Matematika indukto: Malsamoj inter versioj
[kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
e roboto modifo de: az:Riyazi induksiya |
Marcos (diskuto | kontribuoj) vastigo de la artikolo per traduko de la germana versio; por detaloj pri la versio kaj aŭtoroj de la tradukita artikolo, vidu la diskutpaĝon. |
||
Linio 1: | Linio 1: | ||
'''Matematika indukto''' estas matematika [[matematika pruvo|pruvmetodo]], per kiu oni pruvas [[aserto]]n por ĉiuj [[natura nombro|naturaj nombroj]]. Ĉar temas pri senfina kvanto de nombroj, tia pruvo ne povas esti realigata por ĉiu unuopa kazo. Tial oni realigas la pruvon en du ŝtupoj: La ''bazo de la indukto'' por la plej malgranda nombro (plej ofte 0 aŭ 1) kaj la ''paŝo de la indukto'', kiu logike deduktas de aserto pri iu varianta nombro la koncernan aserton por la sekva nombro. Ĉi tiu pruvmetodo havas fundamentan rolon en la [[aritmetiko]] kaj [[aroteorio]], kaj tial gravas por ĉiuj branĉoj de la matematiko. |
|||
'''Matematika indukto''' estas metodo por [[matematika pruvo|matematika pruvado]]. Ĝi estas kutime uzata por pruvi ke iu aserto estas vera por ĉiuj naturaj nombroj. |
|||
Matematika indukto havas du fazojn. Unue, oni pruvas ke la unua aserto el senfina [[vico]] de aserto estas vera. Due, oni pruvas ke se iu aserto estas vera, do la sekva aserto ankaŭ estas vera. Se oni povas fari la du fazojn, do ĉiuj asertoj el la vico de asertoj estas veraj. |
|||
Matematika indukto ne estas speco de [[indukta logiko]], kiu ne estas sufiĉe rigora por matematiko. Matematika indukto uzas nur [[logiko|deduktan logikon]]. |
Matematika indukto ne estas speco de [[indukta logiko]], kiu ne estas sufiĉe rigora por matematiko. Matematika indukto uzas nur [[logiko|deduktan logikon]]. |
||
== |
== Ilustrado== |
||
[[Dosiero:Ilustro_de_indukto.svg|miniatur|hochkant|links|Konkretaj paŝoj de indukto]] |
|||
Per la varianta indukto-paŝo la matematika indukto kovras ajnan kvanton de paŝoj, kiujn oni povas konkrete realige komencante ĉe 1. Tion ilustras la ilustraĵo maldekstre. Tiu metodo estas komparebla kun la [[domen-efiko]]: Kiam la unua domen-tabulo falas kaj ĉiu falanta tabulo faligas la sekvan tabulon, tiam fine ĉiu domen-tabulo falas. Kontraste al la kazo de domeno, ĉe kiu povas ekzisti nur finhava kvanto da domen-tabuloj, ekzistas senfina kvanto da naturaj nombroj, tiel ke neniu ajne longa konkreta indukto atingas ĉiujn nombrojn. Nur per la varianta indukto-paŝo la indukto iĝas kompleta kaj vere atingas ĉiujn nombrojn. |
|||
[[Dosiero:Domen-indukto.gif|miniatur|hochkant=1.8|Matematika indukto kiel [[domeno (ludo)|domen]]-efiko]] |
|||
<br style="clear:both;" clear="all" /> |
|||
==Etimologio kaj historio== |
|||
La esprimo "matematika indukto" deveas de la [[latina lingvo|latina]] ''inductio'' (="internen-konduko" aŭ "supren-konduko"). La induktoprincipo jam latente enestas en la pitagora difino de nombroj transdonita de [[Eŭklido]]: ''Nombro estas aro kunmetita el unuoj.''<ref name="Euklido">[[Elementoj de Eŭklido]], libro 7, difino 2. Pri tio: Wilfried Neumeier: ''Antike Rhythmustheorien'' (Antikvaj ritmoteorioj), ĉapitro 1 ''Antike mathematische Grundbegriffe'' (Antikvaj matematikaj bazaj konceptoj), paĝo 11 kaj sekvaj</ref> Eŭklido tamen ne faris induktajn pruvojn, sed kontentiĝis per intuiciaj, ekzemplaj induktoj, kiuj tamen ja estis kompletigeblaj. Ankaŭ aliaj elstaraj matematikistoj de la antikvo kaj mezepoko ne sentis la bezonon de precizaj induktopruvoj. Unuopaj esceptoj el la hebrea kaj araba lingvoregionoj restis sen posteuloj. <ref>Rabinovitch: ''Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, en: Archive for History of Exact Sciences 6 (1970), S. 237-248</ref><ref>Rashed, Roshdi: ''L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al'', en: Archive for History of Exact Sciences 9 (1972): 1–21</ref> Longe oni konsideris pruvon de [[Franciscus Maurolycus]] de 1575 kiel plej malnovan malimplicitan matematikan indukton (vidu malsupre).<ref name="Maurolicus">Maurolycus: ''Arithemticorum Liber primus'', S. 7, Proposition 15<sup>a</sup>.[http://books.google.de/books?id=5cMjjJYMY_AC&pg=PA89&dq=inauthor:Maurolycus&hl=de&ei=vtQsTK6XMaeisQas79HZAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CDUQ6AEwAw#v=onepage&q&f=false digital]</ref> Li tamen ankoraŭ ne pritraktis la ĝeneralan pruvmetodon. La unua kiu malimplicite pritraktis la induktoprincipon kun indukto-bazo kaj indukto-paŝo estis [[Blaise Pascal]] en sia ''Traite au Trinagle Arithmetique'' de 1654.<ref>Blaise Pascal: ''Traite au Triangle Arithmetique'', S. 7, Consequence douziesme, Le 1. (Indukto-bazo), Le 2. (Indukto-paŝo), [http://books.google.de/books?id=UqgUAAAAQAAJ&printsec=frontcover&dq=%22Trait%C3%A9+du+Triangle+Arithm%C3%A9tique%22&source=bl&ots=FTKoQqo3qi&sig=iSUkxfV461057o1AT_bshBXlgT0&hl=de&ei=0vMqTO6mDoieOJih3LID&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CD4Q6AEwBg#v=onepage&q&f=false digtial]</ref> Al la disvastigo de induktaj pruvoj signife kontribuis [[Jakob Bernoulli]] ekde 1686.<ref>Lexikon bedeutender Mathematiker, Leipzig 1990, artikolo „Jakob Bernoulli“, paĝo 48</ref> La pruvmetodo estis unuafoje nomata "indukto" aŭ "sinsekva indukto" de [[Augustus De Morgan]] en 1838.<ref name="De Morgan">De Morgan: Artikel ''Induction (Mathematics)'' in: Penny Cyclopædia XII (1838), S.465f</ref> En 1888 [[Richard Dedekind]] klarigis la pruvmetodon sub la nomo "kompleta indukto" (germane "vollständige Induktion", kiu iĝis la kutima esprimo por "matematika indukto" en la germana) en sia verko ''Was sind und was sollen die Zahlen?'' (''Kio estas kaj kion celas la nombroj?'').<ref name="Dedekind">Richard Dedekind: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN23569441X&DMDID=dmdlog55 ''Was sind und was sollen die Zahlen?''], Braunschweig 1888, §6 Satz 80</ref> Per tiu verko el la fonda periodo de la [[aroteorio]], ĝi iĝis ĝenerale konata, establiĝinta pruvmetodo, kiun de tiam neniu branĉo de la matematiko povas forlasi. Unu jaron poste, en 1889, [[Giuseppe Peano]] vortigis la unuan formaligitan [[kalkulo|deduktan sistemon]] por la naturaj nombroj kun indukt-aksiomo, el kiu la pruvskemo de matematika indukto estas derivebla.<ref>Peano: ''Arithmetices principia nova methodo exposita'', 1889, in: G. Peano, ''Opere scelte'' II, Rom 1958, S. 20-55</ref> Li pruvis per formala rigoro ke de liaj nombro-aksiomoj, al kiuj apartenis la indukt-aksiomo, sekvas la tuta aritmetiko ĝis inkluzive la [[realaj nombroj]]. Per tio li konsciigis pri la fundamenta signifo kaj potenco de la indukto. |
|||
==Difino== |
|||
Ekde [[Richard Dedekind]] la ''matematika indukto'' estas difinita jene: |
|||
:Por pruvi, ke aserto validas por ĉiuj naturaj nombroj ''n'' ≥ ''m'', sufiĉas pruvi ke ĝi validas por ''n'' = ''m'' kaj ke el la valideco de la aserto por nombro ''n'' ≥ ''m'' ĉiam sekvas ĝia valideco por la sekva nombro ''n''+1.<ref name="Dedekind" /> |
|||
Kiel formala deduktoregulo kun [[dedukto|deduktorilato]] <math>\vdash</math>, la matematika indukto por aserto <math>\,A(n)</math> kaj natura nombro <math>\,m</math> esprimeblas jene: |
|||
:<math>A(m) {,}\quad n \in \N\and A(n)\Rightarrow A(n+1)\ \vdash \forall n \in \N \colon (n \geq m \Rightarrow A(n))</math> |
|||
Kiel ''bazon de la indukto'' oni rigardas pruvon de <math>\,A(m)</math> kaj kiel ''paŝon de la indukto'' pruvon de <math>\,A(n+1)</math> surbaze de la ''indukta hipotezo'' <math>n \in \N \and A(n) </math>. Por simpligi la pruvon oni ofte faras la paŝon de la indukto de <math>\,n -1 </math> al <math>\,n </math>; tio simple estas ŝanĝo en la notacio. |
|||
Ĉar la aserto ''A''(''n'') por ''n'' ≥ ''m'' estas samvalora kiel la aserto ''A''(''n+m'') por ''n'' ≥ 0, la indukto de Dedekind estas reduktebla al la indukto komenciĝanta ĉe 0:<ref>Rimarko: Oni povas difini la aserton ''B''(''n'') per ''B''(''n'')=''A''(''n''+''m'') kaj fari la indukton per ĝi kun indukto-bazo ''B''(0).</ref> |
|||
:<math>\,A(0) {,}\quad n \in \N \and A(n)\Rightarrow A(n+1)\ \vdash \forall n \in \N \colon A(n)</math> |
|||
== Dedukto == |
|||
Oni povas dedukti la matematikan indukton el la aksiomoj por la naturaj nombroj. Plej konata estas la dedukto el la kvina [[Natura nombro#Naturaj nombroj en matematiko|aksiomo de Peano]], la tiel nomata ''indukt-aksiomo'', kiu tekstas jene: Se <math>\,0</math> estas elemento de <math>\,K</math> kaj se por ĉiu <math>\,n </math> en <math>\,K </math> ankaŭ <math>\,n+1 </math> estas en <math>\,K </math>, tiam <math>\N</math> estas subaro de <math>\,K</math>. Se oni en ĉi tiu aksiomo elektas por <math>\,K</math> la aron de ĉiuj naturaj nombroj <math>\,n</math>, por kiuj validas la aserto <math>\,A(n)</math>, tiam rezultas la matematika indukto kun indukto-bazo <math>\,A(0)</math>. |
|||
Ankaŭ ĉe aliaj konceptoj de naturaj nombroj la aksiomoj de Peano kaj per ili la pruvmetodo de matematika indukto estas dedukteblaj, ekzemple ĉe la difino de la naturaj nombroj |
|||
* kiel de 1 naskita [[duongrupo]], kiu respondas al la citita pitagora nombrodifino<ref name="Euklido" /> |
|||
* kiel algebro kun sekvo-rilato, kiu respondas al la nombrodifino de Dedekind <ref>Dedekind: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN23569441X&DMDID=dmdlog55 ''Was sind und was sollen die Zahlen?''], §6, klarigo 71</ref><ref>reprezentita kiel Dedekind-triopo en: Felscher: ''Naive Mengen und abstrakte Zahlen'' (Naivaj aroj kaj abstraktaj nombroj) I, paĝo 147</ref> |
|||
* kiel plej malgranda [[indukta aro]], do kiel plej malgranda aro por kiu validas la [[Aroteorio#Aksioma arteorio|senfinec-aksiomo de Zermelo]] |
|||
* kiel aro de ĉiuj finhavaj [[ordonombro]]j |
|||
==Pruvskemo de la matematika indukto== |
|||
: '''La formulo A(n) estas pruvota.''' |
|||
:La pruvo estas plenumata en du paŝoj. |
|||
:'''1. Bazo de la indukto: Kontrolu, ke A(m) validas.''' |
|||
:'''2. Paŝo de la indukto: Pruvu: A(n) => A(n+1) (n ≥ m)''' ("El A(n) sekvas A(n+1)") |
|||
:Per la pruvo de la punktoj 1 kaj 2 la formulo A(n) estas pruvita por ĉiuj n ≥ m. |
|||
Normale m=0 aŭ m=1. Tamen en iuj okazoj m > 1, nome se A(n) ne validas por pluaj, finhave multaj naturaj nombroj. |
|||
==Ekzemploj== |
|||
En 1889 Peano pruvis per matematika indukto la bazajn kalkulregulojn por la [[adicio]] kaj [[obligo]]: ilian [[asocieco]]n, [[komuteco]] kaj [[distribueco]]n.<ref name="Peano">Peano: ''Arithmetices principia nova methodo exposita'', 1889, en: G. Peano, ''Opere scelte'' II, Rom 1958, paĝo 35 kaj sekvaj, 40 kaj sekvaj</ref><ref>detalaj pruvoj ankaŭ en: [[Edmund Landau]]: ''Grundlagen der Analysis'', Leipzig 1930</ref> |
|||
===Sumo de neparaj nombroj (Maurolicus 1575) === |
|||
La laŭpaŝa kalkulado de la sumo de la unuaj <math> n </math> neparaj nombroj supozigas la sekvan konjekton: La sumo de ĉiuj neparaj nombroj de 1 ĝis <math>2n-1</math> egalas al la kvadrato de <math>n</math>: |
|||
: 1 = 1 |
|||
: 1 + 3 = 4 |
|||
: 1 + 3 + 5 = 9 |
|||
: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 |
|||
La ĝenerala teoremo estas: <math>\sum^n_{i=1} (2i-1) = n^2.</math>. Ĝin pruvis Maurolicus en 1575 per matematika indukto.<ref name="Maurolicus" /> Pruvo kun nuntempe kutimaj kalkulreguloj tekstas jene: |
|||
La indukto-bazo validas, ĉar <math>\sum^1_{i=1} (2i-1) = 2\cdot 1-1 = 1 =1^2</math>. |
|||
Ĉe la indukto-paŝo pruvendas jeno: Se <math>\sum^n_{i=1} (2i-1) = n^2 </math>, tiam <math>\sum^{n+1}_{i=1} (2i-1) = (n+1)^2</math>. Tio sekvas el egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu oni uzas la induktan hipotezon ĉe la dua transformo: <math>\sum^{n+1}_{i=1} (2i-1) = \sum^n_{i=1} (2i-1) + (2(n+1)-1) = n^2 + 2(n+1)-1 = n^2 + 2n +1 = (n+1)^2</math>. |
|||
=== La sumformulo de Gauss === |
|||
La [[sumformulo de Gauss]] tekstas jene: Por ĉiuj naturaj nombroj <math>n \geq 1 </math>, <math>\sum^n_{k=1} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>. |
|||
La bazo de la indukto tuj pruveblas: |
|||
:<math>\sum^1_{k=1} k = 1 = \frac{1(1+1)}{2}</math> |
|||
La paŝo de la indukto por ajnaj naturaj nombroj <math>\,n </math> estas atingata per la jena egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu la indukta hipotezo estas uzata ĉe la dua transformo: |
|||
:<math>\begin{align}\sum^{n+1}_{k=1} k = \sum^n_{k=1} k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\ |
|||
=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}\end{align}</math> |
|||
=== Neegalaĵo de Bernoulli === |
|||
La [[neegalaĵo de Bernoulli]] asertas ke por [[reala nombro]] <math>\,x</math> tia ke <math>x+1 \geq 0</math> kaj natura nombro <math>n \geq 0</math>, |
|||
:<math>(1+x)^n \geq 1+nx</math>. |
|||
La indukto-bazo ĉi tie validas ĉar <math> (1+x)^0 = 1 \geq 1 </math>. La indukto-paŝon oni atingas per jena derivaĵo, kiu en la dua paŝo uzas la induktan hipotezon, kaj ĉe kiu la supra kondiĉo por <math>\,x</math> certigas, ke la termo ne iĝas negativa: |
|||
:<math>\begin{align}(1+x)^{n+1} = (1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+nx)\cdot(1+x) = \\ |
|||
= 1 + x + nx + nx^2 \geq 1 + x + nx = 1 + (n+1)x\end{align}</math> |
|||
=== Indukto kun ajna komenco === |
|||
Indukta pruvo de la neegalaĵo <math>2^n\ge n^2</math> por naturaj nombroj <math>n\ge 4</math>: |
|||
:La indukto-bazo por <math>\,n = 4</math> sekvas el <math>2^{4}=16\ge 16 = 4^2</math>. |
|||
: La indukto-paŝo validas pro la jena derivaĵo, ĉe kiu en la dua paŝo uziĝas la indukta hipotezo kaj en la kvara kaj sesa paŝoj la kondiĉo <math>n\ge 4</math>: |
|||
:<math>2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2\cdot n^2 =n^2+n\cdot n \ge n^2+4n = n^2+2n+2n \ge n^2+2n+2\cdot4 \ge n^2+2n+1=(n+1)^2</math>. |
|||
La finhava kvanto de okazoj kiujn tia induktopruvo ne kovras povas esti studataj aparte. En ĉi tiu ekzemplo la neeglaĵo klare malveras por <math>\,n=3</math>. |
|||
===Indukto kun pluraj antaŭantoj=== |
|||
Ĉe kelkaj indukto-pruvoj oni bezonas indukto-hipotezon por pluraj antaŭantoj; la indukto-bazo tiam estas pruvenda por pluraj komencaj valoroj. Se ekzemple por la derivaĵo de formulo estas bezonata indukta hipotezo por ''n'' kaj ''n''-1, tiam la indukobazo estas pruvenda por du sinsekvaj nombroj, ekzemple 0 kaj 1.<ref>Komparu la pruvon de la [[Fibonaĉi-nombro#Formulo de Moivre-Binet|Formulo de Moivre-Binet]]</ref> Kiel indukta hipotezo ankaŭ povas roli la aserto por ĉiu nombroj inter la komenca valoro kaj ''n''. Unu ekzemplo estas la pruvo, ke ĉiu natura nombro <math>n\geq 2</math> havas [[primo|priman]] [[divizoro|dividanton]]. |
|||
:Indukto-bazo: 2 estas dividebla per 2. |
|||
:Indukto-paŝo: La aserto estu vera por ĉiu <math>\,m</math> tia ke <math>2\leq m \leq n</math>. Se <math>\,n+1</math> estas primo, tiam <math>\,n+1</math> mem estas la serĉata dividanto. Se <math>\,n+1</math> ne estas primo, tiam ekzistas du nombroj <math>\,a, b</math> tiaj ke <math>a\cdot b=n+1</math> kaj <math>2\leq a,b\leq n</math>. Do ambaŭ nombroj plenumas la induktan hipotezon. Do certe <math>\,a</math> havas priman dividanton <math>\,p</math>. <math>\,p</math> ankaŭ dividas <math>\,n+1</math> kaj sekve estas prima dividanto de <math>\,n+1</math>. |
|||
== Variaĵoj de indukto== |
|||
Induktopruvo ankaŭ eblas por asertoj pri ĉiuj [[plena nombro|plenaj nombroj]] (pozitivaj kaj negativaj). Oni komencas por tio per ajna indukto-bazo, kaj pruvas pozitivan indukto-paŝon de ''n'' al ''n+1'' kaj sekve indukto-paŝon en la negativan direkton de ''n'' al ''n''-1. Ĉe indukto-bazo 0 oni povas la duan indukto-paŝon ankaŭ de ''n'' al −''n''. |
|||
En 1821 [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] enkondukis variaĵon de indukto, ĉe kiu la antaŭeninranta indukto-paŝo faras saltojn (ekzemple de ''n'' al 2''n''), kaj la ekestintaj interspacoj estas poste traktataj per malantaŭen-iranta indukto-paŝo de ''n'' al ''n''-1.<ref>Cauchy: ''Analyse algebrique'', Parizo 1821, paĝo 457 kaj sekvaj, pruvo de la [[neegalaĵo pri la aritmetika kaj geometria meznombroj]] [http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-29058]</ref> |
|||
La matematika indukto estas ĝeneraligebla de la naturaj nombroj al la [[ordonombro]]j. Ĉe senfinaj ordonombroj oni parolas pri [[transfinia indukto|translima indukto]]. |
|||
La principo de indukto estas transigebla ankaŭ al tiel nomataj [[bone-fundamentita aro|bone-fundamentitaj aroj]], kiuj posedas ordostrukturon kompareblan al tiu de la naturaj nombroj; ĉi-okaze oni parolas ankaŭ pri [[struktura indukto]]. |
|||
==Rikura aŭ indukta difino== |
|||
La [[rikuro|rikura difino]] - ankaŭ nomata ''indukta difino''<ref name="Hausdorff">Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre, 1914, paĝoj 112 kaj sekvaj [http://books.google.de/books?id=3nth_p-6DpcC&pg=PA212&lpg=PA212&dq=Hausdorff+%22Transfinite+Induktion%22&source=bl&ots=oMCu_BTVps&sig=lWdderWH55VqGvyXgwnuqjgIYl8&hl=de&ei=v58tTIzGL4jLOKLLsccB&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBkQ6AEwAA#v=onepage&q=Hausdorff%20%22Transfinite%20Induktion%22&f=false]</ref><ref>Peano: ''Le Definitione in Matematica'', 1921, en: Opere scelte II S.431, §7 Definizioni per induzione</ref> - estas procedo analoga al la matematika indukto, ĉe kiu oni difinas matematikan esprimon per rikuro-bazo kaj rikuro-paŝo. Pruvo kun matematika indukto povas evitigi rikuran kalkulon. Ekzemple, la [[#La sumformulo de Gauss|sumformulo de Gauss]] evitigas rikuran kalkulon de la sumo <math>\sum^n_{k=1} k</math> per rikuro-bazo <math>\sum^1_{k=1} k=1</math> kaj rikuro-paŝo <math>\sum^{n+1}_{k=1} k=\sum^{n}_{k=1}k+n+1</math>. |
|||
Rikuro same kiel indukto havas diversajn variaĵojn. |
|||
==Fontindikoj== |
|||
<references /> |
|||
== Vidu ankaŭ == |
|||
* [[Plena indukto]] |
* [[Plena indukto]] |
||
* [[Transfinia indukto]] |
* [[Transfinia indukto|Translima indukto]] |
||
[[Kategorio: |
[[Kategorio:Matematiko]] |
||
[[Kategorio:Pruvoj]] |
|||
{{LigoElstara|he}} |
{{LigoElstara|he}} |
||
{{LigoLeginda|de}} |
|||
[[ar:استقراء رياضي]] |
[[ar:استقراء رياضي]] |
Kiel registrite je 21:15, 7 mar. 2011
Matematika indukto estas matematika pruvmetodo, per kiu oni pruvas aserton por ĉiuj naturaj nombroj. Ĉar temas pri senfina kvanto de nombroj, tia pruvo ne povas esti realigata por ĉiu unuopa kazo. Tial oni realigas la pruvon en du ŝtupoj: La bazo de la indukto por la plej malgranda nombro (plej ofte 0 aŭ 1) kaj la paŝo de la indukto, kiu logike deduktas de aserto pri iu varianta nombro la koncernan aserton por la sekva nombro. Ĉi tiu pruvmetodo havas fundamentan rolon en la aritmetiko kaj aroteorio, kaj tial gravas por ĉiuj branĉoj de la matematiko.
Matematika indukto ne estas speco de indukta logiko, kiu ne estas sufiĉe rigora por matematiko. Matematika indukto uzas nur deduktan logikon.
Ilustrado
Konkretaj paŝoj de indukto
Per la varianta indukto-paŝo la matematika indukto kovras ajnan kvanton de paŝoj, kiujn oni povas konkrete realige komencante ĉe 1. Tion ilustras la ilustraĵo maldekstre. Tiu metodo estas komparebla kun la domen-efiko: Kiam la unua domen-tabulo falas kaj ĉiu falanta tabulo faligas la sekvan tabulon, tiam fine ĉiu domen-tabulo falas. Kontraste al la kazo de domeno, ĉe kiu povas ekzisti nur finhava kvanto da domen-tabuloj, ekzistas senfina kvanto da naturaj nombroj, tiel ke neniu ajne longa konkreta indukto atingas ĉiujn nombrojn. Nur per la varianta indukto-paŝo la indukto iĝas kompleta kaj vere atingas ĉiujn nombrojn.
Etimologio kaj historio
La esprimo "matematika indukto" deveas de la latina inductio (="internen-konduko" aŭ "supren-konduko"). La induktoprincipo jam latente enestas en la pitagora difino de nombroj transdonita de Eŭklido: Nombro estas aro kunmetita el unuoj.[1] Eŭklido tamen ne faris induktajn pruvojn, sed kontentiĝis per intuiciaj, ekzemplaj induktoj, kiuj tamen ja estis kompletigeblaj. Ankaŭ aliaj elstaraj matematikistoj de la antikvo kaj mezepoko ne sentis la bezonon de precizaj induktopruvoj. Unuopaj esceptoj el la hebrea kaj araba lingvoregionoj restis sen posteuloj. [2][3] Longe oni konsideris pruvon de Franciscus Maurolycus de 1575 kiel plej malnovan malimplicitan matematikan indukton (vidu malsupre).[4] Li tamen ankoraŭ ne pritraktis la ĝeneralan pruvmetodon. La unua kiu malimplicite pritraktis la induktoprincipon kun indukto-bazo kaj indukto-paŝo estis Blaise Pascal en sia Traite au Trinagle Arithmetique de 1654.[5] Al la disvastigo de induktaj pruvoj signife kontribuis Jakob Bernoulli ekde 1686.[6] La pruvmetodo estis unuafoje nomata "indukto" aŭ "sinsekva indukto" de Augustus De Morgan en 1838.[7] En 1888 Richard Dedekind klarigis la pruvmetodon sub la nomo "kompleta indukto" (germane "vollständige Induktion", kiu iĝis la kutima esprimo por "matematika indukto" en la germana) en sia verko Was sind und was sollen die Zahlen? (Kio estas kaj kion celas la nombroj?).[8] Per tiu verko el la fonda periodo de la aroteorio, ĝi iĝis ĝenerale konata, establiĝinta pruvmetodo, kiun de tiam neniu branĉo de la matematiko povas forlasi. Unu jaron poste, en 1889, Giuseppe Peano vortigis la unuan formaligitan deduktan sistemon por la naturaj nombroj kun indukt-aksiomo, el kiu la pruvskemo de matematika indukto estas derivebla.[9] Li pruvis per formala rigoro ke de liaj nombro-aksiomoj, al kiuj apartenis la indukt-aksiomo, sekvas la tuta aritmetiko ĝis inkluzive la realaj nombroj. Per tio li konsciigis pri la fundamenta signifo kaj potenco de la indukto.
Difino
Ekde Richard Dedekind la matematika indukto estas difinita jene:
- Por pruvi, ke aserto validas por ĉiuj naturaj nombroj n ≥ m, sufiĉas pruvi ke ĝi validas por n = m kaj ke el la valideco de la aserto por nombro n ≥ m ĉiam sekvas ĝia valideco por la sekva nombro n+1.[8]
Kiel formala deduktoregulo kun deduktorilato , la matematika indukto por aserto kaj natura nombro esprimeblas jene:
Kiel bazon de la indukto oni rigardas pruvon de kaj kiel paŝon de la indukto pruvon de surbaze de la indukta hipotezo . Por simpligi la pruvon oni ofte faras la paŝon de la indukto de al ; tio simple estas ŝanĝo en la notacio.
Ĉar la aserto A(n) por n ≥ m estas samvalora kiel la aserto A(n+m) por n ≥ 0, la indukto de Dedekind estas reduktebla al la indukto komenciĝanta ĉe 0:[10]
Dedukto
Oni povas dedukti la matematikan indukton el la aksiomoj por la naturaj nombroj. Plej konata estas la dedukto el la kvina aksiomo de Peano, la tiel nomata indukt-aksiomo, kiu tekstas jene: Se estas elemento de kaj se por ĉiu en ankaŭ estas en , tiam estas subaro de . Se oni en ĉi tiu aksiomo elektas por la aron de ĉiuj naturaj nombroj , por kiuj validas la aserto , tiam rezultas la matematika indukto kun indukto-bazo .
Ankaŭ ĉe aliaj konceptoj de naturaj nombroj la aksiomoj de Peano kaj per ili la pruvmetodo de matematika indukto estas dedukteblaj, ekzemple ĉe la difino de la naturaj nombroj
- kiel de 1 naskita duongrupo, kiu respondas al la citita pitagora nombrodifino[1]
- kiel algebro kun sekvo-rilato, kiu respondas al la nombrodifino de Dedekind [11][12]
- kiel plej malgranda indukta aro, do kiel plej malgranda aro por kiu validas la senfinec-aksiomo de Zermelo
- kiel aro de ĉiuj finhavaj ordonombroj
Pruvskemo de la matematika indukto
- La formulo A(n) estas pruvota.
- La pruvo estas plenumata en du paŝoj.
- 1. Bazo de la indukto: Kontrolu, ke A(m) validas.
- 2. Paŝo de la indukto: Pruvu: A(n) => A(n+1) (n ≥ m) ("El A(n) sekvas A(n+1)")
- Per la pruvo de la punktoj 1 kaj 2 la formulo A(n) estas pruvita por ĉiuj n ≥ m.
Normale m=0 aŭ m=1. Tamen en iuj okazoj m > 1, nome se A(n) ne validas por pluaj, finhave multaj naturaj nombroj.
Ekzemploj
En 1889 Peano pruvis per matematika indukto la bazajn kalkulregulojn por la adicio kaj obligo: ilian asociecon, komuteco kaj distribuecon.[13][14]
Sumo de neparaj nombroj (Maurolicus 1575)
La laŭpaŝa kalkulado de la sumo de la unuaj neparaj nombroj supozigas la sekvan konjekton: La sumo de ĉiuj neparaj nombroj de 1 ĝis egalas al la kvadrato de :
- 1 = 1
- 1 + 3 = 4
- 1 + 3 + 5 = 9
- 1 + 3 + 5 + 7 = 16
La ĝenerala teoremo estas: . Ĝin pruvis Maurolicus en 1575 per matematika indukto.[4] Pruvo kun nuntempe kutimaj kalkulreguloj tekstas jene:
La indukto-bazo validas, ĉar .
Ĉe la indukto-paŝo pruvendas jeno: Se , tiam . Tio sekvas el egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu oni uzas la induktan hipotezon ĉe la dua transformo: .
La sumformulo de Gauss
La sumformulo de Gauss tekstas jene: Por ĉiuj naturaj nombroj , .
La bazo de la indukto tuj pruveblas:
La paŝo de la indukto por ajnaj naturaj nombroj estas atingata per la jena egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu la indukta hipotezo estas uzata ĉe la dua transformo:
Neegalaĵo de Bernoulli
La neegalaĵo de Bernoulli asertas ke por reala nombro tia ke kaj natura nombro ,
- .
La indukto-bazo ĉi tie validas ĉar . La indukto-paŝon oni atingas per jena derivaĵo, kiu en la dua paŝo uzas la induktan hipotezon, kaj ĉe kiu la supra kondiĉo por certigas, ke la termo ne iĝas negativa:
Indukto kun ajna komenco
Indukta pruvo de la neegalaĵo por naturaj nombroj :
- La indukto-bazo por sekvas el .
- La indukto-paŝo validas pro la jena derivaĵo, ĉe kiu en la dua paŝo uziĝas la indukta hipotezo kaj en la kvara kaj sesa paŝoj la kondiĉo :
- .
La finhava kvanto de okazoj kiujn tia induktopruvo ne kovras povas esti studataj aparte. En ĉi tiu ekzemplo la neeglaĵo klare malveras por .
Indukto kun pluraj antaŭantoj
Ĉe kelkaj indukto-pruvoj oni bezonas indukto-hipotezon por pluraj antaŭantoj; la indukto-bazo tiam estas pruvenda por pluraj komencaj valoroj. Se ekzemple por la derivaĵo de formulo estas bezonata indukta hipotezo por n kaj n-1, tiam la indukobazo estas pruvenda por du sinsekvaj nombroj, ekzemple 0 kaj 1.[15] Kiel indukta hipotezo ankaŭ povas roli la aserto por ĉiu nombroj inter la komenca valoro kaj n. Unu ekzemplo estas la pruvo, ke ĉiu natura nombro havas priman dividanton.
- Indukto-bazo: 2 estas dividebla per 2.
- Indukto-paŝo: La aserto estu vera por ĉiu tia ke . Se estas primo, tiam mem estas la serĉata dividanto. Se ne estas primo, tiam ekzistas du nombroj tiaj ke kaj . Do ambaŭ nombroj plenumas la induktan hipotezon. Do certe havas priman dividanton . ankaŭ dividas kaj sekve estas prima dividanto de .
Variaĵoj de indukto
Induktopruvo ankaŭ eblas por asertoj pri ĉiuj plenaj nombroj (pozitivaj kaj negativaj). Oni komencas por tio per ajna indukto-bazo, kaj pruvas pozitivan indukto-paŝon de n al n+1 kaj sekve indukto-paŝon en la negativan direkton de n al n-1. Ĉe indukto-bazo 0 oni povas la duan indukto-paŝon ankaŭ de n al −n.
En 1821 Cauchy enkondukis variaĵon de indukto, ĉe kiu la antaŭeninranta indukto-paŝo faras saltojn (ekzemple de n al 2n), kaj la ekestintaj interspacoj estas poste traktataj per malantaŭen-iranta indukto-paŝo de n al n-1.[16]
La matematika indukto estas ĝeneraligebla de la naturaj nombroj al la ordonombroj. Ĉe senfinaj ordonombroj oni parolas pri translima indukto.
La principo de indukto estas transigebla ankaŭ al tiel nomataj bone-fundamentitaj aroj, kiuj posedas ordostrukturon kompareblan al tiu de la naturaj nombroj; ĉi-okaze oni parolas ankaŭ pri struktura indukto.
Rikura aŭ indukta difino
La rikura difino - ankaŭ nomata indukta difino[17][18] - estas procedo analoga al la matematika indukto, ĉe kiu oni difinas matematikan esprimon per rikuro-bazo kaj rikuro-paŝo. Pruvo kun matematika indukto povas evitigi rikuran kalkulon. Ekzemple, la sumformulo de Gauss evitigas rikuran kalkulon de la sumo per rikuro-bazo kaj rikuro-paŝo .
Rikuro same kiel indukto havas diversajn variaĵojn.
Fontindikoj
- ↑ 1,0 1,1 Elementoj de Eŭklido, libro 7, difino 2. Pri tio: Wilfried Neumeier: Antike Rhythmustheorien (Antikvaj ritmoteorioj), ĉapitro 1 Antike mathematische Grundbegriffe (Antikvaj matematikaj bazaj konceptoj), paĝo 11 kaj sekvaj
- ↑ Rabinovitch: Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, en: Archive for History of Exact Sciences 6 (1970), S. 237-248
- ↑ Rashed, Roshdi: L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al, en: Archive for History of Exact Sciences 9 (1972): 1–21
- ↑ 4,0 4,1 Maurolycus: Arithemticorum Liber primus, S. 7, Proposition 15a.digital
- ↑ Blaise Pascal: Traite au Triangle Arithmetique, S. 7, Consequence douziesme, Le 1. (Indukto-bazo), Le 2. (Indukto-paŝo), digtial
- ↑ Lexikon bedeutender Mathematiker, Leipzig 1990, artikolo „Jakob Bernoulli“, paĝo 48
- ↑ De Morgan: Artikel Induction (Mathematics) in: Penny Cyclopædia XII (1838), S.465f
- ↑ 8,0 8,1 Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig 1888, §6 Satz 80
- ↑ Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889, in: G. Peano, Opere scelte II, Rom 1958, S. 20-55
- ↑ Rimarko: Oni povas difini la aserton B(n) per B(n)=A(n+m) kaj fari la indukton per ĝi kun indukto-bazo B(0).
- ↑ Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?, §6, klarigo 71
- ↑ reprezentita kiel Dedekind-triopo en: Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen (Naivaj aroj kaj abstraktaj nombroj) I, paĝo 147
- ↑ Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889, en: G. Peano, Opere scelte II, Rom 1958, paĝo 35 kaj sekvaj, 40 kaj sekvaj
- ↑ detalaj pruvoj ankaŭ en: Edmund Landau: Grundlagen der Analysis, Leipzig 1930
- ↑ Komparu la pruvon de la Formulo de Moivre-Binet
- ↑ Cauchy: Analyse algebrique, Parizo 1821, paĝo 457 kaj sekvaj, pruvo de la neegalaĵo pri la aritmetika kaj geometria meznombroj [1]
- ↑ Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre, 1914, paĝoj 112 kaj sekvaj [2]
- ↑ Peano: Le Definitione in Matematica, 1921, en: Opere scelte II S.431, §7 Definizioni per induzione