Matematika indukto

Matematika indukto estas matematika pruvmetodo, per kiu oni pruvas aserton por ĉiuj naturaj nombroj. Ĉar temas pri senfina kvanto de nombroj, tia pruvo ne povas esti realigata por ĉiu unuopa kazo. Tial oni realigas la pruvon en du ŝtupoj: La bazo de la indukto por la plej malgranda nombro (plej ofte 0 aŭ 1) kaj la paŝo de la indukto, kiu logike deduktas de aserto pri iu varianta nombro la koncernan aserton por la sekva nombro. Ĉi tiu pruvmetodo havas fundamentan rolon en la aritmetiko kaj aroteorio, kaj tial gravas por ĉiuj branĉoj de la matematiko.

Matematika indukto ne estas speco de indukta logiko, kiu ne estas sufiĉe rigora por matematiko. Matematika indukto uzas nur deduktan logikon.

Ilustrado

Konkretaj paŝoj de indukto Per la varianta indukto-paŝo la matematika indukto kovras ajnan kvanton de paŝoj, kiujn oni povas konkrete realige komencante ĉe 1. Tion ilustras la ilustraĵo maldekstre. Tiu metodo estas komparebla kun la domen-efiko: Kiam la unua domen-tabulo falas kaj ĉiu falanta tabulo faligas la sekvan tabulon, tiam fine ĉiu domen-tabulo falas. Kontraste al la kazo de domeno, ĉe kiu povas ekzisti nur finhava kvanto da domen-tabuloj, ekzistas senfina kvanto da naturaj nombroj, tiel ke neniu ajne longa konkreta indukto atingas ĉiujn nombrojn. Nur per la varianta indukto-paŝo la indukto iĝas kompleta kaj vere atingas ĉiujn nombrojn.

Etimologio kaj historio

La esprimo "matematika indukto" deveas de la latina inductio (="internen-konduko" aŭ "supren-konduko"). La induktoprincipo jam latente enestas en la pitagora difino de nombroj transdonita de Eŭklido: Nombro estas aro kunmetita el unuoj. Eŭklido tamen ne faris induktajn pruvojn, sed kontentiĝis per intuiciaj, ekzemplaj induktoj, kiuj tamen ja estis kompletigeblaj. Ankaŭ aliaj elstaraj matematikistoj de la antikvo kaj mezepoko ne sentis la bezonon de precizaj induktopruvoj. Unuopaj esceptoj el la hebrea kaj araba lingvoregionoj restis sen posteuloj. Longe oni konsideris pruvon de Franciscus Maurolycus de 1575 kiel plej malnovan malimplicitan matematikan indukton (vidu malsupre). Li tamen ankoraŭ ne pritraktis la ĝeneralan pruvmetodon. La unua kiu malimplicite pritraktis la induktoprincipon kun indukto-bazo kaj indukto-paŝo estis Blaise Pascal en sia Traite au Trinagle Arithmetique de 1654. Al la disvastigo de induktaj pruvoj signife kontribuis Jakob Bernoulli ekde 1686. La pruvmetodo estis unuafoje nomata "indukto" aŭ "sinsekva indukto" de Augustus De Morgan en 1838. En 1888 Richard Dedekind klarigis la pruvmetodon sub la nomo "kompleta indukto" (germane "vollständige Induktion", kiu iĝis la kutima esprimo por "matematika indukto" en la germana) en sia verko Was sind und was sollen die Zahlen? (Kio estas kaj kion celas la nombroj?). Per tiu verko el la fonda periodo de la aroteorio, ĝi iĝis ĝenerale konata, establiĝinta pruvmetodo, kiun de tiam neniu branĉo de la matematiko povas forlasi. Unu jaron poste, en 1889, Giuseppe Peano vortigis la unuan formaligitan deduktan sistemon por la naturaj nombroj kun indukt-aksiomo, el kiu la pruvskemo de matematika indukto estas derivebla. Li pruvis per formala rigoro ke de liaj nombro-aksiomoj, al kiuj apartenis la indukt-aksiomo, sekvas la tuta aritmetiko ĝis inkluzive la realaj nombroj. Per tio li konsciigis pri la fundamenta signifo kaj potenco de la indukto.

Difino

Ekde Richard Dedekind la matematika indukto estas difinita jene:

Por pruvi, ke aserto validas por ĉiuj naturaj nombroj n ≥ m, sufiĉas pruvi ke ĝi validas por n = m kaj ke el la valideco de la aserto por nombro n ≥ m ĉiam sekvas ĝia valideco por la sekva nombro n+1.

Kiel formala deduktoregulo kun deduktorilato $\vdash$, la matematika indukto por aserto $\,A(n)$ kaj natura nombro $\,m$ esprimeblas jene:

$A(m){,}\quad n\in \mathbb {N} \land A(n)\Rightarrow A(n+1)\ \vdash \forall n\in \mathbb {N} \colon (n\geq m\Rightarrow A(n))$

Kiel bazon de la indukto oni rigardas pruvon de $\,A(m)$ kaj kiel paŝon de la indukto pruvon de $\,A(n+1)$ surbaze de la indukta hipotezo $n\in \mathbb {N} \land A(n)$. Por simpligi la pruvon oni ofte faras la paŝon de la indukto de $\,n-1$ al $\,n$; tio simple estas ŝanĝo en la notacio.

Ĉar la aserto A(n) por n ≥ m estas samvalora kiel la aserto A(n+m) por n ≥ 0, la indukto de Dedekind estas reduktebla al la indukto komenciĝanta ĉe 0:

$\,A(0){,}\quad n\in \mathbb {N} \land A(n)\Rightarrow A(n+1)\ \vdash \forall n\in \mathbb {N} \colon A(n)$

Dedukto

Oni povas dedukti la matematikan indukton el la aksiomoj por la naturaj nombroj. Plej konata estas la dedukto el la kvina aksiomo de Peano, la tiel nomata indukt-aksiomo, kiu tekstas jene: Se $\,0$ estas elemento de $\,K$ kaj se por ĉiu $\,n$ en $\,K$ ankaŭ $\,n+1$ estas en $\,K$, tiam $\mathbb {N}$ estas subaro de $\,K$. Se oni en ĉi tiu aksiomo elektas por $\,K$ la aron de ĉiuj naturaj nombroj $\,n$, por kiuj validas la aserto $\,A(n)$, tiam rezultas la matematika indukto kun indukto-bazo $\,A(0)$.

Ankaŭ ĉe aliaj konceptoj de naturaj nombroj la aksiomoj de Peano kaj per ili la pruvmetodo de matematika indukto estas dedukteblaj, ekzemple ĉe la difino de la naturaj nombroj

• kiel de 1 naskita duongrupo, kiu respondas al la citita pitagora nombrodifino
• kiel algebro kun sekvo-rilato, kiu respondas al la nombrodifino de Dedekind
• kiel plej malgranda indukta aro, do kiel plej malgranda aro por kiu validas la senfinec-aksiomo de Zermelo
• kiel aro de ĉiuj finhavaj ordonombroj

Pruvskemo de la matematika indukto

La formulo A(n) estas pruvota.

La pruvo estas plenumata en du paŝoj.

1. Bazo de la indukto: Kontrolu, ke A(m) validas.

2. Paŝo de la indukto: Pruvu: A(n) => A(n+1) (n ≥ m) ("El A(n) sekvas A(n+1)")

Per la pruvo de la punktoj 1 kaj 2 la formulo A(n) estas pruvita por ĉiuj n ≥ m.

Normale m=0 aŭ m=1. Tamen en iuj okazoj m > 1, nome se A(n) ne validas por pluaj, finhave multaj naturaj nombroj.

Ekzemploj

En 1889 Peano pruvis per matematika indukto la bazajn kalkulregulojn por la adicio kaj obligo: ilian asociecon, komuteco kaj distribuecon.

Sumo de neparaj nombroj (Maurolicus 1575)

La laŭpaŝa kalkulado de la sumo de la unuaj $n$ neparaj nombroj supozigas la sekvan konjekton: La sumo de ĉiuj neparaj nombroj de 1 ĝis $2n-1$ egalas al la kvadrato de $n$:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

La ĝenerala teoremo estas: $\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}.$. Ĝin pruvis Maurolicus en 1575 per matematika indukto. Pruvo kun nuntempe kutimaj kalkulreguloj tekstas jene:

La indukto-bazo validas, ĉar $\sum _{i=1}^{1}(2i-1)=2\cdot 1-1=1=1^{2}$.

Ĉe la indukto-paŝo pruvendas jeno: Se $\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$, tiam $\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=(n+1)^{2}$. Tio sekvas el egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu oni uzas la induktan hipotezon ĉe la dua transformo: $\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+(2(n+1)-1)=n^{2}+2(n+1)-1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$.

La sumformulo de Gauss

La sumformulo de Gauss tekstas jene: Por ĉiuj naturaj nombroj $n\geq 1$, $\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$.

La bazo de la indukto tuj pruveblas:

$\sum _{k=1}^{1}k=1={\frac {1(1+1)}{2}}$

La paŝo de la indukto por ajnaj naturaj nombroj $\,n$ estas atingata per la jena egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu la indukta hipotezo estas uzata ĉe la dua transformo:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)\\={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}\end{aligned}}$

Neegalaĵo de Bernoulli

La neegalaĵo de Bernoulli asertas ke por reala nombro $\,x$ tia ke $x+1\geq 0$ kaj natura nombro $n\geq 0$,

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$.

La indukto-bazo ĉi tie validas ĉar $(1+x)^{0}=1\geq 1$. La indukto-paŝon oni atingas per jena derivaĵo, kiu en la dua paŝo uzas la induktan hipotezon, kaj ĉe kiu la supra kondiĉo por $\,x$ certigas, ke la termo ne iĝas negativa:

${\begin{aligned}(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}\cdot (1+x)\geq (1+nx)\cdot (1+x)=\\=1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx=1+(n+1)x\end{aligned}}$

Indukto kun ajna komenco

Indukta pruvo de la neegalaĵo $2^{n}\geq n^{2}$ por naturaj nombroj $n\geq 4$:

La indukto-bazo por $\,n=4$ sekvas el $2^{4}=16\geq 16=4^{2}$.

La indukto-paŝo validas pro la jena derivaĵo, ĉe kiu en la dua paŝo uziĝas la indukta hipotezo kaj en la kvara kaj sesa paŝoj la kondiĉo $n\geq 4$:

$2^{n+1}=2\cdot 2^{n}\geq 2\cdot n^{2}=n^{2}+n\cdot n\geq n^{2}+4n=n^{2}+2n+2n\geq n^{2}+2n+2\cdot 4\geq n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$.

La finhava kvanto de okazoj kiujn tia induktopruvo ne kovras povas esti studataj aparte. En ĉi tiu ekzemplo la neeglaĵo klare malveras por $\,n=3$.

Indukto kun pluraj antaŭantoj

Ĉe kelkaj indukto-pruvoj oni bezonas indukto-hipotezon por pluraj antaŭantoj; la indukto-bazo tiam estas pruvenda por pluraj komencaj valoroj. Se ekzemple por la derivaĵo de formulo estas bezonata indukta hipotezo por n kaj n-1, tiam la indukobazo estas pruvenda por du sinsekvaj nombroj, ekzemple 0 kaj 1. Kiel indukta hipotezo ankaŭ povas roli la aserto por ĉiu nombroj inter la komenca valoro kaj n. Unu ekzemplo estas la pruvo, ke ĉiu natura nombro $n\geq 2$ havas priman dividanton.

Indukto-bazo: 2 estas dividebla per 2.

Indukto-paŝo: La aserto estu vera por ĉiu $\,m$ tia ke $2\leq m\leq n$. Se $\,n+1$ estas primo, tiam $\,n+1$ mem estas la serĉata dividanto. Se $\,n+1$ ne estas primo, tiam ekzistas du nombroj $\,a,b$ tiaj ke $a\cdot b=n+1$ kaj $2\leq a,b\leq n$. Do ambaŭ nombroj plenumas la induktan hipotezon. Do certe $\,a$ havas priman dividanton $\,p$. $\,p$ ankaŭ dividas $\,n+1$ kaj sekve estas prima dividanto de $\,n+1$.

Variaĵoj de indukto

Induktopruvo ankaŭ eblas por asertoj pri ĉiuj plenaj nombroj (pozitivaj kaj negativaj). Oni komencas por tio per ajna indukto-bazo, kaj pruvas pozitivan indukto-paŝon de n al n+1 kaj sekve indukto-paŝon en la negativan direkton de n al n-1. Ĉe indukto-bazo 0 oni povas la duan indukto-paŝon ankaŭ de n al −n.

En 1821 Cauchy enkondukis variaĵon de indukto, ĉe kiu la antaŭeninranta indukto-paŝo faras saltojn (ekzemple de n al 2n), kaj la ekestintaj interspacoj estas poste traktataj per malantaŭen-iranta indukto-paŝo de n al n-1.

La matematika indukto estas ĝeneraligebla de la naturaj nombroj al la ordonombroj. Ĉe senfinaj ordonombroj oni parolas pri translima indukto.

La principo de indukto estas transigebla ankaŭ al tiel nomataj bone-fundamentitaj aroj, kiuj posedas ordostrukturon kompareblan al tiu de la naturaj nombroj; ĉi-okaze oni parolas ankaŭ pri struktura indukto.

Rikura aŭ indukta difino

La rikura difino - ankaŭ nomata indukta difino - estas procedo analoga al la matematika indukto, ĉe kiu oni difinas matematikan esprimon per rikuro-bazo kaj rikuro-paŝo. Pruvo kun matematika indukto povas evitigi rikuran kalkulon. Ekzemple, la sumformulo de Gauss evitigas rikuran kalkulon de la sumo $\sum _{k=1}^{n}k$ per rikuro-bazo $\sum _{k=1}^{1}k=1$ kaj rikuro-paŝo $\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+n+1$.

Rikuro same kiel indukto havas diversajn variaĵojn.

Vidu ankaŭ

• Plena indukto
• Translima indukto