Diferencia entre revisiones de «Teorema de Green»
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Se agregó sección y se alinearon ecuaciones |
Se agregó un ejemplo para hallar el área de una región utilizando el teorema de Green |
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Línea 48:
== Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss ==
El teorema de Green es un caso especial en <math>\mathbb{R}^{2}</math> del [[Teorema de la divergencia|teorema de Gauss]] pues
:<math>\
</math>
donde <math>\mathbf{
</math> es
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como <math>d\mathbf{r} = (dx, dy)</math> es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva <math>C</math> está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser <math>(dy, -dx)</math>. El módulo de este vector es <math>\sqrt{dx^2 + dy^2} = d\mathbb{r}</math>. Por lo tanto <math>\mathbf{\hat n} \mbox{ } d\mathbf{r} = (dy, -dx)</math>.
Línea 82:
:<math>A(D)=\frac{1}{2}\int_{\partial D}xdy-ydx
</math>
=== Ejemplo ===
Demostremos que el área de una elipse con semi ejes <math>a,b>0</math> es <math>ab\pi</math>.
La ecuación de una elipse es
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
que puede ser escrita como
:<math>\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1</math>
Al hacer
:<math>\begin{align}
x&=a\cos t \\
y&=b\sen t
\end{align}</math>
Obtenemos que una parametrización de la frontera de la elipse, es decir, de <math>\partial D</math> es
:<math>\begin{align}
\mathbf{r}(t)
&=(a\cos t,b\sen t)\qquad 0\leq t\leq 2\pi \\
\mathbf{r}'(t)
&=(-a\sen t,b\cos t)
\end{align}</math>
Entonces
:<math>\begin{align}
A(D)
&=\frac{1}{2}\int_{\partial D}xdy-ydx \\
&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left[ab\cos^2(t)+ab\sen^2(t)\right]dt \\
&=\frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\left[\cos^2(t)+\sen^2(t)\right]dt \\
&=\frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}dt \\
&=\left(\frac{ab}{2}\right)2\pi \\
&=ab\pi
\end{align}</math>
== Véase también ==
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