Duedra angulo

En geometrio, duedra angulo estas la angulo inter du ebenoj.

Figuro 1
Duedra angulo de tri vektoroj, difinita kiel ekstera sfera angulo. La pli longa kaj pli mallongaj nigra segmentoj estas arkoj de la ĉefcirkloj pasantaj tra $\mathbf {b} _{1}$ kaj $\mathbf {b} _{2}$ kaj tra $\mathbf {b} _{2}$ kaj $\mathbf {b} _{3}$ respektive.

La duedra angulo de du ebenoj povas esti vidata per rigardo al la ebenoj laŭ ilia linio de komunaĵo. La duedra angulo $\phi _{AB}$ inter ebenoj A kaj B estas la angulo inter ilia du normala unuoblaj vektoroj $\mathbf {n} _{A}$ kaj $\mathbf {n} _{B}$

$\cos \phi _{AB}=\mathbf {n} _{A}\cdot \mathbf {n} _{B}$

Duedra angulo povas esti signa nombro; ekzemple, la duedra angulo $\phi _{AB}$ povas esti difinita kiel la angulo tra kiu ebeno A devas esti turnita ĉirkaŭ ilia linio de komunaĵo por koincidi kun ebeno B. Tial, $\phi _{AB}=-\phi _{BA}$. Por precizeco, oni devus precizigi uzon de la angulo aŭ ĝia suplemento, pro du turnoj rezultiĝas je koincido de la ebenoj.

Alternativaj difinoj

Pro tio ke ebeno povas esti difinita en kelkaj vojoj (per vektoroj aŭ punktoj en ĝi, aŭ per normala vektoro), estas kelkaj ekvivalentaj difinoj de duedra angulo.

Ĉiu ebeno povas esti difinita per du ne-samrektaj vektoroj situantaj en la ebeno; la vektora produto de la du vektoroj donas la normalan vektoron al la ebeno. Tial, duedra angulo povas esti difinita per kvar, duope ne-samrektaj vektoroj.

Oni povas ankaŭ difini la duedra angulo de tri ne-samrektaj vektoroj $\mathbf {b} _{1}$, $\mathbf {b} _{2}$ kaj $\mathbf {b} _{3}$ (montritaj en ruĝa, verda kaj blua, respektive, en figuro 1). La vektoroj $\mathbf {b} _{1}$ kaj $\mathbf {b} _{2}$ difinas la unuan ebenon, kaj $\mathbf {b} _{2}$ kaj $\mathbf {b} _{3}$ difinas la duan ebeno. La duedra angulo korespondas al ekstera sfera angulo (figuro 1), kiu estas bone-difinita kaj signuma.

$\phi =\mathrm {atan2} \left(|\mathbf {b} _{2}|\mathbf {b} _{1}\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}],[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right)$

kie la du-argumenta funkcio atan2 zorgas ankaŭ pri signumo de sia rezulto.

Duedraj anguloj en pluredroj

Ĉiu pluredro, regula pluredro aŭ neregula, konveksa aŭ nekonveksa, havas duedra angulo je ĉiu latero.

Duedra angulo estas la ena angulo je latero kie du najbaraj edroj kuniĝas. Angulo egala al 0 respektivas al tio ke la edraj normalaj vektoroj estas kontraŭparalelaj kaj la edroj interkovras unu la alian (kaj tiel la pluredro estas degenera pluredro). Angulo egala al 180 gradoj respektivas al tio ke la edroj estas paralelaj (simile al tio en kahelaroj). Anguloj pli granda ol 180 gradoj ekzistas en nekonveksaj partoj de pluredroj.

Ĉiu duedra angulo en latero-transitiva pluredro havas la saman valoron.

Vidu ankaŭ en tabelo de pluredraj duedraj anguloj.

Vidu ankaŭ

• Angulo
• Spaca angulo

Eksteraj ligiloj

• Analitiko de la 5 regulaj pluredroj - pri duedraj anguloj de konveksaj regulaj pluredroj.
• George Olshevsky, Duedra angulo en Glossary for Hyperspace.