Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe
unter Zuhilfenahme eines Normalteilers
gebildet wird. Sie wird mit
bezeichnet und ist die Menge der Nebenklassen.
Die Elemente von
sind die Nebenklassen bezüglich
, also
.
Die innere Verknüpfung
wird definiert als
.
Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von
zeigen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist und dass
eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von
nach
. Das neutrale Element von
ist
und das zu
inverse Element ist durch
gegeben.
Das Produkt
stimmt mit dem Komplexprodukt
überein. Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe
einer Gruppe
ein Normalteiler ist, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.
Die Ordnung der Faktorgruppe
ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von
. Diese Anzahl wird Index von
in
genannt und mit
bezeichnet. Ist
eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange
.
Jede Gruppe kann als Faktorgruppe aufgefasst werden, denn für jede Gruppe
ist
ein Normalteiler und es gilt
.
Sei
die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei
die Untergruppe von
, die aus allen Vielfachen von 6 besteht. Die Gruppe
ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Die Faktorgruppe
besteht nun als Restklassengruppe aus allen Nebenklassen der Untergruppe
, diese sind:
Dies sind alle Nebenklassen von
, wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe
partitionieren und
,
,
und so weiter. Da die Operation in
die Addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise
.
Schreibt man abkürzend
,
,
,
,
,
,
so besteht
aus den 6 Elementen
und ergibt sich folgende Verknüpfungstabelle für die Faktorgruppe
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Damit hat man ein Verfahren, mit dem man Untergruppen wie
konstruieren kann.
Das vorhergehende Beispiel lässt sich verallgemeinern: Für jedes
ist
eine Untergruppe der abelschen Gruppe
, also insbesondere ein Normalteiler. Die Faktorgruppe
wird Restklassengruppe modulo
genannt und kurz mit
bezeichnet. Sie hat genau
Elemente.
Ihre Elemente werden als
![{\displaystyle [k]_{n}:=[k]:=k+n\mathbb {Z} =\{k+m\ :\ m\in n\mathbb {Z} \}=\{k+nz\ :\ z\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb2a04eee7047fc686003f161409d20d8eec883)
geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo
. Es ist also
.
Die innere Verknüpfung von
wird üblicherweise wieder mit
bezeichnet. In
gilt beispielsweise
,
da
, also
.
Seien
und
zwei Gruppen und
ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von
ein Normalteiler von
und daher kann die Faktorgruppe
gebildet werden. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von
, das eine Untergruppe von
ist.
Ist
ein Normalteiler von
, dann ist die Abbildung
mit
mit Kern
ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus
mit
genau ein Gruppenhomomorphismus
mit
existiert.
Beispiel: Sei
die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei
Gruppenhomomorphismus.
Dann liegt
im Kern von
und
ergibt sich zu:
.
Durch den Übergang zur Faktorgruppe erreicht man, dass sämtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden. Dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitäten erzwingen.
Die von allen Kommutatoren erzeugte Gruppe
ist ein Normalteiler der Gruppe
. In der Faktorgruppe
werden daher alle Kommutatoren trivial, das heißt die Faktorgruppe ist abelsch. Man nennt dies die Abelisierung der Gruppe.
Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen (Relationen) in einer Gruppe erzwingen. Kommen in den gewünschten Gleichungen Elemente
vor, so betrachte in der freien Gruppe
über
Elementen den kleinsten Normalteiler
, der alle Ausdrücke in
enthält, die gleich dem neutralen Element sein sollen. Die Faktorgruppe
leistet das Verlangte. Genaueres entnehme man dem Artikel "Präsentation einer Gruppe".