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DR AF T (G us ta vo Kr au se ) Aeronáutica General Apuntes de la Cátedra Departamento de Aeronáutica DR AF T (G us ta vo Kr au se ) II DR AF T (G us ta vo Kr au se ) Copyright c© 2020 Gustavo Krause PUBLICACIÓN INDEPENDIENTE Prohibida su reproducción, almacenamiento o distribución por cualquier medio, total o parcial, sin el permiso previo y por escrito del autor y/o la editorial. También se encuentra totalmente prohibido su tratamiento informático y distribución por medios electrónicos tales como internet o cualquier otro soporte. Primera impresión, marzo de 2020 DR AF T (G us ta vo Kr au se ) IV DR AF T (G us ta vo Kr au se ) Prefacio El presente texto está concebido como material de apoyo para estudiantes y profesionales de la ingeniería que se inician en el ámbito de la Aeronáutica. Este libro surgió de la necesidad de cubrir de manera introductoria los aspectos más importantes que rigen el vuelo del avión, tanto desde el punto de vista físico como tecnológico, permitiendo así un abordaje integral del problema sin necesidad de recurrir a múltiples publicaciones específicas que pueden resultar complejas para quienes comienzan a introducirse en esta disciplina. Aunque ya existen textos que plantean esta temática desde un punto de vista similar, ellos no suelen encontrarse en idioma español y –a juicio del autor– muchas veces carecen de la adecuada fundamentación física y matemática que requiere la formación de futuros profesionales técnicos de la industria, el desarrollo y la investigación aeronáutica. Los contenidos del presente texto surgieron de la recopilación de material realizada durante los sucesivos dictados de la asignatura introductoria de la carrera de Ingeniería Aeronáutica que se dicta en la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de la Universidad Nacional de Córdoba. Teniendo en cuenta que los estudiantes de dicha asignatura cuentan con una buena base en Física y Matemática, la cual fue adquirida durante los años correspondientes al ciclo básico de la carrera, se asume que el lector tiene la capacidad de comprender los fundamentos físicos y los desarrollos matemáticos planteados a lo largo del libro. Por otro lado, se resalta el carácter introductorio y orientativo de estas notas, recomendándose fervientemente la profundización de los temas abordados a través de las referencias bibliográficas citadas en el texto. La organización del libro puede resumirse de la siguiente forma. En el Capítulo 1 se realiza la presentación de las definiciones y fundamentos físicos elementales que rigen el movimiento de los fluidos, en nuestro caso particular el aire, necesarios para comprender los fenómenos que involucra el vuelo del avión. En el Capítulo 2 se presentan las definiciones de las fuerzas y momentos aerodinámicos más importantes y se introduce el Análisis Dimensional, que es una herramienta fundamental de la Aerodinámica para dar lugar a los diferentes coeficientes aerodinámicos. En el Capítulo 3 se hace una introducción al Análisis Experimental, otra de los aspectos fundamentales de la Aerodinámica. En el Capítulo 4 se abordan los principios básicos de las propiedades de los perfiles aerodinámicos, que son las formas elementales que permiten el vuelo del avión. En el V DR AF T (G us ta vo Kr au se ) Capítulo 5 se presenta un análsis introductorio para comprender los fundamentos de la aerodinámica del ala. En el Capítulo 6 se describen los principales componentes del avión, planteando al mismo como un sistema integral destacando la función principal de cada uno de ellos. Finalmente, en los Capítulos 7 y Capítulos 8, se realiza un análisis introductorio de la estabilidad, el control y las performances del avión. Gustavo Krause Córdoba, marzo de 2020 VI DR AF T (G us ta vo Kr au se ) Índice general 1 Fundamentos físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Propiedades del aire 1 1.1.1 Hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Ecuación hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 La atmósfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 El baroaltímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Fundamentos del flujo de aire 16 1.2.1 Conceptos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.3 Determinación de la velocidad: El tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.4 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3 Flujo viscoso 36 1.3.1 Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.2 Condición de no deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.3 El número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.4 Flujo laminar y flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4 Capa límite 47 1.4.1 Desarrollo de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.2 Capa límite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.3 Capa límite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.4 Separación de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.4.5 Determinación experimental de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5 Guía de estudio 56 VII DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2 Fuerzas y coeficientes aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo 59 2.2 Introducción al Análisis dimensional 62 2.2.1 Principio de homogeneidad dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.2 El Teorema Pi de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Coeficientes aerodinámicos 67 2.3.1 Condiciones de similitud en Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4 La fuerza de sustentación 71 2.4.1 Distribución de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.2 El fundamento “circulatorio” de la sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 76 2.5.1 Resistencia parásita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.2 Resistencia de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5.3 Resistencia de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.5.4 Características generales de la resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.5.5 Resistencia de esferas y cilindros . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5.6 Concepto de área frontal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.6 Problemas propuestos 90 3 Análisis experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1 Medición de presiones 91 3.1.1 Sondas de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.2 Sonda Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3 Tomas de presión estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.1.4 Sonda Pitot-estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1.5 Determinación de la dirección del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2 Indicadores de presión 105 3.2.1 Manómetros de columna de líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.2.2 Transductores de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.3 Túneles de viento 117 3.3.1 Túneles de viento subsónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3.2 Túnel de viento de circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.3.3 Túneles de viento de circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.3.4 Ensayos aerodinámicos en túneles de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.3.5 Consideraciones para el diseño de túneles de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.3.6 Túneles de viento de uso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4 Perfiles aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1 Introducción 135 4.1.1 Características geométricas de los perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.1.2 Generación de sustentación en un perfil alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.1.3 La circulación en perfiles aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.2 Características aerodinámicas de los perfiles alares 140 4.2.1 Sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2.2 Resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.2.3 Momento de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.2.4 Efectos de la geometría del perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 VIII DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 4.2.5 Efecto del número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3 Distribución de presiones en un perfil alar 152 4.3.1 Obteniendo el Cl a partir del Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.4 Efectos de compresibilidad en los perfiles alares 156 4.4.1 Número de Mach crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.4.2 Divergencia de la resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.5 Superficies móviles 161 4.5.1 Momento de charnela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.6 Desarrollo y diseño de perfiles alares 163 4.6.1 Etapa de sistematización: Perfiles NACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.6.2 Etapa computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5 Superficies sustentadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1 Introducción 177 5.1.1 Definiciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.2 Consideraciones aerodinámicas de las alas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2 Alas finitas 183 5.2.1 Efectos del campo de movimiento tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2.2 Sustentación en alas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.2.3 Resistencia inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.2.4 Estrategias para reducir la resistencia inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.3 Efectos de compresibilidad en las alas finitas 202 5.3.1 Influencia del ángulo de flecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.4 Dispositivos hipersustentadores 205 5.4.1 Flaps de borde de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.4.2 Flaps de borde de ataque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4.3 Otros dispositivos hipersustentadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.4.4 Frenos aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6 Componentes del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1 Componentes básicos del avión 215 6.1.1 Fuselaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.1.2 Ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.1.3 Empenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.1.4 Tren de aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.5 Sistema propulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.2 Instrumentos básicos del avión 233 6.2.1 Clasificación de los instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.2.2 El altímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.2.3 El anemómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.2.4 El indicador de velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.2.5 Instrumentos giroscópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.3 Problemas propuestos 255 IX DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 7 Estabilidad y control del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.1 Introducción 257 7.1.1 El sistema de ejes cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.1.2 Velocidades, fuerzas y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.2 Controles básicos 260 7.2.1 Control lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.2.2 Control longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.2.3 Control direccional . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.3 Estabilidad del avión 264 7.3.1 Conceptos básicos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.3.2 Estabilidad longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.3.3 Modos dinámicos longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7.3.4 Estabilidad estática direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 7.3.5 Estabilidad estática lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.3.6 Modos dinámicos asimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8 Actuaciones del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.1 Ecuaciones de movimiento 285 8.1.1 Grados de libertad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.1.2 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.1.3 Ecuaciones de movimiento del vuelo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.1.4 Características de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.2 Performances estáticas 293 8.2.1 Condiciones de vuelo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.2.2 Vuelo estacionario, recto y nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.2.3 Trepada estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.2.4 Vuelo sin potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.3 Performances de despegue y aterrizaje 309 8.3.1 Despegue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.3.2 Aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.3.3 Efecto suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 8.4 Vuelo acelerado 323 8.4.1 Giro nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.4.2 Las maniobras de pull-up y pull-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 8.4.3 El diagrama V–n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 A Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 B Ecuaciones de la Atmósfera Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 X DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1. Fundamentos físicos Un avión es un vehículo que se desplaza a través de la atmósfera aprovechando las fuerzas que se generan por el movimiento relativo entre el aire y dicho vehículo. Estas fuerzas se denominan fuerzas aerodinámicas y las mismas dependen directamente de las propiedades del medio y de las características del flujo que se genera alrededor del cuerpo. De este modo, resulta fundamental conocer las propiedades de la atmósfera terrestre y los principios físicos del flujo de aire para comenzar a comprender cuáles son los mecanismos que permiten el vuelo de un avión. 1.1 Propiedades del aire Se definen como propiedades de un gas (o mezcla de gases) a un conjunto de cantidades físicas que permiten describir la condición o el estado del mismo. Estas propiedades físicas son fundamentales tanto para caracterizar el estado de la atmósfera como para llevar a cabo el estudio de cualquier fenómeno que involucre el flujo de aire o de cualquier otro gas o mezcla de gases. Para nuestro análisis se establecen cuatro propiedades fundamentales: densidad, presión, temperatura y velocidad: Definición 1.1 — Densidad. La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen de una determinada sustancia. En nuesto campo de estudio la sustancia se encuentra en estado gaseoso y la densidad se designa generalmente con la letra griega ρ. Esta propiedad se expresa en unidades de masa por unidad de volumen (kg/m3 en el Sistema Internacional de unidades). Si 1m3 de aire tiene una masa de 1kg, entonces la densidad promedio de ese aire es ρ = 1kg/m3. Definición 1.2 — Presión. La presión es la fuerza por unidad de área ejercida por un fluido (líquido o gas) en dirección normal a una determinada superficie. La presión p es una cantidad física fundamental en el estudio de la dinámica de los fluidos y en el Sistema Internacional de unidades se mide en pascales (1Pa = 1N/m2). Como veremos a continuación, la magnitud de la presión depende del marco de referencia a partir del cual se la mide. Cuando hablamos de presión podemos referirnos a una presión absoluta o una presión relativa, dependiendo de la referencia con la cual se hace la medición. En el primer caso, como su nombre lo 1 DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2 Capítulo 1. Fundamentos físicos indica, la presión absoluta es justamente la presión que efectivamente se está ejerciendo sobre una superficie, es decir que se mide con respecto a una referencia de presión nula correspondiente al vacío absoluto. Esto implica que la presión absoluta es siempre positiva. Por otra parte, la presión relativa es la diferencia de presión entre la presión (absoluta) medida y una determinada presión (absoluta) de referencia. Esto significa que la presión relativa puede ser negativa. El valor de la presión relativa en un determinado punto es el que se obtiene cuando se utiliza un manómetro, que es el elemento empleado para la medición de presiones. Este elemento provee una lectura relativa cuya referencia es la presión atmosférica del lugar, de allí que el término presión manométrica también se utiliza para referirse a la presión relativa. La presión atmosférica es producto de la fuerza que ejerce la masa del fluido, en este caso el aire, por acción de la aceleración de la gravedad. En otras palabras, la presión atmosférica es el “peso” de la columna de aire que se encuentra por encima de un determinado objeto. La presión atmosférica se mide mediante el uso de un barómetro. De manera general, las presiones ejercidas por un fluido en reposo por acción gravitatoria se conocen presiones hidrostáticas. Este tipo de presiones tienen la propiedad de que su valor es constante para una determinada altura de columna de fluido independientemente de la orientación de la superficie de medición. En un fluido en movimiento esta propiedad ya no se verifica y decimos que estamos en presencia de una presión hidrodinámica, cuyo valor sí depende de la orientación de la superficie de medición con respecto a la dirección del movimiento. Estos conceptos son fundamentales en nuestro estudio y serán desarrollados más adelante. Desde el punto de vista de la Teoría Cinética de los Gases, la presión puede entenderse como el resultado macroscópico de la acción colectiva de las múltiples moléculas que conforman un fluido, cuyas colisiones con las paredes del recipiente contenedor o del objeto sumergido en el fluido se traducen en una fuerza neta sobre las superficies. Esta transferencia de cantidad de movimiento entre las moléculas del fluido y las moléculas de la superficie depende de la frecuencia de las colisiones, es decir, de la cantidad de veces que las moléculas “chocan” con las paredes,,lo cual está relacionado con la cantidad de moléculas involucradas en el intercambio, y con la velocidad1 de las mismas, cuya magnitud además influye en la intensidad de esos “choques”. El indicador macroscópico de la velocidad (promedio) de las moléculas es la temperatura. Definición 1.3 — Temperatura. La temperatura es una medida de la energía promedio de las moléculas que conforman una sustancia. En un fluido las moléculas pueden desplazarse más o menos libremente, por lo tanto, a mayor temperatura mayor energia cinética. Esta propiedad se designa con la letra T y su unidad en el Sistema Internacional es el kelvin (K)· De acuerdo a esta definición, resulta que existe un nivel mínimo de temperatura dado por el reposo absoluto de la materia, situación donde las moléculas que conforman la misma se encuentran “detenidas” y por lo tanto su energía asociada al movimiento es nula. Esta condición (teórica) se conoce como el cero absoluto y corresponde al punto T = 0K de la escala de medición. Esto implica que, al igual de lo que sucede con la presión absoluta, la temperatura (absoluta) es siempre positiva. Hasta aquí hemos definido las propiedades que definen el estado termodinámico de un fluido pero aún no hemos establecido a qué se denomina fluido. Como sabemos, la materia puede presentarse dentro de nuestra atmósfera principalmente de tres formas o estados diferentes: sólido, líquido o gaseoso. Existe un cuarto estado conocido como plasma, que aunque es por lejos la principal forma en que se encuentra la materia en el universo, dentro de nuestro planeta sólo se presenta en situaciones muy particulares. Puede decirse que las características de cada uno de los 1Esta velocidad es la velocidad de agitación molecular de cada molécula, no debe confundirse con la velocidad del fluido. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 3 estados sólido, líquido o gaseaso están dadas por la forma en que se comportan las moléculas que componen la materia en cada uno de ellos. Mientras que en el estado sólido el movimiento de las moléculas está restringido solamente a una vibración, en los estados líquido y gaseoso éstas pueden desplazarse más o menos libremente, lo cual confiere a la materia la capacidad de fluir, es decir, de deformarse “indefinidamente” frente a la acción de fuerzas tangenciales. A partir de este comportamiento, el cual está presente en los líquidos y en los gases, un fluido se define simplemente como aquella sustancia que tiene la capacidad de fluir. Desde un punto de vista microscópico, está claro que un fluido no puede estar en reposo ya que su definición justamente implica el movimiento relativamente libre de sus moléculas. Sin embargo, para las aplicaciones de ingeniería en general estamos más interesadosen lo que sucede con el fluido a escala macroscópica. A ese nivel, decimos que la velocidad del fluido es un promedio de las velocidades moleculares de acuerdo a la siguiente definición: Definición 1.4 — Velocidad. La velocidad del fluido es la medida del movimiento neto del mismo, es decir, sin considerar las componentes aleatorias de velocidades moleculares. En otras palabras, la velocidad de una masa de fluido es la velocidad promedio de todas las moléculas individuales que conforman esa masa, sumadas vectorialmente. La velocidad (vector) se designa con la letra V y su magnitud (escalar) se expresa como V . 1.1.1 Hipótesis del continuo Mientras que la densidad, la presión y la temperatura son propiedades termodinámicas, la velocidad es una propiedad cinemática. Siendo que estas cantidades son definiciones macroscópicas, la validez de las mismas dependerá fundamentalmente de la escala del problema, de modo que las promediaciones estadísticas representadas por la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad estén basadas en una cantidad representativa y suficientemente grande de moléculas. Es así que estas definiciones macroscópicas pierden sentido en condiciones de muy bajas densidades o en dominios extremadamente pequeños donde el efecto del movimiento individual de las moléculas no puede caracterizarse de manera colectiva. En principio esto no parecería generar una limitación significativa considerando que, en los problemas de nuestro interés, usualmente no se presentan condiciones extremas que invaliden los conceptos anteriores. Sin embargo, esto plantea algunos problemas desde el punto de vista de la modelización matemática. Está claro que, en los problemas reales, las propiedades del fluido en general no son uniformes, sino que son variables dentro del dominio considerado y además pueden cambiar en cada instante de tiempo. Para representar matemáticamente esta variación se utiliza la definición de campo que indica que, de manera general, la densidad, la presión y la velocidad2 son una función de las tres coordenadas espaciales (x,y,z) y del tiempo t: ρ = ρ(x,y,z, t), p = p(x,y,z, t), V = V(x,y,z, t). Esto indica que las propiedades del fluido varían punto a punto para cada instante de tiempo. Es aquí donde surge la siguiente contradicción: ¿cómo es posible obtener una propiedad macroscópica en un punto que, por definición, es infinitamente pequeño?. Para resolver este conflicto se propone la siguiente idealización. Definición 1.5 — Hipótesis del continuo. Esta hipótesis supone que el fluido que constituye un 2La temperatura podría obtenerse a partir de las relaciones que vinculan una propiedad termodinámica con las restantes. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 4 Capítulo 1. Fundamentos físicos medio está conformado por elementos de volumen diferenciales infinitamente pequeños, cada uno de los cuales posee propiedades “puntuales” que definen su propio estado. La hipótesis del continuo equivale a asumir, por ejemplo, que cualquier volumen de aire, por más pequeño que sea, tiene las mismas características que el aire a escala macroscópica. Naturalmente, esta suposición no es verdadera ya que, si se consideran dimensiones en el rango molecular, el aire luce muy diferente de la forma en que lo percibimos cotidianamente. Sin embargo, cuando se consideran problemas donde las longitudes características son mucho mayores que el camino libre medio entre moléculas3, como es el caso de la mayoría de los problemas relacionados al estudio del vuelo atmosférico, la idealización de la hipótesis del continuo es perfectamente válida y permite el tratamiento matemático de problemas que involucran el flujo de gases y líquidos de forma relativamente simple. En el marco de esta hipótesis, la definición de partícula se refiere a un volumen infinitesimal de fluido, es decir, un punto material que conserva las mismas características que el fluido a escala macroscópica. Una partícula, definida según el concepto de la hipótesis del continuo, no debe confundirse entonces con una molécula de fluido ya que. según esta idealización, una partícula de fluido está formada por una gran cantidad de moléculas. En términos formales, la validez de la hipótesis del continuo se evalúa en función de una relación adimensional conocida como el número de Knudsen. Esta relación es simplemente el cociente entre el camino libre medio molecular λmfp del fluido que conforma el medio y la longitud de referencia `ref que define la escala del problema, es decir: Kn= λmfp `ref . (1.1) La condición de validez de la hipótesis del continuo es entonces Kn� 1. Como veremos a lo largo de este libro, las cantidades adimensionales son de gran utilidad en el campo de la Mecánica de los Fluidos. Es importante notar que la modelización matemática de las propiedades macroscópicas a través de campos es posible solamente bajo la hipótesis del continuo ya que, de esta manera, es válido asumir propiedades (macroscópicas) asociadas a un punto. De este modo, la presión y la densidad pueden definirse en términos de cantidades diferenciales: p = lı́m δA→0 δF δA = dF dA , ρ = lı́m δυ→0 δm δυ = dm dυ , siendo dA un elemento diferencial de área y dυ un elemento diferencial de volumen. 1.1.2 Ecuación,de estado Las ecuaciones de estado describen la relación entre las diferentes propiedades termodinámicas de un gas o una mezcla de gases, como es el caso del aire. Existen diferentes ecuaciones de estado que son válidas dependiendo del problema analizado, del tipo de gas (o mezcla) y de las condiciones particulares de densidad, presión y temperatura. En las aplicaciones de nuestro interés es posible considerar al aire en equilibrio químico y termodinámico, lo cual significa que su composición química no cambia y que las propiedades termodinámicas satisfacen en todo momento las relaciones de estado, ya que la escala de tiempo del problema es mucho mayor que el tiempo de “ajuste” termodinámico. Además, se puede asumir que los valores de presión y temperatura están lo suficientemente alejados de condiciones extremas, de modo que que es válida la condición de gas 3El camino libre medio se define como la distancia promedio recorrida por las moléculas entre dos colisiones sucesivas. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 5 perfecto o ideal. Esto nos permite suponer que el aire responde a la ecuación de estado de los gases ideales. Teniendo en cuenta que la presión se debe a la transferencia de cantidad de movimiento produ- cida por las colisiones de las moléculas contra la superficie, resulta que la misma es proporcional a la velocidad de las moléculas y a la frecuencia de las colisiones. Esto implica que la presión es proporcional a la temperatura (absoluta) T , que es la medida de la energía cinética de las moléculas, y al número de moléculas nm (por unidad de volumen), entendiendo que a mayor cantidad de moléculas mayor es la frecuencia de colisiones, entonces: p = nmkBT. La constante de proporcionalidad kB = 1,38065× 10−23 J/K en esta relación es la constante de Boltzmann. Teniendo en cuenta que el número de moléculas puede escribirse en términos de la densidad como nm = NAρ/µm, siendo NA = 6,02214× 1023 mol−1 el número de Avogadro y µm la masa molar del gas (o mezcla), la expresión anterior resulta: p = ρ R ′ µm T, (1.2) donde R ′ = kBNA = 8,314472J/(Kmol) es la llamada constante universal de los gases. Conside- rando el caso particular del aire cuya masa molar es µmaire = 28,97×10−3 kg/mol, la ecuación de estado para esta mezcla de gases es p = ρRaireT, (1.3) donde Raire = R ′ µm aire = 287,058 J Kkg . (1.4) es la constante particular del aire. indexconstante del aire Debe tenerse en cuenta que, naturalmente, la ecuación de estado de los gases ideales no es válida en cualquier condición. Para presiones muy elevadas o temperaturas demasiado bajas o demasiado altas, entran en juego efectos que no son considerados por la ecuación de estado ideal y deben considerarse los efectos de gas real. Estos efectos están asociados a las fuerzas de atracción- repulsión de las moléculas y al volumen finito que las mismas ocupan. Por lo tanto, en el caso de que las moléculas resulten muy confinadas, como sucede a muy elevadas presiones (o densidades), o cuando las fuerzas de atracción-repulsión no sean despreciables, como sucede a muy bajas temperaturas donde la energía cinética de las moléculas es relativamente baja, la ecuación de estado de los gases ideales pierde validez y deben considerarse otros modelos como la ecuación de Van der Waals. Por otro lado, a muy elevadas temperaturas se activan reacciones químicas en el aire que producen la disociación molecular y el cambio de composición de la mezcla de gases, lo cual obviamente invalida la utilización de un modelo tan sencillo como el de gas perfecto (o ideal) que asume el equilibrio químico del medio. Ejemplo 1.1 Determinar la densidad de un volumen de aire cuya temperatura es de 15 oC y que se encuentra a una presión de 1atm. De acuerdo a la ecuación de estado de los gases ideales, la densidad se determina mediante ρ = p RaireT . DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 6 Capítulo 1. Fundamentos físicos Para utilizar esta ecuación es necesario escribir las propiedades del aire en unidades consistentes, las cuales además deben tener referencias absolutas. Entonces, en el Sistema Internacional de unidades p = 1atm = 101325Pa, T = 15 oC = 288,15K. Para esta condición la densidad del aire resulta: ρ = 101325 287,058×288,15 = 1,225 kg m3 . Como veremos más adelante, los valores de presión, temperatura y densidad establecidos en este ejemplo representan una condición de referencia muy importante en las aplicaciones aeronáuticas: son las llamadas condiciones estándar a nivel del mar. � 1.1.3 Ecuación hidrostática Como sabemos, todos los elementos que se encuentran sobre la superficie terrestre y en sus inmediaciones están sumergidos dentro de una masa de aire que conforma la atmósfera terrestre. El peso de esta masa de aire se traduce en una presión, la llamada presión atmosférica, que ejerce el fluido sobre los elementos dentro de la atmósfera, cuya magnitud depende de la “altura” de aire que existe por encima y de la densidad del mismo. La ecuación hidrostática, también llamada ecuación de altura, establece de qué manera varía la presión de un fluido en reposo en función de la distancia vertical (o altura) a una superficie de referencia. Para conocer esta variación se analizan las condiciones de equilibrio de fuerzas para un elemento diferencial de volumen de área dA y altura dh en presencia de un campo gravitatorio de magnitud g (ver Figura 1.1): (p+ dp) dA+gρdhdA = pdA, por lo tanto, dp dh =−ρg. (1.5) La ecuación (1.5) indica cómo varía la presión con respecto a la altura en un fluido en reposo. Si el fluido es un líquido podemos asumir con gran nivel de precisión que la densidad es constante y la ecuación anterior se integra muy fácilmente pero, para el caso de un gas (o mezcla) como el aire en la atmósfera terrestre, la suposición de ρ = cte ya no es válida. Esto implica que la ecuación anterior cuenta con dos incógnitas (p y ρ), por lo que debemos imponer una forma de variación de la densidad para conocer así la distribución de presión con respecto a la altura h. Teniendo en cuenta las características de la atmósfera, que es el medio que deseamos modelar, en la cual puede suponerse que la temperatura ambiente varía de forma lineal con la altura o se mantiene constante con ésta dentro de cada capa atmosférica, asumimos estas dos formas de variación vinculando T y ρ a través de la ecuación de estado. Para ello, resolvemos la ecuación (1.5) para las condiciones de temperatura constante (atmósfera isotérmica) y con gradiente térmico constante (variación lineal de la temperatura con la altura). Por otro lado, la aceleración de la gravedad g es una cantidad conocida que puede considerarse constante siempre que se trabaje con variaciones de altura mucho menores que el radio terrestre (RTierra ≈ 6400km). En lo referente a aplicaciones aeronáuticas convencionales, suponer una aceleración de la gravedad constante es una simplificación muy aceptable, cuyo valor se toma igual al que se registra a nivel del mar sobre el ecuador: g= 9,80665 m s2 . (1.6) DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 7 Figura 1.1: Equilibrio de fuerzas en un elemento de volumen de un fluido en reposo. Temperatura constante En el caso isotérmico (T = cte), la ecuación hidrostática (1.5) se reescribe considerando la ecuación de estado (1.3): dp dh =− pg RT , por lo tanto, dp p =− g RT dh. Integrando ambos miembros de la ecuación, siendo pref una presión de referencia conocida a la altura de referencia href, se obtiene ˆ p pref 1 p dp =− ˆ h href g RT dh, ln ( p pref ) =− g RT (h−href) . De esta forma queda determinada la variación de la presión en función de la altura para una temperatura constante T : p pref = exp [ − g RT (h−href) ] . (1.7) Considerando la ecuación de estado, para T = cte la densidad es proporcional a la presión, entonces su variación para el caso isotérmico se escribe de la misma manera: ρ ρref = exp [ − g RT (h−href) ] . (1.8) Gradiente térmico constante,Como veremos más adelante, en la capa más baja de la atmósfera la temperatura, en general, no se mantiene constante con la altura sino que varía de manera aproximadamente lineal, disminuyendo a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Estas variaciones son importantes si se consideran cambios de altitud del orden de los 500m, por lo que las variaciones de la temperatura DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 8 Capítulo 1. Fundamentos físicos no pueden despreciarse si tenemos en cuenta que, durante un vuelo convencional, suelen registrarse cambios en la altura muy superiores a ese valor. Considerando entonces un gradiente de temperatura constante λ tal que la variación de tempe- ratura con la altura es: T (h) = Tref +λ(h−href), (1.9) la ecuación hidrostática puede escribirse como dp p =− g Rλ dT T , ya que, de acuerdo a la ecuación (1.9), tenemos dT dh = λ→ dh = dT λ . Integrando ambos miembros y considerando los valores de referencia pref y Tref a la altura href se obtiene ln ( p pref ) =− g λR ln ( T Tref ) , por lo tanto, p pref = ( T Tref )−[g/(λR)] . Escribiendo la temperatura en función de la altura se obtiene la expresión de la variación de la presión con la altura en un medio con gradiente térmico constante: p pref = [ 1+ λ Tref (h−href) ]−g/(λR) . (1.10) La variación de la densidad se determina considerando la relación p/pref = ρT/(ρrefTref) que surge de la ecuación de estado, entonces: ρ ρref = [ 1+ λ Tref (h−href) ]−g/(λR)−1 . (1.11) De esta manera quedan definidas las distribuciones de presión y densidad tanto para el caso de atmósfera isotérmica como para gradiente térmico constante en relación a la altura. 1.1.4 La atmósfera terrestre De manera general, se define como atmósfera a la capa de gas o mezcla de gases que cubre la superficie de los cuerpos celestes. En nuestro planeta esta mezcla de gases se denomina aire y está compuesta mayormente por Nitrógeno y Oxígeno con una composición que varía principalmente con la distancia a la superficie terrestre. En las regiones donde se desarrolla la vida, es decir, en la zona cercana a la superficie, y para altitudes de hasta 80km, puede considerarse que la composición del aire es aproximadamente constante con la siguiente proporción en volumen: N2 = 78 % O2 = 21 % Ar = 1 % CO2 = 0,3 % DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 9 Esta condición permite asumir que el medio por el cual se desplazan los aviones (convencio- nales) está conformado por una mezcla de gases con una composición química constante. Por otra parte, hay que destacar que, además de los gases indicados anteriormente, también pueden encontrarse rastros de otros gases en proporciones muy pequeñas, tales como Neón, Hidrógeno, Criptón y Helio, además de vapor de agua, cuyo porcentaje es muy variable dependiendo de la región de la Tierra y de la época del año. Capas de la atmósfera La atmósfera terrestre puede dividirse en diferentes capas considerando distintos criterios. Por ejemplo, desde el punto de vista de la concentración de los gases constituyentes, la homósfera es la capa inferior de la atmósfera donde esta concentración se mantiene aproximadamente constante (a excepción del vapor de agua y el ozono), mientras que la heterósfera se extiende por encima de la anterior hasta aproximadamente los 3500km, dentro de la cual la proporción de los gases comienza a variar debido a fenómenos de difusión molecular. Otra clasificación posible es considerando la carga eléctrica del gas, donde se diferencia una zona de gases eléctricamente neutros hasta aproximadamente los 80km de altitud denominada neutrósfera, y una zona de gases ionizados (o plasma) llamada ionósfera, que se extiende por encima de la anterior hasta los 500km. Para los objetivos de nuestro estudio, conviene realizar una clasificación más detallada basada en otros aspectos que incluyen la variación de las propiedades termodinámicas del aire, particularmente la temperatura, ya que, como veremos más adelante, esto nos permitirá caracterizar la atmósfera y construir un modelo de la misma. Desde este punto de vista pueden distinguirse principalmente las siguientes capas atmosféricas: Tropósfera: es la capa más baja de la atmósfera y donde se producen los fenómenos mete- reológicos (nubes, tormentas) que percibimos diariamente. Su espesor varía de acuerdo con la latitud y la época del año desde unos 10km en los polos hasta unos 17km sobre el ecuador. En condiciones normales, la tropósfera se caracteriza por la disminución de la temperatura con la altura. Estratósfera: es la segunda capa atmosférica situada aproximadamente entre los 10km y los 50km, donde la temperatura se mantiene más o menos constante hasta los 36km y luego se incrementa con la altitud hasta alcanzar un valor de alrededor de 0 oC. Se caracteriza porque dentro de esta capa se produce la disociación del oxígeno que genera el ozono (O3) entre los 16km y los 40km. El ozono es el encargado de absorber gran parte de la radiación solar nociva. Mesósfera: se extiende desde los 50km a los 80–90km, donde la temperatura disminuye con la altura. Esta capa finaliza en la Mesopausa, zona en la cual se presenta la segunda temperatura mínima, del orden de 190K (−83 oC) a una altitud de 85km. Termósfera: es la capa situada entre los 90km y los 500km de altitud en la cual la tempera- tura crece rápidamente hasta unos 250 oC y luego sobre los 1000 oC hasta 2000 oC durante el día. Las moléculas de N2 y O2 se disocian y se ionizan. Sobre los 300km se forma una atmósfera aproximadamente isotérmica de unos 400 oC por la noche y hasta 1300 oC durante el día. Exósfera: Es considerada la última capa de la atmósfera. En ella se encuentran gases monoatómicos como Hidrógeno y Helio en capas estratificadas. Esta capa se extiende hasta donde la intensidad del campo magnético terrestre ya no es capaz de repeler la acción del plasma interplanetario (viento solar). Además de las capas atmosféricas detalladas anteriormente, existen subcapas como la Tropo- pausa, Estratopausa, Mesopausa y Termopausa que separan las capas adyacentes. En la Figura 1.2 se presenta la distribución esquemática de las distintas capas de la atmósfera incluyendo las clasificaciones basadas en la composición química y en la carga eléctrica del gas. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 10 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.2: Esquema de la atmósfera terrestre. En línea continua se observa la variación promedio de la temperatura en función de la altitud. 1.1.5 Atmósfera estándar En algunos pasajes de los párrafos anteriores hemos reemplazado la palabra “altura” por el término altitud, sin especificar cuál es la diferencia entre estos aparentes sinónimos. Inicialmente po- dríamos pensar que las propiedades referidas a la atmósfera, de carácter termodinámico, no guardan relación con el concepto de altitud, de carácter eminentemente geométrico. Sin embargo, teniendo en cuenta las características de la atmósfera y el principio de funcionamiento de los instrumentos utilizados para estimar la posición vertical durante un vuelo, las propiedades atmosféricas y la altitud están estrechamente vinculadas y su relación es fundamental para la operación aeronáutica. Desde el punto de vista geométrico pueden distinguirse distintos “tipos” de altitud que son útiles en Aeronáutica: La altitud geométrica es la mínima distancia entre un objeto y la superficie formada por el nivel medio del mar. A menudo nos referimos a la altitud geométrica simplemente como altitud. La altitud absoluta es similar a la anterior pero tiene como referencia el centro de la Tierra, y se utiliza cuando se consideran grandes altitudes, como en el caso de vehículos aeroespaciales o satélites, donde debe tenerse en cuenta la variación de la aceleración de la gravedad con la distancia al centro de la Tierra. La altitud geopotencial toma como referencia niveles donde la aceleración de la gravedad es constante, los cuales no se corresponden estrictamente con niveles,de altitud geométrica constante ya que, como se sabe, la Tierra no es perfectamente esférica. Por otra parte, teniendo en cuenta la naturaleza de la atmósfera terrestre, donde la presión, la densidad y la temperatura varían con la altitud, se definen las altitudes de presión, de densidad y de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 11 Capa Altitud inicial [km] Gradiente térmico [K/km] Temperatura base Tref [K] Tropósfera 0 −6,5 288,15 Tropopausa 11 0 216,65 Estratósfera 20 +1,0 216,65 Estratósfera 32 +2,8 228,65 Estratopausa 47 0 270,65 Mesósfera 51 −2,8 270,65 Mesòsfera 71 −2,0 214,65 Mesopausa 85 0,0 186,87 Tabla 1.1: Distribución de temperaturas en la atmósfera estándar internacional (1976) válida hasta una altitud de 100km . temperatura. Como ya hemos anticipado, el objetivo de definir este tipo de altitudes obedece a que la mayoría de los dispositivos primarios utilizados para la estimación de la altitud en aeronaves son, en realidad, elementos que miden la presión atmosférica, y se valen de que esta presión disminuye con la altitud, entregando un valor calibrado en unidades de altitud de acuerdo a las variaciones que se registran en la atmósfera. Sin embargo, la atmósfera terrestre es un sistema dinámico que cambia constantemente, donde las propiedades del aire varían de acuerdo a la ubicación geográfica, hora del día, época del año, etc. Claramente no es posible tener en cuenta todas estas condiciones para definir niveles de presión constante que se traduzcan en unidades de altitud. Entonces, a los efectos de garantizar una misma calibración de altitudes para los distintos altímetros, independientemente de las condiciones particulares de la atmósfera en cada lugar, existe una convención internacional que define un modelo de atmósfera de referencia denominada atmósfera estándar internacional (ISA por sus siglas en inglés), la cual no sólo permite la navegación aérea, sino que además proporciona un marco de referencia para la realización de cálculos aerodinámicos y de performance consistentes. El modelo ISA divide a la atmósfera en distintas capas dentro de las cuales la temperatura varía linealmente según valores basados en condiciones promedio en latitudes medias. Las propiedades termodinámicas se obtienen considerando que el aire es un gas perfecto con R = 287,058J/(K kg)) en reposo (velocidad nula), para el cual existe una distribución impuesta de temperatura donde la presión y la densidad se calculan mediante la ecuación de estado de los gases ideales asumiendo equilibrio hidrostático con gravedad constante g = 9,80665m/s2. El punto de partida para los valores de referencia en la atmósfera estándar se establece en el nivel medio del mar donde se fijan los siguientes valores: TMSL = 288,15K = 15 oC, pMSL = 101325Pa = 1atm, ρMSL = 1,225kg/m3. (1.12) En la atmósfera estándar se asume una variación lineal de la temperatura en las distintas capas atmosféricas. En la Tabla 1.1 se muestran los gradientes térmicos correspondientes a cada capa (un valor nulo indica temperatura constante), además de las altitudes de transición entre ellas y las temperaturas de referencia en el inicio de cada capa. Según se observa en esta tabla, existen regiones de variación lineal de la temperatura (gradiente térmico constante) y regiones de temperatura constante (regiones isotérmicas). Por lo tanto, teniendo en cuenta los desarrollos de la Sección 1.1.3, es posible obtener los valores de la presión y la densidad para una altitud dada, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 12 Capítulo 1. Fundamentos físicos Ejemplo 1.2 Calcular los valores de densidad, presión y temperatura para una altitud de 14km en la atmósfera estándar internacional. Una altitud de 14km corresponde a la Tropopausa (ver Tabla 1.1), por lo tanto el medio es isotérmico y los valores de referencia necesarios para completar las ecuaciones son los del final de la Tropósfera. En esa región los valores de referencia son Tref = 288,15K, ρref = 1,225kg/m3, pref = 101325Pa con gradiente térmico constante λ = −0,0065K/m, entonces en el límite superior de esta región (h = 11km), utilizando las ecuaciones (1.10) y (1.11) se obtiene: p11km = pref ( 1+ λ Tref 11000m )−g/(λR) = 22632,6Pa, ρ11km = ρref ( 1+ λ Tref 11000m )−g/(λR)−1 = 0,36393 kg m3 . En la Tropopausa tenemos temperatura constante, con lo cual se emplean las expresiones (1.7) y (1.8) con los valores de referencia calculados anteriormente, resultando: T14km = 216,65K, p14km = p11km exp [ − g RT11km (h−11000m) ] = 14102,3Pa, ρ14km = ρ11km exp [ − g RT (h−11000m) ] = 0,22676 kg m3 . � Para agilizar los cálculos en problemas posteriores, en el Apéndice B se presentan las ecuaciones de la atmósfera estándar incluyendo los valores de referencia de cada capa atmosférica. Con estas ecuaciones sólo es necesario introducir el valor de la altitud considerando la capa correspondiente para obtener directamente los resultados de ρ, p y T en unidades del Sistema Internacional. 1.1.6 El baroaltímetro El altímetro es el instrumento utilizado en una aeronave para conocer la posición vertical de la misma. Este instrumento es el principal y más importante elemento para la navegación vertical y para establecer la separación vertical del avión con el suelo y otras aeronaves. Un altímetro convencional es, en realidad, un baroaltímetro, que básicamente consiste en un dispositivo que mide la presión abiente en la posición de vuelo. El baroaltímetro está compuesto por un manómetro conectado a un orificio expuesto a la presión atmosférica local y un dial indicador cuya escala se encuentra calibrada en unidades de altitud en lugar de expresar unidades de presión. La transformación entre el valor de presión ambiente y la lectura de altitud que exhibe el instrumento es posible gracias a la definición de la atmósfera de referencia ISA, cuyo modelo provee la equivalencia entre presión atmosférica y altitud que permite la calibración del instrumento. En la Figura 1.3 se muestra el esquema de funcionamiento elemental de un baroaltímetro. Allí vemos que se dispone una cápsula aneroide4 que se encuentra expuesta a la presión atmosférica exterior. La deformación de la cápsula, producida por los cambios en la presión ambiente, se transmite mediante un mecanismo especial al dial indicador, el cual entrega una lectura de altitud o altura dependiendo de la presión de referencia o de calaje fijada para realizar la estimación. La acción de fijar la presión de referencia del baroaltímetro se denomina calado, y para esto el instrumento 4Se define como cápsula aneroide a una cápsula elástica cerrada herméticamente que se expande o se contrae frente a los cambios de presión atmosférica. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 13 0 1 2 3 45 6 7 8 9 29.8 29. 6 Figura 1.3: Esquema de funcionamiento elemental de un baroaltímetro. cuenta con una perilla que permite ajustar el altímetro a la presión correspondiente, la cual se observa en una pequeña ventana conocida como ventanilla de Kollsman. Es importante tener en cuenta que la información entregada por un altímetro (convencional) es una estimación aproximada de la posición vertical de la aeronave con respecto a un determinado marco de referencia definido por la presión de calaje, de manera de poder comparar esta informa- ción con la posición de otros elementos (suelo, otras aeronaves) que obviamente debe estimarse considerando la misma referencia. En todos los casos, aunque estas estimaciones se expresen en metros (o pies), las mismas son en realidad valores de presión que se transforman a unidades de longitud utilizando el modelo de atmósfera estándar. En otras palabras, se dice que el altímetro entrega una altitud de presión de acuerdo a la siguiente definición: Definición 1.6 — Altitud de presión. La altitud de presión es la altitud que le corresponde a la presión ambiente local en el modelo de atmósfera estándar (ISA), es decir, la altitud a la,cual se obtiene la misma presión que la ambiente en la atmósfera estándar. Dado que a una altitud de presión determinada la presión es constante, una superficie de presión constante (isobara) define una superficie de altitud de presión constante. El concepto de altitud (a secas) utilizado en la definición anterior es una definición eminen- temente geométrica y, por lo tanto, no debe cofundirse con la altitud de presión que provee el altímetro, cuyo marco de referencia está basado en la distribución de presión. La definición formal de altitud se presenta a continuación. Definición 1.7 — Altitud. La altitud es la distancia vertical, también entendida como la mínima distancia, entre el nivel, punto u objeto considerado y el nivel medio del mar (MSL: mean sea level). Para enfatizar el carácter geométrico de esta definición suele referirse a la altitud real como altitud verdadera (TA: true altitude), la cual suele expresarse en pies sobre el nivel del mar (ft AMSL: feet above mean sea level) en el contexto aeronáuticoa. aEn la operación y la industria aeronáutica se han heredado múltiples unidades del Sistema Imperial que continúan utilizándose masivamente como consecuencia de la fuerte influencia norteamericana en el sector. Teniendo en cuenta que la operación de las aeronaves convencionales se produce dentro de la Tropósfera, la equivalencia entre presión y altitud para obtener la altitud de presión se realiza considerando la ecuación de altura para gradiente térmico constante. De la ecuación (1.10) se DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 14 Capítulo 1. Fundamentos físicos obtiene la siguiente expresión: h = Tref λ [( p pref )−λR/g −1 ] +href. (1.13) Entonces, para los valores de referencia de la atmósfera estándar en la Tropósfera (ver Tabla 1.1) y teniendo en cuenta que el gradiente térmico es negativo, la altitud de presión resulta: hMSL [m] = 44330,77 [ 1− ( p pMSL )0,19027] . (1.14) Definición 1.8 — Altitud de densidad. En forma análoga a la altitud de presión, la altitud de densidad indica la altura necesaria en la atmósfera estándar (ISA) para obtener una densidad igual a la densidad ambiente. A diferencia de la altitud de presión, la altitud de densidad no se utiliza como una referencia de altitud, sino que es más bien un idicador de performance ya que, como veremos más adelante, la densidad del aire influye directamente en el desempeño de una aeronave. Por ejemplo, una altitud de densidad elevada, lo cual implica un valor bajo de densidad, reduce la potencia disponible del motor, disminuye la fuerza de sustentación y extiende las carreras de despegue y aterrizaje. La altitud de densidad se obtiene mediante la ecuación (1.11): hρ = Tref λ [( ρ ρref )−1/[g/(λR)+1] −1 ] +href, (1.15) lo cual resulta para la tropósfera: hρMSL [m ] = 44330,77 [ 1− ( ρ ρref )0,23497] , (1.16) donde ρref es la densidad de referencia. Debido a la complejidad para obtener valores precisos de densidad, en general es preferible deducir la altitud de densidad indirectamente mediante los valores de altitud de presión y temperatura ambiente, para lo cual existen gráficos de doble entrada que permiten realizar esta estimación de manera rápida durante un vuelo. Otras importantes definiciones altimétricas corresponden a los conceptos de altura y elevación, los cuales están relacionados con alguna posición sobre la superficie terrestre. Definición 1.9 — Altura. La altura se define como la distancia vertical entre el nivel, punto u objeto considerado y la superficie terrestre. Esta cantidad suele expresarse en pies sobre el nivel del terreno (ft AGL: feet above ground level). Definición 1.10 — Elevación. La elevación se refiere siempre a un punto fijo sobre la superficie terrestre e indica la distancia vertical entre ese punto y el nivel medio del mar. Cuando se hace referencia a la elevación de un aeródromo, ésta indica la elevación más alta del área de aterrizaje. Al igual que la altitud, la elevación suele expresarse en ft AMSL. Durante un vuelo, la altura del avión puede conocerse a través de un instrumento denominado radio altímetro, el cual consiste básicamente en un emisor de señales de radio que mide el tiempo que le demanda a la señal reflejada en el terreno retornar a la aeronave. Mediante esta información el instrumento calcula la distancia recorrida por la señal estimando así la altura de vuelo. Aunque el radio altímetro es un importante dispositivo de seguridad, la información “instantánea” de la altura DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.1 Propiedades del aire 15 de vuelo no es de gran utilidad para la navegación aérea. Para este propósito es más adecuado utilizar referencias fijas como ser el nivel medio del mar dado por la presión estándar o un aeródromo cercano, cuya posición de referencia vertical se estima considerando la presión atmosférica del lugar. A partir de este valor se define la altura de presión: Definición 1.11 — Altura de presión. La altura de presión es la diferencia entre la altitud de presión del nivel, punto u objeto considerado y la altitud de presión de un punto fijo sobre la superficie terrestre con respecto al cual se estima la medición. Ejemplo 1.3 Determinar la altitud de presión y la altura de presión de una aeronave que se desplaza en una posición donde la presión atmosférica es de 540hPa y se encuentra volando sobre una superficie de 2000m de elevación cuya presión atmosférica es de 787hPa. La determinación de la altitud de presión es directa por medio de la ecuación (1.14): hMSL,avión = 44330,77 [ 1− ( 540 1013,25 )0,19027] = 5002,93m = 16414ft AMSL. Para obtener la altura de presión primero debemos calcular la altitud de presión del punto de referencia sobre la superficie terrestre: hMSL,grnd = 44330,77 [ 1− ( 787 1013,25 )0,19027] = 2080,97m. Con este valor determinamos la altura de presión de la aeronave hgrnd,avión = hMSL,avión−hMSL,grnd = 2921,96m = 9586ft AGL. Nótese que un valor aproximado bastante preciso para la altura de presión puede obtenerse utilizando la presión y la temperatura ambiente del lugar de referencia sobre la superficie terrestre como valores de referencia en la ecuación (1.14). Tomando Tgrnd = 288,15−0,0065×2000 = 275,15K se obtiene h̃grnd,avión = 44330,77 Tgrnd TMSL [ 1− ( 540 787 )0,19027] = 2927,56m = 9604ft AGL. Como vemos, la diferencia entre ambos resultados es de menos del 1%. � Nótese que para el cálculo de la altura de presión no es necesario conocer la elevación del punto de referencia en la superficie terrestre sino solamente la presión atmosférica del lugar. Esta presión, la cual generalmente corresponde a un aeródromo cercano y se designa como QFE, es muy importante en la operación aeronáutica ya que, a partir de este valor, se define la presión QNH, que es la presión de referencia utilizada para la navegación a altitudes relativamente bajas. Por otro lado, la presión de la atmósfera estándar a nivel del mar recibe el nombre de QNE y se utiliza como referencia cuando el vuelo se realiza a grandes altitudes. Estos conceptos se analizarán en detalle en el Capítulo 6, donde se presentan los principales instrumentos del avión (entre ellos el altímetro). DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 16 Capítulo 1. Fundamentos físicos 1.2 Fundamentos del flujo de aire La Mecánica de los Fluidos es la rama de la Mecánica de los Medios Continuos que estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que lo provocan y las acciones que se generan por el movimiento. Dentro de esta disciplina, la Aerodinámica se ocupa del estudio del flujo de gases, particularmente el aire, y de su interacción con cuerpos sólidos cuando existe movimiento relativo entre ellos. Un entendimiento acabado de los fenómenos físicos involucrados en estos procesos es fundamental para todo aquel que pretenda diseñar, construir o inclusive operar una aeronave. El objetivo principal de la Aerodinámica es fundamentalmente el de cuantificar y predecir las fuerzas y momentos que se generan como consecuencia,de la interacción entre el sólido y el medio gaseoso, es decir, determinar las acciones aerodinámicas que experimenta el sólido debido al movimiento (relativo) del aire. En esta sección presentaremos los conceptos básicos relativos a estos aspectos. 1.2.1 Conceptos iniciales Lejos de ser sencillo, el estudio del flujo de gases puede resultar extremadamente complejo si se consideran todos los fenómenos involucrados en este tipo de problemas. Sin embargo, dependiendo de la profundidad del análisis y de las características particulares del problema, pueden llevarse a cabo una serie de simplificaciones que reducen notablemente la dificultad del análisis, permitiendo su abordaje mediante ecuaciones relativamente sencillas que aún así son de gran utilidad. A continuación se presentan las principales definiciones y simplificaciones que pueden realizarse sobre los problemas de flujo de fluidos, y que serán esenciales a lo largo de este texto. Representación del problema En los problemas convencionales de Estática y Dinámica, e incluso en muchos problemas de Termodinámica, suele imponerse la idea de sistema para la representación y el análisis de los mismos. Esto significa que suponemos que el medio en estudio es una colección de materia de identidad fija (los elementos o partículas que conforman esa materia son siempre los mismos). Así, por ejemplo, en el análisis del movimiento de un cuerpo rígido el sistema está constituido precisamente por ese cuerpo, el cual está formado por una determinada cantidad de materia que nosotros seguiremos durante el estudio. En el análisis del flujo de fluidos, la idea de sistema puede resultar desventajosa ya que, en general, las partículas de materia “acceden” al dominio para luego abandonarlo conforme se desarrolla el flujo, haciendo imposible la definición de un sistema de identidad fija. Por este motivo suele utilizarse el enfoque del volumen de control para el análisis de flujos, donde la identidad fija la constituye una geometría definida en el espacio que no depende del flujo, y cuya masa interna puede variar en el tiempo. Desde este punto de vista, el fluido fluye a través del volumen de control y el estudio consiste en analizar lo que sucede dentro y en los límites del mismo, utilizando un marco de referencia fijo a dicho volumen. Esto es lo que se conoce como un análisis local o euleriano del problema, el cual se contrapone con el análisis sustancial o lagrangiano. La definición del volumen de control en general dependerá de las características geométricas del problema. Así, por ejemplo, si deseamos estudiar las propiedades del flujo a través de una sección de tubería, el volumen de control estará dado por las paredes de la tubería y por las secciones transversales a la misma a través de las cuales ingresa y egresa el fluido. Algo similar sucede en el caso de flujos en conductos o canales. Sin embargo, la definición del volumen de control no resulta tan trivial cuando se considera el movimiento de cuerpos sólidos en medios fluidos. En estos casos, el flujo ya no se encuentra confinado en un volumen fijo por lo que suele ser necesario definir un volumen de control móvil que sigue el movimiento del cuerpo. En la Figura 1.4 se muestran dos ejemplos de volúmenes de control que ilustran la forma de representar problemas de flujo de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 17 Figura 1.4: Definición de volúmenes de control para el análisis de problemas de flujo. (a) Volumen de control fijo. (b) Volumen de control móvil. fluidos. Flujo estacionario La idea de flujo estacionario en principio podría parecer contradictaria, ya que por definición un flujo implica movimiento. Sin embargo, desde un punto de vista local, la estacionariedad del flujo se refiere a que las propiedades del fluido en una determinada posición no cambian en el tiempo, es decir, que la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad se mantienen constantes a lo largo del tiempo y sólo son función de la posición: ρ = ρ(x,y,z), p = p(x,y,z), T = T (x,y,z), V = V(x,y,z). (1.17) La suposición de flujo estacionario es quizás la principal simplificación que puede realizarse para el tratamiento del movimiento de los fluidos. Con ella se logra una notable simplificación en las ecuaciones que gobiernan el flujo, ya que todos los términos asociados a variaciones temporales desaparecen. Naturalmente, esta simplificación será válida únicamente en aquellos problemas que respondan a la condición de estacionariedad, como por ejemplo el flujo constante de gases o líquidos a través de un conducto, los movimientos no acelerados de cuerpos en medios fluidos, etc. Definición del marco de referencia Si bien la idea más simple de volumen de control es una geometría fija en el espacio, un gran número de problemas de Mecánica de Fluidos pueden simplificarse considerablemente al utilizar volúmenes de control móviles, especialmente cuando el movimiento se realiza a velocidad constante. Estos casos corresponden fundamentalmente al desplazamiento de cuerpos en medios fluidos, como el que se produce por el vuelo de un avión en la atmósfera terrestre. En esa situación existe una velocidad relativa entre el aire en reposo y el avión que se mueve a velocidad constante V∞, cuyo efecto aerodinámico es el mismo que se obtiene al considerar al avión en reposo inmerso en una corriente de aire de velocidad V∞. En términos formales, esto es una transformación galileana, ya que el cambio de sistema de referencia se debe solamente a una velocidad constante (en magnitud y dirección), por lo que la transformación no introduce fuerzas adicionales cuando el sistema inicial es inercial. Este principio es el que se utiliza en los túneles de viento, en los cuales el análisis DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 18 Capítulo 1. Fundamentos físicos aerodinámico se realiza experimentalmente colocando un cuerpo en reposo dentro de una corriente de aire con el objetivo de recrear las condiciones “reales” del movimiento. La utilización de un volumen de control móvil permite transformar el campo de movimiento eminentemente inestacionario que produce un cuerpo desplazándose en un fluido en reposo a un problema estacionario en el cual el cuerpo está fijo e inmerso en una corriente que fluye estacio- nariamiente a su alrededor. Para ilustrar este concepto imaginemos un automóvil desplázandose a velocidad constante en una carretera recta. Para un observador ubicado a un lado del camino, el movimiento es claramente inestacionario, donde el aire cambia sus propiedades en regiones diferentes a medida que el auto avanza. Pero para un observador que se encuentra dentro del vehículo, el movimiento del aire es esencialmente estacionario, ya que las propiedades del flujo no cambian dentro de un volumen que contiene al automóvil y se mueve junto con éste. Teniendo en cuenta lo anterior, cuando se analiza el movimiento estacionario de cuerpos en medios fluidos, en general se considera un marco de referencia fijo al cuerpo y alineado con la velocidad del mismo. Se define como velocidad de la corriente libre a la velocidad del flujo relativa al cuerpo en regiones tan alejadas del mismo que no existen perturbaciones debidas a su presencia. Por este motivo, esta velocidad suele indicarse como V∞, haciendo referencia a que se trata de la velocidad del flujo “en el infinito”. Nótese que en el caso de una transformación galileana en el problema de un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniforme, la velocidad V∞ es igual a la velocidad de desplazamiento del cuerpo. Del mismo modo que la velocidad, las propiedades restantes del flujo asociadas a la corriente libre también se indican con el subíndice ∞ (ρ∞, p∞ y T∞). Concepto de velocidad de flujo y líneas de corriente La velocidad del flujo debe entenderse como la velocidad de desplazamiento de cada partícula de fluido5 que conforma dicho flujo. Considerando las idealizaciones de la hipótesis del continuo (ver Sección 1.1.4), puede definirse una velocidad para cada punto,del dominio, o sea que la velocidad del gas puede variar punto a punto tanto en magnitud como en dirección. En otras palabras, la velocidad del flujo en cada punto fijo del dominio es la velocidad del elemento diferencial de masa en dicho punto fijo para un instante de tiempo dado. A partir del concepto de la velocidad del flujo se realizan una serie de definiciones que facilitan la interpretación y el análisis de los problemas que involucran el movimiento de fluidos. Estas definiciones corresponden a las líneas de corriente, líneas de trayectoria y líneas de traza de un flujo. Entre ellas, las líneas de corriente están más asociadas al análisis teórico, mientras que las líneas de trayectoria y las líneas de traza son generalmente más usadas en el análisis experimental. Definición 1.12 — Líneas de corriente. Una línea de corriente es una curva que en cada punto es tangente al vector velocidad del flujo. Según su definición, existen infinitas líneas de corriente asociadas a los infinitos puntos que conforman el dominio, las cuales no pueden intersectarse ya que hay un solo vector velocidad (y por lo tanto una sola dirección tangencial al mismo) por cada punto. Matemáticamente las líneas de corriente se definen considerando un elemento diferencial de arco ds = (dx, dy, dz), el cual por definición debe ser paralelo a la velocidad V = (u,v,w) en cada punto, por lo tanto: ds×V = (w dy− v dz) î+(u dz−w dx) ĵ+(v dx−u dy) k̂ = 0. De la expresión anterior se deduce dx u = dy v = dz w . (1.18) 5Entendiendo a una partícula de fluido de acuerdo a las idealizaciones asumidas en la hipótesis del continuo (ver Definición 1.5). DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 19 Figura 1.5: Esquema de una línea de corriente para el instante de tiempo t = ti y una línea de trayectoria para la partícula P1 en el intervalo t0 ≤ t ≤ tN . La definición de las líneas de corriente se relaciona con la idea de “fotografía” del movimiento, ya que las líneas de corriente representan una situación instantánea del flujo. Contrariamente, las líneas de trayectoria representan la “historia” del movimiento de cada partícula fluida, con lo cual suelen asociarse a la idea de “película” del movimiento. Esta diferencia puede verse esquemáticamente en la Figura 1.5. Definición 1.13 — Líneas de trayectoria. Como su nombre lo indica, una línea de trayectoria es una curva que representa el camino recorrido por una partícula de fluido dentro del dominio considerado. Al igual que para las líneas de corriente, en cada instante de tiempo existen infinitas líneas de trayectoria asociadas a los infinitos elementos de fluido que existen teóricamente, pero a diferencia del caso anterior, las líneas de trayectoria sí pueden intersectarse ya que dos elementos de fluido pueden haber ocupado la misma posición en diferentes instantes de tiempo. La línea de trayectoria para una partícula de fluido P se expresa matemáticamente como las funciones xP(t), yP(t) y zP(t) que expresan la variación de la posición xP = (xP,yP,zP) de la partícula en el tiempo: xP(t) = xP(t0)+ ˆ t t0 u(xP(τ),τ) dτ, yP(t) = yP(t0)+ ˆ t t0 v(xP(τ),τ) dτ, zP(t) = zP(t0)+ ˆ t t0 w(xP(τ),τ) dτ. La expresión anterior es equivalente a: dxP dt = VP(xP, t), (1.19) que es la ecuación de movimiento cinemática de la partícula P. Hay que enfatizar el hecho de que el vector xP representa la posición de una misma partícula a lo largo del tiempo, por lo tanto la derivada dxP/dt es una derivada sustancial y xP no debe confundirse con una posición fija en el dominio. Definición 1.14 — Líneas de traza. Una línea de traza se define como una curva formada por todas las partículas de un flujo que previamente han pasado por un mismo punto del dominio. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 20 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.6: Fotografía del flujo de baja velocidad alrededor de un perfil aerodinámico. La visualización se logra mediante la inyección de humo en algunos puntos del campo de movimiento. Nuevamente, dado que existen infinitos puntos dentro de un dominio, existen también infinitas líneas de traza asociadas a cada uno de estos puntos. Tanto las líneas de corriente como las líneas de traza representan una “situación instantánea” que pueden variar. En el caso de flujo estacionario ambos conjuntos de líneas permanecen fijos en el tiempo. Por otro lado, las líneas de trayectoria también podrán variar o permanecer fijas dependiendo del recorrido que realicen las “nuevas” partículas de fluido que ingresan al dominio. Bajo la condición de flujo estacionario, los tres grupos de curvas serán coincidentes entre sí, ya que los elementos de fluido que pasan por un punto determinado recorrerán siempre la misma trayectoria, haciendo indistinguibles las líneas de traza de las trayectorias. Además, la velocidad que experimentará cada partícula de fluido a lo largo de su trayectoria será la misma, ya que el flujo es estacionario, por lo tanto las líneas de corriente también coinciden con las líneas de trayectoria. Esto puede verificarse analizando la expresión (1.19), que para el caso donde la velocidad (local) no depende del tiempo, se reduce a la ecuación (1.18) cuando se considera un punto fijo en la línea de trayectoria xP. De esta manera, bajo la condición de flujo estacionario es posible visualizar experimentalmente las líneas de corriente de forma relativamente sencilla. La técnica consiste en introducir en el flujo un elemento contaminante que permita la visualización, tal como humo o algún colorante, de modo que el fluido arrastre dicho elemento con el movimiento. Aunque de esta forma se estarán reproduciendo líneas de traza tal como sucede con el humo que sale de una chimenea, a diferencia de dicho ejemplo donde generalmente el viento desplaza el humo aleatoriamente configurando un flujo no estacionario, la condición de estacionariedad del flujo hace que las líneas de traza coincidan con las líneas de corriente permitiendo así visualizar estas últimas. En la Figura 1.6 se muestra la fotografía de las líneas de corriente correspondientes al flujo estacionario alrededor de un perfil aerodinámico que se observa mediante la inyección de humo. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 21 Flujo bidimensional La definición de las líneas de corriente permite estableceer otras definiciones tendientes a simplificar el tratamiento de los problemas de movimiento de fluidos. Si para un flujo determinado las líneas de corriente quedan en todo momento contenidas dentro de planos paralelos, se dice que el movimiento es plano y el mismo puede reducirse a un flujo bidimensional si es que las propiedades no varían en dirección normal a dichos planos. Un ejemplo de flujo bidimensional es el que se muestra en la Figura 1.6, ya que el campo de movimiento puede caracterizarse considerando únicamente dos dimensiones, con un comportamiento se “repite” en la dirección perpendicular al plano considerado. La reducción de un problema tridimensional a uno bidimensional es otra de las principales simplificaciones que pueden realizarse en el tratamiento del flujo de fluidos. Obviamente, la posibilidad de llevar a cabo esta simplificación dependerá de la naturaleza del problema, ya que para que su aplicación sea válida el campo de movimiento debe cumplir con los requerimientos del movimiento plano. Este aspecto se pone en evidencia en el Capítulo 5 cuando se estudia el flujo alrededor del ala de un avión. Una simplificación similar a la de flujo bidimensional es la de flujo axisimétrico, la cual se aplica en el caso de flujos que poseen simetría axial, tal como puede ocurrir en el movimiento de fluidos a través de tubos rectos de sección circular o en el flujo alrededor de cuerpos de revolución alineados con la corriente principal. En estos casos, las propiedades del flujo se repiten en cada plano longitudinal que contiene al eje de simetría del problema, permitiendo reducir los grados de libertad del análisis. Flujo no viscoso,Una simplificación posible y válida en muchos problemas de interés es suponer que no existen fuerzas de fricción producidas por el movimiento del aire sobre las paredes de los elementos sólidos, es decir, suponer que el aire tiene viscosidad nula. La viscosidad puede entenderse como la resistencia o la oposición a fluir que intrínsecamente poseen todos los fluidos (este concepto se estudia en detalle en la Sección 1.3). Esta propiedad es evidente en líquidos “pesados” como aceites o pinturas, en los cuales la viscosidad determina el comportamiento del flujo, pero en el caso del flujo de gases como el aire, sus efectos pueden despreciarse si se cumplen ciertas condiciones. La suposición de flujo no viscoso o flujo ideal equivale a asumir que no existen pérdidas de energía durante el movimiento del fluido, ya que no existen otros mecanismos de disipación de la energía en el marco de procesos adiábaticos como asumimos que son los problemas de nuestro interés. Sin embargo, no deben perderse de vista las limitaciones de la hipótesis de flujo no viscoso especialmente en aquellos casos donde existe desprendimiento del flujo o cuando las tensiones debidas a la fricción no son despreciables (estos conceptos se analizarán en profundidad en el Capítulo 2). Compresibilidad del aire Está claro que el aire, como cualquier gas o mezcla de gases, constituye un medio compresible, lo cual significa que su densidad puede cambiar punto a punto e instante a instante por acción de la presión o del movimiento. Esto implica que, debido a la propiedad de comprimirse y expandirse, los cambios o perturbaciones que sufre el medio no se transmiten instantáneamente por todo el dominio sino que lo hacen a una velocidad finita viajando en forma de ondas que se propagan desde el origen de la perturbación. Éste es el caso de las ondas de compresión que viajan por el aire y que percibimos en forma de sonido, de allí que la velocidad a la cual se transmite la “información” a través de un medio gaseoso se conoce como la velocidad del sonido. En el caso de gases perfectos (o ideales), tal como se asume al aire bajo las condiciones presentes en nuestros estudios, la velocidad del sonido a es una función de la temperatura solamente: a = √ γRT , (1.20) DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 22 Capítulo 1. Fundamentos físicos donde la constante particular del aire R es constante (ya que se asume la hipótesis de gas perfecto) y γ= cp/cv es la relación de calores específicos a presión y volumen constante, igual al coeficiente isoentrópico. Siendo que el aire es un gas poliatómico resulta γ= 7/5= 1,4. Por otro lado, teniendo en cuenta la expresión de la ecuación de estado para gases ideales, la velocidad del sonido puede escribirse en términos de la relación entre la presión y la densidad: a = ( γ p ρ )1/2 . (1.21) La velocidad del sonido es una propiedad fundamental de un medio gaseoso cuya magnitud determina gran parte de las características del flujo. Para establecer la influencia de este parámetro se lleva a cabo una de las definiciones más importantes en el estudio del flujo de gases: Definición 1.15 — Número de Mach. Se define como número de Mach Ma al cociente entre la velocidad del flujo en un punto determinado del campo de movimiento y la velocidad (local) del sonido: Ma= V a . (1.22) El número de Mach constituye una de las cantidades fundamentales en Aerodinámica, ya que a partir de este valor pueden clasificarse distintos regímenes de flujos con características y comportamientos particulares: 1. Flujo subsónico para Ma< 1 2. Flujo sónico para Ma= 1 3. Flujo supersónico para Ma> 1 Además de estos tres regímenes, cuyos límites están bien definidos, pueden establecerse los regímenes de flujo transónico (0,8 .Ma . 1,2) y flujo hipersónico (Ma > 5) cuyos límites son algo flexibles dentro de cierta variación. El número de Mach indica la relación que existe entre la velocidad del flujo y la velocidad a la cual se transmite la información en el medio. El efecto del movimiento sobre la densidad es más importante a medida que aumenta el número de Mach ya que, de modo muy simplificado, podemos pensar que cuando ambas velocidades V y a son comparables (Ma. 1), la acción del movimiento es tan rápida con respecto a la velocidad de propagación de las ondas que llevan la información de lo que sucede corriente abajo que las moléculas del fluido no son capaces de “reacomodarse” generándose así cambios en la densidad. Aunque estos cambios siempre se producen en el flujo de gases, éstos pueden despreciarse cuando la velocidad del flujo es lo suficientemente baja en compraración con la velocidad del sonido. Es importante notar que los cambios en la densidad a los que nos referimos en este caso son aquellos que se deben solamente a la acción del movimiento y no de una compresión hidrostática como sucede en un gas en reposo. Teniendo en cuenta que la gran mayoría de los problemas de Aerodinámica presentan varia- ciones de altura pequeñas con respecto a la escala atmosférica, tal que los cambios en la densidad asociados a compresiones hidrostáticas pueden despreciarse, en ocasiones es posible asumir que el aire es un fluido incompresible, es decir, que la densidad permanece constante en todo el campo de movimiento. La suposición de incompresibilidad es válida para el regímen de flujo subsónico de baja velocidad, el cual establece que la máxima velocidad del flujo debe cumplir la condición Mamáx = Vmáx a . 0,3. (1.23) De acuerdo a esta relación, para un flujo de aire en condiciones estándar a nivel del mar, la suposición de incompresibilidad es válida para Vmáx . 100m/s, ya que bajo esas condiciones la velocidad del sonido es a ≈ 340m/s. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 23 Figura 1.7: Definición de un tubo de flujo. Más allá de esta idealización, no debe perderse de vista que el aire, como todos los gases, constituye un medio compresible y que la idea de incompresibilidad está asociada “más al flujo que al fluido”, de allí que que esta hipótesis se conoce como de flujo incompresible. La razón por la cual la condición Ma . 0,3 permite asumir que la densidad es constante será justificada más adelante (ver Sección 1.2.4). 1.2.2 Ecuaciones de conservación Teniendo en cuenta los conceptos detallados anteriormente, a continuación vamos a proceder a presentar algunas ecuaciones fundamentales para describir las propiedades de un fluido en movimiento. Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones de conservación ya que expresan los principios físicos de conservación de la masa y de conservación de la energía. Para nuestro análisis estas ecuaciones serán determinadas asumiendo las hipótesis de flujo incompresible, estacionario y no viscoso. Ecuación de continuidad Los principios de la Mecánica de los Fluidos están sustentados en las leyes de la Física. De estos principios, seguramente el más intuitivo es el de conservación de la masa, el cual postula que, lejos de los límites relativísticos, la materia no puede ser creada ni destruida. Esto significa que el cambio en la masa dentro de un volumen de control se debe a la diferencia entre el flujo de masa que ingresa y el flujo de masa que sale del volumen cuando no existen fuentes ni sumideros dentro del mismo. Esto implica que cualquier incremento de la masa interna debe necesariamente provenir del flujo entrante y cualquier disminución de la misma debe producirse necesariamente por el flujo saliente del volumen de control. Bajo la hipótesis de flujo estacionario, las propiedades locales del fluido se mantienen constantes en el tiempo lo cual implica que la masa del fluido dentro del volumen de control también es constante. Por lo tanto, de acuerdo al principio de conservación de la masa, el flujo de masa entrante al volumen de control es igual al flujo de masa saliente. Para ejemplificar esta situación, consideremos (sin pérdida de generalidad) un volumen conformado por la superficie en forma de tubo que se genera por un grupo de líneas de corriente,y dos superficies normales a las mismas, tal como se muestra en la Figura 1.7. Un volumen definido de esta manera se conoce como tubo de flujo, ya que el fluido no puede abandonar el mismo a través de las paredes formadas por las líneas de corriente, de lo contrario se estaría violando la condición de que las líneas de corriente no pueden intersectarse. Por lo tanto, la superficie cerrada formada por las líneas de corriente se comporta como si efectivamente se tratara de un tubo de paredes sólidas. Teniendo en cuenta entonces la definición del tubo de flujo, y recordando que el flujo es DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 24 Capítulo 1. Fundamentos físicos estacionario, resulta que el tubo de flujo permanece fijo en el dominio y las propiedades del fluido no cambian en el tiempo. Esto implica que el caudal másico que pasa a través de una de las superficies transversales del tubo de flujo debe ser igual al caudal másico que atraviesa la otra superficie. Si no se cumpliera esta condición significaría que dentro del tubo se está creando o destruyendo materia, lo cual violaría el principio de conservación de la masa. Entonces, podemos escribir: ρ1V1A1 = ρ2V2A2, (1.24) donde los subíndices 1 y 2 corresponden a los valores promedio de densidad y velocidad en cada una de las superficies de área A1 y A2. La ecuación (1.24) es la llamada ecuación de continuidad para flujo estacionario, la cual constituye una simple ecuación algebraica. La ecuación de continuidad presentada de esta forma se utiliza para el cálculo del flujo a través de todo tipo de ductos y tubos, tales como túneles de viento o motores de cohetes. Si a la condición de flujo estacionario le añadimos la condición de flujo incompresible, debe cumplirse ρ1 = ρ2 y la ecuación de continuidad se reduce a una expresión que vincula la relación de velocidades con la relación de áreas: V1 V2 = A2 A1 . (1.25) Naturalmente, esta ecuación es especialmente válida para el caso de líquidos, los cuales pueden asumirse como incompresibles con un alto grado de precisión. En el caso de los gases, como el aire, deben tenerse en cuenta los límites de la suposición de incompresibilidad del flujo. La ecuación (1.25) explica por qué las toberas utilizadas para acelerar el flujo de líquidos, como el caso de una manguera de riego, son siempre convergentes, es decir, que reducen su área en la dirección del movimiento. Este principio es válido también para el flujo de gases sólo en régimen subsónico, tal como ocurre en la construcción de túneles de viento de baja velocidad, pero para velocidades superiores a la velocidad del sonido deben considerarse los efectos de compresibilidad del gas y las toberas resultan con una forma convergente-divergente (tobera de Laval). Ejemplo 1.4 Determinar la velocida (media) a la entrada y a la salida de un convergente que tiene una sección de entrada de 0,75m2 y una sección de salida de 0,20m2, a través del cual circula un caudal de aire de 6m3/s. La velocidad media de un fluido que circula a través de un conducto es simplemente la relación entre el caudal volumétrico y la sección transversal, entonces a la entrada del convergente: Vin = 6m3/s 0,75m2 = 8 m s . DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 25 Para obtener la velocidad media a la salida podemos utilizar la expresión anterior considerando la sección de salida del convergente o podemos emplear la ecuación de continuidad para flujo incompresible considerando la relación entre las secciones de entrada y salida, es decir: VoutAout =VinAin→Vout =Vin Ain Aout = 30 m s . � Ecuación de Bernoulli A continuación procederemos a obtener la Ecuación de Bernoulli, una de las ecuaciones fundamentales de la Mecánica de los Fluidos, la cual expresa el principio de conservación de la energía. Para este desarrollo se hace uso de los postulados de la Mecánica Clásica, más precisamente de la segunda Ley de Newton: F = ma, (1.26) donde F es el vector fuerza, m la masa y a el vector aceleración. Para simplificar el análisis asumimos además que el flujo es bidimensional. Un elemento diferencial de fluido se desplaza a lo largo de una línea de corriente con velocidad V en un determinado instante de tiempo, tal como se muestra en la Figura 1.8. La fuerza que actúa sobre este elemento es la resultante de las fuerzas debidas a los siguientes fenómenos: 1. La presión, que actúa en dirección normal a las caras del elemento. 2. La fricción que actúa en dirección tangencial a las caras del elemento y que se debe a la viscosidad del fluido. 3. El peso que actúa sobre el elemento de fluido debido a la aceleración gravitatoria g. Asumiendo flujo no viscoso (fluido ideal) las fuerzas de fricción son nulas y la resultante de las fuerzas externas es la suma de las fuerzas de presión y las fuerzas gravitatorias. Entonces, teniendo en cuenta que la velocidad es tangente a la línea de corriente y que nos interesa conocer la fuerza en esa dirección, la ecuación vectorial (1.26) se reduce a la siguiente ecuación escalar que considera las componentes de las fuerzas en la dirección s del flujo: m dV dt = ( Fpresión +Fgravitatorias ) s . Las componentes de las fuerzas de presión y gravitatorias se obtienen observando la Figura 1.8, teniendo en cuenta que la coordenada s es tangente a la línea de corriente y que dh es normal a s. Entonces, recordando que asumimos flujo bidimensional (las áreas y volúmenes están referidas a un ancho unitario), la ecuación anterior resulta: ρ dhds dV dt = pdh− (p+ dp) dh−ρg sinβ dhds. donde ρ es la densidad promedio dentro del volumen diferencial. Siendo dV dt = dV ds ds dt =V dV ds , podemos escribir ρV dV ds =−dp ds −ρg sinβ. (1.27) Esta ecuación relaciona el cambio en la cantidad de movimiento de la partícula fluida (miembro izquierdo) con las fuerzas actuantes sobre la misma (miembro derecho). Hay que tener en cuenta que DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 26 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.8: Diagrama de fuerzas sobre un elemento de fluido para la derivación de la ecuación de Bernoulli. ella es válida tanto para flujo incompresible como compresible, ya que aún no hemos introducido ninguna restricción en cuanto a la variación de la densidad. La interpretación física de esta ecuación es que el cambio en la velocidad de la partícula se logra a través de una adecuada combinación entre el gradiente de presión y el peso de la misma a lo largo de la línea de corriente. Mientras que en un fluido en reposo las fuerzas de presión y gravitatorias se balancean entre sí (el miembro izquierdo de la ecuación es nulo), en un fluido en movimiento estas fuerzas no necesariamente son iguales y el desbalance entre ellas provee la fuerza que produce la aceleración de la partícula fluida. Multiplicando ambos miembros de la ecuación (1.27) por ds e integrando entre dos puntos s1 y s2 de la línea de corriente para un fluido incompresible (ρ = cte): ρ ˆ V2 V1 V dV =− ˆ p2 p1 dp+ρ ˆ s2 s1 g sinβ ds, 1 2 ρ ( V 22 −V 21 ) =−(p2− p1)−ρg (H2−H1) donde se ha utilizado la relación entre la coordenada de altura H y s tal que dH ds = sinβ→ dH = dssinβ, con lo cual ˆ s2 s1 ρg sinβ ds = ˆ H2 H1 ρg dH. Finalmente podemos escribir la siguiente relación para dos puntos genéricos 1 y 2 dispuestos sobre una misma línea de corriente: 1 2 ρV 21 + p1 +ρgH1 = 1 2 ρV 22 + p2 +ρgH2 (1.28) Esta ecuación expresa el principio de conservación de la energía para flujo estacionario, in- compresible y no viscoso. El primer término representa la energía cinética, el segundo la energía DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 27 de presión y el último la energía potencial. Esta expresión indica que, bajo la suposición de un flujo ideal donde no existen mecanismos de disipación, la energía no puede “perderse” sino que se transforma. En otras palabras, la energía mecánica total del sistema se mantiene constante: 1 2 ρV 2 + p+ρgH = constante. (1.29) La ecuación de conservación de la energía,expresada en la forma de la ecuación (1.29) es la llamada Ecuación de Bernoulli, la cual fue derivada por Daniel Bernoulli en 1737 aplicada al flujo de agua. Esta ecuación es también conocida como Principio de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli. Aunque las suposiciones utilizadas para su derivación pueden parecer un tanto restrictivas, la ecuación de Bernoulli es de gran utilidad para resolver muchos problemas reales que pueden modelarse asumiendo flujo estacionario, incompresible y no viscoso, encontrando su solución mediante la aplicación de este principio. En el caso particular del estudio del flujo de aire para aplicaciones aerodinámicas, la ecuación de Bernoulli generalmente se ve reducida en un término, ya que la energía potencial ρgH suele mantenerse prácticamente constante debido a que el aire tiene una densidad relativamente baja y a que, en general, existen variaciones pequeñas en la altura H. Bajo esta condición la ecuación (1.29) se se reduce a: 1 2 ρV 2 + p = p0. (1.30) donde p0 representa la energía mecánica total del sistema y por lo tanto es constante a lo largo de cada línea de corriente. Cada uno de los términos en la ecuación de Bernoulli expresada en la forma (1.30) recibe una denominación especial. El conocimiento de lo que representa cada uno de estos términos es fundamental para el entendimiento de muchas de las aplicaciones aerodinámicas. Definición 1.16 — Presión estática p. La presión estática en un punto dado es la presión que “siente” una superficie infinitesimal tangente a la dirección del flujo (es decir, tangente a la línea de corriente). Esta definición indica que en presencia de un movimiento (V 6= 0), la presión estática es la presión debida a la transferencia de cantidad de movimiento a nivel molecular que ejerce el fluido sobre la superficie considerada. El concepto de presión estática tiene sentido en el contexto del movimiento de un fluido puesto que en el caso de un fluido en reposo no es posible definir una dirección del flujo, no obstante, en general se asume que las presiones hidrostáticas son también presiones estáticas. Por otro lado, algunos autores incorporan a la definición anterior la condición de que la superficie infinitesimal sobre la cual se mide la presión estática debe moverse con el fluido, lo cual parecería no introducir modificaciones con respecto a la medición de una superficie fija siempre que ésta sea tangente al flujo (en ese caso la velocidad macroscópica no aporta cantidad de movimiento). Definición 1.17 — Presión dinámica q. La presión dinámica puede definirse como la porción de la energía del flujo asociada a la velocidad, es decir, que corresponde al término de la energía cinética en la ecuación de Bernoulli. Esta cantidad suele indicarse con la letra q = 12 ρV 2 y en el caso de flujo incompresible también se la conoce como presión cinética o presión de velocidad. Definición 1.18 — Presión total p0. La presión total cuantifica la energía total disponible en el flujo. En el caso de la ecuación de Bernoulli simplificada para el aire (sin considerar la variación de la energía potencial), la presión total es la suma de la presión estática y la presión dinámica (p0 = p+q). Debido a que la presión total resulta igual a la presión estática para velocidad nula, ella también se conoce como presión de impacto o presión de estancamiento. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 28 Capítulo 1. Fundamentos físicos Es importante notar que la presión total es una propiedad del flujo en un punto dado, la cual se mantiene constante a lo largo de una misma línea de corriente (asumiendo la condición de flujo no viscoso). Por otro lado, considerando la relación entre la presión y las demás variables termodinámicas, en Dinámica de Gases también se definen “valores totales o de impacto” para la temperatura y la densidad (T0 y ρ0, respectivamente). Además, hay que tener en cuenta que las definiciones de presión estática, presión dinámica y presión total son válidas tanto para flujo incompresible como compresible, aunque las relaciones entre ellas que surgen de la ecuación de Bernoulli sólo son válidas en el marco de las hipótesis utilizadas para obtener dicha ecuación, es decir, flujo estacionario, no viscoso e incompresible. En este punto, cabe destacar que la irrotacionalidad6 del flujo no es un requerimiento necesario para la validez de la ecuación de Bernoulli tal como fue obtenida anteriormente, ya que la constante que define la energía mecánica total de cada línea de corriente puede variar de una a otra y esta variación se produce en dirección normal al movimiento, por lo tanto, la ecuación (1.28) puede utilizarse en un flujo rotacional entre dos puntos sobre una misma línea de corriente (Katz y Plotkin, 2001, págs. 28–29). Ejemplo 1.5 Teniendo en cuenta los datos del Ejemplo 1.4, determinar la presión total del flujo a través del convergente y la presión estática a la salida del mismo si la presión atmosférica a la entrada es de 1013hPa y la densidad del aire de 1,23kg/m3. De acuerdo a los resultados del ejemplo 1.4 tenemos que las velocidades a la entrada y a la salida del convergente son Vin = 8m/s y Vout = 30m/s, respectivamente. Por lo tanto, la presión dinámica en cada sección es qin = 1 2 ρV 2in = 39,36Pa, qout = 1 2 ρV 2out = 553,5Pa. Conociendo la presión atmosférica a la entrada del convergente, que en este caso es igual a la presión estática del flujo en esa sección, la presión total resulta p0 = pin +qin = 101339,36Pa. La presión estática a la salida es entonces (asumiendo que no existen pérdidas por fricción) pout = p0−qout = 100785,86Pa. � 1.2.3 Determinación de la velocidad: El tubo Pitot El principal “aporte” de la ecuación de Bernoulli es brindar una relación entre la presión y la velocidad del flujo. Esta relación permite obtener la velocidad de una corriente de aire a partir de la medición de la presión estática y la presión total. El instrumento encargado de medir la presión total de una corriente se denomina tubo (o sonda) Pitot, el cual debe su nombre a su inventor, el francés Henri Pitot quien desarrolló esta idea en el siglo XVIII. Un esquema básico de un tubo Pitot se muestra en la Figura 1.9. Este instrumento consiste en un tubo colocado en forma paralela a la corriente cuyo extremo delantero (nariz) se encuentra abierto al flujo (punto A de la figura), mientras que el otro extremo del tubo está cerrado (punto B). De esta manera, el fluido que ingresa por el extremo abierto queda “estancado” en el punto B hasta que se alcanza la condición estacionaria y en efecto todo el fluido dentro del tubo Pitot se encuentra “detenido”, incluso en el punto A. Como 6La irrotacionalidad es la condición cinemática que exige que la vorticidad del flujo sea nula, es decir, ∇×V = 0. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 29 Figura 1.9: Esquema básico de un tubo Pitot. consecuencia, este punto constituye un punto de estancamiento del flujo, por lo tanto la presión medida en dicho punto es la presión total (o de estancamiento) p0. Esta presión se transmite a través del tubo Pitot que se conecta a un manómetro para obtener finalmente el valor de la presión total. Para la medición de la presión estática debemos tener presente que, de acuerdo a la Defini- ción 1.16, esta presión se registra sobre una superficie paralela (o tangencial) al flujo, de modo que no exista aporte de cantidad de movimiento de la velocidad (macroscópica). Para esta medición se dispone una superficie paralela a las líneas de corriente en la cual se realiza un pequeño orificio que se conecta a un manómetro, el cual indicará la presión estática en dicho punto. Esta medición puede realizarse con la misma sonda encargada de medir la presión total, que debe recibir las modi- ficaciones necesarias para tal fin. Esta sonda se conoce como sonda Pitot-estática. Este dispositivo es similar a la sonda Pitot convencional pero en este caso se disponen orificios llamados tomas estáticas sobre el cuerpo de la sonda, en la región,donde la superficie se encuentra alineada con la dirección de la corriente, tal como se observa en la Figura 1.10. Debe prestarse especial atención a los defectos que se producen sobre la medición de la presión estática, los cuales son debidos a la posición y a la forma de las tomas estáticas, puesto que la dicha presión es muy sensible a las perturbaciones que pueda sufrir el flujo en la zona de medición. Estos efectos se estudian en el Capítulo 3 donde se presentan los detalles acerca del funcionamiento de las sondas de presión. Una vez conocidos los valores de la presión total y de la presión estática es posible determinar la velocidad de un flujo incompresible mediante la utilización de la ecuación de Bernoulli. Despejando la velocidad de la ecuación (1.29) resulta: V = [ 2(p0− p) ρ ]1/2 . (1.31) Es importante notar que la velocidad del flujo depende de la diferencia entre la presión total y la presión estática, por lo tanto es indistinto expresar estos valores como presiones absolutas o relativas. Desde el punto de vista de la medición, naturalmente es más conveniente utilizar valores relativos que son medidos mediante manómetros. Consideremos entonces una sonda Pitot-estática como la de la Figura 1.10, cuyas tomas de presión total y estática se encuentran conectadas a un manómetro diferencial7 de columna de líquido. 7Un manómetro diferencial es aquel que mide la diferencia de presión entre dos puntos. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 30 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.10: Esquema de una sonda Pitot-estática conectada a un manómetro diferencial de columna de líquido. De acuerdo al principio de vasos comunicantes, la presión dentro del líquido a un determinado nivel debe ser igual en cada tubo, por lo tanto, tomando el nivel A indicado en la figura se puede escribir: p0 +ρg∆h = p+ρlíqg∆h, donde ρlíq es la densidad del líquido manométrico y g la aceleración de la gravedad. Los términos ρg∆h y ρlíqg∆h son las respectivas presiones hidrostáticas debidas a la columna de aire en el tubo de la izquierda y a la columna de líquido en el tubo de la derecha. Hay que tener en cuenta que en este caso hemos despreciado posibles efectos de capilaridad, los cuales pueden alterar la altura ∆h. Teniendo en cuenta que para el aire resulta ρ� ρlíq, podemos despreciar el aporte del término ρg∆h en la expresión anterior, por lo tanto: p0− p = ρlíqg∆h. (1.32) Como podemos observar, en el caso de flujo incompresible el manómetro diferencial mide directamente la presión dinámica del flujo que es justamente la diferencia entre la presión total y la presión estática, con lo cual la velocidad de la corriente resulta V = [ 2g∆h ρlíq ρ ]1/2 . Esta expresión es muy utilizada en aerodinámica experimental, donde los manómetros diferenciales de columna de líquido son ampliamente utilizados para conocer la diferencia entre la presión total y la presión estática. Como veremos en el Capítulo 3, este tipo de manómetros tiene la ventaja de no requerir la calibración del instrumento y permite realizar mediciones con una precisión aceptable. Para la medición de la densidad del gas debe tenerse en cuenta que las relaciones obtenidas anteriormente son válidas únicamente bajo la hipótesis de flujo incompresible, por lo tanto ρ = cte y su valor se obtiene a partir de las mediciones de la presión p y la temperatura T en algún punto del campo de movimiento, utilizando luego la ecuación de estado ρ = p/(RT ). Independientemente del método empleado para medir las presiones, está claro que la ecuación de Bernoulli nos permite determinar la velocidad de una corriente de aire en régimen incompresible. Las aplicaciones derivadas de la expresión (1.31) van desde la determinación de la distribución de velocidades dentro de la cámara de ensayo de un túnel de viento hasta la estimación de la velocidad de vuelo de una aeronave (en este caso en regímen de vuelo subsónico de baja velocidad). DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 31 Estas estimaciones serán válida siempre que las velocidades sean suficientemente bajas como para justificar la suposición de flujo incompresible, es decir, que la velocidad sea menor a 0,3 veces la velocidad del sonido (Ma. 0,3). Por otro lado, debe tenerse en cuenta que la precisión de la estimación de la velocidad estará dada fundamentalmente por la correcta medición de la diferencia entre la presión total y la presión estática. Esto implica que el tubo Pitot debe estar adecuadamente alineado con respecto a la dirección de la corriente libre para capturar de manera precisa las condiciones de estancamiento. Además, las tomas estáticas deben disponerse en una región del campo de movimiento que no se encuentre alterada en relación a las condiciones del flujo libre, con sus orificios perfectamente paralelos con respecto a esa dirección. Cualquier desviación de estas condiciones introducirá errores en la medición de las presiones y por lo tanto una estimación defectuosa de la velocidad del flujo. Estos aspectos se analizan en detalle en el Capítulo 3. En el caso particular de la medición de la velocidad de vuelo de un avión las complejidades suelen ser mayores, ya que las sondas de presión deben ser capaces de determinar la presión total y la presión estática del flujo libre cuyas condiciones en teoría se registran infinitamente lejos del avión, donde su presencia no perturba las condiciones del flujo libre. El aspecto más “problemático” de estas mediciones es sin dudas la determinación de la presión estática ya que, contrariamente a lo que sucede con la presión total donde las condiciones de estancamiento son relativemente sencillas de recrear, cualquier distorsión del flujo en la zona de las tomas estáticas puede introducir errores significativos. Más allá de estas consideraciones, asumiendo que las mediciones se realizan correctamente, la ecuación de Bernoulli permite obtener directamente la velocidad de vuelo de una aeronave en flujo subsónico de baja velocidad: V∞ = [ 2(p0− p∞) ρ∞ ]1/2 , (1.33) entendiendo como velocidad de vuelo a la velocidad relativa entre la aeronave y la atmósfera. Como ya hemos anticipado, la precisión en la estimación de la velocidad V∞ dependerá funda- mentalmente de la precisión con la que se fetermine la presión diferencial p0− p∞. Esto implica que debe prestarse especial atención en cuanto a la posición y la orientación con las cuales se instalan los instrumentos de medición. Esta situación representa un gran desafío para los diseñadores, ya que la sonda Pitot-estática es un elemento vital para la operación de una aeronave que debe proporcionar mediciones precisas en todo momento para garantizar la seguridad del vuelo. El anemómetro es el instrumento mediante el cual se estima la velocidad de vuelo de un avión. En el caso de vuelos en régimen subsónico, este instrumento es básicamente un manómetro diferencial que mide la diferencia entre la presión total y la presión estática de la corriente libre, entregando un valor calibrado en unidades de velocidad. Naturalmente, el anemómetro mide la velocidad del avión con relación a la atmósfera, es decir, la velocidad relativa al aire, por este motivo en aeronáutica se utiliza el término airspeed (velocidad del aire) para referirse a la velocidad de vuelo. En el Capítulo 6 se detalla el funcionamiento y la operación de un anemómetro y además se presentan una serie de definiciones relacionadas a la velocidad de vuelo de un avión. Ejemplo 1.6 Determinar la velocidad de vuelo (verdadera) de un avión de baja velocidad que se desplaza a una altitud donde se registra una temperatura ambiente de −5 oC y una presión atmosférica de 702hPa, y cuya sonda Pitot registra 741hPa (presión absoluta). En este ejemplo, el hecho de que se trate de un avión de baja velocidad implica que podemos asumir que estamos en el régimen de flujo incompresible y por lo tanto es válido la utilizar las relaciones que surgen de la ecuación de Bernoulli. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 32 Capítulo,1. Fundamentos físicos El primer paso es determinar la densidad ambiente a partir de los valores pamb = 702hPa = 70200Pa, Tamb =−5 oC = 268,16K, por lo tanto ρamb = pamb RTamb = 0,9121 kg m3 . La velocidad de vuelo se obtiene directamente de la ecuación (1.33), teniendo en cuenta que la presión estática p∞ del flujo libre es igual a la presión ambiente, entonces V∞ = √ 2(p0− p∞) ρamb = 92,47 m s = 180kt. Naturalmente, la expresión anterior no sería válida para velocidades tales que los efectos de compresibilidad del aire no puedan ser despreciados. � 1.2.4 Efectos de compresibilidad Como se dijo anteriormente, las relaciones obtenidas mediante la ecuación de Bernoulli son válidas siempre que las condiciones analizadas respondan a las hipótesis asumidas para su deriva- ción, es decir, flujo estacionario, no viscoso e incompresible. En el caso de flujos con velocidades cuyos números de Mach son Ma> 0,3, la suposición de flujo incompresible ya no puede asumirse y deben tenerse en cuenta los efectos de compresibilidad del aire. En consecuencia, la ecuación de Bernoulli pierde validez y deben utilizarse otras relaciones que admiten cambios en la densidad para determinar la velocidad del flujo. Aún considerando flujo estacionario y no viscoso, en régimen subsónico (Ma< 1) la hipótesis que se asume válida para múltiples aplicaciones aeronáuticas es la de flujo isoentrópico. Un flujo isoentrópico es aquel en el cual la entropía se mantiene constante, condición que se cumple siempre que: 1. El proceso sea reversible, es decir que no existen “pérdidas” de energía por efectos disipativos como la fricción. 2. El proceso sea adiabático, lo cual implica que no existe transferencia de calor desde o hacia el sistema (δQ = 0). Anteriormente se dedujo que la ecuación de la energía de una partícula que en flujo estacionario y no viscoso viaja a lo largo de una línea de corriente es: ρV dV =−dp, es decir V dV + dp ρ = 0, (1.34) donde se ha asumido que no existen cambios de altura durante el movimiento. Operando sobre el segundo término de esta última ecuación y teniendo en cuenta algunas definiciones y propiedades termodinámicas se obtiene: dp ρ = d ( p ρ ) − pd ( 1 ρ ) = d(pυ)− pdυ, siendo υ el volumen específico del gas. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 33 El cambio en la energía interna ε del gas está dado por la diferencia entre el calor aportado al sistema δQ y el trabajo realizado por el sistema δW, lo cual está vinculado al cambio en la entropía y el volumen específico: dε = δQ−δW = T dS− pdυ, siendo S la entropía específica. En condiciones de flujo adiabático es δQ = 0 y el trabajo realizado por el sistema se debe al cambio en el volumen producido por las fuerzas de presión, por lo tanto, de acuerdo a lo anterior V d ( p ρ ) = d(pυ)+ dε = dh, (1.35) donde h = ε+ pυ se define como la entalpía de un gas perfecto. Introduciendo ahora la definición del calor específico a presión constante cp = ( ∂h ∂T ) p=cte , se puede escribir para flujo adiabático y reversible (es decir, flujo isoentrópico) d ( p ρ ) = dh = cp dT. Finalmente, la ecuación de la energía (1.34) resulta V dV + cp dT = 0. (1.36) Integrando esta ecuación entre dos puntos 1 y 2 de una misma línea de corriente se obtiene 1 2 V 21 + cpT2 = 1 2 V 21 + cpT1, es decir: V 2 +2cpT = cte, (1.37) sobre una línea de corriente. Esta última ecuación expresa el principio de conservación de la energía en flujo isoentrópico. En la condición de estancamiento (V = 0) la expresión anterior se reduce a V 2 +2cpT = 2cpT0 (1.38) siendo T0 la temperatura de estancamiento del flujo. Haciendo uso de las siguientes relaciones termodinámicas cp− cυ =R, cp cυ = γ, cp = γ γ−1 R donde cυ es el calor específico a volumen constante, la ecuación de la energía es V 2 + 2γ γ−1 p ρ = 2γ γ−1 p0 ρ0 . Ahora escribimos la velocidad V en términos de la velocidad del sonido a = √ γp/ρ y el número de Mach (V = aMa): γ p ρ Ma2 + 2γ γ−1 p ρ = 2γ γ−1 p0 ρ0 . DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 34 Capítulo 1. Fundamentos físicos Teniendo en cuenta que en un proceso isoentrópico se cumple la siguiente relación entre la presión y la densidad p ργ = p0 ρ γ 0 = cte, (1.39) tenemos que ρ0 = ( p0 p )1/γ ρ. Por lo tanto, reemplazando esta igualdad en la última expresión de la ecuación de la energía se obtiene p ρ Ma2 + 2 γ−1 p ρ = 2 γ−1 p ρ ( p0 p )1−1/γ De esta manera, hemos obtenidp una expresión que relaciona la presión de estancamiento y la presión estática, la cual tiene en cuenta los efectos de compresibilidad en flujo subsónico: p0 p = ( 1+ γ−1 2 Ma2 )γ/(γ−1) , (1.40) donde p0, al igual que en el caso incompresible, también se denomina presión total. La expresión anterior indica que la relación entre la presión total de una línea de corriente en flujo isoentrópico y la presión estática en un punto genérico 1 sobre la misma línea de corriente es una función del número de Mach del flujo en dicho punto: p0 p1 = ( 1+ γ−1 2 Ma21 )γ/(γ−1) . (1.41) Nótese que en caso de velocidad nula (Ma= 0), la presión total y la presión estática son iguales, lo cual representa justamente la condición de estancamiento. A partir de la ecuación de estado y teniendo en cuenta la condición de expansión isoentrópi- ca (1.39) se determinan las relaciones entre los valores estáticos y de estancamiento para la densidad y la temperatura: ρ0 ρ1 = ( 1+ γ−1 2 Ma21 )1/(γ−1) , (1.42) T0 T1 =1+ γ−1 2 Ma21. (1.43) Con la relación entre presión estática y presión total para flujo isoentrópico a lo largo de una línea de corriente podemos obtener la velocidad del flujo en función de estos dos valores y de la velocidad (local) del sonido: V 21 = 2a21 γ−1 [( p0 p1 )(γ−1)/γ −1 ] . (1.44) De esta forma, considerando los valores de presión estática y velocidad del sonido correspon- dientes a la corriente libre, arribamos a una expresión para la velocidad de un flujo en régimen compresible V∞ = { 2a2∞ γ−1 [( p0 p∞ )(γ−1)/γ −1 ]}1/2 . (1.45) DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.2 Fundamentos del flujo de aire 35 Esta expresión nos permite calcular la velocidad de vuelo (verdadera) de una aeronave despla- zándose en la atmósfera a velocidades subsónicas cuando p∞ y a∞ corresponden a los valores atmosféricos en la posición de vuelo. Teniendo en cuenta el principio de funcionamiento del anemómetro, que consiste básicamente en un manómetro diferencial, conviene escribir la ecuación anterior en términos de la diferencia de presión p0− p, para lo cual hacemos uso de la ecuación (1.21) y de la siguiente relación: p0 p∞ = p0− p∞ + p∞ p∞ = p0− p∞ p∞ +1 de modoq que la ecuación (1.45) resulta V∞ = { 2γ γ−1 p∞ ρ∞ [( p0− p∞ p∞ +1 )(γ−1)/γ −1 ]}1/2 . (1.46) Como vemos en esta expresión, contrariamente al caso de flujo incompresible, la velocidad ya no depende solamente de la diferencia de presión p0− p∞ y la densidad ρ∞, sino también de la presión estática “sola”. Esta dependencia funcional genera algunos problemas a la hora de estimar la velocidad de vuelo de la aeronave mediante el anemómetro, con lo cual es necesario definir diferentes “tipos” de velocidades tal como veremos en el Capítulo 6. Ejemplo 1.7 Determinar la velocidad y el número de Mach de vuelo de un avión subsónico que se desplaza a una altitud donde se registra una temperatura ambiente de −45 oC y una presión atmosférica de 270hPa y cuya sonda Pitot mide una presión (manométrica) de 125hPa. El primer paso para determinar la velocidad y el número de Mach de vuelo de la aeronave es calcular la densidad ambiente a partir de los datos pamb = 270hPa = 27000Pa, Tamb =−45 oC = 228,15K, por lo tanto ρ = pamb RTamb = 0,4123 kg m3 . La velocidad de vuelo se obtiene directamente de la ecuación (1.46), para el valor de densidad calculado y una diferencia de presión (p0− p∞) = 12500Pa igual a la presión manométrica medida por la sonda, recordando que el coeficiente isoentrópico del aire es 1,4: V∞ =,{ 7 p∞ ρ∞ [( 12500 p∞ +1 )2/7 −1 ]}1/2 = 229,44 m s = 446kt. El número de Mach de vuelo se obtiene mediante Ma∞ = V∞ a∞ = V∞√ γRTamb = 0,76. � Flujo supersónico Debe tenerse en cuenta que las relaciones dadas en las ecuaciones (1.41), (1.42) y (1.43) son válidas solamente en régimen de flujo subsónico, por lo tanto no pueden emplearse en el caso de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 36 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.11: Tubo Pitot en flujo supersónico. Cambios a través de una onda de choque. velocidades con Ma > 1. En flujo supersónico la medición de la velocidad es cualitativamente diferente que en el rango subsónico, ya que una onda de choque se forma delante del tubo Pitot. Las ondas de choque son regiones muy delgadas del flujo (del orden de 10−3 mm), a través de las cuales se producen severos cambios en las propiedades del flujo. Además las ondas de choque involucran procesos disipativos por lo tanto la presión total no se conserva a través de ellas (ver Figura 1.11). Esto implica que el flujo a través de una onda de choque es un proceso irreversible por lo que la suposición de flujo isoentrópico pierde validez. Por lo tanto, deben utilizarse relaciones especiales para determinar las propiedades del gas por delante y por detrás de la onda de choque para establecer así la velocidad del flujo. En estos casos debe aplicarse la llamada fórmula del tubo Pitot de Rayleigh: p0,2 p1 = [ (γ+1)2Ma21 4γMa21−2(γ−1) ]γ/(γ−1) 1−γ+2γMa21 γ+1 . (1.47) Esta ecuación relaciona la presión total p0,2 detrás de la onda de choque con la presión estática de la corriente libre, lo cual permite la calibración de un indicador de Mach supersónico a través de las mediciones de un manómetro diferencial. Límite de incompresibilidad Hasta este punto hemos establecido “casi arbitrariamente” el límite Ma. 0,3 como el rango válido para asumir que un flujo de aire es incompresible. En este apartado presentamos una breve justificación de esta restricción basada en las relaciones isoentrópicas entre las propiedades estáticas y de estancamiento obtenidas previamente. Consideremos para ello un fluido en reposo (V = 0, Ma = 0) de densidad ρ0. Acelerando este flujo isoentrópicamente hasta una velocidad V y un número de Mach Ma, las propiedades termodinámicas del gas van a cambiar de acuerdo a las relaciones isoentrópicas (1.41), (1.42) y (1.43). En la Figura 1.12 se muestra la variación ρ/ρ0 en función del número de Mach para γ= 1,4. Allí observamos que para Ma< 0,3 el cambio en la densidad es menor al 5 %. De esta manera, para propósitos prácticos podemos considerar que la densidad se mantiene aproximadamente constante cuando Ma . 0,3 y el tratamiento se hace asumiendo un flujo incompresible. Con esta suposición, el error en el cálculo de velocidad para un flujo con Ma= 0,3 es de algo más del 1% cuando se utiliza la formulación de flujo incompresible. 1.3 Flujo viscoso En la sección anterior hemos analizado el flujo de aire desde un punto de vista isoenergético, es decir, asumiendo que durante el movimiento del fluido no se producen pérdidas de energía. Naturalmente, dicha hipótesis es una idealización ya que el movimiento de cualquier fluido es en DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.3 Flujo viscoso 37 Figura 1.12: Variación de la densidad en función del número de Mach para γ= 1,4, indicando la región donde el cambio de densidad es menor al 5 %. realidad un proceso que involucra algún nivel de disipación de energía debido fundamentalmente a las pérdidas generadas por la fricción viscosa. Por lo tanto, siendo la viscosidad una propiedad inherente a todos los fluidos, ya sean éstos líquidos o gases, las fuerzas de rozamiento estarán presentes siempre que exista un movimiento relativo entre el fluido y un objeto inmerso en él. En ocasiones, los efectos viscosos son tan pequeños que pueden despreciarse, pero en muchos problemas prácticos de Aerodinámica estos efectos son importantes y deben ser incorporados al análisis ya que pueden llegar a dominar la dinámica del flujo. 1.3.1 Viscosidad Los fluidos son muchas veces definidos como el estado de la materia que es capaz de fluir, es decir, capaz de deformarse “continuamente” frente a esfuerzos tangenciales. Esta propiedad de fluir no es igual para todos ellos, sino que existe cierta oposición al cambio cuya magnitud depende de cada fluido. Para definir esta propiedad consideremos el siguiente experimento que consiste en dos placas rígidas (indeformables) extremadamente extensas, colocadas de forma horizontal una sobre la otra y separadas entre sí por una distancia b. Entre las dos placas se introduce algún material, como indica la Figura 1.13. Si la placa inferior se mantiene fija y se aplica una fuerza F a la placa superior, la cual se encuentra libre de moverse, el comportamiento de ésta dependerá del tipo de material que existe entre ambas placas: Si el material es algún sólido que se encuentra adherido rígidamente a ambas placas, entonces la placa superior se moverá una pequeña distancia δa y la línea vertical AB rotará un pequeño ángulo δβ a una nueva posición AB′ (ver Figura 1.13). La magnitud de estas deformaciones estará dada por las propiedades elásticas del material y por la intensidad de la fuerza aplicada. Si el material dispuesto entre las placas es algún fluido, como por ejemplo agua, veremos que debido a la aplicación de la fuerza F la placa superior comenzará a moverse continua- mente con una velocidad U (después de un período transitorio de aceleración inicial), en concordancia con la definición de que un fluido se deforma continuamente frente a esfuerzos tangenciales. Una inspección del movimiento del fluido entre ambas placas mostrará que, mientras que el fluido en contacto a la placa inferior (fija) se mantiene en reposo “adherido” a esta placa, el fluido en contacto con la placa en movimiento se mueve con velocidad U , es decir, con la misma velocidad de la placa. Esto significa que la velocidad del fluido entre las placas no es constante, sino que existe un perfil de velocidades u = u(y), siendo y la distancia medida desde la superficie inferior. La propiedad del fluido de “adherirse” a las paredes de los sólidos en contacto, en este caso las DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 38 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.13: Comportamiento de un fluido dispuesto entre dos placas paralelas que se despla- zan entre sí. placas, es un concepto muy importante en Mecánica de los Fluidos conocido como la condición de no deslizamiento. Todos los fluidos, ya sean líquidos o gases, satisfacen esta condición8. Con respecto al perfil de velocidades, experimentalmente se encuentra que, si la distancia entre las placas b es pequeña, la variación de la velocidad del fluido es aproximadamente lineal, es decir: u(y) =U y b , (1.48) por lo que el gradiente de velocidad puede asumirse constante (du/dy =U/b). Independientemente del material que se disponga entre las placas, una tensión de corte (tangen- cial) se producirá en las interfaces placa-material, τw = F A , siendo F la fuerza aplicada y A el área de la placa. Esta tensión será el resultado de las deformaciones elásticas en el caso de que un material sólido llene el espacio entre ambas placas, o será consecuencia de la oposición del fluido a deformarse continuamente, es decir, será consecuencia de la viscosidad. Consideremos ahora la deformación del fluido durante un pequeño intervalo de tiempo δt. En este caso, la línea vertical AB rotará un pequeño ángulo δβ dado por: δβ≈ tanδβ = δa b , siendo δa =Uδt el desplazamiento del punto B fijo a la placa superior, por lo tanto: δβ≈ Uδt b . Como se observa, el ángulo δβ es una función tanto de la fuerza F , que determina la magnitud de la velocidad U , como del intervalo de tiempo considerado (δt). Esto implica que no es conveniente relacionar la tensión tangencial τw con el ángulo de deformación δβ, tal como se hace en el caso de la mecánica de sólidos, sino que conviene definir la tasa de deformación angular:,γ̇ = lı́m δt→0 δβ δt = U b . Asumiendo que el perfil de velocidades del fluido entre las placas es lineal como el dado en la ecuación (1.48), la tasa de deformación puede expresarse en términos de cantidades diferenciales: γ̇ = U b = du dy . (1.49) 8Esta afirmación no es estrictamente válida ya que no se cumple bajo condiciones muy particulares, pero puede asumirse totalmente verdadera considerando las condiciones presentes en los problemas de nuestro interés. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.3 Flujo viscoso 39 Experimentalmente se demuestra que la tasa γ̇ crece proporcionalmente con el aumento de la fuerza F , esto implica que τw ∝ γ̇, ya que la tensión tangencial es directamente proporcional a F . Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (1.49), la tensión de corte es proporcional al gradiente de velocidad du/dy τw = µ du dy . (1.50) La constante de proporcionalidad µ en la ecuación (1.50) se denomina viscosidad absoluta, viscosidad molecular o simplemente viscosidad del fluido. El valor de µ depende de cada fluido en particular, y para un fluido determinado la viscosidad dependerá fundamentalmente de su temperatura. Por otro lado, aquellos fluidos en los cuales las tensiones de corte dependen linealmente de la tasa de deformación angular (es decir que µ no depende de γ̇) se denominan fluidos newtonianos. Para este tipo de fluidos el análisis se simplifica considerablemente con respecto a los fluidos no newtonianos. Afortunadamente, muchos de los fluidos “cotidianos”, como el agua y el aire, son fluidos newtonianos por lo que nuestro estudio considera únicamente este tipo de fluidos. Viscosidad dinámica Siendo que la viscosidad se manifiesta solamente cuando un fluido está en movimiento, se suele referir a esta propiedad como viscosidad dinámica. Además, se dice que la viscosidad es una propiedad de transporte del fluido, ya que está asociada al movimiento y produce el transporte de la cantidad de movimiento. Desde el punto de vista dimensional, la expresión de las tensiones viscosas dada en la ecua- ción (1.50), indica que el coeficiente de viscosidad µ debe tener unidades de fuerza por tiempo sobre longitud al cuadrado (FTL−2), de manera de producir unidades de tensión (FL−2) al ser multiplicado por el gradiente de velocidad. Esta característica reafirma la condición de “dinámica” de la viscosidad µ, ya que dimensionalmente involucra unidades de fuerza y tiempo. Teniendo en cuenta que en el Sistema Internacional de unidades la unidad de fuerza (newton) es una unidad derivada, las unidades de la viscosidad dinámica pueden presentarse de diferentes maneras: [µ] = Pas≡ N m2 s≡ kg ms . En el sistema CGS se define el poise (P) como unidad de viscosidad dinámica, siendo esta unidad en general más utilizada que la derivada del Sistema Internacional. La relación entre ellas es la siguiente: 1P = 1 g cms = 0,1 kg ms . Debido a que, en general, la viscosidad dinámica es una cantidad muy pequeña, suele utilizarse el centipoise (1cP = 10−2 P) para expresar su valor. Como se dijo previamente, la viscosidad es una propiedad de cada fluido que a su vez depende de la temperatura. Esta dependencia es cualitativamente diferente en el caso de líquidos y gases: mientras que la viscosidad decrece con el aumento de temperatura cuando se trata de líquidos, ésta aumenta cuando se incrementa la temperatura en el caso de los gases. La diferencia se debe a la naturaleza a nivel molecular que existe entre estos dos estados de la materia. En los líquidos la distancia entre moléculas es relativamente pequeña en comparación con la que se registra en los gases, por lo que las fuerzas de cohesión molecular son grandes. Esto produce DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 40 Capítulo 1. Fundamentos físicos una cierta resistencia al movimiento relativo entre “capas” adyacentes de fluidos. Con el incremento de la temperatura las fuerzas cohesivas se reducen con una consecuente reducción de la resistencia al movimiento, por lo tanto, siendo la viscosidad un indicador de esta resistencia, ella se reduce con el incremento de temperatura. Este aspecto puede visualizarse claramente en algunos líquidos de viscosidad relativamente grande, como el aceite de cocina, el cual que aumenta notablemente su fluidez al ser calentado. Lo mismo sucede con todos los líquidos aunque no podamos percibirlo a simple vista. Contrariamente a lo que sucede en los líquidos, en los gases las moléculas se encuentran ampliamente distanciadas y las fuerzas de cohesión son despreciables. En este caso, la resistencia al movimiento relativo surge del intercambio de cantidad de movimiento entre moléculas de capas adyacentes de gas, cuando las mismas son transportadas por el movimiento aleatorio producido por la agitación térmica desde regiones de baja velocidad del flujo (relativa a las paredes sólidas) a regiones de velocidad mayor y viceversa. Durante este traslado existe un intercambio de cantidad de movimiento entre las moléculas el cual se opone al movimiento relativo entre capas de fluido. Entonces, siendo que la agitación molecular aumenta con el incremento de la temperatura, el intercambio de cantidad de movimiento también aumentará y consecuentemente la viscosidad dinámica crecerá. En la Figura 1.14 se observa el cambio de la viscosidad en función de la temperatura para algunos gases y líquidos. Allí puede verse que la influencia de la temperatura es mucho más importante en los líquidos que en los gases. Este comportamiento permite asumir que la viscosidad es aproximadamente constante para el caso del aire en múltiples aplicaciones aeronáuticas, cuyo valor se fija en µaire = 1,7894×10−5 Pas, (1.51) correspondiente a la temperatura estándar TMSL = 15 oC. Para considerar el efecto de la temperatura sobre la viscosidad pueden utilizarse formulaciones empíricas que permiten aproximar esta relación. En el caso de los gases se emplea la ecuación de Sutherland, la cual utiliza dos constantes empíricas para obtener la relación entre la viscosidad y la temperatura: µ = CT 3/2 T +S (1.52) donde T es la temperatura absoluta y las constantes empíricas C y S dependen del fluido, siendo para el aire Caire = 1,458×10−6 kg/(msK1/2) y S = 110,4K. Viscosidad cinemática En muchos problemas de Mecánica de Fluidos y Aerodinámica, la viscosidad aparece com- binada con la densidad, especialmente cuando se estudian fenómenos que involucran efectos de compresibilidad. En estas ocasiones suele utilizarse el llamado coeficiente de viscosidad cinemática, el cual se define como la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido: ν = µ ρ . (1.53) Como vemos, el coeficiente de viscosidad cinématica tiene dimensiones de longitud al cuadra- do sobre tiempo (L2 T−1), de allí su nombre ya que dimensionalmente sólo involucra unidades “cinemáticas”. En el Sistema Internacional de unidades la viscosidad cinemática tiene unidades de m2/s, pero en general es más usual encontrar este coeficiente en unidades del sistema CGS, donde la cantidad cm2/s es llamada stoke y tiene abreviatura St. De igual manera que para la viscosidad dinámica, también suele utilizarse el centistoke (cSt). DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.3 Flujo viscoso 41 Figura 1.14: Viscosidad dinámica de algunos fluidos cotidianos en función de la temperatura. En el caso del aire en condiciones estándar la viscosidad cinemática resulta: νaire = µaire ρMSL = 1,4607×10−5 m 2 s . (1.54) 1.3.2 Condición de no deslizamiento Anteriormente se hizo referencia a la llamada condición de no deslizamiento, la cual expresa la propiedad de que no existe moviemiento relativo entre una superficie sólida y el fluido en contacto con ella. Esta condición puede verificarse experimentalmente de manera muy sencilla al observar cómo un líquido “moja” las paredes del cuerpo que están expuestas al flujo. Este fenómeno de “adherencia” implica que la velocidad del fluido en cualquier interfaz fluido-sólido es igual a la velocidad de la superficie del sólido. Más allá de la evidencia,de que un fluido moja un cuerpo, la condición de no deslizamiento puede resultar poco intuitiva especialmente cuando consideramos el flujo de gases. Esta condición es una consecuencia de la naturaleza molecular de los fluidos, en los cuales las fuerzas cohesivas, es decir las fuerzas que mantienen a las moléculas “unidas” entre sí, son mucho más débiles que en los sólidos. Son las fuerzas cohesivas las que permiten que dos superficies sólidas lo suficientemente planas y lisas puedan deslizarse entre sí sin sufrir deformaciones, pero en los fluidos estas fuerzas no son suficientes para evitar que sus moléculas se “desoeguen” y se adhieran a los sólidos, ya que que en la interfaz de contacto fluido-sólido prevalece la fuerza de adhesión por sobre la de cohesión molecular, haciendo que la molécula se “separe” y se adhiera a la superficie. En los sólidos, las fuerzas cohesivas son mucho mayores que las de adhesión, lo cual permite el deslizamiento relativo entre ellos. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 42 Capítulo 1. Fundamentos físicos A pesar de que la condición de no deslizamiento se verifica para la gran mayoría de los problemas prácticos de Aerodinámica, hay que reconocer que esta condición no siempre está garantizada. Existen situaciones de flujos de muy baja presión y densidad, como los que se dan a muy elevadas altitudes, en las cuales las moléculas cerca de la superficie son tan escasas que “rebotan” en las paredes. Desde el punto de vista del modelo matemático, la ecuación (1.50) reproduce la condición de no deslizamiento en el sentido de que un movimiento relativo entre el fluido y la superficie en la interfaz implicaría que existe un gradiente de velocidad infinito y por lo tanto la tensión tangencial sería también infinita para µ > 0, lo cual naturalmente no tiene sentido físico. Este resultado debe entenderse como una simple consecuencia de la formulación matemática y no como una verificación del cumplimiento de la condición de no deslizamiento, ya que no hay que perder de vista que dicha formulación fue obtenida justamente al asumir la validez de dicha condición de acuerdo a las evidencias experimentales. Finalmente, hay que tener en cuenta que la condición de no deslizamiento opera solamente cuando se considera flujo viscoso, ya que bajo el modelo de flujo no viscoso se asume un fluido ideal con µ = 0, por lo que las tensiones tangenciales son nulas aun cuando el fluido se desliza sobre la superficie sólida y el gradiente de la velocidad en la superficie es infinito. 1.3.3 El número de Reynolds En todo problema de flujo viscoso el parámetro fundamental que define las características principales del flujo es el llamado número de Reynolds, un número adimensional que vincula los valores referenciales de densidad, viscosidad y velocidad de un flujo con la escala de longitud ` del problema: Re= ρV ` µ = V ν `. (1.55) El número de Reynolds es entonces una función tanto de las propiedades del fluido, a través de la densidad y la viscosidad, como de las carecterísticas del flujo, a través de la velocidad y la longitud de referencia. Esto muestra que tanto fluidos de propiedades diferentes en condiciones de flujo similares como fluidos de propiedades similares en condiciones de flujo diferentes se comportarán de formas distintas dependiendo del número de Reynolds. Por ejemplo, para un flujo con V = 1m/s y `= 1m el número de Reynolds será de alrededor de 9×103 para aceite SAE-10, de 7×104 para aire y de 106 para el agua. A pesar de que la escala geométrica y la velocidad del problema son las mismas, las diferencias en el número de Reynolds generan comportamientos de flujo sustancialmente distintos. Del mismo modo, modificaciones en la velocidad o en la escala geométrica también hacen variar el número de Reynolds de manera que, por ejemplo, las características del flujo de aire alrededor de una pequeña partícula de arena serán muy diferentes a las del flujo de aire alrededor de una aeronave. La definición de este parámetro se debe a los estudios realizados por el investigador norteameri- cano Osborne Reynolds, quien en 1883 pudo establecer experimentalmente las diferencias entre flujo laminar y flujo turbulento. Su experimento consistía en inyectar un colorante dentro de un líquido que circula en un tubo largo y recto de sección circular constante (ver Figura 1.15). Si bien las líneas de corriente “teóricas” de este flujo son paralelas a la pared del tubo, Reynolds observó que dicho movimiento existe estrictamente sólo cuando se verifica una determinada relación entre la velocidad del flujo, las propiedades del líquido (densidad y viscosidad) y el tamaño de la instalación (escala del problema). Esta relación está dada por el número de Reynolds, y del valor de este parámetro dependerá el comportamiento del flujo. En términos dinámicos, el número de Reynolds expresa la relación entre las fuerzas de inercia, asociadas a la masa del fluido (a través de la densidad) y a la velocidad del flujo, y las fuerzas DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.3 Flujo viscoso 43 Figura 1.15: Esquema del tanque de Reynolds. viscosas o de rozamiento asociadas naturalmente a la viscosidad. Así, en flujos con altos números de Reynolds la dinámica estará “gobernada” por acciones inerciales, mientras que números de Reynolds bajos indician una fuerte influencia de la viscosidad. El número de Reynolds constituye una de las definiciones más importantes de la Mecánica de los Fluidos, y debe tenerse siempre presente que este parámetro es una característica del flujo y no del fluido. 1.3.4 Flujo laminar y flujo turbulento Durante su experiencia, Reynolds notó que para velocidades del flujo relativamente bajas o cuando el diámetro del conducto es pequeño, el colorante inyectado en el centro de la corriente permanece concentrado como una línea de corriente paralela a la dirección del flujo. Bajo estas condiciones sólo existe una pequeña difusión entre el colorante y el líquido en la dirección radial, en la cual el liquido principal que circula por el tubo se mezcla con el colorante a nivel molecular, de modo que el límite entre ambos líquidos puede distinguirse claramente. Durante este comportamien- to se observa además que cualquier perturbación que se le imparte al flujo se amortigua rápidamente haciendo que el movimiento del colorante sea paralelo a la dirección del flujo principal. Contrariamente, Reynolds determinó que para velocidades o diámetros del conducto suficiente- mente grandes, el movimiento del colorante se hace muy sensible a cualquier perturbación, la cual llega a amplificarse rápidamente generando un flujo irregular que fluctúa erráticamente perdiendo su carácter estacionario. En este caso, el flujo de colorante ya no permanece fijo sobre una línea de corriente teórica sino que el diámetro del filamento inyectado crece, su contorno se difumina y el líquido coloreado se disemina en amplias regiones del flujo principal aguas abajo del punto de inyección. Estos comportamientos se muestran en la Figura 1.16. El primer régimen de flujo, donde el colorante prácticamente no se mezcla con el líquido se conoce como régimen de flujo laminar, ya que el flujo se comporta como si estuviera compuesto por láminas paralelas que constituyen tubos de flujo en los cuales no existe transporte de masa en DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 44 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.16: Fotografías de los distintos regímenes de flujo en la experiencia de Reynolds. dirección perpendicular al movimiento, más allá de una pequeña porción debida al movimiento molecular. El segundo patrón de flujo se conoce como régimen de flujo turbulento, y su característica es justamente la de un flujo errático, fluctuante, turbulento que a escala macroscópica es altamente inestacionario. En este caso, además de la difusión molecular, existe movimiento perpendicular de las partículas de fluido9, las cuales intercambian su cantidad de movimiento con las partículas de las capas adyacentes. Este movimiento es el que produce,que en la experiencia de Reynolds el colorante se difumine dentro del líquido. El comportamiento caótico del flujo turbulento no sólo se da en la velocidad, sino en varios de los parámetros característicos del fluido, como ser la presión, la temperatura, las tensiones de corte y cualquier otra variable que tenga una descripción de campo. El parámetro que define qué régimen de flujo ha de presentarse en una condición de flujo determinada es el número de Reynolds, que en el caso de la experiencia llevada a cabo por el investigador norteamericano se calcula utilizando el diámetro `� del conducto como longitud de referencia de la escala geométrica (Re = ρV `�/µ). Los experimentos muestran que para un conducto liso con Re . 2100, el flujo será laminar, mientras que para Re & 4000, el flujo será turbulento, existiendo entre estos valores una región de transición con un flujo con características 9Entendiendo a las partículas como volúmenes muy pequeños de fluido que satisfacen la hipótesis del continuo, es decir, que están compuestos por un gran número de moléculas. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.3 Flujo viscoso 45 Figura 1.17: Transición de régimen laminar a turbulento en el flujo en un conducto. intermedias a las de ambos regímenes. El valor del número de Reynolds para el cual comienza a perderse la laminaridad para dar lugar a la transición se conoce como número de Reynolds crítico o de transición. La transición entre flujo laminar y flujo turbulento puede, en cierta medida, reproducirse de maneras muy sencilla considerando muchas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, al abrir un grifo de agua, siempre que la velocidad del “chorro” de salida no sea demasiado grande podemos visualizar un flujo de agua uniforme, pero al abrir más la canilla y aumentar la velocidad (o restingir el paso del agua reduciendo la sección de salida), el agua se comporta de manera diferente, el chorro deja de ser uniforme y hasta puede “escucharse el desorden” del movimiento. Otro ejemplo revelador es el del humo de un cigarrillo en una atmósfera en reposo. En este caso, el humo asciende prolijamente por el aire en forma de un filamento relativamente delgado, hasta que la distancia recorrida (que es la longitud de referencia del problema) hace alcanzar el número de Reynolds crítico y comienza a mezclarse con el aire circundante siguiendo un patrón irregular. Aunque es sencilla de visualizar, la turbulencia es un fenómeno muy díficil de comprender para el cual aún en la actualidad no existe una explicación completa. Sin embargo, existen múltiples modelos matemáticos que permiten modelar sus efectos con distintos niveles de precisión. Para ello se realizan algunas definiciones tendientes a cuantificar la turbulencia que se centran fundamen- talmente en la velocidad del flujo. Para presentar las definiciones más importantes del fenómeno, consideremos el flujo a través de un conducto recto y analicemos qué sucede a medida que au- mentamos la velocidad. En la Figura 1.17 se muestra esquemáticamente la variación típica de la componente axial u = u(t) registrada en algún punto dado del campo de movimiento. Como vemos, a medida que hacemos crecer el número de Reynolds aumentando la velocidad, eventualmente se alcanza el número de Reynolds crítico y comienzan a aparecen variaciones irregulares y aleatorias en la velocidad del flujo que son características del flujo turbulento. Al estabilizar la velocidad (y por lo tanto el número de Reynolds) dentro de este régimen de flujo, esperando obtener una condición de flujo estacionario, vemos que las fluctuaciones de velocidad continúan, lo cual parecería inhabilitar la posibilidad de utilizar la idealización de flujo estacionario o inclusive flujo bidimensional, ya que las fluctuaciones se producen en todas direcciones. Sin embargo, simplificaciones tan sencillas como la de la ecuación de Bernoulli han mostrado ser válidas aun en regímenes de flujo totalmente turbulento, ya que en ocasiones es posible despreciar el efecto de las fluctuaciones al considerar valores medios de las velocidades y las propiedades del fluido. Para el tratamiento de este tipo de flujos se realizan las siguientes definiciones: DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 46 Capítulo 1. Fundamentos físicos Definición 1.19 — Velocidad instantánea. Se define como velocidad instantánea Vi a la velocidad del flujo en un punto dado del campo de movimiento para un instante de tiempo determinado. Definición 1.20 — Velocidad media. Se define como velocidad media V = (u,v,w) al valor medio de la velocidad instantánea del flujo en un punto dado del campo de movimiento, promediado durante un determinado intervalo de tiempo ∆t: V = 1 ∆t ˆ t0+∆t t0 Vi dt. (1.56) El intervalo ∆t debe ser considerablemente más grande que el período de las fluctuaciones de la velocidad instantánea pero significativamente más pequeño que el tiempo característico de cualquier perturbación “externa” de la velocidad media. Definición 1.21 — Velocidad aleatoria. Se define como velocidad aleatoria v′ = (u′,v′,w′) a una velocidad aleatoria fluctuante que afecta continuamente a la velocidad del flujo y que puede considerarse como la desviación de la velocidad media tal que: Vi = V+v′. (1.57) De acuerdo a esta definición, se verifica la siguiente condición para la velocidad aleatoria: ˆ t0+∆t t0 v′ dt = 0. (1.58) Estas definiciones se conocen como promediaciones de Reynolds. En un flujo laminar las velo- cidades aleatorias son esencialmente nulas y la velocidad instantánea se asume igual a la velocidad media. Por el contrario, en régimen turbulento las velocidades aleatorias estarán siempre presentes y existirán por lo tanto fluctuaciones de la velocidad del flujo con respecto a la velocidad media. La intensidad de estas fluctuaciones se cuantifica mediante un factor adimensional denominado nivel de turbulencia del flujo, el cual se calcula para cada componente de la velocidad mediante: Iu = 1 u∆t ˆ t0+∆t t0 [ (u′)2 ]1/2 dt, (1.59) y de manera análoga para las componentes v y w de la velocidad media. Naturalmente, cuanto más grande es el nivel de turbulencia, más grandes serán las fluctuaciones de la velocidad (y de los demás parámetros) del flujo. Por ejemplo, túneles de viento bien diseñados presentan niveles de turbulencia típicos del orden de 0,01 mientras que en el viento atmosférico o en el flujo de ríos y canales pueden llegar a encontrarse niveles de turbulencia mayores a 0,1, es decir que la velocidad instantánea llega a alcanzar desviaciones del orden del 10 % de la velocidad media en dichas condiciones. Un punto importante a tener en cuenta es que la expresión (1.50) para el cálculo de las tensiones de corte viscosas obtenida en la sección anterior es válida únicamente para flujo en régimen laminar y no resulta adecuado extender su aplicación a flujo turbulento simplemente por la utilización de la velocidad media para el cálculo del gradiente du/dy. Esto se debe a que en flujo laminar las partículas fluidas fluyen suavemente a lo largo de capas paralelas a la pared y el flujo transversal a través de cada capa se produce sólo a nivel molecular, que es la escala que considera el coeficiente de viscosidad dinámica µ para cuantificar la transferencia de cantidad de movimiento. Como vimos, para el caso de fluidos newtonianos como el aire, µ no depende de las condiciones de flujo sino solamente de la temperatura. En régimen turbulento la situación es diferente, ya que además del movimiento molecular presente en flujo laminar existe también desplazamiento macroscópico de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.4 Capa límite 47 Figura 1.18: Características del flujo viscoso, estacionario y de alto número de Reynolds pasando a través de una placa plana paralela a la corriente libre. las partículas fluidas en dirección normal al flujo, lo cual permite un intercambio de cantidad de movimiento a mayor escala, generándose de ese modo mayores tensiones de corte. En este caso, las tensiones de corte no son sólo función,de la viscosidad y del gradiente de velocidad sino también de las componentes de las velocidades aleatorias u′, v′ y w′. La teoría para el cálculo de las tensiones de corte turbulentas escapa al alcance de estas notas, pero es importante conocer que las tensiones viscosas en régimen turbulento pueden ser de 100 a 1000 veces mayores que en régimen laminar. Sin embargo, si consideramos el rozamiento del fluido con una pared sólida, debido a la restricción física que constituye la presencia de dicha pared para el movimiento turbulento de las partículas fluidas, se genera en una región muy delgada adyacente a la pared una subregión de flujo laminar donde la expresión (1.50) resulta válida. De esta manera, podemos calcular la fuerza de fricción sobre un cuerpo debida a un flujo utilizando esta fórmula sencilla siempre que sea posible establecer el gradiente de velocidad en la subregión laminar. 1.4 Capa límite En esta sección el análisis consiste en estudiar los efectos viscosos producidos sobre un cuerpo inmerso en una corriente fluida. Para ello, consideramos inicialmente el caso particular de una placa plana colocada en dirección paralela a un flujo de velocidad constante U∞. Como vimos anteriormente, debido a la condición de no deslizamiento, se puede verificar experimentalmente que la velocidad del fluido sobre la superficie de la placa es nula, mientras que en regiones más alejadas de la superficie la forma de variación de la velocidad dependerá de las propiedades del fluido que compone el flujo, de la velocidad de la corriente libre y de la escala geométrica del problema, es decir, dependerá del número de Reynolds. En muchas de las aplicaciones aeronáuticas convencionales se presentan condiciones de flujo donde el número de Reynolds es relativamente grande, siendo en general mayor a 105. Esto significa que los efectos de inercia del flujo predominan por sobre los efectos viscosos y, en el caso particular de la placa plana, se observará que la velocidad del flujo será igual a la velocidad de la corriente libre en la mayor parte del campo de movimiento, inclusive en zonas más o menos cercanas a la pared sólida, exceptuando una pequeña región adyacente a la superficie donde se producirá la variación de la velocidad desde un valor nulo (sobre la superficie) hasta el valor de la corriente libre, tal como se muestra en la Figura 1.18. Esta región donde se asume que se concentran los efectos viscosos se denomina capa límite. La presencia de la capa límite establece un importante punto conceptual en aerodinámica DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 48 Capítulo 1. Fundamentos físicos teórica: un flujo puede ser separado en dos regiones, una de ellas donde los efectos viscosos son importantes (dentro de la capa límite), y otra región donde el flujo es no viscoso (fuera de la capa límite). Este concepto fue inicialmente introducido por el físico alemán Ludwig Prandtl en 1904, revolucionando la aerodinámica teórica moderna. Por otro lado, se puede demostrar teórica y experimentalmente que la presión (estática) dentro de la capa límite no varía en dirección normal a la superficie. Éste es un fenómeno muy importante ya que permite utilizar teorías de flujo no viscoso para calcular la distribución de presión sobre la superficie de un cuerpo, donde los efectos viscosos son importantes. Esta idealización será válida siempre que la capa límite sea delgada y se encuentre adherida al cuerpo, ya que al aplicar la hipótesis de flujo no viscoso uno en realidad está calculando la presión sobre una superficie “ficticia” externa a la capa límite, la cual no varía significativamente de la geometría real si la capa límite es delgada. La fricción que se produce en la interfaz fluido-placa se debe a la viscosidad del fluido, por lo tanto la tensión tangencial en principio responde a la ecuación (1.50), donde el valor del gradiente de velocidad corresponde al que se registra sobre la superficie de la placa: τw = µ du dy ∣∣∣∣ y=0 . (1.60) Teniendo en cuenta que dentro de la capa límite los efectos viscosos son importantes, resulta claro que en esa región no es válido asumir la hipótesis de flujo isoenergético. Esto implica que la presión total no se conserva a lo largo de las líneas de corriente interiores a la capa límite. De esta forma, una expresión basada en el principio de conservación de la energía como la ecuación de Bernoulli sólo puede utilizarse para establecer la relación entre las presiones estática, dinámica y total en cada punto del flujo dentro de la capa límite. 1.4.1 Desarrollo de la capa límite Observemos nuevamente la Figura 1.18. La distancia δ que define el tamaño de la capa límite se conoce como espesor de la capa límite. En forma práctica, este valor se determina conociendo la distancia donde la velocidad del flujo alcanza el 99 % de la velocidad de la corriente libre10, medida en dirección normal a la placa desde la superficie de la misma. El espesor de la capa límite no es constante sino que aumenta conforme el flujo avanza por sobre la placa. Este crecimiento o desarrollo de la capa límite se debe al intercambio de cantidad de movimiento entre capas adyacentes de fluido, el cual hace que la velocidad disminuya en regiones cada vez más alejadas de la superficie sólida a medida que el flujo “avanza” por sobre la placa. En las cercanías del borde de ataque de la placa sólo las capas más próximas a la superficie sólida se ven afectadas al intercambiar su cantidad de movimiento con la pared, pero conforme el flujo avanza cada vez más capas son afectadas por las capas más cercanas a la placa que ya han reducido su energía. De esta manera es que el espesor de la capa límite crece a lo largo de la placa. Naturalmente, el desarrollo de la capa límite será mayor cuando el mecanismo de intercambio de cantidad de movimiento entre capas adyacentes de fluido sea más eficiente. Como vimos en la sección anterior, este mecanismo depende fundamentalmente del régimen de flujo, el cual está dado por el número de Reynolds. De esta manera, la capa límite puede ser laminar o turbulenta dependiendo de este parámetro cuya longitud de referencia es la distancia recorrida por el fluido sobre la placa plana, es decir: Rex = ρ∞U∞x µ∞ , (1.61) siendo x la distancia medida desde el borde de ataque de la placa. 10Hay que tener en cuenta que existen otras formas de definir el espesor de la capa límite, como ser el espesor de cantidad de movimiento o el espesor de desplazamiento. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.4 Capa límite 49 Figura 1.19: Esquema de variación del espesor de la capa límite. Transición de laminar a turbulenta. De acuerdo a esta expresión, el número de Reynolds crece linealmente desde el borde de ataque de la placa plana, por lo tanto existe una primera región donde Rex < Recrít y el flujo es laminar. Bajo este régimen de flujo el crecimiento del espesor de la capa límite es relativamente bajo, ya que la transferencia de cantidad de movimiento desde las capas de fluido próximas a la pared se da a escala molecular. Con el avance del fluido por sobre la placa eventualmente se alcanza el número de Reynolds crítico y la capa límite transiciona a turbulenta. Esto hace que el intercambio de cantidad de movimiento entre capas adyacentes de fluido se incremente debido a la interacción a nivel de partículas (macroscópico) que se da en dirección normal a la dirección del flujo libre. Esto genera un gradiente de velocidad du/dy mayor en la región próxima a la pared y a un aumento en la tasa de crecimiento del espesor de la capa límite, la cual se engrosa más rápidamente en este régimen de flujo (ver Figura 1.19). De este modo, podemos distinguir dos tipos de capa límite con características diferentes, la capa límite laminar y la capa límite turbulenta. 1.4.2 Capa límite laminar Como se dijo previamente, la capa límite laminar se caracteriza justamente porque en su interior el flujo es laminar, por lo tanto el transporte de masa en dirección normal al flujo se da sólo a escala molecular. En esta,sección se muestran algunos resultados para capas límites laminares en placas planas, los cuales se obtienen mediante la teoría de capa límite laminar y cuyo desarrollo está más allá del alcance de estas notas. Estos resultados son válidos para el problema de la placa plana alineada con el flujo, donde el gradiente de presión en dirección de la corriente se asume nulo, es decir ∂p/∂x = 0 (este punto será detallado más adelante). Las dos cantidades físicas de interés en este análisis son el espesor de la capa límite δ y la tensión de corte viscosa τw sobre la pared en una determinada posición x de la placa (medida desde el borde de ataque). También es de interés conocer el perfil de velocidades dentro de la capa límite. De acuerdo a la solución de Blasius (ver por ejemplo Munson et al. (2009); White (2008)), el espesor de una capa límite laminar resulta: δlaminar = 5x√ Rex = 5 ( µ∞ ρ∞U∞ x )1/2 , (1.62) Es destacable cómo una expresión tan sencilla como ésta puede capturar un fenómeno tan complejo como lo es el desarrollo de la capa límite. Esto pone de manifiesto la poderosa influencia del número de Reynolds en el comportamiento de un flujo. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 50 Capítulo 1. Fundamentos físicos La ecuación (1.62) muestra que el espesor de la capa límite crece a un factor √ x desde el borde de ataque, es decir que δ ∝ √ x y la capa límite crece parabólicamente en régimen de flujo laminar. La tensión de corte viscosa local τw también es una función de la posición x. Este valor puede obtenerse en términos del coeficiente de fricción local C f , el cual es un número adimensional dado por la relación entre la tensión y la presión dinámica de la corriente libre11: C f = τw 1 2 ρ∞U 2 ∞ ≡ τw q∞ , (1.63) Mediante la teoría de capa límite laminar se obtiene C f laminar = 0,664√ Rex , por lo tanto τw,laminar =C f laminarq∞ = 0,664√ Rex 1 2 ρ∞U2∞. (1.64) Esta expresión muestra la ventaja de utilizar coeficientes adimensionales: mientras que la tensión τw depende de varias cantidades (ρ∞, U∞ y Rex) que además involucran unidades, el coeficiente C f depende solamente del número de Reynolds. Por otro lado, se observa que, a diferencia de lo que sucede con el espesor δ, el coeficiente C f decrece con un factor 1/ √ x, de modo que la tensión viscosa disminuye a lo largo de la superficie de la placa. La fuerza de fricción total sobre la placa se obtiene integrando las tensiones τw en toda la superficie: D f = b ˆ ` 0 τw dx, (1.65) siendo b el ancho (uniforme) de la placa y ` su longitud. En cuanto al perfil de velocidades, una solución exacta basada en el modelo de flujo bidimensio- nal de la teoría de capa límite laminar no es tan sencilla, ya que se alcanza una ecuación diferencial no lineal ordinaria de tercer orden que no tiene solución exacta y debe resolverse numéricamente. Sin embargo, pueden obtenerse buenas aproximaciones utilizando polinomios de segundo grado. Una de estas aproximaciones es el perfil parábolico propuesto por Kárman: u(x,y)≈U∞ ( 2y δ − y 2 δ2 ) , 0≤ y≤ δ(x). (1.66) Esta expresión se reproduce en el gráfico de la Figura 1.20 donde se compara el perfil de velocidad de una capa límite laminar y una capa límite turbulenta. 1.4.3 Capa límite turbulenta Como hemos visto anteriormente, la capa límite inicialmente laminar se hará turbulenta cuando se alcance el número de Reynolds crítico basado en la distancia recorrida sobre la placa. No existe un único valor de número de Reynolds para que se produzca la transición, sino que éste dependerá de múltiples factores como ser la rugosidad de la placa y el nivel de turbulencia del flujo libre. Como regla general, para superficies más rugosas y niveles de turbulencia del flujo libre más elevados, la transición se producirá a menores números de Reynolds (usualmente se dice que se adelanta la 11La utilización de coeficientes adimensionales es una práctica muy extendida en Aerodinámica, tal como se verá en los capítulos posteriores DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.4 Capa límite 51 transición). El valor de referencia del número de Reynolds crítico para placas planas con superficies lisas convencionales y una corriente libre “relativamente tranquila” es: Rex,crít ≈ 5×105, aunque se han logrado valores de transición mucho más elevados al utilizar superficies cuidadosa- mente pulidas y flujos con niveles de turbulencia muy bajos. Una vez que la capa límite transiciona a turbulenta, el flujo dentro de ella es turbulento con lo cual existe movimiento de las partículas de fluido en dirección normal a la superficie de la placa plana. Sin embargo, debido a la restricción al movimiento que significa la presencia de la superficie sólida, en una región muy delgada y adyacente a ésta existe una zona de flujo laminar que se denomina subcapa laminar. Bajo las mismas condiciones de flujo, una capa límite turbulenta será más “gruesa” que una capa límite laminar ya que la transferencia de cantidad de movimiento es más eficiente en flujo turbulento debido al movimiento transversal de las partículas de fluido que transfieren su energía a escala macroscópica. A diferencia del caso laminar, no existen resultados teóricos para capas límites turbulentas, por lo tanto las estimaciones de δ y τw se basan en ensayos experimentales y simulaciones numéricas que utilizan formulaciones empíricas para modelar la turbulencia. Estos métodos permiten obtener la siguiente aproximación para flujo turbulento: δturbulenta = 0,16x Re 1/7 x . (1.67) Esta expresión muestra que el espesor de la capa límite turbulenta crece con un factor x6/7 (casi linealmente), mucho más rápidamente que la capa límite laminar cuyo factor de crecimiento es x1/2. Un resultado aproximado del coeficiente de fricción local para capa límite turbulenta es: C f turbulenta = 0,027 Re 1/7 x , (1.68) el cual, como era de preverse, es mayor que el correspondiente a capa límite laminar. Con respecto al perfil de velocidades, Prandtl propuso la siguiente función para aproximar la velocidad (media) dentro de la capa límite turbulenta: u(x,y)≈U∞ ( y δ )1/7 , 0≤ y≤ δ(x). (1.69) la cual produce una buena aproximación para números de Reynolds relativamente bajos (Rex < 106). En la Figura 1.20 se muestran los perfiles de velocidades típicos para capas límites laminares y turbulentas basados en las expresiones aproximadas dadas en las ecuaciones (1.66) y (1.69). Allí se observa la clara diferencia en el gradiente de velocidad que se produce en la interfaz placa-fluido. Además se observa cómo dentro de la capa límite turbulenta la velocidad es mayor que en la capa laminar, de allí que se dice que una capa límite turbulenta es “más energética” que una laminar. Ejemplo 1.8 Estimar la fuerza de fricción que produce un flujo de aire uniforme de velocidad U∞ = 12m/s actuando tangencialmente sobre un letrero rectangular de dimensiones 2m (en dirección del flujo) por 1,50m, el cual puede idealizarse como una placa plana lisa de espesor despreciable. Utilizar para el cálculo las propiedades del aire “estándar” a nivel del mar y asumir un número de Reynolds crítico de 5×105. El primer paso para resolver este problema es determinar el número de Reynolds del flujo DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 52 Capítulo 1. Fundamentos físicos 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 1.20: Comparación de los perfiles de velocidades (adimensionales) para capas límites laminar y turbulenta en una placa plana. tomando como longitud de referencia la dimensión del letrero en dirección del flujo (`= 2m): Re` = ρMSLU∞` µMSL = 1,643×106. Como vemos, Re` > 5×105, por lo tanto existen regiones de flujo turbulento. Esto significa que debemos considerar dos regiones dadas por x < xcrít y x > xcrít, donde xcrít es la longitud para la cual se alcanza el número de Reynolds de transición: xcrít = RecrítµMSL ρMSLU∞ = 0,609m. La tensión de corte viscosa sobre una placa plana para capa límite laminar está dada por la ecuación (1.64): τw,lam = q∞ 0,664√ Rex =,0,664 q∞ √ µMSL√ ρMSLU∞ x−1/2, entonces la fuerza de fricción producida por el flujo en la región laminar resulta D f ,lam = 2b ˆ xcrít 0 τw,lam dx = 2b0,664 q∞ √ µMSL√ ρMSLU∞ 2 √ xcrít = 0,2361N, donde b = 1,50m es el ancho del letrero y el factor 2 se incluye para considerar ambos lados de la placa. Ahora realizamos un procedimiento similar para la región de capa límite turbulenta utilizando la ecuación (1.68): τw,turb = q∞ 0,027 Re 1/7 x = 0,027 q∞µ 1/7 MSL (ρMSLU∞) 1/7 x −1/7, DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.4 Capa límite 53 por lo tanto D f ,turb = 2b ˆ ` xcrít τw,turb dx = 2b0,027 q∞µ 1/7 MSL (ρMSLU∞) 1/7 7 6 ( `6/7− x6/7crít ) = 1,3790N. Finalmente, la fuerza de fricción total que produce el flujo de aire sobre el letrero es la suma de ambas contribuciones: D f = D f ,lam +D f ,turb = 1,6186N. Nótese que la mayor parte de la fuerza de fricción viscosa se debe al efecto de la capa límite turbulenta, por ello en ocasiones el cálculo se realiza asumiendo que la totalidad del flujo se encuentra en esa condición, especialmente cuando no se conocen de manera más o menos precisa los valores de transición de la capa límite. � 1.4.4 Separación de la capa límite Los resultados presentados en las secciones anteriores tanto para capa límite laminar como para capa límite turbulenta se obtuvieron considerando el caso especial de un flujo paralelo a una placa plana de espesor muy pequeño. Bajo esta condición, las líneas de corriente son esencialmente paralelas a la placa y las propiedades del flujo son constantes en todo el campo de movimiento, a excepción de la región interna a la capa límite. Naturalmente, esta condición de flujo es muy particular, ya que en general estaremos en presencia de geometrías más complejas que producirán campos de movimiento de propiedades variables. Precisamente, en la mayoría de las aplicaciones aeronáuticas se busca generar cambios en las propiedades del flujo para obtener los resultados deseados, como por ejemplo producir una determinada distribución de presión sobre la superficie del ala de un avión para generar una fuerza de sustentación. Si bien el problema de la placa plana constituye un muy buen modelo para estudiar los conceptos básicos de la capa límite, éste posee una condición que pocas veces se satisface en los problemas prácticos: la presión (estática) es constante a lo largo de las líneas de corriente, es decir que el gradiente de presión es nulo en la dirección del flujo (dp/dx = 0). Esto se debe a que la velocidad es esencialmente constante fuera de la capa límite, por lo tanto, de acuerdo a la ecuación de Bernoulli, la presión estática no cambia. Sin embargo, si la superficie del cuerpo es curvada, las líneas de corriente también se curvan y la velocidad cambia con un consecuente cambio en la presión estática12, produciéndose de este modo un gradiente de presión en dirección del flujo. Hay que tener en cuenta que los cambios de velocidad dentro de la capa límite no pueden asociarse directamente con cambios de presión considerando la ecuación de Bernoulli (o alguna otra expresión de conservación de la energía), ya que en esa región el flujo no es isoenergético debido al efecto disipativo de la viscosidad del fluido (la presión total no se conserva en las líneas de corriente interiores a la capa límite). Las características de todo el campo de movimiento, tanto dentro como fuera de la capa límite, en general dependerán fuertementemente de los efectos del gradiente de presión dp/dx dentro de la capa límite. Para visualizar estos efectos consideremos el flujo alrededor de un cilindro como el que se indica en la Figura 1.21. Si el fluido fuera completamente no viscoso (µ= 0), el número de Reynolds sería infinito y las líneas de corriente serían simétricas respecto al plano medio del cilindro normal a la dirección del flujo libre. La velocidad del flujo en la línea de corriente adherida a la superficie del cuerpo variaría desde un valor nulo en el punto de estancamiento, hasta un valor máximo en la parte superior (e inferior) del cilindro debido al estrechamiento de las líneas de corriente, para 12Es justamente este efecto el que se aprovecha en los perfiles aerodinámicos, que son las formas bidimensioniales que conforman las secciones de las alas de un avión. La superficie curva del perfil genera una dismminución de la presión en la superficie superior del ala produciendo así la fuerza de sustentación. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 54 Capítulo 1. Fundamentos físicos Figura 1.21: Características de la capa límite en un cilindro. Separación de la capa límite y perfiles de velocidad típicos en distintas posiciones. nuevamente reducir su valor a cero en el punto de estancamiento posterior. Consecuentemente, de acuerdo a la ecuación de Bernoulli la cual puede aplicarse en este caso de flujo ideal, la presión estática variaría desde un valor máximo igual a la presión total en el punto de estancamiento, hasta un valor mínimo donde la velocidad del flujo es máxima, para nuevamente aumentar hasta la presión total en el punto de estancamiento posterior. Es decir que la presión resulta simétrica con respecto al plano medio del cilindro normal al flujo (plano vertical que pasa por el centro del cilindro). Durante la primera parte de este movimiento, una partícula de fluido viaja desde el frente del cilindro hasta la zona superior (o inferior) del mismo, desde una región de mayor presión hacia una región de menor presión En este caso decimos entonces que existe un gradiente de presión favorable para el movimiento, ya que el desplazamiento se produce en la dirección “natural” en la cual se mueve un fluido frente a diferencias de presión, tendiendo a equiparar su valor en todo el dominio. Esto puede pensarse entendiendo a la presión como un indicador de energía potencial y suponiendo que el movimiento se realiza sobre una “colina de presión”. Bajo la condición de un gradiente de presión favorable, la partícula se estaría desplazando cuesta abajo de la colina desde una posición de máxima energía potencial hasta un punto donde alcanza su máxima energía cinética (máxima velocidad) en la parte “más baja del valle”. De manera contraria, en el movimiento que se produce detrás del cilindro el intercambio de energía es inverso de modo que la energía cinética de la partícula se transforma en energía de presión, viajando desde una región de menor presión hacia una de mayor presión. Esto sería como desplazarse hacia arriba en la colina de presión, por lo que decimos que existe un gradiente de presión adverso o desfavorable. Si el fluido es no viscoso no existen pérdidas de energía por fricción, por lo que la partícula dispone de suficiente energía cinética como para recuperar totalmente su energía de presión inicial, ya que la energía mecánica total del sistema debe conservarse en ausencia de mecanismos de disipación. En la analogía de la colina de presión significa que la partícula recupera su altura inicial luego de haber viajado cuesta arriba desde el valle aprovechando la energía cinética obtenida al alcanzar la zona más baja. Consideremos ahora el mismo problema descrito anteriormente pero para el caso de un fuido real (µ > 0) y un número de Reynolds suficientemente grande de manera que se produzca una capa límite. En esta situación, las partículas de fluido tanto dentro como fuera de la capa límite experimentan la misma distribución de presión que se produce para flujo no viscoso, es decir, un gradiente de presión favorable inicial y luego un gradiente de presión adverso en la parte DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.4 Capa límite 55 posterior del cilindro. Sin embargo, debido a los efectos disipativos de la viscosidad, en este caso las partículas fluidas que se mueven en el interior de la capa límite sufren una pérdida de energía a lo largo del movimiento. Esta pérdida significa que estas partículas ya no poseen energía suficiente como para contrarrestar el gradiente de presión adverso. En la analogía de la colina,de presión significa que ya no son capaces de “subir” nuevamente la colina desde la parte más baja del valle (parte superior (o inferior) del cilindro indicado como punto C de la Figura 1.21) hasta la cima (región posterior del cilindro). Esta pérdida de energía cinética se manifiesta en un cambio en el perfil de velocidades de la capa límite a lo largo del cilindro, tal como se observa en la Figura 1.21. Debido a que el fluido no dispone de un suministro adicional de energía, llega un punto en el cual el flujo no puede contrarrestar el incremento de presión con la energía cinética disponible. En este punto el gradiente de velocidad en dirección normal a la superficie se hace nulo y más allá del mismo aparece un flujo inverso generado por la diferencia de presión que hace que la capa límite se separe del cuerpo. Como consecuencia de la separación, detrás del cuerpo se genera una región de flujo inesta- cionario y turbulento denominada estela. Dentro de la estela no es posible realizar mediciones confiables ya que existe un gran nivel de turbulencia del flujo (la propiedad ∂p/∂y≈ 0 dentro de la capa límite pierde validez una vez que se produce la separación). Por otro lado, la presión en la región posterior del cilindro es menor que la presión en la región frontal puesto que la disipación de energía por fricción impide recuperar totalmente la presión de estancamiento. Este desbalance de presiones produce una fuerza de resistencia aerodinámica que será mayor cuanto mayor sea el tamaño de la estela, es decir, cuanto mayor sea el área de flujo separado. De allí que en aerodinámica generalmente se busca reducir lo más posible las regiones de flujo desprendido13. Hay que destacar que el fenómeno de separación tal como fue detallado se produce únicamente cuando existe una capa límite en el campo de movimiento, es decir, cuando el número de Reynolds es lo suficientemente grande (exceptuando naturalmente el caso de flujo ideal donde Re= ∞). En flujos altamente viscosos o de muy baja velocidad (Re→ 0), las regiones del campo de movimiento afectadas por la viscosidad ya no se reducen a una pequeña zona cercana al cuerpo sino que se extienden mucho más allá de la superficie, con lo cual el comportamiento es sustancialmente diferente. 1.4.5 Determinación experimental de la capa límite En el análisis experimental de la capa límite se busca determinar fundamentalmente el espesor de la misma y el perfil de velocidades dentro de ella. Como hemos visto anteriormente, siempre que la capa límite se encuentre adherida a la superficie es válido asumir que la presión estática en dirección normal al flujo no cambia (∂p/∂y≈ 0). Por otro lado, la presión total varía en la medida que cambia la velocidad, ya que la energía se disipa por fricción. De esta manera, es posible obtener un perfil de velocidades a partir de la medición de presión estática registrada directamente sobre la superficie sólida y la medición de la distribución de presión total en dirección normal a la pared. A diferencia de lo que sucede en muchos ensayos aerodinámicos, la mayor complejidad en este experimento radica en la medición de la presión total, la cual debe hacerse en numerosos puntos de una región generalmente muy pequeña. Esto implica que debemos contar con un elemento que permita desplazar la sonda de presión total de manera muy precisa y ésta además debe ser lo suficientemente pequeña de manera de poder realizar múltiples mediciones dentro de la capa límite sin producir perturbaciones excesivas en el campo de movimiento. Por otro lado, hay que tener en cuenta que deben realizarse correcciones de la posición del centro efectivo de la sonda ya que la medición de la presión total se hace en regiones donde existe un gradiente de velocidad en dirección normal al eje de la sonda. Estos detalles serán analizados en la Sección 3.1.2 del Capítulo 3. 13Excepto en aplicaciones donde el objetivo es generar una gran resistencia, como el caso de los frenos aerodinámicos DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 56 Capítulo 1. Fundamentos físicos 1.5 Guía de estudio Preguntas 1. ¿Qué son la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad de un fluido? ¿A partir de qué enfoque se realizan estas definiciones y cuáles son las limitaciones para su utilización? 2. Desde el punto de vista de la mecánica de los fluidos, ¿cuál es la diferencia entre una partícula de fluido y una molécula de fluido?. ¿A qué tipo de enfoque corresponde cada una de ellas? 3. Escriba la ecuación de estado de los gases ideales e indique en qué condiciones es válido aplicar esta idealización. 4. Deduzca la ecuación de altura de un gas ideal en reposo en presencia de un campo gravitario constante para una condición de temperatura constante y de gradiente térmico constante. 5. Explique qué entiende por atmósfera y describa brevemente las diferentes formas de caracte- rizar la estructura de la atmósfera terrestre. 6. ¿Qué es la atmósfera estándar internacional y para qué se utiliza? 7. ¿Cuál es el principio de funcionamiento de un baroaltímetro y qué elementos básicos compo- nen este instrumento?. 8. ¿Cuáles son las diferencias entre la altitud y altura geométricas y la altitud y altura de presión? 9. ¿Qué suposiciones y bajo qué circunstancias pueden asumirse para simplificar el tratamiento de un problema de flujo de aire? 10. ¿Qué son las líneas de corriente, las líneas de trayectoria y las líneas de traza de un flujo? ¿Qué relación existe entre ellas? 11. ¿Qué es el número de Mach de un flujo y qué implicancias tiene este parámetro en las características del flujo? 12. ¿Qué es es un tubo de flujo en una corriente fluida? 13. Escriba la ecuación de continuidad para un flujo estacionario compresible e incompresible. ¿Qué principio físico expresa esta relación? 14. Escriba la ecuación de Bernoulli e indique qué representa cada uno de sus términos. ¿Qué principio físico expresa esta relación y cuáles son las condiciones de validez de la misma? 15. ¿Qué son la presión estática, la presión dinámica y la presión total de un flujo? Escriba la re- lación que existe entre estas cantidades para un flujo estacionario, no viscoso e incompresible con variación de altura despreciable. 16. Muestre esquemáticamente cómo funciona una sonda Pitot y explique para qué se utiliza este instrumento indicando las relaciones matemáticas que intervienen. 17. ¿Cómo se determina la velocidad de una corriente de aire de baja velocidad utilizando una sonda Pitot-estática y un manómetro diferencial de columna de líquido? Indique las expresiones matemáticas que se utilizan en el proceso. 18. ¿Cómo se mide la velocidad de un flujo en regímen subsónico compresible? 19. ¿En función de qué parámetro se establece el límite de incompresibilidad de un flujo de aire? ¿Cuáles son los fundamentos de dicha simplificación? 20. ¿Qué es la viscosidad molecular (o absoluta) de un fluido? ¿Qué fenómeno representa esta propiedad de transporte? 21. Defina viscosidad dinámica y viscosidad cinemática de un fluido indicando en qué unidades de medida suelen expresarse estas propiedades. 22. Explique brevemente los mecanismos por los cuales se manifiesta la viscosidad en gases y en líquidos. ¿Cuál es la influencia de la temperatura en cada caso? 23. ¿Qué es la condición de no deslizamiento de un flujo y cuál es el origen de la misma? 24. ¿Qué parámetro adimensional establece la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas de un flujo? 25. Explique brevemente las características principales del flujo laminar y del flujo turbulento. ¿Qué es el número de Reynolds crítico? DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 1.5 Guía de estudio 57 26. ¿Qué son la velocidad instantánea, la velocidad media y la velocidad aleatoria de un flujo? ¿En qué regimen de flujo tienen sentido estas definiciones? 27. ¿Qué es la intensidad (o nivel) de turbulencia de un flujo? 28. ¿Qué es la capa límite? ¿Bajo qué condiciones tiene sentido esta definición y cómo se desarrolla la misma a lo largo de una placa plana paralela,a la corriente libre? 29. ¿Cómo varía la tensión de corte viscosa dentro de una capa límite laminar cuyo perfil de velocidades es u(y) =U∞ [ 2 y δ − ( y δ )2], y dentro de una capa límite turbulenta con un perfil u(y) = u∞ ( y δ )1/7? 30. ¿A qué se debe la separación de la capa límite y qué condición origina dicho fenómeno? Problemas 1. Calcular el peso de la masa de aire que se encuentra en el interior de una habitación donde se registra una presión atmosférica de 975hPa y una temperatura de 16 oC, cuyas dimensiones son 4,50m de largo, 3,50m de ancho y 2,60m de altura. 2. Determinar la presión en el interior de un tanque de 80litros de capacidad dentro del cual se han bombeado 10kg de gas metano a una temperatura de 20 oC. La masa molar del metano es µm,metano = 16,04g/mol. 3. Los requerimientos de diseño de una determinada aeronave indican que deben satisfacerse una serie de requisitos de performance a una altitud de 20000ft AMSL. Determinar qué valor de densidad utilizará el diseñador para realizar los cálculos correspondientes. 4. Determinar la densidad del aire en la posición de un avión en vuelo cuyo baroaltímetro indica una altitud de presión de 15000ft y donde se registra una temperatura ambiente de 0 oC. Asumir que no existen errores en la indicación de los instrumentos. 5. Determinar la presión atmosférica en la posición de una aeronave que se encuentra volando a una altura de presión de 20000ft medida con respecto a un punto sobre la superficie terrestre de 300m de elevación donde se registra una presión atmosférica de 950hPa. 6. En cálculos preliminares de performance de una aeronave suele emplearse una forma aproxi- mada para estimar la variación de la densidad del aire con la altitud: ρ ρMSL = exp(−kh) . Determinar el valor de la constante k de modo que la expresión anterior entregue el valor exacto de la densidad para h = 5000m. Posteriormente evaluar el error en la densidad para h = 6000,7000,8000,9000 y 10000m. 7. Calcular la temperatura del aire en la posición de un avión que se encuentra volando a una altitud de presión de 33000ft y una altitud de densidad de 30000ft. 8. Determinar el caudal de aire y la velocidad de salida de una corriente que circula a través de un conducto convergente a una velocidad de entrada de 200m/s. La sección de entrada del conducto es de 0,30m2 y la sección de salida de 0,20m2. La densidad del aire a la entrada es de 1kg/m3 y a la salida de 0,75kg/m3. 9. Determinar la velocidad del aire en un punto sobre la superficie de un perfil aerodinámico donde la presión estática es de 1004,5hPa y la presión atmosférica, la densidad y la velocidad de la corriente libre son de 1013,25hPa, 1,225kg/m3 y 50m/s, respectivamente. 10. Un avión se desplaza a una altitud de presión de 10000m donde la temperatura ambiente es de −43 oC. Determinar el número de Mach del vuelo si la sonda Pitot abordo de la aeronave registra una presión de 420hPa. 11. Determinar cuánto cambia la viscosidad dinámica del aire en un flujo donde la temperatura varía desde los −30 oC a los 30 oC. Determinar además la viscosidad cinemática en estas dos DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 58 Capítulo 1. Fundamentos físicos situaciones asumiendo que la presión es de 410hPa para el caso frío y de 1013hPa para el caso cálido. 12. Estimar el espesor de la capa límite para x = 1,50m que se registra en una placa plana lisa sometida a un flujo de aire uniforme de 10m/s, asumiendo que la transición se produce para un número de Reynolds de 6,5×105. Utilizar para el cálculo las propiedades del aire estándar a nivel del mar. 13. En el juego del tejo se utiliza un disco de diámetro 8cm que se desliza sobre un “colchón” de aire. Asumiendo que el disco es plano y liso, estimar la fuerza de fricción viscosa que ejerce el aire sobre el disco si éste se desplaza a una velocidad de 4m/s. ¿Cuánto cambiaría la fuerza de fricción si el disco fuera rugoso de modo que la capa límite resultara turbulenta?. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Uno de los principales objetivos del estudio del flujo de fluidos es calcular las fuerzas y momentos que se generan sobre un cuerpo que se encuentra inmerso en el flujo. En nuestro caso particular, el fluido en movimiento es el aire y las fuerzas y momentos que éste ejerce sobre el cuerpo se conocen como acciones o fuerzas aerodinámicas. El desafío de los diseñadores aeronáuticos es justamente aprovechar estas acciones aerodinámicas para hacer posible el vuelo de máquinas más pesadas que el aire. Aunque las ecuaciones de gobierno del movimiento de un fluido son conocidas, muy pocos problemas de interés práctico poseen una solución analítica que permita un estudio directo por esa vía. Por lo tanto, muchos problemas de este tipo son abordados en base a datos determinados experimentalmente. Es por ello que el análisis dimensional juega un rol fundamental dentro de la Mecánica de los Fluidos en general y de la Aerodinámica en particular, ya que mediante este enfoque es posible establecer los criterios a tener en cuenta para poder extrapolar los resultados obtenidos experimentalmente en los laboratorios a los problemas reales. 2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo La interacción aerodinámica entre un fluido y un cuerpo sólido puede darse ya sea por el impacto del fluido en movimiento contra el cuerpo en reposo, como sucede por ejemplo con la incidencia del viento sobre estructuras civiles, por el movimiento del cuerpo en un medio en reposo, como es el caso del desplazamiento de los vehículos en general en la atmósfera terrestre, o por una combinación de ambos efectos. En otras palabras, es necesario que exista un movimiento relativo entre el fluido y el cuerpo. Independientemente de cuál sea la situación, siempre que el moviemiento sea estacionario, es posible escoger un sistema de coordenadas fijo al cuerpo y evaluar el problema asumiendo un flujo incidente sobre un cuerpo en reposo, lo cual permite simplificar considerablemente el análisis. Por otro lado, en muchas de las aplicaciones de nuestro interés, también podemos asumir que la velocidad del flujo incidente es uniforme y constante en el tiempo a una distancia lo suficientemente alejada y corriente arriba del cuerpo. Aunque esto no es estrictamente cierto en la gran mayoría de los problemas prácticos, una simplificación de este tipo permite determinar cuáles son los principales efectos de los distintos parámetros que intervienen en la generación de las acciones 59 DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 60 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos aerodinámicas. Hay que tener en cuenta que la condición de que el flujo incidente sea estacionario no implica que no puedan existir regiones de flujo no estacionario en algunas zonas del campo de movimiento. De hecho, esta situación se produce frecuentemente debido a la presencia de la estela que se genera por la separación de la capa límite. Consideremos entonces un cuerpo sólido indeformable sumergido en una corriente estacionaria de velocidad V∞. Físicamente, pueden distinguirse dos mecanismos por los cuales el fluido que compone la corriente produce una fuerza sobre el cuerpo. El primero de ellos se debe a la presión ejercida por el fluido sobre la superficie del cuerpo. El segundo es consecuencia de las tensiones de corte que se producen sobre la superficie del cuerpo por acción de la viscosidad. Mientras que la presión ejerce una fuerza por unidad de área en dirección normal a la superficie, las tensiones de corte actúan en dirección paralela a la pared. La integración de las presiones y las tensiones de corte viscosas en toda la superficie del cuerpo expuesta al flujo se traduce en una fuerza aerodinámica total conocida como resultante aerodinámica: R = ˆ A −pn dA+ ˆ A τws dA, (2.1) siendo p la presión, n un vector unitario normal saliente a la superficie, τw la tensión de corte viscosa y s un vector unitario paralelo a la superficie. La integración se realiza en toda la superficie del,cuerpo expuesta al flujo (superficie mojada), representada por el área total A. Debido a la naturaleza de las aplicaciones aeronáuticas, conviene descomponer la resultante aerodinámica en dos componentes que tienen en cuenta la dirección del “viento relativo” de acuerdo a las siguientes definiciones: Definición 2.1 — Sustentación. Se define como fuerza de sustentación (o simplemente sustenta- ción) a la componente de la resultante aerodinámica que actúa en dirección perpendicular a la corriente libre. La fuerza de sustentación suele indicarse con la letra L (del inglés lift). Definición 2.2 — Resistencia aerodinámica. Se define como fuerza de resistencia aerodinámica (o simplemente resistencia) a la componente de la resultante aerodinámica que actúa en dirección paralela a la dirección del flujo libre. La resistencia aerodinámica suele indicarse con la letra D (del inglés drag). Si bien la sustentación L y la resistencia D son en rigor cantidades vectoriales, se admite utilizar para ellas un tratamiento escalar, ya que la dirección de estos vectores está determinada por su definición. De acuerdo a las definiciones geométricas de la Figura 2.1, la fuerza de sustentación y la fuerza de resistencia aerodinámica están dadas por las siguientes integrales: L = ˆ A (−psinθ+ τw cosθ) dA, (2.2) D = ˆ A (pcosθ+ τw sinθ) dA, (2.3) siendo θ el ángulo formado entre la dirección normal a la superficie del cuerpo y el vector velocidad del flujo libre, tal como se muestra en la figura. En general, la mayor porción de la fuerza de sustentación se producirá por el desbalance de las fuerzas de presión en dirección normal a la dirección de la corriente libre, dado que la tensión viscosa no realiza un aporte significativo en esa dirección. Por otro lado, la fuerza de resistencia aerodinámica puede estar conformada mayormente por uno u otro efecto, dependiendo fundamentalmente de la forma del cuerpo. En la Figura 2.1 se muestran esquemáticamente los efectos de la presión y las tensiones de corte viscosa sobre un perfil aerodinámico junto con la definición gráfica de las fuerzas de sustentación y resistencia aerodinámica. Nótese que las rectas de acción de estas fuerzas son siempre coplanares, DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo 61 Figura 2.1: Fuerzas debidas al flujo en un cuerpo bidimensional (izquierda) y fuerzas sobre un pequeño elemento de superficie del cuerpo (derecha). es decir que los vectores L y D se encuentran contenidos dentro del mismo plano. En el caso de flujo bidimensional, como el esquematizado en la figura, la resultante aerodinámica también está contenida en el mismo plano. En flujo tridimensional aparece otra componente aerodinámica perpendicular a la sustentación y a la resistencia conocida como fuerza lateral N. Además de la resultante aerodinámica existe otra acción aerodinámica que se produce sobre un cuerpo por la acción de una corriente fluida. Esta acción es un momento o cupla que se genera sobre el cuerpo debido a la distribución de fuerzas sobre la superficie las cuales, en el caso general, originan una cupla libre que tienden a hacer rotar el cuerpo. Este efecto se conoce como momento aerodinámico . Para el caso particular de flujo bidimensional, la rotación del cuerpo se produce dentro del plano del movimiento y el momento asociado se conoce como momento de cabeceo: Definición 2.3 — Momento de cabeceo. Se define como momento de cabeceo a la componente del momento aerodinámica cuya recta de acción actúa en dirección normal al plano formado por las fuerzas de sustentación y resistencia aerodinámica. El momento de cabeceo suele indicarse con la letraM y la convención de signos mayormente adoptada establece que el mismo es positivo si tiende a hacer rotar el cuerpo en sentido horario (llamado momento a cabecear o cabrear, ya que tiende a levantar la región delantera del cuerpo), o negativo si la rotación es en sentido antihorario (momento a picar, ya que tiende a bajar la nariz). La contribución de las fuerzas viscosas al momento de cabeceo es, en general, muy pequeña por lo tanto esta acción aerodinámica suele calcularse considerando solamente el aporte de la presión con respecto a un punto de referencia (x0,y0) dado: M= ˆ A [−(x− x0)psinθ+(y− y0)pcosθ] dA. (2.4) Naturalmente, en condiciones de flujo tridimensional existen otras componentes del momento aerodinámico que actúan en dirección paralela a la fuerza de sustentación (momento de guiñada N ) y paralela a la resistencia aerodinámica (momento de rolido L). A lo largo de este capítulo y en gran parte de estas notas, consideraremos el caso particular del movimiento plano, por lo tanto, se asume que N = 0, N = 0 y L = 0. Para los objetivos de nuestro análisis, la condición de flujo bidimensional no resulta restrictiva, ya que muchos de los problemas en los cuales estamos interesados se estudian, modelan o desarrollan bajo esa condición. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 62 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Habiendo definido las acciones aerodinámicas, la solución del problema parecería ser tan simple como evaluar las integrales dadas en las ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) para determinar la sustentación, la resistencia y el momento de cabeceo. Sin embargo, estas expresiones en principio sencillas requieren conocer cómo se distribuyen la presión y la tensión viscosa sobre la superficie del cuerpo expuesta al flujo. Es aquí donde radica el “problema”, dado que en la mayoría de los casos prácticos estas distribuciones no se encuentran disponibles debido a que es extremadamente complejo obtenerlas. Recordemos que un enfoque analítico del problema por lo general no es posible dada la complejidad de las ecuaciones de flujo, las cuales no poseen solución analítica. Por otro lado, aunque las simulaciones numéricas se encuentran muy desarrolladas en la actualidad, todavía persiste cierto nivel de incertidumbre en cuanto a los resultados numéricos que, en muchos casos, no permiten tomar decisiones finales de diseño. Por estos motivos, es de práctica común en Aerodinámica estimar las acciones aerodinámicas a partir de datos obtenidos experimentalmente mediante ensayos aerodinámicos, los cuales se realizan de manera tal de poder extrapolar directa- mente los valores de las fuerzas aerodinámicas determinadas en modelos a escala a la condición real de flujo. Es en este contexto que el análisis dimensional constituye una herramienta fundamental en Aerodinámica. 2.2 Introducción al Análisis dimensional Básicamente, el análisis dimensional es un método utilizado para reducir el número y la com- plejidad de las variables que afectan un determinado fenómeno físico. Si ese fenómeno determinado depende de n variables dimensionales, es decir, aquellas que tienen dimensiones físicas y deben expresarse acompañadas de unidades, el análisis dimensional permitirá reducir ese número a sólo k variables adimensionales, donde la reducción será tal que n− k = 1, 2, 3 ó 4 dependiendo de la complejidad del problema. En general, n− k es igual al número de dimensiones “diferentes” involucradas en el problema, es decir que n− k es igual al número de dimensiones fundamentales (unidades de base) que describen el problema. En Mecánica de los Fluidos las dimensiones de base usuales son cuatro: masa M, longitud L, tiempo T y temperatura K. Aunque el propósito inicial del análisis dimensional es reducir variables agrupándolas en forma adimensional, este método tiene múltiples ventajas. La primera de ellas es la de posibilitar un gran ahorro de tiempo (y recursos en general) en lo que respecta al desarrollo de experimentos y/o simulaciones. Para visualizar esta situación, imaginemos que se conoce que la fuerza sobre un cuerpo particular inmerso en una corriente fluida depende solamente de la longitud del cuerpo `, de la velocidad de la corriente libre V∞, de la densidad ρ∞ y de la viscosidad µ∞, es decir: F = f (`,V∞,ρ∞,µ∞). Supongamos que la forma del cuerpo y las condiciones de flujo no,permiten un análisis teórico del problema, por lo tanto, la función f (`,V∞,ρ∞,µ∞) debe ser encontrada ya sea experimentalmente o por medio de simulaciones numéricas. Si tenemos en cuenta que necesitamos una cantidad de N puntos para definir una curva, y queremos parametrizar los resultados para distintos valores de cada una de las n = 4 variables intervinientes, necesitaríamos entonces un total de Nn experimentos para completar la información. Esto significa que para este problema particular, para definir cada curva con N = 10 puntos serán necesarios 104 experimentos. Obviamente, este valor es demasiado grande como para encarar una campaña de ensayos que resulte técnica y económicamente viable. Es en este punto donde entra en juego el análisis dimensional, ya que mediante este procedimiento es posible reducir inmediatamente el problema a la siguiente forma equivalente (como veremos más adelante): F ρ∞V 2∞`2 = g ( ρ∞V∞` µ∞ ) , DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.2 Introducción al Análisis dimensional 63 o, escrito de otra manera, CF = g(Re). El coeficiente de fuerza adimensional CF es una función sólo del número de Reynolds del flujo. La función g(Re) es matemáticamente diferente a la función f (`,V∞,ρ∞,µ∞), pero igualmente conserva “toda la información” contenida en la función f 1. La otra gran ventaja del análisis dimensional es que este método ayuda al entendimiento y planeamiento tanto de experimentos como de teorías. En ocasiones, el análisis dimensional permite descartar variables en la dependencia de un resultado. Por otro lado, el análisis dimensional establece las leyes de escala entre los modelos de laboratorio y los problemas reales permitiendo obtener relaciones del tipo: Si Remodelo = Rereal, entonces CF modelo =CF real, por lo tanto[ F ρ∞V 2∞`2 ] modelo = [ F ρ∞V 2∞`2 ] real . Este tipo de relaciones encuentran un gran campo de aplicación en Aerodinámica y permiten realizar un análisis sistemático y relativamente simple de las fuerzas y momentos aerodinámicos que produce un flujo sobre un cuerpo. 2.2.1 Principio de homogeneidad dimensional Para lograr la reducción de una expresión de n variables a otra de sólo n− k variables se explota una regla que es casi un axioma de la Física. Esta regla se conoce como el principio de homogeneidad dimensional y se refiere, como su nombre lo indica, a que si una ecuación expresa una relación adecuada entre variables en un proceso físico, esta ecuación debe ser dimensionalmente homogénea, lo cual significa que cada uno de sus términos aditivos tiene la misma dimensión. En otras palabras, este principio indica que todos los términos de una ecuación que representa un proceso físico deben tener “las mismas unidades”2. Este principio, que seguramente ya era conocido por todos nosotros e incluso fue utilizado intuitivamente para comprobar alguna formulación, permite diferenciar entre los distintos factores que conforman una ecuación que modela un proceso físico: Las variables dimensionales son las cantidades que realmente varían en un determinado caso y que poseen dimensiones. Las constantes dimensionales son cantidades dimensionales que pueden variar de un caso a otro pero no dentro de un determinado proceso. Las constantes dimensionales también son llamadas parámetros. Las constantes puras son cantidades que permanecen siempre fijas y no tienen dimensiones. Surgen de la manipulación matemática. El soporte detrás del análisis dimensional es que cualquier ecuación dimensionalmente homogé- nea puede transformarse a una expresión adimensional equivalente más compacta. Existen diferentes métodos y teorías para obtener estas expresiones reducidas. A continuación presentaremos uno de los más conocidos. 1Este resultado es sólo un ejemplo y no debe entenderse como la generalidad de los problemas de flujo sobre cuerpos ya que, en ocasiones, las fuerzas debidas al flujo son débilmente dependientes del número de Reynolds y se ven afectados fuertemente por otros conjuntos adimensionales de variables. 2Nótese que la integración o la diferenciación de una ecuación puede cambiar la dimensión de la misma pero no altera la homogeneidad dimensional de la expresión. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 64 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos 2.2.2 El Teorema Pi de Buckingham Entre los diferentes métodos para la adimensionalización de una expresión física, probablemente el más difundido sea el propuesto por Buckingham en 1914, que se conoce como Teorema Pi. Este teorema establece que, si una ecuación que involucra n variables es dimensionalmente homogénea, entonces puede reducirse a una relación entre n− k productos adimensionales de variables, donde k es el mínimo número de dimensiones de referencia requerido para describir las variables. Los productos adimensionales son usualmente denominados términos pi, ya que Buckingham en su publicación utilizó el símbolo Π para representarlos, de allí el nombre del teorema. Aunque el teorema Pi es simple de entender y de aplicar, su demostración resulta bastante compleja y escapa al alcance de nuestro análisis, con lo cual aquí sólo explicaremos su aplicación asumiendo su validez. Para explicar el método, consideremos una ecuación que representa algún proceso físico y que cumple con la condición de homogeneidad dimensional: u1 = f (u1,u2, . . . ,un), donde los elementos ui pueden ser variables o constantes dimensionales. De acuerdo al teorema Pi, podemos agrupar las variables y parámetros ui en productos adimensionales Πi tal que Π1 = g(Π1,Π2, . . . ,Πn−k), donde cada producto Πi es función de algunas de las variables ui. Existen varios métodos para obtener los productos adimensionales. Aquí presentaremos un método que permite determinar sistemáticamente estos productos asegurando que los mismos resulten adimensionales e independientes entre sí. Este método es conocido como el Método de variables repetitivas, el cual consiste en los siguientes pasos: 1. Listar todas las variables que están involucradas en el problema, entendiendo por “variable” a toda cantidad dimensional o adimensional, constante o variable, que juegue un rol en el fenómeno bajo estudio. Estas variables deben ser independientes entre sí con el objetivo de obtener el mínimo número de ellas necesario para describir el problema. La determinación de estas variables está basada en los experimentos y en las leyes físicas que gobiernan el fenómeno. Típicamente, serán necesarias aquellas variables que permiten describir la geometría del sistema, las propiedades del medio y los efectos externos que afectan al sistema. 2. Expresar cada variable en términos de las dimensiones de base. Para los problemas típicos de Aerodinámica, considerando el Sistema Internacional de unidades, las dimensiones de base serán la masa M, la longitud L y el tiempo T. Por ejemplo, [ρ] = ML−3, [V ] = LT−1, [`] = L, etc. 3. Determinar la cantidad de productos Π requeridos. Esto se logra mediante el teorema Pi de Buckingham, es decir que la cantidad de productos Π es igual a n−k, siendo n el número de variables en el problema (obtenido en el primer paso) y k el número de dimensiones de base, que para los problemas de nuestro interés suele ser k = 3 (M, L y T). 4. Seleccionar una cantidad de variables repetitivas. Esta cantidad es igual al número de dimensiones de base k y las variables repetitivas deben ser escogidas considerando que todas las dimensiones de base que definen el problema deben estar incluidas en el grupo formado por estas variables. Además, cada variable repetitiva debe ser dimensionalmente independiente de las otras, es decir que la dimensión de una variable repetitiva no puede ser reproducida por alguna combinación de productos de las restantes variables repetitivas. 5. Formar los productos Π. Esto se logra multiplicando cada una de las variables no repetitivas por un producto de las variables repetitivas elevadas a exponentes tales que resulte una combinación adimensional. Esencialmente, cada producto Π tendrá la forma Πi,= uiua2u b 3u c 4, DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.2 Introducción al Análisis dimensional 65 donde {u2,u3,u4} es el conjunto de variables repetitivas, ui es una variable no repetitiva y los exponentes a, b y c se determinan de manera que la combinación resulte adimensional. Este paso debe repetirse para cada variable no repetitiva para obtener los n− k productos Π. 6. Expresar la relación funcional entre los productos Π. Una vez obtenidos todos los productos Πi se procede a escribir una relación funcional de la forma Π1 = g(Π2,Π3, . . . ,Πn−k), donde Π1 contendría la variable dependiente en el numerador. La relación funcional particular g(Π2,Π3, . . . ,Πn−k) en general debe obtenerse mediante experimentación. Para ilustrar la aplicación del teorema Pi consideremos el problema de la fuerza (en alguna dirección dada) que experimenta un cuerpo inmerso en una corriente fluida. Supongamos que el primer paso ya fue llevado a cabo y que pudo establecerse que la fuerza depende de la densidad del fluido ρ∞, de la velocidad del flujo libre V∞, de la viscosidad del fluido µ∞, de la velocidad del sonido a∞ y de una longitud de referencia `: F = f (ρ∞,V∞,µ∞,a∞, `), donde las dimensiones de cada una de las variables son Variable Símbolo Unidad (SI) Dimensiones de base Fuerza F N MLT−2 Densidad ρ∞ kg/m3 ML−3 Velocidad V∞ m/s LT−1 Viscosidad µ∞ Pa s ML−1 T−1 Velocidad a∞ m/s LT−1 Longitud ` m L Siendo que el problema consta de n = 6 variables, deben obtenerse n−k = 6−3 = 3 productos Π. Escogemos como variables repetitivas a la densidad ρ∞, a la velocidad V∞ y a la longitud de referencia `, verificando que entre ellas se encuentran las tres dimensiones de base MLT y que son dimensionalmente independientes entre sí. De este modo resulta entonces: Π1 = F ρa1∞ V b1 ∞ ` c1 , Π2 = µ∞ ρa2∞ V b2 ∞ ` c2 , Π3 = a∞ ρ a3 ∞ V b3 ∞ ` c3 , por lo tanto, dimensionalmente tenemos que [Π1] = MLT−2 Ma1 L−3a1 Lb1 T−b1 Lc1 , [Π2] = ML−1 T−1 Ma2 L−3a2 Lb2 T−b2 Lc2 , [Π3] = LT−1 Ma3 L−3a3 Lb3 T−b3 Lc3 . De acuerdo a estas expresiones, deben cumplirse las siguientes relaciones para que los productos DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 66 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Πi resulten adimensionales: 1+a1 = 0 1−3a1 +b1 + c1 = 0 −2−b1 = 0 1+a2 = 0 −1−3a2 +b2 + c2 = 0 −1−b2 = 0 a3 = 0 1−3a3 +b3 + c3 = 0 −1−b3 = 0 de donde resulta a1 =−1 b1 =−2 c1 =−2 a2 =−1 b2 =−1 c2 =−1 a3 = 0 b3 =−1 c3 = 0 Con estos exponentes, los productos Πi finalmente resultan: Π1 = F ρ∞V 2∞`2 = F 2q∞`2 , Π2 = µ∞ ρ∞V∞` = 1 Re , Π3 = a∞ V∞ = 1 Ma∞ . El hecho de que en este ejemplo la fuerza que experimenta un cuerpo inmerso en una corriente fluida resulte una función de la presión dinámica q∞, del número de Reynolds Re y del número de Mach Ma∞ no es casual. De hecho, veremos que para los problemas de nuestro interés, estos parámetros son fundamentales. El producto Π1 asociado a la variable dependiente, que es la fuerza F , representa un coeficiente de fuerza que, por definición, es el cociente entre una determinada fuerza aerodinámica y la presión dinámica de la corriente libre multiplicada por una dimensión geométrica de referencia (en este caso una superficie de referencia `2). Ejemplo 2.1 Se determinó que la fuerza de tracción T producida por una hélice en régimen de flujo incompresible depende de la potencia suministrada P, del diámetro de la hélice `�, de la velocidad de rotación ω, de la densidad ρ∞ y de la velocidad de avance V . Con estas consideraciones se pide obtener los productos Πi correspondientes si se escoge a `�, ω y ρ∞ como variables repetitivas. Para las variables repetitivas escogidas resultan los siguientes productos Πi: ΠP = P` a1 �ω b1ρc1∞ , [ΠP] = ML 2 T−3 La1 T−b1 Mc1 L−3c1 ΠT = T ` a2 �ω b2ρc2∞ , [ΠT ] = MLT −2 La2 T−b2 Mc2 L−3c2 ΠV =V ` a3 �ω b3ρc3∞ , [ΠV ] = LT −1 La3 T−b3 Mc3 L−3c3 . Con estas igualdades se forman los siguientes sistemas de ecuaciones: a1−3c1 +2 = 0 c1 +1 = 0 −b1−3 = 0 a2−3c2 +1 = 0 c2 +1 = 0 −b2−2 = 0 a3−3c3 +1 = 0 c3 = 0 −b3−1 = 0 DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.3 Coeficientes aerodinámicos 67 de donde se obtiene a1 =−5 b1 =−3 c1 =−1 a2 =−4 b2 =−2 c2 =−1 a3 =−1 b3 =−1 c3 = 0 por lo tanto ΠP = P `5�ω 3ρ∞ , ΠT = T `4�ω 2ρ∞ , ΠV = V `�ω . En el estudio de performance de hélices se denomina coeficiente de potencia al producto ΠP, coeficiente de tracción al producto ΠT y relación de avance al producto ΠV . � 2.3 Coeficientes aerodinámicos Consideremos nuevamente un flujo estacionario y uniforme que incide sobre un cuerpo sólido sumergido en él, como por ejemplo un avión. El objetivo de esta sección es aplicar el análisis dimensional para determinar los coeficientes aerodinámicos asociados a las fuerzas y momentos aerodinámicos que experimenta dicho cuerpo. Tal como anticipamos en el primer ejemplo de la sección anterior, las fuerzas de sustentación (L) y de resistencia (D), y el momento de cabeceo (M) que experimenta el cuerpo por la acción del flujo, dependerán fundamentalmente de lo siguiente: 1. Velocidad de la corriente libre V∞. 2. Densidad de la corriente libre ρ∞. 3. Coeficiente de viscosidad µ∞. 4. Tamaño del cuerpo representado por una longitud de referencia `. 5. Forma del cuerpo. 6. Actitud del cuerpo (es decir, la orientación del mismo con respecto a la corriente libre). 7. Compresibilidad de la corriente de aire, la cual está dada indirectamente por la velocidad del sonido a∞. Para un cuerpo de una forma dada con una determinada actitud frente al flujo, se obtienen entonces las siguientes relaciones funcionales: L = fL(V∞,ρ∞,µ∞, `,a∞), D = fD(V∞,ρ∞,µ∞, `,a∞), M = fM(V∞,ρ∞,µ∞, `,a∞). Aplicando la técnica de las variables repetitivas como en el ejemplo de la sección anterior, se obtienen las siguientes relaciones para los productos Π asociados a cada una de las acciones aerodinámicas: L 1 2 ρ∞V 2 ∞` 2 = gL (Re,Ma∞) , (2.5) D 1 2 ρ∞V 2 ∞` 2 = gD (Re,Ma∞) , (2.6) M 1 2 ρ∞V 2 ∞` 3 = gM (Re,Ma∞) . (2.7) donde la incorporación de una constante 1/4 para obtener la presión dinámica en el denominador de los coeficientes de fuerza no altera la relación funcional. De igual forma, la relación de las fuerzas DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 68 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos aerodinámicas con la inversa de los números de Reynolds y Mach establece que existe alguna otra relación funcional entre dichas fuerzas y los mencionados números adimensionales. A partir de estas relaciones se efectúan las siguientes definiciones: Definición 2.4 — Coeficiente de sustentación. Se define como coeficiente de sustentación CL, al coeficiente de fuerza asociado a la fuerza de sustentación, es decir, al cociente entre dicha fuerza y la presión dinámica del flujo libre multiplicada por una superficie de referencia S: CL = L 1 2 ρ∞V 2 ∞S . (2.8) Definición 2.5 — Coeficiente de resistencia. Se define como coeficiente de resistencia aerodiná- mica (o simplemente coeficiente de resistencia) CD, al coeficiente de fuerza asociado a la fuerza de resistencia aerodinámica, es decir, al cociente entre dicha fuerza y la presión dinámica del flujo libre multiplicada por una superficie de referencia S: CD = D 1 2 ρ∞V 2 ∞S . (2.9) Definición 2.6 — Coeficiente de momento de cabeceo. Se define como coeficiente de momento de cabeceo (o simplemente coeficiente de momento) CM, al coeficiente de adimensional asociado al momento aerodinámico de cabeceo, es decir, al cociente entre dicho momento y la presión dinámica del flujo libre multiplicada por una superficie de referencia S y una longitud de referencia `: CM = M 1 2 ρ∞V 2 ∞S` . (2.10) Las ecuaciones (2.5)–(2.7) muestran que, para valores fijos del número de Reynolds y del número de Mach, las acciones aerodinámicas son una función de sus respectivos coeficientes aerodinámicos y de las cantidades de referencia: L =CLq∞S, (2.11) D =CDq∞S, (2.12) M =CMq∞S`, (2.13) Como vemos, una fuerza aerodinámica es igual al coeficiente aerodinámico,respectivo multipli- cado por la presión dinámica de la corriente libre y la dimensión de referencia (para el caso de la sustentación y la resistencia, una superficie, y para el momento, una superficie por una longitud). Estas ecuaciones son de las relaciones más importantes en aerodinámica aplicada. Ellas indican, por ejemplo, que la sustentación es directamente proporcional a la presión dinámica, o sea al cuadrado de la velocidad, y también es directamente proporcional al área de referencia, que en aviones suele ser igual a la superficie del ala. No debe perderse de vista que los coeficientes aerodinámicos para un cuerpo dado y una deter- minada actitud son función del número de Reynolds (Re basado en alguna longitud de referencia `) y del número de Mach de la corriente libre (Ma∞), como se refleja en las ecuaciones (2.5)–(2.7). En general, los coeficientes aerodinámicos son obtenidos mediante ensayos en túneles de viento o, más recientemente, mediante simulaciones numéricas, tomando valores fijos de Re y Ma∞ para un determinado cuerpo, en función de algún parámetro que define la actitud del mismo en relación al flujo libre (en nuestro caso utilizaremos fundamentalmente el ángulo de ataque que definiremos en el Capítulo 4). DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.3 Coeficientes aerodinámicos 69 Las ecuaciones (2.11)–(2.13) muestran el poder del análisis dimensional: de repente las com- plejas integrales necesarias para obtener las fuerzas aerodinámicas se transformaron en expresiones muy simples. La vinculación entre estos dos resultados la proveen los coeficientes aerodinámicos, que son quienes “encierran” toda la complejidad física del problema. De este modo, la determina- ción correcta de las fuerzas aerodinámicas en un cuerpo dado será posible siempre que se conozcan dichos coeficientes y que los mismos hayan sido obtenidos en las condiciones apropiadas. Siendo que la tarea de obtener los coeficientes aerodinámicos no es trivial sino que puede resultar bastante compleja, este requerimiento puede parecer un poco decepcionante y echar por tierra las “bonda- des” del análisis dimensional. Sin embargo, teniendo en cuenta que las “condiciones apropiadas” generalmente son comunes a muchas aplicaciones, este enfoque posibilita la generación sistemática de bases de datos experimentales válidas para numerosos problemas reales, las cuales podrán ser utilizadas siempre que las condiciones de similitud entre el experimento y el sistema real sean verificadas. Ejemplo 2.2 Un avión de 2750kgf de peso y 21,3m2 de superficie alar se desplaza en vuelo estacionario, recto y nivelado a una velocidad (verdadera) de 220kt y una altitud donde la densidad del aire es 0,85kg/m3. Se pide determinar el coeficiente de sustentación del avión y la fuerza de empuje que debe proveer el sistema propulsivo si el coeficiente de resistencia aerodinámica para esa condición de vuelo es CD = 0,021. La condición de vuelo estacionario, recto y nivelado implica que el avión se desplaza en una trayectoria horizontal sin aceleraciones, por lo tanto, tal como veremos en el Capítulo 8, debe cumplirse el siguiente equilibrio de fuerzas: L =W, D = T, donde W = 26968N el peso de la aeronave y T la fuerza propulsiva. De acuerdo a lo anterior, el coeficiente de sustentación del avión para una velocidad de vuelo V∞ = 220kt = 113m/s es CL = W 1 2 ρ∞V 2 ∞S = 0,23. La fuerza propulsiva se obtiene de la condición D = T utilizando el dato del coeficiente de resistencia CD = 0,021: T = 1 2 ρ∞V 2∞SCD = 2435N = 248kgf. Los resultados de este ejemplo dan una idea de la magnitud de los coeficientes CL y CD que se registran en condiciones de vuelo nivelado en aviones convencionales. � 2.3.1 Condiciones de similitud en Aerodinámica Como vimos anteriormente, el análisis dimensional permite reducir la cantidad de parámetros de control que gobiernan un proceso físico, pero no provee por sí solo una respuesta acerca de cómo es la relación entre los nuevos parámetros adimensionales y el resultado buscado. En Aerodinámica, estas relaciones muchas veces se determinan mediante ensayos experimentales adecuados, los cuales deben satisfacer ciertas condiciones de similitud de manera de poder extrapolar los resultados obtenidos en el laboratorio a un problema físico real. Existen teorías y métodos muy desarrollados acerca de la modelización experimental y las DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 70 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos condiciones de similitud. En este texto introductorio nos referimos únicamente a los aspectos más básicos y generales de esta materia. En los problemas clásicos de Aerodinámica podemos definir los siguientes criterios de similitud: Similitud geométrica: dos cuerpos serán geométricamente similares siempre que exista una relación fija entre todas las dimensiones homólogas `i. Es decir que para dos sistemas A y B debe cumplirse: `1,A `1.B = `2,A `2,B , siendo `i,A/`i,B la escala de longitud del problema. Para que exista similitud geométrica debe haber una única escala de longitud. La condición de similitud geométrica implica que todos los ángulos del cuerpo son preservados, es decir que los ángulos del sistema A son iguales a los ángulos del sistema B. Similitud cinemática: para que dos sistemas A y B sean cinemáticamente similares debe verificarse que los mismos sean geométricamente similares y que las relaciones entre las componentes de velocidad en cada punto homólogo de cada sistema sean iguales, es decir: uA vA = uB vB , uA wA = uB wB , vA wA = vB wB . donde u, v y w son las tres componentes del vector velocidad. Las relaciones entre las distintas componentes u, v y w equivalen a exigir que los ángulos de los vectores velocidad sean iguales en los puntos homólogos de cada sistema. Por otro lado, debe verificarse que ambos sistema posean la misma escala de tiempo. Esto significa que dos partículas homólogas de cada sistema se ubican en los mismos puntos homólogos a instantes de tiempo homólogos. Similitud dinámica: se dice que existe similitud dinámica entre dos sistemas cuando existe similitud geométrica, similitud cinemática y además existe una única escala de fuerzas, lo cual significa que los coeficientes de fuerza son iguales en cada sistema. En los problemas de Aerodinámica que son de nuestro interés, la similitud dinámica significa que en cada sistema se registra el mismo número de Reynolds y el mismo número de Mach3, de allí que estos números adimensionales suelen denominarse como parámetros de similitud o semejanza. En otros problemas de Mecánica de Fluidos pueden requerirse otras condiciones para satisfacer la similitud dinámica, referidas, por ejemplo, al número de Froude, número de Weber, etc. Satisfaciendo las condiciones de similitud es posible, por ejemplo, estudiar experimentalmente el comportamiento aerodinámico de un avión en escala (geométrica) reducida mediante la utilización de un túnel de viento, para luego extrapolar los resultados obtenidos en el modelo al avión en escala real. Desafortunadamente, en la mayoría de los ensayos de modelos de pequeña escala no es posible satisfacer completamente los requerimientos de similitud ya que, debido a la naturaleza de los parámetros adimensionales que caracterizan el flujo (tanto el número de Reynolds como el número de Mach son proporcionales a la velocidad), no siempre se pueden obtener los mismos valores de Re y Ma en el ensayo que en los correspondientes al problema real. Esto significa que los resultados experimentales muchas veces deben ser extrapolados a las condiciones reales de manera aproximada, introduciendo algún nivel de error que debe ser subsanado mediante la aplicación de diferentes criterios de corrección. Más allá de esto, en el estudio experimental de numerosos problemas de interés aeronáutico, como es el caso del flujo sobre perfiles aerodinámicos, se suelen alcanzar muy buenos niveles de similitud permitiendo predecir de manera precisa el comportamiento aerodinámico de dichas formas bidimensinoales.,Este estudio será abordado en el Capítulo 4. 3Esta condición es en general relajada dependiendo el régimen de flujo, por ejemplo, para Ma< 0,3 se asume flujo incompresible y “sólo importa” el número de Reynolds para satisfacer la similitud dinámica. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.4 La fuerza de sustentación 71 Ejemplo 2.3 Se desea analizar mediante ensayos en túneles de viento un determinado problema aerodinámico en el cual se registra un número de Reynolds Re = 105 y un número de Mach Ma= 0,15. ¿Bajo qué condiciones es posible alcanzar la similitud dinámica entre el problema real y un ensayo en escala (geométrica) reducida si se mantienen constantes los parámetros de referencia del fluido (ρ∞ y µ∞)en ambas situaciones? Como vimos previamente, siendo que tanto el número de Reynolds como el número de Mach son proporcionales a la velocidad, en principio no sería posible satisfacer completamente la similitud dinámica en ensayos de escala reducida si no se modifican otros parámetros del flujo. Sin embargo, puesto que el proceso se desarrolla en el rango de flujo incompresible (Ma≤ 0,3, es posible asumir que la similitud dinámica se cumple satisfaciendo únicamente la igualdad del número de Reynolds, siempre que la condición de incompresibilidad se verifique tanto en el problema real como en el ensayo. De este modo, el experimento debe satisfacer las siguientes condicionies: Rereal = Reensayo, Maensayo = Vensayo a∞ ≤ 0,3, donde a∞ es la velocidad del sonido que es igual en ambos casos. Teniendo en cuenta que Re = ρ∞V∞`/µ∞ y que las propiedades del fluido (densidad y viscosidad) son las mismas en ambas situaciones, la condición Rereal = Reensayo implica que Vreal`real =Vensayo`ensayo, por lo tanto, siendo Vreal =Mareala∞ = 0,15a∞, Vensayo =Maensayoa∞ ≤ 0,3a∞, la mínima escala geométrica del modelo se obtiene para el máximo número de Mach admisible para el ensayo `ensayo `real = 0,15 0,3 = 1 2 . Es decir que la mínima escala geométrica del modelo para un ensayo experimental donde no se modifican otros parámetros del flujo es 1:2. Debe notarse que el resultado de este ejemplo mera- mente ilustrativo sería válido únicamente en condiciones donde no existan fuertes aceleraciones del flujo, de modo que no se originen regiones de flujo compresible en el campo de movimiento. � 2.4 La fuerza de sustentación Como hemos definido en la Sección 2.1, la componente de la resultante aerodinámica que experimenta un cuerpo sumergido en una corriente cuya recta de acción es normal a la dirección del flujo libre se denomina fuerza de sustentación. La fuerza de sustentación es la destinataria de gran parte de los esfuerzos de los diseñadores aeronáuticos, los cuales están dirigidos a maximizar esta fuerza de modo de incrementar la eficiencia aerodinámica de las aeronaves. La sustentación es, sin dudas, la principal fuerza aerodinámica de un avión, ya que es ella quien permite el vuelo de vehículos más pesados que el aire en forma relativamente eficiente. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 72 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos 2.4.1 Distribución de presión La fuerza de sustentación se produce fundamentalmente por la acción de la presión (estática) sobre las paredes de un cuerpo inmerso en una corriente fluida, cuyo efecto total sobre la superficie expuesta al flujo se traduce en una fuerza cuya componente normal a la dirección del flujo libre es: L = ˆ A −psinθ dA. (2.14) donde θ es el ángulo formado entre el vector normal a la superficie local y la dirección de la corriente libre (ver Figura 2.1). La expresión anterior indica que el cuerpo experimentará una fuerza de sustentación siempre que exista una distribución de presión tal que se produzca una fuerza neta en dirección normal al flujo libre. La variación de la presión a lo largo de las paredes del cuerpo estará dada por la variación de la velocidad, la cual en general no será constante debido a la geometría particular del cuerpo, cuya presencia induce aceleraciones y desviaciones en el flujo. De esta manera, teniendo en cuenta la relación que existe entre la velocidad y la presión estática del flujo, se origina sobre el cuerpo una determinada distribución de presión. Para representar esta distribución, hacemos nuevamente uso de definiciones adimensionales que permiten simplificar el análisis, que para el caso de la presión se conoce como coeficiente de presión: Definición 2.7 — Coeficiente de presión. Se define como coeficiente de presión Cp al número adimensional que indica la variación de la presión en un punto respecto a una presión de referencia (generalmente la presión estática de la corriente libre p∞), en relación a la presión dinámica de la corriente libre, es decir: Cp = p− p∞ 1 2 ρ∞V 2 ∞ . (2.15) Con la definición del coeficiente de presión, la ecuación (2.14) de la sustentación sobre un cuerpo sometido a una corriente uniforme de densidad ρ∞, velocidad V∞ con un presión ambiente p∞, resulta: L = 1 2 ρ∞V 2∞ ˆ A −Cp sinθ dA, (2.16) ya que la integral de una presión constante sobre una superficie cerrada es nula, tal como sucede con los cuerpos en la atmósfera, los cuales no experimentan una fuerza neta por acción de la presión atmosférica4. Por lo tanto, la presión ambiente p∞ no contribuye a la sustentación ( ´ A p∞ sinθ dA = 0), y la sustentación queda escrita directamente en términos del coeficiente de presión y de la presión dinámica del flujo libre. Teniendo en cuenta ahora la definición del coeficiente de sustentación dada en la ecuación (2.8) y considerando la expresión anterior de la sustentación, se obtiene: CL = 1 S ˆ A −Cp sinθ dA, (2.17) lo cual evidencia la relación directa entre el coeficiente de sustentación y la distribución de presión sobre el cuerpo. Si descomponemos la integral anterior en las contribuciones realizadas sobre la superficie superior y sobre la superficie inferior de un determinado cuerpo, definiendo cada una de ellas de 4Matemáticamente, esto resulta de que ‚ A p∞n dA = p∞ ‚ A(−cosθî+ sinθ)ĵ) dA = 0, ya que la integral cerrada de las funciones trigonométricas es nula. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.4 La fuerza de sustentación 73 acuerdo a algún criterio geométrico, puede escribirse: CL =− 1 S [ˆ Asup Cp sinθ dA+ ˆ Ainf Cp sinθ dA ] , Esto indica que la fuerza de sustentación será no nula (CL 6= 0) siempre que los aportes de la presión sobre las superficies superior e inferior no se cancelen entre sí. De este modo, distribuciones simétricas de la presión respecto a un eje paralelo a la dirección del movimiento naturalmente no generarán sustentación. Por otro lado, nótese que la contribución de cada superficie superior e inferior al coeficiente CL será mayor cuanto más grande (en valor absoluto) sea el coeficiente de presión a lo largo de cada una de ellas. Para establecer los límites de variación del coeficiente Cp, consideremos la ecuación de Bernoulli (ver Sección 1.2.2), siendo p0 la presión total de la corriente libre, tal que para flujo incompresible, estacionario y no viscoso se cumple: p = p0− 1 2 ρ∞V 2, y p∞ = p0− 1 2 ρ∞V 2∞. Introduciendo estas igualdades en la definición (2.15) obtenemos, Cp = 1− ( V V∞ )2 . (2.18) Esta expresión permite visualizar claramente los valores extremos que puede adoptar el coefi- ciente de presión bajo la condición de flujo incompresible. Para V = 0 se obtiene su valor máximo, Cp = 1, que corresponde a una presión p igual a la presión total p0, que es lógicamente la condición de estancamiento (velocidad nula). Por otro lado, en principio no existiría un valor extremo inferior para el Cp, ya que, en teoría5, la velocidad V podría crecer indefinidamente. De esta forma, el rango de variación del coeficiente de presión para flujo incompresible es −∞0 y ρ > 0) el número de Reynolds estará comprendido entre estas dos situaciones extremas y la naturaleza del flujo dependerá fuertemente de si Re� 1 (predominio de efectos de inercia) o Re� 1 (predominio de efectos viscosos). Como regla general, los flujos con Re> 100 están dominados por efectos de inercia y son los flujos que más interesan desde el punto de vista de las aplicaciones aeronáuticas, mientras que flujos con Re< 1 están dominados por efectos viscosos. Como sabemos, cuando el número de Reynolds es grande podemos aplicar los conceptos de capa límite, lo cual significa que los efectos viscosos son importantes en una pequeña región del campo de movimiento, adyacente a la superficie del cuerpo y en la zona posterior al mismo, siempre que no existan grandes separaciones de la capa límite. El estudio de la resistencia parásita se hace generalmente analizando en forma separada la resistencia de fricción y la resistencia de presión. En el primer caso, el elemento clásico empleado para llevar a cabo el estudio es la placa plana de espesor infinitesimal dispuesta en dirección paralela a la corriente libre. En esta condición (ideal) de flujo no existen regiones de flujo separado ya que el área del cuerpo expuesta frontalmente a la corriente es virtualmente nula. En el caso de la resistencia de presión, el análisis suele hacerse estudiando el comportamiento del flujo sobre un cilindro colocado en dirección transversal a la corriente, el cual produce grandes regiones de separación del flujo cuando Re� 1. Nótese que tanto la placa plana como el cilindro nos permiten reducir el campo de movimiento a la condición de flujo bidimensional (flujo plano). En la Figura 2.3 se muestran los distintos comportamientos del flujo, tanto para la placa plana como para el cilindro, en función del número de Reynolds. En el primer caso, dicho parámetro está basado en la longitud de la placa `, mientras que para el cilindro longitud de referencia está dada por el diámetro `� del mismo. Aunque en las aplicaciones aeronáuticas convencionales interesa casi exclusivamente la condición de Re� 1, es importante identificar el comportamiento del flujo en los distintos regímenes de número de Reynolds, ya que esto nos permitirá entender por qué la acción del aire en movimiento se manifiesta de diferentes formas dependiendo de la escala geométrica del problema. De esta forma, en la Figura 2.3 se puede ver que para Re∼ 1 los efectos viscosos son relativamente fuertes, y la presencia del cuerpo afecta produce cambios en el campo de movimiento “originalmente” uniforme a grandes distancias de la superficie, aun en el caso de la placa plana, es decir, que en flujos de muy bajo Reynolds los efectos viscosos son relevantes en regiones alejadas del cuerpo en todas direcciones. Por otro lado, en esta condición no se registran zonas de flujo desprendido. A medida que el número de Reynolds se incrementa, por ejemplo DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 78 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Figura 2.3: Comportamiento del campo de movimiento a distintos valores del número de Reynolds para una placa plana (izquierda) y un cilindro (derecha). aumentando la velocidad del flujo, las zonas donde se evidencian los efectos viscosos se hacen cada vez más pequeñas en todas direcciones, excepto corriente abajo del cuerpo, donde la estela es la consecuencia clara de la viscosidad. Si consideramos el flujo sobre la placa plana, vemos,que la estela continúa reduciéndose si aumentamos el número de Reynolds, pero para el caso del flujo sobre el cilindro se observa que la misma no presenta una reducción sustancial y el flujodesprendido afecta casi toda la región posterior al cuerpo. Ésta es una característica fundamental de los cuerpos romos: producir una marcada separación del flujo y consecuentemente una gran estela en relación a su tamaño. La presencia de una gran estela genera un fuerte desbalance de presión en dirección del flujo principal, lo cual se traduce en una fuerte componente de resistencia de presión. De esta manera, en los cuerpos aerodinámicos como la placa plana, la resistencia parásita estará dada mayormente por el efecto de las tensiones viscosas, es decir que estará mayormente compuesta por resistencia de fricción, mientras que en los cuerpos romos la resistencia aerodinámica en su mayor parte estará conformada por resistencia de presión, tal como se estableció anteriormente. 2.5.2 Resistencia de fricción Como su nombre lo indica y hemos visto previamente, la resistencia de fricción se debe al rozamiento producido por el movimiento del fluido sobre la superficie del cuerpo. Este efecto es entermente debido a la viscosidad µ, la cual produce una tensión de corte sobre la pared del cuerpo inmerso en la corriente cuya magnitud está dada por (ver Capítulo 1): τw = µ du dy ∣∣∣∣ y=0 , (2.28) DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 79 donde y es la coordenada normal a la pared y u es la velocidad paralelaa la misma. Continuando con la preferencia de utilizar cantidades adimensionales, se define el coeficiente de fricción local como C f = τw 1 2 ρ∞U 2 ∞ . (2.29) Entonces, para una placa de dimensiones b× `, asumiendo que la tensión viscosa es constante en la dirección del ancho b, la resistencia de fricción resulta: D f = b ˆ ` 0 τw dx = 1 2 ρ∞U2∞b ˆ ` 0 C f dx. (2.30) Finalmente el coeficiente de resistencia aerodinámica para una superficie de referencia b` queda expresado en términos del coeficiente de fricción local CD f = D f 1 2 ρ∞U 2 ∞b` = 1 ` ˆ ` 0 C f dx. (2.31) Como hemos visto en el Capítulo 1, no existen desarrollos matemáticos exactos para determinar el coeficiente de fricción local C f para obtener así el coeficiente de resistencia de fricción CD f . En general, el coeficiente de resistencia de fricción se obtiene mediante gráficos o formulaciones empíricas obtenidas a partir de ensayos experimentales en función del número de Reynolds y de la rugosidad superficial del cuerpo, cuyo efecto es determinante. Influencia de la rugosidad superficial Como sabemos, la magnitud de las tensiones viscosas depende fuertemente del tipo de capa límite (laminar o turbulenta). El número de Reynolds crítico donde se produce la transición de la capa límite está fuertemente influenciado por la rugosidad superficial del cuerpo, por lo tanto este factor juega un rol preponderante en el desarrollo de la resistencia de fricción. La rugosidad superficial se mide en términos de una relación adimensional entre la altura promediada de las imperfecciones superficiales ε y la longitud de referencia, en este caso, el largo de la placa `. La influencia de la rugosidad superficial sobre la resistencia aerodinámica, a través del coeficiente CD f , se determina experimentalmente ya que la relación entre el coeficiente CD f , el número de Reynoldos y la rugosidad superficial es compleja y no existe una formulación matemática que abarque todo el rango de variación de estos dos parámetros. El efecto de la rugosidad superficial en la resistencia de fricción se manifiesta de dos formas. Por un lado, modifica el número de Reynolds crítico de modo que la capa límite transiciona para un menor valor de Rex = ρ∞U∞x/µ∞) frente a mayores rugosidades superficiales, con lo cual se dice que este factor adelanta el número de Reynolds crítico. De esta forma, a mayor rugosidad superficial existirá una mayor región con capa límite turbulenta sobre la placa. Por otro lado, en régimen de flujo turbulento, el coeficiente de resistencia de fricción CD f es mayor cuando mayor es la relación ε/`. En la Figura 2.4 se muestra la relación entre el coeficiente CD f y el número de Reynolds para diferentes valores de rugosidad relativa. Allí se observa que para un flujo con capa límite laminar el coeficiente de resistencia de fricción es sólo función del número de Reynolds, pero para capa límite turbulenta el coeficiente CD f es función solamente de la rugosidad superficial en las zonas posteriores a la región de transición (Re> Recr). Esto puede verse en la ecuación empírica utilizada para aproximar el coeficiente CD f en régimen de flujo totalmente turbulento6 CD f = [1,89−1,62log(ε/`)]−5/2 , (2.32) donde vemos que el número de Reynolds no interviene en la expresión. 6Ecuación tomada del libro de Munson et al. (2009) DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 80 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Figura 2.4: Coeficiente de resistencia de fricción para una placa plana paralela a la dirección de la corriente libre. 2.5.3 Resistencia de presión La resistencia de presión es la componente de la resultante aerodinámica en dirección de la corriente libre debida a la acción de la distribución de presión sobre el cuerpo. Debido a que la distribución de presión está fuertemente influenciada por la forma del objeto, la resistencia de presión es también llamada resistencia de forma. De acuerdo a la expresión (2.3), una vez conocida la distribución de presión es posible determi- nar la resistencia aerodinámica asociada a ésta: Dp = ˆ A pcosθ dA, (2.33) de donde puede obtenerse el coeficiente de resistencia de presión en términos del coeficiente de presión Cp = (p− p∞)/q∞:7 CD p = Dp 1 2 ρ∞U 2 ∞A = 1 A ˆ A Cp cosθ dA, (2.34) En este caso la superficie de referencia del coeficiente CD p es la superficie del cuerpo “mojada” por el flujo y la introducción de la presión de referencia p∞ no afecta el valor de la resistencia ya que la fuerza neta sobre un cuerpo inmerso en un campo de presión constante (en este caso p∞) es nula. La resistencia de presión, o análogamente el coeficiente asociado a ella, será no nula en la medida que exista separación de la capa límite, ya que este fenómeno se produce porque la presión total no se conserva a lo largo de las líneas de corriente afectadas por la viscosidad. Por este 7Recuérdese que la integral cerrada de una constante es nula, por lo tanto podemos incluir el término de la presión de referencia p∞ sin alterar el resultado del coeficiente CD p. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 81 motivo, no es posible recuperar la presión de impacto en las regiones posteriores del cuerpo y en consecuencia se genera un desbalance de presiones en la dirección del flujo libre, lo cual da origen a la resistencia de presión. Como hemos visto en la Sección 1.4.4 del Capítulo 1, la separación de la capa límite se debe a la presencia de la viscosidad, por lo tanto, bajo la idealización de flujo no viscoso no existirá desprendemiento del flujo, sin importar cuál sea la forma del cuerpo. Esto significa que la presión se recupera totalmente detrás del cuerpo y la resistencia de presión (al igual que la de fricción (estamos suponiendo µ = 0) será nula para cualquier cuerpo (simétrico o no). Esta situación es la que da origen a la conocida paradoja de D’alembert, la cual establece que aunque en condición de viscosidad nula la resistencia aerodinámica es siempre nula, para µ > 0 la resistencia de presión no depende de la viscosidad, ya que la distribución de presión, en principio, no depende de este parámetro. Para ilustrar esta situación consideremos el flujo alrededor de un cilindro. En la Figura 2.5 se muestra la distribución de presión sobre la porción superior del cuerpo expresada en términos del coeficiente Cp para el caso de fluido ideal (µ = 0), capa límite laminar y capa límite turbulenta. En el primer caso, vemos,que en el punto de impacto anterior (punto A) es Cp = 1, ya que la velocidad es nula en ese punto, por lo tanto se registra la presión de impacto (p = p0 = 12 ρ∞U 2 ∞ + p∞ en A). Avanzando sobre la superficie del cuerpo la presión estática disminuye en la medida que el flujo se acelera hasta alcanzar su valor mínimo en el punto superior, a partir del cual la presión comienza a aumentar hasta alcanzar nuevamente el valor de la presión total de la corriente libre, en el punto de impacto posterior. Como hemos visto en el Capítulo 1, esta recuperación es posible gracias a que no existen pérdidas de energía debidas a la viscosidad. Considerando ahora el caso real (µ > 0), se observa que la presión ya no se recupera totalmente en la región posterior del cilindro, sino que se produce un desbalance de presiones en dirección del flujo lo cual genera la resistencia de presión. Vemos además que este desbalance es mayor en el caso de capa límite laminar, es decir que, a diferencia de lo que sucede con la resistencia de fricción, una capa límite turbulenta produce una menor resistencia de presión en algunos cuerpos romos. Esto se debe a que el punto de separación de la capa límite está más retrasado en régimen turbulento que en régimen laminar, generándose así una estela más estrecha detrás del cuerpo y consecuentmente una menor resistencia de presión (el “área de desbalance” de presiones es menor). La explicación de este fenómeno radica en la estructura de la capa límite. En régimen turbulento existe un mayor intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del flujo, el cual se da a escala de partículas (macroscópica), permitiendo energizar más la capa límite para vencer el gradiente adverso de presión. De esta forma, el flujo puede “viajar” una mayor distancia adherido al cuerpo bajo la condición de un gradiente de presión desfavorable de lo que puede hacerlo con una capa límite laminar. Debido a este comportamiento es que la resistencia aerodinámica de cuerpos romos como esferas o cilindros tienen una fuerte dependencia del número de Reynolds y de la rugosidad relativa ε/`� (siendo `� el diámetro), ya que tanto el Re`� como la rugosidad superficial definen el tipo de capa límite que se presentará en el flujo. Sin embargo, la resistencia aerodinámica de cuerpos extremadamente romos, como una placa plana colocada en dirección normal al flujo principal, prácticamente no se ve influida por estos dos parámetros8, ya que en estos casos las tensiones de corte no tienen componentes en dirección del flujo y el punto de separación de la capa límite permanece aproximadamente fijo sin importar el régimen de flujo dentro de la misma. 2.5.4 Características generales de la resistencia aerodinámica Como hemos visto en las secciones previas, la resistencia neta es producida por los efectos de las tensiones de corte viscosas y la distribución de presión. Estos dos efectos se agrupan en el 8Considerando números de Reynolds suficientemente grandes como para que valga el concepto de capa límite. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 82 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Figura 2.5: Líneas de corriente en un flujo con µ = 0 (izquierda). Distribución del coeficiente de presión Cp sobre la superficie superior del cilindro para fluido ideal, capa límite laminar y capa límite turbulenta. coeficiente de resistencia CD. Existe una gran cantidad de información de coeficientes de resistencia disponible en la literatura, cubriendo flujo viscoso incompresible o compresible para una gran variedad de formas y tipos de objetos. Más allá de esta información, es importante conocer cuál es la influencia de los diferentes parámetros para anticipar el comportamiento aerodinámico de un cuerpo en lo que a resistencia aerodinámica se refiere. Influencia de la forma De acuerdo a lo establecido anteriormente, el coeficiente de resistencia de un cuerpo dependerá fuertemente de la forma del mismo, entendiendo como forma a la combinación de la geometría del objeto y de su orientación con respecto a la corriente libre, es decir, su actitud. Según su forma, los distintos cuerpos pueden clasificarse como cuerpos aerodinámicos o cuerpos romos de acuerdo a la relación de aspecto A‖/A⊥, siendo A‖ la proyección de la superficie del cuerpo en dirección paralela al flujo libre y A⊥ la superficie proyectada en dirección normal a la corriente. De esta forma, cuando A‖/A⊥→ 0 estaremos en presencia de un cuerpo extremadamente romo y cuando A‖/A⊥→ ∞ el cuerpo será extremadamente aerodinámico. En el caso de flujo bidimensional (o axisimético), las áreas de referencia pueden reducirse a dimensiones lineales como ser la longitud ` del cuerpo y su diámetro o espesor. En la Figura 2.6 se muestra esquemáticamente cómo varía el coeficiente CD en función de la relación de aspecto del cuerpo para un dado número de Reynolds (Re= 106 en la figura). El objeto considerado consiste en un cilindro de sección elíptica cuya relación de aspecto es la relación entre los ejes de la elipse ` (en dirección paralela al flujo) y D (en dirección normal). Para relaciones de aspecto muy elevadas (`/D→ ∞), el cilindro se comporta como una placa plana paralela al flujo y la resistencia aerodinámica es casi exclusivamente resistencia de fricción. En esta configuración, similar al caso de un perfil aerodinámico delgado a bajos ángulos de ataque, es conveniente expresar el coeficiente CD en términos del área en planta, es decir A‖ = b` siendo b el ancho (o envergadura) ya que, a fin de cuentas, es en esta superficie donde actúan las tensiones de corte que producen la resistencia aerodinámica. Una relación `/D→ 0 indica un cuerpo extremadamente romo que se asemeja a una placa plana colocada en dirección normal al flujo. Para esta geometría la resistencia aerodinámica está formada casi totalmente por resistencia de presión, resultando en valores de CD mucho mayores que en el caso anterior. En esta situación conviene referir el coeficiente de resistencia aerodinámica al área frontal A⊥ = Db, ya que la diferencia de presión causante de la DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 83 Figura 2.6: Coeficiente de resistencia para una elipse de geometría variable considerando el área frontal como superficie de referencia (línea llena) o el área en planta (línea de trazos). Figura 2.7: Dos objetos de tamaño considerablemente diferente que producen aproximada- mente la misma fuerza de resistencia aerodinámica. CDcilindro ≈ 10CDperfil. resistencia actuará mayormente sobre esa superficie. Más allá de los valores numéricos del coeficiente CD en la Figura 2.6, es importante notar que para números de Reynolds suficientemente grandes, como son los registrados en la mayoría de los flujos de interés aeronáutico, la resistencia de presión es siempre mucho más importante que la resistencia de fricción. De allí que se presta un especial cuidado en el diseño aerodinámico con el objetivo de evitar regiones de flujo separado. Para evidenciar el comportamiento, consideremos los dos objetos bidimensionales presentados en la Figura 2.7. A pesar de su gran diferencia de tamaño. estos dos objetos producen aproximadamente la misma resistencia aerodinámica, ya que la estela provocada por el perfil aerodinámico es mucho menor que aquélla producida por el pequeño cilindro de sección circular. Influencia del número de Reynolds Otro parámetro que repercute fuertemente en la resistencia aerodinámica es el número de Reynolds. Esta influencia puede analizarse considerando las siguientes categorías de flujos en función del números de Reynolds: Flujos con muy bajos números de Reynolds (Re. 1). Flujos con números de Reynolds moderados (capa límite laminar). Flujos con altos a muy altos números de Reynolds (capa límite turbulenta). Flujos con Re. 1 son normalmente conocidos como flujos reptantes o flujos de Stokes. Este tipo de flujos se producen en presencia de fluidos muy viscosos, como aceites muy pesados o pinturas, o cuando las dimensiones del,cuerpo son muy pequeñas, como en el movimiento de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 84 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Cuerpo CDRe.1 20,4 Re 13,6 Re 24,0 Re 22,2 Re Tabla 2.1: Coeficientes de resistencia para flujos de muy bajos números de Reynolds (área de referencia A = πD2/4). partículas de tierra o arena en el aire, o durante el vuelo de insectos muy pequeños. Estos flujos están gobernados por un balance entre las fuerzas viscosas y las fuerzas de presión, siendo las fuerzas de inercia virtualmente despreciables. En estos casos, la fuerza de resistencia es función de la velocidad del flujo, del tamaño del cuerpo y de la viscosidad: DRe.1 = f (U∞, `,µ), por lo tanto, de acuerdo a consideraciones dimensionales (ver Sección 2.2): DRe.1 =Cµ`U∞, donde el coeficiente C depende de la forma del cuerpo. Teniendo en cuenta la definición del coeficiente de resistencia (CD = D/(12 ρU 2 ∞` 2)) y del número de Reynolds (Re= ρU∞`/µ), resulta: CDRe.1 = 2C Re , (2.35) es decir que el coeficiente de resistencia es inversamente proporcional al número de Reynolds. En la Tabla 2.1 se muestran algunos valores de CDRe.1 para diferentes geometrías. Es interesante notar que, en este caso de flujo reptante, el coeficiente de resistencia de un disco circular colocado en dirección normal al flujo es apenas un 50 % mayor que el correspondiente al disco orientado en dirección paralela. Este comportamiento contrasta con lo que sucede en flujos con números de Reynolds moderados y altos, donde un cuerpo aerodinámico presenta una resistencia sustancial- mente menor que un cuerpo romo. En este caso, la “estilización” del cuerpo puede llegar a ser contraproducente, lo cual ponen de manifiesto la gran influencia del número de Reynolds en la resistencia aerodinámica. El comportamiento de la resistencia para números de Reynolds moderados y altos es el que describimos en las secciones anteriores. En estos casos, el flujo tiende a formar una estructura de capa límite y las consecuencias de la forma del cuerpo responden a lo postulado en la sección anterior, es decir, cuerpos aerodinámicos presentan mayor resistencia de fricción que resistencia de presión y sus coeficientes de resistencia son sustancialmente menores que los de cuerpos romos en las mismas condiciones de flujo. En cuanto al tipo de capa límite, en cuerpos aerodinámicos donde predomina la resistencia de fricción, una capa límite turbulenta producirá una mayor resistencia aerodinámica, mientras que en cuerpos romos moderados (como cilindros), la transición de la capa DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 85 Figura 2.8: Coeficiente de resistencia aerodinámica en función del número de Reynolds para objetos de varias formas. límite puede ser beneficiosa para disminuir la resistencia al reducir el área de la estela, tal como se explicó en la Sección 2.5.3. Por otro lado, en cuerpos extremadamene romos, el número de Reynolds (en el rango de números de Reynolds moderados en adelante) no tiene mayor influencia ya que el punto de separación se posiciona en los bordes del objeto independientemente del tipo de capa límite. En la Figura 2.8 se muestra la variación del coeficiente de resistencia en función del número de Reynolds para distintos cuerpos inmersos en flujos con números de Reynolds de moderados en adelante. Allí se puede observar que, para una rugosidad relativa comparable, todos estos cuerpos presentan una región de transición similar que ocurre para 300000. Recr . 600000. El valor del número de Reynolds crítico separa los flujos entre números de Reynolds moderados y números de Reynolds altos. Por otro lado, en la figura se observa nuevamente la gran diferencia de magnitud entre el coeficiente de resistencia debido mayormente a resistencia de fricción y aquél debido a resistencia de presión (nótese que el gráfico se presenta en escala logarítmica). Influencia de la rugosidad superficial Como hemos visto en la Figura 2.4, la resistencia sobre una placa plana paralela al flujo es bastante dependiente de la rugosidad superficial siempre que la capa límite sea turbulenta. En estos casos, las imperfecciones de la superficie sobresalen a través de la subcapa laminar adyacente a la superficie sólida alterando las tensiones de corte en la pared. Por otro lado, tal como se observa en la misma figura, la rugosidad superficial también modifica el número de Reynolds crítico para el cual se produce la transición de capa límite laminar a turbulenta, haciendo que una placa “rugosa” tenga una mayor porción de flujo turbulento que una placa “suave”. Consecuentemente, la resistencia aerodinámica neta será mayor en las placas más rugosas para iguales condiciones de flujo. De esta manera, para cuerpos aerodinámicos donde la resistencia de fricción es dominante, la resistencia aerodinámica aumenta con el incremento de la rugosidad superficial. Es así que muchas veces se presta un especial cuidado en el diseño de las superficies de un avión para hacerlas lo DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 86 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Figura 2.9: Efecto de la rugosidad superficial en el coeficiente de resistencia de una esfera en el rango de números de Reynolds donde se produce la transición de la capa límite. más suaves posible, ya que elementos salientes como remaches o tornillos pueden generar un aumento considerable de la resistencia aerodinámica. Sin embargo, en ocasiones es necesario inducir “artificialmente” la turbulencia colocando, por ejemplo, elementos rugosos con el objetivo de energizar la capa límite para reducir el área de flujo desprendido disminuyendo de esa forma la resistencia de presión. El efecto de la rugosidad en la resistencia aerodinámica de cuerpos romos es sustancialmente diferente al que se produce en cuerpos aerodinámicos. Como hemos visto previamente, en el caso de cuerpos extremadamente romos, como una placa plana normal al flujo, las tensiones de corte prácticamente no actúan en dirección del flujo libre por lo que la incidencia de la rugosidad es virtualmente nula. Por otro lado, en cuerpos más redondeados como esferas y cilindros, un incremento en la rugosidad superficial puede en efecto disminuir la resistencia aerodinámica ya que la transición de capa límite laminar a turbulenta genera un flujo más energético adyacente a la pared, el cual es capaz de retrasar el punto de separación de la capa límite (el flujo puede “viajar más lejos” con un gradiente de presión adverso). De esta forma, la resistencia de presión, que es dominante en estas configuraciones de flujo, puede reducirse considerablemente aumentando la rugosidad para una condición de flujo cuyo número de Reynolds sea un poco menor al número de Reynolds de transición. Este efecto puede visualizarse en la Figura 2.9 donde se muestra la variación del coeficiente CD para una esfera a números de Reynolds del orden del valor de transición. Allí se observa cómo se reduce fuertemente el coeficiente CD al incrementar la rugosidad debido a la disminución del número de Reynolds crítico, lo que se traduce en una disminución real de la fuerza de resistencia aerodinámica. Este efecto es el que se aprovecha en muchos deportes, como el golf o el tenis, en los cuales se introduce deliberadamente rugosidad a la pelota con el objetivo de reducir su resistencia en el rango de velocidades (y por lo tanto de números de Reynolds) en los que suele desarrollarse el juego. Efectos de compresibilidad Los conceptos establecidos hasta el momento están referidos a flujo incompresible, es decir para la condición Ma. 0,3). Si la velocidad del flujo respecto al cuerpo sólido es suficientemente alta, los efectos de compresibilidad se hacen importantes y el coeficiente de resistencia resulta DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 87 ser también una función del número de Mach. La introducción del número de Mach naturalmente complica el análisis, ya que la resistencia aerodinámica para,un objeto determinado será función tanto del Mach como del número de Reynolds, entre otros factores. Estos dos efectos suelen estar muy conectados debido a que ambos números (Re y Ma) son directamente proporcionales a la velocidad de la corriente libre. De este modo, un incremento en la velocidad aumenta en igual medida el número de Reynolds y el número de Mach (asumiendo que las otras propiedades del flujo no cambian). La dependencia precisa del coeficiente CD en función de Re y Ma es, en general, compleja de obtener, no obstante, para números de Mach suficientemente bajos los efectos de compresibilidad pueden ser despreciados y asumirse que el coeficiente de resistencia es independiente de este parámetro. El límite para el cual esta suposición es válida puede depender, en cierta medida, de la forma del cuerpo, pero como regla general puede fijarse un valor límite9 Ma . 0,5. En la Figura 2.10 se muestra la variación del CD en función del número de Mach para distintos cuerpos. Allí se observa que el coeficiente permanece aproximadamente constante hasta valores más allá del límite Ma= 0,5, hasta que la resistencia crece dramáticamente en cercanías de la condición sónica (Ma= 1). Este fuerte crecimiento, conocido como divergencia de la resistencia, se debe a la formación de ondas de choque, las cuales pueden existir solamente en presencia de flujo supersónico, y proveen un nuevo mecanismo para la generación de resistencia aerodinámica que obviamente no se manifiesta en flujos de baja velocidad. Las características de la variación del coeficiente CD en función del número de Mach son diferentes para cuerpos romos y cuerpos fuselados. Como se observa en la Figura 2.10, objetos “afilados” o “puntiagudos” desarrollan su máximo coeficiente de resistencia entorno a la condición sónica, mientras que en los cuerpos romos este coeficiente continúa creciendo más allá de Ma= 1. Este comportamiento se debe a la estructura de las ondas de choque y del flujo separado que naturalmente son diferentes para cada tipo de cuerpo. Por este motivo, es que las alas de los aviones supersónicos están conformadas por perfiles aerodinámicos de bajo espesor con bordes de ataque agudos, muy diferentes de los perfiles subsónicos que presentan forma más redondeada y espesores relativamente grandes. Más allá de estas diferencias, está claro que, independientemente de la geometría del cuerpo, el hecho de “atravesar la barrera del sonido” implica un gran aumento en la resistencia aerodinámica. Este comportamiento representó un escollo difícil de sortear para que la industria aeronáutica alcanzara el vuelo supersónico. 2.5.5 Resistencia de esferas y cilindros El análisis de la resistencia en esferas y cilindros se refiere fundamentalmente al estudio de la variación del coeficiente de resistencia en función del número de Reynolds. Por lo tanto, en este caso no se tienen en cuenta los efectos de compresibilidad asumiendo que el número de Mach es lo suficientemente bajo para justificar esta simplificación. Algunas de las características principales de la resistencia en esferas y cilindros ya fueron analizadas en las secciones anteriores. A estas alturas ya sabemos que este tipo de cuerpos ro- mos, para números de Reynolds de moderados en adelante, deben su resistencia aerodinámica principalmente a la resistencia de presión. Por otro lado, hemos establecido que los efectos de la rugosidad pueden ser beneficiosos en la reducción de la fuerza de resistencia para una condición de flujo con un número de Reynolds próximo al valor de transición. En cuanto al comportamiento de la resistencia para números de Reynolds muy bajos, el caso de las esferas y los cilindros no difiere del de otros cuerpos en esa condición de flujo reptante, donde los coeficientes de resistencia resultan inversamente proporcionales al número de Reynolds (CD ∼ Re−1, tal como se observa en la Tabla 2.1 para una esfera. 9No confundir este límite, referido al valor a partir del cual los efectos de compresibilidad se hacen importantes en la resistencia aerodinámica, con el límite Ma< 0,3 utilizado para la hipótesis de flujo incompresible. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 88 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos Figura 2.10: Coeficiente de resistencia aerodinámica en función del número de Mach en flujo subsónico (izquierda) y flujo supersónico (derecha). En la Figura 2.11 se muestra la variación típica del coeficiente de resistencia en función del número de Reynolds para una esfera y un cilindro de superficie suave. Nótese que en este gráfico, tanto las abscisas como las ordenadas, se expresan en escala logarítmica, lo cual pone de manifiesto la gran variación del coeficiente CD en este tipo de cuerpos. A continuación se describen los diferentes comportamientos del flujo que se registran para distintos rangos del número de Reynolds: Una primera región (Re. 1) donde CD ∼ Re−1 correspondiente al flujo de bajo Reynolds (flujo reptante). Una segunda región (1. Re. 102) donde los efectos viscosos aún se observan en grandes extensiones del campo de movimiento y donde ya comienzan a vislumbrarse zonas de flujo separado, las cuales se presentan en forma de una burbuja estacionaria ubicada detrás del cuerpo. Una tercera región (102 . Re. 103) en la cual los efectos viscosos comienzan a concentrarse en las zonas más próximas a la superficie del cuerpo y en la gran estela que se forma en la parte posterior del mismo debido a la separación del flujo. En este caso, la estela se presenta como una calle de vórtices conocidos como vórtices de von Karman, los cuales se desprenden alternativamente desde uno y otro lado del cuerpo. Es este movimiento el que produce, por ejemplo, el flamear de una bandera, y cuya consecuencia sobre algunas estructuras civiles (como cables de puentes) puede ser catastrófica cuando su frecuencia de oscilación es similar a la frecuencia natural del elemento estructural. Una cuarta región (103 . Re. 5×105) donde ya puede observarse la formación de una capa límite en régimen laminar. En este caso los efectos viscosos quedan confinados al interior de la capa límite y a la estela que presenta un área frontal algo mayor que la superficie frontal del cuerpo. Una quinta región (Re & 5×105) donde, luego de una rápida transición, la capa límite se hace turbulenta y se reduce el tamaño de la estela detrás del cuerpo. Durante la transición no sólo disminuye el coeficiente CD (como se observa en la figura), sino que la fuerza de resistencia real también se reduce. Esto plantea cierta contrariedad al “sentido común”, ya que la fuerza de resistencia aerodinámica en efecto disminuye con el aumento de la velocidad (aumento del número Reynolds) en la región de transición. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 89 Figura 2.11: Coeficiente de resistencia en función del número de Reynolds para una esfera y un cilindro de superficie “suave” y los distintos patrones de flujo que se presentan. 2.5.6 Concepto de área frontal equivalente El concepto de área frontal equivalente o EFPA por sus siglas en inglés (equivalent flat plate area) es una forma alternativa de expresar la resistencia aerodinámica de un cuerpo en términos de coeficientes adimensionales. Aunque en este caso la EFPA tendrá unidades de superficie (L2), indirectamente representa al coeficiente de resistencia del objeto en cuestión. El motivo de la definición de la EFPA surge de la expresión del coeficiente CD: CD = D 1 2 ρ∞V 2 ∞Ac , donde se observa que para evaluar la resistencia aerodinámica de un cuerpo no es suficiente conocer el valor del CD, sino que además debe ser informada el área Ac de referencia con respecto a la cual está basado el coeficiente. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 90 Capítulo 2. Fuerzas y coeficientes aerodinámicos El área frontal equivalente Aeq se define como el área de un cuerpo de referencia que produce la misma resistencia aerodinámica que el cuerpo analizado. Es decir, 1 2 ρ∞V 2∞CDAc = 1 2 ρ∞V 2∞CDrefAeq,,por lo tanto Aeq = Ac CD CDref , (2.36) donde CDref es el coeficiente de resistencia del cuerpo de referencia. La utilización de la definición anterior anterior tendrá sentido en la medida que se conozca el coeficiente de resistencia del cuerpo de referencia, de manera de poder obtener la resistencia aerodinámica del cuerpo simplemente con la información del EFPA. Por este motivo, suele utilizarse como cuerpo de referencia una placa plana normal al flujo, cuyo coeficiente CD es aproximadamente constante (ver Figura 2.6) e independiente de otros factores como la rugosidad. Finalmente, la resistencia aerodinámica de un cuerpo determinado cuya EFPA es Aeq resulta: D = 1 2 ρ∞V 2∞CDrefAeq, (2.37) siendo CDref ≈ 1,30 para números de Reynolds lo suficientemente grandes. La definición del área frontal equivalente no es muy utilizada en aeronáutica, donde en general se prefiere emplear la definición clásica del coeficiente de resistencia, pero sí cuenta con cierta popularidad en la industria automovilística donde muchas veces la resistencia aerodinámica del vehículo se expresa en términos de la sección de una placa plana normal al flujo que produce la misma resistencia. 2.6 Problemas propuestos 1. Demuestre que las definiciones de los coeficientes aerodinámicos dados en las ecuacio- nes (2.8)–(2.10) corresponden a los productos Pi adimensionales cuando se aplica el Teorema de Buckingham a las acciones aerodinámicas que se generan sobre un cuerpo inmerso en una corriente de aire uniforme de velocidad V∞, densidad ρ∞, viscosidad µ∞ y velocidad del sonido a∞, cuya superficie y longitud de referencia son S y `, respectivamente. 2. El momento de cabeceo con respecto al borde de ataqueMLE de un perfil aerodinámico supersónico es una función de la longitud del perfil c (cuerda), del ángulo de actitud α (ángulo de ataque), de la velocidad del flujo libre V∞ y de su densidad ρ∞, de la velocidad del sonido a∞ y de la relación de calores específicos γ (adimensional). Determinar los productos Π del problema si se escoge a V∞, ρ∞ y c como variables repetitivas. 3. Bajo ciertas condiciones, el viento provoca la oscilación de un cartel indicador que se encuentra fijado al suelo mediante un poste. La frecuencia de oscilación ω es una función del ancho b y la altura h del cartel, de la velocidad del viento V∞, de la densidad del aire ρ∞ y de la constante elástica k del poste de sujeción que tiene dimensiones de fuerza por longitud (FL). Determinar los productos Π del problema escogiendo un conjunto adecuado de variables repetitivas. 4. Se ha determinado mediante algún método que la resistencia hidrodinámica que experimenta una embarcación al desplazarse sobre el agua depende de la densidad y de la viscosidad del líquido ρa y µa, de la velocidad de avance relativa Ve, de la longitud de la embarcación en la línea de flotación ` y de la aceleración de la gravedad g. Se pide determinar los productos Π asociados al problema utilizando como variables repetitivas ρa, Ve y `. 5. Muestre que para el problema anterior no es posible obtener similitud “completa” si se realiza un experimento en escala reducida `exp = 110`real y se mantienen iguales las propiedades del fluido en la condición real y en el experimento (ρareal = ρaexp y µareal = µaexp). DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3. Análisis experimental El análsis experimental es uno de los aspectos más importantes en el estudio de la Aerodinámica en general y constituye una herramienta indispensable para entender, modelar y predecir los efectos que experimenta un cuerpo inmerso en una corriente de aire. Aún hoy, donde la evolución de los métodos numéricos aplicados a problemas de Mecánica de los Fluidos y el avance de la capacidad de cálculo y almacenamiento de las computadoras actuales permiten un abordaje integral de este tipo de problemas, la verificación experimental de los resultados numéricos es un paso ineludible para garantizar la validez de los mismos. De hecho, el modo más exitoso para abordar cualquier problema de diseño aerodinámico resulta de una correcta combinación entre la aplicación de fundamentos teóricos, técnicas computacionales y adecuados ensayos experimentales. En este capítulo abordaremos los principales aspectos relacionados a los ensayos aerodinámicos realizados en túneles de viento. 3.1 Medición de presiones La medición de presiones constituye uno de los aspectos más importantes en aerodinámica experimental, donde en general es necesario no sólo conocer el estado del gas, sino determinar la presión sobre la superficie del modelo ensayado. Por otro lado, la medición de la presión también constituye un aspecto fundamental en las aplicaciones aeronáuticas, ya que a partir de los valores de las “diferentes” presiones podemos estimar la altitud y la velocidad de vuelo de una aeronave. Por estos motivos resulta determinante conocer las técnicas que se utilizan para realizar la medición de presiones y establecer las causas de los diferentes problemas que pueden presentarse durante este proceso. 3.1.1 Sondas de presión La medición de presiones en aplicaciones aeronáuticas en general se realiza mediante la utilización de sondas de presión, las cuales “transmiten” el valor local de la presión en un punto dado del campo de movimiento hacia un manómetro o hacia alguno de los dispositivos indicadores de altitud o velcidad durante el vuelo. Naturalmente, existen diferentes tipos de sondas dependiendo 91 DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 92 Capítulo 3. Análisis experimental de la medición que se realice, es decir si se trata de presión estática, presión total o presión diferencial. El principal inconveniente en la medición de presiones radica en la naturaleza misma del problema del flujo de fluidos. Como sabemos, la introducción de cualquier objeto en el seno de una corriente provoca un “reacomodamiento” del flujo que obviamente ya no será igual al flujo que existía antes de colocar el objeto. En consecuencia, las propiedades del flujo en la región perturbada no serán las mismas que las del flujo libre o sin perturbar y la magnitud de las diferencias entre ambas condiciones de flujo dependerá de la geometría del objeto inmerso en la corrienten y de su orientación. De esta manera, el desafío en el diseño de las sondas de presión es obtener un elemento capaz de transmitir la presión y que a la vez produzca la menor perturbación posible del flujo, lo cual en general es difícil de conseguir. Por otro lado, aun una sonda de presión correctamente diseñada puede entregar lecturas imprecisas si no se opera adecuadamente. Estos errores están asociados fundamentalmente a fallas en la orientación de la sonda, es decir, cuando no se posiciona correctamente el dispositivo con respecto a la corriente libre, y en menor medida a posibles obstrucciones que impiden “conducir” la presión hacia el manómetro. Los errores por orientación de la sonda son sin dudas los más importantes y por lo tanto deben estimarse para conocer la tolerancia del dispositivo a la falta de alineación con el flujo. A pesar de los inconvenientes mencionados anteriormente, hay que destacar que los anemómetros de tubos de presión1 aún hoy son considerados los elementos más confiables para determinar la velocidad en una corriente de aire. Desde el punto de vista conceptual, la presión se define como la fuerza por unidad de área que se registra sobre una superficie de área infinitesimal: p = lı́m ∆A→0 ∆F ∆A . (3.1) Esto significa que el elemento expuesto al flujo para medir la presión en un punto dado debería ser infinitamente pequeño. Es obvio que en la práctica esta definición no puede cumplirse estricta- mente, y aunque sí podríamos emplear tomas extremadamente delgadas que nos acerquen más a la definición anterior, esto no sería adecuado debido a dos factores: por un lado las fuerzas de roza- miento se hacen importantes en orificios y conductos muy delgados por lo que la presión no podría “transmitirse” correctamente a través de ellos; y por el otro, a escalas extremadamente,pequeñas pierde validez la hipótesis del continuo y por lo tanto pierde sentido el concepto macroscópico de presión, como la medida de la acción colectiva de las moléculas que conforman el fluido. De este modo, para los fines prácticos las tomas de presión serán lo más pequeñas posibles siempre que la viscosidad, en este caso del aire, no interfiera en la precisión de las mediciones ni retarde demasiado la respuesta del instrumento de medición. 3.1.2 Sonda Pitot Considerando flujos en régimen subsónico, en términos prácticos la presión total (o de impacto) puede obtenerse con un simple tubo con un extremo enfrentado a la corriente y el otro conectado a un manómetro. Éste es el principio básico de la sonda Pitot presentado en el Capítulo 1, la cual es universalmente adoptada para la medición de la presión total. Teniendo en cuenta que la presión total se conserva a lo largo de una línea de corriente en flujo no viscoso, resulta que el tubo Pitot debería tener un diámetro infinitamente pequeño tal que sólo una línea de corriente sea “atrapada” por el mismo. Naturalmente esta condición no es estrictamente satisfecha por las sondas reales, las 1Se denominan de esta forma a los anemómetros basados en la medición de la presión para determinar la velocidad. En estos dispositivos (que son básicamente sondas de presión) no existe un flujo de aire, a diferencia de lo que sucede con otros instrumentos como el orificio calibrado o el tubo de Venturi. Además existen otros anemómetros basados en principios mecánicos o eléctricos, que se calibran considerando por ejemplo la velocidad de rotación de un pequeño “molino” de viento o la tasa de enfriamiento de un filamento metálico calentado eléctricamente. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.1 Medición de presiones 93 Figura 3.1: Error de medición de la presión total en función del ángulo de guiñada de la sonda para diferentes tipos de tomas (tomado de Chue (1975)). cuales obviamente trabajan con fluidos reales con viscosidad no nula. Además de estas diferencias, existen otros factores que generarán errores en las mediciones de la presión total, los cuales suelen cuantificarse de manera adimensional en relación a la presión dinámica de la corriente libre: ∆p0 = p0,i− p0 1 2 ρ∞V 2 ∞ , (3.2) donde p0,i es la presión total indicada por el manómetro y p0 es la presión total real. La diferencia ∆p0 estará definida en primer lugar por las características geométricas de la sonda, es decir, la forma de la nariz y la relación entre el diámetro interno y el diámetro externo d/D del tubo. Este factor en general no introduce por sí solo errores significativos en la medición, pero su influencia es fundamental cuando se considera en conjunto con otro factor que es la fuente principal de generación de errores: la falta de alineación de la sonda. En la Figura 3.1 se muestra esquemáticamente cómo varía ∆p0 en función del ángulo de guiñada2 para distintas formas de la sonda de presión total. Además se indica para cada caso el ángulo de guiñada critico, definido como el ángulo para el cual la medición registra un error del 1 % de la presión dinámica de la corriente libre. En dicha figura observamos el rol preponderante que juega la forma de la toma a la hora de considerar ángulos admisibles de desalineación de la sonda. Vemos que geometrías con relaciones d/D más cercanas a la unidad son beneficiosas ya que admiten mayores desviaciones de la posición de la sonda con respecto a la corriente sin que se produzcan errores excesivos. Esta característica puede explicarse desde el punto de vista de la perturbación del flujo, ya que sondas de orificios pequeños con paredes gruesas generarán mayores distorsiones en la corriente en la región del extremo que enfrenta el flujo y consecuentemente mayores errores de medición. Esta cualidad es muy importante especialmente en el análisis de flujo turbulento donde pueden presentarse 2El ángulo de guiñada se define colocando la sonda con el soporte en dirección normal al flujo y rotando la sonda alrededor del mismo. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 94 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.2: Efecto del espesor de la pared de la sonda de presión total en el error por desali- neación del flujo (tomado de Orwen y Pankhurst (1977)). componentes de velocidad transversales a la dirección de la sonda que magnifican el ángulo de guiñada del instrumento con respecto al flujo sin perturbar. Para observar más claramente el efecto del espesor de la pared, en la Figura 3.2 se grafica el error porcentual de la presión total en términos de la presión dinámica para distintas relaciones d/D con una geometría de la toma como la del caso 1 de la Figura 3.1 (extremo plano). En virtud de los resultados queda claro que una sonda de presión total es en general un dispositivo bastante preciso siempre que la misma tenga una geometría adecuada incluso cuando exista algún grado de desalineación relativamente grande. Efectos de compresibilidad En régimen de flujo subsónico compresible (0,3 < Ma < 1) se encuentra que la marcada “insensibilidad” de las sondas Pitot a la desalineación del flujo para un amplio rango de ángulos de guiñada que se registra en régimen de baja velocidad se mantiene prácticamente hasta el límite sónico (Ma< 1). A modo de ejemplo ilustrativo, en la Figura 3.3 se muestra el error porcentual de la presión total en función del número de Mach hasta la condición sónica (Ma= 1), considerando diferentes ángulos de guiñada para una sonda de nariz semiesférica. En este caso vemos que para un ángulo de guiñada nulo el incremento del número de Mach prácticamente no introduce errores en la medición. Por otro lado, para ángulos de guiñada no nulos el error se mantienen por debajo del 1 % en todo el rango subsónico incluso para desviaciones de la sonda tan grandes como 15 o. Considerando desviaciones mayores a ese valor comienza a evidenciarse alguna influencia del número de Mach en el error de medición, pero para esos niveles tan elevados de desalineación probablemente el error ya sería inadmisible aun para el caso incompresible. Efecto del gradiente de velocidad Las sondas Pitot en general se calibran considerando una condición de flujo uniforme, es decir, asumiendo que la velocidad es constante en toda la sección del orificio de la sonda. Sin embargo, en la práctica pueden existir variaciones de velocidades en dirección normal al eje del tubo lo cual DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.1 Medición de presiones 95 Figura 3.3: Influencia del número de Mach en la medición de la presión total para diferentes ángulos de guiñada de una sonda Pitot de nariz semiesférica. T es la presión indicada y p0 la presión total real (tomado de Orwen y Pankhurst (1977)). significa que (en general) también existe un gradiente de la presión total en esa dirección, tal como sucede cuando se realizan mediciones en cercanías de una pared sólida donde se ha desarrollado la capa límite. En estos casos, inclusive sondas correctamente calibradas y alineadas no indicarán la presión total en el centro geométrico del orificio, sino que existirán errores causados por los siguientes efectos: La presión total es proporcional al cuadrado de la velocidad3 y cuando la misma es integrada sobre el orificio, ella tendrá un valor mayor que la presión de estancamiento calculada con la velocidad en el centro geométrico del orificio. La presencia de la sonda en una región con gradiente de velocidad provoca deflexiones de las líneas de corriente hacia la zona de menores velocidades. Esta deflexión genera que la presión indicada sea mayor que la que existe en la misma posición en ausencia del dispositivo. Como es de esperar, estos efectos se reducen al disminuir el tamaño de la sonda. Un estudio analítico de los mismos es difícil de realizar ya que en general no es posible conocer de antemano la distribución de velocidades sobre el orificio. De esta manera, las correcciones suelen hacerse en base a ensayos experimentales a través de los cuales se determinaron fórmulas,empíricas. Numerosos ensayos experimentales mostraron que existe una relación lineal entre el despla- zamiento δ del centro efectivo de una sonda Pitot de nariz recta y la relación entre los diámetros interior d y exterior D de la misma (ver Fighura 3.4): δ D = 0,131+0,083 d D , (3.3) la cual es válida dentro del rango 0,35 < d D < 0,75. (3.4) El hecho de que la corrección (3.3) sea independiente del gradiente de velocidad es bastante sorprendente, ya que esto implica que existe una discontinuidad en el desplazamiento δ cuando el gradiente de velocidad se anula. Sin embargo, esta expresión muestra un aceptable grado de precisión (Chue, 1975). 3Esto es así porque se asume que la presión estática no varía en la dirección normal a la pared DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 96 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.4: Desplazamiento del centro efectivo debido al gradiente de velocidad en una sonda Pitot. 3.1.3 Tomas de presión estática De acuerdo a la definición de la presión estática (ver Definición 1.16 del Capítulo 1), habíamos establecido que esta presión es aquella que se registra sobre una superficie infinitesimal que se dispone en dirección perfectamente tangencial a la línea de corriente local o que se mueve a la misma velocidad que el flujo. Desde el punto de vista práctico, resulta virtualmente imposible construir un elemento capaz de registrar la presión sobre una superficie que se mueva a la velocidad del flujo y que además transmita ese valor a un manómetro que permanece fijo. Por este motivo, la técnica que se utliza en la práctica para medir la presión estática consiste en utilizar tomas fijas orientadas tangencialmente a las líneas de corriente, de manera que el movimiento del fluido no realice ningún aporte a la presión “que siente” la toma. A diferencia del caso de la presión total donde hemos visto que en general la medición es bastante simple, pudiendo obtenerse valores precisos aun frente a desalineaciones considerables de la sonda incluso en flujo (subsónico) compresible, en la medición de la presión estática estas virtudes desaparecen y la medición se hace mucho más dificultosa. En este caso, pequeñas desalineaciones de la toma estática con respecto a la corriente libre pueden generar errores importantes, y además los efectos producidos por la forma y el tamaño de los orificios tienen una relevancia mucho más significativa. En el diseño de las tomas de presión estática se busca lograr que las condiciones del flujo libre se reproduzcan con la mayor precisión posible en la región donde se encuentra el orificio que transmitirá la presión al manómetro. Esto significa que en el lugar donde efectivamente se está midiendo la presión estática, la velocidad tanto en magnitud como en dirección debe ser lo más próxima posible a la del flujo sin perturbar. En otras palabras, la velocidad “sobre” el orificio debe ser “la misma” que existiría si la toma de presión no estuviera presente. Naturalmente esta condición es imposible de conseguir y el diseño entonces consiste en minimizar las desviaciones del flujo causadas por el fispositivo o, en su defecto, emplear configuraciones donde los efectos causados por los distintos elementos se compensen entre sí. Esto a su vez introduce un requerimiento adicional sobre la sonda de presión total y cualquier otro dispositivo de medición inmerso en el campo de movimiento, los cuales no deberán alterar las condiciones del flujo en la región donde se ubican las tomas de presión estática. Efectos de la geometría de la toma En términos prácticos, la presión estática puede estimarse básicamente de tres formas diferentes dependendiendo de la configuración del flujo: Mediante pequeños orificios realizados en la superficie del contorno de un flujo confinado DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.1 Medición de presiones 97 Figura 3.5: Efecto del tamaño del orificio en el error de medición de la presión estática registrado para diferentes números de Mach con una toma de bordes rectos. (tomado de Chue (1975)). evitando que las líneas de corriente resulten distorsionadas. A través de pequeños orificios dispuestos sobre una sonda cuyo efecto sobre el flujo puedan ser compensado. mediante pequeños orificios colocados estratégicamente en posiciones críticas de cuerpos aerodinámicos donde la presión estática ocurre “naturalmente”. El primer caso lo constituyen las llamadas tomas de pared, el segundo está formado por los denominados tubos estáticos y el tercero se conforma por sondas que presentan formas esféricas, de cuñas, cónicas, etc. Como vemos, independientemente del elemento empleado, los orificios estarán siempre presentes y de allí que es tan importante conocer cómo se comporta el flujo en su presencia. Puede intuirse que un orificio lo más pequeño posible con sus contornos rectos y agudos causará las menor distorsión en un flujo que se desplaza sobre una pared recta, entonces podríamos deducir que así se obtendrían las mediciones más precisas de presión estática. Sin embargo, orificios muy pequeños son difíciles de maquinar, resultan propensos a obstrucciones y presentan una respuesta muy lenta a los cambios de presión, por lo tanto es necesario utilizar orificios de diámetros mayores aplicando correcciones a las lecturas, buscando una solución de compromiso entre practicidad y precisión de las mediciones. El efecto del tamaño del orificio en la medición de la presión estática se evalúa casi exclusi- vamente de manera experimental. La diferencia entre la presión estática real y la presión estática relevada por la toma se mide en relación a la presión dinámica del flujo libre, o en algunos casos considerando la tensión tangencial sobre la pared debida a la acción viscosa, ya que se supone que DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 98 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.6: Comportamiento del flujo dentro de la toma de presión estática. la variación de la presión surge de las distorsiones producidas en la capa límite. En ese caso, la tensión de corte es una medida de la capa límite ya que ella caracteriza el gradiente de velocidad del flujo dentro de la misma (τw = µ(dV/dy)). En la Figura 3.5 se muestra el error de medición de la presión estática en función del diámetro del orificio considerando diferentes regímenes de flujo. De estos resultados se desprende que el error crece rápidamente con el aumento del tamaño de la toma y que este crecimiento se hace más evidente a medida que aumenta el número de Mach de la corriente. Por otro lado, podemos ver que una vez alcanzado un cierto valor, la curva de error comienza a aplanarse y el aumento del diámetro del orificio ya no genera un incremento significativo del error. En esta situación sólo los efectos de compresibilidad producen un aumento del error de la medición. Además del tamaño del orificio, el otro factor que incide sobre la precisión de las tomas estáticas es la forma de la toma, más precisamente la forma de sus bordes. En presencia de un orificio de bordes rectos, el flujo se separa de la pared “limpiamente” al comenzar el agujero y las líneas de corriente son apenas distorsionadas en esa región. No obstante, por efectos de la viscosidad se induce una pequeña velocidad en dirección del flujo al fluido que se encuentra dentro de la toma estática, lo cual genera un “torbellino” que produce una componente de velocidad en dirección del conducto (ver Figura 3.6). Esto provoca un consecuente aumento de la presión que efectivamente “siente” el manómetro. De la misma forma, la implementación de otras formas en los bordes de la toma, como por ejemplo bordes redondeados o achaflanados también generan modificaciones en el fluido interno del orificio y en el flujo que está “en contacto” con la toma, generando por lo tanto variaciones en la presión estática que efectivamente está midiendo el manómetro. Estas variaciones podrán ser positivas o negativas con respecto a la presión estática real dependiendo de la forma de la toma, tal como se muestra en la Figura 3.7 donde se indica,la influencia de la forma de los bordes del orificio. Como observamos en la figura, la forma de los bordes de la toma estática no introduce errores significativos en relación al orificio de bordes rectos. Incluso en los casos de bordes marcadamente redondeados o cuando existen inclinaciones del orficio con respecto a la pared, los errores no exceden el 1 %. Si consideramos bordes achaflanados vemos que las diferencias son menores. Esto es una gran ventaja desde el punto de vista de la construcción de las tomas, ya que nos permite maguinar los bordes del agujero para eliminar posibles rebabas sin introducir con esto errores importantes en las mediciones. De no realizar este trabajo, la presencia de imperfecciones en forma de protuberancias en los bordes del orificio pueden generar una fuerte distorsión de las línas de corriente y llegar a separar la capa límite en esa región, lo cual producirá errores significativos en las lecturas. Tubos estáticos Cuando las tomas de presión estática son empleadas en condiciones de flujo externo, como sucede en muchas aplicaciones aeronáuticas, o cuando las mediciones se realizan en regiones DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.1 Medición de presiones 99 Figura 3.7: Efecto de la forma del borde del orificio en la medición de la presión estática. Las variaciones se indican en porcentajes de la presión relevada en el orificio de bordes rectos (tomado de Benedict (1984)). alejadas de la pared del conducto en flujo confinado, suelen utilizarse sondas o tubos estáticos sobre los cuales se disponen las tomas. En estos casos, asumiendo inicialmente que la sonda se encuentra correctamente alineada, la precisión de las mediciones dependerá mayormente de la posición de los orificios con respecto a la nariz y al soporte (o bastón) del tubo. Efectos de aceleración del flujo debidos a la nariz tenderán a reducir la presión relevada por la toma, mientras que el efecto de estancamiento de la corriente causado por el bastón de sujeción tenderán a incrementar la presión estática. En principio, estas variaciones podrían evitarse disponiendo los orificios lo suficientemente alejados tanto de la nariz como del soporte para que las desviaciones causadas por dichos elementos resulten despreciables, pero esto resultaría en distancias muy largas entre la nariz, los orificios y el soporte y consecuentemente la sonda tendría una longitud desproporcionada. La idea para construir sondas de presión estática de dimensiones aceptables consiste en disponer los distintos elementos de la sonda de modo de compensar los efectos opuestos que causan los mismos, es decir que se busca que los efectos de disminución y de incremento de la presión simplemente se cancelen entre sí en el plano donde se colocan las tomas estáticas. Este concepto se muestra esquemáticamente en la Figura 3.8, donde se indica la disminución de la presión generada por la presencia de la nariz de la sonda (curva inferior) y el incremento de la presión provocado por el bastón (curva superior). La línea ∆p = 0 en este diagrama corresponde a la presión estática DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 100 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.8: Esquema de la variación de la presión estática debido a la nariz y al soporte de la sonda. de la corriente libre. De esta manera podemos establecer una posición en la cual ambos efectos se compensan entre sí, por lo tanto la presión estática medida en ese punto se corresponde con la presión del flujo sin perturbar. La distancia necesaria entre la nariz y las tomas estáticas para lograr la compensación de los efectos depende de la longitud de la sonda, es decir, de la distancia entre la nariz y el bastón. Desplazar hacia atrás el bastón equivale a disminuir su efecto sobre la región de la nariz, por lo tanto será necesaria una mayor distancia entre las tomas y el extremo delantero de la sonda. Por el contrario, desplazando hacia adelante el soporte se genera mayor presión en la nariz y consecuentemente las tomas estáticas deberán disponerse más próximas a ella para compensar ese incremento. Naturalmente, una vez establecida la longitud de la sonda y determinada la posición de las tomas estáticas, las dimensiones quedarán fijas para construir el dispositivo. Longitudes excesivas de la sonda no son deseables desde el punto de vista de la alineación del tubo, mientras que longitudes demasiado cortas pueden repercutir en la calidad de las mediciones ya que las tomas estáticas se encontrarían en regiones de fuertes gradientes de presión que hacen difícil determinar de manera precisa la posición correcta para la compensación de ambos efectos. A partir de numerosas investigaciones se recomienda colocar los orificios a 6 diámetros por detrás de la base de la nariz y a 8 diámetros por delante del eje del bastón, lo cual arroja una longitud aproximada del cuerpo de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.1 Medición de presiones 101 Figura 3.9: Efecto de la alineación del flujo en diferentes sondas estáticas para flujo de baja velocidad. En todos los casos existen dos tomas estáticas separadas 180 o (tomado de Chue (1975)). la sonda de 14 diámetros. Estos valores son válidos para sondas con una forma semiesférica de la nariz (Orwen y Pankhurst, 1977). En la determinación de la presión estática mediante este tipo de sondas, la precisión dependerá fundamentalmente de la correcta alineación del dispositivo con respecto a la dirección del flujo libre. A diferencia de lo que sucede en la medición de la presión total, los tubos estáticas son extremadamente sensibles a la desalineaciones y en general admiten ángulos de guiñada de pocos grados para obtener lecturas aceptables. Esto supone un gran desafío a la hora de operar las sondas estáticas, especialmente en aquellos casos donde la dirección del flujo no se conoce de manera precisa o en presencia de un alto nivel de turbulencia que genere velocidades transversales importantes. En la Figura 3.9 se muestra el error de medición de la presión estática en términos de la presión dinámica en función del ángulo de guiñada considerando diferentes formas de la nariz del tubo estático. Sondas aerodinámicas Una alternativa a los tubos estáticos para medir la presión estática en condiciones de flujo externo son las sondas aerodinámicas. En estos dispositivos la precisión de la medición estará dada por el correcto posicionamiento de las tomas en el cuerpo, más allá de los errores asociados a la geometría de los orificios y a la alineación del flujo. Ejemplos de sondas aerodinámicas son cilindros, discos, conos y cuñas. Sobre estos elementos la distribución de presión es conocida, por lo tanto los orificios pueden ubicarse en los puntos donde se espera que se registre la presión estática de la corriente libre o donde la misma pueda ser obtenida a partir de los valores medidos. En el caso de cilindros, éstos se posicionan en dirección normal al flujo y se define como ángulo critico al ángulo con respecto a la dirección de la corriente donde la presión estática registrada en la superficie del cilindro es igual a la del flujo libre (ver Figura 3.10). Las sondas de este tipo tienen dos orificios separados por un ángulo igual al doble del ángulo crítico. Esta configuración permite determinar la orientación correcta de la sonda. El procedimiento consiste en conectar inicialmente ambos orificios a un manómetro diferencial y rotar el cilindro hasta que el manómetro indique una diferencia de presión nula. Esto implica que ambos orificios se encuentran posicionados en el DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 102 Capítulo 3. Análisis experimental ángulo crítico y por ello “sienten” la misma presión. Figura 3.10: Distribución de ∆p = pi− p sobre un cilindro colocado en dirección normal al flujo con dos tomas estáticas. Nótese que si la dirección del flujo cambia, el incremento de presión en una toma es aproximadamente igual a la disminución de presión en la otra (tomado de Benedict (1984)). Una ventaja de las sondas aerodinámicas cilíndricas es que son,bastante tolerantes a desviaciones del flujo, permitiendo ángulos de hasta ±20 o de desviación (Benedict, 1984). Esto es así cuando ambos orificios se conectan en forma de manifold al manómetro, lo cual produce que la disminución de presión en un orificio se compense con el incremento en el otro, aprovechando la distribución aproximadamente lineal de la presión sobre la superficie del cilindro en el entorno ±45 o con respecto a la dirección del flujo. 3.1.4 Sonda Pitot-estática Frente a la condición de flujo externo y en situaciones donde se necesita conocer tanto la presión total como la presión estática de la corriente libre, tal como sucede en la estimación de la velocidad de un flujo de aire, estas presiones suelen medirse a través de las tomas dispuestas en un mismo elemento llamado sonda Pitot-estática, la cual se muestra en la Figura 3.11. Como vemos en la figura, el tubo Pitot-estático es simplemente una sonda estática a la cual se le ha practicado un orificio en la nariz de modo de medir también la presión total. La posición de las tomas estáticas se define de la misma manera que en una sonda estática convencional, es decir haciendo que los efectos de la nariz y del bastón se cancelen entre sí. En las sondas Pitot-estáticas, las tomas estáticas y la toma de presión total suelen conectarse a los dos extremos de un manómetro diferencial de modo que esta sonda permite medir directamente la presión dinámica del flujo en régimen subsónico de baja velocidad, tal como vimos en el Capítulo 1. En la Figura 3.12 se muestra una sonda Pitot-estática muy utilizada durante la primera mitad del siglo XX, la cual fue diseñada por el prolífico científico alemán Ludwig Prandtl. Esta sonda se caracterizaba por una nariz semiesférica y por disponer de un corte anular en lugar de orificios para medir la presión estática. Esta configuración brindaba la ventaja de la simetría y de ser menos propensa a las obstrucciones. Sin embargo, la necesidad de utilizar bordes afilados la hacía difícil DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.1 Medición de presiones 103 Figura 3.11: Esquema de una sonda Pitot-estática clásica. Figura 3.12: Esquema de la sonda Pitot-estática de Prandtl. de construir. Estudios posteriores demostraron que una forma de nariz elipsoidal, no semiesférica como la sonda de Prandtl ni afilada como las sondas de principios del siglo XX, presenta una mejor precisión en las mediciones. La sonda Pitot-estática se encuentra sometida a las mismas fuentes de error que las las sondas estática y total “aisladas”, es decir que la precisión en la medición de la presión diferencial obtenida por el dispositivo dependerá de las características geométricas del tubo, como ser forma de las tomas y posición de las mismas, y fundamentalmente de las condiciones del flujo dadas por los efectos de compresibilidad, el nivel de turbulencia y especialmente por la alineación de la sonda. En la Figura 3.13 se muestra la influencia del número de Mach para diferentes ángulos de guiñada en una sonda Prandtl. El error en la lectura de la presión diferencial se expresa como la relación (p0,i− pi)/(p0− p), es decir la relación entre la presión diferencial indicada por la sonda y la presión diferencial real. Allí observamos que para una alineación correcta, la sonda Prandtl puede utilizarse para velocidad con Ma≤ 0,85, aproximadamente. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 104 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.13: Efecto del número de Mach en una sonda Prandtl para diferentes ángulos de guiñada ψ, En esta figura Pm y pm indican los valores medidos de presión total y presión estática, respectivamente. (tomado de Chue (1975)). 3.1.5 Determinación de la dirección del flujo Como hemos visto en los apartados anteriores, la correcta alineación de las sondas con respecto al flujo para determinar la presión es fundamental para obtener mediciones precisas. Esto a su vez repercute en la precisión de la estimación de la velocidad del flujo cuando se utilizan anemómetros de tubos de presión. En flujos confinados normalmente es suficiente alinear la sonda geométricamente con respecto al conducto. Por otro lado, en flujjo bidimensional en general la dirección del flujo puede obtenerse rotando el elemento alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene a las líneas de corriente. En estos casos suele ser suficiente utilizar el mismo instrumento como indicador de la dirección del flujo. Sin embargo, en condiciones de flujo más generales a veces es necesario utilizar elementos específicos para determinar la dirección del flujo. Dichos instrumentos se conocen como yawmeters (medidor de guiñada en inglés). Existen diversos tipos de yawmeters basados en la medición de la presión, algunos de los cuales se muestran en la Figura 3.14. Estos instrumentos pueden clasificarse en dos grupos de acuerdo a su forma de operación. En el método de alineación o lectura nula, la operación se realiza considerando la equiparación de la presión de dos tomas dispuestas de forma simétricamente opuesta en un cuerpo simétrico, el cual se rota hasta alcanzar la igualdad de presiones en ambas tomas y la dirección del flujo se obtiene directamente de la orientación geométrica del cuerpo. Este tipo de yawmeters son especialmente recomendados para flujo bidimensional. En la operación del segundo grupo no se busca alinear la sonda con respecto al flujo, sino que la lectura de la diferencia de presión entre tomas simétricamente opuestas permite deducir la dirección del flujo mediante relaciones obtenidas durante la calibración de los instrumentos. Otros métodos para determinar la dirección del flujo involucran la utilización de hilos o pequeños trozos de telas fijados a algún soporte, o álabes rotando alrededor de un eje. Este tipo de mediciones pueden resultar propensas a errores debidos a la fuerza de gravedad o a alguna otra causa relacionada con su principio de funcionamiento. Por otro lado, estos elementos en realidad proveen algún tipo de “indicación promedio” de la dirección del flujo a lo largo de su longitud, en vez de la dirección precisa del flujo en un punto determinado del campo de movimiento. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, cuentan con la ventaja de ser muy económicos y fáciles de utilizar con lo cual resultan apropiados para aplicaciones que no requieran de mucha precisión o DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.2 Indicadores de presión 105 Figura 3.14: Diferentes tipos de yawmeters. para estimaciones preliminares. 3.2 Indicadores de presión La determinación de la presión es probablemente la medición más importante cuando se analiza experimentalmente el flujo de fluidos. Como hemos visto, a partir de estas mediciones podemos conocer la velocidad de un gas o líquido, estimar la dirección del flujo e incluso calcular las fuerzas y momentos aerodinámicos que actúan sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida. Naturalmente, el concepto de presión no sería de interés si no fuera posible medir dicha cantidad de manera relativamente simple y con un aceptable grado de precisión. En los apartados anteriores hemos estudiado las principales características de las sondas de presión, es decir de los instrumentos utilizados para “transmitir” la presión estática y la presión total desde el punto hacia el dispositivo indicador. En esta sección estudiaremos los aspectos fundamentales de este último elemento encargados de “informar” el valor de las presiones relevadas por las sondas. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 106 Capítulo 3. Análisis experimental Como cualquier cantidad física, la presión se mide en relación a una variable o estado de referencia. En ese sentido, en la determinación de la presión se distinguen tres tipos diferentes: La presión absoluta p es la que se mide con respecto al vacío absoluto. Esta presión es la que interviene en las expresiones matemáticas tales como la ecuación de estado de los gases ideales p = ρRT . La presión manométrica pm es la presión medida teniendo como referencia la presión,ambiente, es decir que es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica patm: pm = p− patm. (3.5) La diferencia de presión o presión diferencial ∆p es la diferencia entre dos presiones absolutas, que de acuerdo a la definición de la presión manométrica resulta también igual a la diferencia de las presiones manométricas: ∆p = p1− p2 = (pm,1 + patm)− (pm,2 + patm) = pm,1− pm,2. (3.6) En aerodinámica experimental en general estamos interesados en conocer diferencias de presio- nes o presiones manométricas, ya sea para estimar la velocidad del flujo o para obtener la fuerza aerodinámica sobre un cuerpo. Por lo tanto el instrumento utilizado para medir las presiones es el manómetro. En aquellos casos donde sea necesario conocer la presión absoluta simplemente se suma el valor de la presión atmosférica local que se obtiene mediante un barómetro. No obstante, en ocasiones es preferible medir directamente la presión absoluta utilizando los llamados manó- metros absolutos, donde se incorpora la palabra “absoluto” para diferenciarlos de los manómetros convencionales y evitar confusiones. Al igual que otros elementos de medición, la capacidad de un manómetro determinado está dada principalmente por las siguientes características: Rango de medición Precisión Sensibilidad Linealidad Velocidad de respuesta Los rangos de presiones que se presentan durante los ensayos aerodinámicos pueden extenderse desde presiones muy cercanas al vacío absoluto (como se da en túneles de viento para flujo mole- cular libre), hasta valores de varias decenas e incluso cientos de atmósferas (tal como sucede en flujo supersónico o hipersónico). Por otro lado, la precisión requerida puede llegar a ser importante dependiendo del experimento. Por ejemplo, en ensayos de baja velocidad en condiciones atmosfé- ricas normales se necesita una precisión de menos de 10Pa en el manómetro para determinar la velocidad del flujo con 1m/s de incertidumbre. Naturalmente, un incremento de la sensibilidad en general acarrea una disminución del rango de medición disponible del instrumento. Esto implica que no existe un único manómetro capaz de cubrir todos los requerimientos dentro del amplio universo de las posibles aplicaciones de la aerodinámica experimental, por lo tanto se cuenta con diferentes tipos de manómetros cada uno de los cuales será utilizado de acuerdo a la necesidad particular del ensayo. Los instrumentos empleados para medir la presión en aerodinámica experimental pueden divirse teniendo en cuenta su principio de funcionamiento: Manómetros de columna de líquido Manómetros con elementos elásticos sensibles Transductores de presión Manómetros para medir bajas presiones absolutas En nuestro análisis estamos principalmente interesados en el primer grupo. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.2 Indicadores de presión 107 Figura 3.15: Variación del nivel de líquido manométrico por efectos de la capilaridad. 3.2.1 Manómetros de columna de líquido Los manómetros de columna de líquido se basan en el equilibrio de fuerzas que se produce entre la presión que se busca determinar y una columna de líquido manométrico, cuya altura será directamente proporcional a la presión dependiendo de la densidad del líquido utilizado. De acuerdo a su forma de operar, los manómetros de columna de líquido puden dividirse entre los manómetros de lectura directa y los manómetros de nivel constante. Los primeros se usan para medir diferencia de presión a través de la diferencia de altura entre dos niveles de un líquido según el principio de vasos comunicantes. En el segundo grupo la medición se realiza a partir del desplazamiento de algún elemento del instrumento para mantener constante el nivel original de referencia. En este caso la lectura del desplazamiento indica la altura de líquido equivalente. Líquidos manométricos En general el medio utilizado en los manometros de columna de líquido es agua, alcohol o mercurio, aunque otros compuestos orgánicos también son utilizados. Los principales requerimien- tos para los líquidos manométricos son alta estabilidad química, baja viscosidad y baja tensión superficial, bajo coeficiente de dilatación térmica, baja volatilidad y baja tendencia a contaminarse y a absorber humedad del aire. Estas características ayudarán a incrementar la precisión de las mediciones. Por ejemplo, una alta estabilidad química, baja volatilidad y baja dilatación térmica son importantes para mantener constante el peso específico del líquido, una viscosidad baja permitirá una estabilización más rápida de la medición, una tensión superficial grande incrementará los efectos de capilaridad dificultando las lecturas, etc. El efecto de la capilaridad es un aspecto a tener en cuenta en los manómetros de columna de líquido. Dependiendo de las propiedades del líquido para mojar la superficie, la tensión superficial produce que el menisco sea cóncavo y ascienda por el tubo en el caso de líquidos que mojan como el agua, o que sea convexo y descienda para líquidos que no mojan, como el mercurio (ver Figura 3.15). El ascenso o la depresión del menisco está dado por la fórmula clásica de capilaridad: ∆h = 4σcosθ ρlíqgd , (3.7) donde σ es la tensión superficial del líquido, θ el ángulo de mojado, ρlíqg el peso específico del líquido y d el diámetro interno del tubo. La tensión superficial del líquido es una función de la temperatura, variando de manera inversamente proporcional a ésta. Cuando el diámetro interno del tubo manométrico es constante, el cambio de nivel del líquido provocado por la capilaridad puede ser ignorado ya que el mismo será igual para ambos tubos en el caso de un manómetro diferencial. Pero en tubos no calibrados la depresión capilar puede variar a lo largo del tubo si el diámetro cambia, lo cual obviamente afectará las lecturas. Por otro lado, DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 108 Capítulo 3. Análisis experimental Líquido Densidad [kg/m3] Coefeciente de expansión térmica [1/oC] Tensión superficial [N/m] Viscosidad dinámica [Ns/m2] Agua pura (H2 O) 998,2 2,07×10−4 7,28×10−2 1,003×10−3 Mercurio (Hg) 13534,0 1,82×10−4 48,65×10−2 1,550×10−3 Alcohol etílico (C2 H5 OH 789,3 7,50×10−4 2,23×10−2 1,200×10−3 Alcohol Metílico (CH2 OH 792,0 11,90×10−4 2,30×10−2 0,545×10−3 Tabla 3.1: Propiedades de líquidos manométricos a 20 oC y 101325Pa. imperfecciones superficiales como rugosidad en el tubo o contaminantes dentro del líquido también modificarán los efectos de la capilaridad a lo largo del tubo. Para minimizar los efectos de la capilaridad se utilizan tubos de diámetros internos relativamente grandes (8 a 12mm) y se eligen líquidos manométricos de baja tensión superficial. En ese sentido, puede emplearse alcohol en tubos manométricos de diámetros menores (2 a 5mm) consiguiendo buenos resultados. Sin embargo no debe perderse de vista que el alcohol tiene un coeficiente de expansión térmica mayor que el agua o el mercurio por lo tanto las mediciones realizadas con este líquido requerirán mayor control de la temperatura. Como usualmente sucede en los problemas de ingeniería, la decisión final resultará de la ponderación de las ventajas y desventajas de cada una de las alternativas disponibles. En la Tabla 3.1 se muestran las propiedades de los principales líquidos manométricos utilizados en la práctica. Manómetro en U El manómetro en U es un tipo de manómetro de columna de líquido utilizado para medir diferencia de presión. Este elemento consiste en dos tubos de vidrio verticales los cuales se conectan a las respectivas tomas de donde quiere obtenerse la presión diferencial. Ya que la densidad del aire es mucho menor que la del líquido manométrico, el valor de la diferencia de presión entre las dos conexiones está dada por: ∆p = p1− p2 = ρlíqgh, (3.8) donde ρlíq es la densidad del líquido y h la distancia entre los niveles de líquido en cada tubo del manómetro (ver Figura 3.16). La sensibilidad dh/d(p1− p2) del manómetro varía inversamente con la densidad del líquido manométrico. A menor,densidad del líquido más sensible será el manómetro. Por otro lado, el rango de presiones admisible está limitado por cuestiones prácticas, ya que manómetros de más de 3m de altura son muy difíciles de manejar. En ese sentido, un manómetro en U provisto de mercurio permitirá una presión diferencial máxima de alrededor de 4atm, mientras que si se utiliza agua este rango se reduce a menos de 0,3atm. De esta manera queda claro cómo la sensibilidad del manómetro se contrapone directamente con el rango de presión disponible en un manómetro en U. En general el diámetro de los tubos de vidrio utilizados en la construcción de los manómetros no es uniforme a lo largo de los mismos, por lo tanto el efecto de la capilaridad puede ser diferente en cada tubo del manómetro. Esto implica que la diferencia de nivel h no puede medirse directamente como la distancia entre los meniscos de cada tubo, sino que debe calcularse considerando el cambio de altura de la columna de líquido en cada tubo. Una excepción a esta regla se da cuando se utilizan tubos especialmente calibrados que garantizan la uniformidad del diámetro interno. La precisión de los manómetros en U está dada entre otras cosas por la forma de realizar la lectura. Si la altura de la columna de líquido se hace directamente a “ojo desnudo” se estima un DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.2 Indicadores de presión 109 Figura 3.16: Manómetro en U. error absoluto de 0,5mm. Debido a que se necesitan dos lecturas (una para cada tubo) para conocer la diferencia de altura, el error estándar de un manómetro en U convencional puede asumirse de entre 1 y 2mm de columna de líquido. Cuando se requiere una precisión mayor se implementan dispositivos ópticos de lectura. Una de las principales ventajas de la utilización de manómetros en U, y en general de cualquier otro manómetro de columna de líquido, es que este instrumento puede usarse como elemento primario de medición. Esto significa que no se requieren otros dispositivos para su calibración. Dicha ventaja se extiende a la determinación de la velocidad del flujo, la cual se obtiene mediante las lecturas del manómetro aplicando la formulación correspondiente sin necesidad de calibrar el instrumento. La única corrección necesaria se debe a la influencia de la temperatura, cuya variación afecta los niveles del fluido debido a los efectos de dilatación y contracción térmica. La diferencia “real” de los niveles del líquido entonces estará dada por la relación entre la densidad ρlíq,0, registrada a la temperatura T0, y la densidad ρlíq,1, correspondiente a la temperatura T1: hreal = h1 ρlíq,1 ρlíq,0 , (3.9) donde h1 es la lectura obtenida a la temperatura T1. La expresión anterior puede escribirse en términos del coeficiente de expansión térmica β: hreal = h1 1 1+β(T1−T0) . (3.10) Para mediciones de mayor precisión, en ocasiones también es necesario incorporar los efectos de la temperatura sobre la escala o regla indicadora de nivel de líquido. En ese caso se considera el coeficiente de dilatación lineal α del material de la regla de medición y las lecturas se corrigen de acuerdo a la temperatura de referencia T0 a la cual el elemento fue grabado: h0 = hreal [1+α(T1−T0)] . (3.11) DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 110 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.17: Efecto sobre la medición de la presión en un manómetro en U por la presencia de líquido en el tubo de conexión. Otro aspecto a tener en cuenta es la correcta utilización de los conductos de conexión del manómetro para prevenir posibles pérdidas de líquido manométrico que posteriormente influirán en las lecturas. Esto sucede cuando la presión varía abruptamente y el líquido pasa del tubo al conducto de conexión quedando atrapado en forma de sifón, tal como se muestra en la Figura 3.17. La presencia de líquido en el tubo de conexión, la cual también puede darse por condensación, reduce la diferencia de presión medida por el manómetro. Manómetro de cuba La necesidad de realizar dos lecturas, una para cada tubo, para obtener la diferencia de presión en el manómetro en U constituye una de sus desventajas. Esto produce una disminución de la precisión del instrumento asociada al hecho de las múltiples lecturas y además supone un incremento de los tiempos de medición. El manómetro de cuba fue diseñado para evitar dicha desventaja. Este dispositivo es básicamente un manómetro en U con uno de sus tubos de sección transversal sustancialmente mayor que la sección transversal del otro (ver Figura 3.18). La toma de “alta” presión actúa sobre el tubo de mayor sección (la cuba) y bajo la acción de esta presión el líquido asciende por el tubo de menor diámetro. Si el incremento de altura en el tubo pequeño es h1 y la depresión del nivel en la cuba es h2 (hacia abajo), la altura de la columna de líquido que equilibra la diferencia de presión es h = h1 +h2. Naturalmente el volumen de líquido desplazado en la cuba, de sección transversal S2, es igual al volumen de líguido que asciende en por el tubo de sección S1, por lo tanto h2 = h1 S1 S2 . Entonces la presión diferencial resulta ∆p = h1ρlíqg ( 1+ S1 S2 ) , (3.12) La relación S1/S2 indica la variación de la altura en la cuba respecto a la del tubo. Para evitar la necesidad de realizar cálculos adicionales la sección transversal de la cuba se escoge tal que S1/S2 < 1/500, permitiendo de este modo despreciar los cambios en el nivel de la cuba, o en su defecto, realizar escalas especiales de medición que compensen esta diferencia. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.2 Indicadores de presión 111 Figura 3.18: Esquema de un manómetro de cuba. Micromanómetros de columna de líquido Los micromanómetros de columna de líquido son básicamente manómetros de columna de líquido más sensibles que permiten obtener diferencias de presión del orden de 1 a 500mm de columna de agua con errores en el rango de las décimas a las milésimas de milímetro. Estos instrumentos son necesarios cuando se requiere realizar mediciones de gran precisión o cuando las diferencias de presión son pequeñas, como sucede en la medición de flujo de muy baja velocidad. En ese sentido, por ejemplo para una corriente de aire de 10m/s la presión dinámica es de alrededor de 6mm de columna de agua, mientras que para 1m/s esta presión se reduce a 0,06mm. Para medir estas velocidades con una precisión del 1 %, el error del micromanómetro no deberá exceder los 0,12 y los 0,0012mm de columna de agua, respectivamente. La sensibilidad de los micromanómetros se alcanza mediante el incremento del desplazamiento del nivel del líquido por unidad de diferencia de presión, en relación a las paredes del tubo manométrico. Además también se utilizan dispositivos ópticos especiales para aumentar la precisión de las lecturas. El método más simple para incrementar la relación entre el desplazamiento del menisco del líquido manométrico y las paredes del tubo consiste en inclinar el tubo con respecto a la horizontal, tal como se muestra en la Figura 3.19. Este tipo de dispositivos se conocen como Micromanómetros de tubo inclinado y lectura directa, y en ellos la relación entre el desplazamiento del líquido dentro del tubo y la diferencia de presión estará dada no sólo por la densidad del líquido manométrico sino también por el ángulo de inclinación α: ∆p = `ρlíqg ( sinα+ S1 S2 ) , (3.13) siendo ` el desplazamiento del menisco medido paralelamente al tubo. Es así que la sensibilidad del micromanómetro puede incrementarse simplemente a través de la inclinación del tubo. Para evitar distorsiones producidas por la capilaridad, en los micromanómetros de tubo inclinado suelen emplearse tubos calibrados de 1,5 a 3mm de diámetro y los micromanómetros están equipados con niveladores que permiten asegurar la posición horizontal del instrumento, de modo de determinar correctamente el ángulo de inclinación del tubo con respecto a la horizontal. Por otro lado, estos micromanómetros requieren ser calibrados ya que la falta de rectitud de los tubos manométricos,o variaciones del diámetro interno de los mismos a lo largo de su longitud que generan cambios en la depresión del menisco por la capilaridad pueden causar errores significativos. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 112 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.19: Esquema de un micromanómetro de tubo inclinado. Debe tenerse en cuenta que por el efecto de la capilaridad, existe un ángulo de inclinación mínimo por debajo del cual ya no se consiguen mejoras en la precisión del instrumento. Este ángulo dependerá de las propiedades del líquido manométrico y del diámetro del tubo, pero en términos prácticos suele tomarse αmín ≈ 6 o. El error causado por la capilaridad puede reducirse significativamente cuando se emplean micromanómetros en los cuales el nivel del líquido manométrico se mantiene fijo en relación a las paredes del tubo. Este principio es utilizado por los micromanómetros de tubo inclinado de nivel constante. En estos instrumentos el tubo capilar inclinado se puede desplazar para alinear el menisco del líquido manométrico con una línea que indica el nivel nulo. La posición a la cual el menisco está alineado con esta línea se denomina la “posición cero” del instrumento. Cuando la presión diferencial cambia el tubo inclinado se mueve mediante un tornillo micrométrico hasta que el menisco quede nuevamente alineado con línea de nivel nulo. El desplazamiento se registra mediante una regla indicadora para determinar finalmente la altura de la columna de líquido (ver Figura 3.20-a). Un segundo tipo de micromanómetros de tubo inclinado de nivel constante difiere del anterior en la forma de desplazamiento. En este segundo caso el tubo manométrico está fijo y lo que se mueve es la cuba, la cual se desplaza con la ayuda de un mecanismo micrométrico hasta que el menisco quede alineado con la línea de referencia. De esta manera, el menisco puede observarse con un microscopio estacionario permitiendo una precisión en las lecturas del orden de 0,03 a 0,05mm de columna de líquido (ver Figura 3.20-b). Independientemente del tipo de micromanómetro utilizado, siempre deben tenerse en cuenta los errores asociados al tiempo de respuesta del instrumento para registrar correctamente los cambios en la diferencia de presión. En micromanómetros de cuba con tubos manométricos de diámetros menores a 0,5mm el tiempo de transmisión puede ser del orden de decenas de segundos o incluso de minutos. Este aspecto se hace más evidente para ángulos de inclinación pequeños del tubo, ya que de esa manera aumenta el volumen de líquido desplazado y por ende el tiempo de establecimiento de las lecturas. Esto implica que las mediciones en ocasiones requieren de largos períodos de tiempo, lo cual a su vez puede incrementar la influencia de la temperatura. Por otro lado, la presencia de fluctuaciones en el flujo, como sucede por ejemplo en el relevamiento de la capa límite, dificulta considerablemente la realización de las lecturas debido a la falta de estabilización del nivel del líquido. Otros micromanómetros de columna de líquido menos difundidos que los anteriores son el micromanómetro de tipo flotante o el micromanómetro de balanza, con el cual se logran mediciones de muy alta precisión (para más detalles ver por ejemplo Gorlin y Slezinger (1966)). Multimanómetros de columna de líquido En muchos estudios experimentales en aerodinámica, más que la presión (o diferencia de presión) en un punto lo que interesa conocer es la distibución de presión sobre una superficie determinada. Esto significa que deben relevarse múltiples valores de presión en diversos puntos DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.2 Indicadores de presión 113 Figura 3.20: Micromanómetros de tubo inclinado de nivel constante. (a) Tubo manométrico desplazable. (b) Tubo manométrico fijo. 1. Tubo inclinado; 2. tornillo micromé- trico; 3. escala para leer el número de vueltas del tornillo; 4. escala para leer el ángulo de rotación del tornillo; 5. cuba; 6. y 7. tubos flexibles de conexión; 8. dispositivo de visualización. Figura 3.21: Esquema de un multimanómetro de columna de líquico típico. para un mismo instante de tiempo. Naturalmente, esta tarea resultaría muy laboriosa si se utilizaran los manómetros “individuales” detallados en las secciones anteriores, por lo tanto se recurre a los llamados multimanómetros. Un multimanómetro es básicamente un manómetro de columna de líquido con varios tubos manométricos que se conectan a las diferentes tomas de presión para obtener las lecturas utilizando generalmente el mismo principio que el manómetro de cuba. En la Figura 3.21 se muestra un esquema de esta configuración, en la cual el multimanómetro permite conocer la diferencia de presión entre una presión p y diferentes presiones pi. La cuba y los tubos de los extremos se encuentran sometidos a la presión p, mientras que los tubos interiores se conectan a las diferentes tomas de donde se quieren establecer las diferencias de presión. En la Figura 3.22 se muestra un típico multimanómetro de cuba diseñado para medir presiones correspondientes a una altura de columna de líquido de 2 a 3m. Para evitar la curvatura de los tubos manométricos y garantizar una rectitud adecuada de los mismos, los tubos son colocados dentro de un alojamiento o ranura realizados en una cubierta de protección, la cual preferentemente se realiza de material transparente como el Plexiglás. De esta manera se facilitan las lecturas utilizando luz DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 114 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.22: Vista de un micromanómetro de columna de líquido convencional. posterior (retroiluminación). La parte inferior de los tubos del multimanómetro se conecta mediante conexiones de goma o plástico a un tubo colector que se extiende en todo el ancho del instrumento y que se encuentra conectado al centro de la cuba. La altura de la cuba se regula de modo de poder ajustar la posición del nivel de líquido en los tubos manométricos, el cual se busca posicionar en el nivel cero. Sin embargo, debido a los efectos de capilaridad y a variaciones en los diámetros internos de los tubos, por lo general existen diferencias en los niveles de cada tubo por lo que las lecturas deben hacerse considerando la posición inicial de cada uno de ellos. La parte superior de los tubos manométricos se conecta a las tomas de presión de donde quieren relevarse las diferencias de presión a través de tubos flexibles y conectores adecuados. Finalmente, para evitar la necesidad de incorporar el efecto de cambio de altura en la cuba, estos instrumentos suelen disponer de recipientes suficientemente grandes como para que la relación entre la sección total de los tubos manométricos y la sección de la cuba permita despreciar el cambio de nivel en esta última. Esto es especialmente importante en multimanómetros de gran cantidad de tubos (más de 20) que además tengan diámetros internos relativamente grandes (de 8 a 10mm). Con el objetivo de incrementar la precisión de las mediciones suelen utilizarse multimanómetros de tubo inclinado cuyo principio de funcionamiento es el mismo que el de los micromanómetros de columna de líquido. En general, estos multimanómetros admiten alturas de columna de líquido de hasta 600 a 700mm y su configuración es similar a la de los multimanómetros de tubo recto, incorporando un mecanismo que permite rotar todo el conjunto de tubos manométricos, el colector y el panel indicador. Amortiguamiento de pulsaciones en manómetros de columna de líquido Las presiones a medir en diferentes ensayos aerodinámicos en general no son estacionarias sino que tienen un carácter fluctuante alrededor de un valor medio. La amplitud y la frecuencia de estas fluctuaciones depende, además del problema en cuestión, del diseño y del tipo de instalación utilizada. Naturlamente, las oscilaciones de las columnas de líquido en los tubos manométricos causadas por las fluctuaciones del flujo reduce la precisión de las mediciones, por lo tanto a veces DR AF T (G us ta vo Kr au se,) 3.2 Indicadores de presión 115 es necesario introducir mecanismos de amortiguamiento que permitan disminuir estos efectos. Existen tres tipos de amortiguamiento presentes en manómetros de columna de líquido: vo- lumétrico, inercial y resistivo. El amortiguamiento volumétrico se da en manómetros cuando se reguieren grandes cambios de volumen para medir pequeños cambios de diferencia de presión, como por ejemplo en manómetros con tubos de diámetros grandes. El amortiguamiento inercial está asociado a la masa del líquido manométrico, cuya inercia se opone al movimiento previnien- do desplazamientos bruscos del fluido causados por pulsos repentinos de presión. Este tipo de amortiguamiento es más importante cuando se emplean líquidos manométricos “pesados”. El amortiguamiento resistivo se debe a mecanismos disipativos propios del sistema los cuales generan una “resistencia” al movimiento, limitando la velocidad del líquido manométrico o del gas dentro de la conexión que va desde la toma de presión hasta el manómetro (línea neumática). Este tipo de amortiguamiento es muy efectivo para reducir las fluctuaciones del nivel del líquido y además puede controlarse de manera sencilla a través de distintos métodos, buscando por lo general que el amortiguamiento sea lineal, es decir proporcional a la velocidad del líquido manométrico. El amortiguamiento viscoso se comporta linealmente y su efecto puede incrementarse sencillamente por la introducción de un tubo capilar en la línea neumática, teniendo en cuenta que longitudes excesivas de este tubo producirán un aumento considerable en el tiempo de respuesta del instrumento. Otra solución posible es colocar, también en la línea neumática, pequeñas almohadillas de algodón o goma espuma. Por otro lado, un amortiguamiento no lineal se produce por ejemplo cuando se realizan estrangulamientos en la sección de la línea neumática. 3.2.2 Transductores de presión De manera general, un transductor puede definirse como un dispositivo que al ser excitado por la energía proveniente de un sistema, suministra energía (en alguna forma) a otro sistema. En el caso particular de los transductores de presión, ellos son esencialmente elementos elásticos que convierten la energía del sistema de presión en estudio en un desplazamiento o esfuerzo mecánico que se transmite al sistema de medición. De acuerdo a la forma en que se procesa la medición los transductores de presión pueden ser mecánicos, cuando el sistema de medición consiste en un dispositivo mecánico que traduce deformaciones y desplazamientos a un valor de presión, o eléctricos, cuando el esfuerzo producido por la presión en el elemento elástico se transforma en señales eléctricas que son traducidas a valores de presión. Transductores de presión mecánicos Existen diferentes tipos de transductores de presión mecánicos, algunos de los cuales hemos presentado en los párrafos anteriores, ya que los manómetros de columna de líquido constituyen un tipo de transductor de presión mecánico (el desplazamiento del líquido manométrico es elemento que se desplaza frente a los cambios de presión). Otros transductores de presión mecánicos utilizan resortes, fuelles, diafragmas u otros elementos elásticos calibrados para transmitir el valor de presión a la escala indicadora. El transductor de presión basado en el tubo de Bourdon es probablemente uno de los más conocidos ya que es la base de muchos tipos de manómetros aneroides. En este dispositivo el elemento elástico es un tubo de pequeño volumen que se encuentra fijado en uno de sus extremos que está abierto para recibir la presión aplicada. El otro extremo es libre de moverse y está cerrado de modo de permitir el desplazamiento producido por la diferencia de presión que existe a entre el interior y el exterior del tubo. En la configuración más común, el tubo es de sección ovalada y se dispone en forma de un arco circular. Bajo la acción de la presión la sección del tubo tiende a hacerse circular y el tubo tiende a enderezarse incrementando el radio del arco de círculo, por lo que el extremo cerrado del tubo, que está libre, rota un determinado ángulo cuya magnitud depende de valor de la presión. El movimiento del extremo libre es transmitido mecánicamente a un dial indicador, tal como se muestra en la Figura 3.23. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 116 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.23: Esquema de funcionamiento de un manómetro basado en el tubo de Bourdon. La presión de referencia en la cámara que contiene el tubo de Bourdon es generalmente la presión atmosférica, por lo que la presión indicada es una presión manométrica. En el caso de que la cámara se encuentre sellada el manómetro podrá medir presión absoluta. Los manómetros basados en el tubo de Bourdon permiten medir grandes rangos de presión con una incertidumbre de calibración del orden del 0,1 % de la lectura. Por otro lado, en algunos casos el tubo de Bourdon es utilizado en conjunto a algún elemento piezoeléctrico que permite transmitir eléctricamente la magnitud de la deformación del tubo, lo cual evita la necesidad de generar grandes desplzamientos del extremo libre para indicar presiones elevadas. Otra alternativa utilizada como elemento elástico en los transductores de presión son cámaras o cápsulas flexibles similares a fuelles. cuya deformación se transmite mecánicamente a un dial indicador de manera similar al caso del tubo de Bourdon. En estos casos el fuelle se coloca dentro de una cámara que se encuentra sometida a la presión que se pretende medir y el extremo abierto del fuelle recibe la presión atmosférica. De esta forma, el el elemento se expandirá o contraerá dependiendo de la presión aplicada, transmitiendo su deformación a la escala indicadora. Un funcionamiento similar al de los fuelles se logra por medio de diafragmas, que son otro tipo de elementos elásticos utilizados en transductores de presión mecánicos. A diferencia de los anteriores, los diafragmas presentan una forma más achatada, parecidos a discos o platos, los cuales son dispuestos de a pares formando una cápsula elástica que se dispone instrumentos de alta precisión. Este tipo de configuraciones suelen utilizarse en los baroaltímetros empleados en los aviones. Transductores de presión eléctricos Los transductores de presión eléctricos han alcanzado gran popularidad en las últimas déca- das gracias al desarrollo de dispositivos cada vez más precisos y a la facilidad de instalación y transmisión de datos que significa el trabajo con señales eléctricas en lugar de líneas neumáticas. Además, estas señales eléctricas pueden ser amplificadas, filtradas y almacenadas. Los transductores de presión eléctricos pueden clasificarse como activos o pasivos. En el primer grupo el mismo transductor es quien genera su propia señal eléctrica en función del desplazamiento mecánico de su elemento elástico, mientras que en el segundo caso debe proveerse una señal eléctrica auxiliar la cual es modificada debido al cambio en la impedancia que sufre el elemento elástico al deformarse. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 117 En los transductores de presión eléctricos activos de uso común se utiliza un elemento pie- zoeléctrico para transmitir eléctricamente la señal de presión. En un material piezoeléctrico los cristales que conforman su estructura producen una diferencia de potencial eléctrico cuando son tensionados en la dirección adecuada. Algunos materiales de comportamiento piezoeléctrico son el cuarzo, el titanato de bario o el titanato de circonio. Teniendo en cuenta estas propiedades, los sensores de presión basados en este principio son diseñados de manera tal que el elemento activo tenga la geometría cristalina orientada para entregar la máxima respuesta piezoeléctrica en la dirección deseada con una pequeña o nula respuesta en otras direcciones. Los transductores de presión piezoléctricos suelen emplearse para medir la presión en problemas fluctuantes o de corta duración, como sucede en algunos ensayos,aerodinámicos de alta velocidad. Cabe destacar que además de sus ventajas, los sensores de presión piezoléctricos pueden resultar difíciles de calibrar. Entre los transductores de presión eléctricos pasivos sin dudas los más utilizados son los de resistividad o resistencia variable. Entre ellos podemos destacar los de tipo strain gauge, los cuales son elementos eléctricos que utilizan la propiedad de que la resistividad eléctrica de un cable varía con su longitud. Entonces la elongación de estos elementos producida por la acción de la presión provoca cambios eléctricos que pueden ser medidos y calibrados en unidades de presión. Los transductores de presión eléctricos pasivos de tipo potenciométricos operan bajo el principio de contactos movibles similares a los que utilizan los reóstatos o potenciómetros tradicionales. Por otro lado, existen transductores pasivos basados en el principio de capacitancia variable, en los cuales el elemento flexible suele ser un diafragma metálico cuyas caras funcionan como un capacitor eléctrico que al deformarse varía su capacitancia. Finalmente, otros dispositivos más complejos son los transductores de tipo transformador diferencial variable lineal (LVDT) o los de tipo de reluctancia variable. 3.3 Túneles de viento El estudio experimental de los efectos del viento relativo sobre cuerpos sólidos puede abordarse de dos formas diferentes: impartiendo una velocidad al cuerpo con respecto al aire en reposo o generando una corriente de aire sobre el cuerpo en reposo. En la primera metodología podríamos incluir a los experimentos (o ensayos) en vuelo, ensayos de caída libre, vuelos de modelos a escala, ensayos balísticos, etc. Aunque algunos de estos métodos son necesarios por ejemplo en las etapas finales de un desarrollo aeronáutico, ellos conllevan una serie de desventajas asociadas principalmente a la realización de mediciones y la repetibilidad de los ensayos. Dentro de la segunda categoría podemos incluir a los ensayos en túneles de viento los cuales permiten ajustar las condiciones del flujo de aire que se imparte al modelo en un ámbito más controlado y preparado para la experimentación científica. Por este motivo, la utilización de túneles de viento constituye la forma más rápida, segura y confiable oara ek estudio experimental de problemas de Aerodinámica. Si bien existen diversos tipos de túneles de viento que pueden ser clasificados de acuerdo a diferentes criterios y cuyas características están asociadas directamente a las particularidades de las aplicaciones para las que fueron construidos, la siguiente definición puede asumirse válida para la gran mayoría de estos dispositivos. Definición 3.1 — Túnel de viento. Se define como túnel de viento o túnel aerodinámico a un dispositivo que permite obtener una corriente de aire estacionaria, rectílinea y uniforme que circula a una velocidad determinada en uno de sus componentes. El elemento del túnel en el cual se obtiene la corriente de aire con las características mencionadas se denomina cámara de ensayo (o de trabajo) y es allí donde se coloca el modelo a ser evaluado. Justamente la velocidad del aire que es capaz de alcanzarse en la cámara de ensayo es uno de los criterios más utilizados para clasificar los distintos tipos de túneles de viento. Otros aspectos que suelen utilizarse para hacer esta clasificación consideran la forma de funcionamiento o el DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 118 Capítulo 3. Análisis experimental Clasificiación de túneles de viento Velocidad en la cámara de ensayo Subsónico { Baja velocidad (V . 100m/s) Alta velocidad (Mach. 0,8) Transónico (0,8.Mach. 0,8) Supersónico (1,4.Mach. 4) Hipersónico (Mach > 4) Forma de funcionamiento { Continua Intermitente Tipo de circuito { Circuito abierto Circuito cerrado Uso específico Uso no aeronáutico Densidad variable Visualización de flujo Bajo número de Reynolds Baja turbulencia Otros Figura 3.24: Clasificación general de túneles de viento. uso específico de los túneles. Un resumen de los diferentes tipos de túneles puede verse en la Figura 3.24. A pesar de que una gran parte de los aviones de la actualidad se desplazan a velocidades largamente superiores al límite de incompresibilidad, el estudio del flujo a bajos números de Mach es todavía de gran importancia no sólo en problemas de aerodinámica no aeronáutica, como ser la aerodinámica industrial, el diseño de vehículos terrestres o el análisis del efecto del viento en estructuras civiles, entre otros; sino que aún son necesarios en ciertas aplicaciones aeronáuticas como el estudio de maniobras de baja velocidad. Además, las correcciones por compresibilidad permiten extrapolar los resultados obtenidos en régimen de flujo incompresible a condiciones de flujo subsónico compresible. Por otro lado, desde el punto de vista didáctico, los túneles de viento de baja velocidad constituyen una herramienta muy importante para iniciar a las personas en la compleja disciplina de la experimentación aerodinámica. Este tipo de túneles son de una construcción relativamente simple y económica cuando presentan dimensiones pequeñas y la potencia necesaria para su funcionamiento también suele ser reducida, haciendo que su costo de operación pueda ser afrontado por instituciones educativas o desarrolladores más pequeños. De esta forma, a través del estudio de los túneles de viento de baja velocidad es posible asimilar los fundamentos más importantes del análisis aerodinámico experimental. Naturalmente, para el estudio de proyectos aeronáuticos de gran envergadura, será necesario contar con instalaciones capaces de garantizar la correcta verificaciónd de las condiciones de similitud entre el problema real y el experimento. Es así que las grandes empresas aeronáuticas y los centros de investigación de primer nivel requieren de laboratorios de aerodinámica de grandes proporciones cuyas potencias de funcionamiento pueden alcanzar cientos de megavatios. Sin embargo, a pesar de las “diferencias de escala”, las técnicas de medición de fuerzas, presiones y velocidades como así también lo referido a la preparación del modelo y las consideraciones del ensayo tienen muchos puntos en común con la experimentación en túneles de baja velocidad. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 119 Figura 3.25: Esquema de un túnel de viento subsónico de circuito abierto. 3.3.1 Túneles de viento subsónicos Los túneles de viento subsónicos de baja velocidad son aquéllos donde la velocidad en la cámara de ensayo no excede los 100m/s aproximadamente, por lo tanto el flujo se encuentra en régimen incompresible4. En este tipo de túneles, y también en los túneles de viento subsónicos en general, el movimiento del aire se logra mediante la acción de un ventilador que junto a una serie de componentes permiten obtener una corriente estacionaria, rectilínea y uniforme en la cámara de trabajo. Los túneles de viento subsónicos se clasifican de acuerdo a diferentes criterios. Entre ellos, el aspecto más importante es su esquema de funcionamiento pudiendo ser de circuito abierto o de circuito cerrado. En el primer caso no existe un conducto físico que garantice la recirculación de la masa de aire que pasa a través de la cámara de ensayo, sino que el retorno es abierto. Contrariamente, en el esquema de circuito cerrado se dispone un conducto por medio del cual el aire a la salida del túnel se direcciona hacia la entrada del mismo para producir un retorno cerrado. Más allá de estas diferencias, los túneles de viento subsónicos comparten la mayoría de los componentes, los cuales presentan geometrías similares en uno u otro caso y cumplen las mismas funciones. En la Figura 3.25 se muestra el esquema de un túnel de viento de circuito abierto y se indican sus componentes principales, los cuales se describen a continuación. Cámara de tranquilización La cámara de tranquilización o straightener de un túnel de,viento es una región en la cual se busca uniformizar el flujo que ingresa al túnel eliminando la turbulencia de gran escala que pudiera existir. Para este propósito se dispone una serie de grillas y paneles de pared delgada, mallas de finos alambres y otros tipos de elementos que tienden a encauzar el flujo en dirección paralela al eje del túnel. Existen múltiples configuraciones de cámaras de tranquilización. En algunos casos se prefiere colocar combinaciones de paneles de pared delgada con mallas de alambre, en otros se emplean solamente mallas de alambres finos combinadas con mallas más gruesas, etc. Más allá de la configu- ración particular, es importante que esta región del túnel de viento no produzca una excesiva pérdida de carga, ya que una cámara de tranqulización “demasiado frondosa” repercutirá negativamente en la eficiencia de la instalación. En la Figura 3.26 se muestran algunos ejemplos de cámaras de tranquilización utilizadas habitualmente. Convergente El convergente, también llamado colector, es probablemente el componente más crítico de un túnel de viento subsónico. Su función es la de acelerar el flujo de aire que proviene de la cámara de tranquilización y conducirlo a la cámara de ensayo a la velocidad requerida. Esta aceleración se 4Considerando que la velocidad del sonido para condiciones “normales” es del orden de los 340m/s, por lo tanto Mact . 0,3. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 120 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.26: Vista de una cámara de tranquilización (izquierda). Combinación de mallas de distinto tamaño y paneles de pared delgada (derecha). logra mediante la disminución del área del convergente en la dirección del flujo, lo cual de acuerdo al principio de conservación de la masa (ver Sección 1.2.2) produce el aumento de la velocidad aún cuando exista algún grado de compresibilidad (siempre que el flujo sea subsónico). La geometría del convergente se define considerando la magnitud de la velocidad a la salida y a la entrada del mismo, el nivel de turbulencia de la corriente y las pérdidas de energía del flujo ocasionadas por la fricción viscosa. El parámetro más importante del convergente es su relación de contracción, el cual indica la relación entre el área de entrada y el área de salida del elemento: ηconv = Ain Aout . (3.14) Naturalmente, la aceleración total del flujo a través del convergente será una función directa de la relación de contracción ηconv, por lo que la reducción del área estará dada por la diferencia entre la velocidad requerida en la cámara de ensayo y la velocidad a la salida de la cámara de tranquilización, la cual suele estar en el orden de los 10 a 25m/s para evitar pérdidas excesivas de energía. La variación de la velocidad dentro del convergente es un aspecto que debe ser cuidadosa- mente estudiado. Contracciones demasiado bruscas que produzcan fuertes aceleraciones no son aconsejables ya que generan grandes pérdidas de carga y flujo poco uniforme. Contracciones demasiado suaves aumentan considerablemente las dimensiones del convergente y favorecen un desarrollo mayor de la capa límite y eventualmente su transición turbulenta. De este modo, la experiencia ha mostrado que una solución de compromiso entre ambas situaciones se alcanza utilizando convergentes con una relación de contracción de 1,5 a 2,5 entre el diámetro de entrada y el diámetro de salida del convergente. Por otro lado se recomienda colocar una región de sección constante entre la cámara de ensayo y la salida del convergente de entre 0,1 y 0,2 veces el diámetro de salida del mismo para ayudar a la uniformización del flujo. En cuanto al perfil de variación del diámetro, existen diferentes curvas que fueron determinadas con el objetivo de reducir las áreas de flujo separado. Teniendo en cuenta que la transición entre la cámara de tranquilización y el convergente y entre este elemento y la cámara de ensayo debe ser suave, es de práctica común utilizar la siguiente expresión para la variación del radio del convergente entre su valor máximo (de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 121 entrada) Rin y su radio mínimo (de salida) Rout: R(x) = Rin 1− [ 1− ( Rin Rout )2] [1−3( x`c)2]2[ 1+3 ( x `c )2]3 −1/2 . (3.15) donde `c es la longitud del convergente, la cual suele fijarse entre dos y cuatro veces el radio de entrada. Cámara de trabajo La cámara de trabajo o cámara de ensayo es el elemento central de un túnel de viento el cual se encuentra a continuación del convergente. En esta sección es donde efectivamente se llevan a cabo los ensayos aerodinámicos por lo tanto la calidad de los experimentos estará relacionada directamente con las características del flujo dentro de la misma. Como hemos visto previamente, en los ensayos aerodinámicos convencionales se requiere que el flujo dentro de la cámara de ensayo sea rectílineo, estacionario y uniforme de modo de poder recrear las condiciones reales mediante la modelización experimental. Las dimensiones de la cámara de ensayo y la velocidad del flujo dentro de la misma son los parámetros que definen un túnel de viento, ya que estas características indican la capacidad del túnel para alcanzar determinadas condiciones de similitud. En ese sentido, las dimensiones geométricas de la cámara, fundamentalmente su sección transversal, definen la escala de longitud disponible para un determinado modelo, mientras que la velocidad del flujo determina el número de Reynolds y el número de Mach factibles de ser alcanzados. La cámara de trabajo en un túnel de viento subsónico puede tener una sección de unos pocos centímetros cuadrados a varios cientos de metros cuadrados con números de Reynolds que pueden llegar a ser del orden de 107. Por otro lado, las cámaras de ensayo presentan diferentes configuraciones pudiendo ser de tipo cerrada, abierta o de paredes ranuradas. En el primer caso, la cámara de ensayo se encuentra delimitada por contornos sólidos que naturalmente impiden el flujo desde o hacia su interior en dirección lateral. En este tipo de cámaras debe tenerse en cuenta el crecimiento de la capa límite en dirección del flujo, ya que esto reduce progresivamente el área de ensayo disponible5. También debe considerarse la posible distorsión de las líneas de corriente generadas por la presencia de las paredes sólidas y el grado de bloqueo del ensayo, el cual cuantifica la reducción de la sección transversal de la cámara de ensayo. Esta reducción produce la aceleración del flujo de acuerdo a la ley de conservación de la masa y consecuentemente una caída de presión que puede ser más o menos importante dependiendo del nivel de bloqueo que produce el modelo. Por el contrario, una cámara de ensayo abierta no se encuentra físicamente delimitada y entonces la capa límite no se desarrolla en ella ni existe una reducción sustancial del área de pasaje del flujo. Sin embargo, existen otros inconvenientes asociados con distorsiones en el flujo que se ocasionan por la “descarga” del convergente a una región abierta alterando la estacionariedad y la rectitud de las líneas de corriente. Por estos motivos, en general las cámaras de trabajo cerradas producen un flujo de mejor calidad que las abiertas. Por último, en las cámaras de ensayo de paredes ranuradas se busca principalmente minimizar los efectos del bloqueo y en alguna medida el crecimiento de la capa límite que están presentes en las cámaras cerradas sin que se generen las distorsiones del flujo de las cámaras abiertas. Para ello se disponen ranuras en dirección de la corriente sobre las paredes para permitir un cierto grado de flujo lateral y “absorber” la capa límite. Además de estos casos, existen cámaras de ensayo mixtas que permiten remover las paredes de una cámara de ensayo cerrada para transformarla en abierta y viceversa (cámaras de ensayo convertibles). 5La región disponible para el ensayo es aquella donde no se registran gradientes de velocidad, por lo tanto debe excluirse la capa límite. DR AF T (G us ta,vo Kr au se ) 122 Capítulo 3. Análisis experimental Difusor El difusor es el componente del túnel de viento que se encuentra a continuación de la cámara de ensayo. Su función principal es la de reducir la velocidad del flujo convirtiendo la energía cinética de la corriente en energía de presión. Para ello, el difusor tiene una geometría en la que su sección transversal se incrementa gradualmente en dirección del flujo, de modo que la velocidad decrece de acuerdo a la ley conservación de la masa. Con esta reducción de velocidad se logran disminuir las pérdidas por fricción del túnel de viento, algo especialmente importante en túneles de circuito cerrado. El parámetro característico de un difusor es su relación de expansión, que se define de manera similar a la relación de contracción del convergente: ηdif = Ain Aout . (3.16) Naturalmente, en este caso será ηdif < 1 ya que en un difusor el área de entrada es siempre menor que el área de salida. El rendimiento de un difusor dependerá directamente de la relación de expansión y de la geometría del elemento. En general existe una variación lineal del diámetro del difusor la cual está definida por el ángulo de divergencia que es el parámetro geométrico más importante. En ese sentido, una divergencia pequeña requiere una mayor longitud del difusor para alcanzar una relación de expansión dada, por lo que las pérdidas por fricción se incrementarán y las pérdidas por expansión disminuirán. Por otro lado, una divergencia grande implica una longitud menor con menores pérdidas por fricción, pero las pérdidas por expansión se incrementarán. De acuerdo a la experiencia, se establece que un ángulo de divergencia de entre 6o y 7o produce una relación óptima entre las pérdidas por fricción y por expansión, minimizando las pérdidas totales del difusor. Grupo propulsor El movimiento del aire a través de la cámara de ensayo en túneles de viento subsónicos convencionales se produce por la acción de uno o más ventiladores, los cuales están provistos por hélices de una o dos etapas propulsadas generlamente por motores eléctricos. De esta manera, la velocidad del flujo se controla a través de la velocidad de rotación de las hélices y la potencia eléctrica requerida por la instalación dependerá fundamentalmente de la velocidad del aire en la cámara y de la sección transversal de la misma, tal como veremos más adelante. Desde el punto de vista del sistema propulsivo, los túneles de viento subsónico pueden clasifi- carse por la cantidad de hélices (o ventiladores) que posee la instalación y por la ubicación de las mismas en relación a la cámara de ensayo. Así, cuando el o los ventiladores se ubiquen corriente arriba del convergente y de la cámara de tranquilización, el grupo propulsor estará “empujando” el aire hacia la cámara de ensayo y se dice que el sistema es del tipo impulsor. Por el contrario, cuando la o las hélices se encuentren ubicadas a continuación del difusor, aguas abajo de la cámara de ensayo, el efecto del sistema propulsivo es de “aspirar” el aire desde la cámara de trabajo y se dice que la configuración es de tipo aspirante (como el esquema mostrado en la Figura 3.25). La principal limitación de un túnel de viento impulsado por medio de hélices se da por la velocidad de rotación de las mismas ya que deben considerarse los efectos de compresibilidad. En ese sentido, la condición crítica se produce sobre las punteras de las hélices donde se registra la velocidad máxima, la cual debe limitarse de modo de no producir flujo supersónico en algún punto del perfil que compone la hélice. Esta limitación exige que la velocidad de la puntera sea tal que Vtip . 200m/s, lo cual supone una restricción ya sea para la velocidad de rotación de la hélice o para el diámetro de la misma (Vtip = ωRhélice). A diferencia de los túneles de viento subsónicos, los túneles de viento transónicos y supersónicos utilizan compresores generalmente axiales de varias etapas para comprimir el aire en un recinto que descarga el fluido a través del túnel de viento, alcanzando así las condiciones de flujo requeridas en DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 123 Figura 3.27: Esquema de un túnel de viento de circuito abierto en una configuración tipo impulsor sin difusor. la cámara de trabajo. En estos casos el funcionamiento puede ser intermitente o discontinuo, es decir que el ensayo se realiza mientras dura la descarga, o puede ser continuo cuando se dispone de compresores con la capacidad suficiente. En algunas configuraciones de túneles de viento supersónicos se utilizan cámaras de vacío que se conectan a la salida del difusor. En estos casos el flujo se genera por el ingreso del aire a una cámara a la cual se le ha practicado el vacío previamente, lo cual permite evitar la necesidad de trabajar con recipientes sometidos a altísimas presiones con el riesgo que ello conlleva. 3.3.2 Túnel de viento de circuito abierto Como su nombre lo indica, los túneles de viento de circuito abierto se caracterizan porque el movimiento del aire a través de los mismos se produce principalmente en una sola dirección y no existe un conducto físico para la recirculación del flujo desde la salida hasta la entrada del túnel. Este tipo de túneles de viento se conocen también como túneles de viento de Eiffel o de retorno abierto. En la Figura 3.25 se muestra un esquema de este tipo de instalaciones. Como toda solución de ingeniería, los túneles de viento de circuito abierto cuentan con una serie de ventajas y desventajas que deben ser evaluadas a la hora de llevar a cabo un proyecto determinado. Probablemente su principal ventaja sea su construcción relativamente simple y económica frente a la alternativa de circuito cerrado. En ese sentido, este tipo de túneles utilizan únicamente los componentes que detallamos anteriormente, es decir la cámara de tranquilización, el convergente, la cámara de esayo, el difusor y el grupo propulsor, lo cual simplifica su construcción ya que no se necesitan elementos adicionales que además puedan requerir cuidadosos análisis aerodinámicos. Por otro lado, en configuraciones de tipo impulsor, es posible prescindir del difusor al disponer la descarga de la cámara de ensayo directamente a la atmósfera, reduciendo así el tamaño total de la instalación y su costo de construcción. Una configuración de este tipo se muestra en la Figura 3.27. Como contrapartida a las ventajas constructivas de los túneles de viento de circuito abierto, se presentan una serie de desventajas asociadas fundamentalmente a la calidad del flujo en la cámara de ensayo, la cual en general es menor que en los túneles de circuito cerrado. Esto se debe a que el funcionamiento del túnel produce circulación secundaria en los laterales del mismo, generando distorsiones excesivas del flujo a la entrada del convergente cuando el túnel se encuentra instalado en un recinto cerrado. Por otro lado, si el túnel se opera a la intemperie, las condiciones climáticas (presencia de viento) pueden afectar considerablemente la calidad del flujo, especialmente en configuraciones de cámara de trabajo abierta, lo cual imposibilita la realización de ensayos aerodinámicos cuando las condiciones climáticas son adversas. Esto hace que se prefieran las instalaciones en el interior, aunque de esta manera las dimensiones máximas del túnel resultarán limitadas por el tamaño del recinto disponible para su emplazamiento. En cuanto a las características DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 124 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.28: Esquema de un túnel de viento de circuito cerrado de retorno simple. constructivas, si bien estos túneles son más fáciles de construir, ellos requieren mayor espacio físico para su instalación y además consumen mayor potencia eléctrica que los túneles de circuito cerrado bajo las mismas condicionies de flujo, ya que en un circuito abierto no es posible “recuperar” la energía cinética del aire que abandona el difusor. Además, los túneles de viento de circuito abierto,generan mucho más ruido haciendo que la contaminación sonora sea un factor a tener en cuenta cuando se evalúa el lugar de instalación. Por otro lado, como ventajas adicionales a la economía y sencillez constructiva, los túneles de viento de circuito abierto en general no necesitan sistemas de enfriamiento o de control de la capa límite, a la vez que permiten la incorporación de contaminantes al flujo de aire, tales como humo o algún colorante, para realizar por ejemplo ensayos de visualización de flujo. 3.3.3 Túneles de viento de circuito cerrado Alternativamente al esquema de funcionamiento de circuito abierto, los túneles de viento pueden ser de circuito cerrado o retorno cerrado. Como su nombre lo indica y hemos mencionado previamente, la configuración de circuito cerrado implica la existencia de un conducto físico que direcciona el flujo desde la salida del difusor hacia la entrada del convergente de modo que el aire se mueve en un circuito cerrado constituido por el túnel mismo y el conducto de retorno. En la Figura 3.28 se muestra el esquema de un túnel de viento de circuito cerrado con retorno simple (un solo conducto de retorno). Naturalmente, los túneles de viento de circuito cerrado son más difíciles de construir y requieren una mayor inversión económica. Esto se debe no sólo a la necesidad de colocar el conducto de retorno, sino fundamentalmente a la presencia de los codos dispuestos para producir la desviación del flujo nuevamente hacia la sección de entrada. Esto requiere un estudio adicional para evaluar el efecto de los cambios de dirección de la corriente en la calidad del flujo en la cámara de ensayo. Aunque codos más “redondeados” sin dudas tendrán un mejor desempeño desde el punto de vista aerodinámico, ellos resultan extremadamente difíciles de construir en túneles de viento de grandes dimensiones y además repercuten en el tamaño total de la instalación. Por estos motivos, muchas veces es preferible utilizar codos a 90o, como en el caso de la Figura 3.28, a los cuales se les coloca una serie de álabes que direccionan la corriente y evitan la formación de componentes de velocidad no deseadas (por ejemplo flujo helicoidal), actuando como una serie de múltiples codos más pequeños y más redondeados. La uniformización del flujo se logra por medio de un diseño correcto de la cámara de tranquilización evitando producir excesivas pérdidas de carga en el flujo de aire. De este modo es posible obtener muy buena calidad del flujo en la cámara de ensayo, en DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 125 general superior a la que se obtiene en un túnel de circuito abierto ya que no existen componentes externas de velocidad que alteren la corriente. Por otro lado, ya que la energía cinética del flujo se recupera casi totalmente más allá de las pérdidas por fricción, los túneles de viento de circuito cerrado requieren menor potencia eléctrica para funcionar bajo las mismas condiciones de flujo que un túnel de circuito abierto, pudiendo además operar a la intemperie sin complicaciones derivadas de la situación climática y producen mucho menor impacto ambiental en cuanto a contaminación sonora. Como contraparte a la mejor calidad de flujo y la menor potencia consumida traducida en un menor costo de operación, los túneles de viento de circuito cerrado son más costosos de construir y en general no permiten la incorporación de contaminantes durante la experimentación a no ser que posean sistemas de purgado que permitan extraer el contaminante del circuito. Por otro lado, el desarrollo de la capa límite es un tema muy importante que debe estudiarse cuidadosamente, especialmente para evitar el desprendimiento de la misma en la región de los codos, lo cual generaría un excesivo nivel de turbulencia. Además, cuando se realizan ensayos de larga duración o cuando las velocidades del flujo son relativamente altas, debe considerarse el calentamiento producido por la fricción del fluido sobre las paredes del túnel. Por este motivo, los túneles de viento de circuito cerrado suelen disponer de un sistema de enfriamiento el cual consiste en intercambiadores de aire que reemplazan la capa límite “caliente” por aire fresco exterior. Estos intercambiadores se encuetran en las paredes del túnel y la experiencia establece que con aproximadamente un 10 % de intercambio del volumen total de aire se garantiza la estabilidad de la temperatura. Otros sistemas de enfriamiento consisten en enfriar directamente las paredes del túnel por medio de circulación de agua en el interior de las mismas, o mediante la disposición de tubos refrigerados (radiadores) que se colocan en el conducto de retorno y que enfrían el aire circulante. 3.3.4 Ensayos aerodinámicos en túneles de viento La experimentación aerodinámica es una tarea compleja en la cual entran en juego múltiples factores que deben ser correctamente evaluados de modo que los resultados obtenidos en el laboratorio puedan ser correctamente extrapolados al problema real. Estos factores pueden dividirse en dos grandes grupos: Cumplimiento de las condiciones de similitud Efectos de las condiciones experimentales El primer grupo hace referencia a la capacidad disponible en la instalación y al correcto diseño del experimento, mientras que la segunda categoría se refiere a la calidad del túnel de viento y de los demás elementos utilizados para realizar los ensayos. Además puede identificarse una tercera instancia relacionada a las tareas de adquisición de datos y procesamiento de resultados, las cuales dependerá de la disponibilidad del instrumental adecuado para efectuar las mediciones y de su correcta utilización. Condiciones de similitud Como hemos visto en el Capítulo 2, el cumplimiento de las condiciones de similitud de un pro- ceso físico nos permite extrapolar los resultados obtenidos mediante la modelización experimental a un problema real. De esta manera, la validez de un ensayo aerodinámico realizado en un túnel de viento estará sujeta al diseño correcto del experimento de modo de satisfacer las condiciones de similitud geométrica, cinemática y dinámica. Las condiciones de similitud geométrica y cinemática tienen que ver fundamentalmente con la construcción e instalación del modelo, el cual debe ser geométricamente similar y estar correcta- mente orientado en relación al flujo, mientras que las características del túnel de viento influyen únicamente en la escala disponible para construir dicho modelo que obviamente depende del tamaño de la cámara de ensayo. Por otro lado, en la similitud dinámica entra en juego la capacidad de la instalación ya que en ensayos aerodinámicos convencionales el número de Reynolds y el número DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 126 Capítulo 3. Análisis experimental de Mach son los parámetros de similitud más importantes. Un túnel de viento determinado estará caracterizado por el máximo número de Reynolds y el máximo número de Mach que es capaz de alcanzarse en un ensayo aerodinámico, siendo la velocidad del flujo máxima en la cámara de ensayo su característica más importante. Además, dependiendo del tipo de problema en particular pueden requerirse condiciones de similitud adicionales, como ser similitud másica cuando se ensaya por ejemplo la capacidad de rolido de una aeronave, similitud de rigideces estructurales en análisis aeroelástico, etc. Sin embargo, estos tipos de similitudes ya no tienen que ver con la capacidad del túnel de viento sino con requerimientos constructivos de los modelos. Como hemos visto en el Capítulo 2, muchas veces no es posible satisfacer totalmente la similitud dinámica del flujo, es decir que la igualdad de los números de Reynolds y de Mach entre el experimento y la condición real no siempre puede ser garantizada. Esto se debe a que siempre que se analicen modelos a escala reducida en túneles de viento convencionales, la reducción de las dimensiones características del problema implica que la velocidad del flujo debe incrementarse para satisfacer la igualdad del número de,Reynolds (recordemos que Re= ρ∞V∞`/µ∞), pero este aumento de la velocidad se traduce en un aumento del número de Mach del experimento con respecto a la condición real, ya que en general la velocidad del sonido tanto en el experimento como en la situación real serán muy similares. Para entender esta situación veamos lo siguiente: Si Rereal = Reexp→Vexp =Vreal `real `exp , por lo tanto Maexp =Mareal `real `exp . A pesar de esta limitación, es posible obtener flujos dinámicamente similares considerando únicamente un parámetro de similitud de acuerdo a los diferentes regímenes de flujo: Flujo incompresible: para Ma . 0,3 se asume que el flujo de aire es incompresible y el número de Reynolds es el único parámetro de similitud relevante siempre que la condición anterior se verifique tanto en el problema real como en el experimento. Flujo de elevado número de Reynolds: la experiencia ha demostrado que por arriba de cierto valor, el número de Reynolds no afecta las características aerodinámicas de los modelos. Por ejemplo, para perfiles aerodinámicos el requisito es que Re& 106 basado en la cuerda. Otra estrategia consiste en “aumentar artificialmente” el número de Reynolds incrementando el nivel de turbulencia por medio de generadores de turbulencia, como ser superficies rugosas en los extremos de los modelos. Condiciones experimentales Mientras que las condiciones de similitud determinan la validez de un experimento, las condi- ciones experimentales definen la calidad del mismo, ya que de ellas dependede la precisión de los resultados obtenidos. Este aspecto puede dividirse en las siguientes categorías: Calidad y estabilidad del flujo en la cámara de ensayo: esta característica es probable- mente la más importante del túnel en lo que a condiciones experimentales se refiere. Ella expresa justamente la calidad de la instalación para producir en la cámara de ensayo un flujo con los requisitos de uniformidad, rectitud y estacionariedad exigidos. Para garantizar estas cualidades se fijan valores máximos admisibles para las desviaciones de la velocidad del flujo en la cámara de ensayo vacía. Algunos de estos límites son: • Variación admisible en la magnitud de la velocidad: menor o igual a 0,75 %. • Variación admisible en la dirección de la velocidad: menor o igual a 0,25o Además se exige la ausencia de fluctuaciones ya que las mismas dificultan las mediciones y pueden causar daño estructural en el túnel. Interferencias: el efecto de las interferencias se refiere a los cambios producidos en las condiciones del flujo por la presencia de otros cuerpos en el campo de movimiento. Estos cuerpos pueden ser elementos de medición (sondas de presión), soportes del modelo o las mismas paredes sólidas de la cámara de ensayo cuando se utilizan cámaras cerradas. En este DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 127 Figura 3.29: Distorsión de las líneas de corriente debido a las paredes de la cámara. La presencia de la pared sólida no permite la “curvatura natural” de las líneas de corriente. último caso, las paredes de la cámara pueden distorsionar las líneas de corriente cuando se utilizan modelos de dimensiones excesivas, tal como se muestra en la Figura 3.29, donde el perfil aerodinámico resulta demasiado grande para las dimensiones de la cámara, por lo que las paredes sólidas no permitirán la “curvatura natural” de las líneas de corriente. Por el contrario, las líneas de corriente serán rectas y el flujo se acelerará artificialmente debido a la reducción de la sección transversal disponible para el pasaje del aire. Consecuentemente, la presión estática (o mejor dicho el coeficiente de presión) disminuirá más por la presencia de las paredes y el experimento ya no estará representando la condición real. Esta condición se conoce como bloqueo de la cámara de ensayo, y para garantizar que no se introduzcan errores significativos, en ensayos de baja velocidad se establece un grado de bloqueo máximo del 5 %, siendo el grado de bloqueo la relación entre la superficie del cuerpo que enfrenta el flujo y la sección de la cámara de ensayo. En ensayos de mayor velocidad la restricción aumenta y el grado de bloqueo no debe exceder el 2∼ 3 %. Consideraciones adicionales: en esta categoría se agrupan las características particulares que pueda tener un ensayo aerodinámico, tales como requerir posibles correcciones inhe- rentes al método utilizado. Entre estas correcciones podemos mencionar las correcciones de los resultados debidas a efectos de compresibilidad o correcciones debidas a niveles de turbulencia excesivos en la cámara de ensayo, siendo que un exceso de turbulencia equivale a un aumento del número de Reynolds, lo cual puede repercutir en las condiciones de similitud del experimento. Instrumental Se define como instrumental al conjunto de elementos necesarios para realizar un ensayo experimental sin incluir al modelo mismo y al túnel de viento. El instrumental comprende tanto los elementos de medición de los diferentes parámetros del flujo y de las acciones aerodinámicas que se producen sobre el modelo, como así también los equipos e instrumentos necesarios para la operación del túnel de viento. En el grupo de los elementos de medición incluimos a las sondas de presión, los manómetros, barómetros, termómetros, balanzas, etc. Como todo instrumento de medición, estos elementos deben contar con los requisitos básicos de estabilidad de medición con errores sistemáticos constantes y conocidos, errores aleatorios pequeños y repetibilidad de las mediciones. Además, al tratarse de elementos de medición utilizados en ensayos de flujo de aire, ellos deben satisfacer la característica adicional de producir una mínima perturbación del flujo cuando son introducidos en la cámara de ensayo para realizar las mediciones. En la Sección 3.1.1 hicimos una descripción más o menos detallada de las sondas de presión, que son los elementos más importantes para conocer las condiciones del flujo. Por otro lado, teniendo en DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 128 Capítulo 3. Análisis experimental Figura 3.30: Esquema de una balanza externa mecánica. cuenta que en general es sumamente complicado obtener presión sobre la superficie del modelo en una cantidad de puntos suficientemente grande que permita calcular las acciones aerodinámicas por medio de la integración de la distribución de presión, las acciones aerodinámicas suelen medirse de manera directa mediante el uso de balanzas, las cuales permiten obtener directamente las fuerzas y momentos aerodinámicos en diferentes direcciones. Una balanza de túnel de viento se caracteriza por la cantidad de componentes de fuerzas y momentos que es capaz de medir, es decir que su capacidad va de una componente para una balanza que sólo mide la fuerza en una dirección, a seis componentes para las balanzas capaces de medir las tres componentes de fuerza y las tres componentes de momento. Las balanzas suelen clasificarse además de acuerdo a su forma de operación: Las balanzas externas son aquellas que se ubican fuera de la cámara de ensayo. Estas balanzas suelen ser de tipo mecánico por lo que utilizan resortes y dinamómetros para determinar las acciones aerodinámicas. Las balanzas internas son aquellas que se ubican en el interior de la cámara de ensayo, dentro del modelo o adheridas al soporte. Las balanzas internas suelen utilizar principios eléctricos y electrónicos que permiten transformar la deformación de algún material piezoeléctrico en una señal eléctrica que se traduce a valores de fuerzas y momentos. En la Figura 3.30 se muestra esquemáticamente una balanza mecánica de seis componentes. Como vemos, la misma está compuesta por una base a la cual se fija el soporte del modelo y que se ubica fuera de la cámara de ensayo soportada sobre seis dinámometros, cuyas mediciones permiten obtener las seis acciones aerodinámicas de la siguiente manera: L = FA +FB +FC (sustentación), M = FC b (momento de cabeceo), D = FE +FD (resistencia), N = (FD−FE) c 2 (Momento de guiñada),,N = FF (fuerza lateral), L = (FA−FB) a 2 (Momento de rolido), donde FA, FB, FC, FD, FE y FF son las fuerzas medidas por los dinamómetros y a, b y c son las distancias entre estos elementos según se indica en la Figura 3.30. En la Figura 3.31 se muestra el esquema de una balanza interna de tres componentes. En este caso el modelo se fija a un soporte especial que tiene incorporada una serie de celdas de carga tipo strain-gauge las cuales transmiten eléctricamente la deformación del soporte a un transductor que DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 129 Figura 3.31: Esquema de una balanza externa mecánica. entrega una lectura en unidades de fuerzas y momentos. De esta manera, la lectura de las acciones aerodinámicas se hace directamente del sistema de adquisición de datos. 3.3.5 Consideraciones para el diseño de túneles de viento En el diseño de túneles de viento en general intervienen numerosos factores que deben ser tenidos en cuenta. Estos factores comprenden aspectos técnicos y económicos, los cuales deben ser evaluados tanto desde el punto de vista de la construcción como de la operación posterior del túnel. En la etapa de diseño de un túnel de viento se busca que las decisiones finales tengan en cuenta tanto los aspectos técnicos requeridos por el proyecto como el costo económico. El primer paso en el diseño de túneles de viento siempre consiste en establecer el tamaño de la cámara de ensayo y las condiciones del flujo dentro de la misma. Específicamente esto significa definir el área frontal de la cámara de ensayo y la velocidad máxima del flujo (o el número de Reynolds) disponible. Está claro que en general es posible definir “de antemano” estos dos parámetros ya que ellos determinarán la capacidad del túnel de viento, la cual se conoce a partir de las especificaciones del proyecto aeronáutico en cuestión. En otras palabras, los requisitos de un proyecto aeronáutico en general especificarán o permitirán establecer a partir de ellos el tamaño de la cámara de ensayo y la velocidad del flujo en la misma, pudiendo así comenzarse con el diseño del túnel de viento. Estos dos parámetros determinarán en gran medida las características de la instalación: El tamaño de la cámara de ensayo, específicamente su área frontal, prácticamente define el tamaño total de la instalación ya que las dimensiones de los demás componentes del túnel de viento (convergente, difusor, etc.) dependen directamente de la sección frontal de la cámara de ensayo. La velocidad del flujo en la cámara de ensayo es el factor principal que define los requisitos de potencia del grupo propulsor del túnel de viento. Naturalmente existen otros factores que influirán en el criterio de diseño del túnel. Entre ellos podemos destacar el presupuesto disponible para llevar a cabo el proyecto, la disponibilidad de espacio físico para emplazar la instalación, el tiempo de ejecución admisible y el acceso a materiales, tecnologías y conocimientos. DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 130 Capítulo 3. Análisis experimental Requisitos de potencia En túneles de viento subsónicos, la potencia disponible del flujo en la cámara de ensayo se define como la medida de la energía cinética de la corriente en la unidad de tiempo, es decir: Pct = 1 2 ṁV 2ct, (3.17) siendo ṁ el caudal másico de aire y Vct la velocidad del flujo en la cámara de trabajo que natural- mente se asume constante de acuerdo a los requisitos de uniformidad y estacionariedad del flujo. Teniendo en cuenta que ṁ = ρVctAct, siendo Act el área frontal de la cámara, la expresión anterior resulta: Pct = 1 2 ρV 3ctAct. (3.18) Esto indica que la potencia disponible en la cámara de ensayo es proporcional al cubo de la velocidad y al área frontal de la cámara. Se define como relación de energía λ de un túnel de viento a la relación entre la potencia disponible en la cámara de ensayo y la potencia instalada PN λ = Pct PN . (3.19) Este parámetro fue definido por Joukowski y el mismo indica la eficiencia de un túnel de viento para producir una determinada potencia del flujo disponible en la cámara de ensayo. Cuando menor es la relación de energía, menor es la eficiencia del túnel de viento. Se puede demostrar que λ = ηh/kt, siendo ηh la eficiencia de la hélice del grupo propulsor y kt el coeficiente de pérdida de carga del túnel. Naturalmente, a mayor eficiencia de la hélice y menor pérdida de carga, mayor será la relación de energía el túnel de viento. Teniendo en cuenta la definición de la relación de energía, la potencia requerida por un túnel de viento para una determinada potencia del flujo en la cámara de ensayo es PN = Pct λ = 1 2λ ρV 3ctAct. (3.20) Teniendo en cuenta que la relación de energía λ en principio no depende de la velocidad, resulta que la potencia necesaria es proporcional al cubo de la velocidad en la cámara de ensayo y al área transversal de la misma. Esto supone una restricción importante en la operación de túneles de viento, ya que duplicar la velocidad del flujo implica incrementar ocho veces la potencia necesaria. Por otro lado, el incremento del tamaño de la cámara de ensayo repercute proporcionalmente en el requisito de potencia. Esto implica que, desde el punto de vista del costo de operación de un túnel de viento, como era de preverse, siempre es conveniente utilizar el menor número de Reynolds posible que garantice el cumplimiento de las condiciones de similitud del ensayo. Definición de las características del túnel La definición de las características del túnel se refiere fundamentalmente a la selección del tipo de esquema de funcionamiento y del tipo de cámara de ensayo, aunque otros aspectos también deben definirse como ser la configuración del grupo propulsor, el sistema para la operación del mismo, las características de los sistemas auxiliares, etc. Naturalmente, estas definiciones estarán atadas a una serie de factores que dependen del proyecto aeronáutico en particular. Entre ellos, los más importante son el presupuesto disponible para la construcción del túnel, la vida útil estimada para la instalación, el tipo de ensayos que se llevarán a cabo, el lugar disponible para el emplazamiento de la instalación y las exigencias ambientales locales. Finalmente, las decisiones definitivas para la construcción del túnel serán el resultado de la evaluación entre el costo de construcción, el costo de DR AF T (G us ta vo Kr au se ) 3.3 Túneles de viento 131 operación y el presupuesto inicial disponible, considerando las ventajas y desventajas de cada una de las configuraciones posibles siempre teniendo en cuenta los requisitos técnicos del proyecto. Desde el punto de vista del esquema de funcionamiento, ya hemos mencionado algunas de las ventajas y desventajas que presentan los túneles de viento de circuito abierto y los túneles de viento de circuito cerrado. En el primer caso, sin lugar a dudas su principal ventaja es el bajo costo de construcción y su fabricación relativamente simple, teniendo como desventajas la calidad inferior del flujo y el mayor requisito de potencia para su operación. Inversamente, estas cuestiones son puntos destacables en los túneles de circuito cerrado, los cuales producen una mejor calidad de flujo, consumen menos energía pero presentan un elevado costo constructivo. En cuanto a la configuración de la cámara de ensayo, está claro que un túnel con cámara de trabajo cerrada producirá mejor calidad del flujo y generará menores pérdidas de carga, pero el efecto de bloqueo en este tipo de cámaras puede ser un factor crítico. Por otro lado, la instalación y el acceso al modelo se hace más dificultoso en cámaras de ensayo cerradas debido a la presencia de las paredes sólidas. Contrariamente, las cámaras de trabajo abiertas permiten un acceso fácil al modelo y a los dispositivos de medición y el efecto del bloqueo no es importante, pero en ellas la calidad del flujo es inferior produciéndose mayores pérdidas de carga y fluctuaciones en las condiciones del flujo. Teniendo en cuenta