Diferencia entre revisiones de «Punto de ramificación»
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[[File:Riemann surface log.svg|thumb|right|Un gráfico de la parte imaginaria de valores múltiples de la función de logaritmo complejo, que muestra las ramas. A medida que un número complejo ''z'' gira alrededor del origen, la parte imaginaria del logaritmo sube o baja. Esto hace que el origen sea un "punto de ramificación" de la función]]
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Sea Ω un [[conjunto abierto]] conexo en el [[plano complejo]] '''C''' y ''ƒ'':Ω → '''C''' una [[función holomorfa]]. Si ''ƒ'' no es constante, entonces el conjunto de [[Punto crítico (matemáticas)|puntos críticos]] de ''ƒ'', es decir, los ceros de la derivada ''ƒ''<nowiki>'</nowiki> (''z''), no tiene un [[punto de acumulación]] en Ω. Así que cada punto crítico ''z''<sub>0</sub> de ''ƒ'' se encuentra en el centro de un disco ''B''(''z''<sub>0</sub>, ''r'') que no contiene ningún otro punto crítico de ''ƒ'' en su cierre.
Sea γ el límite de ''B''(''z''<sub>0</sub>, ''r''), tomado con su orientación positiva. El [[índice (análisis complejo)|índice]] de ''ƒ''(''γ'') con respecto al punto ''ƒ''(''z''<sub>0</sub>) es un [[número entero]] positivo llamado '''índice de [[ramificación (matemáticas)|ramificación]]''' de ''z''<sub>0</sub>. Si el índice de ramificación es mayor que 1, entonces ''z''<sub>0</sub> se denomina '''punto de ramificación''' de ''ƒ'', y el correspondiente [[valor crítico]] ''ƒ''(''z''<sub>0</sub>) se llama un '''punto de ramificación''' (algebraico). De manera equivalente, ''z''<sub>0</sub> es un punto de ramificación si existe una función holomórfica φ definida en una vecindad de ''z''<sub>0</sub> tal que ''ƒ''(''z'') = φ(''z'') (''z'' & minus; ''z''<sub>0</sub>)<sup>''k''</sup> para algún entero positivo ''k'' > 1.
Normalmente, ''ƒ'' no tiene interés por sí misma, sino su [[función inversa (análisis matemático)|función inversa]]. Sin embargo, la inversa de una función holomórfica en la vecindad de un punto de ramificación no existe correctamente, por lo que es obligado definirla en un sentido de múltiples valores como [[función analítica global]]. Esta es una denominación ambigua, que se refiere a un punto de ramificación ''w''<sub>0</sub> = ''ƒ''(''z''<sub>0</sub>) de ''ƒ'' como un punto de ramificación de la [[función analítica]] global ''ƒ''<sup>−1</sup>. Son posibles definiciones más generales de puntos de bifurcación para otros tipos de funciones analíticas globales de valores múltiples, como las que se definen [[Función implícita|implícitamente]]. A continuación se proporciona un marco unificador para tratar con tales ejemplos en el lenguaje de las [[superficie de Riemann|superficies de Riemann]]. En particular, en esta imagen más general, los [[Polo (análisis complejo)|polos]] de orden mayor que 1 también se pueden considerar puntos de ramificación.
En términos de la función analítica global inversa ''ƒ''<sup>−1</sup>, los puntos de ramificación son aquellos puntos alrededor de los cuales hay [[monodromía]] no trivial. Por ejemplo, la función ''ƒ''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> tiene un punto de ramificación en ''z''<sub>0</sub> = 0. La función inversa es la raíz cuadrada ''ƒ''<sup>−1</sup>(''w'') = ''w''<sup>1/2</sup>, que tiene un punto de ramificación en ''w''<sub>0</sub> = 0. De hecho, dando la vuelta al recorrido cerrado ''w'' = ''e''<sup>i''θ''</sup>, se comienza en ''θ'' = 0 y ''e''<sup>i0/2</sup> = 1. Pero después de dar la vuelta al bucle hasta ''θ'' = 2π, se tiene que ''e''<sup>2πi/2</sup> = −1. Por lo tanto, existe monodromía alrededor de este bucle que encierra el origen.
==Puntos de ramificación trascendental y logarítmica==
Supóngase que ''g'' es una función analítica global definida en una [[corona circular]] alrededor de ''z''<sub>0</sub>. Entonces ''g'' tiene un '''punto de ramificación trascendental''' si ''z''<sub>0</sub> es una [[singularidad esencial]] de ''g'' tal que la [[extensión analítica]] de un elemento de la función una vez alrededor de una curva cerrada simple que rodea el punto ''z''<sub>0</sub> produce un elemento de la función diferente.<ref>{{harvnb|Solomentsev|2001}};
Un ejemplo de un punto de ramificación trascendental es el origen de la función multivalor
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===Logaritmo complejo===
{{AP
El ejemplo típico de un corte de rama es el logaritmo complejo. Si un [[número complejo]] se representa en forma polar ''z'' = ''r''e<sup>i''θ''</sup>, entonces el logaritmo de ''z'' es
: <math>\ln z = \ln r + i\theta.\,</math>
Sin embargo, existe una ambigüedad obvia al definir el ángulo ''θ'': agregar a ''θ'' cualquier múltiplo entero de 2π producirá otro ángulo posible. Una rama del logaritmo es una función continua ''L''(''z'') que da un logaritmo de ''z'' para todo ''z'' en un conjunto abierto conectado en el plano complejo. En particular, existe una rama del logaritmo en el complemento de cualquier rayo desde el origen hasta el infinito: una ''rama cortada''. Una opción común de corte de rama es el eje real negativo, aunque la elección es en gran medida una cuestión de conveniencia.
El logaritmo tiene una discontinuidad con un salto de 2πi al cruzar el corte de la rama. El logaritmo se puede hacer continuo pegando un [[Conjunto numerable|número countable]] de copias, llamadas ''hojas'', del plano complejo en el corte de la rama. En cada hoja, el valor del registro difiere de su [[valor principal]] en un múltiplo de 2πi. Estas superficies están pegadas entre sí en el corte de la rama de una manera única para hacer que el logaritmo sea continuo. Cada vez que la variable gira alrededor del origen, el logaritmo se mueve a una rama diferente.
===Continuo de polos===
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para algún número entero ''k''. Este número entero se llama índice de ramificación de ''P''. Por lo general, el índice de ramificación es uno. Pero si el índice de ramificación no es igual a uno, entonces ''P'' es por definición un punto de ramificación y ''Q'' es un punto de ramificación.
Si ''Y'' es solo la esfera de Riemann, y ''Q'' está en la parte finita de ''Y'', entonces no es necesario seleccionar coordenadas especiales. El índice de ramificación se puede calcular explícitamente a partir de la [[fórmula integral de Cauchy]]. Sea γ un bucle rectificable simple en ''X'' alrededor de ''P''. El índice de ramificación de ƒ en ''P'' es
: <math>e_P = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)-f(P)}\,dz.</math>
Esta integral es el número de veces que ƒ(γ) se enrolla alrededor del punto ''Q''. Como arriba, ''P'' es un punto de ramificación y ''Q'' es un punto de ramificación si ''e''<sub>''P''</sub> > 1.
==Geometría algebraica==
{{AP|
{{VT|Morfismo no ramificado}}
En el contexto de la [[geometría algebraica]], la noción de puntos de ramificación se puede generalizar a asignaciones entre [[curva algebraica|curvas
Supóngase que f es finito. Para un punto ''P'' ∈ ''X'', el índice de ramificación ''e''<sub>''P''</sub> se define de la siguiente manera. Sea ''Q'' = ƒ(''P'') y sea ''t'' un [[parámetro local|parámetro uniformizante local]] en ''P''; es decir, ''t'' es una función regular definida en una vecindad de ''Q'' con ''t''(''Q'') = 0 cuyo diferencial es distinto de cero. Sustituyendo ''t'' por ƒ se define una función regular en ''X''. Luego
: <math>e_P = v_P(t\circ f)</math>
donde ''v''<sub>''P''</sub> es la [[anillo de evaluación|evaluación]] en el [[anillo local]] de funciones regulares en ''P''. Es decir, ''e''<sub>''P''</sub> es el orden en el que <math>t\circ f</math> desaparece en ''P''. Si ''e''<sub>''P''</sub> > 1, entonces se dice que ƒ está ramificado en ''P''. En ese caso, ''Q'' se denomina punto de ramificación.
==
{{reflist}}
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* {{Citation | last1=Ablowitz | first1=Mark J. | last2=Fokas | first2=Athanassios S. | title=Complex Variables: Introduction and Applications | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=Cambridge Texts in Applied Mathematics | isbn=978-0-521-53429-1 | year=2003}}
* {{Citation | last1=Ahlfors | first1=L. V. | title=Complex Analysis | publisher=[[ McGraw-Hill]] | location=New York | isbn=978-0-07-000657-7 | year=1979}}
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* {{springer|first=E.D.|last=Solomentsev|id=B/b017500|title=Branch point|year=2001}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Análisis complejo]]
[[Categoría:Funciones inversas]]
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