Elipsa integralo

En integrala kalkulo, elipsaj integraloj originale aperis en ligo kun la problemo doni la arkan longon de elipso kaj estis unue studita de Giulio Fagnano kaj Leonhard Euler.

En la moderna difino, elipsa integralo estas iu ajn funkcio f kiu povas esti esprimita en la formo

$f(x)=\int _{c}^{x}R(t,P(t))\ dt$

kie R estas racionala funkcio de ĝiaj du argumentoj, P estas la kvadrata radiko de polinomo de grado 3 (kuba) aŭ 4 sen ripetitaj radikoj, kaj c estas konstanto.

En ĝeneralo, elipsaj integraloj ne povas esti esprimitaj en pere de elementaj funkcioj; esceptoj al ĉi tio estas kiam P ja estas ripetitaj radikoj, aŭ kiam R(x,y) enhavas ne neparajn potencojn de y. Tamen, per adekvata malpligrandiĝa formulo, ĉiu elipsa integralo povas esti portita en formon, kiu engaĝas integralojn super racionalaj funkcioj, kaj la tri kanonaj formoj (kio estas la elipsaj integraloj de la unua, dua kaj tria speco).

Ekster la formoj donotaj pli sube, la elipsaj integraloj povas ankaŭ esti esprimitaj en formo de Legendre kaj simetria formo de Carlson. Aldona vido en la teorion de la nedifinita integralo povas estigajnita per la studo de la surĵeto de Schwarz-Christoffel.

Notacio

Elipsaj integraloj estas ofte esprimita kiel funkcioj de diversaĵo de malsamaj argumentoj. Ĉi tiuj malsamaj argumentoj estas plene ekvivalentaj (ili donas la saman elipsan integralon), sed povas esti konfuzantaj pro iliaj malsamaj aspektoj. Plej tekstoj estas adepto de kanona nomanta projekto. Antaŭ difinanta la integralojn, ni resumas la nom-konvenciojn por la argumentoj:

• k la elipsa modulo
• m=k² la parametro
• $\alpha$ la modula angulo, $k=\sin \alpha$

Notu, ke la pli supre tri estas plene difinitaj unu per la alia; preciziganta unu estas la sama kiel preciziganta alia. La elipsaj integraloj ankaŭ dependos de alia argumento; tiu povas ankaŭ esti precizigita en nombro de malsamaj manieroj:

• $\phi$ la amplitudo
• x kie $x=\sin \phi ={\textrm {sn}}\;u$
• u, kie x=sn u kaj sn estas unu el la Jakobiaj determinantaj elipsaj funkcioj

Precizigi iun ajn el ĉi tiuj difinas la aliajn, kaj tial denove, ĉi tiuj povas esti uzata interŝanĝeble en la notacio. Notu, ke u ankaŭ dependas de m. Iuj aldonaj interrilatoj engaĝante u inkluzivi

$\cos \phi ={\textrm {cn}}\;u$

kaj

${\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}={\textrm {dn}}\;u$.

La lasta estas iam nomita la delta amplitudo kaj skribita kiel $\Delta (\phi )={\textrm {dn}}\;u$.

Iam la literaturo mencias la komplementan parametron, la komplementan modulon aŭ la komplementan modulan angulon. Ĉi tiuj estas plue difinitaj en la artikolo pri kvarumaj periodoj.

Neplena elipsa integralo de la unua speco

La neplena elipsa integralo de la unua speco F estas difinita, en Jakobia formo, kiel

$F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt\,\!$

Ekvivalente, uzante alternativan notacion,

$F(x;k)=F(\phi |m)=F(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}}\ d\theta \,\!$

kie laŭ onidiroj kiam estas vertikala streko uzita, la argumento post la vertikala streko estas la parametro (kiel difinite pli supre), kaj, kiam deklivo estas uzita, ĝi estas sekvita per la modula angulo. Notu, ke

$F(x;k)=u$

kun u kiel difinite pli supre: tial, la jakobiaj determinantaj elipsaj funkcioj estas inversoj al la elipsaj integraloj.

Neplena elipsa integralo de la dua speco

La neplena elipsa integralo de la dua speco E estas

$E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt$

Ekvivalente, uzante alternativan notacion,

$E(x;k)=E(\phi |m)=E(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}\ d\theta$

Aldonaj rilatoj estas

$E(\phi |m)=\int _{0}^{u}{\textrm {dn}}^{2}w\;dw=u-m\int _{0}^{u}{\textrm {sn}}^{2}w\;dw=(1-m)u+m\int _{0}^{u}{\textrm {cn}}^{2}w\;dw$

Neplena elipsa integralo de la tria speco

La nekompleta elipsa integralo de la tria speco $\Pi$ estas

$\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1-k^{2}t^{2})(1-t^{2})}}}\ dt$

aŭ

$\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {1}{\sqrt {(1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta )}}}\ d\theta$

aŭ

$\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{u}{\frac {1}{1-n{\textrm {sn}}^{2}(w|m)}}\;dw$

La nombro n estas nomita la karakterizo kaj povas alpreni ian ajn valoron, sendepende de la aliaj argumentoj. Notu kvankam, ke la valoro $\Pi (1;\pi /2|m)$ estas malfinia por ĉiu m.

Plena elipsa integralo de la unua speco

La plena elipsa integralo de la unua speco K estas difinita kiel

$K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt$

kaj povas esti komputita pere de la aritmetiko-geometria meznombro.

Ĝi povas ankaŭ esti kalkulita kiel

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }k^{2n}{\frac {(2n)!(2n)!}{16^{n}n!n!n!n!}}$

Aŭ en formo de integralo de sinuso, kiam 0 ≤ k ≤ 1

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

La kompleta elipsa integralo de la unua speco estas iam nomata kiel la kvaruma periodo.

Plena elipsa integralo de la dua speco

La plena elipsa integralo de la dua speco E estas difinita kiel

$E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt$

Aŭ se 0 ≤ k ≤ 1:

$E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta$

Historio

Historie, elipsaj funkcioj estis esploritaj kiel inversaj funkcioj de elipsaj integraloj, kaj ĉi tiu unu precipe: ni havas F(sn(z;k);k) = z kie sn estas unu el jakobiaj elipsaj funkcioj.

Vidu ankaŭ

• Formo de Legendre
• Simetria formo de Carlson
• Mapo de Schwarz-Christoffel

Referencoj

• Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun, Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj, (1964) Dover Publications, Novjorko. ISBN 486-61272-4 (vidu en ĉapitro 17).
• [1]
• [2]
• [3]