Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sean C una curva cerrada simple positivamente orientada diferenciable por trozos en el plano, D la región limitada por C y F=(P,Q) un campo vectorial en el plano. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

$\int _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA\,.$

A veces, la notación

$\oint _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)$

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de Stokes

Si D es una región simple con su límite consistente en las curvas C₁, C₂, C₃, C₄, la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0. Escribiremos F como una función vectorial $\mathbf {F} =(P,Q,0)$ . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

$\oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\oint _{C}(P,Q,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$

La superficie $S$ es simplemente la región en el plano $D$ , con el vector normal unitario $\mathbf {\hat {n}}$ apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k}$ .

La expresión dentro de la integral queda

$\nabla \ \times \ \mathbf {F} \ \cdot \ \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).$

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA.$

Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss Ostrogradski

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds,$ donde $\mathbf {\hat {n}}$ es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como $d\mathbf {s} =(dx,dy)$ es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser $(dy,-dx)$ . El módulo de este vector es ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds$ . Por lo tanto $\mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds=(dy,-dx)$ .

Tomando los componentes de $\mathbf {F} =(Q,-P)$ , el lado derecho se convierte en

$\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds{\mbox{ }}=\int _{C}(Q,-P)\cdot (dy,-dx)=\int _{C}(Q{\mbox{ }}dy+P{\mbox{ }}dx)$

que por medio del teorema de la divergencia resulta:

$\int _{C}(P{\mbox{ }}dx{\mbox{ }}+{\mbox{ }}Q{\mbox{ }}dy)=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (Q,-P)\right)dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA$

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Teorema de Green». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Una demostración en flash del Teorema de Green (en inglés)

Libros recomendados

Cálculo multivariable [cuarta edición] autor:James Stewart

Datos: Q321237
Multimedia: Green's theorem / Q321237