„Prisma (Geometrie)“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Hexagonal Prism BC.svg|mini|Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche]] |
[[Datei:Hexagonal Prism BC.svg|mini|Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche]] |
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Ein '''Prisma''' (Mehrzahl: ''Prismen'') ist ein geometrischer [[Körper (Geometrie)|Körper]], der durch [[Parallelverschiebung]] eines ebenen [[Polygon |
Ein '''Prisma''' (Mehrzahl: ''Prismen'') ist ein geometrischer [[Körper (Geometrie)|Körper]], der durch [[Parallelverschiebung]] eines ebenen [[Polygon]]s entlang einer nicht in dieser [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] liegenden [[Gerade]]n im [[Euklidischer Raum|Raum]] entsteht. Man spricht auch von einer [[Extrusion (Geometrie)|Extrusion]] des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles [[Polyeder]]. |
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Das gegebene Polygon wird als ''[[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]'' bezeichnet, die gegenüberliegende [[Seitenfläche]] als ''Deckfläche''. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt ''[[Mantelfläche]]''. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt ''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]'' <math>h</math> des Prismas. |
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== Gerades und schiefes Prisma == |
== Gerades und schiefes Prisma == |
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Erfolgt die Parallelverschiebung des [[Polygon |
Erfolgt die Parallelverschiebung des [[Polygon]]s [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Grundfläche, spricht man von einem ''geraden Prisma'', ansonsten von einem ''schiefen Prisma''. Die [[Mantelfläche]] eines geraden Prismas besteht aus [[Rechteck]]en, im allgemeinen Fall besteht sie aus [[Parallelogramm]]en. Ein gerades Prisma mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygon]] als Grundfläche wird als ''reguläres Prisma'' bezeichnet. |
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Der zu einem geraden Prisma [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist eine [[Doppelpyramide]]. |
Der zu einem geraden Prisma [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist eine [[Doppelpyramide]]. |
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== Reguläres Prisma == |
== Reguläres Prisma == |
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Ein gerades Prisma mit einem [[Regelmäßiges Polygon| |
Ein gerades Prisma mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Vieleck]] als Grundfläche wird als ''reguläres Prisma'' bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine [[Umkugel]], weil alle [[Ecke]]n gleich weit vom [[Mittelpunkt]] entfernt sind. Der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer [[Inkugel]]. |
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Triangular prism.svg|[[Dreieck|dreieckiges]] Prisma |
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Tetragonal prism.png|[[Viereck|viereckiges]] Prisma |
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Pentagonal prism.png|[[Fünfeck|fünfeckiges]] Prisma |
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Hexagonal prism.png|[[Sechseck|sechseckiges]] Prisma |
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Prism 7.png|[[Siebeneck|siebeneckiges]] Prisma |
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Octagonal prism.png|[[Achteck|achteckiges]] Prisma |
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Prism 9.png|[[Neuneck|neuneckiges]] Prisma |
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Decagonal prism.png|[[Zehneck|zehneckiges]] Prisma |
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Hendecagonal prism.png|[[Elfeck|elfeckiges]] Prisma |
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Dodecagonal prism.png|[[Zwölfeck|zwölfeckiges]] Prisma |
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</gallery> |
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=== Formeln === |
=== Formeln === |
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{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
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|+ style="background:#C0C0FF"|Größen eines regelmäßigen Prismas (regelmäßiges ''n''-Eck mit Seitenlänge ''a'' als Grundfläche und Höhe ''h'') |
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| '''Allgemeiner Fall''' |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''Grundfläche''' <math>A_g</math> |
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|<math>\left(\frac{n}{4}\cot\!\frac{\pi}{n}\right) a^2</math> |
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|<math>a^2</math> |
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|<math>\frac{\sqrt{3}}{4} \ a^2</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]''' <math>V</math> |
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|<math>\left(\frac{n}{4}\cot\!\frac{\pi}{n}\right) a^2h</math> |
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|<math>a^2h</math> |
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|<math> |
|<math>\frac{\sqrt{3}}{4} \ a^2h</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]''' <math>O</math> |
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|<math>\frac{a n}{2} \ \left(2 h + a \ \cot \frac{\pi}{n}\right)</math> |
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|<math> |
|<math>a^2 + a \sqrt{4 h^2 + a^2}</math> |
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|<math> |
|<math>\frac{3 a}{4} \left(\sqrt{3}\ \frac{a}{3} + \sqrt{4 h^2 + \frac{a^2}{3}}\right)</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel|Umkugelradius]]''' <math>r_u</math> |
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|<math>\frac{1}{2} \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{\sin^2 \frac{\pi}{n}}}</math> |
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|<math> |
|<math>\frac{1}{2} \sqrt{h^2 + 2 a^2}</math> |
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|<math> |
|<math>\frac{1}{2} \sqrt{h^2 + \frac{4 a^2}{3}}</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Innenwinkel]] der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Grundfläche''' <math>\alpha</math> |
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|<math>\frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Winkel]] zwischen Grundfläche und [[Rechteck|Rechtecken]]''' <math>\beta_1</math> |
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|<math>90^\circ</math> |
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|<math>90^\circ</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Winkel]] zwischen den [[Rechteck|Rechtecken]]''' <math>\beta_2</math> |
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|<math>\frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math> |
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|<math> |
|<math>90^\circ</math> |
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|<math> |
|<math>60^\circ</math> |
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Raumwinkel]] in den Ecken''' <math>\Omega</math> |
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|<math> |
|<math>\frac{n - 2}{n} \cdot \pi \ \mathrm{sr}</math> |
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|<math> |
|<math>\frac{\pi}{2} \ \mathrm{sr}</math> |
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|<math>\frac{\pi}{3} \ \mathrm{sr}</math> |
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== Sonderfälle und Verallgemeinerung == |
== Sonderfälle und Verallgemeinerung == |
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Besondere Formen des Prismas sind die [[Quader]] und [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden. |
Besondere Formen des Prismas sind die [[Quader]] und [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden. |
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== Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche == |
== Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche == |
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Das [[Volumen]] <math>V</math> eines Prismas ist gegeben durch |
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: <math>V = G \cdot h</math>, |
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== Umkugel == |
== Umkugel == |
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Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen [[Umkreis]] besitzt, haben eine [[Umkugel]]. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der [[Radius]] <math>R</math> der Umkugel bei gegebener Höhe <math>h</math> und gegebenem Umkreisradius <math>r</math> berechnet sich nach dem [[Satz des Pythagoras]] zu: |
Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen [[Umkreis]] besitzt, haben eine [[Umkugel]]. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der [[Radius]] <math>R</math> der Umkugel bei gegebener Höhe <math>h</math> und gegebenem Umkreisradius <math>r</math> berechnet sich nach dem [[Satz des Pythagoras]] zu: |
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Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel: |
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# Es gibt eine gedachte [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die senkrecht auf allen [[Parallelogramm |
# Es gibt eine gedachte [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die senkrecht auf allen [[Parallelogramm]]en des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein [[Polygon]]. |
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# Das Polygon aus 1 besitzt einen [[Inkreis]]. |
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# Der Radius dieses Inkreises beträgt <math>h / 2</math>. |
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== Kantenkugel == |
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Nur gerade Prismen mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygon]] als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine [[Kantenkugel]]. Der Mantel solcher Prismen wird also aus [[Quadrat |
Nur gerade Prismen mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygon]] als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine [[Kantenkugel]]. Der Mantel solcher Prismen wird also aus [[Quadrat]]en gebildet. Bei gegebenem [[Umkreis]]radius <math>r</math> ergibt sich der [[Radius]] <math>R</math> der Kantenkugel zu: |
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* Bronstein, Semendjajew: ''[[Taschenbuch der Mathematik]]''. 21./22. Auflage. 1981, S. 196. |
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Version vom 7. Februar 2024, 19:07 Uhr
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Hexagonal_Prism_BC.svg/220px-Hexagonal_Prism_BC.svg.png)
Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.
Das gegebene Polygon wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seitenfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt Höhe des Prismas.
Gerades und schiefes Prisma
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Right_and_not-right_prism.svg/220px-Right_and_not-right_prism.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Rhombohedron.svg/220px-Rhombohedron.svg.png)
Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.
Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide.
Reguläres Prisma
Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine Umkugel, weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.
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dreieckiges Prisma
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viereckiges Prisma
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fünfeckiges Prisma
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sechseckiges Prisma
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siebeneckiges Prisma
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achteckiges Prisma
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neuneckiges Prisma
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zehneckiges Prisma
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elfeckiges Prisma
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zwölfeckiges Prisma
Formeln
Allgemeiner Fall | Quadratisches Prisma | Regelmäßiges Dreiecksprisma | |
Grundfläche | |||
Volumen | |||
Oberflächeninhalt | |||
Umkugelradius | |||
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche | |||
Winkel zwischen Grundfläche und Rechtecken | |||
Winkel zwischen den Rechtecken | |||
Raumwinkel in den Ecken |
Sonderfälle und Verallgemeinerung
Besondere Formen des Prismas sind die Quader und Würfel. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.
In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).
Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.
Symmetrie
Jedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.
Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche
Das Volumen eines Prismas ist gegeben durch
- ,
wobei den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.
Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gegeben durch
- ,
wobei für den Umfang der Grundfläche und für die Höhe des Prismas steht.
Die gesamte Oberfläche eines Prismas ergibt sich aus
- ,
wobei und dem Inhalt von Grundfläche und Mantelfläche entsprechen.
Umkugel
Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius der Umkugel bei gegebener Höhe und gegebenem Umkreisradius berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:
Inkugel
Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.
Bei gegebener Höhe eines Prismas ergibt sich der Radius der Inkugel zu:
Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:
- Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon.
- Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
- Der Radius dieses Inkreises beträgt .
Kantenkugel
Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius ergibt sich der Radius der Kantenkugel zu:
Siehe auch
Literatur
- Prisma. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 16: Plaketten–Rinteln. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1908, S. 354 (Digitalisat. zeno.org).
- Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 21./22. Auflage. 1981, S. 196.
Weblinks
- Prisma. mathematische-basteleien.de
- Eric W. Weisstein: Prism. In: MathWorld (englisch).