Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple $C$ y una integral doble sobre la región plana $D$ limitada por $C$ . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.

Teorema

Sean $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ una región simple cuya frontera es una curva $C$ suave a trozos orientada en sentido positivo, si $\mathbf {F} =(M,N):D\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a $D$ entonces

\oint _{\partial D}Mdx+Ndy=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)dA

donde $C=\partial D$ .

Ejemplo

Podemos utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

\oint _{\partial D}y^{3}dx+(x^{3}+3xy^{2})dy

donde $\partial D$ es la trayectoria orientada en sentido antihorario desde $(0,0)$ hasta $(1,1)$ a lo largo de la gráfica de $y=x^{3}$ desde $(1,1)$ hasta $(0,0)$ a lo largo de la gráfica de $y=x$ .

Como $M=y^{3}$ y $N=x^{3}+3xy^{2}$ entonces

{\frac {\partial N}{\partial x}}=3x^{2}+3y^{2}\qquad \qquad {\frac {\partial M}{\partial y}}=3y^{2}

Aplicando el teorema de Green

{\begin{aligned}\oint _{\partial D}y^{3}dx+(x^{3}+3xy^{2})dy&=\iint _{D}(3x^{2}+3y^{2}-3y^{2})dA\\&=\iint _{D}3x^{2}dA\\&=\int _{0}^{1}\int _{x^{3}}^{x}3x^{2}dydx\\&=\int _{0}^{1}(3x^{3}-3x^{5})dx\\&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}

Para este ejemplo, el teorema de Green se utilizó para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de línea en este caso es algo laborioso. Es importante notar que en este caso, es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipótesis.

Relación con el teorema de Stokes

Si D es una región simple con su límite consistente en las curvas C₁, C₂, C₃, C₄, la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

El teorema de Green es un caso especial en $\mathbb {R} ^{2}$ del teorema de Stokes. El teorema enuncia

Sean $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ una región simplemente conexa, $\partial D$ su frontera orientada en sentido positivo y $\mathbf {F} =(M,N):D\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre $D$ entonces

\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} \;dA

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente $z$ es constantemente $0$ . Escribiremos $\mathbf {F}$ como una función vectorial $\mathbf {F} =(M,N,0)$ . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

\oint _{\partial D}M\;dx+N\;dy=\oint _{\partial D}(M,N,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes

\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {\hat {n}} \;dA

La superficie $S$ es simplemente la región en el plano $D$ , con el vector normal unitario $\mathbf {\hat {n}}$ apuntando (en la dirección positiva de $z$ ) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k}$ .

La expresión dentro de la integral queda

{\begin{aligned}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial M}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} \;dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)dA

luego

\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} \;dA

Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss

El teorema de Green es un caso especial en $\mathbb {R} ^{2}$ del teorema de Gauss pues

\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;ds=\iint _{D}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dA

donde $\mathbf {n}$ es un vector normal en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva $C$ está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser $(dy,-dx)$ . El módulo de este vector es ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=d\mathbb {r}$ . Por lo tanto $\mathbf {n} \;dr=(dy,-dx)$ .

Tomando los componentes de $\mathbf {F} =(N,-M)$ , el lado derecho se convierte en

{\begin{aligned}\int _{\partial D}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;ds&=\int _{\partial D}(N,-M)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{\partial D}Ndy+Mdx\end{aligned}}

que por medio del teorema de la divergencia resulta

{\begin{aligned}\int _{\partial D}Mdx+Ndy&=\iint _{D}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dA\\&=\iint _{D}\nabla \cdot (N,-M)\;dA\\&=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)\,dA\end{aligned}}

Área de una región con el Teorema de Green

Si $C$ es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región $D$ , que denotaremos por $A(D)$ , acotada por $C=\partial D$ está dada por