Simplaĵo (geometrio)

En geometrio, simplaĵo aŭ n-simplaĵo estas hiperpluredro, n-dimensia analogo de triangulo. Aparte, simplaĵo estas la konveksa koverto de aro de (n + 1) afine sendependaj punktoj en iu eŭklida spaco de dimensio n aŭ pli granda (do aro de punktoj tiaj ke m-dimensia ebeno enhavas ne pli ol (m + 1) de ilin; tiaj punktoj estas en ĝenerala pozicio).

Ekzemple, 0-simplaĵo estas punkto, 1-simplaĵo estas segmento de linio (streko), 2-simplaĵo estas triangulo, 3-simplaĵo estas kvaredro, 4-simplaĵo estas kvinĉelo ktp.

Regula simplaĵo estas simplaĵo kiu estas ankaŭ regula hiperpluredro. Regula n-simplaĵo povas esti konstruita de regula (n − 1)-simplaĵo per aldono de la nova vertico al ĉiuj originalaj verticoj tiel ke longo de la lateroj estu la sama. Simbolo de Schläfli de regula n-simplaĵo estas {3,3, ... ,3} kie kvanto de "3" estas n-1.

Konveksa koverto de ĉiuj m el la n punktoj estas ankaŭ simplaĵo, nomita kiel m-edro. La 0-edroj estas la verticoj, la 1-edroj estas la randoj, la (n − 1)-edroj estas la facetoj, kaj la sola n-edro estas la tuta n-simplaĵo mem. Ĝenerale, kvanto de m-edroj estas egala al duterma koeficiento C(n + 1, m + 1). Do, la kvanto de m-edroj de n-simplaĵo troviĝas en kolumno (m + 1) de linio (n + 1) de paskala triangulo.

Verticoj kaj lateroj de n-simplaĵo formas plenan grafeon de n+1 verticoj.

La norma simplaĵo

La norma n-simplaĵo estas subaro de Rⁿ⁺¹ donita per

\Delta ^{n}=\{(t_{0},\cdots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Sigma _{i}{t_{i}}=1{\mbox{ kaj }}t_{i}\geq 0{\mbox{ por ĉiuj }}i\}

Verticoj de la norma n-simplaĵo estas punktoj

e₀ = (1, 0, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, 0, …, 0),

\vdots

e_n = (0, 0, 0, …, 1).

Geometriaj propraĵoj

La volumeno de n-simplaĵo en n-dimensia spaco kun verticoj (v₀, ..., v_n) estas

{1 \over n!}\det {\begin{pmatrix}v_{0}-v_{1}&v_{1}-v_{2}&\dots &v_{n-1}-v_{n}\end{pmatrix}}

kie ĉiu kolumno de la n × n determinanto estas la diferenco inter du verticoj. Ĉiu determinanto kiu enhavas diferencojn inter paroj de verticoj, kie la paroj interkonektas la verticojn kiel simple koneksa grafeo donas la saman volumenon. Sen koeficiento 1/n! la formulo donas volumenon de n-paralelepipedo.

Volumeno sub norma n-simplaĵo estas