Diferencia entre revisiones de «Integración»
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{{redirige aquí|Integral}}
[[Archivo:Integral example.png|thumb|La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de [[coordenadas cartesianas]] con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.]]
La '''integración''' es un [[Concepto primitivo|concepto fundamental]] del [[cálculo infinitesimal|cálculo]] y del [[análisis matemático]]. Básicamente, una '''integral''' es una generalización de la [[suma]] de [[infinito]]s sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa
El '''cálculo integral''', encuadrado en el [[cálculo infinitesimal]], es una rama de las [[matemáticas]] en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
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*[[Integrales homogéneas]]
* [[Integrales múltiples]] (dobles o triples)
* [[Integrales trigonométricas]], [[
* [[Métodos de integración]]
* [[Teorema fundamental del cálculo]]
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El vocablo «integral» también puede hacer referencia a la noción de ''primitiva'': una función ''F'', cuya [[derivada]] es la función dada <math>f</math>. En este caso se denomina '''[[integral indefinida]]''', mientras que las integrales tratadas en este artículo son las '''integrales definidas'''. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
[[
Los principios de la integración fueron formulados por [[Isaac Newton|Newton]] y [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] a finales del {{siglo|XVII||s}}. A través del [[teorema fundamental del cálculo]], que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la [[derivada|derivación]], y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del [[Cálculo infinitesimal|cálculo]], con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
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[[Isaac Newton]] usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con <math>\dot{x}</math> o <math>x'\,\!</math>, que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación «caja» era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.
La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por [[Gottfried Leibniz]] en
Existen ligeras diferencias en la notación del símbolo de la integral en la literatura de las diversas lenguas: el símbolo inglés está inclinado hacia la derecha, en alemán tradicionalmente se ha escrito derecho (sin inclinación) mientras la variante rusa tradicional está inclinada hacia la izquierda.
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Tras la creación del cálculo integral a partir del {{siglo|XVII||s}}, y su desarrollo más o menos intuitivo durante un par de siglos, la noción de integración fue analizada con mayor rigor durante el {{siglo|XIX||s}}. Así la primera noción rigurosa de integración es el concepto de [[integral de Riemann]], así como su generalización conocida como [[integral de Riemann-Stieltjes]]. A principios del {{siglo|XX||s}}, el desarrollo de la [[teoría de la medida]] llevó al concepto más general y cualitativamente más avanzado de [[integral de Lebesgue]]. Más tarde el desarrollo de la noción de [[proceso estocástico]] dentro de la [[teoría de la probabilidad]] llevó a la formulación de la [[integral de Itō]] hacia el final de la primera mitad del {{siglo|XX||s}}, y posteriormente a su generalización conocida como [[integral de Skorohod]] (1975). Asimismo desde los años 1960, se ha buscado definición matemáticamente rigurosa de [[Integral de caminos (mecánica cuántica)|integral de caminos cuánticos]].
Recientemente, se ha desarrollado el '''[[Cálculo Fraccional de Conjuntos]]''' (en inglés, Fractional Calculus of Sets o FCS) como una metodología derivada del '''[[Cálculo fraccional|Cálculo Fraccional]]'''. Esta metodología, mencionada por primera vez en el artículo "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",<ref>[https://doi.org/10.3390/fractalfract5040240 Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods]</ref> tiene como objetivo caracterizar y organizar los elementos del cálculo fraccional mediante el uso de conjuntos, aprovechando la variedad de operadores fraccionales disponibles en la literatura.<ref>[https://doi.org/10.1155/2014/238459 A review of definitions for fractional derivatives and integral]</ref><ref>[https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.03.008 A review of definitions of fractional derivatives and other operators]</ref><ref>[https://doi.org/10.3390/math10050737 How many fractional derivatives are there?]</ref><ref>[https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127231 Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers]</ref><ref>[http://dx.doi.org/10.5121/mathsj.2022.9103 Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming]</ref><ref>[https://doi.org/10.5772/intechopen.107263 Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications]</ref>
Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:
<center><math>\frac{d^\alpha}{dx^\alpha}. </math></center>
Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que <math>\alpha \to n</math>. Considerando una función escalar <math>h: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math> y la base canónica de <math>\mathbb{R}^m</math> denotada por <math>\{\hat{e}_k\}_{k \geq 1}</math>, el siguiente operador fraccional de orden <math>\alpha</math> se define utilizando [[notación de Einstein]]:<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122102002109 Einstein summation for multidimensional arrays]</ref>
<center><math> o_x^\alpha h(x) := \hat{e}_k o_k^\alpha h(x). </math></center>
Denotando <math>\partial_k^n</math> como la derivada parcial de orden <math>n</math> con respecto al componente <math>k</math>-ésimo del vector <math>x</math>, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
<center><math> O_{x,\alpha}^n(h) := \left\{ o_x^\alpha : \exists o_k^\alpha h(x) \text{ y } \lim_{\alpha \to n} o_k^\alpha h(x) = \partial_k^n h(x) \ \forall k \geq 1 \right\}. </math></center>
== Terminología y notación ==
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El signo ∫, una «S» alargada, representa la integración; ''a'' y ''b'' son el '''límite inferior''' y el '''límite superior''' de la integración y definen el dominio de integración; ''f'' es el integrando, que se tiene que evaluar al variar ''x'' sobre el intervalo [''a'',''b'']; y ''dx'' puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que ''x'' es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un [[infinitesimal]] (en [[Infinitesimal#Análisis no estándar|análisis no estándar]]) o como una cantidad matemática independiente: una [[forma diferencial]]. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.
== Conceptos y aplicaciones ==
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Se verifican varias desigualdades generales para [[función (matemática)|funciones]] Riemann integrables definidas en un [[intervalo (matemática)|intervalo]] [[conjunto cerrado|cerrado]] y [[conjunto acotado|acotado]] [''a'', ''b''] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).
* ''Cotas superiores e inferiores.'' Una función <math>f</math> integrable en <math>[a,b]</math>, es necesariamente [[función acotada|acotada]] en el intervalo. Por lo tanto hay dos [[números reales]] ''m'' y ''M'' tales que ''m'' ≤ ''f''
:: <math> m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq M(b - a). </math>
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En esta sección <math>f</math> es una [[función (matemática)|función]] [[números reales|real]] Riemann integrable. La integral
:<math> \int_a^b f(x) \, \text{d}x </math>
sobre un intervalo <math>[a,b]</math> está definida si ''a'' < ''b''. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la función <math>f</math> se evalúan sobre una partición ''a'' = ''x''<sub>0</sub> ≤ ''x''<sub>1</sub> ≤ . . . ≤ ''x''<sub>''n''</sub> = ''b'' cuyos valores ''x''<sub>''i''</sub> son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene lugar «de izquierda a derecha», evaluando <math>f</math> dentro de intervalos [''x''<sub>
* ''Inversión de los límites de integración.'' si ''a'' > ''b'' entonces se define
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* ''Teorema fundamental del cálculo.'' Sea <math>f</math> una [[función (matemática)|función]] real integrable definida en un [[intervalo cerrado]] <math>[a,b]</math>. Si se define ''F'' para cada ''x'' de <math>[a,b]</math> por
::<math>F(x) = \int_a^x f(x)\, \text{d}x.</math>
:entonces ''F'' es [[función continua|continua]] en <math>[a,b]</math>. Si <math>f</math> es continua en ''x'' de <math>[a,b]</math>, entonces ''F'' es [[derivada|derivable]] en ''x'', y ''F''
* ''Segundo teorema fundamental del cálculo''. Sea <math>f</math> una función real, integrable definida en un intervalo cerrado <math>[a,b]</math>. Si ''F'' es una función tal que ''F''
::<math>\int_a^b f(x)\, \text{d}x = F(b) - F(a).</math>
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donde ω es una ''k''-forma general, y ∂Ω indica la [[frontera (topología)|frontera]] de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-forma y Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al [[teorema fundamental del cálculo]]. En el caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al [[teorema de Green]]. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la [[dualidad de Hodge]], se puede llegar al [[teorema de Stokes]] y al [[teorema de la divergencia]]. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visión unificadora de la integración.
== Métodos
=== Cálculo de integrales ===
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Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la [[gravedad]] de la [[tierra]]. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente ''g'' = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:
: <math>v = -g \cdot t</math>
El signo negativo
Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado ''T'' se puede razonar (empleando [[análisis no estándar]]) que en torno a cada instante ''t'' la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal d''t'' es ''v''(''t'')d''t'', la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde ''t''=0 hasta ''t''=''T'' (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:
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* {{cita libro | apellido=Leibniz | nombre=Gottfried Wilhelm | enlaceautor=Gottfried Wilhelm Leibniz | título=Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band | apellidos-editor=Gerhardt | nombre-editor=Karl Immanuel | lugar=Berlin | editorial=Mayer & Müller | año=1899 | url = http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001}}
<!--
* ''Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Hrsg. von C. I. Gerhardt. Mit Unterstützung der Königl. Preussischen Akademie der Wissenschaften.''<br />Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von, 1646–1716., Gerhardt, Karl Immanuel, ed. 1816–1899, Berlin: Mayer & Müller, 1899. [http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001]
-->
* {{cita libro | apellidos=Miller | nombre=Jeff | título=Earliest Uses of Symbols of Calculus | url=http://members.aol.com/jeff570/calculus.html | fechaacceso=2 de junio de 2007 | urlarchivo=https://web.archive.org/web/19981205110714/http://members.aol.com/jeff570/calculus.html | fechaarchivo=5 de diciembre de 1998 }}
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* {{cita libro | apellidos=Rudin | nombre=Walter | enlaceautor=Walter Rudin | título=Real and Complex Analysis | año=1987 | edición=International | editorial=McGraw-Hill | capítulo=Chapter 1: Abstract Integration | isbn=978-0-07-100276-9}}
* {{cita libro | apellidos=Saks | nombre=Stanisław | enlaceautor=Stanisław Saks | título=Theory of the integral | url = http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez= | edición= English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised | editorial= Dover | lugar=New York | año=1964 }}
* {{cita libro | apellido1=Stoer | nombre1=Josef | apellido2=Bulirsch | nombre2=Roland | año=2002 | título=Introduction to Numerical Analysis | url=https://archive.org/details/introductiontonu0000stoe_t7w1 | edición=3rd | editorial=Springer-Verlag | capítulo=Chapter 3: Topics in Integration | isbn=978-0-387-95452-3 }}.
* {{cita libro | autor=W3C | año=2006<!--January--> | título=Arabic mathematical notation<!--W3C Interest Group Note 31--> | url = http://www.w3.org/TR/arabic-math/}}
{{reftermina}}
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