Teorema de Green
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema enuncia
Sean una región simple cuya frontera es una curva suave a trozos orientada en sentido positivo, si es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a entonces
donde .
Relación con el teorema de Stokes
El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.
Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0. Escribiremos F como una función vectorial . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:
Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:
La superficie es simplemente la región en el plano , con el vector normal unitario apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica .
La expresión dentro de la integral queda
De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:
Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss Ostrogradski
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:
donde es el vector normal saliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en
que por medio del teorema de la divergencia resulta:
Calculando Áreas
Si es una curva cerrada simple que acota una región en el plano en la cual es aplicable el Teorema de Green entonces el área de la región acotada por es
Véase también
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Teorema de Green». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Una demostración en flash del Teorema de Green (en inglés)
Libros recomendados
Cálculo multivariable [cuarta edición] autor:James Stewart