Diferencia entre revisiones de «Centro de un grupo»
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En matemáticas, y más concretamente en [[teoría de grupos]], el '''centro''' de un [[grupo (matemática)|grupo]] es el subconjunto formado por los elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. De manera formal, dado un grupo <math>(G,*)</math>, se define su centro como:
:<math>\operatorname{Z}(G) := \{g\in G : \forall h \in G, g*h = h*g \}.</math>▼
▲:<math>\operatorname{Z}(G) := \{g\in G : \forall h \in G, g*h = h*g \}</math>
El centro de <math>G</math> es un [[subgrupo]], que además es [[Grupo abeliano|abeliano]], [[Subgrupo normal|normal]] y [[Subgrupo característico|característico]] en <math>G</math>.{{Harvnp|Rotman|1994|p=44}}
==Propiedades==▼
== Ejemplos ==
Por ejemplo, sea ''G'' el grupo '''GL'''(''2'', '''R''') de las matrices invertibles de orden ''2'' × ''2'' con coeficientes [[Número real|reales]]:
:<math> A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} </math>
Las matrices invertibles son aquellas cuyo [[determinante (matemática)|determinante]] <math> \operatorname{det}(A) = (a d - b c)</math> es diferente de 0.
Un cálculo directo muestra que el centro de ''G'' consiste en las matrices escalares
:<math> \lambda I = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}, </math>
donde <math>\lambda</math> es cualquier número real distinto de cero.
Este es un caso particular del resultado siguiente:
{{teorema|1=El centro del [[grupo general lineal]] ''GL''(''n'', '''R''') -compuesto por las matrices invertibles de orden ''n'' × ''n'' con coeficientes reales- lo forman las ''matrices escalares'', es decir, aquellas que son un múltiplo (no nulo) de la [[matriz identidad]] de orden ''n''.}}
*Es claro que si <math>G</math> es abeliano(conmutativo) entonces <math>G=Z(G)</math>▼
▲== Propiedades ==
▲*
* El centro Z(''G'') de un grupo ''G'' es un [[subgrupo normal]] abeliano de ''G''.
{{Demostración|plegada=no|1=
Z(''G'') es un grupo:
* El elemento neutro ''e'' del grupo conmuta con todos los elementos de ''G'', luego ''e'' ∈ Z{''G'').
*Si ''a'', ''b'' ∈ Z(''G''), ''h'' ∈ ''G'' entonces
:<math> (a*b)*h = a*(b*h) = a*(h*b) = (a*h)*b = (h*a)*b = h*(a*b), \,</math>
:es decir que ''a''*''b'' ∈ Z(''G'').
*Z(''G'') es invariante por la operación de tomar inversas. Si ''a'' ∈ Z(''G'') y ''g'' ∈ ''G'' entonces ''a'' * ''g'' = ''g'' * ''a''. Multiplicando por ''a''<sup>-1</sup> por la derecha y por la izquierda se tiene que ''a''<sup>-1</sup> * ''g'' = ''g'' * ''a''<sup>-1</sup>, para todo ''g'' ∈ ''G''. Luego ''a''<sup>-1</sup> ∈ Z(''G'').
Z(''G'') es abeliano, pues sus elementos conmutan con todos los elementos de ''G'', luego en particular conmutan con los del centro de ''G''.
▲Un ejemplo seria considerar <math>G</math> como el grupo de los cuaterniones y es fácil verificar que el centro de ese grupo es <math><-1> = {-1, 1}</math> pues son los unicos elementos que pueden conmutar con el resto.
Z(''G'') es un subgrupo normal de ''G'' pues si ''z'' ∈ Z(''G''), entonces
:<math>g*z*g^{-1} = g*g^{-1}*z = e*z = z \in \operatorname{Z}(G).</math>
}}
* El centro de '''G''' es un subgrupo ''característico'' (invariante bajo cualquier [[automorfismo]] de '''G''').
{{Demostración|plegada=no|1=
Sea <math>f:G \to G</math> un automorfismo de <math>G</math> y sea <math>z \in Z(G)</math>. Entonces, para todo <math>g \in G</math>
:<math> f(z)*g = f(z)* f(f^{-1}(g)) = f(z*f^{-1}(g)) = f(f^{-1}(g)*z)
= f(f^{-1}(g)) * f(z) = g * f(z).</math>
en consecuencia <math> f(z) \in Z(G)</math>.}}
== Centralizador==
De manera similar a como se define el centro de un grupo '''G''', se define el concepto del '''centralizador''' de un elemento ''a'' en '''G''': es el subconjunto formado por los elementos de '''G''' que conmutan con ''a''. Formalmente:{{Harvnp|Rotman|1994|p=44}}
:<math>C_G(a)\ :=\{x \in G \mid xa=ax \}.</math>
=== Proposiciones ===
* El centralizador de ''a'' en '''G''' es un subgrupo de '''G'''.
* El centralizador de ''a'' en '''G''' es el mayor subgrupo de '''G''' en el que ''a'' conmuta con todos sus elementos.
* El centralizador de ''a'' es todo '''G''' si y solo si ''a'' pertenece al centro de '''G'''.
* El centro de '''G''' es la intersección de los centralizadores de cada uno de sus elementos.
* Si existe en un grupo '''G''' un único elemento ''a'', cuyo [[Orden (teoría de grupos)|orden]] es 2, entonces el centralizador de ''a'' es todo '''G'''.
== Véase también ==
* [[Propiedad conmutativa]].
* [[Grupo abeliano]].
* [[Grupo nilpotente]].
* [[Normalizador]].
* [[Subgrupo conmutador]].
* [[Acción_(matemática)#Ecuación de clases|Ecuación de clases]].
== Referencias ==
{{listaref}}
=== Bibliografía ===
*{{Cita libro | apellido = Rotman | nombre = Joseph J. | título = An introduction to the theory of groups | editorial = Springer-Verlag | año = 1994 | edición = Corrected second printing, 1999 | isbn = 978-1-4612-8686-8}}
* {{Citation |last=Zaldívar |first=Felipe |date=2009 |title=Introducción a la teoría de grupos |edition= |volume= |series= |publisher= |isbn=970-32-3871-8}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]
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