Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Χρήστης:Zoe gk/πρόχειρο

{{πρόχειρο χρήστη}}
<!-- ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΤΕΙΤΕ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΑΥΤΗ ΤΗ ΓΡΑΜΜΗ -->
<b><h1>Η ισότητα modulo 2 του μηδενός </h1></b>
----
[[Αρχείο:Scale of justice 2.svg|frame|right|Οι δίσκοι αυτής της ζυγαριάς περιέχουν μηδέν αντικείμενα μοιρασμένα σε 2 ίσες ομάδες]]
Το [[Μηδέν]] είναι ένας άρτιος αριθμός. Με άλλα λόγια, η [[Ισότητα modulo 2]] -η ιδιότητα ενός [[ακεραίου]] να είναι άρτιος ή περιττός- είναι άρτια. Ο πιο απλός τρόπος να αποδείξουμε ότι το μηδέν είναι άρτιος είναι να ελέγξουμε εάν ανταποκρίνεται στον ορισμό του "άρτιου" αριθμού: να είναι δηλαδή ακέραιο [[πολλαπλάσιο]] του [[2]], όπου συγκεκριμένα εδώ έχουμε 0 × 2. Συμπερασματικά, το μηδέν έχει όλες τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τους άρτιους αριθμούς: το 0 [[διαιρείται]] από το 2, βρίσκεται ανάμεσα σε δύο περιττούς αριθμούς, είναι το [[άθροισμα]] ενός ακεραίου (0) με τον εαυτό του, και ένα σύνολο 0 αντικειμένων μπορεί να μοιραστεί σε δύο ίσα σύνολα.

Επιπλέον, το μηδέν ταιριάζει και στα μοτίβα που σχηματίζονται από άλλους άρτιους αριθμούς. Οι κανόνες ισότητας modulo 2 της αριθμητικής, όπως <i> άρτιος-άρτιος=άρτιος </i>, απαιτούν το 0 να είναι άρτιο. Το μηδέν είναι το πρόσθετο [[ταυτοτικό στοιχείο]] του [[συνόλου]] των άρτιων ακεραίων, και είναι η βάση πάνω στην οποία άλλοι άρτιοι [[φυσικοί αριθμοί]] είναι [[αναδρομικά ορισμένοι]]. Εφαρμογές αυτής της αναδρομής από την [[θεωρία γραφημάτων]] στην [[υπολογιστική γεωμετρία]] βασίζονται στην αρτιότητα του μηδενός. Το μηδέν δεν διαιρείται μόνο από το 2, αλλά και από κάθε άλλο θετικό ακέραιο. Στο [[δυαδικό αριθμητικό σύστημα]] που χρησιμοποιείται από τους υπολογιστές, είναι ιδιαίτερα σημαντικό ότι το 0 διαιρείται από οποιαδήποτε [[δύναμη του 2]], καθώς από αυτήν την άποψη το 0 είναι ο "πιο άρτιος" αριθμός.

Στο ευρύ κοινό η ισότητα modulo 2 του μηδενός μπορεί εύκολα να γίνει αιτία σύγχυσης. Σε πειράματα που αφορούν τον [[χρόνο αντίδρασης]], η πλειοψηφία αργεί να ταυτοποιήσει το 0 σαν άρτιο αριθμό περισσότερο από ότι το 2,4,6,8. Μερικοί σπουδαστές των Μαθηματικών -και κάποιοι καθηγητές- νομίζουν ότι το 0 είναι περιττός, ή ακόμα, ότι είναι και άρτιος και περιττός, ή και κανένα από τα 2. Μελετητές της [[μαθηματικής διδασκαλίας]] υποστηρίζουν ότι αυτές οι παρανοήσεις μπορούν να αποτελέσουν ευκαιρίες μάθησης. Μελετώντας εξισώσεις όπως 0 × 2 = 0 μπορεί να διεγείρει τις αμφιβολίες των μαθητών σχετικά με το αν το 0 είναι [[αριθμός]] και την χρήση του και συμπεριφορά του στην [[αριθμητική]]. Οι συζητήσεις στην τάξη μπορούν να συντελέσουν ώστε οι μαθητές να εκτιμήσουν τις βασικές αρχές του μαθηματικού συλλογισμού, όπως την σημασία των ορισμών. Η αξιολόγηση της ισότητας modulo 2 αυτού του εντυπωσιακού αριθμού είναι ένα πρώιμο παράδειγμα από ένα αχανές πεδίο των μαθηματικών: η [[αφαίρεση]] μίας γνωστής έννοιας με αποτέλεσμα μία άγνωστη σύνθεση.



<h2> '''Γιατί το μηδέν είναι άρτιος'''</h2>
----
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον καθιερωμένο ορισμό του "άρτιου αριθμού" ώστε εύκολα να [[αποδείξουμε]] ότι το μηδέν είναι άρτιος. Ένας αριθμός ονομάζεται "άρτιος" εάν πρόκειται για ακέραιο πολλαπλάσιο του 2. Για παράδειγμα, ο λόγος που το 10 είναι άρτιος αριθμός είναι γιατί ισούται με 5 × 2. Με τον ίδιο τρόπο, το μηδέν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2, αφού 0 × 2, άρα το μηδέν είναι άρτιος.<ref>{{harvnb|Penner|1999|p=34}}: [[Lemma (mathematics)|Lemma]] B.2.2, ''The integer 0 is even and is not odd''. Penner uses the mathematical symbol ∃, the [[existential quantifier]], to state the proof: "To see that 0 is even, we must prove that {{nowrap|1=∃''k'' (0 = 2''k''),}} and this follows from the equality {{nowrap|1=0 = 2 ⋅ 0}}."</ref>

Είναι, επίσης, εφικτό να εξηγήσουμε γιατί το μηδέν είναι άρτιος χωρίς να αναφερθούμε σε καθιερωμένους ορισμούς.<ref>{{harvtxt|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}} discuss this challenge for the elementary-grades teacher, who wants to give mathematical reasons for mathematical facts, but whose students neither use the same definition, nor would understand it if it were introduced.</ref> Η παρακάτω εξήγηση δείχνει ότι το μηδέν είναι άρτιος βασισμένη σε θεμελιώδεις αριθμητικές έννοιες. Με αυτή την αρχή, ο αριθμός 1 μας παρέχει κάποια στοιχεία για τον ορισμό του -και για τις εφαρμογές του ως προς το μηδέν.

<b><h3> Θεμελιώδεις εξηγήσεις </h3></b>
----
[[File:012345Pairs.svg|thumb|alt=On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red|Το κουτί με 0 αντικείμενα δεν περιέχει κόκκινα αντικείμενα.<ref>Compare {{harvtxt|Lichtenberg|1972|p=535}} Fig. 1</ref>]]
Το μηδέν είναι ένας αριθμός, και οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για την [[αρίθμηση]]. Όταν μας δίνεται ένα σύνολο αντικειμένων χρησιμοποιούμε ένας αριθμό για να περιγράψουμε πόσα αντικείμενα αποτελούν το σύνολο. Το μηδέν είναι ο τρόπος αρίθμησης της μη-ύπαρξης αντικειμένων, ή, με πιο επίσημους όρους, περιγράφει τον αριθμό των αντικειμένων που βρίσκονται στο [[κενό σύνολο]]. Η έννοια της ισότητας modulo 2 χρησιμοποιείται  για να σχηματίσουμε ομάδες 2 αντικειμένων. Εάν τα αντικείμενα ενός συνόλου μπορούν να χωριστούν σε ίσες ομάδες των 2 αντικειμένων,χωρίς να περισσεύει κανένα, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι άρτιος. Εάν ένα αντικείμενο περισσεύει, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι περιττός. Το κενό σύνολο περιέχει 0 ομάδες των δύο αντικειμένων, και κανένα δεν περισσεύει άρα το μηδέν είναι άρτιος.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "...numbers answer the question How many? for the set of objects ... zero is the number property of the empty set ... If the elements of each set are marked off in groups of two ... then the number of that set is an even number."</ref>

Αυτές οι ιδέες μπορούν να αποσαφηνιστούν σχεδιάζοντας αντικείμενα σε ζευγάρια. Είναι δύσκολο να απεικονίσουμε μηδέν ομάδες των δύο, ή να τονίσουμε την μη-ύπαρξη περίσσιου αντικειμένου, οπότε και βολεύει να σχεδιάσουμε άλλη ομαδοποίηση και να την συγκρίνουμε με το μηδέν. Για παράδειγμα, σε μία ομάδα 5 αντικειμένων υπάρχουν 2 ζευγάρια. Το πιο σημαντικό όμως είναι ότι υπάρχει και ένα αντικείμενο που δεν έχει ζευγάρι, άρα το 5 είναι περιττός αριθμός. Ενώ σε μία ομάδα τεσσάρων αντικειμένων δεν υπάρχει αντικείμενο που να περισσεύει άρα το 4 είναι άρτιος. Σε μία ομάδα ενός μόνο αντικειμένου δεν υπάρχουν ζευγάρια, άρα υπάρχει ένα αντικείμενο που περισσεύει, συνεπώς το 1 είναι περιττος αριθμός. Τέλος, σε μία ομάδα 0 αντικειμένων απομένει κανένα αντικείμενο χωρίς ζευγάρι, άρα το 0 είναι άρτιος αριθμός.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number."</ref>

Υπάρχει άλλος ένας συγκεκριμένος ορισμός της αρτιότητας: εάν τα αντικείμενα ενός συνόλου μπορούν να μοιραστούν σε δύο ίσες ομάδες, τότε ο αριθμός είναι άρτιος. Αυτός ο αριθμός είναι ισοδύναμος με τον πρώτο. Και πάλι, το μηδέν είναι άρτιος γιατί το κενό σύνολο μπορεί να μοιραστεί σε δύο ομάδες με 0 αντικείμενα η κάθε μία.{{sfn|Dickerson|Pitman|2012|p=191}}

Οι αριθμοί μπορούν να οπτικοποιηθούν και σαν σημεία πάνω στην [[γραμμή των πραγματικών αριθμών]]. Όταν οι άρτιοι και οι περιττοί διακρίνονται, το μοτίβο τους γίνεται προφανές, ειδικά αν στην γραμμή περιέχονται και οι αρνητικοί αριθμοί.

[[Αρχείο:EvenOddNumberLine.svg]]

Οι άρτιοι και οι περιττοί εναλλάσσονται ανά ένα. Ξεκινώντας από οποιονδήποτε άρτιο αριθμό και [[μετρώντας]] ανά δύο, είτε αυξάνοντας είτε μειώνοντας, θα έχουμε μετρήσει όλους τους άρτιους, και δεν υπάρχει λόγος να μην μετρήσουμε και το μηδέν ανάμεσα σε αυτούς.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=537}}; compare her Fig. 3. "If the even numbers are identified in some special way ... there is no reason at all to omit zero from the pattern."</ref>


Με την εισαγωγή του [[πολλαπλασιασμού]], μπορούμε να προσεγγίσουμε την ισότητα modulo 2 με πιο επιστημονικό τρόπο χρησιμοποιώντας και αριθμητικές εκφράσεις. Κάθε ακέραιος είναι είτε της μορφής (2 × ▢) + 0 είτε (2 × ▢) + 1,όπου οι πρώτοι είναι άρτιοι και οι δεύτεροι περιττοί. Παραδείγματος χάρη, το 1 είναι περιττός επειδή 1 = (2 × 0) + 1, και το 0 είναι άρτιος γιατί 0 = (2 × 0) + 0. Κάνοντας έναν πίνακα με τα παραπάνω, βλέπουμε πως ενισχύεται η απεικόνιση της εικόνας με την γραμμή των πραγματικών.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=537–538}} "At a more advanced level ... numbers expressed as {{nowrap|(2 × ▢) + 0}} are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."</ref>


<b><h3>Ορίζοντας την ισότητα modulo 2</h3></b>

Ο ακριβής [[ορισμός]] μίας μαθηματικής έννοιας, όπως η έννοια της "αρτιότητας" που πρόκειται για "ακέραιο αριθμό πολλαπλάσιο του 2", έχει γίνει τελευταία μία [[σύμβαση]]. Σε αντίθεση με την "αρτιότητα", κάποιες μαθηματικές έννοιες είναι σκόπιμα ορισμένες με τρόπο ώστε να μην αφήνουν περιθώρια για [[ασήμαντες]] ή και [[εκφυλισμένες]] περιπτώσεις. Οι [[πρώτοι αριθμοί]] είναι ένα γνωστό παράδειγμα. Πριν από τον 20ο αιώνα, οι ορισμοί που σχετίζονταν με το αν οι αριθμοί είναι πρώτοι ή όχι ήταν ελλιπείς και σημαντικοί μαθηματικοί όπως ο [[Goldbach]], [[Lambert]], [[Legendre]], [[Cayley]], και [[Kronecker]] υποστήριξαν ότι ο 1 είναι πρώτος αριθμός.{{sfn|Caldwell|Xiong|2012|pp=5–6}} Σύμφωνα με τον σύγχρονο, όμως, ορισμό των πρώτων αριθμών, ότι είναι δηλαδή "ένας θετικός ακέραιος με ακριβώς 2 [[συντελεστές]]", το 1 δεν είναι πρώτος αριθμός. Αυτός ο ορισμός μπορεί να μας φανεί πιο ορθός, παρατηρώντας ότι ταιριάζει περισσότερο στα μαθηματικά θεωρήματα των πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα, το [[θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής]] είναι πιο εύκολο να εκφραστεί μη θεωρώντας τον 1 "πρώτο αριθμό".<ref>{{harvnb|Gowers|2002|p=118}} "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see {{harvtxt|Caldwell|Xiong|2012}}.</ref>

Ομοίως, θα ήταν δυνατό να επαναπροσδιορίσουμε την έννοια "άρτιος" με τρόπο ώστε να μην περιλαμβάνεται το 0 στον ορισμό μας. Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση ο νέος ορισμός θα δυσκόλευε την έκφραση/θεμελίωση θεωρημάτων που αφορούν τους άρτιους αριθμούς. Ήδη οι επιπτώσεις μπορούν να φανούν στους [[αλγεβρικούς κανόνες που διέπουν τους άρτιους και περιττούς αριθμούς]].<ref name="Partee">{{harvnb|Partee|1978|p=xxi}}</ref>  Από τους πιο αξιοσημείωτους κανόνες είναι αυτοί της [[πρόσθεσης]], της [[αφαίρεσης]] και του [[πολλαπλασιασμού]]. <br/><br/>
άρτιος ± άρτιος = άρτιος <br/>
περιττός ± περιττός = άρτιος <br/>
άρτιος × ακέραιος = άρτιος <br/><br/>
Αντικαθιστώντας με τις κατάλληλες τιμές στο αριστερό μέρος των εξισώσεων μπορούμε εύκολα να πάρουμε το 0 στο δεξιό μέρος: <br/><br/>
2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Οι προαναφερθέντες κανόνες θα ήταν λάθος εάν δεν θεωρούσαμε το μηδέν άρτιο αριθμό.<ref name="Partee" /> Στην καλύτερη περίπτωση θα έπρεπε να παραλλαχθούν . Για παράδειγμα, μία μελέτη ισχυρίζεται ότι οι άρτιοι αριθμοί χαρακτηρίζονται ως ακέραια πολλαπλάσια του δύο, αλλά το μηδέν "δεν είναι ούτε άρτιος, ούτε περιττός". <ref name="MarkAlanStewart" />Επομένως, οι κανόνες αυτής της μελέτης περιέχουν κάποιες εξαιρέσεις.

άρτιος ± άρτιος = άρτιος <b>(ή μηδέν) </b> <br/>
περιττός ± περιττός = άρτιος <b>(ή μηδέν)</b> <br/>
άρτιος × <b>μη-μηδενικός </b> ακέραιος = άρτιος<ref name="MarkAlanStewart">{{harvnb|Stewart|2001|p=54}} These rules are given, but they are not quoted verbatim.</ref> <br/><br/>

Το να έχουμε μία εξαίρεση για το μηδέν στον ορισμό της αρτιότητας μας επιτάσσει να δημιουργούμε τέτοιες εξαιρέσεις στους κανόνες για τους άρτιους αριθμούς. Από την άλλη όμως, το να ακολουθούμε τους κανόνες όταν πρόκειται για θετικούς άρτιους αριθμούς και, παράλληλα, να απαιτούμε να συνεχίσουν να ισχύουν και για τους ακεραίους γενικότερα, πιέζει τον συνήθη ορισμό και την αρτιότητα του μηδενός.<ref name="Partee" />



<h2><b>Μαθηματικά συμφραζόμενα </b></h2>

Αναρίθμητα αποτελέσματα στην [[θεωρία των αριθμών]] επικαλούνται το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής και τις αλγεβρικές ιδιότητες των άρτιων αριθμών, με αποτέλεσμα οι παραπάνω επιλογές να έχουν πολλές μακροπρόθεσμες συνέπειες. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι οι θετικοί αριθμοί έχουν μοναδική [[παραγοντοποίηση]] σημαίνει ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε πότε ένας αριθμός έχει άρτιο ή περιττό πλήθος διακριτών πρωταρχικών παραγόντων. Αφού το 1 δεν είναι πρώτος, και ούτε έχει πρώτους παράγοντες, είναι ένα [[γινόμενο 0]] πρώτων παραγόντων, και αφού το 0 είναι άρτιος αριθμός τότε και το 1 έχει έναν άρτιο αριθμό διακριτών πρωταρχικών παραγόντων.
Αυτό έχει ως επακόλουθο η [[συνάρτηση  Möbius]] να παίρνει την τιμή μ(1) = 1, η οποία είναι απαραίτητη για να είναι μια [[πολλαπλασιαστική συνάρτηση]] και για να "δουλέψει" η συνάρτηση Möbius.<ref>{{harvnb|Devlin|1985|pp=30–33}}</ref>


<br/>
<b><h3> Το να μην είναι περιττός </h3></b>

Ένας αριθμός n είναι περιττός αν υπάρχει ένας ακέραιος k τέτοιος ώστε <i>n= 2k + 1</i>.  Ένας τρόπος να δείξουμε ότι το μηδέν δεν είναι περιττός είναι με εις άτοπο επαγωγή: αν 0 = 2k + 1 τότε k = −1/2, που δεν είναι ακέραιος οπότε και έχουμε άτοπο.{{sfn|Penner|1999|p=34}}  Αφότου το μηδέν δεν είναι περιττός, στην περίπτωση που ένας άγνωστος αριθμός αποδεικνύεται περιττός, τότε αυτός δεν μπορεί να είναι το 0. Αυτή η φαινομενικά ασήμαντη παρατήρηση μπορεί να μας παρέχει μία πολύ "βολική" και αποκαλυπτική απόδειξη εξηγώντας γιατί ένας αριθμός είναι μη μηδενικός.

Ένα σύνηθες αποτέλεσμα από την [[θεωρία γραφημάτων]] είναι ότι η [[γραφική παράσταση]] μιας [[περιττής]] διάταξης θα έχει πάντα τουλάχιστον μία [[άρτια]] [[κορυφή]]. (Ήδη αυτή η πρόταση απαιτεί το μηδέν να είναι άρτιος: μία [[κενή γραφική παράσταση]] έχει μία άρτια διάταξη, και μια [[απομονωμένη κορυφή]] είναι άρτια). <ref name=Berlinghoff>{{harvnb|Berlinghoff|Grant|Skrien|2001}} For isolated vertices see p. 149; for groups see p. 311.</ref> Προκειμένου να αποδείξουμε αυτήν την πρόταση, είναι βασικά ευκολότερο να καταλήξουμε σε ένα ισχυρότερο συμπέρασμα: οποιαδήποτε περιττής διάταξης γραφική παράσταση έχει περιττό αριθμό κορυφών. Η εμφάνιση αυτού του περιττού αριθμού εξηγείται από ένα ακόμα γενικότερο συμπέρασμα, γνωστό σαν [[handshaking lemma]]: οποιαδήποτε γραφική παράσταση έχει έναν άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού.<ref>{{harvnb|Lovász|Pelikán|Vesztergombi|2003|pp=127–128}}</ref> Εν τέλει, ο άρτιος αριθμός περιττών κορυφών εξηγείται εύκολα από τον τύπο αθροίσματος βαθμού ([[degree sum formula]]).

Το [[λήμμα του Sperner]] είναι μία πιο προχωρημένη εφαρμογή της ίδιας στρατηγικής. Το λήμμα αναφέρει ότι ένα συγκεκριμένο είδος [[χρωματισμού]] σε έναν [[τριγωνισμό]] ενός [[κλειστού πλέγματος]] έχει ένα υπο-πλέγμα που περιέχει κάθε χρώμα. Αντί να κατασκευάσουμε κατευθείαν ένα τέτοιο υπο-πλέγμα, είναι πιο βολικό να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας περιττός αριθμός τέτοιων πλεγμάτων μέσω της [[επαγωγής]].<ref>{{harvnb|Starr|1997|pp=58–62}}</ref> Μία ακόμα πιο ισχυρή πρόταση του λήμματος εξηγεί, τότε, γιατί αυτός ο αριθμός είναι περιττός: εξ' ορισμού μπορεί να διαμοιραστεί σε (n + 1) + n, αν λάβουμε υπόψιν τους δύο πιθανούς [[προσανατολισμούς]] ενός πλέγματος.<ref>{{harvnb|Border|1985|pp=23–25}}</ref>

<br/>
<b><h3> Η εναλλαγή άρτιος-περιττός </h3></b>

[[Αρχείο:RecursiveEven.svg|frame|right|Αναδρομικός ορισμός της ισότητας modulo 2 των φυσικών αριθμών]]
Το γεγονός ότι το μηδέν είναι άρτιος, μαζί με το γεγονός ότι άρτιοι και περιττοί εναλλάσσονται, είναι αρκετό ώστε να καθορίσει την ισότητα modulo 2 κάθε άλλου [[φυσικού αριθμού]]. Αυτή η υπόθεση μπορεί να διατυπωθεί καλύτερα ως ένας [[αναδρομικός ορισμός]] του συνόλου των άρτιων φυσικών αριθμών:
<br/>
<ul> <li> 0 είναι άρτιος </li>
     <li>(n + 1) είναι άρτιος αν και μόνο αν ο n δεν είναι άρτιος </li> </ul>

Αυτός ο ορισμός έχει το εννοιολογικό πλεονέκτημα του να βασίζεται μόνο στα λίγα θεμέλια των φυσικών αριθμών: την ύπαρξη του μηδενός και των [[επομένων]] αριθμών. Έτσι λοιπόν, παρίσταται χρήσιμο για τα λογισμικά των υπολογιστών όπως το [[LF]] και το [[Isabelle theorem prover]].<ref>{{harvnb|Lorentz|1994|pp=5–6}}; {{harvnb|Lovas|Pfenning|2008|p=115}}; {{harvnb|Nipkow|Paulson|Wenzel|2002|p=127}}</ref>  Με αυτό τον ορισμό η αρτιότητα του μηδενός δεν είναι απλά ένα θεώρημα, αλλά ένα αξίωμα. Όντως, ότι "το μηδέν είναι άρτιος αριθμός" θα μπορούσε να θεωρηθεί ένα από τα [[αξιώματα του Peano]], για τα οποία οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί αποτελούν πρότυπο.<ref>{{harvnb|Bunch|1982|p=165}}</ref> Μία παρόμοια "κατασκευή" [[επεκτείνει τον ορισμό της ισότητας modulo 2]] στους υπερπεπερασμένους [[διατακτικούς αριθμούς]]: κάθε [[διατακτικό όριο]] είναι άρτιο, συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, και τα προσεχή των άρτιων διατακτικών είναι περιττά.<ref name="Salzmann">{{harvnb|Salzmann|Grundhöfer|Hähl|Löwen|2007|p=168}}</ref>
<br/>
[[Αρχείο:RecursiveEvenPolygon.svg|frame|left|Σημεία σε τεστ πολυγώνου]]
Το κλασσικό τεστ [[σημείου στο πολύγωνο]] από την [[υπολογιστική γεωμετρία]] θέτει σε εφαρμογή τις παραπάνω ιδέες. Για να διαπιστώσουμε εάν ένα σημείο βρίσκεται μέσα σε ένα [[πολύγωνο]], φέρουμε μία [[ακτίνα]] από το άπειρο στο σημείο και μετράμε τις φορές που η ακτίνα τέμνει κάποια ακμή του πολυγώνου. Ο αριθμός των τομών είναι θετικός αν και μόνο αν το σημείο βρίσκεται εκτός του πολυγώνου. Αυτός ο [[αλγόριθμος]] δουλεύει γιατί αν η ακτίνα δεν τέμνει ποτέ καμία ακμή τότε ο αριθμός των τομών είναι 0, το οποίο είναι θετικό, οπότε το σημείο είναι εκτός του πολυγώνου. Κάθε φορά που η ακτίνα όντως τέμνει κάποια ακμή, ο αριθμός των τομών εναλλάσσεται από άρτιο σε περιττό, και το σημείο με την σειρά του ανάμεσα σε εσωτερικό και εξωτερικό του πολυγώνου.<ref>{{harvnb|Wise|2002|pp=66–67}}</ref>

[[File:RecursiveEvenBipartite.svg|right|thumb|alt=A graph with 9 vertices, alternating colors, labeled by distance from the vertex on the left |Κατασκευάζοντας μία διαμέριση]]
Στην θεωρία γραφημάτων,ένα [[διμερές γράφημα]] είναι ένα γράφημα του οποίου οι κορυφές χωρίζονται σε δύο [[χρώματα]], έτσι ώστε γειτονικές κορυφές να έχουν διαφορετικά. Εάν ένα [[συνδεδεμένο]] γράφημα δεν έχει περιττές [[περιόδους]], τότε μία διαμέριση μπορεί να κατασκευαστεί επιλέγοντας ως βάση μία κορυφή v και χρωματίζοντας κάθε κορυφή μαύρη ή άσπρη, ανάλογα με το αν η [[απόσταση]] από την v είναι άρτια ή περιττή. Και αφότου η απόσταση του v από τον εαυτό του είναι 0, και το 0 είναι άρτιος, η κορυφή της βάσης χρωματίζεται διαφορετικά από τις γειτονικές της που απέχουν απόσταση ίση με 1. <ref>{{harvnb|Anderson|2001|p=53}}; {{harvnb|Hartsfield|Ringel|2003|p=28}}</ref>

<b><h3>Αλγεβρικά πρότυπα.</h3></b>
[[File:EvenIntegersSubgroup.svg|left|thumb|alt=Integers −4 through +4 arranged in a corkscrew, with a straight line running through the evens |2'''Z''' (μπλε) ως υποομάδα του '''Z''']]Στην [[αφηρημένη άλγεβρα]], οι άρτιοι ακέραιοι σχηματίζουν διάφορες [[αλγεβρικές δομές]] που απαιτούν την ενσωμάτωση του μηδενός. Το γεγονός ότι η [[προσθετική ταυτότητα]] (μηδέν)είναι άρτια, μαζί με την ομαλότητα των ποσών και των[[προσθετικών αντιστροφών]] των άρτιων αριθμών και της [[συσχέτισης]] της προσθήκης, σημαίνει ότι οι άρτιοι ακέραιοι σχηματίζουν μία [[ομάδα]]. Επιπλέον, η ομάδα των άρτιων ακεραίων υπό προσθήκη είναι μια [[υποομάδα]] της ομάδας όλων των ακεραίων;αυτό είναι ένα στοιχειώδες παράδειγμα της έννοιας υποομάδας.<ref name=Berlinghoff />  Η προηγούμενη παρατήρηση, ότι ο κανόνας"άρτιος − άρτιος = άρτιος" αναγκάζει το 0 να είναι άρτιος, είναι μέρος ενός γενικού μοτίβου: κάθε [[μη κενό]] υποσύνολο μιας προσθετικής ομάδας που είναι [[κλειστό ως προς]] την αφαίρεση πρέπει να είναι μια υποομάδα, και ειδικότερα, πρέπει να περιέχει [[την ταυτότητα]].<ref>{{harvnb|Dummit|Foote|1999|p=48}}</ref>

Δεδομένου ότι οι άρτιοι ακέραιοι αποτελούν υποομάδα των ακεραίων, [[διαιρούν]] τους ακεραίους σε [[ομοσύνολα]]. Αυτά τα ομοσύνολα μπορούν να χαρακτηριστούν ως οι [[κλάσεις ισοδυναμίας]] της παρακάτω [[σχέσεως ισοδυναμίας]]: ''x ~ y'' αν ''(x − y)'' άρτιος. Εδώ, η αρτιότητα του μηδενός εκδηλώνεται άμεσα ως [[ανακλαστικότητα]] της [[δυαδικής σχέσης]]. <ref>{{harvnb|Andrews|1990|p=100}}</ref>Υπάρχουν μόνο δύο ομοσύνολα αυτής της υποομάδας-οι ζυγοί και οι μονοί αριθμοί-οπότε έχει [[δείκτη]] 2.

Κατ 'αναλογία, η [[εναλλάσσουσα ομάδα]] είναι μια υποομάδα του δείκτη 2 στη [[συμμετρική ομάδα]] με ''n'' γράμματα. Τα στοιχεία της εναλλάσσουσας ομάδας, που ονομάζονται [[άρτιες μεταθέσεις]], είναι τα γινόμενα των άρτιων αριθμών των [[μεταθέσεων]]. Η [[ταυτοτική απεικόνιση]], [[ένα κενό γινόμενο]] καμιάς μετάθεσης, είναι μια άρτια μετάθεση καθώς το μηδέν ειναι άρτιος· είναι το ταυτοτικό στοιχείο της ομάδας.<ref>{{harvnb|Tabachnikova|Smith|2000|p=99}}; {{harvnb|Anderson|Feil|2005|pp=437–438}}</ref>


Ο κανόνας "άρτιος × ακέραιος = άρτιος" σημαίνει πως οι άρτιοι αριθμοί αποτελούν ένα [[ιδανικό]] στον [[δακτύλιο]] των ακεραίων, και η παραπάνω σχέση ισοδυναμίας μπορεί να χαρακτηριστεί ως [[ισοδυναμία modulo το ιδανικό]]. Ειδικότερα, οι άρτιοι ακέραιοι είναι ακριβώς εκείνοι οι ακέραιοι ''κ'', όπου ''κ''≡0(mod2). Αυτή η διατύπωση είναι χρήσιμη για την εύρεση των ακέραιων [[ριζών]] των [[πολυωνύμων]].<ref>{{harvnb|Barbeau|2003|p=98}}</ref>

<b><h3>Δυαδική τάξη.</h3></b>

Υπάρχει μια εντύπωση κατά την οποία κάποια πολλαπλάσια το 2 είναι "περισσότερο άρτια" από άλλα. Τα πολλαπλάσια του 4 καλούνται [[διπλά άρτια]], καθώς μπορούν να διαιρεθούν με το 2 δύο φορές. Το μηδέν όχι μόνο διαιρείται με το 4, αλλά έχει τη μοναδική ιδιότητα να διαιρείται με κάθε [[δύναμη του 2]], οπότε ξεπερνά όλους τους άλλους αριθμούς στην "αρτιότητα".<ref>{{harvnb|Arnold|1919|p=21}} "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; {{harvnb|Wong|1997|p=479}} "Thus, the integer {{nowrap|1=''b''000⋯000 = 0}} is the most 'even.'</ref>


Μια συνέπεια αυτού του γεγονότος εμφανίζεται στις [[διπλά αντιστρέψιμες διατάξεις]] των [[ακέραιων δεδομένων τύπων]] που χρησιμοποιούνται από κάποιους αλγορίθμους υπολογιστών, όπως αυτός του [[Cooley-Tukey για γρήγορο Fourier μετασχηματισμό]]. Αυτή η διάταξη έχει την ιδιότητα ότι όσο πιο μακρυά, προς τα αριστερά, εμφανίζεται το πρώτο 1 στη [[δυαδική επέκταση]] ενός αριθμού, ή τις περισσότερες φορές ο αριθμός διαιρείται με το 2, τόσο πιο γρήγορα φαίνεται. Η διπλή αντιστροφή του μηδενός είναι πάλι μηδέν; μπορεί να διαιρεθεί με το 2 όσες φορές και να βάλουμε, και η δυαδική επέκτασή του δεν περιέχει κανένα 1s, οπότε έρχεται πάντα πρώτο.<ref>{{harvnb|Wong|1997|p=479}}</ref>

Αν και το μηδέν διαιρείται περισσότερες φορές με το 2 απ'ότι όλοι οι άλλοι αριθμοί, δεν είναι εύκολο να ποσοτικοποιηθούν με ακρίβεια πόσες φορές είναι αυτές. Για κάθε μη μηδενικό ακέραιο ''n'', μπορεί κανείς να καθορίσει τη [[δυαδική τάξη]] του ''n'' να είναι ο αριθμός των φορών που το ''n'' διαιρείται με το 2. Αυτή η υπόθεση δεν ισχύει για το μηδέν· ανεξάρτητα από το πόσες φορές έχει διαιρεθεί με το 2, μπορεί πάντα να διαιρεθεί με 2 ξανά. Αντίθετα, η συνήθης σύμβαση ορίζει την διπλή τάξη του 0 να είναι [[απειρία]] ως μια ειδική περίπτωση.<ref>{{harvnb|Gouvêa|1997|p=25}} Of a general prime ''p'': "The reasoning here is that we can certainly divide 0 by ''p'', and the answer is 0, which we can divide by ''p'', and the answer is 0, which we can divide by ''p''…" (ellipsis in original)</ref> Η σύμβαση αυτή δεν χαρακτηρίζει μόνο την διπλή τάξη; αποτελεί ένα από τα αξιώματα της προσθετικής [[εκτίμησης]] στην τριτοβάθμια άλγεβρα.<ref>{{harvnb|Krantz|2001|p=4}}</ref>

Οι δυνάμεις του δύο-1, 2, 4, 8,...-σχηματίζουν μια απλή [[ακολουθία]] αριθμών της αύξησης της δεύτερης τάξης. Στους [[δυαδικούς αριθμούς]], τέτοιες ακολουθίες πράγματι [[συγκλίνουν]] στο μηδέν.<ref>{{harvnb|Salzmann|Grundhöfer|Hähl|Löwen|2007|p=224}}</ref>

<h1>Εκπαίδευση.</h1>
----
[[File:FrobisherZeroParity.svg|thumb|upright=1.8|alt=Bar chart; see description in body text|Ποσοστό απαντήσεων σε σχέση με τον χρόνο<ref name="Frobisher41">{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}</ref>]]
Το θέμα της ισοτιμίας του μηδέν διαπραγματεύεται συχνά στα πρώτα δύο ή τρία χρόνια της [[πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης]], δεδομένου ότι η έννοια των άρτιων και μονών αριθμών έχει εισαχθεί και αναπτυχθεί.<ref>This is the timeframe in United States, Canada, Great Britain, Australia, and Israel; see {{harvtxt|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p=85}}.</ref>


<b><h3>Γνώσεις των μαθητών.</h3></b>
Το διάγραμμα στα δεξιά<ref name="Frobisher41" /> απεικονίζει τις πεποιθήσεις των παιδιών για την ισοτιμία του μηδενός, καθώς προχωρούν από το [[πρώτο έτος]]  έως το [[έκτο έτος]] του [[αγγλικού εκπαιδευτικού συστήματος]]. Τα στοιχεία προέρχονται από τον Len Frobisher, ο οποίος πραγματοποίησε κάποιες έρευνες σχετικά με τους μαθητές των σχολείων της Αγγλίας. Ο Frobisher εντυπωσιάστηκε από το πώς η γνώση για τη μονοψήφια ισοτιμία μεταφράζεται σε γνώση για τις πολυψήφια ισοτιμία, και το μηδέν μορφοποιείται ευκρινώς στα αποτελέσματα.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=31 (Introduction); 40–41 (The number zero); 48 (Implications for teaching)}}</ref>

Σε μια προκαταρκτική έρευνα με περίπου 400 εφτάχρονα, το 45% επέλεξε τους ''άρτιους'' παρά τους ''μονούς'' όταν ρωτήθηκε για την ισοτιμία του μηδενός.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=37, 40, 42}}; results are from the survey conducted in the mid-[[Academic term#United Kingdom|summer term]] of 1992.</ref>  Μια ακόλουθη έρευνα παρείχε περισσότερες επιλογές: ''κανένα από τα δύο'', ''και τα δύο'', ''δεν ξέρω''. Αυτή την φορά, ο αριθμός των παιδιών στην ίδια ηλικία, που καθόρισε τον προσδιορισμό του μηδέν ως άρτιο, έπεσε στο 32%.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "The percentage of Year 2 children deciding that zero is an even number is much lower than in the previous study, 32 per cent as opposed to 45 per cent"</ref> Η επιτυχία στην απόφαση ότι το μηδέν είναι αρχικά άρτιος μειώνεται, και στη συνέχεια τα επίπεδα πέφτουν γύρω στο 50% στο τρίτο με έκτο έτος.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "The success in deciding that zero is an even number did not continue to rise with age, with approximately one in two children in each of Years 2 to 6 putting a tick in the 'evens' box ..."</ref>  Συγκριτικά, το πιο εύκολο έργο, το να προσδιορίσεις την ισοτιμία ενός μονοψήφιου αριθμού, μειώνεται κατά 85% σε επιτυχία.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=40–42, 47}}; these results are from the February 1999 study, including 481 children, from three schools at a variety of attainment levels.</ref>

Σε συνεντεύξεις, O Frobisher απέσπασε το σκεπτικό των μαθητών. Ένα πεντάχρονο αποφάσισε ότι το 0 είναι άρτιος επειδή βρέθηκε στο [[χρονοδιάγραμμα]] δυο φορές. Δυο τετράχρονα συνειδητοποίησαν ότι το μηδέν μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Ένα άλλο τετράχρονο αιτιολόγησε" το 1 είναι μονός άρα αν πας ένα κάτω είναι άρτιος."<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Jonathan"</ref> Οι συνεντεύξεις αποκάλυψαν, επίσης, τις παρερμηνείες πίσω από τις λανθασμένες απαντήσεις. Ένα παιδί δεύτερου έτους ήταν "απολύτως πεπεισμένος" ότι το μηδέν ήταν μονός, με το σκεπτικό ότι "είναι ο πρώτος αριθμός που μετράς".<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Joseph"</ref>  Ένα τετράχρονο ανέφερε το μηδέν ως "τίποτα" και σκέφτηκε ότι δεν ήταν ούτε μονός ούτε άρτιος, αφού "δεν είναι ένας αριθμός".<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Richard"</ref>  Σε μια άλλη μελέτη, η  Annie Keith  παρατήρησε μια τάξη 15 μαθητών [[δεύτερης τάξης]] στην οποία έπεισε ο ένας τον άλλον ότι το μηδέν ήταν ένας ζυγός αριθμός, βασισμένος στην εναλλαγή άρτιου με μονού και στη δυνατότητα της διάσπασης μιας ομάδας μηδενικών πραγμάτων σε δύο ίσες ομάδες.<ref>{{harvnb|Keith|2006|pp=35–68}} "There was little disagreement on the idea of zero being an even number. The students convinced the few who were not sure with two arguments. The first argument was that numbers go in a pattern ...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be zero. So zero would need to be even. The second argument was that if a person has zero things and they put them into two equal groups then there would be zero in each group. The two groups would have the same amount, zero"</ref>


Περισσότερες σε βάθος έρευνες διεξήχθησαν από Esther Levenson, Pessia Tsamir, και η Dina Tirosh, που πήρε συνέντευξη από δύο μαθητές έκτης τάξης,οι οποίοι ήταν αποδοτικοί σε μεγάλο βαθμό στη τάξη των μαθηματικών. Ένας μαθητής προτίμησε επαγωγικές εξηγήσεις των μαθηματικών αξιώσεων, ενώ ο άλλος προτίμησαν πρακτικά παραδείγματα. Και οι δυο μαθητές πίστευαν αρχικά ότι το 0 δεν ήταν ούτε άρτιος ούτε μονός, για διαφορετικούς λόγους. Ο Levenson et al. απέδειξε πώς η επιχειρηματολογία των παιδιών αντικατόπτριζε τις αντιλήψεις τους για το μηδέν και τη διαίρεση.<ref>{{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|pp=83–95}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin:0.5em 0 1.3em 1.4em; float:right"
!Ισχυρισμοί που διατυπώνονται από τους μαθητές<ref name=BallFig/>
|-
|Το μηδέν δεν είναι άρτιος ή περιττός.
|-
|Το μηδέν θα μπορούσε να ήταν άρτιος.
|-
|Το μηδέν δεν είναι μονός.
|-
|Το μηδέν πρέπει να είναι ένας άρτιος.
|-
|Το μηδέν δεν είναι ένας άρτιος αριθμός.
|-
|Το μηδέν πρόκειται να είναι πάντα ένας άρτιος αριθμός.
|-
|Το μηδέν δεν πρόκειται να είναι πάντα ένας άρτιος αριθμός.
|-
|Το μηδέν είναι άρτιος.
|-
|Το μηδέν είναι ιδιαίτερο.
|}

[[Deborah Loewenberg Ball]] ανέλυσε τις ιδέες των μαθητών [[τρίτης τάξης]] για τους άρτιους και μονούς αριθμούς και το μηδέν, που μόλις είχε συζήτηση με μια ομάδα της [[τετάρτης τάξης]]. Οι μαθητές συζήτησαν την ισοτιμία του μηδενός, τους κανόνες για τους άρτιους αριθμούς, και πώς έγιναν τα μαθηματικά. Οι ισχυρισμοί σχετικά με μηδέν πήραν πολλές μορφές, όπως φαίνεται στον πίνακα στα δεξιά.<ref name=BallFig>{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=27}}, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."</ref>  Η Ball και οι συνεργάτες της υποστηρίζουν ότι η έρευνα έδειξε πώς οι μαθητές μπορούν να "κάνουν τα μαθηματικά στο σχολείο», σε αντίθεση με την συνήθη μείωση της πειθαρχίας στη μηχανική λύση των ασκήσεων.{{sfn|Ball|Lewis|Thames|2008|p=16}}

Ένα από τα θέματα στην ερευνητική βιβλιογραφία είναι η ένταση μεταξύ των [[εικόνων αντίληψης]] των μαθητών για την ισοτιμία και τους ορισμούς. <ref>{{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007}}; {{harvnb|Dickerson|Pitman|2012}}</ref> Οι μαθητές έκτης τάξης του Levenson et al. όρισαν, και οι δυο, τους άρτιους αριθμούς ως πολλαπλάσια του 2, ή αριθμοί που διαιρούνται με το 2, αλλά αρχικά δεν μπορούσαν να εφαρμόσουν αυτόν τον ορισμό για το μηδέν, επειδή δεν ήταν σίγουροι πως να πολλαπλασιάσουν ή να διαιρέσουν το μηδέν με το 2. Ο ερευνητής τελικά τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι το μηδέν ήταν άρτιος· οι μαθητές ακολούθησαν διαφορετικές τρόπους για να φτάσουν σε αυτό το συμπέρασμα, με βάση ένα συνδυασμό εικόνων, ορισμών, πρακτικών εξηγήσεων και θεωρητικών εξηγήσεων. Σε μια άλλη μελέτη, ο David Dickerson και Damien Pitman εξέτασαν τη χρήση των ορισμών από πέντε [[τελειόφοιτους]] [[ανώτερων]] μαθηματικών. Διαπίστωσαν ότι οι φοιτητές ήταν σε μεγάλο βαθμό ικανοί να εφαρμόσουν τον ορισμό της "άρτιου" στο μηδέν, αλλά και πάλι δεν είχαν πειστεί από αυτήν την επιχειρηματολογία, αφού ερχόταν σε σύγκρουση με την εικόνα αντίληψής τους.{{sfn|Dickerson|Pitman|2012}} 

<b><h3>Γνώσεις των εκπαιδευτικών.</h3></b>
Οι ερευνητές της [[μαθηματικής εκπαίδευσης]] στο [[Πανεπιστήμιο του Michigan]] έχουν συμπεριλάβει το σωστό-ή-λάθος μήνυμα "0 είναι άρτιος αριθμός" σε μια βάση δεδομένων πάνω από 250 ερωτήσεις που έχουν σχεδιαστεί για τη μέτρηση της γνώσης του περιεχομένου των εκπαιδευτικών. Γι'αυτούς, το ερώτημα αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα "κοινή γνώση ... ότι κάθε μορφωμένος ενήλικος πρέπει να έχει", και είναι "ιδεολογικά ουδέτερη" στο ότι η απάντηση δεν διαφέρει μεταξύ των [[παραδοσιακών]] και των [[ανασχηματισμένων μαθηματικών]]. Σε μια μελέτη του 2000-2004, 700 εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης στις [[Ηνωμένες Πολιτείες]], η συνολική απόδοση σε αυτά τα ερωτήματα έχει προβλέψει σημαντικά βελτιώσεις στα αποτελέσματα των [[τυποποιημένα τεστ]] των μαθητών, μετά την ανάθεση των τάξεων σε δασκάλους.<ref>{{harvnb|Ball|Hill|Bass|2005|pp=14–16}}</ref> Σε μια περισσότερο σε βάθος μελέτη του 2008, οι ερευνητές βρήκαν ένα σχολείο όπου όλοι οι εκπαιδευτικοί πίστευαν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε μονός ούτε άρτιος, συμπεριλαμβανομένου ενός καθηγητή, ο οποίος αποτελούσε υπόδειγμα όσον αφορά όλες τις άλλες απόψεις. Η παρανόηση είχε εξαπλωθεί από έναν καθηγητή μαθηματικών στο κτίριό τους.{{sfn|Hill|Blunk|Charalambous|Lewis|2008|pp=446–447}}


Είναι αβέβαιο πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν παρανοήσεις σχετικά με το μηδέν. Οι μελέτες του Michigan δεν δημοσίευσε τα στοιχεία για τις ατομικές ερωτήσεις. Η Betty Lichtenberg, μια αναπληρώτρια καθηγήτρια της μαθηματικής εκπαίδευσης στο [[Πανεπιστήμιο της Νότιας Φλόριντα]], σε μια μελέτη του 1972 ανέφερε ότι όταν μια ομάδα μελλοντικών εκπαιδευτικών σε δημοτικό σχολείο δόθηκε μια σωστό ή λάθος δοκιμή, συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου "Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός", διαπίστωσαν ότι πρόκειται για ένα "δύσκολο θέμα", με περίπου τα δύο τρίτα απάντηση "Λάθος".<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=535}}</ref>
===Συνέπειες για την διδασκαλία===

Από μαθηματική άποψη,αποδεικνύοντας ότι το μηδέν είναι ένα απλό θέμα της εφαρμογής του ορισμού, αλλά περισσότερη επεξήγηση απαιτείται στο πλαίσιο της εκπαίδευσης. Ένα θέμα αφορά τα θεμέλια της απόδειξης: ο ορισμός του "ακόμα και" ως "ακέραιο πολλαπλάσιο του 2" δεν είναι πάντα κατάλληλος. Ένας μαθητής κατά τα πρώτα έτη της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης έιναι πιθανόν να μην γνωρίζει ακόμα τι σημαίνει "ακέραιος" ή "πολλαπλάσιο" πόσο μάλλον πώς να πολλαπλασιάζει με το 0.<ref>{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}}</ref>. Επιπρόσθετα, δηλώνοντας έναν ορισμό της ισότητας για όλους τους ακεραίους μπορεί να  φαίνεται σαν μια αυθαίρετη εννοιολογική συντόμευση αν οι μόνοι άρτιοι αριθμοί που έχουν ερευνηθεί μέχρι στιγμής είναι θετικοί. Μπορεί να βοηθήσει να αναγνωρίσουμε ότι η έννοια αριθμός επεκτείνεται από θετικούς ακεραίους αριθμούς για να συμπεριλάβει το μηδέν και τους αρνητικούς ακεραίους αριθμούς, τις ιδιότητες των αριθμών, όπως η ισοτιμία επεκτείνονται επίσης με έναν μη τετριμμένο τρόπο.<ref>As concluded by {{harvtxt|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p=93}}, referencing {{harvtxt|Freudenthal|1983|p=460}}</ref>

<h1>Αριθμητική γνώση</h1>
[[File:Nuerk figure 4 bare.svg|thumb|alt=Numbers 0–8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted line|Στατιστική ανάλυση των πειραματικών δεδομένων, που δείχνει το διαχωρισμό του 0.Σε αυτό τον [[ελάχιστο χώρο ανάλυσης]], μόνο η ομαδοποίηση των δεδομένων έχει νόημα: οι άξονες είναι αυθαίρετοι.<ref>{{harvtxt|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=851}}: "It can also be seen that zero strongly differs from all other numbers regardless of whether it is responded to with the left or the right hand. (See the line that separates zero from the other numbers.)"</ref>]]
Οι ενήλικες που πιστεύουν ότι το μηδέν είναι άρτιος μπορεί παρ'όλα αυτά να μην είναι εξοικειωμένοι με τη σκέψη του ως άρτιο, αρκετά ώστε μετρήσιμα να τους επιβραδύνει σε ένα πείραμα [[χρόνου αντίδρασης]]. Ο [[Stanislas Dehaene]], πρωτοπόρος στον τομέα της [[ψηφιακής γνώσης]], ηγήθηκε μια σειρά από τέτοια πειράματα στις αρχές του 1990. Ένας [[αριθμός]] ή μία [[αριθμητική λέξη]] προβάλλονται σε μια [[οθόνη]], και ένας [[υπολογιστής]] μετρά τον χρόνο που χρειάζεται το άτομο που υποβάλλεται στο πείραμα για να πατήσει ένα από τα δύο πλήκτρα για να προσδιορίσει τον αριθμό ως περιττό ή άρτιο. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η επεξεργασία του 0 ήταν βραδύτερη απ'ότι των υπολοίπων άρτιων αριθμών. Ορισμένες παραλλαγές του πειράματος διαπίστωσαν καθυστερήσεις έως και 60 [[χιλιοστά του δευτερολέπτου]] ή περίπου 10% του μέσου χρόνου αντίδρασης- μια μικρή, αλλά σημαντική διαφορά.<ref>See data throughout {{harvtxt|Dehaene|Bossini|Giraux|1993}}, and summary by {{harvtxt|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=837}}.</ref>

Τα πειράματα του Dehaene δεν ήταν ειδικά σχεδιασμένα για να διερευνήσουν το 0, αλλά για να συγκρίνουν ανταγωνιστικά μοντέλα για το πώς μια πληροφορία ισοτιμίας επεξεργάζεται και εξάγεται. Το πιο συγκεκριμένο μοντέλο, η υπόθεση του νοητικού υπολογισμού, υποδηλώνει ότι οι αντιδράσεις σε 0 πρέπει να είναι γρήγορες: το 0 είναι ένας μικρός αριθμός και είναι εύκολο να υπολογιστεί  0 × 2 = 0. ( Τα άτομα είναι γνωστό ότι υπολογίζουν και δηλώνουν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με το 0 γρηγορότερα από τον πολλαπλασιασμό με έναν μη μηδενικό αριθμό, παρ'όλο που είναι πιο αργά στο να επαληθεύουν προτεινόμενα αποτελέσματα όπως 2 × 0 = 0.) Τα αποτελέσματα των πειραμάτων υποδήλωσαν ότι κάτι σχετικά διαφορετικό συνέβαινε: πληροφορία για την ισοτιμία ανακαλέστηκε προφανώς από την μνήμη, μαζί με ένα σύμπλεγμα από συσχετισμένες ιδιότητες, όπως να είναι [[πρώτος]] ή [[δύναμη του δύο]]. Τόσο η ακολουθία των δυνάμεων του δύο όσο και η ακολουθία των θετικών πρώτων αριθμών 2,4,6,8... είναι καλά επιφανείς νοητικές κατηγορίες των οποίων τα μέλη είναι πρώτοι βάσει πρωτοτύπου. Το μηδέν δεν ανήκει σε καμία από τις δύο λίστες, έτσι απαντάνε όσοι καθυστερούν.<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=374–376}}</ref>

Επαναλαμβανόμενες πειράματα έχουν δείξει μια καθυστέρηση στο μηδέν για άτομα με μια ποικιλία από ηλικίες και εθνικών και γλωσσικών υπόβαθρων, αντιμέτωποι με έναν αριθμό ονομάτων σε [[αριθμητική]] μορφή, διατυπώνονται και γράφονται βάσει προτύπου. Η ομάδα του Dehaene βρήκε έναν παράγοντα διαφοροποίησης: μαθηματικές γνώσεις. Σε ένα από τα πειράματά τους οι μαθητές του [[École Normale Supérieure]] χωρίστηκαν σε δύο ομάδες: εκείνους των λογοτεχνικών σπουδών κι εκείνους που σπουδάζουν μαθηματικά, φυσική ή βιολογία. Η καθυστέρηση στο 0 "ουσιαστικά βρέθηκε στην [λογοτεχνική ομάδα]", και στην πραγματικότητα, "πριν από κάθε πείραμα, κάποια άτομα της ομάδας αυτής δεν ήταν σίγουρα αν το 0 ήταν περιττός ή άρτιος και έπρεπε να θυμούνται τον μαθηματικό ορισμό".<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=376–377}}</ref>

Αυτή η ισχυρή εξάρτηση από την εξοικείωση υπονομεύει εκ νέου την υπόθεση του νοητικού υπολογισμού.<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|p=376}}</ref> Το αποτέλεσμα δείχνει επίσης ότι είναι ακατάλληλο να περιληφθεί το μηδέν σε πειράματα όπου άρτιοι και περιττοί αριθμοί συγκρίνονται σαν ομάδα. Όπως το τοποθετεί μια ομάδα: "Οι περισσότεροι ερευνητές δείχνουν να συμφωνούν ότι το μηδέν δεν είναι ένας τυπικός άρτιος αριθμός και δεν πρέπει να διερευνηθεί ως μέρος της νοητικής αριθμητικής γραμμής." <ref>{{harvnb|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|pp=838, 860–861}}</ref>

==Καθημερινά πλαίσια==

Μερικά από τα πλαίσια, όπου εμφανίζεται η ισοτιμία του μηδενός είναι καθαρά ρητορικά.  Το θέμα παρέχει υλικό για [[διαδικτυακούς]] πίνακες μηνυμάτων και ιστοσελίδες όπου μπορείς να απευθυνθείς σε ειδικούς.<ref>{{harvnb|The Math Forum participants|2000}}; {{harvnb|Straight Dope Science Advisory Board|1999}}; {{harvnb|Doctor Rick|2001}}</ref> Ο γλωσσολόγος Joseph Grimes αναλογίζεται ότι ρωτώντας "Είναι το μηδέν άρτιος αριθμός;" σε παντρεμένα ζευγάρια είναι ένας καλός τρόπος να τους κάνεις να διαφωνήσουν.<ref>{{harvnb|Grimes|1975|p=156}} "...one can pose the following questions to married couples of his acquaintance: (1) Is zero an even number? ... Many couples disagree..."</ref> Οι άνθρωποι που πιστεύουν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε άρτιος ούτε περιττός ίσως χρησιμοποιούν την ισοτιμία του μηδενός ως απόδειξη ότι κάθε κανόνας έχει ένα [[αντιπαράδειγμα]],<ref>{{harvnb|Wilden|Hammer|1987|p=104}}</ref> ή ως παράδειγμα μιας [[ερώτησης-παγίδα]].<ref>{{harvnb|Snow|2001}}; {{harvnb|Morgan|2001}}</ref> 

Γύρω στο έτος 2000, τα μέσα μαζικής ενημέρωσης σημείωσαν ένα ζεύγος από ασυνήθιστα ορόσημα: "11.19.1999" ήταν η [[τελευταία μέρα του ημερολογίου]] που αποτελούνταν από όλους τους περιττούς που θα μπορούσαν να σημειωθούν για ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, και ότι "02.02.2000" ήταν η τελευταία μέρα που σημειώθηκαν όλοι οι άρτιοι για μεγάλο χρονικό διάστημα.<ref>{{harvnb|Steinberg|1999}}; {{harvnb|Siegel|1999}}; {{harvnb|Stingl|2006}}</ref> Από τότε που αυτά τα αποτελέσματα χρησιμοποιούσαν το 0 ως άρτιο, μερικοί αναγνώστες διαφώνησαν με την ιδέα.<ref>{{harvnb|Sones|Sones|2002}} "It follows that zero is even, and that 2/20/2000 nicely cracks the puzzle. Yet it's always surprising how much people are bothered by calling zero even..."; {{harvnb|Column 8 readers|2006a}} "'...according to mathematicians, the number zero, along with negative numbers and fractions, is neither even nor odd,' writes Etan..."; {{harvnb|Column 8 readers|2006b}} "'I agree that zero is even, but is Professor Bunder wise to 'prove' it by stating that 0 = 2 x 0? By that logic (from a PhD in mathematical logic, no less), as 0 = 1 x 0, it's also odd!' The prof will dispute this and, logically, he has a sound basis for doing so, but we may be wearing this topic a little thin ..."</ref>


Σε [[τυποποιημένα τεστ]], αν μια ερώτηση ρωτά για τη συμπεριφορά των άρτιων αριθμών, τότε ίσως είναι απαραίτητο να κρατήσουμε στο νου ότι το μηδέν είναι άρτιος.<ref>{{harvnb|Kaplan Staff|2004|p=227}}</ref> Επίσημες δημοσιεύσεις σχετικά με δοκιμές των  [[GMAT]] και [[GRE]] δηλώνουν εξίσου ότι είναι το 0 είναι άρτιος.<ref>{{harvnb|Graduate Management Admission Council|2005|pp=108, 295–297}}; {{harvnb|Educational Testing Service|2009|p=1}}</ref> 

Η ισοτιμία του μηδενός είναι συναφή με την [[κατανομή άρτιου-περιττού]], βάσει την οποία τα αυτοκίνητα μπορούν να οδηγούν ή να προμηθεύονται [[βενζίνη]] σε εναλλασσόμενες μέρες, σύμφωνα με την ισοτιμία του τελευταίου ψηφίου στις [[πινακίδες]] τους. Το ήμισυ των αριθμών σε μια δεδομένη σειρά κατέληγε σε  0, 2, 4, 6, 8 και το άλλο μισό σε 1, 3, 5, 7, 9, οπότε είναι λογικό να περιλαμβάνεται το 0 με τους άλλους άρτιους αριθμούς.  Ωστόσο, το 1977, ένα σύστημα καταμέτρησης στο Παρίσι οδήγησε σε σύγχυση: σε μια μέρα των περιττών αριθμών, η αστυνομία απέφυγε την επιβολή προστίμων στους οδηγούς των οποίων οι πινακίδες τελείωναν σε 0, διότι δεν γνώριζαν αν το 0 ήταν άρτιος.<ref>{{harvnb|Arsham|2002}}; The quote is attributed to the ''[[heute]]'' broadcast of October 1, 1977. Arsham's account is repeated by {{harvtxt|Crumpacker|2007|p=165}}.</ref> Για την αποφυγή αυτής της σύγχυσης, η σχετική νομοθεσία ορίζει ότι μερικές το 0 είναι άρτιος: οι εν λόγω νόμοι έχουν περάσει στη [[Νέα Νότια Ουαλία]]<ref>{{harvnb|Sones|Sones|2002}} "Penn State mathematician George Andrews, who recalls a time of gas rationing in Australia ... Then someone in the New South Wales parliament asserted this meant plates ending in zero could never get gas, because 'zero is neither odd nor even. So the New South Wales parliament ruled that for purposes of gas rationing, zero is an even number!'"</ref> και το [[Μέριλαντ]].<ref>A 1980 Maryland law specifies, "(a) On even numbered calendar dates gasoline shall only be purchased by operators of vehicles bearing personalized registration plates containing no numbers and registration plates with the last digit ending in an even number. This shall not include ham radio operator plates. Zero is an even number; (b) On odd numbered calendar dates ..." Partial quotation taken from {{Citation |author=Department of Legislative Reference |year=1974 |title=Laws of the State of Maryland, Volume 2 |page=3236 |url=http://books.google.com/books?q=%22ham+radio+operator+plates.+Zero+is+an+even+number%22 |accessdate=2 June 2013}}</ref>

Στα σκάφη του Ναυτικού των ΗΠΑ, τα άρτια αριθμημένα διαμερίσματα βρίσκονται στην [[αριστερή]] πλευρά, αλλά το μηδέν προορίζεται για τα διαμερίσματα που τέμνουν την κεντρική γραμμή. Δηλαδή, οι αριθμοί διαβάζονται 6-4-2-0-1-3-5 από το λιμάνι προς τα δεξιά.<ref>{{harvnb|Cutler|2008|pp=237–238}}</ref>  Στο παιχνίδι της [[ρουλέτας]], ο αριθμός 0 δεν μετρά ως περιττός ή άρτιος, δίνοντας το πλεονέκτημα στο [[καζίνο]] σε τέτοια στοιχήματα.<ref>{{harvnb|Brisman|2004|p=153}}</ref> Ομοίως, η ισοτιμία του μηδενός μπορεί να επηρεάsei τις επιδόσεις σε [[στοιχήματα πρακτορείου]] όταν η έκβαση εξαρτάται από το αν κάποιος τυχαίος αριθμός είναι περιττός ή άρτιος, και καταλήγει να είναι μηδέν.<ref>{{harvnb|Smock|2006}}; {{harvnb|Hohmann|2007}}; {{harvnb|Turner|1996}}</ref> 

Το παιχνίδι "[[μονά-ζυγά]]" επηρεάζεται επίσης: αν και οι δύο παίκτες ρίξουν μηδέν δάχτυλα, ο συνολικός αριθμός των δακτύλων είναι μηδέν, οπότε κερδίζει ο παίκτης που είχε επιλέξει "ζυγά".<ref>{{harvnb|Diagram Group|1983|p=213}}</ref> Ένα εγχειρίδιο εκπαιδευτικών προτείνει αυτό το παιχνίδι ως ένα τρόπο να εισάγουν τα παιδιά στην έννοια ότι το 0 διαιρείται με το 2.<ref>{{harvnb|Baroody|Coslick|1998|p=1.33}}</ref>
==Αναφορές==

===Σημειώσεις===
<references />

===Βιβλιογραφία==
{{Refbegin|2}}
*{{Citation |last1=Anderson |first1=Ian |year=2001 |title=A First Course in Discrete Mathematics |location=London |publisher=Springer |isbn=1-85233-236-0}}
*{{Citation |last1=Anderson |first1=Marlow |first2=Todd |last2=Feil |year=2005 |title=A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields |location=London |publisher=CRC Press |isbn=1-58488-515-7}}
*{{Citation |last1=Andrews |first1=Edna |year=1990 |title=Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language |location=Durham |publisher=Duke University Press |isbn=0-8223-0959-9}}
*{{Citation |last1=Arnold |first1=C. L. |date=January 1919|title=The Number Zero |journal=The Ohio Educational Monthly |volume=68 |issue=1 |url=http://books.google.com/books?id=v3QbAQAAIAAJ&pg=PA21 |pages=21–22 |accessdate=11 April 2010}}
*{{Citation |last1=Arsham |first1=Hossein |url=http://www.pantaneto.co.uk/issue5/arsham.htm |title=Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives |work=The Pantaneto Forum |date=January 2002|accessdate=24 September 2007}}
*{{Citation |last1=Ball |first1=Deborah Loewenberg |first2=Heather C. |last2=Hill |first3=Hyman |last3=Bass |year=2005|title=Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? |journal=American Educator |url=http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65072 |accessdate=16 September 2007|format=PDF}}
*{{Citation |last1=Ball |first1=Deborah Loewenberg |first2=Jennifer |last2=Lewis |first3=Mark Hoover |last3=Thames |title=Making mathematics work in school |year=2008 |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=M14 |pages=13–44 and 195–200 |url=http://www-personal.umich.edu/~dball/articles/BallLewisThames08.pdf |accessdate=4 March 2010}}
*{{Citation |last1=Barbeau |first1=Edward Joseph |year=2003 |title=Polynomials |publisher=Springer |isbn=0-387-40627-1}}
*{{Citation |last1=Baroody |first1=Arthur |first2=Ronald |last2=Coslick |title=Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 |year=1998 |publisher=Lawrence Erlbaum Associates |isbn=0-8058-3105-3}}
*{{Citation |last1=Berlinghoff |first1=William P. |first2=Kerry E. |last2=Grant |first3=Dale |last3=Skrien |year=2001 |title=A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts |edition=5th rev. |publisher=Rowman & Littlefield |isbn=0-7425-0202-3}}
*{{Citation |last1=Border |first1=Kim C. |year=1985 |title=Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38808-2}}
*{{Citation |last1=Brisman |first1=Andrew |title=Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways |publisher=Sterling |year=2004 |isbn=1-4027-1300-2}}
*{{Citation |last1=Bunch |first1=Bryan H. |year=1982 |title=Mathematical Fallacies and Paradoxes |publisher=Van Nostrand Reinhold |isbn=0-442-24905-5}}
*{{Citation |last1=Caldwell |first1=Chris K. |last2=Xiong |first2=Yeng |date=27 December 2012 |title=What is the Smallest Prime? |journal=Journal of Integer Sequences |volume=15 |issue=9 |arxiv=1209.2007 |url=http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.html}}
*{{Citation |author=Column 8 readers |title=Column 8 |work=The Sydney Morning Herald |year=2006a|date=10 March 2006|edition=First |page=18 |id={{Factiva|SMHH000020060309e23a00049}}}}
*{{Citation |author=Column 8 readers |title=Column 8 |work=The Sydney Morning Herald |year=2006b|date=16 March 2006|edition=First |page=20 |id={{Factiva|SMHH000020060315e23g0004z}}}}
*{{Citation |last1=Crumpacker |first1=Bunny |year=2007 |title=Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count |publisher=Macmillan |isbn=0-312-36005-3}}
*{{Citation |last1=Cutler |first1=Thomas J. |title=The Bluejacket's Manual: United States Navy |year=2008 |edition=Centennial |publisher=Naval Institute Press |isbn=1-55750-221-8}}
*{{Citation |last1=Dehaene |first1=Stanislas |author1-link=Stanislas Dehaene |first2=Serge |last2=Bossini |first3=Pascal |last3=Giraux |title=The mental representation of parity and numerical magnitude |journal=Journal of Experimental Psychology: General |volume=122 |issue=3 |pages=371–396 |year=1993 |url=http://www.unicog.org/publications/Dehaene_ParitySNARCeffect_JEPGeneral1993.pdf |accessdate=13 September 2007 |doi=10.1037/0096-3445.122.3.371 |format=PDF}}
*{{Citation |last1=Devlin |first1=Keith |title=The golden age of mathematics |journal=New Scientist |date=April 1985|volume=106 |issue=1452}}
*{{Citation |author=Diagram Group |title=The Official World Encyclopedia of Sports and Games |publisher=Paddington Press |year=1983 |isbn=0-448-22202-7}}
*{{Citation |last=Dickerson |first=David S |last2=Pitman |first2=Damien J |date=July 2012 |title=Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions |editor=Tai-Yih Tso |journal=Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education |volume=2 |pages=187–195 |url=http://www.ruhr-uni-bochum.de/imperia/md/content/mathematik/Roesken/pme36_taipeh_volume2.pdf#page=193}}
*{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |first2=Richard M. |last2=Foote |year=1999 |title=Abstract Algebra |edition=2e |location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-36857-1}}
*{{Citation |author=Educational Testing Service |year=2009 |title=Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test |publisher=Educational Testing Service |url=http://www.ets.org/s/gre/pdf/gre_math_conventions.pdf |accessdate=6 September 2011}}
*{{Citation |last1=Freudenthal |first1=H. |year=1983 |title=Didactical phenomenology of mathematical structures |location=Dordrecht, The Netherlands |publisher=Reidel}}
*{{Citation |last1=Frobisher |first1=Len |year=1999 |title=Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers |editor=Anthony Orton |booktitle=Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics |location=London |publisher=Cassell |pages=31–48}}
*{{Citation |last1=Gouvêa |first1=Fernando Quadros |year=1997 |title=''p''-adic numbers: an introduction |edition=2nd |isbn=3-540-62911-4 |publisher=Springer-Verlag}}
*{{Citation |last1=Gowers |first1=Timothy |authorlink=William Timothy Gowers |title=Mathematics: A Very Short Introduction |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-285361-5 |year=2002}}
*{{Citation |author=Graduate Management Admission Council |date=September 2005|title=The Official Guide for GMAT Review |edition=11th |isbn=0-9765709-0-4 |publisher=Graduate Management Admission Council |location=McLean, VA}}
*{{Citation |last1=Grimes |first1=Joseph E. |year=1975 |title=The Thread of Discourse |publisher=Walter de Gruyter |isbn=90-279-3164-X}}
*{{Citation |last1=Hartsfield |first1=Nora |first2=Gerhard |last2=Ringel |year=2003 |title=Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction |location=Mineola |publisher=Courier Dover |isbn=0-486-43232-7}}
*{{Citation |last=Hill |first=Heather C. |first2=Merrie L. |last2=Blunk |first3=Charalambos Y. |last3=Charalambous |first4=Jennifer M. |last4=Lewis |first5=Geoffrey C. |last5=Phelps |first6=Laurie |last6=Sleep |first7=Deborah Loewenberg |last7=Ball |year=2008 |title=Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study |journal=Cognition and Instruction |volume=26 |issue=4 |doi=10.1080/07370000802177235 |pages=430–511}}
*{{Citation |last1=Hohmann |first1=George |date=25 October 2007|title=Companies let market determine new name |work=Charleston Daily Mail|page=P1C |id={{Factiva|CGAZ000020071027e3ap0001l}}}}
*{{Citation |author=Kaplan Staff |year=2004 |title=Kaplan SAT 2400, 2005 Edition |publisher=Simon and Schuster |isbn=0-7432-6035-X}}
*{{Citation |last1=Keith |first1=Annie |booktitle=Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2 |title=Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers |year=2006 |publisher=IAP |isbn=1-59311-495-8}}
*{{Citation |last1=Krantz |first1=Steven George |year=2001 |title=Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry |publisher=CRC Press |isbn=1-58488-052-X}}
*{{Citation |last1=Levenson |first1=Esther |first2=Pessia |last2=Tsamir |first3=Dina |last3=Tirosh |title=Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero |volume=26 |issue=2 |year=2007 |pages=83–95 |doi=10.1016/j.jmathb.2007.05.004 |journal=The Journal of Mathematical Behavior}}
*{{Citation |last1=Lichtenberg |first1=Betty Plunkett |title=Zero is an even number |journal=The Arithmetic Teacher |volume=19 |issue=7 |date=November 1972|pages=535–538}}
*{{Citation |last1=Lorentz |first1=Richard J. |year=1994 |title=Recursive Algorithms |publisher=Intellect Books |isbn=1-56750-037-4}}
*{{Citation |last=Lovas |first=William |last2=Pfenning |first2=Frank |date=22 January 2008 |title=A Bidirectional Refinement Type System for LF |journal=Electronic Notes in Theoretical Computer Science |volume=196 |pages=113–128 |doi=10.1016/j.entcs.2007.09.021 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571066108000418 |accessdate=16 June 2012}}
*{{Citation |last1=Lovász |first1=László|first2=József |last2=Pelikán |first3=Katalin L. |last3=Vesztergombi |year=2003 |title=Discrete Mathematics: Elementary and Beyond |publisher=Springer |isbn=0-387-95585-2}}
*{{Citation |last1=Morgan |first1=Frank |title=Old Coins |work=Frank Morgan's Math Chat |publisher=The Mathematical Association of America |date=5 April 2001 |url=http://www.maa.org/features/mathchat/mathchat_4_5_01.html |accessdate=22 August 2009}}
*{{Citation |last1=Nipkow |first1=Tobias |first2=Lawrence C. |last2=Paulson |first3=Markus |last3=Wenzel |year=2002 |title=Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic|publisher=Springer |isbn=3-540-43376-7}}
*{{Citation |last1=Nuerk |first1=Hans-Christoph |first2=Wiebke |last2=Iversen |first3=Klaus |last3=Willmes |title=Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect |journal=The Quarterly Journal of Experimental Psychology A |volume=57 |issue=5 |date=July 2004|pages=835–863 |doi=10.1080/02724980343000512}}
*{{Citation |last1=Partee |first1=Barbara Hall |title=Fundamentals of Mathematics for Linguistics |year=1978 |location=Dordrecht |publisher=D. Reidel |isbn=90-277-0809-6}}
*{{Citation |last1=Penner |first1=Robert C. |year=1999 |title=Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures |location=River Edje |publisher=World Scientific |isbn=981-02-4088-0}}
*{{Citation |last1=Salzmann |first1=H. |first2=T. |last2=Grundhöfer |first3=H. |last3=Hähl |first4=R. |last4=Löwen |year=2007 |title=The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-86516-6}}
*{{Citation |last1=Siegel |first1=Robert |title=Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now. |url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=1066881|date=19 November 1999 |work=[[All Things Considered]] |publisher=[[National Public Radio]] }}
*{{Citation |last1=Smock |first1=Doug |title=The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods |date=6 February 2006|work=[[Charleston Gazette]] |page=P1B |id={{Factiva|CGAZ000020060207e226000bh}}}}
*{{Citation |last1=Snow |first1=Tony |date=23 February 2001|url=http://www.jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp |title=Bubba's fools |work=[[Jewish World Review]] |accessdate=22 August 2009}}
*{{Citation |last1=Sones |first1=Bill |first2=Rich |last2=Sones |title=To hide your age, button your lips |date=8 May 2002|work=[[Deseret News]] |page=C07 |url=http://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all|accessdate=21 June 2014}}
*{{Citation |last1=Starr |first1=Ross M. |authorlink=Ross Starr|year=1997 |title=General Equilibrium Theory: An Introduction |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-56473-5}}
*{{Citation |last1=Steinberg |first1=Neil |title=Even year, odd facts |date=30 November 1999 |work=Chicago Sun-Times |edition=5XS |page=50 |id={{Factiva|chi0000020010826dvbu0119h}}}}
*{{Citation |last1=Stewart |first1=Mark Alan |title=30 Days to the GMAT CAT |year=2001 |location=Stamford |publisher=Thomson |isbn=0-7689-0635-0}}
*{{Citation |last1=Stingl |first1=Jim |title=01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life |date=5 April 2006 |work=[[Milwaukee Journal Sentinel]] |edition=Final |page=B1 |archiveurl=http://web.archive.org/web/20060427002610/http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306|archivedate=27 April 2006|accessdate=21 June 2014|url=http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306}}
*{{Citation |last1=Tabachnikova |first1=Olga M. |first2= Geoff C. |last2=Smith |author2-link=Geoff Smith (mathematician) |year=2000 |title=Topics in Group Theory |location=London |publisher=Springer |isbn=1-85233-235-2}}
*{{Citation |author=The Math Forum participants |year=2000 |url=http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1178542 |title=A question around zero |work=Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica |publisher=Drexel University |accessdate=25 September 2007}}
*{{Citation |last1=Turner |first1=Julian |title=Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific |date=13 July 1996|work=[[The Guardian]] |page=23 |id={{Factiva|grdn000020011017ds7d00bzg}}}}
*{{Citation |last1=Wilden |first1=Anthony |first2=Rhonda |last2=Hammer |year=1987 |title=The rules are no game: the strategy of communication |publisher=Routledge Kegan & Paul |isbn=0-7100-9868-5}}
*{{Citation |last1=Wise |first1=Stephen |year=2002 |title=GIS Basics |publisher=CRC Press |isbn=0-415-24651-2}}
*{{Citation |last1=Wong |first1=Samuel Shaw Ming |year=1997 |title=Computational Methods in Physics and Engineering |publisher=World Scientific |isbn=981-02-3043-5}}
{{Refend}}

==Εξωτερικές συνδέσεις==
{{Βικιφθέγματα}}
{{Refbegin}}
*{{Citation |author=Doctor Rick |year=2001 |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/57188.html |title=Is Zero Even? |work=Ask Dr. Math |publisher=The Math Forum |accessdate=6 June 2013}}
*{{Citation |author=Straight Dope Science Advisory Board |year=1999 |title=Is zero odd or even? |url=http://www.straightdope.com/columns/read/1723/is-zero-odd-or-even |work=The Straight Dope Mailbag |accessdate=6 June 2013}}
*[http://www.youtube.com/watch?v=8t1TC-5OLdM  Is Zero Even? - Numberphile], video with Dr. James Grime, [[University of Nottingham]]
{{Refend}}
<nowiki>
{{Featured article}}</nowiki>

{{DEFAULTSORT:Parity Of Zero}}
[[:Category:Elementary arithmetic]]
[[:Category:Parity]]
[[:Category:Zero]]