Centro de un grupo

En teoría de grupos, el centro de un grupo es el conjunto (que resulta ser un subgrupo) de elementos del grupo que conmutan con todos los elementos del grupo. De manera formal, dado un grupo $(G,*)$, definimos el centro del grupo $G$ como sigue:

$\operatorname {Z} (G):=\{g\in G:\forall h\in G,g*h=h*g\}.$

Por ejemplo sea G el grupo gl(2, R) de las matrices 2 × 2 invertibles

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

con coeficientes reales. Invertibilidad equivale a que el determinante

$\operatorname {det} (A)=ad-bc$

sea diferente de 0. Entonces un cálculo directo muestra que el centro de G consiste de las matrices escalares

${\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}}.$

Para otro ejemplo, sea G el grupo de los cuaterniones. Es fácil verificar que el centro de ese grupo es $<-1>={-1,1}$ pues son los unicos elementos que pueden conmutar con el resto.

Propiedades

Si G es abeliano (conmutativo) entonces G=Z(G).

Proposición. El centro Z(G) de un grupo G es un subgrupo normal abeliano de G.

Z(G) es un grupo: El elemento neutro e del grupo conmuta con todos los elementos de G y luego e ∈ Z{G). Si a,b ∈ Z(G), h ∈ G entonces

$(a*b)*h=a*(b*h)=a*(h*b)=(a*h)*b=(h*a)*b=h*(a*b),\,$

es decir que a*b ∈ Z(G). Z(G) es invariante por la operación de tomar inversas. Si a ∈ Z(G) y g ∈ G entonces a * g = g * a. Luego multiplicando por a^-1 la derecha y por la izquierda tenemos que a^-1 * g = g * a^-1 para todo g ∈ G. Luego a^-1 ∈ Z(G).

Z(G) es abeliano, pues todos sus elementos conmutan entre sí.

Z(G) es un subgrupo normal de G pues si z ∈ Z(G), entonces

$g*z*g^{-1}=g*g^{-1}*z=e*z=z\in \operatorname {Z} (G).$