Σχέση (μαθηματικά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
→Κλάσεις Σχέσων: το εγραψα σωστά..... |
μ Κυρίως αλλαγές μορφοποίησης και προσθήκη παραπομπών |
||
Γραμμή 1:
Στα [[μαθηματικά]], '''
▲'''Σχέση''' στα [[μαθηματικά]] είναι μια ''συσχέτιση'' των στοιχείων ενός [[Σύνολο|συνόλου]] με τα στοιχεία κάποιου άλλου. Η έννοια της σχέσης χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για να μοντελοποιήσουμε έννοιες όπως ''μεγαλύτερο από'', ''είναι ίσο με'', ''είναι ισοδύναμο με'' κλπ. Η ίδια η έννοια της [[συνάρτηση]]ς ορίζεται ως μια σχέση ειδικού τύπου.
==Αυστηρός
Έστω <math>X</math> και <math>Y</math> δύο τυχαία σύνολα. Σχέση από το <math>X</math> στο <math>Y</math> ονομάζουμε κάθε υποσύνολο <math>R</math> του [[Καρτεσιανό γινόμενο|καρτεσιανού γινομένου]] <math>X
:<math>R \subseteq X \times Y = \lbrace (x, y) \mid x \in X, y \in Y \rbrace</math>.
Δηλαδή μια σχέση από ένα σύνολο <math>X</math> σε ένα σύνολο <math>Y</math> δεν είναι τίποτε άλλο από ένα σύνολο [[διατεταγμένο ζεύγος|διατεταγμένων ζευγών]]. Το σύνολο <math>X</math> ονομάζεται [[πεδίο ορισμού]] και το σύνολο <math>Y</math> ονομάζεται [[σύνολο τιμών]]. Ειδικότερα αν <math>R</math> είναι μια σχέση από το σύνολο <math>X</math> στο σύνολο <math>X</math>, τότε λέμε ότι η <math>R</math> είναι μια σχέση στο <math>X</math>. Η έκφραση <math>(x, y)
===Παραδείγματα===
Για παράδειγμα αν για τα σύνολα <math>X</math> και <math>Y</math> έχουμε <math>X = \lbrace 1, 2 \rbrace</math> και <math>Y = \lbrace 3, 4, 5 \rbrace</math>, <math>R</math> είναι μια σχέση στα σύνολα <math>X</math> και <math>Y</math> και <math>S</math> είναι μια σχέση στο σύνολο <math>X</math>, τότε για την <math>R</math> έχουμε:
:<math>R \subseteq \lbrace (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) \rbrace</math>
και για την <math>S</math>:
:<math>S \subseteq \lbrace (1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2) \rbrace</math>
==Κλάσεις
Μερικές σημαντικές κλάσεις σχέσεων <math>R</math>, από ένα σύνολο
*'''αριστερά ολική''': για κάθε <math>x</math> στο
*'''επί ή δεξιά ολική''': για κάθε <math>y</math> στο <math>Y</math> υπάρχει <math>x</math> στο
*'''συναρτησιακή''': για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> και <math>y, z</math> στο <math>Y</math> ισχύει ότι, αν <math>xRy</math> και <math>xRz</math> τότε <math>y = z</math>,
*'''ένα προς ένα''': για κάθε <math>x</math> και <math>z</math> στο <math>X</math> και για κάθε <math>y</math> στο <math>Y</math> ισχύει ότι αν <math>xRy</math> και <math>zRy</math> τότε <math>x = z</math>
*'''αμφιμονοσήμαντη''': συναρτησιακή και αριστερά και δεξιά ολική
==Σχέσεις σε ένα
Ορισμένες σημαντικές κλάσεις διμελών σχέσεων σε ένα σύνολο X είναι οι εξής:{{r|S|p=20}}{{r|B|p=12-15}}
*'''ανακλαστική''': για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> ισχύει xRx.
*'''συμμετρική''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> τότε ισχύει και yRx.
*'''αντισυμμετρική''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> και <math>yRx</math> τότε <math>x = y</math>.
*'''ασυμετρική''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> τότε δεν ισχύει <math>yRx</math>.
*'''μεταβατική''': για κάθε <math>x, y, z</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> και <math>yRz</math> τότε <math>xRz</math>.
*'''ολική''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, ισχύει <math>xRy</math> ή <math>yRx</math> ή και τα δύο.
*'''τριχοτομική''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, ισχύει ακριβώς ένα από τα <math>xRy</math>, <math>yRx</math> ή <math>x = y</math>.
*'''Ευκλείδεια''': για κάθε <math>x, y, z</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> και <math>xRz</math> τότε <math>yRz</math> (και <math>zRy</math>).
Μια σχέση που είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ονομάζεται [[σχέση ισοδυναμίας]]. Μια σχέση που είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική ονομάζεται [[σχέση μερικής διάταξης]]. Μια σχέση μερικής διάταξης που είναι και ολική ονομάζεται [[σχέση ολικής διάταξης]].
Γραμμή 37 ⟶ 36 :
==Η συνάρτηση ως σχέση==
Έστω <math>X</math> και <math>Y</math> δύο μη κενά σύνολα. Μια σχέση <math>f</math> από το σύνολο <math>X</math> στο σύνολο <math>Y</math> ονομάζεται '''συνάρτηση από το <math>X</math> στο <math>Y</math>''' αν:
*για κάθε <math>x</math> στο
*αν <math>x</math> ανήκει στο <math>X</math>, <math>y, z</math> ανήκουν στο <math>Y</math> και ισχύει <math>xfy</math> και <math>xfz</math> τότε <math>y = z</math>.
Επομένως, μια σχέση <math>f</math> από το σύνολο <math>X</math> στο σύνολο <math>Y</math> ονομάζεται '''συνάρτηση από το <math>X</math> στο <math>Y</math>''' αν '''για κάθε <math>x</math> στο
==Σύνθεση σχέσεων==
{{Main|Σύνθεση σχέσεων}}
Η σύνθεση σχέσεων είναι ένας τρόπος με τον οποίο σχηματίζουμε μια νέα σχέση από δύο δεδομένες σχέσεις <math>R</math> και <math>S</math> και την οποία συμβολίζουμε με <math>S
===Ορισμός===
Αν <math>R
:<math>S \circ R = \{(x,z) \in X \times Z \mid \exists y \in Y: (x,y) \in R, (y,z)\in S \} \subseteq X \times Z</math>.
Με άλλα λόγια η σχέση <math>S
===Ιδιότητες===
*Η σύνθεση σχέσεων είναι [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]],
*Η αντίστροφη σχέση της <math>S
*Η σύνθεση μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση,
*Η σύνθεση επί σχέσεων, είναι επί σχέση,
*Η σύνθεση ένα προς ένα σχέσεων, είναι ένα προς ένα.
==Πηγές==
<references/>
[[Κατηγορία:Θεωρία συνόλων]]
| |||