Χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ή χώρος Ζαρίσκι ενός υποδακτυλίου k ενός σώματος K είναι ένας τοπικά δακτυλιωτος χώρος του οποίου τα σημεία είναι δακτύλιοι αποτίμησης που περιέχουν k και περιέχονται στο K. Γενικεύουν την επιφάνεια Ρίμαν σε μια μιγαδική καμπύλη.

Οι χώροι Ζαρίσκι-Ρίμαν εισήχθησαν από τον Ζαρίσκι (1940, 1944), ο οποίος (μάλλον συγκεχυμένα) τους ονόμασε πολλαπλότητες Ρίμαν ή επιφάνειες του Ρίμαν. Ονομάστηκαν χώροι Ζαρίσκι-Ρίμαν από τους Όσκαρ Ζαρίσκι και Μπέρναρντ Ρίμαν από τον Ναγκάτα (Nagata (1962)), ο οποίος τους χρησιμοποίησε για να δείξει ότι οι αλγεβρικές ποικιλίες μπορούν να ενσωματωθούν σε πλήρεις ποικιλίες.

Η τοπική ομοιομορφία (που αποδείχθηκε σε χαρακτηριστική 0 από τον Ζαρίσκι) μπορεί να ερμηνευθεί ως το ότι ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας ποικιλίας είναι μη-ιδιάζων με κάποια έννοια, άρα είναι ένα είδος μάλλον αδύναμης ανάλυσης των ιδιομορφιών. Αυτό δεν λύνει το πρόβλημα της επίλυσης των ιδιομορφιών επειδή σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 1 ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν δεν είναι τοπικά συγγενής και ειδικότερα δεν είναι σχήμα.

Ορισμός

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ενός σώματος Κ πάνω από ένα σώμα βάσης k είναι ένας τοπικά Δακτυλιωτός χώρος του οποίου τα σημεία είναι οι δακτύλιοι αποτίμησης που περιέχουν το k και περιέχονται στο K. Μερικές φορές εξαιρείται ο ίδιος ο δακτύλιος αποτίμησης K και μερικές φορές τα σημεία περιορίζονται στους δακτυλίους αποτίμησης μηδενικής διάστασης (εκείνοι των οποίων το πεδίο υπολοίπων έχει βαθμό υπερβατικότητας μηδέν πάνω στο k).

Αν ο S είναι ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ενός υποδακτυλίου k ενός πεδίου K, έχει μια τοπολογία που ορίζεται θεωρώντας μια βάση ανοικτών συνόλων ως τους δακτυλίους αποτίμησης που περιέχουν ένα δεδομένο πεπερασμένο υποσύνολο του K. Ο χώρος S είναι οιονεί συμπαγής. Μετατρέπεται σε τοπικά δακτυλιωτό χώρο αναθέτοντας σε κάθε ανοικτό υποσύνολο την τομή των δακτυλίων αποτίμησης των σημείων του υποσυνόλου. Ο τοπικός δακτύλιος σε κάθε σημείο είναι ο αντίστοιχος δακτύλιος αποτίμησης.

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ενός συναρτησιακού σώματος μπορεί επίσης να κατασκευαστεί ως το αντίστροφο όριο όλων των πλήρων (ή προβολικών) μοντέλων του συναρτησιακού σώματος.

Παραδείγματα

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας καμπύλης

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας καμπύλης πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα k με σώμα συναρτήσεων K είναι ο ίδιος με το μη-ιδιάζον προβολικό υπόδειγμα της. Διαθέτει ένα γενικό μη κλειστό σημείο που αντιστοιχεί στην τετριμμένη αποτίμηση με δακτύλιο αποτίμησης K, και τα άλλα σημεία του είναι οι δακτύλιοι αποτίμησης 1ης τάξης στο K που περιέχουν το k. Σε αντίθεση με τις περιπτώσεις υψηλότερων διαστάσεων, ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας καμπύλης είναι ένα σχήμα.

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας επιφάνειας

Οι δακτύλιοι αποτίμησης μιας επιφάνειας S πάνω από k με συναρτησιακό σώμα K μπορούν να ταξινομηθούν με βάση τη διάσταση (τον βαθμό υπερβατικότητας του υπολειμματικού σώματος) και τον βαθμό (τον αριθμό των μη μηδενικών κυρτών υποομάδων της ομάδας αποτίμησης). Ο Ζαρίσκι {(Zariski (1939)) έδωσε την ακόλουθη ταξινόμηση:

• Διάσταση 2. Η μόνη δυνατότητα είναι η τετριμμένη αποτίμηση με βαθμό 0, ομάδα αποτίμησης 0 και δακτύλιο αποτίμησης K.
• Διάσταση 1, βαθμός 1. Αυτά αντιστοιχούν σε διαιρέτες σε κάποια μεγέθυνση του S, ή με άλλα λόγια σε διαιρέτες και απείρως κοντινά σημεία του S. Είναι όλα διακριτά. Το κέντρο στο S μπορεί να είναι είτε σημείο είτε καμπύλη. Η ομάδα αποτίμησης είναι η Z.
• Διάσταση 0, τάξη 2. Αυτές αντιστοιχούν σε σπέρματα (germs) αλγεβρικών καμπυλών μέσω ενός σημείου σε ένα κανονικό μοντέλο του S. Η ομάδα αποτίμησης είναι ισόμορφη με την Z+Z με τη λεξικογραφική σειρά.
• Διάσταση 0, τάξη 1, διακριτή. Αυτές αντιστοιχούν σε σπέρματα μη αλγεβρικών καμπυλών (που δίνονται για παράδειγμα από y= μια μη αλγεβρική τυπική δυναμοσειρά στο x) μέσω ενός σημείου ενός κανονικού μοντέλου. Η ομάδα αποτίμησης είναι η Z.
• Διάσταση 0, τάξη 1, μη διακριτή, η ομάδα αξιών διαθέτει ασύμμετρα στοιχεία.. Αυτά αντιστοιχούν σε σπέρματα υπερβατικών καμπυλών όπως y=x^π μέσω ενός σημείου ενός κανονικού μοντέλου. Η ομάδα τιμών είναι ισομορφική με μια διατεταγμένη ομάδα που παράγεται από 2 ασυμμετρικούς πραγματικούς αριθμούς.
• Διάσταση 0, τάξη 1, μη διακριτά, τα στοιχεία της ομάδας αξιών είναι συγκρίσιμα. Η ομάδα αξιών μπορεί να είναι ισομορφική με οποιαδήποτε πυκνή υποομάδα των ρητών αριθμών. Αυτές αντιστοιχούν σε σπέρματα καμπυλών της μορφής y=Σa_nx^b_n όπου οι αριθμοί b_n είναι ρητοί με απεριόριστους παρονομαστές.s.

Δημοσιεύσεις

• Nagata, Masayoshi (1962), «Imbedding of an abstract variety in a complete variety», Journal of Mathematics of Kyoto University 2: 1–10, doi:10.1215/kjm/1250524969, ISSN 0023-608X, http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250524969 
• Zariski, Oscar (1939), «The reduction of the singularities of an algebraic surface», Ann. of Math., 2 40 (3): 639–689, doi:10.2307/1968949 
• Zariski, Oscar (1940), «Local uniformization on algebraic varieties», Ann. of Math., 2 41 (4): 852–896, doi:10.2307/1968864 
• Zariski, Oscar (1944), «The compactness of the Riemann manifold of an abstract field of algebraic functions», Bulletin of the American Mathematical Society 50 (10): 683–691, doi:10.1090/S0002-9904-1944-08206-2, ISSN 0002-9904 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975), Commutative algebra. Vol. II, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Αντιμεταθετικός δακτύλιος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Commutative Algebra: Expository Papers Dedicated to David Eisenbud on the ..
• Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra: A Tribute to the Work of ...
• Recent Advances in Hodge Theory: Period Domains, Algebraic Cycles, and ...
• Lectures On Riemann Surfaces - Proceedings Of The College On Riemann Surfaces