aproximadamente lineal de la presión sobre la superficie del cilindro en el entorno ±45 o con
respecto a la dirección del flujo.
3.1.4 Sonda Pitot-estática
Frente a la condición de flujo externo y en situaciones donde se necesita conocer tanto la presión
total como la presión estática de la corriente libre, tal como sucede en la estimación de la velocidad
de un flujo de aire, estas presiones suelen medirse a través de las tomas dispuestas en un mismo
elemento llamado sonda Pitot-estática, la cual se muestra en la Figura 3.11.
Como vemos en la figura, el tubo Pitot-estático es simplemente una sonda estática a la cual se
le ha practicado un orificio en la nariz de modo de medir también la presión total. La posición de
las tomas estáticas se define de la misma manera que en una sonda estática convencional, es decir
haciendo que los efectos de la nariz y del bastón se cancelen entre sí. En las sondas Pitot-estáticas,
las tomas estáticas y la toma de presión total suelen conectarse a los dos extremos de un manómetro
diferencial de modo que esta sonda permite medir directamente la presión dinámica del flujo en
régimen subsónico de baja velocidad, tal como vimos en el Capítulo 1.
En la Figura 3.12 se muestra una sonda Pitot-estática muy utilizada durante la primera mitad
del siglo XX, la cual fue diseñada por el prolífico científico alemán Ludwig Prandtl. Esta sonda
se caracterizaba por una nariz semiesférica y por disponer de un corte anular en lugar de orificios
para medir la presión estática. Esta configuración brindaba la ventaja de la simetría y de ser menos
propensa a las obstrucciones. Sin embargo, la necesidad de utilizar bordes afilados la hacía difícil
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3.1 Medición de presiones 103
Figura 3.11: Esquema de una sonda Pitot-estática clásica.
Figura 3.12: Esquema de la sonda Pitot-estática de Prandtl.
de construir. Estudios posteriores demostraron que una forma de nariz elipsoidal, no semiesférica
como la sonda de Prandtl ni afilada como las sondas de principios del siglo XX, presenta una mejor
precisión en las mediciones.
La sonda Pitot-estática se encuentra sometida a las mismas fuentes de error que las las sondas
estática y total “aisladas”, es decir que la precisión en la medición de la presión diferencial obtenida
por el dispositivo dependerá de las características geométricas del tubo, como ser forma de las
tomas y posición de las mismas, y fundamentalmente de las condiciones del flujo dadas por los
efectos de compresibilidad, el nivel de turbulencia y especialmente por la alineación de la sonda.
En la Figura 3.13 se muestra la influencia del número de Mach para diferentes ángulos de guiñada
en una sonda Prandtl. El error en la lectura de la presión diferencial se expresa como la relación
(p0,i− pi)/(p0− p), es decir la relación entre la presión diferencial indicada por la sonda y la
presión diferencial real. Allí observamos que para una alineación correcta, la sonda Prandtl puede
utilizarse para velocidad con Ma≤ 0,85, aproximadamente.
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104 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.13: Efecto del número de Mach en una sonda Prandtl para diferentes ángulos de
guiñada ψ, En esta figura Pm y pm indican los valores medidos de presión total y
presión estática, respectivamente. (tomado de Chue (1975)).
3.1.5 Determinación de la dirección del flujo
Como hemos visto en los apartados anteriores, la correcta alineación de las sondas con respecto
al flujo para determinar la presión es fundamental para obtener mediciones precisas. Esto a su vez
repercute en la precisión de la estimación de la velocidad del flujo cuando se utilizan anemómetros
de tubos de presión.
En flujos confinados normalmente es suficiente alinear la sonda geométricamente con respecto
al conducto. Por otro lado, en flujjo bidimensional en general la dirección del flujo puede obtenerse
rotando el elemento alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene a las líneas de corriente.
En estos casos suele ser suficiente utilizar el mismo instrumento como indicador de la dirección del
flujo. Sin embargo, en condiciones de flujo más generales a veces es necesario utilizar elementos
específicos para determinar la dirección del flujo. Dichos instrumentos se conocen como yawmeters
(medidor de guiñada en inglés).
Existen diversos tipos de yawmeters basados en la medición de la presión, algunos de los cuales
se muestran en la Figura 3.14. Estos instrumentos pueden clasificarse en dos grupos de acuerdo a su
forma de operación. En el método de alineación o lectura nula, la operación se realiza considerando
la equiparación de la presión de dos tomas dispuestas de forma simétricamente opuesta en un cuerpo
simétrico, el cual se rota hasta alcanzar la igualdad de presiones en ambas tomas y la dirección del
flujo se obtiene directamente de la orientación geométrica del cuerpo. Este tipo de yawmeters son
especialmente recomendados para flujo bidimensional. En la operación del segundo grupo no se
busca alinear la sonda con respecto al flujo, sino que la lectura de la diferencia de presión entre
tomas simétricamente opuestas permite deducir la dirección del flujo mediante relaciones obtenidas
durante la calibración de los instrumentos.
Otros métodos para determinar la dirección del flujo involucran la utilización de hilos o
pequeños trozos de telas fijados a algún soporte, o álabes rotando alrededor de un eje. Este tipo de
mediciones pueden resultar propensas a errores debidos a la fuerza de gravedad o a alguna otra
causa relacionada con su principio de funcionamiento. Por otro lado, estos elementos en realidad
proveen algún tipo de “indicación promedio” de la dirección del flujo a lo largo de su longitud,
en vez de la dirección precisa del flujo en un punto determinado del campo de movimiento. Sin
embargo, a pesar de sus limitaciones, cuentan con la ventaja de ser muy económicos y fáciles de
utilizar con lo cual resultan apropiados para aplicaciones que no requieran de mucha precisión o
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3.2 Indicadores de presión 105
Figura 3.14: Diferentes tipos de yawmeters.
para estimaciones preliminares.
3.2 Indicadores de presión
La determinación de la presión es probablemente la medición más importante cuando se
analiza experimentalmente el flujo de fluidos. Como hemos visto, a partir de estas mediciones
podemos conocer la velocidad de un gas o líquido, estimar la dirección del flujo e incluso calcular
las fuerzas y momentos aerodinámicos que actúan sobre un cuerpo sumergido en una corriente
fluida. Naturalmente, el concepto de presión no sería de interés si no fuera posible medir dicha
cantidad de manera relativamente simple y con un aceptable grado de precisión. En los apartados
anteriores hemos estudiado las principales características de las sondas de presión, es decir de los
instrumentos utilizados para “transmitir” la presión estática y la presión total desde el punto hacia
el dispositivo indicador. En esta sección estudiaremos los aspectos fundamentales de este último
elemento encargados de “informar” el valor de las presiones relevadas por las sondas.
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106 Capítulo 3. Análisis experimental
Como cualquier cantidad física, la presión se mide en relación a una variable o estado de
referencia. En ese sentido, en la determinación de la presión se distinguen tres tipos diferentes:
La presión absoluta p es la que se mide con respecto al vacío absoluto. Esta presión es la
que interviene en las expresiones matemáticas tales como la ecuación de estado de los gases
ideales p = ρRT .
La presión manométrica pm es la presión medida teniendo como referencia la presión,ambiente, es decir que es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica patm:
pm = p− patm. (3.5)
La diferencia de presión o presión diferencial ∆p es la diferencia entre dos presiones absolutas,
que de acuerdo a la definición de la presión manométrica resulta también igual a la diferencia
de las presiones manométricas:
∆p = p1− p2 = (pm,1 + patm)− (pm,2 + patm) = pm,1− pm,2. (3.6)
En aerodinámica experimental en general estamos interesados en conocer diferencias de presio-
nes o presiones manométricas, ya sea para estimar la velocidad del flujo o para obtener la fuerza
aerodinámica sobre un cuerpo. Por lo tanto el instrumento utilizado para medir las presiones es el
manómetro. En aquellos casos donde sea necesario conocer la presión absoluta simplemente se
suma el valor de la presión atmosférica local que se obtiene mediante un barómetro. No obstante,
en ocasiones es preferible medir directamente la presión absoluta utilizando los llamados manó-
metros absolutos, donde se incorpora la palabra “absoluto” para diferenciarlos de los manómetros
convencionales y evitar confusiones.
Al igual que otros elementos de medición, la capacidad de un manómetro determinado está
dada principalmente por las siguientes características:
Rango de medición
Precisión
Sensibilidad
Linealidad
Velocidad de respuesta
Los rangos de presiones que se presentan durante los ensayos aerodinámicos pueden extenderse
desde presiones muy cercanas al vacío absoluto (como se da en túneles de viento para flujo mole-
cular libre), hasta valores de varias decenas e incluso cientos de atmósferas (tal como sucede en
flujo supersónico o hipersónico). Por otro lado, la precisión requerida puede llegar a ser importante
dependiendo del experimento. Por ejemplo, en ensayos de baja velocidad en condiciones atmosfé-
ricas normales se necesita una precisión de menos de 10Pa en el manómetro para determinar la
velocidad del flujo con 1m/s de incertidumbre. Naturalmente, un incremento de la sensibilidad en
general acarrea una disminución del rango de medición disponible del instrumento. Esto implica
que no existe un único manómetro capaz de cubrir todos los requerimientos dentro del amplio
universo de las posibles aplicaciones de la aerodinámica experimental, por lo tanto se cuenta con
diferentes tipos de manómetros cada uno de los cuales será utilizado de acuerdo a la necesidad
particular del ensayo.
Los instrumentos empleados para medir la presión en aerodinámica experimental pueden divirse
teniendo en cuenta su principio de funcionamiento:
Manómetros de columna de líquido
Manómetros con elementos elásticos sensibles
Transductores de presión
Manómetros para medir bajas presiones absolutas
En nuestro análisis estamos principalmente interesados en el primer grupo.
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3.2 Indicadores de presión 107
Figura 3.15: Variación del nivel de líquido manométrico por efectos de la capilaridad.
3.2.1 Manómetros de columna de líquido
Los manómetros de columna de líquido se basan en el equilibrio de fuerzas que se produce
entre la presión que se busca determinar y una columna de líquido manométrico, cuya altura será
directamente proporcional a la presión dependiendo de la densidad del líquido utilizado. De acuerdo
a su forma de operar, los manómetros de columna de líquido puden dividirse entre los manómetros
de lectura directa y los manómetros de nivel constante. Los primeros se usan para medir diferencia
de presión a través de la diferencia de altura entre dos niveles de un líquido según el principio de
vasos comunicantes. En el segundo grupo la medición se realiza a partir del desplazamiento de
algún elemento del instrumento para mantener constante el nivel original de referencia. En este
caso la lectura del desplazamiento indica la altura de líquido equivalente.
Líquidos manométricos
En general el medio utilizado en los manometros de columna de líquido es agua, alcohol o
mercurio, aunque otros compuestos orgánicos también son utilizados. Los principales requerimien-
tos para los líquidos manométricos son alta estabilidad química, baja viscosidad y baja tensión
superficial, bajo coeficiente de dilatación térmica, baja volatilidad y baja tendencia a contaminarse
y a absorber humedad del aire. Estas características ayudarán a incrementar la precisión de las
mediciones. Por ejemplo, una alta estabilidad química, baja volatilidad y baja dilatación térmica son
importantes para mantener constante el peso específico del líquido, una viscosidad baja permitirá
una estabilización más rápida de la medición, una tensión superficial grande incrementará los
efectos de capilaridad dificultando las lecturas, etc.
El efecto de la capilaridad es un aspecto a tener en cuenta en los manómetros de columna de
líquido. Dependiendo de las propiedades del líquido para mojar la superficie, la tensión superficial
produce que el menisco sea cóncavo y ascienda por el tubo en el caso de líquidos que mojan
como el agua, o que sea convexo y descienda para líquidos que no mojan, como el mercurio (ver
Figura 3.15). El ascenso o la depresión del menisco está dado por la fórmula clásica de capilaridad:
∆h =
4σcosθ
ρlíqgd
, (3.7)
donde σ es la tensión superficial del líquido, θ el ángulo de mojado, ρlíqg el peso específico del
líquido y d el diámetro interno del tubo. La tensión superficial del líquido es una función de la
temperatura, variando de manera inversamente proporcional a ésta.
Cuando el diámetro interno del tubo manométrico es constante, el cambio de nivel del líquido
provocado por la capilaridad puede ser ignorado ya que el mismo será igual para ambos tubos en el
caso de un manómetro diferencial. Pero en tubos no calibrados la depresión capilar puede variar
a lo largo del tubo si el diámetro cambia, lo cual obviamente afectará las lecturas. Por otro lado,
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108 Capítulo 3. Análisis experimental
Líquido Densidad
[kg/m3]
Coefeciente de
expansión
térmica [1/oC]
Tensión
superficial
[N/m]
Viscosidad
dinámica
[Ns/m2]
Agua pura (H2 O) 998,2 2,07×10−4 7,28×10−2 1,003×10−3
Mercurio (Hg) 13534,0 1,82×10−4 48,65×10−2 1,550×10−3
Alcohol etílico
(C2 H5 OH
789,3 7,50×10−4 2,23×10−2 1,200×10−3
Alcohol Metílico
(CH2 OH
792,0 11,90×10−4 2,30×10−2 0,545×10−3
Tabla 3.1: Propiedades de líquidos manométricos a 20 oC y 101325Pa.
imperfecciones superficiales como rugosidad en el tubo o contaminantes dentro del líquido también
modificarán los efectos de la capilaridad a lo largo del tubo.
Para minimizar los efectos de la capilaridad se utilizan tubos de diámetros internos relativamente
grandes (8 a 12mm) y se eligen líquidos manométricos de baja tensión superficial. En ese sentido,
puede emplearse alcohol en tubos manométricos de diámetros menores (2 a 5mm) consiguiendo
buenos resultados. Sin embargo no debe perderse de vista que el alcohol tiene un coeficiente de
expansión térmica mayor que el agua o el mercurio por lo tanto las mediciones realizadas con este
líquido requerirán mayor control de la temperatura. Como usualmente sucede en los problemas de
ingeniería, la decisión final resultará de la ponderación de las ventajas y desventajas de cada una de
las alternativas disponibles. En la Tabla 3.1 se muestran las propiedades de los principales líquidos
manométricos utilizados en la práctica.
Manómetro en U
El manómetro en U es un tipo de manómetro de columna de líquido utilizado para medir
diferencia de presión. Este elemento consiste en dos tubos de vidrio verticales los cuales se conectan
a las respectivas tomas de donde quiere obtenerse la presión diferencial. Ya que la densidad del aire
es mucho menor que la del líquido manométrico, el valor de la diferencia de presión entre las dos
conexiones está dada por:
∆p = p1− p2 = ρlíqgh, (3.8)
donde ρlíq es la densidad del líquido y h la distancia entre los niveles de líquido en cada tubo del
manómetro (ver Figura 3.16).
La sensibilidad dh/d(p1− p2) del manómetro varía inversamente con la densidad del líquido
manométrico. A menor,densidad del líquido más sensible será el manómetro. Por otro lado, el
rango de presiones admisible está limitado por cuestiones prácticas, ya que manómetros de más
de 3m de altura son muy difíciles de manejar. En ese sentido, un manómetro en U provisto de
mercurio permitirá una presión diferencial máxima de alrededor de 4atm, mientras que si se utiliza
agua este rango se reduce a menos de 0,3atm. De esta manera queda claro cómo la sensibilidad del
manómetro se contrapone directamente con el rango de presión disponible en un manómetro en U.
En general el diámetro de los tubos de vidrio utilizados en la construcción de los manómetros no
es uniforme a lo largo de los mismos, por lo tanto el efecto de la capilaridad puede ser diferente en
cada tubo del manómetro. Esto implica que la diferencia de nivel h no puede medirse directamente
como la distancia entre los meniscos de cada tubo, sino que debe calcularse considerando el cambio
de altura de la columna de líquido en cada tubo. Una excepción a esta regla se da cuando se utilizan
tubos especialmente calibrados que garantizan la uniformidad del diámetro interno.
La precisión de los manómetros en U está dada entre otras cosas por la forma de realizar la
lectura. Si la altura de la columna de líquido se hace directamente a “ojo desnudo” se estima un
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3.2 Indicadores de presión 109
Figura 3.16: Manómetro en U.
error absoluto de 0,5mm. Debido a que se necesitan dos lecturas (una para cada tubo) para conocer
la diferencia de altura, el error estándar de un manómetro en U convencional puede asumirse de
entre 1 y 2mm de columna de líquido. Cuando se requiere una precisión mayor se implementan
dispositivos ópticos de lectura.
Una de las principales ventajas de la utilización de manómetros en U, y en general de cualquier
otro manómetro de columna de líquido, es que este instrumento puede usarse como elemento
primario de medición. Esto significa que no se requieren otros dispositivos para su calibración.
Dicha ventaja se extiende a la determinación de la velocidad del flujo, la cual se obtiene mediante
las lecturas del manómetro aplicando la formulación correspondiente sin necesidad de calibrar
el instrumento. La única corrección necesaria se debe a la influencia de la temperatura, cuya
variación afecta los niveles del fluido debido a los efectos de dilatación y contracción térmica. La
diferencia “real” de los niveles del líquido entonces estará dada por la relación entre la densidad
ρlíq,0, registrada a la temperatura T0, y la densidad ρlíq,1, correspondiente a la temperatura T1:
hreal = h1
ρlíq,1
ρlíq,0
, (3.9)
donde h1 es la lectura obtenida a la temperatura T1. La expresión anterior puede escribirse en
términos del coeficiente de expansión térmica β:
hreal = h1
1
1+β(T1−T0)
. (3.10)
Para mediciones de mayor precisión, en ocasiones también es necesario incorporar los efectos
de la temperatura sobre la escala o regla indicadora de nivel de líquido. En ese caso se considera el
coeficiente de dilatación lineal α del material de la regla de medición y las lecturas se corrigen de
acuerdo a la temperatura de referencia T0 a la cual el elemento fue grabado:
h0 = hreal [1+α(T1−T0)] . (3.11)
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110 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.17: Efecto sobre la medición de la presión en un manómetro en U por la presencia
de líquido en el tubo de conexión.
Otro aspecto a tener en cuenta es la correcta utilización de los conductos de conexión del
manómetro para prevenir posibles pérdidas de líquido manométrico que posteriormente influirán
en las lecturas. Esto sucede cuando la presión varía abruptamente y el líquido pasa del tubo al
conducto de conexión quedando atrapado en forma de sifón, tal como se muestra en la Figura 3.17.
La presencia de líquido en el tubo de conexión, la cual también puede darse por condensación,
reduce la diferencia de presión medida por el manómetro.
Manómetro de cuba
La necesidad de realizar dos lecturas, una para cada tubo, para obtener la diferencia de presión
en el manómetro en U constituye una de sus desventajas. Esto produce una disminución de
la precisión del instrumento asociada al hecho de las múltiples lecturas y además supone un
incremento de los tiempos de medición. El manómetro de cuba fue diseñado para evitar dicha
desventaja. Este dispositivo es básicamente un manómetro en U con uno de sus tubos de sección
transversal sustancialmente mayor que la sección transversal del otro (ver Figura 3.18). La toma
de “alta” presión actúa sobre el tubo de mayor sección (la cuba) y bajo la acción de esta presión el
líquido asciende por el tubo de menor diámetro. Si el incremento de altura en el tubo pequeño es
h1 y la depresión del nivel en la cuba es h2 (hacia abajo), la altura de la columna de líquido que
equilibra la diferencia de presión es
h = h1 +h2.
Naturalmente el volumen de líquido desplazado en la cuba, de sección transversal S2, es igual
al volumen de líguido que asciende en por el tubo de sección S1, por lo tanto
h2 = h1
S1
S2
.
Entonces la presión diferencial resulta
∆p = h1ρlíqg
(
1+
S1
S2
)
, (3.12)
La relación S1/S2 indica la variación de la altura en la cuba respecto a la del tubo. Para evitar
la necesidad de realizar cálculos adicionales la sección transversal de la cuba se escoge tal que
S1/S2 < 1/500, permitiendo de este modo despreciar los cambios en el nivel de la cuba, o en su
defecto, realizar escalas especiales de medición que compensen esta diferencia.
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3.2 Indicadores de presión 111
Figura 3.18: Esquema de un manómetro de cuba.
Micromanómetros de columna de líquido
Los micromanómetros de columna de líquido son básicamente manómetros de columna de
líquido más sensibles que permiten obtener diferencias de presión del orden de 1 a 500mm de
columna de agua con errores en el rango de las décimas a las milésimas de milímetro. Estos
instrumentos son necesarios cuando se requiere realizar mediciones de gran precisión o cuando las
diferencias de presión son pequeñas, como sucede en la medición de flujo de muy baja velocidad.
En ese sentido, por ejemplo para una corriente de aire de 10m/s la presión dinámica es de alrededor
de 6mm de columna de agua, mientras que para 1m/s esta presión se reduce a 0,06mm. Para medir
estas velocidades con una precisión del 1 %, el error del micromanómetro no deberá exceder los
0,12 y los 0,0012mm de columna de agua, respectivamente.
La sensibilidad de los micromanómetros se alcanza mediante el incremento del desplazamiento
del nivel del líquido por unidad de diferencia de presión, en relación a las paredes del tubo
manométrico. Además también se utilizan dispositivos ópticos especiales para aumentar la precisión
de las lecturas.
El método más simple para incrementar la relación entre el desplazamiento del menisco del
líquido manométrico y las paredes del tubo consiste en inclinar el tubo con respecto a la horizontal,
tal como se muestra en la Figura 3.19. Este tipo de dispositivos se conocen como Micromanómetros
de tubo inclinado y lectura directa, y en ellos la relación entre el desplazamiento del líquido dentro
del tubo y la diferencia de presión estará dada no sólo por la densidad del líquido manométrico sino
también por el ángulo de inclinación α:
∆p = `ρlíqg
(
sinα+
S1
S2
)
, (3.13)
siendo ` el desplazamiento del menisco medido paralelamente al tubo. Es así que la sensibilidad
del micromanómetro puede incrementarse simplemente a través de la inclinación del tubo.
Para evitar distorsiones producidas por la capilaridad, en los micromanómetros de tubo inclinado
suelen emplearse tubos calibrados de 1,5 a 3mm de diámetro y los micromanómetros están
equipados con niveladores que permiten asegurar la posición horizontal del instrumento, de modo
de determinar correctamente el ángulo de inclinación del tubo con respecto a la horizontal. Por
otro lado, estos micromanómetros requieren ser calibrados ya que la falta de rectitud de los tubos
manométricos,o variaciones del diámetro interno de los mismos a lo largo de su longitud que generan
cambios en la depresión del menisco por la capilaridad pueden causar errores significativos.
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112 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.19: Esquema de un micromanómetro de tubo inclinado.
Debe tenerse en cuenta que por el efecto de la capilaridad, existe un ángulo de inclinación
mínimo por debajo del cual ya no se consiguen mejoras en la precisión del instrumento. Este ángulo
dependerá de las propiedades del líquido manométrico y del diámetro del tubo, pero en términos
prácticos suele tomarse αmín ≈ 6 o.
El error causado por la capilaridad puede reducirse significativamente cuando se emplean
micromanómetros en los cuales el nivel del líquido manométrico se mantiene fijo en relación a
las paredes del tubo. Este principio es utilizado por los micromanómetros de tubo inclinado de
nivel constante. En estos instrumentos el tubo capilar inclinado se puede desplazar para alinear el
menisco del líquido manométrico con una línea que indica el nivel nulo. La posición a la cual el
menisco está alineado con esta línea se denomina la “posición cero” del instrumento. Cuando la
presión diferencial cambia el tubo inclinado se mueve mediante un tornillo micrométrico hasta
que el menisco quede nuevamente alineado con línea de nivel nulo. El desplazamiento se registra
mediante una regla indicadora para determinar finalmente la altura de la columna de líquido (ver
Figura 3.20-a).
Un segundo tipo de micromanómetros de tubo inclinado de nivel constante difiere del anterior
en la forma de desplazamiento. En este segundo caso el tubo manométrico está fijo y lo que se
mueve es la cuba, la cual se desplaza con la ayuda de un mecanismo micrométrico hasta que el
menisco quede alineado con la línea de referencia. De esta manera, el menisco puede observarse
con un microscopio estacionario permitiendo una precisión en las lecturas del orden de 0,03 a
0,05mm de columna de líquido (ver Figura 3.20-b).
Independientemente del tipo de micromanómetro utilizado, siempre deben tenerse en cuenta los
errores asociados al tiempo de respuesta del instrumento para registrar correctamente los cambios
en la diferencia de presión. En micromanómetros de cuba con tubos manométricos de diámetros
menores a 0,5mm el tiempo de transmisión puede ser del orden de decenas de segundos o incluso de
minutos. Este aspecto se hace más evidente para ángulos de inclinación pequeños del tubo, ya que
de esa manera aumenta el volumen de líquido desplazado y por ende el tiempo de establecimiento
de las lecturas. Esto implica que las mediciones en ocasiones requieren de largos períodos de tiempo,
lo cual a su vez puede incrementar la influencia de la temperatura. Por otro lado, la presencia de
fluctuaciones en el flujo, como sucede por ejemplo en el relevamiento de la capa límite, dificulta
considerablemente la realización de las lecturas debido a la falta de estabilización del nivel del
líquido.
Otros micromanómetros de columna de líquido menos difundidos que los anteriores son el
micromanómetro de tipo flotante o el micromanómetro de balanza, con el cual se logran mediciones
de muy alta precisión (para más detalles ver por ejemplo Gorlin y Slezinger (1966)).
Multimanómetros de columna de líquido
En muchos estudios experimentales en aerodinámica, más que la presión (o diferencia de
presión) en un punto lo que interesa conocer es la distibución de presión sobre una superficie
determinada. Esto significa que deben relevarse múltiples valores de presión en diversos puntos
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3.2 Indicadores de presión 113
Figura 3.20: Micromanómetros de tubo inclinado de nivel constante. (a) Tubo manométrico
desplazable. (b) Tubo manométrico fijo. 1. Tubo inclinado; 2. tornillo micromé-
trico; 3. escala para leer el número de vueltas del tornillo; 4. escala para leer el
ángulo de rotación del tornillo; 5. cuba; 6. y 7. tubos flexibles de conexión; 8.
dispositivo de visualización.
Figura 3.21: Esquema de un multimanómetro de columna de líquico típico.
para un mismo instante de tiempo. Naturalmente, esta tarea resultaría muy laboriosa si se utilizaran
los manómetros “individuales” detallados en las secciones anteriores, por lo tanto se recurre a los
llamados multimanómetros.
Un multimanómetro es básicamente un manómetro de columna de líquido con varios tubos
manométricos que se conectan a las diferentes tomas de presión para obtener las lecturas utilizando
generalmente el mismo principio que el manómetro de cuba. En la Figura 3.21 se muestra un
esquema de esta configuración, en la cual el multimanómetro permite conocer la diferencia de
presión entre una presión p y diferentes presiones pi. La cuba y los tubos de los extremos se
encuentran sometidos a la presión p, mientras que los tubos interiores se conectan a las diferentes
tomas de donde se quieren establecer las diferencias de presión.
En la Figura 3.22 se muestra un típico multimanómetro de cuba diseñado para medir presiones
correspondientes a una altura de columna de líquido de 2 a 3m. Para evitar la curvatura de los tubos
manométricos y garantizar una rectitud adecuada de los mismos, los tubos son colocados dentro de
un alojamiento o ranura realizados en una cubierta de protección, la cual preferentemente se realiza
de material transparente como el Plexiglás. De esta manera se facilitan las lecturas utilizando luz
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114 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.22: Vista de un micromanómetro de columna de líquido convencional.
posterior (retroiluminación).
La parte inferior de los tubos del multimanómetro se conecta mediante conexiones de goma o
plástico a un tubo colector que se extiende en todo el ancho del instrumento y que se encuentra
conectado al centro de la cuba. La altura de la cuba se regula de modo de poder ajustar la posición
del nivel de líquido en los tubos manométricos, el cual se busca posicionar en el nivel cero. Sin
embargo, debido a los efectos de capilaridad y a variaciones en los diámetros internos de los tubos,
por lo general existen diferencias en los niveles de cada tubo por lo que las lecturas deben hacerse
considerando la posición inicial de cada uno de ellos. La parte superior de los tubos manométricos
se conecta a las tomas de presión de donde quieren relevarse las diferencias de presión a través de
tubos flexibles y conectores adecuados. Finalmente, para evitar la necesidad de incorporar el efecto
de cambio de altura en la cuba, estos instrumentos suelen disponer de recipientes suficientemente
grandes como para que la relación entre la sección total de los tubos manométricos y la sección de
la cuba permita despreciar el cambio de nivel en esta última. Esto es especialmente importante en
multimanómetros de gran cantidad de tubos (más de 20) que además tengan diámetros internos
relativamente grandes (de 8 a 10mm).
Con el objetivo de incrementar la precisión de las mediciones suelen utilizarse multimanómetros
de tubo inclinado cuyo principio de funcionamiento es el mismo que el de los micromanómetros
de columna de líquido. En general, estos multimanómetros admiten alturas de columna de líquido
de hasta 600 a 700mm y su configuración es similar a la de los multimanómetros de tubo recto,
incorporando un mecanismo que permite rotar todo el conjunto de tubos manométricos, el colector
y el panel indicador.
Amortiguamiento de pulsaciones en manómetros de columna de líquido
Las presiones a medir en diferentes ensayos aerodinámicos en general no son estacionarias
sino que tienen un carácter fluctuante alrededor de un valor medio. La amplitud y la frecuencia de
estas fluctuaciones depende, además del problema en cuestión, del diseño y del tipo de instalación
utilizada. Naturlamente, las oscilaciones de las columnas de líquido en los tubos manométricos
causadas por las fluctuaciones del flujo reduce la precisión de las mediciones, por lo tanto a veces
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3.2 Indicadores de presión 115
es necesario introducir mecanismos de amortiguamiento que permitan disminuir estos efectos.
Existen tres tipos de amortiguamiento presentes en manómetros de columna de líquido: vo-
lumétrico, inercial y resistivo. El amortiguamiento volumétrico se da en manómetros cuando se
reguieren grandes cambios de volumen para medir pequeños cambios de diferencia de presión,
como por ejemplo en manómetros con tubos de diámetros grandes. El amortiguamiento inercial
está asociado a la masa del líquido manométrico, cuya inercia se opone al movimiento previnien-
do desplazamientos bruscos del fluido causados por pulsos repentinos de presión. Este tipo de
amortiguamiento es más importante cuando se emplean líquidos manométricos “pesados”.
El amortiguamiento resistivo se debe a mecanismos disipativos propios del sistema los cuales
generan una “resistencia” al movimiento, limitando la velocidad del líquido manométrico o del
gas dentro de la conexión que va desde la toma de presión hasta el manómetro (línea neumática).
Este tipo de amortiguamiento es muy efectivo para reducir las fluctuaciones del nivel del líquido y
además puede controlarse de manera sencilla a través de distintos métodos, buscando por lo general
que el amortiguamiento sea lineal, es decir proporcional a la velocidad del líquido manométrico. El
amortiguamiento viscoso se comporta linealmente y su efecto puede incrementarse sencillamente
por la introducción de un tubo capilar en la línea neumática, teniendo en cuenta que longitudes
excesivas de este tubo producirán un aumento considerable en el tiempo de respuesta del instrumento.
Otra solución posible es colocar, también en la línea neumática, pequeñas almohadillas de algodón
o goma espuma. Por otro lado, un amortiguamiento no lineal se produce por ejemplo cuando se
realizan estrangulamientos en la sección de la línea neumática.
3.2.2 Transductores de presión
De manera general, un transductor puede definirse como un dispositivo que al ser excitado por
la energía proveniente de un sistema, suministra energía (en alguna forma) a otro sistema. En el
caso particular de los transductores de presión, ellos son esencialmente elementos elásticos que
convierten la energía del sistema de presión en estudio en un desplazamiento o esfuerzo mecánico
que se transmite al sistema de medición. De acuerdo a la forma en que se procesa la medición
los transductores de presión pueden ser mecánicos, cuando el sistema de medición consiste en
un dispositivo mecánico que traduce deformaciones y desplazamientos a un valor de presión, o
eléctricos, cuando el esfuerzo producido por la presión en el elemento elástico se transforma en
señales eléctricas que son traducidas a valores de presión.
Transductores de presión mecánicos
Existen diferentes tipos de transductores de presión mecánicos, algunos de los cuales hemos
presentado en los párrafos anteriores, ya que los manómetros de columna de líquido constituyen un
tipo de transductor de presión mecánico (el desplazamiento del líquido manométrico es elemento
que se desplaza frente a los cambios de presión). Otros transductores de presión mecánicos utilizan
resortes, fuelles, diafragmas u otros elementos elásticos calibrados para transmitir el valor de
presión a la escala indicadora.
El transductor de presión basado en el tubo de Bourdon es probablemente uno de los más
conocidos ya que es la base de muchos tipos de manómetros aneroides. En este dispositivo el
elemento elástico es un tubo de pequeño volumen que se encuentra fijado en uno de sus extremos
que está abierto para recibir la presión aplicada. El otro extremo es libre de moverse y está cerrado
de modo de permitir el desplazamiento producido por la diferencia de presión que existe a entre
el interior y el exterior del tubo. En la configuración más común, el tubo es de sección ovalada y
se dispone en forma de un arco circular. Bajo la acción de la presión la sección del tubo tiende a
hacerse circular y el tubo tiende a enderezarse incrementando el radio del arco de círculo, por lo
que el extremo cerrado del tubo, que está libre, rota un determinado ángulo cuya magnitud depende
de valor de la presión. El movimiento del extremo libre es transmitido mecánicamente a un dial
indicador, tal como se muestra en la Figura 3.23.
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116 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.23: Esquema de funcionamiento de un manómetro basado en el tubo de Bourdon.
La presión de referencia en la cámara que contiene el tubo de Bourdon es generalmente la
presión atmosférica, por lo que la presión indicada es una presión manométrica. En el caso de
que la cámara se encuentre sellada el manómetro podrá medir presión absoluta. Los manómetros
basados en el tubo de Bourdon permiten medir grandes rangos de presión con una incertidumbre de
calibración del orden del 0,1 % de la lectura. Por otro lado, en algunos casos el tubo de Bourdon
es utilizado en conjunto a algún elemento piezoeléctrico que permite transmitir eléctricamente la
magnitud de la deformación del tubo, lo cual evita la necesidad de generar grandes desplzamientos
del extremo libre para indicar presiones elevadas.
Otra alternativa utilizada como elemento elástico en los transductores de presión son cámaras
o cápsulas flexibles similares a fuelles. cuya deformación se transmite mecánicamente a un dial
indicador de manera similar al caso del tubo de Bourdon. En estos casos el fuelle se coloca dentro
de una cámara que se encuentra sometida a la presión que se pretende medir y el extremo abierto
del fuelle recibe la presión atmosférica. De esta forma, el el elemento se expandirá o contraerá
dependiendo de la presión aplicada, transmitiendo su deformación a la escala indicadora. Un
funcionamiento similar al de los fuelles se logra por medio de diafragmas, que son otro tipo de
elementos elásticos utilizados en transductores de presión mecánicos. A diferencia de los anteriores,
los diafragmas presentan una forma más achatada, parecidos a discos o platos, los cuales son
dispuestos de a pares formando una cápsula elástica que se dispone instrumentos de alta precisión.
Este tipo de configuraciones suelen utilizarse en los baroaltímetros empleados en los aviones.
Transductores de presión eléctricos
Los transductores de presión eléctricos han alcanzado gran popularidad en las últimas déca-
das gracias al desarrollo de dispositivos cada vez más precisos y a la facilidad de instalación y
transmisión de datos que significa el trabajo con señales eléctricas en lugar de líneas neumáticas.
Además, estas señales eléctricas pueden ser amplificadas, filtradas y almacenadas. Los transductores
de presión eléctricos pueden clasificarse como activos o pasivos. En el primer grupo el mismo
transductor es quien genera su propia señal eléctrica en función del desplazamiento mecánico de su
elemento elástico, mientras que en el segundo caso debe proveerse una señal eléctrica auxiliar la
cual es modificada debido al cambio en la impedancia que sufre el elemento elástico al deformarse.
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3.3 Túneles de viento 117
En los transductores de presión eléctricos activos de uso común se utiliza un elemento pie-
zoeléctrico para transmitir eléctricamente la señal de presión. En un material piezoeléctrico los
cristales que conforman su estructura producen una diferencia de potencial eléctrico cuando son
tensionados en la dirección adecuada. Algunos materiales de comportamiento piezoeléctrico son
el cuarzo, el titanato de bario o el titanato de circonio. Teniendo en cuenta estas propiedades,
los sensores de presión basados en este principio son diseñados de manera tal que el elemento
activo tenga la geometría cristalina orientada para entregar la máxima respuesta piezoeléctrica en
la dirección deseada con una pequeña o nula respuesta en otras direcciones. Los transductores de
presión piezoléctricos suelen emplearse para medir la presión en problemas fluctuantes o de corta
duración, como sucede en algunos ensayos,aerodinámicos de alta velocidad. Cabe destacar que
además de sus ventajas, los sensores de presión piezoléctricos pueden resultar difíciles de calibrar.
Entre los transductores de presión eléctricos pasivos sin dudas los más utilizados son los de
resistividad o resistencia variable. Entre ellos podemos destacar los de tipo strain gauge, los cuales
son elementos eléctricos que utilizan la propiedad de que la resistividad eléctrica de un cable
varía con su longitud. Entonces la elongación de estos elementos producida por la acción de la
presión provoca cambios eléctricos que pueden ser medidos y calibrados en unidades de presión.
Los transductores de presión eléctricos pasivos de tipo potenciométricos operan bajo el principio
de contactos movibles similares a los que utilizan los reóstatos o potenciómetros tradicionales.
Por otro lado, existen transductores pasivos basados en el principio de capacitancia variable, en
los cuales el elemento flexible suele ser un diafragma metálico cuyas caras funcionan como un
capacitor eléctrico que al deformarse varía su capacitancia. Finalmente, otros dispositivos más
complejos son los transductores de tipo transformador diferencial variable lineal (LVDT) o los de
tipo de reluctancia variable.
3.3 Túneles de viento
El estudio experimental de los efectos del viento relativo sobre cuerpos sólidos puede abordarse
de dos formas diferentes: impartiendo una velocidad al cuerpo con respecto al aire en reposo o
generando una corriente de aire sobre el cuerpo en reposo. En la primera metodología podríamos
incluir a los experimentos (o ensayos) en vuelo, ensayos de caída libre, vuelos de modelos a
escala, ensayos balísticos, etc. Aunque algunos de estos métodos son necesarios por ejemplo en
las etapas finales de un desarrollo aeronáutico, ellos conllevan una serie de desventajas asociadas
principalmente a la realización de mediciones y la repetibilidad de los ensayos. Dentro de la
segunda categoría podemos incluir a los ensayos en túneles de viento los cuales permiten ajustar las
condiciones del flujo de aire que se imparte al modelo en un ámbito más controlado y preparado
para la experimentación científica. Por este motivo, la utilización de túneles de viento constituye la
forma más rápida, segura y confiable oara ek estudio experimental de problemas de Aerodinámica.
Si bien existen diversos tipos de túneles de viento que pueden ser clasificados de acuerdo a
diferentes criterios y cuyas características están asociadas directamente a las particularidades de las
aplicaciones para las que fueron construidos, la siguiente definición puede asumirse válida para la
gran mayoría de estos dispositivos.
Definición 3.1 — Túnel de viento. Se define como túnel de viento o túnel aerodinámico a un
dispositivo que permite obtener una corriente de aire estacionaria, rectílinea y uniforme que
circula a una velocidad determinada en uno de sus componentes.
El elemento del túnel en el cual se obtiene la corriente de aire con las características mencionadas
se denomina cámara de ensayo (o de trabajo) y es allí donde se coloca el modelo a ser evaluado.
Justamente la velocidad del aire que es capaz de alcanzarse en la cámara de ensayo es uno de
los criterios más utilizados para clasificar los distintos tipos de túneles de viento. Otros aspectos
que suelen utilizarse para hacer esta clasificación consideran la forma de funcionamiento o el
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118 Capítulo 3. Análisis experimental
Clasificiación de
túneles de viento

Velocidad en la
cámara de ensayo

Subsónico
{
Baja velocidad (V . 100m/s)
Alta velocidad (Mach. 0,8)
Transónico (0,8.Mach. 0,8)
Supersónico (1,4.Mach. 4)
Hipersónico (Mach > 4)
Forma de funcionamiento
{
Continua
Intermitente
Tipo de circuito
{
Circuito abierto
Circuito cerrado
Uso específico

Uso no aeronáutico
Densidad variable
Visualización de flujo
Bajo número de Reynolds
Baja turbulencia
Otros
Figura 3.24: Clasificación general de túneles de viento.
uso específico de los túneles. Un resumen de los diferentes tipos de túneles puede verse en la
Figura 3.24.
A pesar de que una gran parte de los aviones de la actualidad se desplazan a velocidades
largamente superiores al límite de incompresibilidad, el estudio del flujo a bajos números de Mach
es todavía de gran importancia no sólo en problemas de aerodinámica no aeronáutica, como ser
la aerodinámica industrial, el diseño de vehículos terrestres o el análisis del efecto del viento en
estructuras civiles, entre otros; sino que aún son necesarios en ciertas aplicaciones aeronáuticas
como el estudio de maniobras de baja velocidad. Además, las correcciones por compresibilidad
permiten extrapolar los resultados obtenidos en régimen de flujo incompresible a condiciones
de flujo subsónico compresible. Por otro lado, desde el punto de vista didáctico, los túneles de
viento de baja velocidad constituyen una herramienta muy importante para iniciar a las personas
en la compleja disciplina de la experimentación aerodinámica. Este tipo de túneles son de una
construcción relativamente simple y económica cuando presentan dimensiones pequeñas y la
potencia necesaria para su funcionamiento también suele ser reducida, haciendo que su costo de
operación pueda ser afrontado por instituciones educativas o desarrolladores más pequeños. De
esta forma, a través del estudio de los túneles de viento de baja velocidad es posible asimilar los
fundamentos más importantes del análisis aerodinámico experimental.
Naturalmente, para el estudio de proyectos aeronáuticos de gran envergadura, será necesario
contar con instalaciones capaces de garantizar la correcta verificaciónd de las condiciones de
similitud entre el problema real y el experimento. Es así que las grandes empresas aeronáuticas y
los centros de investigación de primer nivel requieren de laboratorios de aerodinámica de grandes
proporciones cuyas potencias de funcionamiento pueden alcanzar cientos de megavatios. Sin
embargo, a pesar de las “diferencias de escala”, las técnicas de medición de fuerzas, presiones y
velocidades como así también lo referido a la preparación del modelo y las consideraciones del
ensayo tienen muchos puntos en común con la experimentación en túneles de baja velocidad.
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3.3 Túneles de viento 119
Figura 3.25: Esquema de un túnel de viento subsónico de circuito abierto.
3.3.1 Túneles de viento subsónicos
Los túneles de viento subsónicos de baja velocidad son aquéllos donde la velocidad en la
cámara de ensayo no excede los 100m/s aproximadamente, por lo tanto el flujo se encuentra en
régimen incompresible4. En este tipo de túneles, y también en los túneles de viento subsónicos en
general, el movimiento del aire se logra mediante la acción de un ventilador que junto a una serie
de componentes permiten obtener una corriente estacionaria, rectilínea y uniforme en la cámara de
trabajo.
Los túneles de viento subsónicos se clasifican de acuerdo a diferentes criterios. Entre ellos, el
aspecto más importante es su esquema de funcionamiento pudiendo ser de circuito abierto o de
circuito cerrado. En el primer caso no existe un conducto físico que garantice la recirculación de la
masa de aire que pasa a través de la cámara de ensayo, sino que el retorno es abierto. Contrariamente,
en el esquema de circuito cerrado se dispone un conducto por medio del cual el aire a la salida
del túnel se direcciona hacia la entrada del mismo para producir un retorno cerrado. Más allá de
estas diferencias, los túneles de viento subsónicos comparten la mayoría de los componentes, los
cuales presentan geometrías similares en uno u otro caso y cumplen las mismas funciones. En
la Figura 3.25 se muestra el esquema de un túnel de viento de circuito abierto y se indican sus
componentes principales, los cuales se describen a continuación.
Cámara de tranquilización
La cámara de tranquilización o straightener de un túnel de,viento es una región en la cual se
busca uniformizar el flujo que ingresa al túnel eliminando la turbulencia de gran escala que pudiera
existir. Para este propósito se dispone una serie de grillas y paneles de pared delgada, mallas de
finos alambres y otros tipos de elementos que tienden a encauzar el flujo en dirección paralela al
eje del túnel.
Existen múltiples configuraciones de cámaras de tranquilización. En algunos casos se prefiere
colocar combinaciones de paneles de pared delgada con mallas de alambre, en otros se emplean
solamente mallas de alambres finos combinadas con mallas más gruesas, etc. Más allá de la configu-
ración particular, es importante que esta región del túnel de viento no produzca una excesiva pérdida
de carga, ya que una cámara de tranqulización “demasiado frondosa” repercutirá negativamente
en la eficiencia de la instalación. En la Figura 3.26 se muestran algunos ejemplos de cámaras de
tranquilización utilizadas habitualmente.
Convergente
El convergente, también llamado colector, es probablemente el componente más crítico de un
túnel de viento subsónico. Su función es la de acelerar el flujo de aire que proviene de la cámara de
tranquilización y conducirlo a la cámara de ensayo a la velocidad requerida. Esta aceleración se
4Considerando que la velocidad del sonido para condiciones “normales” es del orden de los 340m/s, por lo tanto
Mact . 0,3.
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120 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.26: Vista de una cámara de tranquilización (izquierda). Combinación de mallas de
distinto tamaño y paneles de pared delgada (derecha).
logra mediante la disminución del área del convergente en la dirección del flujo, lo cual de acuerdo
al principio de conservación de la masa (ver Sección 1.2.2) produce el aumento de la velocidad aún
cuando exista algún grado de compresibilidad (siempre que el flujo sea subsónico).
La geometría del convergente se define considerando la magnitud de la velocidad a la salida y
a la entrada del mismo, el nivel de turbulencia de la corriente y las pérdidas de energía del flujo
ocasionadas por la fricción viscosa. El parámetro más importante del convergente es su relación de
contracción, el cual indica la relación entre el área de entrada y el área de salida del elemento:
ηconv =
Ain
Aout
. (3.14)
Naturalmente, la aceleración total del flujo a través del convergente será una función directa de
la relación de contracción ηconv, por lo que la reducción del área estará dada por la diferencia
entre la velocidad requerida en la cámara de ensayo y la velocidad a la salida de la cámara de
tranquilización, la cual suele estar en el orden de los 10 a 25m/s para evitar pérdidas excesivas de
energía.
La variación de la velocidad dentro del convergente es un aspecto que debe ser cuidadosa-
mente estudiado. Contracciones demasiado bruscas que produzcan fuertes aceleraciones no son
aconsejables ya que generan grandes pérdidas de carga y flujo poco uniforme. Contracciones
demasiado suaves aumentan considerablemente las dimensiones del convergente y favorecen un
desarrollo mayor de la capa límite y eventualmente su transición turbulenta. De este modo, la
experiencia ha mostrado que una solución de compromiso entre ambas situaciones se alcanza
utilizando convergentes con una relación de contracción de 1,5 a 2,5 entre el diámetro de entrada y
el diámetro de salida del convergente. Por otro lado se recomienda colocar una región de sección
constante entre la cámara de ensayo y la salida del convergente de entre 0,1 y 0,2 veces el diámetro
de salida del mismo para ayudar a la uniformización del flujo. En cuanto al perfil de variación del
diámetro, existen diferentes curvas que fueron determinadas con el objetivo de reducir las áreas
de flujo separado. Teniendo en cuenta que la transición entre la cámara de tranquilización y el
convergente y entre este elemento y la cámara de ensayo debe ser suave, es de práctica común
utilizar la siguiente expresión para la variación del radio del convergente entre su valor máximo (de
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3.3 Túneles de viento 121
entrada) Rin y su radio mínimo (de salida) Rout:
R(x) = Rin
1−
[
1−
(
Rin
Rout
)2] [1−3( x`c)2]2[
1+3
(
x
`c
)2]3

−1/2
. (3.15)
donde `c es la longitud del convergente, la cual suele fijarse entre dos y cuatro veces el radio de
entrada.
Cámara de trabajo
La cámara de trabajo o cámara de ensayo es el elemento central de un túnel de viento el cual
se encuentra a continuación del convergente. En esta sección es donde efectivamente se llevan
a cabo los ensayos aerodinámicos por lo tanto la calidad de los experimentos estará relacionada
directamente con las características del flujo dentro de la misma. Como hemos visto previamente,
en los ensayos aerodinámicos convencionales se requiere que el flujo dentro de la cámara de ensayo
sea rectílineo, estacionario y uniforme de modo de poder recrear las condiciones reales mediante la
modelización experimental.
Las dimensiones de la cámara de ensayo y la velocidad del flujo dentro de la misma son los
parámetros que definen un túnel de viento, ya que estas características indican la capacidad del túnel
para alcanzar determinadas condiciones de similitud. En ese sentido, las dimensiones geométricas
de la cámara, fundamentalmente su sección transversal, definen la escala de longitud disponible
para un determinado modelo, mientras que la velocidad del flujo determina el número de Reynolds
y el número de Mach factibles de ser alcanzados. La cámara de trabajo en un túnel de viento
subsónico puede tener una sección de unos pocos centímetros cuadrados a varios cientos de metros
cuadrados con números de Reynolds que pueden llegar a ser del orden de 107. Por otro lado, las
cámaras de ensayo presentan diferentes configuraciones pudiendo ser de tipo cerrada, abierta o de
paredes ranuradas. En el primer caso, la cámara de ensayo se encuentra delimitada por contornos
sólidos que naturalmente impiden el flujo desde o hacia su interior en dirección lateral. En este tipo
de cámaras debe tenerse en cuenta el crecimiento de la capa límite en dirección del flujo, ya que
esto reduce progresivamente el área de ensayo disponible5. También debe considerarse la posible
distorsión de las líneas de corriente generadas por la presencia de las paredes sólidas y el grado de
bloqueo del ensayo, el cual cuantifica la reducción de la sección transversal de la cámara de ensayo.
Esta reducción produce la aceleración del flujo de acuerdo a la ley de conservación de la masa
y consecuentemente una caída de presión que puede ser más o menos importante dependiendo
del nivel de bloqueo que produce el modelo. Por el contrario, una cámara de ensayo abierta no
se encuentra físicamente delimitada y entonces la capa límite no se desarrolla en ella ni existe
una reducción sustancial del área de pasaje del flujo. Sin embargo, existen otros inconvenientes
asociados con distorsiones en el flujo que se ocasionan por la “descarga” del convergente a una
región abierta alterando la estacionariedad y la rectitud de las líneas de corriente. Por estos motivos,
en general las cámaras de trabajo cerradas producen un flujo de mejor calidad que las abiertas.
Por último, en las cámaras de ensayo de paredes ranuradas se busca principalmente minimizar los
efectos del bloqueo y en alguna medida el crecimiento de la capa límite que están presentes en las
cámaras cerradas sin que se generen las distorsiones del flujo de las cámaras abiertas. Para ello se
disponen ranuras en dirección de la corriente sobre las paredes para permitir un cierto grado de
flujo lateral y “absorber” la capa límite. Además de estos casos, existen cámaras de ensayo mixtas
que permiten remover las paredes de una cámara de ensayo cerrada para transformarla en abierta y
viceversa (cámaras de ensayo convertibles).
5La región disponible para el ensayo es aquella donde no se registran gradientes de velocidad, por lo tanto debe
excluirse la capa límite.
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122 Capítulo 3. Análisis experimental
Difusor
El difusor es el componente del túnel de viento que se encuentra a continuación de la cámara de
ensayo. Su función principal es la de reducir la velocidad del flujo convirtiendo la energía cinética
de la corriente en energía de presión. Para ello, el difusor tiene una geometría en la que su sección
transversal se incrementa gradualmente en dirección del flujo, de modo que la velocidad decrece
de acuerdo a la ley conservación de la masa. Con esta reducción de velocidad se logran disminuir
las pérdidas por fricción del túnel de viento, algo especialmente importante en túneles de circuito
cerrado.
El parámetro característico de un difusor es su relación de expansión, que se define de manera
similar a la relación de contracción del convergente:
ηdif =
Ain
Aout
. (3.16)
Naturalmente, en este caso será ηdif < 1 ya que en un difusor el área de entrada es siempre menor
que el área de salida.
El rendimiento de un difusor dependerá directamente de la relación de expansión y de la
geometría del elemento. En general existe una variación lineal del diámetro del difusor la cual
está definida por el ángulo de divergencia que es el parámetro geométrico más importante. En
ese sentido, una divergencia pequeña requiere una mayor longitud del difusor para alcanzar una
relación de expansión dada, por lo que las pérdidas por fricción se incrementarán y las pérdidas
por expansión disminuirán. Por otro lado, una divergencia grande implica una longitud menor con
menores pérdidas por fricción, pero las pérdidas por expansión se incrementarán. De acuerdo a
la experiencia, se establece que un ángulo de divergencia de entre 6o y 7o produce una relación
óptima entre las pérdidas por fricción y por expansión, minimizando las pérdidas totales del difusor.
Grupo propulsor
El movimiento del aire a través de la cámara de ensayo en túneles de viento subsónicos
convencionales se produce por la acción de uno o más ventiladores, los cuales están provistos por
hélices de una o dos etapas propulsadas generlamente por motores eléctricos. De esta manera, la
velocidad del flujo se controla a través de la velocidad de rotación de las hélices y la potencia
eléctrica requerida por la instalación dependerá fundamentalmente de la velocidad del aire en la
cámara y de la sección transversal de la misma, tal como veremos más adelante.
Desde el punto de vista del sistema propulsivo, los túneles de viento subsónico pueden clasifi-
carse por la cantidad de hélices (o ventiladores) que posee la instalación y por la ubicación de las
mismas en relación a la cámara de ensayo. Así, cuando el o los ventiladores se ubiquen corriente
arriba del convergente y de la cámara de tranquilización, el grupo propulsor estará “empujando”
el aire hacia la cámara de ensayo y se dice que el sistema es del tipo impulsor. Por el contrario,
cuando la o las hélices se encuentren ubicadas a continuación del difusor, aguas abajo de la cámara
de ensayo, el efecto del sistema propulsivo es de “aspirar” el aire desde la cámara de trabajo y se
dice que la configuración es de tipo aspirante (como el esquema mostrado en la Figura 3.25).
La principal limitación de un túnel de viento impulsado por medio de hélices se da por la
velocidad de rotación de las mismas ya que deben considerarse los efectos de compresibilidad. En
ese sentido, la condición crítica se produce sobre las punteras de las hélices donde se registra la
velocidad máxima, la cual debe limitarse de modo de no producir flujo supersónico en algún punto
del perfil que compone la hélice. Esta limitación exige que la velocidad de la puntera sea tal que
Vtip . 200m/s, lo cual supone una restricción ya sea para la velocidad de rotación de la hélice o
para el diámetro de la misma (Vtip = ωRhélice).
A diferencia de los túneles de viento subsónicos, los túneles de viento transónicos y supersónicos
utilizan compresores generalmente axiales de varias etapas para comprimir el aire en un recinto que
descarga el fluido a través del túnel de viento, alcanzando así las condiciones de flujo requeridas en
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3.3 Túneles de viento 123
Figura 3.27: Esquema de un túnel de viento de circuito abierto en una configuración tipo
impulsor sin difusor.
la cámara de trabajo. En estos casos el funcionamiento puede ser intermitente o discontinuo, es
decir que el ensayo se realiza mientras dura la descarga, o puede ser continuo cuando se dispone
de compresores con la capacidad suficiente. En algunas configuraciones de túneles de viento
supersónicos se utilizan cámaras de vacío que se conectan a la salida del difusor. En estos casos el
flujo se genera por el ingreso del aire a una cámara a la cual se le ha practicado el vacío previamente,
lo cual permite evitar la necesidad de trabajar con recipientes sometidos a altísimas presiones con
el riesgo que ello conlleva.
3.3.2 Túnel de viento de circuito abierto
Como su nombre lo indica, los túneles de viento de circuito abierto se caracterizan porque el
movimiento del aire a través de los mismos se produce principalmente en una sola dirección y no
existe un conducto físico para la recirculación del flujo desde la salida hasta la entrada del túnel.
Este tipo de túneles de viento se conocen también como túneles de viento de Eiffel o de retorno
abierto. En la Figura 3.25 se muestra un esquema de este tipo de instalaciones.
Como toda solución de ingeniería, los túneles de viento de circuito abierto cuentan con una serie
de ventajas y desventajas que deben ser evaluadas a la hora de llevar a cabo un proyecto determinado.
Probablemente su principal ventaja sea su construcción relativamente simple y económica frente
a la alternativa de circuito cerrado. En ese sentido, este tipo de túneles utilizan únicamente los
componentes que detallamos anteriormente, es decir la cámara de tranquilización, el convergente,
la cámara de esayo, el difusor y el grupo propulsor, lo cual simplifica su construcción ya que no se
necesitan elementos adicionales que además puedan requerir cuidadosos análisis aerodinámicos.
Por otro lado, en configuraciones de tipo impulsor, es posible prescindir del difusor al disponer la
descarga de la cámara de ensayo directamente a la atmósfera, reduciendo así el tamaño total de la
instalación y su costo de construcción. Una configuración de este tipo se muestra en la Figura 3.27.
Como contrapartida a las ventajas constructivas de los túneles de viento de circuito abierto,
se presentan una serie de desventajas asociadas fundamentalmente a la calidad del flujo en la
cámara de ensayo, la cual en general es menor que en los túneles de circuito cerrado. Esto se
debe a que el funcionamiento del túnel produce circulación secundaria en los laterales del mismo,
generando distorsiones excesivas del flujo a la entrada del convergente cuando el túnel se encuentra
instalado en un recinto cerrado. Por otro lado, si el túnel se opera a la intemperie, las condiciones
climáticas (presencia de viento) pueden afectar considerablemente la calidad del flujo, especialmente
en configuraciones de cámara de trabajo abierta, lo cual imposibilita la realización de ensayos
aerodinámicos cuando las condiciones climáticas son adversas. Esto hace que se prefieran las
instalaciones en el interior, aunque de esta manera las dimensiones máximas del túnel resultarán
limitadas por el tamaño del recinto disponible para su emplazamiento. En cuanto a las características
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124 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.28: Esquema de un túnel de viento de circuito cerrado de retorno simple.
constructivas, si bien estos túneles son más fáciles de construir, ellos requieren mayor espacio físico
para su instalación y además consumen mayor potencia eléctrica que los túneles de circuito cerrado
bajo las mismas condicionies de flujo, ya que en un circuito abierto no es posible “recuperar” la
energía cinética del aire que abandona el difusor. Además, los túneles de viento de circuito abierto,generan mucho más ruido haciendo que la contaminación sonora sea un factor a tener en cuenta
cuando se evalúa el lugar de instalación.
Por otro lado, como ventajas adicionales a la economía y sencillez constructiva, los túneles de
viento de circuito abierto en general no necesitan sistemas de enfriamiento o de control de la capa
límite, a la vez que permiten la incorporación de contaminantes al flujo de aire, tales como humo o
algún colorante, para realizar por ejemplo ensayos de visualización de flujo.
3.3.3 Túneles de viento de circuito cerrado
Alternativamente al esquema de funcionamiento de circuito abierto, los túneles de viento
pueden ser de circuito cerrado o retorno cerrado. Como su nombre lo indica y hemos mencionado
previamente, la configuración de circuito cerrado implica la existencia de un conducto físico que
direcciona el flujo desde la salida del difusor hacia la entrada del convergente de modo que el aire
se mueve en un circuito cerrado constituido por el túnel mismo y el conducto de retorno. En la
Figura 3.28 se muestra el esquema de un túnel de viento de circuito cerrado con retorno simple (un
solo conducto de retorno).
Naturalmente, los túneles de viento de circuito cerrado son más difíciles de construir y requieren
una mayor inversión económica. Esto se debe no sólo a la necesidad de colocar el conducto de
retorno, sino fundamentalmente a la presencia de los codos dispuestos para producir la desviación
del flujo nuevamente hacia la sección de entrada. Esto requiere un estudio adicional para evaluar el
efecto de los cambios de dirección de la corriente en la calidad del flujo en la cámara de ensayo.
Aunque codos más “redondeados” sin dudas tendrán un mejor desempeño desde el punto de vista
aerodinámico, ellos resultan extremadamente difíciles de construir en túneles de viento de grandes
dimensiones y además repercuten en el tamaño total de la instalación. Por estos motivos, muchas
veces es preferible utilizar codos a 90o, como en el caso de la Figura 3.28, a los cuales se les
coloca una serie de álabes que direccionan la corriente y evitan la formación de componentes de
velocidad no deseadas (por ejemplo flujo helicoidal), actuando como una serie de múltiples codos
más pequeños y más redondeados. La uniformización del flujo se logra por medio de un diseño
correcto de la cámara de tranquilización evitando producir excesivas pérdidas de carga en el flujo
de aire. De este modo es posible obtener muy buena calidad del flujo en la cámara de ensayo, en
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3.3 Túneles de viento 125
general superior a la que se obtiene en un túnel de circuito abierto ya que no existen componentes
externas de velocidad que alteren la corriente. Por otro lado, ya que la energía cinética del flujo
se recupera casi totalmente más allá de las pérdidas por fricción, los túneles de viento de circuito
cerrado requieren menor potencia eléctrica para funcionar bajo las mismas condiciones de flujo que
un túnel de circuito abierto, pudiendo además operar a la intemperie sin complicaciones derivadas
de la situación climática y producen mucho menor impacto ambiental en cuanto a contaminación
sonora.
Como contraparte a la mejor calidad de flujo y la menor potencia consumida traducida en un
menor costo de operación, los túneles de viento de circuito cerrado son más costosos de construir
y en general no permiten la incorporación de contaminantes durante la experimentación a no ser
que posean sistemas de purgado que permitan extraer el contaminante del circuito. Por otro lado,
el desarrollo de la capa límite es un tema muy importante que debe estudiarse cuidadosamente,
especialmente para evitar el desprendimiento de la misma en la región de los codos, lo cual generaría
un excesivo nivel de turbulencia. Además, cuando se realizan ensayos de larga duración o cuando
las velocidades del flujo son relativamente altas, debe considerarse el calentamiento producido por
la fricción del fluido sobre las paredes del túnel. Por este motivo, los túneles de viento de circuito
cerrado suelen disponer de un sistema de enfriamiento el cual consiste en intercambiadores de
aire que reemplazan la capa límite “caliente” por aire fresco exterior. Estos intercambiadores se
encuetran en las paredes del túnel y la experiencia establece que con aproximadamente un 10 % de
intercambio del volumen total de aire se garantiza la estabilidad de la temperatura. Otros sistemas
de enfriamiento consisten en enfriar directamente las paredes del túnel por medio de circulación de
agua en el interior de las mismas, o mediante la disposición de tubos refrigerados (radiadores) que
se colocan en el conducto de retorno y que enfrían el aire circulante.
3.3.4 Ensayos aerodinámicos en túneles de viento
La experimentación aerodinámica es una tarea compleja en la cual entran en juego múltiples
factores que deben ser correctamente evaluados de modo que los resultados obtenidos en el
laboratorio puedan ser correctamente extrapolados al problema real. Estos factores pueden dividirse
en dos grandes grupos:
Cumplimiento de las condiciones de similitud
Efectos de las condiciones experimentales
El primer grupo hace referencia a la capacidad disponible en la instalación y al correcto diseño
del experimento, mientras que la segunda categoría se refiere a la calidad del túnel de viento y de
los demás elementos utilizados para realizar los ensayos. Además puede identificarse una tercera
instancia relacionada a las tareas de adquisición de datos y procesamiento de resultados, las cuales
dependerá de la disponibilidad del instrumental adecuado para efectuar las mediciones y de su
correcta utilización.
Condiciones de similitud
Como hemos visto en el Capítulo 2, el cumplimiento de las condiciones de similitud de un pro-
ceso físico nos permite extrapolar los resultados obtenidos mediante la modelización experimental
a un problema real. De esta manera, la validez de un ensayo aerodinámico realizado en un túnel de
viento estará sujeta al diseño correcto del experimento de modo de satisfacer las condiciones de
similitud geométrica, cinemática y dinámica.
Las condiciones de similitud geométrica y cinemática tienen que ver fundamentalmente con la
construcción e instalación del modelo, el cual debe ser geométricamente similar y estar correcta-
mente orientado en relación al flujo, mientras que las características del túnel de viento influyen
únicamente en la escala disponible para construir dicho modelo que obviamente depende del tamaño
de la cámara de ensayo. Por otro lado, en la similitud dinámica entra en juego la capacidad de la
instalación ya que en ensayos aerodinámicos convencionales el número de Reynolds y el número
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126 Capítulo 3. Análisis experimental
de Mach son los parámetros de similitud más importantes. Un túnel de viento determinado estará
caracterizado por el máximo número de Reynolds y el máximo número de Mach que es capaz de
alcanzarse en un ensayo aerodinámico, siendo la velocidad del flujo máxima en la cámara de ensayo
su característica más importante. Además, dependiendo del tipo de problema en particular pueden
requerirse condiciones de similitud adicionales, como ser similitud másica cuando se ensaya por
ejemplo la capacidad de rolido de una aeronave, similitud de rigideces estructurales en análisis
aeroelástico, etc. Sin embargo, estos tipos de similitudes ya no tienen que ver con la capacidad del
túnel de viento sino con requerimientos constructivos de los modelos.
Como hemos visto en el Capítulo 2, muchas veces no es posible satisfacer totalmente la
similitud dinámica del flujo, es decir que la igualdad de los números de Reynolds y de Mach entre
el experimento y la condición real no siempre puede ser garantizada. Esto se debe a que siempre
que se analicen modelos a escala reducida en túneles de viento convencionales, la reducción de las
dimensiones características del problema implica que la velocidad del flujo debe incrementarse
para satisfacer la igualdad del número de,Reynolds (recordemos que Re= ρ∞V∞`/µ∞), pero este
aumento de la velocidad se traduce en un aumento del número de Mach del experimento con
respecto a la condición real, ya que en general la velocidad del sonido tanto en el experimento
como en la situación real serán muy similares. Para entender esta situación veamos lo siguiente:
Si Rereal = Reexp→Vexp =Vreal
`real
`exp
, por lo tanto Maexp =Mareal
`real
`exp
.
A pesar de esta limitación, es posible obtener flujos dinámicamente similares considerando
únicamente un parámetro de similitud de acuerdo a los diferentes regímenes de flujo:
Flujo incompresible: para Ma . 0,3 se asume que el flujo de aire es incompresible y el
número de Reynolds es el único parámetro de similitud relevante siempre que la condición
anterior se verifique tanto en el problema real como en el experimento.
Flujo de elevado número de Reynolds: la experiencia ha demostrado que por arriba de cierto
valor, el número de Reynolds no afecta las características aerodinámicas de los modelos. Por
ejemplo, para perfiles aerodinámicos el requisito es que Re& 106 basado en la cuerda. Otra
estrategia consiste en “aumentar artificialmente” el número de Reynolds incrementando el
nivel de turbulencia por medio de generadores de turbulencia, como ser superficies rugosas
en los extremos de los modelos.
Condiciones experimentales
Mientras que las condiciones de similitud determinan la validez de un experimento, las condi-
ciones experimentales definen la calidad del mismo, ya que de ellas dependede la precisión de los
resultados obtenidos. Este aspecto puede dividirse en las siguientes categorías:
Calidad y estabilidad del flujo en la cámara de ensayo: esta característica es probable-
mente la más importante del túnel en lo que a condiciones experimentales se refiere. Ella
expresa justamente la calidad de la instalación para producir en la cámara de ensayo un flujo
con los requisitos de uniformidad, rectitud y estacionariedad exigidos. Para garantizar estas
cualidades se fijan valores máximos admisibles para las desviaciones de la velocidad del
flujo en la cámara de ensayo vacía. Algunos de estos límites son:
• Variación admisible en la magnitud de la velocidad: menor o igual a 0,75 %.
• Variación admisible en la dirección de la velocidad: menor o igual a 0,25o
Además se exige la ausencia de fluctuaciones ya que las mismas dificultan las mediciones y
pueden causar daño estructural en el túnel.
Interferencias: el efecto de las interferencias se refiere a los cambios producidos en las
condiciones del flujo por la presencia de otros cuerpos en el campo de movimiento. Estos
cuerpos pueden ser elementos de medición (sondas de presión), soportes del modelo o las
mismas paredes sólidas de la cámara de ensayo cuando se utilizan cámaras cerradas. En este
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3.3 Túneles de viento 127
Figura 3.29: Distorsión de las líneas de corriente debido a las paredes de la cámara. La
presencia de la pared sólida no permite la “curvatura natural” de las líneas de
corriente.
último caso, las paredes de la cámara pueden distorsionar las líneas de corriente cuando se
utilizan modelos de dimensiones excesivas, tal como se muestra en la Figura 3.29, donde
el perfil aerodinámico resulta demasiado grande para las dimensiones de la cámara, por lo
que las paredes sólidas no permitirán la “curvatura natural” de las líneas de corriente. Por el
contrario, las líneas de corriente serán rectas y el flujo se acelerará artificialmente debido a la
reducción de la sección transversal disponible para el pasaje del aire. Consecuentemente, la
presión estática (o mejor dicho el coeficiente de presión) disminuirá más por la presencia de
las paredes y el experimento ya no estará representando la condición real. Esta condición
se conoce como bloqueo de la cámara de ensayo, y para garantizar que no se introduzcan
errores significativos, en ensayos de baja velocidad se establece un grado de bloqueo máximo
del 5 %, siendo el grado de bloqueo la relación entre la superficie del cuerpo que enfrenta
el flujo y la sección de la cámara de ensayo. En ensayos de mayor velocidad la restricción
aumenta y el grado de bloqueo no debe exceder el 2∼ 3 %.
Consideraciones adicionales: en esta categoría se agrupan las características particulares
que pueda tener un ensayo aerodinámico, tales como requerir posibles correcciones inhe-
rentes al método utilizado. Entre estas correcciones podemos mencionar las correcciones
de los resultados debidas a efectos de compresibilidad o correcciones debidas a niveles de
turbulencia excesivos en la cámara de ensayo, siendo que un exceso de turbulencia equivale a
un aumento del número de Reynolds, lo cual puede repercutir en las condiciones de similitud
del experimento.
Instrumental
Se define como instrumental al conjunto de elementos necesarios para realizar un ensayo
experimental sin incluir al modelo mismo y al túnel de viento. El instrumental comprende tanto
los elementos de medición de los diferentes parámetros del flujo y de las acciones aerodinámicas
que se producen sobre el modelo, como así también los equipos e instrumentos necesarios para la
operación del túnel de viento.
En el grupo de los elementos de medición incluimos a las sondas de presión, los manómetros,
barómetros, termómetros, balanzas, etc. Como todo instrumento de medición, estos elementos deben
contar con los requisitos básicos de estabilidad de medición con errores sistemáticos constantes y
conocidos, errores aleatorios pequeños y repetibilidad de las mediciones. Además, al tratarse de
elementos de medición utilizados en ensayos de flujo de aire, ellos deben satisfacer la característica
adicional de producir una mínima perturbación del flujo cuando son introducidos en la cámara de
ensayo para realizar las mediciones.
En la Sección 3.1.1 hicimos una descripción más o menos detallada de las sondas de presión, que
son los elementos más importantes para conocer las condiciones del flujo. Por otro lado, teniendo en
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128 Capítulo 3. Análisis experimental
Figura 3.30: Esquema de una balanza externa mecánica.
cuenta que en general es sumamente complicado obtener presión sobre la superficie del modelo en
una cantidad de puntos suficientemente grande que permita calcular las acciones aerodinámicas por
medio de la integración de la distribución de presión, las acciones aerodinámicas suelen medirse de
manera directa mediante el uso de balanzas, las cuales permiten obtener directamente las fuerzas y
momentos aerodinámicos en diferentes direcciones. Una balanza de túnel de viento se caracteriza
por la cantidad de componentes de fuerzas y momentos que es capaz de medir, es decir que su
capacidad va de una componente para una balanza que sólo mide la fuerza en una dirección, a
seis componentes para las balanzas capaces de medir las tres componentes de fuerza y las tres
componentes de momento. Las balanzas suelen clasificarse además de acuerdo a su forma de
operación:
Las balanzas externas son aquellas que se ubican fuera de la cámara de ensayo. Estas balanzas
suelen ser de tipo mecánico por lo que utilizan resortes y dinamómetros para determinar las
acciones aerodinámicas.
Las balanzas internas son aquellas que se ubican en el interior de la cámara de ensayo, dentro
del modelo o adheridas al soporte. Las balanzas internas suelen utilizar principios eléctricos
y electrónicos que permiten transformar la deformación de algún material piezoeléctrico en
una señal eléctrica que se traduce a valores de fuerzas y momentos.
En la Figura 3.30 se muestra esquemáticamente una balanza mecánica de seis componentes.
Como vemos, la misma está compuesta por una base a la cual se fija el soporte del modelo y que se
ubica fuera de la cámara de ensayo soportada sobre seis dinámometros, cuyas mediciones permiten
obtener las seis acciones aerodinámicas de la siguiente manera:
L = FA +FB +FC (sustentación), M = FC b (momento de cabeceo),
D = FE +FD (resistencia), N = (FD−FE)
c
2
(Momento de guiñada),,N = FF (fuerza lateral), L = (FA−FB)
a
2
(Momento de rolido),
donde FA, FB, FC, FD, FE y FF son las fuerzas medidas por los dinamómetros y a, b y c son las
distancias entre estos elementos según se indica en la Figura 3.30.
En la Figura 3.31 se muestra el esquema de una balanza interna de tres componentes. En este
caso el modelo se fija a un soporte especial que tiene incorporada una serie de celdas de carga tipo
strain-gauge las cuales transmiten eléctricamente la deformación del soporte a un transductor que
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3.3 Túneles de viento 129
Figura 3.31: Esquema de una balanza externa mecánica.
entrega una lectura en unidades de fuerzas y momentos. De esta manera, la lectura de las acciones
aerodinámicas se hace directamente del sistema de adquisición de datos.
3.3.5 Consideraciones para el diseño de túneles de viento
En el diseño de túneles de viento en general intervienen numerosos factores que deben ser
tenidos en cuenta. Estos factores comprenden aspectos técnicos y económicos, los cuales deben ser
evaluados tanto desde el punto de vista de la construcción como de la operación posterior del túnel.
En la etapa de diseño de un túnel de viento se busca que las decisiones finales tengan en cuenta
tanto los aspectos técnicos requeridos por el proyecto como el costo económico.
El primer paso en el diseño de túneles de viento siempre consiste en establecer el tamaño
de la cámara de ensayo y las condiciones del flujo dentro de la misma. Específicamente esto
significa definir el área frontal de la cámara de ensayo y la velocidad máxima del flujo (o el número
de Reynolds) disponible. Está claro que en general es posible definir “de antemano” estos dos
parámetros ya que ellos determinarán la capacidad del túnel de viento, la cual se conoce a partir de
las especificaciones del proyecto aeronáutico en cuestión. En otras palabras, los requisitos de un
proyecto aeronáutico en general especificarán o permitirán establecer a partir de ellos el tamaño de
la cámara de ensayo y la velocidad del flujo en la misma, pudiendo así comenzarse con el diseño
del túnel de viento. Estos dos parámetros determinarán en gran medida las características de la
instalación:
El tamaño de la cámara de ensayo, específicamente su área frontal, prácticamente define el
tamaño total de la instalación ya que las dimensiones de los demás componentes del túnel de
viento (convergente, difusor, etc.) dependen directamente de la sección frontal de la cámara
de ensayo.
La velocidad del flujo en la cámara de ensayo es el factor principal que define los requisitos
de potencia del grupo propulsor del túnel de viento.
Naturalmente existen otros factores que influirán en el criterio de diseño del túnel. Entre ellos
podemos destacar el presupuesto disponible para llevar a cabo el proyecto, la disponibilidad de
espacio físico para emplazar la instalación, el tiempo de ejecución admisible y el acceso a materiales,
tecnologías y conocimientos.
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130 Capítulo 3. Análisis experimental
Requisitos de potencia
En túneles de viento subsónicos, la potencia disponible del flujo en la cámara de ensayo se
define como la medida de la energía cinética de la corriente en la unidad de tiempo, es decir:
Pct =
1
2
ṁV 2ct, (3.17)
siendo ṁ el caudal másico de aire y Vct la velocidad del flujo en la cámara de trabajo que natural-
mente se asume constante de acuerdo a los requisitos de uniformidad y estacionariedad del flujo.
Teniendo en cuenta que ṁ = ρVctAct, siendo Act el área frontal de la cámara, la expresión anterior
resulta:
Pct =
1
2
ρV 3ctAct. (3.18)
Esto indica que la potencia disponible en la cámara de ensayo es proporcional al cubo de la
velocidad y al área frontal de la cámara.
Se define como relación de energía λ de un túnel de viento a la relación entre la potencia
disponible en la cámara de ensayo y la potencia instalada PN
λ =
Pct
PN
. (3.19)
Este parámetro fue definido por Joukowski y el mismo indica la eficiencia de un túnel de viento para
producir una determinada potencia del flujo disponible en la cámara de ensayo. Cuando menor es la
relación de energía, menor es la eficiencia del túnel de viento. Se puede demostrar que λ = ηh/kt,
siendo ηh la eficiencia de la hélice del grupo propulsor y kt el coeficiente de pérdida de carga
del túnel. Naturalmente, a mayor eficiencia de la hélice y menor pérdida de carga, mayor será la
relación de energía el túnel de viento.
Teniendo en cuenta la definición de la relación de energía, la potencia requerida por un túnel de
viento para una determinada potencia del flujo en la cámara de ensayo es
PN =
Pct
λ
=
1
2λ
ρV 3ctAct. (3.20)
Teniendo en cuenta que la relación de energía λ en principio no depende de la velocidad, resulta
que la potencia necesaria es proporcional al cubo de la velocidad en la cámara de ensayo y al área
transversal de la misma. Esto supone una restricción importante en la operación de túneles de
viento, ya que duplicar la velocidad del flujo implica incrementar ocho veces la potencia necesaria.
Por otro lado, el incremento del tamaño de la cámara de ensayo repercute proporcionalmente en el
requisito de potencia. Esto implica que, desde el punto de vista del costo de operación de un túnel
de viento, como era de preverse, siempre es conveniente utilizar el menor número de Reynolds
posible que garantice el cumplimiento de las condiciones de similitud del ensayo.
Definición de las características del túnel
La definición de las características del túnel se refiere fundamentalmente a la selección del tipo
de esquema de funcionamiento y del tipo de cámara de ensayo, aunque otros aspectos también deben
definirse como ser la configuración del grupo propulsor, el sistema para la operación del mismo,
las características de los sistemas auxiliares, etc. Naturalmente, estas definiciones estarán atadas
a una serie de factores que dependen del proyecto aeronáutico en particular. Entre ellos, los más
importante son el presupuesto disponible para la construcción del túnel, la vida útil estimada para
la instalación, el tipo de ensayos que se llevarán a cabo, el lugar disponible para el emplazamiento
de la instalación y las exigencias ambientales locales. Finalmente, las decisiones definitivas para la
construcción del túnel serán el resultado de la evaluación entre el costo de construcción, el costo de
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3.3 Túneles de viento 131
operación y el presupuesto inicial disponible, considerando las ventajas y desventajas de cada una
de las configuraciones posibles siempre teniendo en cuenta los requisitos técnicos del proyecto.
Desde el punto de vista del esquema de funcionamiento, ya hemos mencionado algunas de
las ventajas y desventajas que presentan los túneles de viento de circuito abierto y los túneles de
viento de circuito cerrado. En el primer caso, sin lugar a dudas su principal ventaja es el bajo
costo de construcción y su fabricación relativamente simple, teniendo como desventajas la calidad
inferior del flujo y el mayor requisito de potencia para su operación. Inversamente, estas cuestiones
son puntos destacables en los túneles de circuito cerrado, los cuales producen una mejor calidad
de flujo, consumen menos energía pero presentan un elevado costo constructivo. En cuanto a
la configuración de la cámara de ensayo, está claro que un túnel con cámara de trabajo cerrada
producirá mejor calidad del flujo y generará menores pérdidas de carga, pero el efecto de bloqueo
en este tipo de cámaras puede ser un factor crítico. Por otro lado, la instalación y el acceso al
modelo se hace más dificultoso en cámaras de ensayo cerradas debido a la presencia de las paredes
sólidas. Contrariamente, las cámaras de trabajo abiertas permiten un acceso fácil al modelo y a los
dispositivos de medición y el efecto del bloqueo no es importante, pero en ellas la calidad del flujo
es inferior produciéndose mayores pérdidas de carga y fluctuaciones en las condiciones del flujo.
Teniendo en cuenta