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MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA DAVID VILLAMARÍN , JONATHAN URIÁN , CARLOS RODRÍGUEZ , Y MARTÍN RÍOS BOGOTÁ , NOVIEMBRE DE 2019 Informe final 2 En este documento, presentamos la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita dise- ñada por el grupo 1 de la séptima cohorte de la Maestría en Educación Matemática de la Univer- sidad de los Andes. Esta unidad didáctica está dirigida a estudiantes de grado once de educación media y pretende ser una herramienta de enseñanza y aprendizaje de las inecuaciones lineales con una incógnita. Implementamos una primera versión de la unidad didáctica con los estudiantes de grado once de la I.E.D. Nuevo San Andrés de los Altos, ubicada en la ciudad de Bogotá en la UPZ 57, localidad quinta de Usme, barrio San Andrés. La institución atiende una población de 1.800 estudiantes de estratos 1 y 2, entre la jornada mañana y la jornada tarde, desde preescolar hasta la media acadé- mica. Los estudiantes del grado once tienen edades que oscilan entre los 15 y 18 años. Dentro del contexto institucional, el tema inecuaciones lineales con una incógnita está pre- sente en varios referentes teóricos, en primer lugar, los Estándares básicos de competencias en matemáticas (MEN, 2006). Específicamente, el estándar “establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada” (MEN, 2006, p. 88). Este estándar pertenece al pensamiento numérico para grado decimo a once. En se- gundo lugar, los derechos básicos de aprendizaje que se relacionan con el tema solución de inecua- ciones lineales son los siguientes: (a) Utiliza expresiones numéricas, algebraicas o gráficas para hacer descripciones de situaciones concretas y tomar decisiones con base en su interpretación (MEN, 2016, p.70); (b) Justifica la validez de las propiedades de orden de los números reales y las utiliza para resolver problemas analíticos que se modelen con inecuaciones (MEN, 2016, p.81); (c) Utiliza las propiedades algebraicas de equivalencia y de orden de los números reales para com- prender y crear estrategias que permitan compararlos y comparar subconjuntos de ellos (por ejem- plo, intervalos) (MEN, 2016, p.74). Además, la unidad didáctica está vinculada a los siguientes contenidos de PISA 2012 (Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, 2013), expresiones alge- braicas, ecuaciones y desigualdades y operaciones aritméticas. El tema de inecuaciones lineales se encuentra en el segundo período académico del plan de área de matemáticas para grado once. Escogimos este tema de inecuaciones lineales con una incógnita debido a su importancia al momento de estudiar los contenidos referentes al cálculo en grado Once, puesto que es necesario para la solución de inecuaciones cuadráticas, determinar el rango de una función, determinar lími- tes, y aplicar los criterios de primera y segunda derivada. 1. ARTICULACIÓN DE LOS CONTENIDOS En este apartado, presentamos la descripción de los contenidos de la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita. Exponemos los conceptos y procedimientos matemático-relacionados con las desigualdades (estructura matemática). Luego, seleccionamos conceptos y procedimientos asociados con las inecuaciones que se trabajarán en la unidad didáctica (estructura conceptual). También, describimos las diferentes formas de expresar la solución de una inecuación lineal (sis- temas de representación). Finalmente, mostramos algunas situaciones que se pueden modelar con las inecuaciones lineales (fenomenología). Informe final 3 1.1. Estructura matemática del tema inecuaciones lineales con una incógnita A continuación, presentamos el mapa conceptual de la estructura matemática de la unidad didác- tica. El propósito de este mapa conceptual es exponer algunos conceptos, resultados y procedi- mientos relacionados con el tema de nuestra unidad didáctica. En el momento de diseñar el mapa conceptual, encontramos que las inecuaciones lineales son producto de comparar expresiones al- gebraicas con ayuda de las desigualdades. Es por ello, que el tema principal del siguiente mapa conceptual es desigualdades. La desigualdad matemática es una relación de orden entre un par de números reales en la que se definen dos relaciones de orden: la primera 𝑎 < 𝑏, y la segunda 𝑎 ≤ 𝑏. La relación 𝑎 < 𝑏 cum- ple con la propiedad transitiva en la suma1 y en la multiplicación2. La relación 𝑎 ≤ 𝑏, cumple las propiedades anteriormente enunciadas y además, cumple con las propiedades reflexiva, antisimé- trica y tricotomía de los reales. La relación de orden de los números reales implica la propiedad de densidad. La densidad de los números reales permite hallar las cotas superiores y las cotas inferio- res de un subconjunto de los números reales para así poder determinar el supremo y el ínfimo del conjunto. Además, la densidad de los reales, junto con el ínfimo y el supremo, son de utilidad para establecer las cortaduras de Dedekind y, así formalizar la construcción de los números reales. 1 Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 ∈ ℝ, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. 2 Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 0 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐. Informe final 4 Figura 1. Estructura matemática del tema inecuaciones lineales con una incógnita. Informe final 5 Una desigualdad permite comparar expresiones algebraicas, lo que la convierte en una inecuación. Las inecuaciones se catalogan en inecuación lineal, inecuación cuadrática, inecuación compuesta e inecuación con valor absoluto. La solución de una inecuación con una variable puede servir para encontrar el dominio, los puntos críticos y la concavidad de una función en ℝ𝑛. Dos inecuaciones con dos variables se consideran un sistema de inecuaciones y su solución da respuesta a problemas de programación lineal y optimización. Para resolver las inecuaciones se pueden usar los métodos algebraico y gráfico. En el método gráfico, es necesario hacer uso de las operaciones de intersec- ción y unión entre conjuntos. En el caso de resolver inecuaciones por métodos algebraicos, se hace necesario el uso de operaciones entre expresiones algebraicas y propiedades de las desigualdades. La solución de una inecuación lineal es un intervalo. Los intervalos son de gran ayuda para el desarrollo de la teoría de la medida, la noción de longitud, y la integral de Lebesgue. Por otro lado, las desigualdades son de gran utilidad en el campo del álgebra, la teoría de funciones y geometría. Por ejemplo, en el caso de la geometría encontramos la desigualdad triangular. Para la teoría de funciones, las desigualdades son de utilidad para la definición de límite, y en el álgebra, se eviden- cia su uso en el proceso de Diofanto para solucionar ecuaciones de segundo grado. 1.2. Estructura conceptual de las inecuaciones lineales con una incógnita. En la figura 2, presentamos la estructura conceptual del tema inecuaciones lineales con una incóg- nita. La estructura conceptual corresponde a los conceptos y procedimientos que caracterizan al tema tratado y, las relaciones que podemos establecer entre ellos (Cañadas, M., Gómez, P., & Pinzón, A., 2018, p. 59). Informe final 6 Figura 2. Estructura conceptual del tema de inecuaciones lineales con una incógnita En el mapa conceptual de la figura 2, el tema principal es inecuaciones lineales. Los conceptos están ubicados dentro de un rectángulo, y los procedimientos están registrados dentro de los decá- gonos. Las inecuaciones lineales con una incógnita determinan la relación de orden que se puede dar entre dos o más expresiones algebraicas. Si esta relación de orden se da entre dos expresiones algebraicas, nos permite identificar dos tipos de inecuaciones: las inecuaciones racionales y las inecuaciones de valor absoluto. Y si estas se dan entre más de dos expresiones algebraicas, dan lugar a las inecuaciones compuestas.Sin embargo, las inecuaciones de valor absoluto pueden transformarse en una inecuación compuesta, dependiendo de las expresiones algebraicas que este- mos comparando. Las inecuaciones lineales se pueden solucionar aplicando propiedades del álge- bra, similares a las usadas para solucionar ecuaciones lineales. Es necesario destacar que la Informe final 7 solución de una inecuación lineal es un conjunto de valores denominado intervalo. El procedi- miento para representar un intervalo implica identificar si el intervalo es cerrado, semiabierto, o abierto. Y posteriormente, los estudiantes deben representarlo en una recta numérica o a través de los símbolos que, permiten identificar cuáles son los valores que pertenecen al intervalo. 1.3. Sistemas de representación de las Inecuaciones lineales con una incógnita La solución de una inecuación lineal puede representarse de distintas maneras y cada una de estas maneras está enmarcada por un sistema de representación. Según Kaput (1992, p. 523) un sistema de representación debe cumplir con tres reglas: (a) Identificar o crear signos, (b) operar sobre y con ellos (c) determinar relaciones entre ellos (especialmente relaciones de equivalencia). Con base en este referente, resaltamos tres sistemas de representación, el sistema de representación simbólico, el sistema de representación simbólico-algebraico y el sistema de representación geo- métrico, asociados a la solución de las inecuaciones lineales. A continuación, presentamos el mapa conceptual donde relacionamos estos sistemas de representación. Informe final 8 Figura 3. Sistemas de representación de las inecuaciones lineales con una incógnita En el mapa conceptual de la figura 3, presentamos tres sistemas de representación asociados a la solución de las inecuaciones lineales con una incógnita. La primera forma de mostrar la solución de inecuación lineal con una incógnita es por medio del sistema de representación simbólico. Un intervalo representa un subconjunto de los números reales, y su expresión simbólica tiene alguna de las siguientes formas (𝑎, 𝑏), [𝑎, 𝑏], [𝑎, 𝑏),(𝑎, 𝑏], por ejemplo (1,2), [3,4], [12, ∞), (−∞, 4]. Esta representación brinda información necesaria para indicar si un determinado número real pertenece o no a un intervalo. En el sistema de representación simbólico algebraico las inecuaciones lineales con una incóg- nita se pueden expresar de las siguientes maneras, 𝑥 < 𝑎, 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Además, teniendo en cuenta la notación de teoría de conjuntos, podría expresarse una inecuación de la si- guiente manera {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 𝑎}. Informe final 9 Las inecuaciones también se pueden representar usando el sistema de representación geomé- trico, donde existe el acuerdo que los números positivos se ubican a la derecha de 0, y los números negativos se ubican a la izquierda de 0. Existen símbolos como, el círculo abierto “ ”, el círculo cerrado “ ” y el interlineado sobre la recta numérica “ ”. Las formas de representar el intervalo solución de una inecuación lineal con una incógnita cumplen una relación de correspondencia entre sí, es decir, que podemos hacer traducciones entre los tipos de representación que exponemos en el mapa conceptual de la figura 3. Por ejemplo, la inecuación expresada de manera simbólica algebraica 𝑥 − 1 < 0, luego de realizar operaciones algebraicas, se puede expresar como 𝑥 < 1. Por tanto, son valores que cumplen una condición: valores menores que 1. Esta representación es equivalente en el sistema simbólico a la siguiente expresión (−∞, 1). En el sistema de representación gráfico, representamos la solución de la inecuación usando los símbolos correspondientes del sistema, como aparece en la figura 4. Figura 4. Representación gráfica de los números reales menores que 1. 1.4. Análisis fenomenológico del tema de Inecuaciones lineales con una incógnita En la figura 5, presentamos el esquema del análisis fenomenológico de nuestra unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita. El esquema está compuesto por tres subestructuras, tres contextos fenomenológicos y ocho fenómenos. Además, establecemos una relación biunívoca en- tre las subestructuras y contextos fenomenológicos. Los contextos fenomenológicos están clasifi- cados por medio de fenómenos que, a su vez, se relacionan con los contextos descritos por Minis- terio de Educación, Cultura y Deporte (2013). La subestructura 𝑥 ≤ 𝑎 o 𝑥 ≥ 𝑎 se relaciona con el contexto fenomenológico de comparar y ordenar. Por tanto, los estudiantes la usan para buscar un conjunto de números acotado superior o inferiormente. De igual manera, la subestructura 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 tiene dos condiciones. La primera es 𝑎 ≥ 0, que se relaciona con el contexto fenomenológico medida de distancia o tiempo. La segunda condición es con 𝑎 ≥ −273, que se relaciona con el contexto fenomenológico medida de tempe- ratura, ya que, es la menor medida de temperatura que se puede dar en grados Celsius. Por otro lado, los fenómenos: “Hallar un subconjunto de los reales que sea menor o igual a un determinado número” y “Hallar un subconjunto de los reales que sea mayor o igual a un determi- nado número”, se relacionan con el contexto personal y científico que se menciona en Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013), porque se centra en actividades matemáticas en el mundo natural. Informe final 10 Figura 5. Análisis fenomenológico del tema Inecuaciones lineales con una incógnita Informe final 11 Así mismo, los fenómenos: “Hallar el valor a partir del cual un trabajador gana más de un deter- minado valor de dinero si su salario está condicionado por comisiones de venta” y “Hallar el in- tervalo de tiempo en el que se debe administrar un medicamento”, se relacionan con el contexto profesional que se menciona en Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013, p.23), porque se centran en el mundo laboral. Seguido a ello, el fenómeno “Hallar el intervalo de distancia má- ximo que puede recorrer un vehículo para no superar el presupuesto del combustible”, se relaciona con el contexto social que se menciona en Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013, p.24), porque el precio del combustible afecta a toda la comunidad. Por último, los fenómenos: “Hallar rangos de temperatura”, “Hallar el intervalo de tiempo en el que un objeto se ubica en cierta posición” y “Hallar el intervalo de distancia en que la fuerza gravitacional sobre un cuerpo oscila entre dos valores” se relacionan con el contexto científico que se menciona en Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013, p.24), porque se aplican con- ceptos físicos y procesos matemáticos. 2. ASPECTOS COGNITIVOS En este apartado, presentamos los aspectos referentes al análisis cognitivo de la unidad didáctica. Primero, presentamos las expectativas de aprendizaje de nivel superior. Posteriormente, caracteri- zamos los objetivos a partir del diseño de una tarea que permitirá establecer los procedimientos que utiliza un estudiante al momento de resolverla. Finalmente, presentamos las limitaciones de aprendizaje, al tener en cuenta los errores y dificultades que pueden surgir al momento de desarro- llar esta tarea. 2.1. Expectativas de aprendizaje de tipo cognitivo A continuación, presentamos las expectativas de aprendizaje de nivel superior a las que pretende contribuir la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita. Para establecer las expec- tativas de nivel superior, tuvimos en cuenta las capacidades matemáticas fundamentales y procesos matemáticos definidos en Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013). En este orden de ideas, pretendemos contribuir a las siguientes capacidades matemáticas fundamentales: comuni- car, representar, diseñar estrategias para resolver problemas y utilizar operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. Estas capacidades matemáticasfundamentales implican, para nuestra unidad didáctica, que el estudiante debe dar una explicación o justificación verbal o escrita del resultado de una tarea o un ejercicio propuesto (comunicar); el estudiante debe elaborar una estrategia utilizando las represen- taciones matemáticas que ha hecho de las situaciones en contexto (diseño de estrategias para re- solver problemas); y el estudiante debe hacer uso de procedimientos matemáticos formales del algebra (utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico). En la tabla 1, des- cribimos la relación entre las capacidades matemáticas fundamentales seleccionadas para la unidad didáctica y los procesos matemáticos descritos por Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013). Informe final 12 Tabla 1 Relación entre capacidades fundamentales y procesos matemáticos Procesos matemáticos CMF Formular Emplear Interpretar y evaluar Comunicación Leer e interpretar enun- ciados que describan re- laciones de orden entre expresiones algebraicas Muestra el procedi- miento para solucionar una inecuación lineal que da solución a una situación en contexto Explica la solución de una situación problema en contexto en los cuales se utilizó inecuaciones lineales Representa- ción Crear una representación matemática de informa- ción del mundo real con ayuda de inecuaciones li- neales Utiliza distintas repre- sentaciones de las inecuaciones lineales para resolver situacio- nes en contexto Elegir el sistema de re- presentación adecuado para mostrar la solución de un problema Diseño de es- trategias para resolver pro- blemas Diseñar un plan para en- contrar la solución de un problema involucrando inecuaciones lineales Activa de manera ade- cuada el algoritmo de solución de las inecua- ciones lineales Diseñar e implementar una estrategia para vali- dar la solución a una si- tuación problema Utilización de operaciones y de lenguaje simbólico, for- mal y técnico Utilizar variables y sím- bolos propios de las inecuaciones lineales para representar un pro- blema del mundo real Aplica las propiedades del álgebra necesarias para solucionar inecua- ciones lineales Utilizar el álgebra para validar la solución de una inecuación lineal Nota. CMF: capacidad matemática fundamental Objetivos de la unidad didáctica Los objetivos de la unidad didáctica fueron establecidos con base en las expectativas de aprendi- zaje de nivel superior y son los siguientes: Objetivo 1. Implementar el algoritmo de la solución de inecuaciones lineales con una incógnita para encontrar el intervalo solución y representarlo. Objetivo 2. Plantear una inecuación lineal para solucionar una situación en contexto y validar su respuesta. 2.2. Criterios de logro Para determinar en qué medida un estudiante alcanzó un objetivo, hemos redactado algunos crite- rios de logro para cada uno de los objetivos de la unidad didáctica (Anexo 1). Un criterio de logro es un procedimiento ejecutado por el estudiante en el momento de abordar las actividades de la unidad didáctica. Cabe resaltar que, cada tarea de la unidad didáctica pretende que el estudiante Informe final 13 active ciertos criterios de logro en determinado orden. Por ejemplo, para resolver una inecuación el estudiante podría activar el siguiente criterio de logro: “Cambio el sentido de la desigualdad si multiplico a ambos lados de la inecuación por un número negativo”. Un estudiante que alcanza el objetivo 1 de la unidad didáctica, puede encontrar la solución de una inecuación activando los siguientes criterios de logro en este orden: “Reconozco que la situación puede ser representada con una inecuación lineal”, “Reconozco la variable y el símbolo de la desigualdad en la inecuación lineal”, “Sustituyo valores numéricos en la variable de la inecuación lineal para determinar su solución”, “Represento un intervalo en la recta numérica” y “Sustituyo algunos valores del inter- valo solución en la inecuación para comprobar la respuesta” 2.3. Expectativas de aprendizaje de tipo afectivo Presentamos cinco expectativas de tipo afectivo que permiten relacionar los aspectos cognitivos con la parte motivacional de los estudiantes, a lo largo de la unidad didáctica. Las expectativas son actitudes de los estudiantes que esperamos que alcancen con la ejecución de la unidad didáctica. Estas expectativas de tipo afectivo pretenden contribuir a las capacidades matemáticas fundamen- tales descritas por Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013). Tabla 2 Expectativas de tipo afectivo E Expectativas 1 Adquirir seguridad al utilizar estrategias para la resolución de problemas con inecuaciones lineales 2 Desarrollar confianza en la utilización del algoritmo para resolver inecuaciones lineales. 3 Mostrar interés al representar de diferentes formas un intervalo 4 Desarrollar disposición para descodificar e interpretar enunciados con ayuda de las inecua- ciones lineales 5 Desarrollar voluntad y gusto por el diseño de estrategias para validar las posibles soluciones a una tarea En la tabla 2, presentamos las cinco expectativas de tipo afectivo. Las primeras tres se relacionan con el objetivo 1, con las que esperamos que los estudiantes logren apropiarse del algoritmo de solución de las inecuaciones lineales, mostrando interés y seguridad resolver inecuaciones lineales. Las expectativas cuatro y cinco se relacionan con el objetivo 2, con ellas esperamos que los estu- diantes muestren una disposición adecuada para resolver una situación contextualizada utilizando inecuaciones lineales con una incógnita. 2.4. Limitaciones de aprendizaje En este apartado, hacemos la descripción de las principales limitaciones de aprendizaje, que puede presentar un estudiante al momento de realizar las actividades de nuestra unidad didáctica. Informe final 14 Tabla 3 Listado de dificultades y errores para el tema inecuaciones lineales con una incógnita E Descripción D1. Dificultad para la reducción de términos semejantes y en la aplicación de la propiedad de los inversos (multiplicativo y aditivo) 1 Sumar términos que no son semejantes 36 Cambiar el sentido de la desigualdad al usar la propiedad de la monotonía de las desigual- dades D4 Dificultad para la formalización de la notación de intervalos 16 Utilizar paréntesis para escribir intervalos cerrados 17 Utilizar llaves para escribir intervalos abiertos 18 Representar la desigualdad 𝑥 ≤ 𝑎 como (−∞, 𝑎) 50 Escribir la expresión algebraica de la solución sin escribir el intervalo D5 Dificultad para el uso de fórmulas o reglas conocidas que tratan de adaptarlas a alguna situación nueva 22 Realizar la transposición de términos sin tener en cuenta el orden jerárquico en las ope- raciones 23 Usar la propiedad para todos los números reales x, y, z si 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧. Cuando 𝑧 < 0 D6 Dificultad para establecer una estrategia para comprobar la respuesta a una situación 25 Encontrar el intervalo solución sin comprobar que tenga sentido en la situación planteada 27 Expresar un intervalo, como solución definitiva del problema, sin considerar que tenga sentido en la situación D7 Dificultad para relacionar los datos que no están asignados al problema 30 Plantear una inecuación de una situación con una desigualdad que no corresponde a la situación descrita 31 Traducir enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico sin que tengan relación con los datos propuestos en la situación planteada Nota. E: error, D: dificultad. González y Gómez (2018, p.139) proponen que “las dificultades y los errores son dos tipos rela- cionados de limitaciones de aprendizaje”. Ellos definen la dificultad como “una circunstancia que impide o entorpece la consecución de los objetivos de aprendizaje”. Y el error, lo define como “la manifestaciónvisible de una dificultad”. En nuestra unidad didáctica, consideramos 51 errores que Informe final 15 fueron clasificados en siete dificultades. Por ejemplo, en la tabla 3 encontramos el error 1 (sumar términos que no son semejantes) y lo asociamos a la Dificultad 1 “dificultad para la reducción de términos semejantes y en la aplicación de la propiedad de los inversos (multiplicativo y aditivo)”. El listado completo de dificultades y errores se encuentra en el anexo 3. Algunas de las dificultades que se pueden presentar en el desarrollo de las tareas de nuestra unidad didáctica son la dificultad 1 “dificultad para la reducción de términos semejantes”, porque es necesario que el estudiante pueda reducir las expresiones algebraicas, para lograr aplicar co- rrectamente el algoritmo para solucionar inecuaciones. La dificultad 4 corresponde a “dificultad para formalizar la notación de intervalos”, es relevante en nuestra unidad didáctica ya que de esto depende que el estudiante pueda presentar de forma correcta la solución de la inecuación. La difi- cultad 5 “dificultad para la reducción de términos semejantes y en la aplicación de la propiedad de los inversos (multiplicativo y aditivo)” es importante, puesto que de esta depende que el estudiante reconozca la diferencia entre el procedimiento para solucionar inecuaciones, respecto al procedi- miento para solucionar ecuaciones. 2.5. Grafo de criterios de logro de los objetivos de aprendizaje En este apartado, presentamos los grafos de criterios de logro para los dos objetivos de la unidad didáctica. Un grafo de criterios de logro es un esquema que muestra el orden en que un estudiante activa los criterios de logro para resolver cada una de las tareas propuestas en la unidad didáctica. Además, el grafo muestra las diferentes maneras en que un estudiante puede abordar cada tarea. En los grafos se etiqueta cada criterio de la forma 𝑛. 𝑘. El primer número (n) se refiere al objetivo al que pertenece el criterio de logro y, el segundo número (k) se usa para diferenciar los criterios de logro. A continuación, presentamos el grafo de criterios de logro para el primer objetivo de la unidad didáctica. Informe final 16 Figura 6. Grafo de criterios del logro del objetivo 1 Informe final 17 Para las tareas del primer objetivo, el estudiante debe realizar algunas de las estrategias de solución que se evidencian en el grafo de la figura 6. Por ejemplo, en primera instancia los estudiantes deben identificar la inecuación con la que van a resolver la tarea, es por ello por lo que esperamos que los estudiantes activen los criterios de logro 1.1 y 1.2. luego, el estudiante puede optar por resolver la inecuación usando propiedades del álgebra (criterios de logro 1.5, 1.6, 1.7 y 1.8) o, él puede sustituir números y tabulando en la inecuación (criterio de logro 1.4). Una vez el estudiante ha solucionado la inecuación, debe representar la solución, ya sea en la recta (criterio de logro 1.11) o en forma simbólica (criterio de logro 1.12). Para finalizar, esperamos que el estudiante com- pruebe si la solución que ha encontrado de la inecuación es correcta o no (criterio de logro 1.13). De igual forma, para el objetivo 2, el grafo de criterios de logro está en la figura 7. Figura 7. Grafo de criterios de logro del objetivo 2. Informe final 18 En la figura 7, presentamos el grafo del segundo objetivo de la unidad didáctica. Por la naturaleza de este objetivo, es inevitable que el estudiante plantee una inecuación para resolver una situación en contexto (criterios de logro 2.1, 2.2 y 2.3). Luego de resolver la inecuación lineal, por alguno de los métodos ya expuestos en el anterior párrafo, el estudiante debe encontrar coherencia entre la solución de la inecuación lineal y la situación en contexto (criterio de logro 2.14). Por ejemplo, en una de las tareas de la unidad didáctica el estudiante debe encontrar un intervalo de consumo de metros cúbicos de gas. La inecuación asociada a esta situación tiene como solución el intervalo (−∞, 80). Pero, no tiene sentido que este intervalo sea la respuesta a la situación problema. Lo que esperamos es que el estudiante de como solución el intervalo (0,80). 3. ESQUEMA GENERAL DE LA UNIDAD DIDÁCTICA En la tabla 4, presentamos la estructura general de la unidad didáctica. En ella proponemos el número de sesiones para implementar la unidad didáctica. Recomendamos que cada sesión tenga una duración de 110 minutos. Informe final 19 Tabla 4 Globalización de actividades Sesión Duración / Minutos Actividad Tiempo aproximado / minutos Descripción 1 110 Aplicación de Prueba diagnostica 10 Presentación de la prueba de diagnóstica 100 Desarrollo de la prueba diagnóstica 2 110 Realimentación de la prueba diagnóstica 30 Socialización de resultados 80 Realimentación de conocimientos previos 3 110 Realimentación de la prueba diagnóstica 110 Realimentación de conocimientos previos 4 110 Presentación de la unidad didáctica 20 Presentación del tema de la unidad didáctica y los objetivos de la misma 30 Presentación de las metas de las tareas de aprendizaje propuestas en la unidad didáctica, y su cronograma de aplicación. 60 Explicación del diario del estudiante y su respectivo diligenciamiento. 5 110 Aplicación de la tarea de aprendizaje T1.1 10 Recordar el objetivo 1, socializar el grafo de criterios de logro y las metas de la tarea 20 Presentación de la tabla 2 de la tarea de aprendizaje T1.1 y explicación 10 Conformación de los grupos de 4 y 3 estudiantes y entrega de material Informe final 20 20 Discusión y elaboración de la cartelera 20 Socialización de resultados y correcciones 20 Diligenciamiento y socialización del diario del estudiante 10 Recolección de los diarios del estudiante y evidencias de la tarea 6 110 Aplicación de la tarea de aprendizaje T1.2 15 Realimentación de la tarea de aprendizaje T1.1 5 Recordar el objetivo 1, socializar el grafo de criterios de logro y las metas de la tarea 15 Presentación de la formulación de la tarea de aprendizaje T1.2 10 Conformación de los grupos de 4 y 3 estudiantes y entrega de material 20 Discusión y elaboración de la cartelera 20 Presentación de resultados y correcciones 10 Diligenciamiento y socialización del diario del estudiante 5 Recolección de diarios y evidencias de la tarea 7 110 Aplicación de la tarea de aprendizaje T1.3 15 Realimentación tarea de aprendizaje T1.2 15 Presentación de las metas de la tarea T1.3, y de las reglas de juego 5 Conformación de los grupos de 4 estudiantes 10 Partida 1 Informe final 21 10 Discusión y socialización de los resultados entre los integrantes del grupo 10 Partida 2 10 Discusión y socialización de los resultados entre los integrantes del grupo 10 Partida 3 10 Discusión y socialización de los resultados entre los integrantes del grupo 10 Diligenciamiento y socialización del diario del estudiante 5 Recolección de diarios y evidencias de la tarea 8 110 Aplicación de la tarea de aprendizaje T2.1 15 Realimentación tarea de aprendizaje T1.3 20 Recordar el objetivo 2, socializar el grafo de criterios de logro y las metas de la tarea 5 Entrega de las fichas de la tarea de aprendizaje 20 Solución individual de la tarea 5 Conformación de grupo de 3 estudiantes 15 Discusión en los grupos 10 Presentación de resultados y correcciones 10 Diligenciamiento y socialización del diario del estudiante 10 Recolección de diarios y evidencias de la tarea Informe final 22 9 110 Aplicación de la tarea de aprendizaje T2.2 20 Retroalimentación tarea 2.1 15 Recordar el objetivo 2, socializar el grafo de criterios de logro ylas metas de la tarea 15 Solución de la pregunta de manera individual 5 Conformación de los grupos de 4 estudiantes 15 Discusión en los grupos 20 Presentación de resultados y correcciones 10 Diligenciamiento y socialización del diario del estudiante 10 Recolección de diarios y evidencias de la tarea 10 110 Aplicación del examen final 15 Realimentación de la tarea de aprendizaje T2.2 15 Reflexión sobre lo aprendido en la unidad didáctica y preparación para el examen final 40 Aplicación de la tarea de evaluación 1 40 Aplicación de la tarea de evaluación 2 11 110 Cierre de la unidad didáctica 40 Realimentación del examen final y entrega de resultados 30 Análisis de los resultados en grupos de estudiantes 40 Presentación de los resultados individuales de la unidad didáctica Informe final 23 4. TAREA DIAGNOSTICA La tarea diagnostica sirve para que el docente evalúe los conocimientos previos (Anexo 4) que tienen los estudiantes antes de implementar las tareas de aprendizaje de la unidad didáctica Inecua- ciones lineales con una incógnita. Al finalizar esta prueba, el profesor debe analizar los resultados y, en caso de requerirlo, establecer una realimentación de los temas involucrados en la tarea diag- nostica. La estructura de la tarea diagnostica se compone de 6 numerales, donde el estudiante debe resolver situaciones relacionadas con operaciones básicas con números reales, solución y plantea- miento de ecuaciones, relaciones de orden y ubicación en la recta numérica de números reales. Sugerimos al profesor implementar esta prueba en un tiempo de 110 minutos y que sea desa- rrollada de manera individual. Por otra parte, si el profesor lo considera necesario, los estudiantes pueden usar calculadora como herramienta para realizar algunas operaciones. Luego de implemen- tar la tarea diagnóstica, recomendamos disponer de una o dos sesiones de 110 minutos, cada una, para analizar los resultados con los estudiantes y realimentar los conocimientos previos en que hayan presentado mayor dificultad. En el primer numeral de la tarea diagnostica, les pedimos a los estudiantes resolver diferentes ecuaciones lineales con una incógnita, donde es posible que se activen los siguientes conocimien- tos previos, implementar la ley de signos, la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, operaciones básicas con números enteros, sumar y restar expresiones algebraicas y despejar ecuaciones de primer grado con una incógnita. Dado que el estudiante intentará despejar ecuacio- nes de primer grado con una incógnita, debe agrupar términos semejantes que le permiten sumar y restar expresiones algebraicas con ayuda de la ley de signos. Al momento de activar estos cono- cimientos previos, los estudiantes pueden incurrir en errores como sumar términos que no son semejantes. En el segundo numeral, se les pide a los estudiantes establecer el orden entre dos números reales, en donde es posible que el estudiante active el conocimiento previo establecer relaciones de orden entre los números reales. Además, los estudiantes al establecer relaciones de orden entre números reales podrían incurrir en diferentes errores, por ejemplo, pueden comparar dos números decimales teniendo en cuenta la cantidad de dígitos que van “después de la coma”. Para el tercer, cuarto y quinto numeral, los estudiantes deben hacer una traducción de una situación del lenguaje verbal al lenguaje algebraico. En este momento, los estudiantes pueden in- currir en varios errores, por ejemplo, el uso de una variable para una situación problema que lo requiere o no usar las operaciones adecuadas para modelar una situación. En el numeral seis se pide a los estudiantes ubicar algunos números en la recta numérica, en donde esperamos que se activen el conocimiento previo ubicar en la recta numérica cualquier número real. Además, los estudiantes pueden incurrir en errores que están relacionados con la forma en que se divide las unidades de medida de la recta numérica. 4.1. Formulación de la tarea diagnóstica La prueba diagnóstica tiene como objetivo indagar acerca de algunos conocimientos que ne- cesitas para abordar la temática de inecuaciones lineales con una incógnita. Por ello, es impor- tante que la realices de forma responsable y, de esta manera poder identificar los Informe final 24 conocimientos en que debemos enfatizar para que tu desempeño en el tema de inecuaciones lineales sea óptimo. 1. Soluciona las siguientes ecuaciones a. −35 = 𝑥 − 3𝑥 + 9𝑥 b. −3 ( 2 9 𝑐 − 9) + 3 = 7𝑐 + 2 c. 6𝑥−5 2 = 3 d. 5 8 𝑥 − 5 2 = 5 4 𝑥 + 5 6 e. 𝑥 + 4 = 8 − 𝑥 f. 0,13𝑥 − 12 = 12,5𝑥 + 2,46 g. 3(𝑥 +5) = 12 2. Completa la siguiente tabla con los signos y o = Tabla 5 Signos de la desigualdad Símbolo 4 −8 -7 -11 0 8 8 − 2 3 − 7 3 9 7 9 13 0,09 0,1 -5,789 -5,7894 3 12 4 Las preguntas 3 y 4 son preguntas de selección múltiple con única respuesta Informe final 25 3. Un vendedor de pantalones tiene un salario básico diario de $6.000 y recibe una comisión de $1.000 por cada pantalón que venda. La expresión algebraica que permite calcular el salario del empleado al final del día después de vender 𝑥 pantalones es a. 6.000𝑥 + 1.000 b. 6.000 + 1.000𝑥 c. (6.000 + 1.000)𝑥 d. 1.000(6.000𝑥) 4. En una salida con unos amigos, Hernán compro x porciones de pizza a $1.500 cada una y una bebida que costó $500. Al final, Hernán cancelo $9.500. La expresión que le permite a Hernán calcular el valor de cada pizza es a. 500𝑥 + 1.500 = 9.500 b. 500 + 1.500 + 9.500 c. 500 + 1.500𝑥 = 9.500 d. 500𝑥 + 1.500𝑥 = 9.500𝑥 5. Escribe la expresión algebraica que represente la siguiente situación a. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Juan. 6. Ubica en la recta numérica los siguientes números reales que aparecen en la figura 8 y en la figura 9 a. 8 4 b. 11 4 c. 0,5 d. 3 2 e. 2,25 f. − 3 4 Figura 8. Recta numérica con algunos valores reales g. 7 5 , h. − 2 5 i 0,6 j 0 15 , 2 Figura 9. Recta numérica sin valores numéricos 7. Escribe en notación de intervalo cada uno de los siguientes conjuntos. a. Todos los números menores que 4 Informe final 26 b. Todos los números mayores que -3 y menores que 7 c. Todos números menores que -2,7 d. Todos los números menores o iguales que -5 5. TAREAS DE APRENDIZAJE DEL OBJETIVO 1 En este apartado, presentamos tres tareas de aprendizaje asociadas al primer objetivo de la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita. En primer lugar, realizamos la descripción de cada una de las tareas de aprendizaje. Luego, describimos los errores en que posiblemente, pueden incurrir los estudiantes al realizar las tareas. En tercer lugar, exponemos los grafos correspondien- tes a los criterios de logro y realizamos algunas sugerencias metodológicas al profesor. Por último, mostramos la forma en que se puede abordar la evaluación de cada una de las tareas de aprendizaje. 5.1. Tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones Con esta tarea, pretendemos que los estudiantes encuentren las similitudes y diferencias entre ecua- ciones e inecuaciones lineales con una incógnita. Por ejemplo, esperamos que los estudiantes en- cuentren que la solución de una inecuación lineal puede ser un intervalo de números reales, mien- tras que, la solución de una ecuación lineal puede ser un número real. Igualmente, esperamos que los estudiantes establezcan la existencia de algunas propiedades del algebra, que pueden ser usadas en el algoritmo para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales. La tarea muestra al estudiante el procedimiento para solucionar la ecuación 2𝑥 − 8 = 4. Ade- más, se presentan algunos de losvalores de la solución de las inecuaciones 2𝑥 − 8 < 4 y 2𝑥 − 8 ≥ 4. La anterior información se expone por medio de la tabla 6. Luego, se propone al estudiante intentar resolver la inecuación 3𝑥 − 5 ≥ 10. Requisitos La tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones requiere que el estudiante despeje co- rrectamente ecuaciones de primer grado, que establezca relaciones de orden entre números reales y que represente un intervalo de números reales con ayuda de la recta o con ayuda de símbolos del algebra (paréntesis). Aportes de la tarea al objetivo 1 La tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones tiene como fin que los estudiantes iden- tifiquen que algunos procedimientos usados para resolver ecuaciones son útiles para resolver inecuaciones lineales. Además, esperamos que el estudiante tenga presente que la solución de una inecuación puede ser un intervalo de números reales. Finalmente, invitamos al estudiante a diseñar estrategias para establecer si un determinado número pertenece o no al conjunto solución de una inecuación. Formulación En primer lugar, presentaremos a los estudiantes la tabla 6. En esta tabla se presentan 3 columnas, una de ellas describe el procedimiento para solucionar la ecuación 2𝑥 + 8 = −4. Las otras dos, Informe final 27 corresponden a un subconjunto de números que pertenecen a las soluciones de las inecuaciones 2𝑥 + 8 < −4 y 2𝑥 + 8 > −4. Esto se hace con el fin que el estudiante comprenda la similitud entre los procedimientos para solucionar ecuaciones e inecuaciones. Además, pretendemos que comprenda que la solución de una ecuación es un número real y la solución de las inecuaciones es un conjunto de números infinitos. Tabla 6 Solución de una ecuación y dos inecuaciones 1 2 3 Valores que cumplan la condi- ción 2𝑥 + 8 < −4 2𝑥 + 8 = −4 Valores que cumplan la condición 2𝑥 + 8 ≥ −4 -12 -100 -40 -7.5 - 17 2 -5000 -9 -6,1 -25/3 2𝑥 + 8 = −4 2𝑥 = −4 − 8 2𝑥 = −12 𝑥 = − 12 2 𝑥 = −6 1000 0 6 856 -5 3 4 0,04 208 4560 Conjunto solución (−∞, −6) −6 Conjunto solución [−6, ∞) Después de presentada la tabla 6, se realizará la siguiente explicación por parte del docente. Cabe resaltar que el docente puede realizar otros ejemplos que no están incluidos en el siguiente párrafo. En la columna titulada ecuación, se encuentra la solución y procedimiento de la ecuación 2𝑥 + 8 = −4. En la columna 1, presentamos algunos números que cumplen la condición 2𝑥 + 8 < −4. Por ejemplo, el número -9 se encuentra en esta columna porque 2(−9) + 8 < −4. A su vez, podríamos afirmar que todos los números que pertenecen a la columna 1 son menores que -6. De la misma manera, en la en la columna 3 se encuentran algunos números que cumplen la condición 2𝑥 + 8 > −4. Es por ello, que en la columna 3 deben estar los números mayores que -6. Teniendo en cuenta la información de la tabla 2, escribe un procedimiento para encontrar los valores para los cuales 𝑥 cumpla la condición 3𝑥 − 5 ≥ 10, ¿Cómo se representaría este con- junto de valores? Conceptos y procedimientos implicados en la tarea El concepto que involucra esta tarea es ecuaciones de primer grado con una incógnita. Los proce- dimientos que realiza el estudiante son despejar ecuaciones de primer grado, efectuar operaciones entre números reales, establecer relaciones de orden entre números reales y representar el intervalo solución. Informe final 28 Sistemas de representación que se activan Para representar la solución de la inecuación, el estudiante puede optar por hacer uso del sistema de representación geométrico o del sistema de representación simbólico algebraico. Contextos PISA en los que se sitúa la tarea La tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones se sitúa en el contexto personal según el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013) el cual corresponde al marco de evaluación PISA (2012). Al tratar de resolver la tarea, el estudiante debe buscar el conjunto de números para los cuales la expresión 3𝑥 − 10, es mayor que 5. Materiales y recursos Los materiales que usaremos son televisor donde se proyectará la tabla 6 y posteriormente la for- mulación de la tarea, pliegos de cartulina, marcadores y tablero. Agrupamiento Inicialmente, el profesor presentará la tabla 6 en el televisor, y hará una explicación de dicha tabla a todo el grupo de estudiantes. Luego, para la solución de la tarea de aprendizaje T1.1 es necesario que los estudiantes conformen grupos de cuatro integrantes. Esta agrupación está hecha de acuerdo a la formulación porque permite que los estudiantes determinen el mejor procedimiento para re- solver la tarea. Interacción y comunicación en clase La interacción se dará en tres momentos de aplicación de la tarea. El primer momento ocurrirá cuando el profesor realice la presentación de la tarea de aprendizaje. El segundo momento se da cuando los estudiantes de cada grupo deban ponerse de acuerdo para diseñar la cartelera con el respectivo algoritmo para resolver la inecuación 3𝑥 − 5 ≥ 10. El tercer momento será entre todos los estudiantes del curso y ocurrirá cuando un estudiante de cada grupo exponga la cartelera pre- viamente diseñada. Temporalidad de la tarea En primer lugar, se presentará la tabla 6 en el televisor del respectivo salón. Luego, se realizará una explicación de la tabla en el tablero. Posteriormente, los estudiantes conformarán grupos de cuatro integrantes y se les presentará la formulación de la tarea. Luego que cada grupo solucione la tarea, escribirán los procedimientos usados en una cartelera y la pegarán en el tablero. Final- mente, el docente se referirá a cada una de las carteleras tratando socializar los procedimientos usados por cada uno de los grupos y llegando a acuerdos para solucionar inecuaciones lineales con una incógnita. A continuación, presentamos la tabla 7 donde se relaciona el tiempo estimado de cada activi- dad de la tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones. Informe final 29 Tabla 7 Descripción de la temporalidad de la tarea T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones Actividad Tiempo estimado (min) 1 Recordar el objetivo 1 y las metas de la tarea 10 2 Presentación de la tabla 2 de la tarea de aprendizaje T1.1 y explicación 20 3 Conformación de los grupos de 4 y 3 estudiantes y en- trega de material 10 4 Discusión y elaboración de la cartelera 30 5 Socialización de resultados y correcciones 0 6 Recolección de las evidencias de la tarea 10 Errores y ayudas Al tratar de resolver la tarea T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones, los estudiantes podrían incurrir en el error de representar la expresión 𝑥 ≥ 𝑎 como (𝑎, ∞). En ese momento, el docente le pedirá al estudiante que reemplace el valor de 𝑎 en la inecuación para saber si 𝑎 pertenece a la solución de la inecuación. Otro error en el que puede incurrir el estudiante es expresar la solución de la inecua- ción 𝑥 ≥ 𝑎 como 𝑥 = 𝑎. Para evitar que el estudiante incurra en este error, se propondrá como ayuda que el estudiante tabule, en la inecuación, valores de números reales mayores que 𝑎 para saber si existen más números que hacen parte del conjunto solución. El listado de errores y difi- cultades se encuentra en el Anexo 3. Limitaciones de aprendizaje. Grafo de criterios de logro En la figura 10, presentamos el grafo de criterios de logro del objetivo 1. En este grafo, resaltamos los criterios de logro que el estudiante puede activar al tratar de resolver la tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones. En primera instancia, el estudiante debe identificar el símbolo de la desigualdad y las expresiones algebraicas involucradas. Luego, el estudiante debe decidir siresuelve la inecuación tabulando o usando propiedades del algebra y de la desigualdad. En cual- quiera de los dos casos, el estudiante encuentra el intervalo solución de la inecuación y decide si representarlo con ayuda de la recta numérica o en forma algebraica. Finalmente, el estudiante debe diseñar una estrategia para validar si el intervalo encontrado es la solución de la inecuación lineal. Informe final 30 Figura 10. Grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T1.1 Informe final 31 Actuación del profesor En la aplicación de la tarea de aprendizaje T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones, el docente debe pro- curar que cada grupo de estudiantes esté intentado resolver la inecuación propuesta. Además, el docente hace seguimiento del procedimiento realizado por cada grupo de estudiantes, determina si están incurriendo en algún error y prestar las ayudas asociadas a la tarea. Finalmente, el docente interviene después de que cada grupo exponga la forma en que resolvió la inecuación, para recalcar los procedimientos que los estudiantes usaron correctamente. Sugerencias metodológicas Sugerimos al profesor hacer uso de las ayudas expuestas en el anexo 5, para que los estudiantes puedan superar las dificultades y entiendan en su totalidad la tabla expuesta en la instrucción de la tarea. La comprensión de esta tabla es fundamental para que el estudiante determine las diferencias y similitudes entre las ecuaciones e inecuaciones. Por otro lado, el profesor debe jugar el papel de moderador en el momento en que los estudiantes expongas las carteleras. Evaluación de la tarea El producto final de esta tarea de aprendizaje, son las carteleras que los estudiantes han elaborado para mostrar la forma en que resolvieron la inecuación 3𝑥 − 10 ≥ 5. De estas carteleras, se debe extraer información para la evaluación de la actividad, los errores más frecuentes en que incurrie- ron los estudiantes y los procesos que se usaron correctamente. Con esta información, el docente debe planear una realimentación antes de aplicar la siguiente tarea de aprendizaje. 5.2. Tarea de aprendizaje T1.2 El problema de Camilo Para contribuir al cumplimiento del objetivo 1 de la unidad didáctica, presentamos la tarea de aprendizaje T1.2 El problema de Camilo. Con esta tarea, pretendemos que el estudiante aplique un algoritmo para solucionar inecuaciones lineales. La tarea está diseñada de tal manera que el estudiante aprenda a usar la siguiente propiedad “para todos los números reales 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧”. En esta tarea, presentamos al estudiante el procedimiento realizado por Camilo, se muestra el paso a paso de la solución de una inecuación lineal, y a partir de ello, el estudiante debe revisar y encontrar los errores en los que incurrió Camilo. Luego, debe resolver la inecuación de forma correcta y representar el intervalo solución por medio de algún sistema de representación (simbólico algebraico o gráfico). Requisitos La tarea de aprendizaje, T1.2 El problema de Camilo, requiere que el estudiante conozca el proce- dimiento para despejar ecuaciones lineales de primer grado y la implementación de la ley de sig- nos. Además, el estudiante debe ser capaz de establecer relaciones de orden entre números reales, conocer la forma de representar intervalos a partir de la expresión 𝑥 < 𝑎 o 𝑥 ≤ 𝑎 y, finalmente, tener conocimientos respecto a la suma, resta, multiplicación y división de números reales y ex- presiones algebraicas. Informe final 32 Aportes de la tarea al objetivo 1 Con la tarea de aprendizaje T1.2 El problema de Camilo buscamos que el estudiante conozca el algoritmo para solucionar inecuaciones lineales con una incógnita y sea capaz de aplicar la pro- piedad “para todos los números reales 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧”. Además, espe- ramos que el estudiante identifique el error de “multiplicar la desigualdad por un número menor que cero y no cambiar el sentido del signo de la desigualdad” y pueda superarlo. Formulación Camilo intentó explicar el procedimiento utilizado para resolver la desigualdad −3 − 2𝑥 < 5, de la siguiente manera. −3 − 2𝑥 < 5 −2𝑥 < 5 + 3 “sume 3 a ambos lados de la desigualdad” −2𝑥 < 8 𝑥 < − 8 2 “multipliqué a ambos lados de la desigualdad por − 1 2 ” 𝑥 < −4 “simplifiqué” (−∞, −4] “escribí el intervalo” Sin embargo, Eduardo, uno de sus compañeros, le hace caer en cuenta que le quedó mal porque los números −5, −10, −20 no hacen parte de la solución. Además, agrega que algunos valores que hacen parte de la solución son -2, 0, 6 y 8. Pero Eduardo no sabe qué partes del procedi- miento le quedaron mal. Para poner fin a la discusión y encontrar el error en el procedimiento que mostró Camilo, el profesor les dice que observen un ejercicio que hicieron clases atrás en el cuaderno. Observa la página del cuaderno y ayuda a encontrar el o los errores en el procedimiento usado por Camilo al resolver la desigualdad. Además, resuelve la inecuación de manera correcta y verifica si los valores encontrados hacen parte de la solución de la inecuación. 3 > 2 , al multiplicar ambos lados de la desigualdad por −3, obtenemos −9 < −6. −4 < −1, al multiplicar ambos lados de la desigualdad por -1, obtenemos 4 > 1. −4 < −1, al multiplicar ambos lados de la desigualdad por 1, obtenemos −4 < −1 6 > −3, al multiplicar ambos lados de la desigualdad por −1 3 , obtenemos −2 < 1 Informe final 33 Conceptos y procedimientos implicados en la tarea En la tarea de aprendizaje T1.2, los estudiantes deben reconocer la variable y el símbolo de la desigualdad. Los estudiantes usan operaciones entre expresiones algebraicas. Aplican la propiedad “para todos los números reales 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧”. Los estudiantes iden- tifican si el límite del intervalo pertenece a la solución de la inecuación lineal. Y finalmente, los estudiantes sustituyen valores en la inecuación para comprobar que su solución es correcta. Sistemas de representación que se activan En la tarea de aprendizaje T1.2, los estudiantes deben elegir representar su solución con el sistema de representación simbólico-algebraico o el sistema de representación geométrico. Sin embargo, el diseño de la tarea puede sugerir la representación simbólico-algebraica, porque es la manera como la tarea presenta el intervalo solución. Contextos PISA en los que se sitúa la tarea La tarea de aprendizaje T1.2 aplica el contexto fenomenológico de comparar y ordenar. En este contexto fenomenológico, podemos encontrar el fenómeno de “hallar un subconjunto de los nú- meros reales que sea menor o igual a un determinado número”. Este fenómeno corresponde al contexto personal según el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013) el cual corresponde al marco de evaluación PISA (2012) Materiales y recursos La tarea de aprendizaje T1.2 requiere de una hoja con la formulación de la tarea, marcadores y tablero. Agrupamiento Para la solución de la tarea de aprendizaje T1.2, se trabajar con todo el grupo de estudiantes para realzar la realimentación de la tarea T1.1. luego, es necesario que los estudiantes conformen gru- pos de tres integrantes. Esta agrupación está hecha de acuerdo con la formulación, porque permite que los estudiantes determinen los errores que tiene el procedimiento presentado por Camilo. Interacción y comunicación en clase Inicialmente, el profesor interactuara con todo el curso, realimentando la tarea de aprendizaje T1.1, y presentando la tarea de aprendizaje T1.2. Luego, la interacción se dará entre los tres integrantes de cada grupo y, además, los estudiantes pueden solicitar ayuda del docente para verificar proce- dimientos o respuestas. La interacción entre los tres estudiantes toma sentido al momento discutirlos errores que evidenciaron en el procedimiento realizado por Camilo. Al finalizar, los estudiantes discuten sobre la forma de corregir y verificar este procedimiento. Temporalidad de la tarea En la primera parte de la clase, se realizará la realimentación de la tarea de aprendizaje T1.1. Seguido a ello, se recuerda el objetivo 1 y se presentará a los estudiantes el grafo de criterios de logro y las metas de la tarea. Después, el profesor hace la presentación de la formulación de la tarea de aprendizaje T1.2 de la siguiente manera. En primer lugar, se le entregará una hoja a cada Informe final 34 grupo de tres estudiantes. En segundo lugar, al interior de cada grupo se debe discutir la respuesta y los procedimientos usados para resolver la tarea y, de esta manera, tener argumentos apropiados para justificar su respuesta. Para finalizar, el profesor discutirá con los estudiantes sobre los posi- bles errores que incurrieron al desarrollar la actividad. A continuación, presentamos la tabla 8 en la que relacionamos el tiempo estimado de cada actividad de la tarea de aprendizaje T1.2 El problema de Camilo. Tabla 8 Descripción de la temporalidad de la tarea T1.2 El problema de Camilo Actividad Tiempo estimado (min) 1 Realimentación de la tarea de aprendizaje T1.1 15 2 Recordar el objetivo 1, y las metas de la tarea 5 3 Presentación de la formulación de la tarea de aprendizaje T1.2 15 4 Conformación de los grupos de 4 y 3 estudiantes y en- trega de material 10 5 Discusión y elaboración de la cartelera 20 6 Presentación de resultados y correcciones 20 7 Recolección de las evidencias de la tarea 5 Errores en los que puede incurrir el estudiante y ayudas En la tarea de aprendizaje T1.2 El problema de Camilo, el estudiante puede incurrir en alguno de los errores que presentamos en el anexo 3. Por ejemplo, el estudiante puede incurrir en el error de multiplicar la desigualdad por un número menor que cero y no cambiar el sentido del signo de la desigualdad. Como ayuda para superar este error, el docente debe hacer la siguiente pregunta al estudiante, si sabemos que 4 > 2, entonces, al multiplicar a ambos lados de la inecuación, ¿cambia el sentido de la desigualdad? Para cada uno de los errores, proponemos una ayuda. El listado de todas las ayudas se encuentra en el anexo 5. Grafo de criterios de logro de la tarea En la figura 11, presentamos el grafo de criterios de logro para la tarea de aprendizaje T1.2, el problema de Camilo. Esperamos que el estudiante active uno de los caminos de aprendizaje del grafo de criterios de logro. La tarea está diseñada para privilegiar el camino de aprendizaje el estudiante reconoce la inecuación lineal, usa operaciones entre expresiones algebraicas para des- pejar la inecuación lineal y cambia el signo de la desigualdad. Y finalmente, presenta la solución de la inecuación y verifica que su solución sea la correcta. Informe final 35 Figura 11. Grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T1.2 Informe final 36 Actuación del profesor El profesor hace realimentación de la tarea T1.1, después, presenta la tarea de aprendizaje T1.2. según la formulación, el profesor debe organizar grupos de tres estudiantes, entregar a los estu- diantes una hoja impresa con la formulación de la tarea de aprendizaje T1.2 El problema de Ca- milo. Posteriormente, debe hacer seguimiento del trabajo de cada grupo y suministrar las ayudas presentadas en el anexo 5. Finalmente, el docente debe solicitar a los estudiantes registrar el pro- cedimiento que utilizaron para resolver la tarea. Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Sugerimos, al docente estar atento a las discusiones de los grupos y apoyar el desarrollo de la tarea por medio de las ayudas presentadas en el anexo 5. Es importante resaltar que la tarea de aprendi- zaje está enfocada en que el estudiante aprenda el algoritmo para resolver inecuaciones lineales y reconozca en qué tipo de situaciones debemos aplicar la propiedad “para todos los números reales 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧”. Evaluación Para evaluar esta tarea de aprendizaje, el docente debe evaluar la activación de cada uno de los criterios de logro que componen los caminos de aprendizaje. Además, debe verificar si el estu- diante alcanzó a activar la totalidad de los criterios de logro. Para ello, debe tener en cuenta que el estudiante debe haber cumplido con el siguiente camino de aprendizaje: reconocer los elementos que componen la inecuación lineal, usar operaciones algebraicas para despejar la inecuación lineal, cambiar el sentido del signo de la desigualdad, representar la solución de la inecuación lineal y, finalmente, utilizar un procedimiento para comprobar el intervalo solución. 5.3. Tarea de aprendizaje T1.3 Tablero de inecuaciones Por medio de la tarea de aprendizaje T1.3 Tablero de inecuaciones, pretendemos que los estudian- tes afiancen el algoritmo para solucionar una inecuación lineal con una incógnita. Para ello, dise- ñamos tres tableros y sus respectivas fichas. En cada tablero, aparece la siguiente información: la inecuación lineal a resolver, las casillas para ubicar el paso a paso del procedimiento solución, el espacio para registrar el intervalo solución y la recta numérica para ubicar dicho intervalo. En las fichas, están escritas las expresiones algebraicas con las que los estudiantes forman el proceso solución. Cabe resaltar, que las fichas han sido diseñadas con los posibles errores en los que puede incurrir el estudiante al resolver las inecuaciones lineales. Requisitos de la tarea Para solucionar esta tarea, el estudiante deberá usar las propiedades de la monotonía de la adición y la multiplicación, igualmente, el estudiante deberá conocer la relación de orden entre números reales, hacer uso de símbolos del algebra como los son:∞, −∞ y utilizar un sistema de representa- ción (simbólico-algebraico o gráfico) para expresar la solución de la inecuación lineal. Informe final 37 Aportes de la tarea a los objetivos de aprendizaje Con esta tarea, pretendemos que el estudiante sea capaz de utilizar el algoritmo para solucionar inecuaciones lineales. Cabe resaltar, que la actividad busca superar los siguientes errores: interpre- tar la inecuación como una relación de orden entre un par de números determinados, usar la mo- notonía de la suma de un número que multiplica a la incógnita de uno de los dos lados de la inecua- ción lineal, utilizar paréntesis para escribir intervalos cerrados y encontrar la solución en forma de intervalo sin realizar una interpretación verbal de la solución de un problema. Formulación Cada grupo de estudiantes recibirá en una hoja con la figura 12, figura 13 y figura 14 y, en otra hoja, el grupo de fichas de la figura 15, que aparecen a continuación. Informe final 38 Figura 12. Tablero 1 del juego 3 x - 5 ≤ x+5 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Represente la solución Informe final 39 Figura 13. Tablero 2 del juego x+4 ≥ 2 x - 3 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Represente la solución Informe final 40 Figura 14. Tablero 3 del juego (5x+1) / 3 < 7 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Representa la solución Informe final 41 3𝑥 − 𝑥 ≤ 5 + 5 3𝑥 + 𝑥 ≤ 5 − 5 3𝑥 ≤ 0 𝑥 ≥ −5 2𝑥 ≤ 10 4𝑥 ≤ 0 𝑥 ≤ 10 ∗ 2 𝑥 ≤ −5 𝑥 ≤ 10 2 𝑥 ≤ 0 𝑥 ≤ 20 𝑥 ≤ 10 − 2 𝑥 ≤ 5 3𝑥 ≤ 10 𝑥 ≥ 10 −2 𝑥 ≤ 10 + 2 𝑥 − 2𝑥 ≥ −3 − 4 𝑥 + 2𝑥 ≥ −3 + 4 𝑥 ≥ − 1 3 𝑥 ≥ −7 −2 −𝑥 ≥ −7 3𝑥 ≥ 1 2𝑥 ≥ 1 𝑥 ≥ 7 2 (−1)(−𝑥) ≥ (−7)(−1) 𝑥 ≥ 1 3 𝑥 ≥ 1 2 𝑥 ≤ 7 2 𝑥 ≤ 7 3𝑥 ≥ −1 −2𝑥 ≥ −7 𝑥 ≥ 7 5𝑥 + 1 < 7 ∗ 3 5𝑥 + 1 < 7 3 𝑥 < 10 15 𝑥 < 22 5 5𝑥 + 1 < 21 5𝑥 < 7 3 + 1 𝑥 < 2 3 𝑥 < 20 ∗ 5 5𝑥 < 21 − 1 5𝑥 < 7 3 − 1 𝑥 < 4 3 ∗ 5 𝑥 < 100 5𝑥 < 20 5𝑥 < 4 3 𝑥< 4 15 𝑥 < (20) ∗ (−5) 𝑥 < 20 5 5𝑥 < 10 3 5𝑥 < 21 + 1 𝑥 < −100 Informe final 42 𝑥 < 4 𝑥 < 10 3 ∗ 5 5𝑥 < 22 𝑥 > 100 4(7𝑥 + 1) ≥ 3(𝑥 + 2) 28𝑥 + 1 ≥ 3𝑥 + 2 𝑥 ≥ 2 31 𝑥 ≤ 10 −25 28𝑥 + 4 ≥ 3𝑥 + 6 28𝑥 − 3𝑥 ≥ 2 − 1 𝑥 ≥ 10 ∗ (25) 𝑥 ≤ − 2 5 28𝑥 − 3𝑥 ≥ 6 − 4 25𝑥 ≥ 1 𝑥 ≥ 250 𝑥 ≥ − 2 5 25𝑥 ≥ 2 𝑥 ≥ 1 5 𝑥 ≥ 10 ∗ (−25) 𝑥 ≥ 5 25 𝑥 ≥ 2 25 28𝑥 + 3𝑥 ≥ −4 + 6 𝑥 ≥ −250 𝑥 ≥ 1 5 𝑥 ≥ 0,08 31𝑥 ≥ 2 𝑥 ≤ −250 𝑥 ≥ 2.5 Figura 15. Fichas de inecuaciones Instrucciones: Conforma grupos de cuatro compañeros. Cada grupo recibirá un tablero de inecuaciones, con una inecuación que debes resolver de manera individual en tu cuaderno. Compara la solución con tus compañeros de grupo. Cada grupo debe elegir las fichas que hacen parte de la solución de la inecuación y ubicarlas en los recuadros de la ficha de inecuaciones, para mostrar el proceso de solución de la inecua- ción. Gana el primer grupo de estudiantes que complete de manera correcta todos los tableros de inecuaciones. Cuando un grupo de estudiantes complete el formato, deben copiar el procedimiento que se usó para solucionar la inecuación en el tablero. Los demás grupos de estudiantes deben verifi- car si las respuestas son correctas. Conceptos y procedimientos implicados en la tarea El concepto relacionado con esta tarea es el de inecuaciones lineales con una incógnita. Además, los estudiantes deben despejar inecuaciones lineales utilizando propiedades aditivas de la Informe final 43 desigualdad o utilizando propiedades de multiplicación de la desigualdad relación de orden entre números reales. Sistemas de representación que se activan En la solución de la tarea T1.3 Tablero de inecuaciones, los estudiantes hacen uso de los siguientes sistemas de representación: sistema de representación geométrico (recta numérica), simbólico (in- tervalos) y simbólico-algebraico (inecuaciones). Contextos PISA en los que se sitúa la tarea La tarea T1.3 Tablero de inecuaciones se ubica en el contexto personal según el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013) el cual corresponde al marco de evaluación PISA (2012). Materiales y recursos Para esta tarea se tendrán los formatos de cada tablero con las inecuaciones correspondientes a la figura 12, figura 13 y figura 14, marcadores y tablero. Agrupamiento Inicialmente, el profesor interactuará con todo el grupo de estudiantes, realimentando la tarea de aprendizaje T1.2 y presentando la tarea de aprendizaje T1.3. Luego, para la solución de la tarea de aprendizaje T1.3 es necesario que los estudiantes conformen grupos de cuatro integrantes. Esta agrupación está hecha de acuerdo con la formulación porque permite que los estudiantes determi- nen el mejor procedimiento para resolver la tarea. Interacción y comunicación en clase La interacción se dará entre los integrantes de cada grupo y el docente, además, los estudiantes pueden solicitar ayuda del docente para verificar procedimientos o respuestas. Esta interacción entre los estudiantes adquiere sentido en el momento que uno de ellos ubique una inecuación equi- valente a la inecuación dada en el formato, ya que, los restantes integrantes del grupo deben veri- ficar si el formato esta diligenciado de manera correcta. Por último, en caso de no llegar a un acuerdo en el grupo, los estudiantes llamarán al docente para aclarar las dudas que surjan en el momento de la validación. Temporalidad de las tareas En primer lugar, el docente entregará el formato de la figura 12 y el grupo de fichas a cada grupo de estudiantes. Luego, el docente presentará las reglas del juego. En la siguiente etapa, entregará a cada grupo de estudiantes el formato de la figura 13 y el grupo de fichas y, posteriormente, los estudiantes jugaran una partida conforme a las reglas establecidas en la formulación de la tarea. Al final de cada partida se debe copiar el procedimiento de la solución de la inecuación en el tablero, de tal manera, que los integrantes de los demás grupos verifiquen si es correcto o no el procedi- miento que se usó. De igual manera se realizará la actividad con el formato de la figura 14. A continuación, presentamos la tabla 9 donde se relaciona el tiempo estimado de cada activi- dad de la tarea de aprendizaje T1.3 Tablero de inecuaciones. Informe final 44 Tabla 9 Descripción de la temporalidad de la tarea T1.3 Tablero de inecuaciones Actividad Tiempo estimado (min) 1 Realimentación tarea de aprendizaje T1.2 15 2 Presentación de las metas de la tarea T1.3, y de las reglas de juego 15 3 Conformación de los grupos de 4 estudiantes 5 4 Partida 1 10 5 Discusión y socialización de los resultados entre los inte- grantes del grupo 10 6 Partida 2 10 7 Discusión y socialización de los resultados entre los inte- grantes del grupo 10 8 Partida 3 10 9 Discusión y socialización de los resultados entre los inte- grantes del grupo 15 10 Recolección de las evidencias de la tarea 15 Errores en los que puede incurrir el estudiante y ayudas En la resolución de la tarea 1.3, el estudiante podría incurrir en el error de reconocer los símbolos de ≥ 𝑜 ≤ con = como equivalentes, el profesor pregunta a los estudiantes ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos =, > 𝑦 ≥? Así mismo, el estudiante suma o resta expresiones algebraicas que no están en el mismo lado de la desigualdad, como ayuda, el profesor se refiriere a los pasos hechos en la solución de la ecuación de la tarea. Específicamente, paso 1: 2𝑥 + 8 = −4, paso 2: 2𝑥 = −4 − 8. Se le pregunta al estudiante ¿Por qué no se debe hacer la operación 8-4 en el paso 2? Por último, el estudiante puede realizar la transposición de términos sin tener en cuenta el orden jerár- quico en las operaciones, por tanto, el profesor puede recordar la jerarquía de las operaciones a los estudiantes. El listado de errores se encuentra en el Anexo 3. Informe final 45 Grafo de criterios de logro de la tarea Figura 16. Grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T1.3 Informe final 46 Para la T1.3 Tablero de inecuaciones, el estudiante debe identificar la inecuación y el símbolo de la desigualdad que va a resolver. Luego, el estudiante usa las operaciones y propiedades de expre- siones algebraicas, diseñando una estrategia para solucionar la inecuación lineal. Posteriormente, decidirá usar las propiedades aditivas de la desigualdad o, utilizar las propiedades multiplicativas. Si decide usar las propiedades aditivas de la desigualdad, el estudiante realiza los procedimientos necesarios para que la variable tenga como coeficiente un número positivo. Pero, si decide usar las propiedades de la multiplicación de la desigualdad, el estudiante activa la propiedad que para “los números reales 𝑥,𝑦,𝑧 si 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧”. En cualquiera de los dos casos, el paso a seguir es establecer el intervalo solución de la inecuación y representarlo en la recta numérica. Finalmente, el estudiante debe comprobar la respuesta en la inecuación lineal. Actuación del profesor En el proceso de hallar la solución de la tarea de aprendizaje T1.3, el profesor debe presentar las reglas de juego y verificar que a cada grupo de estudiantes se le entregue el respectivo formato y el grupo de fichas. Seguido a ello, debe estar pendiente de que cada partida se juegue conforme a las reglas establecidas en la formulación de la tarea. Al final, el profesor escoge un estudiante de cada grupo para que solucione la inecuación en el tablero y verificar si el procedimiento es correcto o no. Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Sugerimos, que el docente debe estar atento a las discusiones de los grupos, y apoyar el desarrollo de la tarea por medio de las ayudas presentadas en el anexo 5. Es importante resaltar, que la tarea de aprendizaje está enfocada enque el estudiante construya el algoritmo para resolver inecuaciones lineales y represente la solución de la inecuación lineal. Evaluación Para la tarea de aprendizaje T1.3, el profesor debe verificar si los estudiantes hicieron uso de la propiedad “Identificar la propiedad para todos los números reales x, y, z si 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧.”. Además, el profesor debe diseñar una realimentación con las ayudas de los errores en los que más incurrieron los estudiantes a lo largo de la actividad. 6. TAREAS DE APRENDIZAJE DEL OBJETIVO 2 En este apartado, presentamos dos tareas de aprendizaje asociadas al segundo objetivo de la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita. En primer lugar, realizamos la descripción de cada una de las tareas de aprendizaje. Luego, describimos los errores en que, posiblemente, pueden incurrir los estudiantes al realizar las tareas. En tercer lugar, exponemos los grafos correspondien- tes a los criterios de logro y realizamos algunas sugerencias metodológicas al profesor. Por último, mostramos la forma en que se puede abordar la evaluación de cada una de las tareas de aprendizaje. Tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas. Con la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, pretendemos que el estudiante plantee y so- lucione inecuaciones lineales con una incógnita. Además, que el estudiante sea capaz de Informe final 47 determinar el intervalo solución de la situación por medio de la comparación de una función y un número real, para luego, diseñar una estrategia que le permita comprobar si su respuesta es co- rrecta. Requisitos Para la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, es necesario que el estudiante plantee una inecuación que modele el contexto del problema. Además, el estudiante previamente debe conocer el procedimiento para calcular un promedio, establecer relaciones de orden entre números reales, y, solucionar ecuaciones lineales con una incógnita. Aportes de la tarea a los objetivos de aprendizaje Con esta tarea, pretendemos que el estudiante plantee una inecuación lineal que modele la situación propuesta. Luego, el estudiante deberá determinar el intervalo solución y comprobar su respuesta de acuerdo al contexto. Además, con la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, buscamos que los estudiantes superen errores, como lo son traducir enunciados del lenguaje verbal al len- guaje algebraico sin tener en cuenta las variables y datos propuestos en la situación, encontrar la solución en forma de intervalo sin realizar una interpretación verbal de la solución de un problema, plantear una inecuación de una situación con una desigualdad que no corresponde a la situación descrita, traducir enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico sin que tengan relación con los datos propuestos en la situación planteada, interpretar la información de la situación sin tener relación con la pregunta propuesta y extraer los datos del problema sin establecer relaciones entre ellos. Formulación. Entregaremos a los estudiantes una hoja con la formulación de la tarea, en la que presentamos la situación y la tabla 10 con las notas de los tres estudiantes. En la asignatura de Precálculo hay 3 estudiantes que se encuentran en riesgo de reprobar. Para completar la evaluación de la asignatura les hace falta, a cada uno, un trabajo por calificar, que corresponde a la casilla 7. Se debe tener en cuenta que la mínima nota para aprobar el curso es 30 y la mayor nota que puede obtener es 50, la nota final se calcula con el promedio de las 7 notas. Las respectivas notas de cada estudiante las presentamos en la tabla 10. Tabla 10 Notas de tres estudiantes en la asignatura precálculo Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Estudiante 1 25 36 45 28 26 0 Estudiante 2 10 25 35 40 25 Estudiante 3 25 35 40 20 10 35 • Como se observa en la tabla 10, al estudiante 2 le faltan las notas 6 y 7. Debido a ello, el profesor de la materia decide que la nota obtenida en la nota 7 sea la misma de la nota 6. Informe final 48 Determina la nota mínima y la nota máxima que el estudiante podría obtener en la nota 7 para aprobar la asignatura. ¿Cómo hallaste estos valores? Conceptos y procedimientos implicados en la tarea En la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, los estudiantes deben identificar los datos re- levantes del enunciado de la situación para representarlo por medio de una expresión algebraica. Seguido a ello, los estudiantes deben resolver la inecuación, comprobar su respuesta y, finalmente, determinar un intervalo coherente con la situación en contexto. Sistemas de representación que se activan En la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, los estudiantes deben elegir representar su solución usando el sistema de representación simbólico-algebraico o el sistema de representación geométrico. Contextos PISA en los que se sitúa la tarea La tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, aplica el contexto fenomenológico de comparar y ordenar. En este contexto fenomenológico, podemos encontrar el fenómeno de “hallar un sub- conjunto de los números reales que sea menor o igual a un determinado número”. Igualmente, este fenómeno corresponde al contexto personal y profesional según PISA (2012). Materiales y recursos Los materiales y recurso para la tarea de aprendizaje T2.1 son la hoja que contiene la tabla 10 de las notas de los tres estudiantes, y la formulación de la tarea. Este material cumplirá la función de presentar al estudiante la situación en contexto que debe resolver. El profesor puede utilizar el tablero y marcadores para repasar la manera como se halla un promedio de notas. Agrupamiento Para tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, el profesor realizará la realimentación de la tarea de aprendizaje T1.3 Tablero de inecuaciones a todo el grupo de estudiantes. Además, recor- dara a los estudiantes el objetivo 2 y las metas de la tarea. Seguido a ello, los estudiantes deben solucionar la tarea individualmente y luego, deben conformar grupos de tres integrantes para dis- cutir las soluciones halladas. Interacción y comunicación en clase La interacción en la aplicación de la tarea T2.1 se dará inicialmente entre el profesor y los estu- diantes con la realimentación de la tarea de aprendizaje T1.3 tablero de inecuaciones. Posterior- mente, cada estudiante recibirá la hoja con la formulación de la tarea T2.1 Promedio de notas, e intentará resolverla de manera individual. Finalmente, los estudiantes organizarán grupos de tres estudiantes donde discutirán las soluciones a la tarea. Además, los estudiantes pueden solicitar ayuda del docente para verificar procedimientos o respuestas. La interacción entre los tres estu- diantes cobra sentido en el momento de establecer la inecuación y de elegir el intervalo solución a la situación en contexto. Cabe resaltar, que el estudiante puede hacer uso de la calculadora para resolver la tarea. Informe final 49 Temporalidad de las tareas En primer lugar, haremos la retroalimentación de la tarea de aprendizaje T1.3 Tablero de inecua- ciones y presentaremos el objetivo 2 de la unidad didáctica y las metas de la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas. Luego, le entregaremos a cada estudiante una hoja que contiene la for- mulación y la tabla de promedios de los tres estudiantes. En segundo lugar, los estudiantes de manera individual resuelven la pregunta de la instrucción. Posteriormente, conformaran grupos de 3 estudiantes. Al interior de cada grupo se debe discutir la respuesta y los procedimientos usados por cada estudiante, y de esta manera, llegar a un acuerdo y unificar la respuesta. Para finalizar, el profesor discutirá con los estudiantes sobre los posibles errores que incurrieron al desarrollar la actividad. A continuación, presentamos la tabla 11 donde se relaciona el tiempo estimado de cada acti-vidad de la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas. Tabla 11 Descripción de la temporalidad de la tarea T2.1 Promedio de notas Actividad Tiempo estimado (min) 1 Realimentación tarea de aprendizaje T1.3 15 2 Recordar el objetivo 2, y las metas de la tarea 20 3 Entrega de las fichas de la tarea de aprendizaje 10 4 Solución individual de la tarea 20 5 Conformación de grupo de 3 estudiantes 10 6 Discusión en los grupos 15 7 Presentación de resultados y correcciones 10 8 Recolección de las evidencias de la tarea 10 Errores en los que puede incurrir el estudiante y ayudas En el proceso de hallar la solución de la tarea T2.1 promedio de notas, los estudiantes podrían incurrir en el error E32 de interpretar la información de la situación sin que esta interpretación tenga relación con la pregunta (Ver anexo 3), aquí, como ayuda, el profesor puede implementar la ayuda 1 preguntándole a los estudiantes ¿Cómo calcular el promedio de un conjunto de datos? (ver anexo 5). Igualmente, los estudiantes podrían incurrir en el error E24 de sumar o resta expresiones algebraicas que no están en el mismo lado de la desigualdad (Ver anexo 3), donde el profesor puede implementar la ayuda de recordar a los estudiantes las propiedades de las desigualdades. De igual forma, los estudiantes podrían incurrir en el error E27 de expresar un intervalo como solución definitiva del problema, sin considerar que tenga sentido en la situación (Ver anexo 3), en esta situación como el profesor utilizará la ayuda 6 preguntando a los estudiantes si ¿Hay algún valor en el intervalo que no cumpla con la inecuación? (Ver anexo 5). Informe final 50 Grafo de criterios de logro de la tarea Figura 17. Grafo de criterio de logros de la tarea de aprendizaje T2.1 Para la T2.1 Promedio de notas, los estudiantes deben identificar los datos relevantes del enun- ciado. Luego, los estudiantes deben establecer una inecuación lineal con una incógnita que les permita modelar la situación del promedio de notas. Los estudiantes deciden usar las operaciones entre expresiones algebraicas, diseñando una estrategia para solucionar la inecuación lineal. Pos- teriormente, usan las propiedades aditivas de la desigualdad y solucionan la inecuación, para de Informe final 51 criterio luego, representar la solución de la inecuación. Finalmente, los estudiantes deben compro- bar si la respuesta obtenida tiene algún sentido dentro del contexto de la situación. Actuación del profesor Inicialmente, el profesor debe hacer la realimentación de la tarea de aprendizaje T1.3 Tablero de inecuaciones. En la solución de la tarea T2.1 promedio de notas, el profesor debe presentar el objetivo y las metas de la tarea, y verificar que cada grupo de estudiantes reciba el respectivo formato con las tablas y la formulación de la tarea. El profesor debe estar atento a implementar las ayudas cuando las requieran los grupos de estudiantes. Al final, el profesor discute con todo el grupo de estudiantes la soluciones de la tares verificando sus resultados. Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Sugerimos al docente estar atento a las discusiones de los grupos y apoyar el desarrollo de la tarea por medio de las ayudas presentadas en el anexo 5. Es importante resaltar, que la tarea de apren- dizaje T2.1 Promedio de notas está enfocada en que el estudiante plantee una inecuación lineal con una incógnita, modele la situación del promedio de notas y represente la solución de la inecuación lineal. Luego de ello, esperamos que el estudiante compruebe la coherencia entre la nota máxima y mínima que debe obtener para aprobar la asignatura. Evaluación Para la tarea T2.1 Promedio de notas, el profesor debe verificar si los estudiantes plantearon co- rrectamente la inecuación lineal con una incógnita y encontraron el intervalo solución coherente con la situación en contexto. El profesor debe tener en cuenta los errores en que más incurrieron los estudiantes al resolver la tarea de aprendizaje T2.1. La recolección de estos errores debe servir para diseñar la realimentación de la tarea de aprendizaje. 6.2. Tarea de aprendizaje T2.2 Servicio del gas Con la tarea de aprendizaje T2.2 Servicio del gas pretendemos que los estudiantes planteen expre- siones algebraicas y las comparen con ayuda de las desigualdades. Además, esperamos que los estudiantes sean capaces de determinar un intervalo solución que sea coherente con la situación en contexto. Resaltamos que esta tarea busca superar algunos errores como lo son plantear una inecua- ción que no modela la situación propuesta, representar 𝑥 ≤ 𝑎 como (−∞, 𝑎) y usar la propiedad, x, y, z si x < y y z < 0 entonces xz > yz, cuando z < 0. Requisitos de la tarea Para la solución de esta tarea, es necesario que el estudiante use las propiedades de la monotonía de la adición, la multiplicación y 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦 𝑦 𝑧 < 0 entonces xz > yz, cuando z < 0. Ade- más, que el estudiante conozca la relación de orden entre números reales, haga uso de símbolos del algebra como lo son: ∞, −∞ y utilice un sistema de representación (simbólico-algebraico o gráfico) para expresar la solución de la inecuación lineal (ver anexo 4). Informe final 52 Aportes de la tarea a los objetivos de aprendizaje Con esta tarea, pretendemos que los estudiantes sean capaces de plantear una inecuación lineal con una incógnita y validar su respuesta. Cabe resaltar, que la actividad busca superar los siguientes errores, como lo son: plantear una inecuación que no modela la situación propuesta, representa 𝑥 ≤ 𝑎 como (−∞, 𝑎), usar la propiedad, x, y, z si x < y y z < 0 entonces xz > yz, cuando z < 0, encontrar el intervalo solución sin verificar que tenga sentido con la inecuación planteada y en- contrar la solución en forma de intervalo sin realizar una interpretación verbal de la solución de un problema. Formulación A los estudiantes se les entrega la información de las tablas 12 y 13 impresa en una hoja. Ricardo desea mudarse del actual barrio donde reside porque no cuenta con el servicio del gas, por ello, ha consultado el precio del servicio del gas en los barrios Azafrán y Canela. Tabla 12 Costo del servicio del gas por mes en el Barrio Azafrán Servicio Público Cargo Fijo Precio por Unidad Gas $ 5.200 $ 1.300 por 𝑚3 La tabla 12 contiene el precio del servicio del gas por mes en el barrio Azafrán. Tabla 13 Costo del servicio del gas por mes en el Barrio Canela Servicio Público Cargo Fijo Precio por Unidad Gas $ 3.600 $ 1.500 por 𝑚3 La tabla 13 contiene el precio del servicio del gas por mes en el barrio Canela. Determina para que cantidad de 𝑚3 consumidos en el mes, el servicio del gas es de mayor precio, en el barrio AZAFRAN que en el barrio CANELA. ¿Todos los valores encontrados son válidos en la situación? Para el desarrollo de la tarea, los estudiantes deben seguir las siguientes instrucciones: Al comenzar a desarrollar la tarea de aprendizaje T2.2 servicio del gas, los estudiantes trabajarán de manera individual El profesor entrega a cada estudiante una hoja que contiene tabla 12, tabla 13 y la pregunta Se les indica a los estudiantes que la solución de las preguntas debe realizarlas en una hoja aparte, facilitada por el profesor encargado Cuando la totalidad de los estudiantes haya terminado de contestar las preguntas, se les indicará que deben formar grupos de 4 para comparar sus respuestas Informe final 53 En cada grupo escoger la respuesta que consideren más acertada Conceptos y procedimientos implicados en la tarea Los conceptos relacionados con esta tarea son las inecuaciones lineales con una incógnita y la notación de intervalos. Además, los estudiantes deben despejar inecuaciones lineales utilizando propiedades aditivas y multiplicativas de las desigualdades o la propiedad, x, y, z si x < y y z < 0 entonces xz > yz, cuando z < 0.Sistemas de representación que se activan En la solución de la tarea T2.2 Servicio del gas, los estudiantes hacen uso de los siguientes sistemas de representación: geométrico (recta numérica), simbólico (intervalos) y simbólico-algebraico (inecuaciones). Contextos PISA en los que se sitúa la tarea En la tarea de aprendizaje T2.2 servicio del gas aplicamos el contexto fenomenológico de comparar y ordenar. En este contexto fenomenológico, podemos encontrar el fenómeno de “hallar un sub- conjunto de los números reales que sea menor o igual a un determinado número”. Este fenómeno corresponde al contexto personal según el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013) el cual corresponde al marco de evaluación PISA (2012). Materiales y recursos Los materiales que se utilizarán en esta tarea de aprendizaje T2.2 servicio de gas, son la hoja que contiene la formulación de la tarea de aprendizaje, donde están incluidos los precios del servicio del gas en cada barrio, lápiz y borrador. El profesor utilizará marcadores y tablero para hacer las aclaraciones que considere necesarias cuando los estudiantes estén solucionando la tarea de apren- dizaje T2.2. Agrupamiento Para la solución de la tarea de aprendizaje T2.2, el profesor realizará la realimentación de la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas a todo el grupo de estudiantes. Además, recordara a los estudiantes el objetivo 2 y las metas de la tarea. Seguido a ello, los estudiantes en un primer mo- mento solucionen la tarea de manera individual y, después conformen grupos de cuatro integrantes. Esta agrupación está hecha de acuerdo con la formulación porque permite que los estudiantes de- terminen el mejor procedimiento para resolver la tarea y presenten su procedimiento de forma escrita al profesor. Interacción y comunicación en clase Inicialmente, el profesor interactúa con los estudiantes realimentando la tarea de aprendizaje T2.1, presentando el objetivo 2 y las metas de la tarea T2.2 Servicio de Gas. Luego, entregará la hoja de la formulación de esta tarea a cada estudiante y les indicará que la deben solucionar individual- mente. Luego, los estudiantes se agruparán en grupos de cuatro y la interacción se dará entre los integrantes de cada grupo, además, los estudiantes pueden solicitar ayuda del docente para verificar procedimientos o respuestas. La interacción entre los estudiantes adquiere sentido en el momento Informe final 54 que uno de ellos soluciona la inecuación planteada y establece el intervalo solución, ya que, los restantes integrantes del grupo deben verificar si es correcta. Por último, en caso de no llegar a un acuerdo en el grupo, los estudiantes llamarán al docente para aclarar las dudas que surjan en el momento de la validación. Temporalidad de las tareas Para la temporalidad de la tarea proponemos en primer lugar, hacer la realimentación de la tarea de aprendizaje T2.1 Promedio de notas, seguido a ello, se le entregará una hoja a cada estudiante donde se presentan las instrucciones de la actividad. En segundo lugar, cada estudiante debe resol- ver la pregunta que aparece en la hoja y, después, deben conformar grupos de cuatro personas. Para finalizar, cada grupo debe presentar la hoja que consideren que tenga la respuesta correcta. Posteriormente, el profesor discutirá con los estudiantes sobre los posibles errores que incurrieron al desarrollar la actividad. A continuación, presentamos la tabla 14 donde se relaciona el tiempo estimado de cada acti- vidad de la tarea de aprendizaje T2.2 Servicio del gas. Tabla 14 Descripción de la temporalidad de la tarea T2.2 Servicio del gas Actividad Tiempo estimado (min) 1 Retroalimentación tarea 2.1 20 2 Recordar el objetivo 2 y las metas de la tarea 15 3 Solución de la pregunta de manera individual 20 4 Conformación de los grupos de 4 estudiantes 5 5 Discusión en los grupos 20 6 Presentación de resultados y correcciones 20 7 Recolección de las evidencias de la tarea 10 Errores en los que puede incurrir el estudiante y ayudas En la solución de la tarea T2.2 Servicio del gas, los estudiantes podrían incurrir en el error E31 de traducir enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico sin que tengan relación con los datos propuestos en la situación planteada (ver anexo 3). Como ayuda, el profesor realiza la lectura de la tarea con los estudiantes y los estudiantes escribirán la información importante para su solución (ver anexo 5). Así mismo, los estudiantes pueden incurrir en el error E28 reemplazando por valores distintos la misma variable en una inecuación lineal (ver anexo 3), como ayuda, el profesor podría utilizar la ayuda 17 preguntando ¿El valor de la incógnita es el mismo en ambos lados de la inecua- ción? (ver anexo 5). Por último, los estudiantes podrían incurrir en el error E16 de utilizar parén- tesis para escribir intervalos cerrados (ver anexo 3). Por lo que, como ayuda, el profesor utiliza la ayuda 10 que corresponde a explicar las características de los intervalos cerrados y abiertos (ver anexo 5). Informe final 55 Grafo de criterios de logro de la tarea Figura 18. Grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T2.2 Informe final 56 Para la tarea de aprendizaje T2.2 Servicio del gas, los estudiantes deben identificar los datos rele- vantes del enunciado. Luego de ello, deben plantear una inecuación lineal y decidir entre sustituir valores numéricos o utilizar expresiones algebraicas, diseñando una estrategia para solucionar la inecuación lineal. Posteriormente, los estudiantes deciden entre usar las propiedades aditivas de la desigualdad o utilizar las propiedades multiplicativas. Si los estudiantes usan las propiedades adi- tivas de la desigualdad, realizan los procedimientos necesarios para que la variable tenga como coeficiente un número positivo. Pero si deciden usar las propiedades de la multiplicación de la desigualdad, los estudiantes activan la propiedad “los números reales 𝑥,𝑦,𝑧 si 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 en- tonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧”. En cualquiera de los dos casos, el paso a seguir es establecer el intervalo solución de la inecuación y representarlo en la recta numérica. Finalmente, los estudiantes deben comprobar si la respuesta es solución de la situación. Actuación del profesor Inicialmente, el profesor hará la realimentación de la tarea de aprendizaje T2.1. Luego, presentará el objetivo 2 y las metas de la tarea. Mas adelante, en la solución de la tarea de aprendizaje T2.2, el profesor debe presentar la formulación de la tarea y verificar que cada estudiante reciba la hoja con la actividad. Seguido a ello, el profesor debe estar pendiente que cada estudiante solucione de manera individual la actividad de acuerdo a lo establecido en la formulación. Después, conforman grupos de 4 estudiantes para revisar las respuestas de cada integrante. Al finalizar, el profesor debe recoger las hojas que contienen las soluciones propuestas por cada grupo. Sugerencias metodológicas y aclaraciones de la tarea Sugerimos al profesor estar atento a las discusiones de los grupos y apoyar el desarrollo de la tarea por medio de las ayudas presentadas en el anexo 5. Es importante resaltar que la tarea de aprendi- zaje está enfocada en que el estudiante plantee una inecuación lineal para solucionar una situación en contexto y validar su respuesta. Evaluación Para la tarea de aprendizaje T2.2, el profesor debe verificar si los estudiantes hicieron uso de la propiedad “Identificar la propiedad para todos los números reales x, y, z si 𝑥 < 𝑦 y 𝑧 < 0 entonces 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧.”. Además, el profesor debe diseñar una realimentación teniendo en cuenta los errores en los que más incurrieron los estudiantes a lo largo de la actividad. 7. EXAMEN FINAL En este apartado, presentamos el examen final que consta de dos tareas de evaluación. Denomina- mos, la primera tarea de evaluación “Solucionarinecuaciones”. Con ella, pretendemos establecer en qué medida los estudiantes alcanzaron el objetivo 1 Implementar el algoritmo de la solución de inecuaciones lineales con una incógnita para encontrar el intervalo solución y representarlo. De- nominamos, la segunda tarea de evaluación “Aplicación de celular”. Con ella, pretendemos esta- blecer si los estudiantes alcanzaron o no el objetivo 2 Plantear una inecuación lineal para solucio- nar una situación en contexto y validar su respuesta. Los estudiantes deben desarrollar el examen Informe final 57 final en forma individual y el docente deberá garantizar una sesión de 110 minutos para solucionar las dos tareas de evaluación. 7.1. Tarea de evaluación 1. Solucionar inecuaciones Resuelve las inecuaciones de la columna A y representa su solución en la columna B. Justifica los procedimientos usados en la parte de atrás de la hoja. Tabla 15 Inecuaciones y representaciones A B −𝑥 − 4 > 4 − 3𝑥 0 < −3(𝑥 − 4) 12𝑥 + 2 ≥ 2𝑥 − 3 1 2 + 2 3 𝑥 > 1 6 + 𝑥 2 6(2𝑥 + 1) ≤ 2(2 + 𝑥) 7.2. Tarea de evaluación 2. Aplicación de celular Resuelve la siguiente situación y muestra los procedimientos que usaste para obtener la res- puesta. Jorge, un ingeniero de sistemas, diseñó una aplicación para teléfonos móviles. Dos compañías de sistema operativo para celulares quieren comprar su aplicación, para distribuirla a sus usua- rios. La compañía Cloud ofrece a Jorge el monto fijo de $1’200.000 más $5.000 por cada descarga de la aplicación. La compañía Mind ofrece a Jorge el monto fijo de $4’000.000 más $1.000 por cada descarga de la aplicación. ¿En qué intervalo de descargas es más rentable vender la aplicación a la empresa Mind que a la empresa Cloud? 7.3. Rúbrica del examen final En la tabla 16, proponemos el sistema de evaluación del examen final de nuestra unidad didáctica, que ha sido adaptado a la escala de valoración nacional por desempeños (Superior, Alto, Básico y Bajo) que establece el Ministerio de Educación Nacional. En el caso del objetivo 1, un estudiante alcanza un desempeño superior si activa la totalidad de los criterios de logro de alguno de los caminos de aprendizaje. Para obtener desempeño alto, el estudiante debe resolver correctamente la inecuación lineal y representar el intervalo, sin hacer un procedimiento para verificar su solu- ción. El estudiante puede ser evaluado con desempeño básico si el estudiante resuelve la Informe final 58 inecuación pero, en la representación del intervalo, el estudiante no identifica si el límite del inter- valo pertenece a la solución. En el objetivo 2, el estudiante alcanza desempeño superior si activa todos los criterios de logro asociados a caminos de aprendizaje. Por ejemplo, el estudiante plantea la inecuación de la situa- ción, la resuelve y verifica si la solución es coherente con la situación propuesta. El estudiante obtiene desempeño alto si soluciona y representa la solución de la situación, pero no comprueba la coherencia de la solución con la situación. El desempeño básico lo obtiene un estudiante que plantea la inecuación asociada, la resuelve, pero no utiliza un sistema de representación para pre- sentar la solución. Finalmente, el estudiante alcanza un desempeño bajo sí no plantea la inecuación o incurre en los errores asociados al procedimiento para solucionar la inecuación lineal. Tabla 16 Niveles de logro e indicadores para los objetivos de la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita Nivel de logro Indicadores Objetivo 1 Superior (S) El estudiante desarrolla en su totalidad la tarea. y activa los cri- terios de logro CdL 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11 1.12. Además, no incurre en los errores previstos a la hora de emplear el algoritmo para la solucionar una inecuación lineal con una incógnita, y el estudiante encuentra el intervalo solución y sus diferentes representaciones. Alto (A) El estudiante soluciona la tarea de evaluación. Activa la mayoría de las secuencias de aprendizaje al utilizar el algoritmo para la solución de una inecuación lineal con una incógnita. Además, reconoce las propiedades de las desigualdades necesarias para encontrar inecuaciones equivalentes a una inecuación dada. Sin embargo, el estudiante incurre en el error E25 que se relaciona con encontrar el intervalo solución sin comprobar que tenga sen- tido en la situación planteada. Básico (Bs) El estudiante soluciona la tarea y activa algunas de las secuen- cias de capacidades relacionadas con el grafo del objetivo e in- curre en al menos uno de los siguientes errores: E41 escribir un intervalo de la forma (𝑛, 𝑚), sin tener en cuenta que 𝑛 > 𝑚, E39, representar en la recta numérica ∞ como un número o E16 utilizar paréntesis para escribir intervalos cerrados. Informe final 59 Tabla 16 Niveles de logro e indicadores para los objetivos de la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita Nivel de logro Indicadores Bajo (Bj) El estudiante no resuelve la tarea. Lo que significa que no activa las secuencias de capacidades asociadas al objetivo. Además, no soluciona la inecuación planteada en la tarea e incurre en los errores E40 representa en la recta numérica la solución de una inecuación como los límites del intervalo, E13 multiplicar la de- sigualdad por un número menor que cero y no cambiar el sentido del signo de la desigualdad, E12 leer la representación 𝑎 > 𝑏 como a menor b. Objetivo 2 Superior (S) El estudiante desarrolla en su totalidad la tarea. Activa los crite- rios de logro CdL 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 2.12. Además, no incurre en los errores previstos a la hora de plantear una inecuación lineal para solucionar una situación en contexto y validar su respuesta. Alto (A) El estudiante soluciona la tarea de evaluación, y activa la mayo- ría de los criterios de logro del objetivo 2. Al plantear una inecuación lineal para solucionar una situación en contexto y va- lidar su respuesta. Además, identifica los datos relevantes de un enunciado. Sin embargo, puede incurrir en algunos de los si- guientes errores: E26 encontrar la solución en forma de intervalo sin realizar una interpretación verbal de la solución de un pro- blema o E27 expresar un intervalo como solución definitiva del problema. Sin que el estudiante verifique que tenga sentido en la situación. Básico (Bs) El estudiante soluciona la tarea y activa algunas de las secuen- cias de capacidades relacionadas al grafo del objetivo e incurre en el error E50, escribir la expresión algebraica de la solución sin representar el intervalo. Informe final 60 Tabla 16 Niveles de logro e indicadores para los objetivos de la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita Nivel de logro Indicadores Bajo (Bj) El estudiante no resuelve la tarea, lo que significa que no activa las secuencias de capacidades asociadas al objetivo. Además, no cambia el sentido de la desigualdad al multiplicar a ambos lados de la inecuación por un número negativo, o plantea un enun- ciado por medio de una inecuación lineal para solucionar una situación en contexto. El estudiante incurre en el error E31 tra- ducir enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico sin que tengan relación con los datos propuestos en la situación planteada. 8. CONCLUSIONES La unidad didáctica presentada en este documento es el resultado del análisis de todos los aspectos que pueden influir en el proceso de enseñanza y aprendizaje del tema de inecuaciones lineales con una incógnita. A continuación, presentamos un resumen del proceso realizado por el grupo para obtener el producto final de la unidad didáctica de inecuaciones lineales con una incógnita para grado once. En primer lugar, concretamos el tema de inecuaciones lineales para grado once. La eleccióndel tema estuvo sujeta a la revisión de documentos como los Estándares Básicos de Competencia, Pisa 2012, los Derechos Básicos de Aprendizaje y el plan de área del Colegio Distrital Nuevo San Andrés de los Altos. Seguido a ello, realizamos el análisis de contenido. Este análisis consistió en establecer la estructura conceptual del tema, los fenómenos que lo rodean y delimitar los conceptos y procedimientos relacionados con las inecuaciones lineales con una incógnita que se tratarían en la unidad didáctica. Posteriormente, realizamos el análisis cognitivo, que consistió en redactar las expectativas de aprendizaje (dos objetivos), expectativas afectivas y las limitaciones de aprendi- zaje del tema inecuaciones lineales con una incógnita. Con toda esta información establecida, di- señamos cinco tareas de aprendizaje con las que esperábamos que los estudiantes alcanzaran los objetivos de la unidad didáctica. A la hora de diseñar las tareas de aprendizaje procuramos brindar un contexto cotidiano para el estudiante. Luego, con el ánimo de establecer en qué medida un estudiante alcanzaba los objetivos de la unidad didáctica, diseñamos dos tareas de evaluación, que se supone, se deben aplicar en el epilogo de la aplicación de la unidad didáctica. Realizadas las actividades y análisis previamente descritos, presentamos la primera versión de la unidad didáctica de inecuaciones lineales con una incógnita para grado once. Esta primera versión la aplicamos en el colegio Nuevo San Andrés de los Altos y los resultados se analizaron con ayuda del sistema ACE. Con ayuda del sistema ACE establecimos en qué medida cada estu- diante alcanzó los objetivos de la unidad didáctica y, además, la contribución que hicimos a las Informe final 61 capacidades matemáticas fundamentales y procesos matemáticos según PISA 2012. Con estos re- sultados, se rediseñó la unidad didáctica de inecuaciones lineales. Por ejemplo, uno de los resulta- dos mostraba que el diseño de la unidad didáctica no fomentaba que los estudiantes representaran correctamente la solución de una inecuación en forma de intervalo. Las modificaciones hechas a las tareas de aprendizaje, en su gran mayoría, apuntaban a fortalecer la capacidad matemática fun- damental de representar. Además, la aplicación de la unidad didáctica nos brindó más elementos para el análisis de las limitaciones de aprendizaje. Sin embargo, la aplicación de la primera versión de la unidad didáctica evidenció que las actividades no fomentaban el interés de los estudiantes por diseñar estrategias para validar sus respuestas. El producto del proceso anteriormente descrito es la unidad didáctica Inecuaciones lineales con una incógnita para grado once que presentamos en este documento. La aplicación de esta uni- dad didáctica no requiere del uso de materiales que el docente no pueda encontrar en el aula. Por ejemplo, el recurso del televisor puede ser reemplazado por cualquier otro dispositivo que pueda proyectar imágenes para todos los estudiantes de un aula de clases. Recomendamos, a quien apli- que la unidad didáctica, verificar que la mayoría de los estudiantes tenga la habilidad de representar intervalos de números reales en forma simbólica o con ayuda de la recta numérica. En cuanto a las competencias en matemáticas evaluadas por el ICFES, la unidad didáctica pretende potenciar las competencias de comunicación, razonamiento y resolución de problemas. Las tareas de aprendizaje que pertenecen al objetivo 2 contribuyen a la competencia de resolución de problemas, y algunas de las tareas de aprendizaje del objetivo 1 contribuyen a las competencias de comunicación y razonamiento. 9. LISTADO DE ANEXOS En este apartado presentamos el listado de documentos anexos de la unidad didáctica de inecua- ciones lineales con una incógnita. Anexo 1. Criterios de logro Anexo 2. Expectativas de tipo afectivo Anexo 3. Limitaciones de aprendizaje Anexo 4. Conocimientos previos Anexo 5. Ayudas Anexo 6. Tareas imprimibles 10. LISTADO DE FIGURAS En este apartado presentamos el listado de figuras de este documento. Figura 1 estructura matemática del tema inecuaciones lineales con una incógnita Figura 2 estructura conceptual del tema inecuaciones lineales con una incógnita Figura 3 sistemas de representación de las inecuaciones lineales con una incógnita Figura 4 representación gráfica de los números reales menores que 1 Figura 5 análisis fenomenológico del tema inecuaciones lineales con una incógnita https://www.dropbox.com/sh/9zxz6tmawcq5qta/AADtIHPOYeWzkoNaK6UYeQg4a?dl=0&file_subpath=%2FG1%2FG1_Anexos%2FAnexo+1.docx&preview=G1.rar https://www.dropbox.com/sh/9zxz6tmawcq5qta/AADtIHPOYeWzkoNaK6UYeQg4a?dl=0&file_subpath=%2FG1%2FG1_Anexos%2FAnexo+2.docx&preview=G1.rar https://www.dropbox.com/sh/9zxz6tmawcq5qta/AADtIHPOYeWzkoNaK6UYeQg4a?dl=0&file_subpath=%2FG1%2FG1_Anexos%2FAnexo+3.docx&preview=G1.rar https://www.dropbox.com/sh/9zxz6tmawcq5qta/AADtIHPOYeWzkoNaK6UYeQg4a?dl=0&file_subpath=%2FG1%2FG1_Anexos%2FAnexo+4.docx&preview=G1.rar https://www.dropbox.com/sh/9zxz6tmawcq5qta/AADtIHPOYeWzkoNaK6UYeQg4a?dl=0&file_subpath=%2FG1%2FG1_Anexos%2FAnexo+5.docx&preview=G1.rar https://www.dropbox.com/sh/9zxz6tmawcq5qta/AADtIHPOYeWzkoNaK6UYeQg4a?dl=0&file_subpath=%2FG1%2FG1_Anexos%2FAnexo+6.docx&preview=G1.rar Informe final 62 Figura 6 grafo de criterios de logro del objetivo 1 Figura 7 grafo de criterios de logro del objetivo 2 Figura 8 recta numérica con algunos valores reales Figura 9 recta numérica sin valores numéricos Figura 10 grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T1.1 Figura 11 grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T1.2 Figura 12 tablero 1 del juego Figura 13 tablero 2 del juego Figura 14 tablero 3 del juego Figura 15 fichas de inecuaciones Figura 16 grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T1.3 Figura 17 grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T2.1 Figura 18 grafo de criterios de logro de la tarea de aprendizaje T2.2 11. LISTADO DE TABLAS En este apartado presentamos el listado de tablas de este documento. Tabla 1 Relaciones entre capacidades fundamentales y procesos matemáticos Tabla 2 Expectativas de tipo afectivo Tabla 3 Listado de dificultades y errores para el tema inecuaciones lineales con una incóg- nita Tabla 4 Globalización de actividades Tabla 5 Signos de la desigualdad Tabla 6 Solución de una ecuación y dos inecuaciones Tabla 7 Descripción de la temporalidad de la tarea T1.1 Ecuaciones vs inecuaciones Tabla 8 Descripción de la temporalidad de la tarea T1.2 El problema de Camilo Tabla 9 Descripción de la temporalidad de la tarea T1.3 Tablero de inecuaciones Tabla 10 Notas de tres estudiantes en la asignatura precálculo Tabla 11 Descripción de la temporalidad de la tarea T2.1 Promedio de notas Tabla 12 Costo del servicio del gas por mes en el barrio Azafrán Tabla 13 Costo del servicio del gas por mes en el barrio Canela Tabla 14 Descripción de la temporalidad de la tarea T2.2 Servicio de gas Tabla 15 Inecuaciones y representaciones Tabla 16 Niveles de logro e indicadores para los objetivos de la unidad didáctica inecua- ciones lineales con una incógnita Informe final 63 12. REFERENCIAS Cañadas, M. C., Gómez, P. y Pinzón, A. (2018). Análisis de contenido. En P. Gómez (Ed.), For- mación de profesores de matemáticas y práctica de aula: conceptos y técnicas curriculares (pp. 53-112). Bogotá: Universidad de los Andes. González, M. J. y Gómez, P. (2018). Análisis cognitivo. En P. Gómez (Ed.), Formación de profe- sores de matemáticas y práctica de aula: conceptos y técnicas curriculares (pp. 113-196). Bo- gotá: Universidad de los Andes. Kaput, J. (1992). Technology and mathematics education. En D.A. Grows (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp.515-556).Nueva York: Macmillan. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2013). Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012: Matemáticas, lectura y ciencias. Madrid: Autor.