Interpretation (Logik)

Eine Interpretation (von lat. interpretatio: Auslegung, Erklärung, Deutung) im Sinn der mathematischen Logik ordnet allen zunächst bedeutungslosen oder unbestimmten Ausdrücken einer formalen Sprache einen konkreten Wert zu. Dadurch erhält die Zeichenkette einen auf ein spezifisches Anwendungsgebiet bezogenen Sinn und es wird möglich, über die Gültigkeit von Aussagen zu sprechen. Dieselbe formale Zeichenreihe (Aussage) kann in einer Interpretation wahr sein, in einer anderen falsch. Falls sie in jeder möglichen Interpretation wahr ist, nennt man sie ein (mathematisches) Theorem.

Abgrenzung: Dieser Artikel befasst sich nicht mit Interpretation im Sinn der Geisteswissenschaften oder der Künste.

Überblick

Folgende Aspekte der Interpretation können unterschieden werden:

• Interpretationen der Symbole (Signatur) einer formalen (logischen) Sprache,
• Interpretationen einer Menge von Aussagen (Axiomen) über dieser Sprache
• Interpretationen von Formeln mit Variablen über dieser Sprache

Interpretation der Symbole einer Sprache

Die Gesamtheit der zu interpretierenden Symbole hängt dabei von der Sprache ab. Speziell im Sinn der Prädikatenlogik der ersten Stufe besteht eine Interpretation aus einem Wertebereich (auch Universum, Domäne, Wertemenge, Individuenmenge oder Individuenbereich genannt) und Interpretationen der Konstanten-, Relations- und Funktionssymbole über diesem Universum. Variablen stehen für Werte aus dem Universum. (Statt Relationssymbol wird auch der Begriff Prädikat verwendet.)

Je nach Interpretation ergibt sich eine unterschiedliche Struktur; Aussagen in der Sprache können nur die in der Struktur enthaltenen Elemente und Beziehungen betreffen.

Interpretation einer Menge von Aussagen

Die Definition der Interpretation bestimmt unmittelbar den Wahrheitswert atomarer Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage über einer Struktur (Interpretation) lässt sich aus dem Wahrheitswert der atomaren Ausdrücke mittels Wahrheitstabellen ableiten.

Ist eine Menge von Aussagen (ein Axiomensystem) gegeben, ist in der Regel eine Interpretation gesucht, die alle diese Axiome gleichzeitig erfüllt, d. h. wahr macht. Die Axiome des Systems werden dann zu wahren Aussagen über das Universum, in dem das System interpretiert werden soll. Eine solche Struktur nennt man ein Modell des Axiomensystems. Im allgemeinen hat ein Axiomensystem mehrere Modelle.

Beispiele:

• Die Aussage "Jeder hat eine Mutter" gilt, wenn wir als Universum alle Menschen annehmen, die je gelebt haben, aber nicht, wenn das Universum nur alle lebenden Menschen umfasst.
• Die Aussage $\forall x\exists y:y=x+1$ hat mehrere Modelle, z. B. die natürlichen, die ganzen und die reellen Zahlen mit der Standard-Addition, aber auch die Menge der Ziffernfolgen, wenn die Funktion "+" als Konkatenation interpretiert wird und die Konstante 1 als Ziffer.

Die Umformungsregeln des formalen Systems werden damit zu Regeln über die Gewinnung bzw. Umwandlung von Aussagen bzw. Ausdrücken über das betreffende Sachgebiet.

Interpretation von Formeln mit Variablen

Sobald freie Variablen in einer logischen Formel auftauchen, hängt der Wahrheitswert davon ab, welche Werte man für die Variablen einsetzt. Von einer Interpretation im engeren Sinn werden Variablen (im Gegensatz zu Kostanten) nicht mit Werten belegt. Damit Aussagen überprüfbar sind, muss eine Belegung der Variablen hinzukommen. Manchmal spricht man aber auch von einer Interpretation einer Formel, wenn man genaugenommen eine Kombination aus Interpretation und Belegung meint.

In der theoretischen Informatik werden Aussagen mit freien Variablen oft als "Constraints" (von Englisch constraint = Einschränkung) über diesen Variablen bezeichnet; in diesen Kontexten ist die Interpretation (Semantik) der Symbole meist gegeben. Dann wird eine Variablenbelegung oder "Interpretation" gesucht, die zu den Constraints passt, d. h. diese simultan erfüllt.

Beispiele:

• x ist kleiner als y, x + y = 3. (Eine mögliche Lösung ist x=1, y = 2; je nach Universum auch x=0, y=3.)
• x ist oberhalb von y, y ist rechts von z, z ist oberhalb von x. (Diese Constraintmenge ist nicht erfüllbar.)

Eine Belegung, die alle Constraints erfüllt wird oft als Modell bezeichnet (siehe Constraint Satisfaction Problem).

Bedeutung

Eine solche Interpretation bezieht sich immer auf ein zugrunde gelegtes Universum. Indem den Konstanten und Funktionen des Axiomensystems Individuen aus diesem Universum, den Prädikaten Eigenschaften von bzw. Beziehungen zwischen diesen Individuen zugeordnet werden, erhalten sie eine Bedeutung (Semantik). Dadurch kann man über die Struktur Aussagen treffen.

Ein abstraktes Axiomensystem, das keine einzige Interpretation zulässt, ist im allgemeinen wertlos, und die Beschäftigung damit hat nur den Charakter einer Zeichenspielerei. Von besonderem Interesse sind Systeme, die mehrere Interpretationen zulassen, wie etwa die Boolesche Algebra:

Deren Signatur $\sigma$ enthält die Konstantensymbole "0" und "1", die zweistelligen Funktionssymbole $\vee ,\wedge$ und das einstellige Funktionssymbol $\neg$ . Sie können beispielsweise als Teilmengen einer Menge interpretiert werden oder als logische Wahrheitswerte oder als Zahlen des Einheitsintervalls $[0,1]$, und je nachdem bezeichnet "0" beispielsweise die leere Menge, den Wert $falsch$ oder die Zahl 0.

Hat ein Axiomensystem Interpretationen in zwei verschiedenen Gebieten $G_{1}$ und $G_{2}$, so lassen sich Untersuchungen von $G_{2}$ durch solche des anderen Gebiets und Uminterpretation der Ergebnisse ersetzen.

Formale Definition

Interpretation einer Sprache der Logik erster Stufe

Sei $\sigma$ die Signatur (Modelltheorie) einer Sprache. Formal besteht eine $\sigma$-Interpretation ${\mathcal {I}}$ im Sinn der Logik erster Stufe aus einer nichtleeren Menge $U$ (Domäne, auch Universum, Wertemenge, Individuenbereich genannt), und Zuordnungen für Konstanten-, Funktionen- und Relationssymbole:

• Jedem Konstantensymbol $c$ wird ein Wert $c^{\mathcal {I}}\in U$ zugewiesen,
• jedem $k$-stelligen Funktionssymbol $f$ eine Funktion $f^{\mathcal {I}}:U^{k}\mapsto U$
• und jedem $k$-stelligen Relationssymbol $R$ wird eine Funktion $R^{\mathcal {I}}:U^{k}\mapsto \{{\mbox{wahr, falsch}}\}$ zugewiesen. Manchmal findet man auch die Formulierung, dass jedem $k$-stellige Relationssymbol $R$ eine Teilmenge $R^{\mathcal {I}}\subseteq U^{k}$ zugeodnet wird. Letzteres ist so zu verstehen, dass die Relation für $x_{1},\ldots ,x_{k}$ genau dann gilt, falls $R^{\mathcal {I}}(x_{1},\ldots ,x_{k})={\mbox{wahr}}$.

Dadurch wird eine σ-Struktur ${\mathcal {A}}=(U;c_{1}^{\mathcal {I}},c_{2}^{\mathcal {I}},...,f_{1}^{\mathcal {I}},...,R_{1}^{\mathcal {I}},...)$ definiert. In ihr sind die Wahrheitswerte für alle Aussagen ableitbar.

Beispiele:

• Die atomare Aussage ${\mathcal {A}}\models c_{1}=c_{2}$ gilt genau dann, wenn $c_{1}$ durch denselben Wert interpretiert wird wie $c_{2}$.
• Die atomare Aussage ${\mathcal {A}}\models R(c,f(c))$ gilt genau dann, wenn $f^{\mathcal {I}}$ den Wert $c^{\mathcal {I}}$ auf einen abbildet, der mit ihm in der Relation $R^{\mathcal {I}}$ steht. Wird über den ganzen Zahlen beispielsweise $f^{\mathcal {I}}$ als Verdopplungsfunktion interpretiert und $R^{\mathcal {I}}$ als Relation $\leq$, so gilt diese Aussage für $c^{\mathcal {I}}=1$ und$c^{\mathcal {I}}=0$, aber nicht für $c^{\mathcal {I}}=-1$.

Mit den Junktoren $\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ zusammengesetzte Aussagen werden gemäß der Wahrheitstabellen aus diesen abgeleitet. Für die Ableitung der Wahrheitswerte bei Quantorenausdrücken muss die Gültigkeit der Formelausdrücke unter möglichen Belegungen der Variablen ausgewertet werden.

Die Interpretation (im weiteren Sinn) für eine Formel $\varphi$ mit freien Variablen ist ein Paar ${\mathcal {I}}=({\mathcal {A}},\beta )$ bestehend aus einer σ-Struktur ${\mathcal {A}}=(U;c_{1}^{\mathcal {I}},c_{2}^{\mathcal {I}},...,f_{1}^{\mathcal {I}},...,R_{1}^{\mathcal {I}},...)$ und einer Belegung $\beta :Var(\varphi )\rightarrow U$, die allen Variablen aus $\varphi$ einen Wert des Universums zuordnet.

Literatur

• Ebbinghaus, Hans-Dieter, Flum, Jörg und Thomas, Wolfgang: Einführung in die mathematische Logik. Vierte Auflage, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 1996.
• Chang, C.-L. and Lee, R. C.-T. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. New York: Academic Press, 1997.
• Kleene, S. C. Mathematical Logic. New York: Dover, 2002.
• Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall, pp. 12 and 57, 1997.

Weblinks

• http://mathworld.wolfram.com/Interpretation.html

Siehe auch

Logischer Ausdruck, Löwenheim-Skolem-Theorem, Signatur (Modelltheorie), Struktur (Modelltheorie), Modell, Constraint Satisfaction Problem