Neegalaĵo (pli granda, malpli granda)

Vidu ankaŭ artikolon neegalaĵo (ne egala).

En matematiko, neegalaĵo estas propozicio pri relativa amplekso aŭ ordo de du objektoj. La notacio a < b signifas ke a estas malpli ol b kaj la notacio a > b signifas ke a estas pli granda ol b. Ĉi tiuj rilatoj estas sciata kiel striktaj neegalaĵoj.

En kontrasto a ≤ b signifas ke a estas malpli ol aŭ egala al b kaj a ≥ b signifas ke a estas pli granda ol aŭ egala al b. Ĉi tiuj rilatoj estas sciata kiel nestriktaj neegalaĵoj.

Se la senco de la neegalaĵo estas la sama por ĉiuj valoroj de variabloj por kiu ĝi estas skribita, tiam la neegalaĵo estas nomita kiel absoluta neegalaĵo aŭ senkondiĉa neegalaĵo. Se la senco de neegalaĵo veras nur por certaj valoroj de la variabloj, sed estas malvera por la aliaj valoroj de la variabloj ĝi estas nomita kiel kondiĉa neegalaĵo.

Propraĵoj

Neegalaĵoj havas jenajn propraĵojn:

Unu el tri variantoj

Por ĉiuj du reelaj nombroj, "a" kaj "b", unu kaj nur unu el jenaj estas vera:
- a < b
- a = b
- a > b

Transitiveco

La transitiveco de neegalaĵaj ŝtatoj:

Por ĉiuj reelaj nombroj, "a", "b", "c":
- Se a > b kaj b > c do a > c
- Se a < b kaj b < c do a < c

Interŝanĝo de flankoj

Por ĉiuj reelaj nombroj, "a" kaj "b":
- Se a > b do b < a
- Se a < b do b > a

Adicio kaj subtraho

Neegalaĵo restas vera aŭ malvera se ambaŭ flankoj estas pligrandigitaj aŭ malgrandigitaj per adicio aŭ subtraho de la sama nombro.

Por ĉiuj reelaj nombroj, "a", "b", "c":
- Se a > b do a + c > b + c kaj a − c > b − c
- Se a < b do a + c < b + c kaj a − c < b − c

Multipliko kaj divido

Neegalaĵo restas vera aŭ malvera se ambaŭ flankoj estas multiplikitaj aŭ dividitaj per pozitiva nombro. La vereco de neegalaĵo estas malita se ambaŭ flankoj estas multiplikitaj aŭ dividitaj per negativa nombro.

Por ĉiuj reelaj nombroj, "a", "b", kaj "c ≠ 0":
- Se c > 0 kaj a > b do a × c > b × c kaj a / c > b / c
- Se c > 0 kaj a < b do a × c < b × c kaj a / c < b / c
- Se c < 0 kaj a > b do a × c < b × c kaj a / c < b / c
- Se c < 0 kaj a < b do a × c > b × c kaj a / c > b / c

Apliko de funkcio ambaŭflanken

Ĉiu severe monotone pligrandiĝanta funkcio povas esti aplikita ambaŭflanken al neegalaĵo kaj ĝi konservos sian verecon aŭ malverecon.

Ĉena notacio

La notacio a < b < c signifas ke a < b kaj b < c kio, per la transitiveca propraĵo pli supre skribita, donas ke a < c.

Ĉi tiu notacio povas esti ĝeneraligita al ĉiu kvanto nombro de kondiĉoj: a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n signifas ke a_i ≤ a_i+1 por i = 1, 2, ..., n−1. Per la transitiveca propraĵo, ĉi tiu kondiĉo estas ekvivalento al a_i ≤ a_j por ĉiuj 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Simile oni skribas ke a > b < c, a ≤ b < c ktp en ĉiuj eblas variantoj.

Programlingvoj

En plejparto de programlingvoj (kun escepto de Python) ĉi tiu notacio signifas tute alian.

a < b < c egalas al (a < b) < c. Ĉi tie a < b = 1 se a < b (la kondiĉo veras) kaj 0 male. Do ekzemple 3 < 2 < 1 estas 1 (vero) ĉar

3 < 2 < 1 = (3 < 2) < 1 = 0 < 1 = 1.

Konataj neegalaĵoj

Vidu ankaŭ jenon: listo de neegalaĵoj.

En matematikisto oni ofte uzas neegalaĵojn por bari nombrojn se akurata formulo estas ne sciata aŭ ne povas esti komputita facile. Ĉi tiaj neegalaĵoj:

Vidu ankaŭ

Kategorio Neegalaĵo (pli granda, malpli granda) en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)