Diferencia entre revisiones de «Teorema de Green»
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{{otros usos|para=otros usos|Teorema de la divergencia}}
En [[física]] y [[matemáticas]], el '''teorema de Green''' da la relación entre una [[integral de línea]] alrededor de una curva cerrada simple <math>C</math> y una [[integral doble]] sobre la región plana <math>D</math> limitada por <math>C</math>. El teorema de Green se llama así por el científico británico [[George Green (matemático)|George Green]], y resulta ser un caso especial del más general [[teorema de Stokes]].
== Teorema ==
Sean <math>D</math> una región simple cuya frontera es una curva <math>C</math> suave a trozos orientada en sentido positivo, si <math>\mathbf{F}=(M,N):D\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}</math> es un [[campo vectorial]] con [[Derivada parcial|derivadas parciales]] continuas en una región abierta que contiene a <math>D</math> entonces▼
El teorema enuncia:
▲Sean <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> una región simple cuya frontera es una curva <math>C</math> suave a trozos orientada en sentido positivo, si <math>\mathbf{F}=(M,N):D\subset
<math display="block">\oint_{\partial D}M\;dx+N\;dy=\iint_D\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dA</math>▼
▲:<math
donde <math>C=\partial D</math>.
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</math> entonces
:<math
Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente <math>z</math> es constantemente <math>0</math>. Escribiremos <math>\mathbf{F}</math> como una función vectorial <math>\mathbf{F}=(M,N,0)</math>. Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:
:<math
Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes
:<math
La superficie <math>S</math> es simplemente la región en el plano <math>D</math>, con el vector normal unitario <math>\mathbf{\hat n}</math> apuntando (en la dirección positiva de <math>z</math>) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica <math>\mathbf{\hat n} = \mathbf{k}</math>.
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La expresión dentro de la integral queda
:<math
\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{k} & = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial M}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} \\
& = \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right) \\
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De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:
:<math
luego
:<math
== Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss ==
El teorema de Green es un caso especial en <math>\mathbb{R}^{2}</math> del [[Teorema de la divergencia|teorema de Gauss]]
:<math
</math>
Línea 57 ⟶ 60:
Tomando los componentes de <math>\mathbf{F} = (N, -M)</math>, el lado derecho se convierte en
:<math>\begin{align}
\int_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{\hat n}\;ds
&=\int_{\partial D} (N,-M) \cdot (dy,-dx) \\
&=\int_{\partial D} Ndy + Mdx
\end{align}
</math>
que por medio del teorema de la divergencia resulta
:<math>\begin{align}
<math display="block">\int_{\partial D} M\;dx+N\;dy = \iint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\;dA = \iint_{D}\nabla\cdot (N,-M)\;dA = \iint_{D} \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)\, dA▼
\int_{\partial D} Mdx+Ndy
&=\iint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\;dA \\
&=\iint_{D}\nabla\cdot (N,-M)\;dA \\
▲
\end{align}
</math>
Línea 68 ⟶ 80:
Si <math>C</math> es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región <math>D</math>, que denotaremos por <math>A(D)</math>, acotada por <math>C=\partial D</math> está dada por
:<math
</math>
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