„Μ-Rekursion“ – Versionsunterschied
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Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen stimmt überein mit der Klasse der [[Turing-Berechenbarkeit|Turing-berechenbaren]] Funktionen. Es stellt sich heraus, dass die unterschiedlichen entwickelten Berechenbarkeitsbegriffe (μ-rekursive Funktionen, [[Lambda-Kalkül]], [[Turingmaschine]]n, Registermaschinen, [[WHILE-Programm]]e etc.) übereinstimmen und den intuitiven Begriff der Berechenbarkeit vollständig erfassen ([[Churchsche These]]). |
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== Definition des μ-Operators == |
== Definition des μ-Operators == |
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Für eine Funktion <math>f:\mathbb{N}^{k+1} \to \mathbb{N}</math> ist die Funktion <math>\mu f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}</math> definiert durch: |
Für eine partielle Funktion <math>f:\mathbb{N}^{k+1} \to \mathbb{N}</math> ist die partielle Funktion <math>\mu f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}</math> definiert durch: |
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: <math>\mu f( |
: <math>\mu f(x_1, \dots, x_k) = \begin{cases} \min M(f,x_1,\dots,x_k) & \mbox{falls } M(f,x_1,\dots,x_k) \not= \emptyset \\ \mbox{undefiniert} & \mbox{sonst.}\\ \end{cases}</math> |
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wobei die Menge <math>M(f,x_1,\dots,x_k)</math> definiert ist als |
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:<math>\{ n \geq 0 | f(x_1,\dots,x_k,n) = 0 \mbox{ und } f(x_1,\dots,x_k,m) \mbox{ ist definiert fuer alle } m < n \}</math> |
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Das Programm µf kann verstanden werden als eine [[While-Schleife]], die nach oben zählt, und die deswegen nicht [[Terminierung|terminieren]] muss: |
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Parameter: <math>f, x_1, ..., x_k</math>. |
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Setze n auf 0; |
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Solange <math>f(x_1,\dots,x_k,n) \not= 0</math> erhöhe <math>n</math> um Eins; |
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Ergebnis: <math>n</math>. |
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== Definition der μ-rekursiven Funktionen == |
== Definition der μ-rekursiven Funktionen == |
Version vom 12. Mai 2008, 15:14 Uhr
Die Klasse Pr der μ-rekursiven Funktionen oder partiell-rekursiven Funktionen spielt in der Rekursionstheorie, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die Menge aller Funktionen, die im intuitiven Sinn berechenbar sind. Eine wichtige echte Teilmenge der μ-rekursiven Funktionen sind die primitiv-rekursiven Funktionen.
Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen stimmt überein mit der Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen. Es stellt sich heraus, dass die unterschiedlichen entwickelten Berechenbarkeitsbegriffe (μ-rekursive Funktionen, Lambda-Kalkül, Turingmaschinen, Registermaschinen, WHILE-Programme etc.) übereinstimmen und den intuitiven Begriff der Berechenbarkeit vollständig erfassen (Churchsche These).
Die primitiv-rekursiven Funktionen sind aus einfachen Grundfunktionen (konstante 0-Funktion, Projektionen auf ein Argument und Nachfolgerfunktion) durch Komposition und primitive Rekursion aufgebaut. Dadurch erhält man immer totale Funktionen, also Funktionen im eigentlichen Sinn. Die μ-rekursiven Funktionen sind demgegenüber partielle Funktionen, die aus den selben Konstrukten und zusätzlich durch die Anwendung des μ-Operators gebildet werden können. Durch die Anwendung des μ-Operators wird Partialität eingeführt.
Definition des μ-Operators
Für eine partielle Funktion ist die partielle Funktion definiert durch:
wobei die Menge definiert ist als
Insbesondere bildet der Operator eine -stellige partielle Funktion auf eine -stellige partielle Funktion ab.
Das Programm µf kann verstanden werden als eine While-Schleife, die nach oben zählt, und die deswegen nicht terminieren muss:
Parameter: . Setze n auf 0; Solange erhöhe um Eins; Ergebnis: .
Definition der μ-rekursiven Funktionen
Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen (von ) umfasst die folgenden Grundfunktionen:
- konstante 0-Funktion:
- Projektion auf ein Argument: ,
- Nachfolgefunktion:
Die μ-rekursiven Funktionen erhält man als Abschluss der Grundfunktionen bezüglich der drei folgenden Operationen:
- Die Komposition: , falls
- Die Primitive Rekursion: und , falls
- Den μ-Operator.
Äquivalenz der μ-rekursiven Funktionen mit der TM
Es lässt sich beweisen, dass eine Turingmaschine (TM) durch μ-rekursive Funktionen simuliert werden kann. Es lässt sich auch beweisen, dass die Menge der μ-rekursiven Funktionen genau der Menge der Turing-berechenbaren Funktionen entspricht.
Beweis-Idee für die Simulation der TM mit μ-rekursiven Funktionen
Man kann zeigen, dass sich die Konfiguration einer TM durch drei Zahlen , , darstellen lässt. Genau so kann eine Funktion (eine bijektive Abbildung ) definiert werden, die eine geeignete Kodierung der TM ist.
Nehmen wir also eine primitiv-rekursive Funktion
- ,
die eine geeignete Kodierung der TM liefert für die Eingabe nach Berechnungsschritten,
und eine zweite primitiv-rekursive Funktion
- ,
die für eine Kodierung als Ergebnis 0 liefert, falls einen Endzustand der TM repräsentiert, und ansonsten 1.
Dann ergibt
die Anzahl der Schritte, die eine TM zur Berechnung bis zum Ende benötigt. Also bekommen wir mit
die Berechnung der TM in einem Endzustand bei der Eingabe .
Bemerkung
- Die Berechenbarkeit einer μ-rekursiven Funktion bezieht sich auf Werte aus ihrem Definitionsbereich. Es existiert kein allgemeines Verfahren, das alle Werte liefert, die nicht zum Definitionsbereich einer μ-rekursiven Funktion gehören.
- Der μ-Operator realisiert einen Suchprozess, der genau dann abbricht, wenn der gesuchte Wert existiert.
Beispiele
- Alle primitiv rekursiven Funktionen sind μ-rekursiv.
- Die Ackermannfunktion und die Sudanfunktion sind totale µ-rekursive Funktionen.
- Die Funktion Fleißiger Biber (busy beaver) ist nicht µ-rekursiv.
- Die Folge der Ziffern der Halte-Wahrscheinlichkeit (Chaitinsche Konstante ) ist nicht µ-rekursiv. Die Halte-Wahrscheinlichkeit ist definiert durch , wobei ein haltendes Programm ist und die Länge des Programms in Bit bezeichnet.
Literatur
- H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg, Berlin 1996
- A. Oberschelp: Rekusionstheorie. BI-Wiss.-Verl., Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1993