Diferencia entre revisiones de «Integración»

{{redirige aquí|Integral}}

[[Archivo:Integral example.png|thumb|La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de [[coordenadas cartesianas]] con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.]]

 

El '''cálculo integral''', encuadrado en el [[cálculo infinitesimal]], es una rama de las [[matemáticas]] en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

 

 

 

== Teoría ==

 

[[Archivo:Integral-area-under-curve.svg|thumb|250px|right|<math>\scriptstyle\ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math> se interpreta como el área bajo la curva de ''f'', entre ''a'' y ''b''.]]

{{ecuación|

<math>\int_a^b f(x)\,\text{d}x </math>

El vocablo «integral» también puede hacer referencia a la noción de ''primitiva'': una función ''F'', cuya [[derivada]] es la función dada <math>f</math>. En este caso se denomina '''[[integral indefinida]]''', mientras que las integrales tratadas en este artículo son las '''integrales definidas'''. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

 

 

Los principios de la integración fueron formulados por [[Isaac Newton|Newton]] y [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] a finales del {{siglo|XVII||s}}. A través del [[teorema fundamental del cálculo]], que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la [[derivada|derivación]], y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del [[Cálculo infinitesimal|cálculo]], con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

 

[[Bernhard Riemann]] dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un [[Límite de una función|límite]] que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del {{siglo|XIX||s}}, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La [[integral curvilínea]] se define para funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integración [''a'',''b''] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En una [[integral de superficie]], la curva se sustituye por un trozo de una [[Superficie (matemática)|superficie]] en el espacio tridimensional.

 

Las integrales de las [[forma diferencial|formas diferenciales]] desempeñan un papel fundamental en la [[geometría diferencial]] moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la [[física]], y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del [[electromagnetismo]]. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como [[integral de Lebesgue]], que fue desarrollada por [[Henri Lebesgue]].

== Historia ==

 

 

=== Newton y Leibniz ===

[[Isaac Newton]] usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con <math>\dot{x}</math> o <math>x'\,\!</math>, que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación «caja» era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

 

 

Existen ligeras diferencias en la notación del símbolo de la integral en la literatura de las diversas lenguas: el símbolo inglés está inclinado hacia la derecha, en alemán tradicionalmente se ha escrito derecho (sin inclinación) mientras la variante rusa tradicional está inclinada hacia la izquierda.

 

Tras la creación del cálculo integral a partir del {{siglo|XVII||s}}, y su desarrollo más o menos intuitivo durante un par de siglos, la noción de integración fue analizada con mayor rigor durante el {{siglo|XIX||s}}. Así la primera noción rigurosa de integración es el concepto de [[integral de Riemann]], así como su generalización conocida como [[integral de Riemann-Stieltjes]]. A principios del {{siglo|XX||s}}, el desarrollo de la [[teoría de la medida]] llevó al concepto más general y cualitativamente más avanzado de [[integral de Lebesgue]]. Más tarde el desarrollo de la noción de [[proceso estocástico]] dentro de la [[teoría de la probabilidad]] llevó a la formulación de la [[integral de Itō]] hacia el final de la primera mitad del {{siglo|XX||s}}, y posteriormente a su generalización conocida como [[integral de Skorohod]] (1975). Asimismo desde los años 1960, se ha buscado definición matemáticamente rigurosa de [[Integral de caminos (mecánica cuántica)|integral de caminos cuánticos]].

 

== Terminología y notación ==

 

El signo ∫, una «S» alargada, representa la integración; ''a'' y ''b'' son el '''límite inferior''' y el '''límite superior''' de la integración y definen el dominio de integración; ''f'' es el integrando, que se tiene que evaluar al variar ''x'' sobre el intervalo [''a'',''b'']; y ''dx'' puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que ''x'' es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un [[infinitesimal]] (en [[Infinitesimal#Análisis no estándar|análisis no estándar]]) o como una cantidad matemática independiente: una [[forma diferencial]]. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

 

== Conceptos y aplicaciones ==

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la «S» alargada), de los valores de la función multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados ''diferenciales'' (indicados por ''dx'').

 

\left. ( \frac 2 3 x^\frac 3 2)\right |_0^1 =

Como se puede ver, la segunda aproximación de 0,7 (con cinco rectangulitos), arrojó un valor superior al valor exacto; en cambio la aproximación con 12 rectangulitos de 0,6203 es una estimación muy por debajo del valor exacto (que es de 0,666…).

 

{{AP|Integral de Lebesgue}}

[[Archivo:RandLintegrals.png|thumb|250px|Integración de Riemann-Darboux (azul) e integración de Lebesgue (rojo)]]

 

Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una [[teoría de la medida|medida]], μ. En el caso más sencillo, la [[medida de Lebesgue]] μ(''A'') de un intervalo ''A'' = [''a'', ''b''] es su ancho, ''b'' − ''a'', así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.

 

Un enfoque habitual define primero la integral de la [[Función indicatriz|función característica]] de un [[Teoría de la medida|conjunto medible]] ''A'' por:

Esto se extiende por linealidad a las [[función escalonada|funciones escalonadas]] simples, que solo tienen un número finito ''n'', de valores diferentes no negativos:

:<math>\begin{align}

&{}= \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i)

\end{align}</math>

(donde la imagen de ''A''_''i'' al aplicarle la función escalonada ''s'' es el valor constante ''a''_''i''). Así, si ''E'' es un conjunto medible, se define

Entonces, para cualquier [[función medible]] no negativa ''f'' se define

Una función medible cualquiera <math>f</math>, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

:<math>\begin{align}

\end{align}</math>

Finalmente, ''f'' es Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por

 

Cuando el espacio métrico en el que están definidas las funciones es también un [[espacio topológico]] [[Compacidad local|localmente compacto]] (como es el caso de los números reales '''R'''), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado ([[medida de Radon|medidas de Radon]], de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las [[funciones continuas]] con [[soporte (matemáticas)#soporte compacto|soporte compacto]]. De forma más precisa, las funciones compactamente soportadas forman un [[espacio vectorial]] que comporta una [[espacio topológico|topología]] natural, y se puede definir una medida (Radon) como ''cualquier'' funcional [[aplicación lineal|lineal]] continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una función compactamente soportada, es también, por definición, la integral de la función. Entonces se continúa expandiendo la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función característica. Este es el enfoque que toma [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]<ref>Bourbaki, Nicolas (2004). ''Integration I'', Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. En particular, los capítulos III y IV.</ref> y cierto número de otros autores. Para más detalles, véase [[Medida de Radon|medidas de Radon]].

* La [[integral de McShane]].

* La [[integral de Bochner]].

 

== Propiedades de la integración ==

 

* El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [''a'', ''b''] forman un [[espacio vectorial]] con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

 

:es un [[funcional lineal]] de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la [[combinación lineal]], y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

 

 

* De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un [[espacio métrico]] ''E'' dado, con la medida ''μ'' es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

 

:es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

 

* De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las [[funciones medibles]] sobre un espacio métrico (''E'',''μ''), que toman valores en un [[espacio vectorial topológico]] [[espacio métrico completo|completo]] [[compacidad local|localmente compacto]] ''V'' sobre un [[campo topológico]] [[compacidad local|localmente compacto]] ''K'', ''f'' : ''E'' → ''V''. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función ''f'' le asigna un elemento de ''V'' o el símbolo ''∞'',

:que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de ''V'' (es decir, las integrales ''finitas''). Los casos más importantes surgen cuando ''K'' es '''R''', '''C''', o una extensión finita del campo '''Q'''''p'' de [[Número p-ádico|números p-ádicos]], y ''V'' es un espacio vectorial de dimensión finita sobre ''K'', y cuando ''K''='''C''' y ''V'' es un [[espacio de Hilbert]] complejo.

 

Se verifican varias desigualdades generales para [[función (matemática)|funciones]] Riemann integrables definidas en un [[intervalo (matemática)|intervalo]] [[conjunto cerrado|cerrado]] y [[conjunto acotado|acotado]] [''a'', ''b''] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

 

 

* ''Desigualdades entre funciones.'' Si ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') para todo ''x'' de <math>[a,b]</math> entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de ''f'' son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de ''g'' respectivamente. Así

:Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que ''M '(''b'' − ''a'') es la integral de la función constante con valor ''M'' en el intervalo [''a'', ''b''].

* ''Subintervalos.'' Si [''c'', ''d''] es un subintervalo de <math>[a,b]</math> y ''f''(''x'') es no negativa para todo ''x'', entonces

 

* ''Productos y valores absolutos de funciones.'' Si <math>f</math> y <math>g</math> son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

(fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,</math>

:Si <math>f</math> es Riemann integrable en <math>[a,b]</math> entonces lo mismo se cumple para |''f''|, y

:Es más, si <math>f</math> y <math>g</math> son ambas Riemann integrables entonces ''f'' ², ''g'' ², y ''fg'' son también Riemann integrables, y

:: <math>\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). </math>

 

* ''Desigualdad de Hölder.'' Si ''p'' y ''q'' son dos números reales, 1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ ∞ con 1/''p'' + 1/''q'' = 1, y ''f'' y ''g'' son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones |''f''|^''p'' y |''g''|^''q'' también son integrables y se cumple la [[desigualdad de Hölder]]:

:Para el caso de ''p'' = ''q'' = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de Cauchy–Schwarz.

 

* ''Desigualdad de Minkowski''. Si ''p'' ≥ 1 es un número real y <math>f</math> y ''g'' son funciones Riemann integrables. Entonces |''f''|^''p'', |''g''|^''p'' y |''f'' + ''g''|^''p'' son también Riemann integrables y se cumple la [[Desigualdad triangular|desigualdad de Minkowski]]:

: Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de los [[Espacios Lp|espacios L^p]].

 

 

En esta sección <math>f</math> es una [[función (matemática)|función]] [[números reales|real]] Riemann integrable. La integral

 

* ''Inversión de los límites de integración.'' si ''a'' > ''b'' entonces se define

Ello, con ''a'' = ''b'', implica:

* ''Integrales sobre intervalos de longitud cero.'' si ''a'' es un [[número real]] entonces

 

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [''a'', ''b'']; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un [[punto (geometría)|punto]], tiene que ser [[cero]]. Un motivo para la primera convención es que la integrabilidad de ''f'' sobre un intervalo [''a'', ''b''] implica que ''f'' es integrable sobre cualquier subintervalo [''c'', ''d''], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que:

 

* ''Aditividad de la integración sobre intervalos.'' si ''c'' es cualquier [[elemento de un conjunto|elemento]] de [''a'', ''b''], entonces

Con la primera convención la relación resultante

: <math>\begin{align}

\end{align}</math>

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de ''a'', ''b'', y ''c''.

 

* ''Teorema fundamental del cálculo.'' Sea <math>f</math> una [[función (matemática)|función]] real integrable definida en un [[intervalo cerrado]] <math>[a,b]</math>. Si se define ''F'' para cada ''x'' de <math>[a,b]</math> por

 

 

* ''Corolario''. Si <math>f</math> es una función continua en <math>[a,b]</math>, entonces <math>f</math> es integrable en <math>[a,b]</math>, y <math>F</math>, definida por

:es una primitiva de <math>f</math> en <math>[a,b]</math>. Además,

 

== Extensiones ==

 

{{AP|Integral impropia}}

Una integral de Riemann ''propia'' supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los límites de integración. Una integral impropia aparece cuando una o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el [[Límite de una función|límite]] de una [[sucesión matemática|sucesión]] de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente más largos.

 

Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando el punto final tiende a infinito.

Si el integrando solo está definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (''a'',''b''], entonces, otra vez el límite puede suministrar un resultado finito.

Esto es, la integral impropia es el [[Límite de una función|límite]] de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo de integración se aproxima, ya sea a un [[número real]] especificado, o ∞, o −∞. En casos más complicados, hacen falta límites en los dos puntos extremos o en puntos interiores.

 

Por ejemplo, la función <math>\tfrac{1}{(x+1)\sqrt{x}}</math> integrada desde 0 a ∞ (imagen de la derecha). En el extremo inferior, a medida que ''x'' se acerca a 0 la función tiende a ∞, y el extremo superior es él mismo ∞, a pesar de que la función tiende a 0. Así, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, por ejemplo, desde 1 hasta 3, con un sumatorio de Riemann es suficiente para obtener un resultado de <math>\tfrac{\pi}{6}</math>. Para integrar desde 1 hasta ∞, un sumatorio de Riemann no es posible. Ahora bien, cualquier límite superior finito, por ejemplo ''t'' (con ''t''&nbsp;>&nbsp;1), da un resultado bien definido, <math>\tfrac{\pi}{2} - 2\arctan \tfrac{1}{\sqrt{t}}</math>. Este resultado tiene un límite finito cuando ''t'' tiende a infinito, que es <math>\tfrac{\pi}{2}</math>. De forma parecida, la integral desde ¹⁄₃ hasta a 1 admite también un sumatorio de Riemann, que por casualidad da de nuevo <math>\tfrac{\pi}{6}</math>. Sustituyendo ¹⁄₃ por un valor positivo arbitrario ''s'' (con ''s''&nbsp;&lt;&nbsp;1) resulta igualmente un resultado definido y da <math>-\tfrac{\pi}{2} + 2\arctan\tfrac{1}{\sqrt{s}}</math>. Este también tiene un límite finito cuando ''s'' tiende a cero, que es <math>\tfrac{\pi}{2}</math>. Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

:<math>\begin{align}

&{} = \lim_{s \to 0} \left( - \frac{\pi}{2} + 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{s}} \right)

+ \lim_{t \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{t}} \right) \\

Este proceso no tiene el éxito garantizado; un límite puede no existir, o puede ser infinito. Por ejemplo, sobre el intervalo cerrado de 0 a 1 la integral de <math>\tfrac{1}{x^2}</math> no converge; y sobre el intervalo abierto del 1 a ∞ la integral de <math>\tfrac{1}{\sqrt{x}}</math> no converge.

 

También puede pasar que un integrando no esté acotado en un punto interior, en este caso la integral se ha de partir en este punto, y el límite de las integrales de los dos lados han de existir y han de ser acotados. Así

:<math>\begin{align}

&{} = \lim_{s \to 0} 3(1-\sqrt[3]{s}) + \lim_{t \to 0} 3(1-\sqrt[3]{t}) \\

&{} = 3 + 3 \\

\end{align}</math>

A la integral similar

no se le puede asignar un valor de esta forma, dado que las integrales por encima y por debajo de cero no convergen independientemente (en cambio, véase [[valor principal de Cauchy]].)

 

[[Archivo:Volume under surface.png|thumb|Integral doble como el volumen limitado por una superficie]]

Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un [[conjunto]] ''E'' de una función ''f'' se escribe:

Aquí ''x'' no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, un [[vector (matemática)|vector]] de '''R'''3. El [[teorema de Fubini]] demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una '''[[integral múltiple|integral iterada]]'''. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

 

 

* Con la integral doble

:de la función ''f''(''x'', ''y'') = 5 calculada en la región ''D'' del plano ''xy'' que es la base del paralelepípedo.

* Con la integral triple

:de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base).

 

:<math>W=\vec F\cdot\vec d</math>

que tiene su paralelismo en la integral de línea

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

 

Una '''integral de superficie''' es una [[integral definida]] calculada sobre una [[Superficie (matemática)|superficie]] (que puede ser un [[conjunto]] curvado en el [[espacio euclídeo|espacio]]; se puede entender como la [[integral doble]] análoga a la [[integral de línea]]. La función a integrar puede ser un [[campo escalar]] o un [[campo vectorial]]. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann.

 

El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un [[flujo eléctrico]] o [[flujo magnético|magnético]]. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la [[física]], en particular en la [[teoría clásica]] del [[electromagnetismo]].

 

Una [[forma diferencial]] es un concepto matemático en los campos del [[cálculo multivariable]], [[topología diferencial]] y [[tensor]]es. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el [[producto exterior]] de [[derivada exterior|derivadas exteriores]] formando un [[álgebra exterior]], fue presentada por [[Élie Cartan]].

 

Una 0-forma se define como una [[función infinitamente derivable]] ''f''.

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que ''dx''¹ hasta ''dx''^''n'' son objetos formales ellos mismos, más que etiquetas añadidas para hacer que la integral se asemeje a los sumatorios de [[Sumatorio de Riemann|Riemann]]. De forma alternativa se pueden ver como [[covector]]es, y por lo tanto como una [[teoría de la medida|medida]] de la «densidad» (integrable en un sentido general). A ''dx''¹, …,''dxⁿ'' se las denomina [[1-forma]]s ''básicas''.

 

 

 

 

con extensión a las ''k''-formas generales que se dan linealmente.

donde ω es una ''k''-forma general, y ∂Ω indica la [[frontera (topología)|frontera]] de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-forma y Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al [[teorema fundamental del cálculo]]. En el caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al [[teorema de Green]]. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la [[dualidad de Hodge]], se puede llegar al [[teorema de Stokes]] y al [[teorema de la divergencia]]. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visión unificadora de la integración.

 

 

=== Cálculo de integrales ===

# Se halla una antiderivada de ''f'', es decir, una función ''F'' tal que ''F' '' = ''f''.

# Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen [[singularidad matemática|singularidades]] en el camino de integración,

# Por tanto, el valor de la integral es ''F''(''b'') − ''F''(''a'').

 

 

Los objetivos de la integración numérica son la exactitud, la fiabilidad, la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral

que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la práctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo que una tarea importante — que no se explora aquí — es decidir en qué momento una aproximación ya es bastante buena.) Un enfoque de «libro de cálculo» divide el intervalo de integración en, por ejemplo, 16 trozos iguales, y calcula los valores de la función.

 

=== Aplicaciones en física ===

 

 

Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la [[gravedad]] de la [[tierra]]. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente ''g'' = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:

: <math>v = -g \cdot t</math>

 

Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado ''T'' se puede razonar (empleando [[análisis no estándar]]) que en torno a cada instante ''t'' la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal d''t'' es ''v''(''t'')d''t'', la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde ''t''=0 hasta ''t''=''T'' (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:

* {{cita libro | apellidos=Cajori | nombre=Florian | enlaceautor=Florian Cajori | título=A History Of Mathematical Notations Volume II | año=1929 | editorial=Open Court Publishing | url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 | isbn=978-0-486-67766-8 | páginas=[https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 247-252] }}

* {{cita libro | apellido1=Dahlquist | nombre1=Germund | author1-link=Germund Dahlquist | apellido2=Björck | nombre2=Åke | título=Numerical Methods in Scientific Computing | editorial=SIAM | ubicación=Philadelphia | año=forthcoming | url=http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | capítulo=Chapter&nbsp;5: Numerical Integration | urlarchivo=https://web.archive.org/web/20070615185623/http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | fechaarchivo=15 de junio de 2007 }}

* {{cita libro | apellidos=Fourier | nombre=Jean Baptiste Joseph | enlaceautor=Joseph Fourier | título=Théorie analytique de la chaleur | año=1822 | editorial=Chez Firmin Didot, père et fils | url = http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ | página=§231}}<br>Disponible en inglés como{{cita libro | apellidos=Fourier | nombre=Joseph | título=The analytical theory of heat | año=1878<!--original 1822--> | editorial=[[Cambridge University Press]] | url = http://www.archive.org/details/analyticaltheory00fourrich | otros=Freeman, Alexander (trans.) | páginas=200-201}}

* {{cita libro | apellidos-editor=Heath | nombre-editor=T. L. | enlace-editor=T. L. Heath | título = The Works of Archimedes | año = 2002 | editorial = Dover | isbn = 978-0-486-42084-4 | url = http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp }}<br />(Originalmente publicado por Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)

* {{cita libro | apellido=Leibniz | nombre=Gottfried Wilhelm | enlaceautor=Gottfried Wilhelm Leibniz | título=Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band | apellidos-editor=Gerhardt | nombre-editor=Karl Immanuel | lugar=Berlin | editorial=Mayer &amp; Müller | año=1899 | url = http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001}}

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* {{cita libro | apellidos=Miller | nombre=Jeff | título=Earliest Uses of Symbols of Calculus | url=http://members.aol.com/jeff570/calculus.html | fechaacceso=2 de junio de 2007 | urlarchivo=https://web.archive.org/web/19981205110714/http://members.aol.com/jeff570/calculus.html | fechaarchivo=5 de diciembre de 1998 }}

* {{cita libro | apellidos=Rudin | nombre=Walter | enlaceautor=Walter Rudin | título=Real and Complex Analysis | año=1987 | edición=International | editorial=McGraw-Hill | capítulo=Chapter&nbsp;1: Abstract Integration | isbn=978-0-07-100276-9}}

* {{cita libro | apellidos=Saks | nombre=Stanisław | enlaceautor=Stanisław Saks | título=Theory of the integral | url = http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez= | edición= English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised | editorial= Dover | lugar=New York | año=1964 }}

* {{cita libro | autor=W3C | año=2006<!--January--> | título=Arabic mathematical notation<!--W3C Interest Group Note 31--> | url = http://www.w3.org/TR/arabic-math/}}

{{reftermina}}