Sistemo de linearaj ekvacioj estas sistemo de ekvacioj , en kiu estas laŭvola nombro de linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.
Se estas m ekvacioj, en kiujn estas n variantoj, tiam oni povas prezenti en formo:
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
+
…
+
a
3
n
x
n
=
b
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
a
m
3
x
3
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}}
Skalaroj
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
nomas koeficienton de sistemo ,
skalaroj
b
i
{\displaystyle b_{i}}
nomas liberajn elementojn .
Solvo de sistemo de ekvacioj nomas laŭvolan n-elementojn
(
r
1
,
r
2
,
…
,
r
n
)
{\displaystyle (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}
de korpo
K
{\displaystyle K}
, kiuj substituanta
x
i
{\displaystyle x_{i}}
donas verajn ekvaciojn .
Ĉefa matrico estas matrico , kiujn elementojn estas koeficiento de sistemo
A
=
[
a
11
a
12
a
13
⋯
a
1
n
a
21
a
22
a
23
⋯
a
2
n
a
31
a
32
a
33
⋯
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
a
m
3
⋯
a
m
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}}
.
Dilata matrico estas ĉefa matrico , kiu estas dilatata pri vertikala vektoro
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
m
)
{\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{m})}
:
U
=
[
a
11
a
12
a
13
⋯
a
1
n
a
21
a
22
a
23
⋯
a
2
n
a
31
a
32
a
33
⋯
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
a
m
3
⋯
a
m
n
|
b
1
b
2
b
3
⋮
b
m
]
=
[
A
|
B
]
{\displaystyle U=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right]=[A|B]}
Priskribo de matricoj de sistemo de linearaj ekvacioj
redakti
Tipoj de sistemoj de linearaj ekvacioj
redakti
Sistemo de Kramero estas sistemo n de linearaj ekvacioj (kun n variantoj), kiuj havas sekvan atributon:
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\not =0}
Sistemo de Kramero havas nur strikte unu solvon, kiu estas difinata per formuloj de Kramero .
Sistemo de ekvacioj estas homogena se ĉiuj liberaj elementoj de sistemo estas nuloj. Ekzemplo de homogena sistemo:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
0
{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\,}
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
0
{\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\,}
⋮
{\displaystyle \vdots \,}
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
=
0
{\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\,}
Atributoj de homogena sistemo:
Se
n
=
m
{\displaystyle n=m}
(nombro de variantoj egalas nombro de ekvacioj), tiam sistemo nomas kvadratan sistemon.
Se determinanto de ĉefa matrico ne estas nulo, tiam oni povas uzi formuloj de Kramero por solvi.
Se determinanto de ĉefa matrico estas nulo, tiam sistemo ne havas solvon aŭ havas infinite multe solvojn.
Signifas per
A
i
{\displaystyle A_{i}}
matricojn, kiel sube:
A
i
=
[
a
11
a
12
…
a
1
i
−
1
b
1
a
1
i
+
1
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
i
−
1
b
2
a
2
i
+
1
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
i
−
1
b
n
a
n
i
+
1
…
a
n
n
]
{\displaystyle A_{i}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1\ i-1}&b_{1}&a_{1\ i+1}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2\ i-1}&b_{2}&a_{2\ i+1}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{n\ i-1}&b_{n}&a_{n\ i+1}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
Se determinanto de ĉiuj matricoj
A
i
{\displaystyle A_{i}}
estas nulo (kaj
det
A
=
0
{\displaystyle \det A=0}
), tiam sistemo havas infinite multe solvojn.
Se almenaŭ unu el matricoj
A
i
{\displaystyle A_{i}}
havas determinanton nenula, tiam sistemo ne havas solvojn.
Laŭvola sistemo:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
b
1
{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\,}
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
b
2
{\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\,}
⋮
{\displaystyle \vdots \,}
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
.
.
.
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}\,}
nomas ortagulan sistemon, kiam
m
≠
n
{\displaystyle m\not =n}
.
x
+
3
y
=
2
−
2
x
+
−
6
y
=
−
4
{\displaystyle x+3y=2 \atop -2x+-6y=-4}
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
+
…
+
a
3
n
x
n
=
b
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
a
m
3
x
3
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}}