Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen (oder Grenzwertmenge) diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbits (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

$\omega$-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition

Sei $(T,X,\Phi )$ ein dynamisches System mit $T=\mathbb {Z}$ (diskret) oder $T=\mathbb {R}$ (kontinuierlich). T ist meist die Zeit und X der Zustandsraum. Sei $x\in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $\omega$-Limesmenge von $x$ ist

$\omega (x,\Phi ):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow \infty ,\Phi (t_{n},x)\rightarrow y\right\}$.

Die $\alpha$-Limesmenge von $x$ ist

$\alpha (x,\Phi ):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow -\infty ,\Phi (t_{n},x)\rightarrow y\right\}$.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

$\omega (x,\Phi )=\bigcap _{n\in T}{\overline {\left\{\Phi (t,x):t>n\right\}}}$,

$\alpha (x,\Phi )=\bigcap _{n\in T}{\overline {\left\{\Phi (t,x):t<n\right\}}}$.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $\Phi$. Falls $X$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

• Fixpunkt
• Periodischer Orbit
• Grenzzyklus
• Seltsamer Attraktor

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).