Formulo de de Moivre

En matematiko, formulo de de Moivre, nomita post Abraham de Moivre, statas ke por ĉiu kompleksa nombro x kaj ĉiu entjero n

(cos x+i sin x)ⁿ = cos(nx)+i sin(nx)

Pruvo

Kvankam historie formulo de de Moivre estas pruvis pli frue kal alimaniere, la pli facila ĝia pruvo estas per la eŭlera formulo

e^ix = cos x + i sin x

kaj la propraĵo de eksponenta funkcio

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}$

Tiam

(cos x+i sin x)ⁿ = (e^ix)ⁿ = e^inx

kaj

cos(nx) + i sin(nx) = e^i(nx) = e^inx

kaj tial egalas al la sama valoro.

Ĝeneraligo

La formulo estas reale vera en pli ĝenerala okazo: se z kaj w estas kompleksaj nombroj, tiam

(cos z + i sin z)^w

estas multvalora funkcio kaj

cos (wz) + i sin (wz)

ne estas multvalora. Pro tio

cos (wz) + i sin (wz) estas unu valoro de (cos z + i sin z)^w.

Grafika prezento de la kubaj radikoj de 1 sur la kompleksa ebeno.

Aplikoj

Ĉi tiu formulo povas esti uzata por trovi la n-ajn radikojn de kompleksa nombro z (la radikoj estas la kompleksaj nombroj kies n-aj pontencoj egalas al z). Se z estas skribita en trigonometria prezento kiel

z=r (cos x+i sin x)

tiam ĉiuj ties n-ajn radikojn povas esti malkovrataj tiel:

$(s(\cos y+i\sin y))^{n}=r(\cos x+i\sin x)$

$\iff s^{n}(\cos ny+i\sin ny)=r(\cos x+i\sin x)$

$\iff s^{n}=r{\text{ kaj }}ny=x+2k\pi$

por iu entjero k. Do ĉiu radiko estas

$r^{\frac {1}{n}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]$

kie k estas entjero. Se z≠0, fari k=0, 1, ... n-1 trovigos la n malsamajn radikojn de z.

Alia apliko estas, per elvolvado de la maldekstra flanko kaj posta komparo de reela kaj imaginara partoj, ricevi utilajn esprimojn por cos(nx) kaj sin(nx) per cos(x) kaj sin(x).

Vidu ankaŭ

• Eŭlera formulo
• Radiko de unu

Eksteraj ligiloj

• Teoremo de de Moivre