Mellin-Transformation

Unter der Mellin-Transformation versteht man eine mit der Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.

Geschichte

Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.

Definition

Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ ist definiert als die Funktion

$M_{f}(s):=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t$

für komplexe Zahlen $s$, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor ${\tfrac {1}{\Gamma (s)}}$, also

${\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.$

Dabei ist $\Gamma$ die Gamma-Funktion.

Rücktransformation

Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation

$f(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }M_{f}(s)x^{-s}\mathrm {d} s$

von $M_{f}(s)$ zu $f(x)$ für jedes reelle $c$ mit $b>c>a>0$ möglich. Hierbei seien $a$ und $b$ zwei positive reelle Zahlen.

• das Integral $M_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\mathrm {d} x$ ist in dem Streifen $S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}$ absolut konvergent
• $M_{f}(s)$ ist in dem Streifen $S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}$ analytisch
• der Ausdruck $M_{f}(c\pm \mathrm {i} t)$ strebt für $t\to \infty$ und jedem beliebigen Wert $c$ zwischen $a$ und $b$ gleichmäßig gegen 0
• die Funktion $f(x)$ ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral $t=e^{x}$, setzt man $F(x)=f(e^{x})$ und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion $F$ mit ${\widehat {F}}$, so ist für reelle $s$

$M_{f}(\mathrm {i} s)={\sqrt {2\pi }}{\widehat {F}}(s)$.

Beispiel zur Dirichletreihe

Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe $f$ und eine Potenzreihe $F$ zueinander in Beziehung setzen. Es seien

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ und $F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$

mit den gleichen $a_{n}$. Dann gilt

$f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm {d} t$.

Setzt man hierin zum Beispiel alle $a_{n}=1$, so ist $f$ die Riemannsche Zetafunktion, und man erhält

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$

für $\operatorname {Re} (s)>1$.

Literatur

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Mellin Transform. In: MathWorld (englisch).