Proceso politrópico

Un proceso de expansión y compresión de gases donde la presión y el volumen se relacionen, como sucede a menudo, mediante una ecuación de la forma

(1)$PV^{k}=C$

donde $k$ y $C$ son constantes, se denomina proceso politrópico. Así pues, en un proceso de esta clase, el producto de la presión y la k-ésima potencia del volumen es una constante. Dicho de otro modo: si $P_{1}$ y $V_{1}$ son la presión y el volumen en un estado del proceso, y $P_{2}$ y $V_{2}$ son la presión y el volumen en otro estado del proceso, entonces

(2)$P_{1}V_{1}^{k}=P_{2}V_{2}^{k}=C$

En un proceso politrópico tenemos pues que, al despejar (1), la presión viene dada por

(3)$P=CV^{-k}$

Puesto que el trabajo de frontera realizado desde el comienzo de la expansión o compresión hasta el estado final viene dado por

$W=\int _{1}^{2}P\ dV$,

tenemos que el trabajo producido en un proceso politrópico se calcula mediante

$W=\int _{1}^{2}P\ dV=\int _{1}^{2}CV^{-k}\ dV=C{\frac {V_{2}^{-k+1}-V_{1}^{-k+1}}{-k+1}}={\frac {CV_{2}^{-k+1}-CV_{1}^{-k+1}}{1-k}}$

En el númerador, podemos tomar $C=P_{2}V_{2}^{k}$ en el primer término y $C=P_{1}V_{1}^{k}$ en el segundo término (véase (2)), y así obtener

$W={\frac {P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-k}},$

una formula sencilla que permite obtener el trabajo realizado en un proceso politrópico para $k\neq 1$. Si $k=1$, entonces

$W=\int _{1}^{2}P\ dV=\int _{1}^{2}CV^{-1}\ dV=P(\ln V_{2}-\ln V_{1})=P\ \ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)$.

Para el caso de un gas ideal, donde $PV=nRT$, la fórmula del trabajo en un proceso politrópico se convierte en

$W={\frac {nR(T_{2}-T_{1})}{1-k}}$,

La variación de calor en un proceso Politrópico se define como;

$Q=nC_{v}{\bigg [}{\frac {\gamma -k}{1-k}}{\bigg ]}{\big [}T_{2}-T_{1}{\big ]}$,

Donde $\gamma$ es el exponente

adiabático