Allklasse

Allmenge ist in der naiven Mengenlehre die Bezeichnung für eine Menge, die alle möglichen Elemente enthält. In einer reinen Mengenlehre ohne Urelemente ist sie die Menge aller Mengen. Diese Mengenbildung führt jedoch zu einem Widerspruch, denn die Potenzmenge der Allmenge wäre eine Teilmenge der Allmenge und damit keine mächtigere Menge, wie es Cantors zweites Diagonalargument verlangt. Dieser Widerspruch wird auch als Cantorsche Antinomie bezeichnet; mit ihm zeigte Georg Cantor 1899 in einem indirekten Beweis, dass das „System aller denkbaren Klassen“ keine Menge ist. Er trennte hier schon Mengen als konsistente Vielheiten von inkonsistenten Vielheiten, die heute echte Klassen heißen. Sein System aller denkbaren Klassen heißt heute Allklasse und wird präzise definiert durch die Eigenschaft $x=x$, die alle Elemente erfüllen, also als die Klasse $\{x|x=x\}$.

Die Allklasse ist nicht die Russellschen Klasse, die bei der Einstufung als Menge die Russellsche Antinomie erzeugt. Beide Klassen fallen erst bei der Annahme des Fundierungsaxioms zusammen; dieses stammt aus der axiomatischen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die die naive Mengenlehre ablöste; in ihr gibt es daher keine Allmenge. Auch in anderen axiomatischen Mengenlehren mit Fundierung, etwa in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre gibt es keine Allmenge, aber wohl die Allklasse als Nichtelement. In der allgemeinen Klassenlogik kann die Allklasse widerspruchsfrei gebildet werden; sie ist immer eine echte Klasse, muss aber nicht unbedingt ein Nichtelement sein.

Manchmal wird das Wort Allmenge auch im Sinne von Grundmenge verwendet.

Siehe auch

• Universum (Mathematik)

Literatur

• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich, 1994.