Quelltext der Seite Zählprozess

[[Bild:Poissonprozess.png|mini|320px|Beispiel eines Zählprozesses: der Poisson-Prozess, hier mit verschiedenen Intensitäten]]
Ein '''Zählprozess''' ist ein spezieller [[stochastischer Prozess]]. Er zählt die Anzahl der [[Ereignis]]se eines bestimmten Typs, die bis zu einem Zeitpunkt eingetreten sind.

== Anwendung und Beispiele ==
Zählprozesse spielen bei der [[Modellierung]] und [[Simulation]] von Bedienungssystemen eine Rolle, praktikabel ist die Simulation meist jedoch nur für spezielle Zählprozesse, insbesondere [[Erneuerungsprozess]]e durch [[ereignisorientierte Simulation]].

Als ein Beispiel eines Zählprozesses kann der [[Poisson-Prozess]] genannt werden, der auch ein Erneuerungsprozess ist. Einige Theorien lassen sich mittels Zählprozessen darstellen. Beispielsweise lässt sich die gesamte [[Überlebenszeitanalyse]] mittels der Zählprozesstheorie darstellen.

== Definition ==
Ein [[stochastischer Prozess]] <math>N = (N(t))_{t \ge 0}</math> heißt Zählprozess<ref>Jochen Wengenroth: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-020358-5, S. 127 ({{Google Buch|BuchID=h7Tpex-Hw_EC|Seite=127}}).</ref>, wenn es eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] positiver [[Zufallsgröße]]n <math>(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>, die sogenannten [[Zwischenankunftszeit]]en, derart gibt, dass mit <math>S_n := Y_1 + \dotsb + Y_n</math> gilt:

<math>N(t) = \left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{falls } t < Y_1 \\ \max \left\{ n \in \mathbb{N} : S_n \le t \right\}, & \mbox{sonst} \end{matrix}\right.</math>

Die Folge der <math> S_n </math> bildet dann einen [[Punktprozess]] auf <math> \R^+ </math>. Dieser positioniert zufällige Punkte auf der positiven Zahlengerade, deren Abstände gemäß den Zwischenankunftszeiten verteilt sind. Der Zählprozess läuft dann mit konstanter Geschwindigkeit die positiven Zahlen ab und zählt, wie viele Punkte er bis zum Zeitpunkt <math> t </math> bereits angetroffen hat. Aufgrund dieser engen Verbindung werden Zählprozess und Punktprozess teils auch synonym verwendet.<ref>{{MathWorld| id = PointProcess| title = PointProcess| author = }} </ref>

Die [[Pfad (Stochastik)|Pfade]] eines Zählprozesses sind also [[Sprungfunktion (Maßtheorie)|Sprungfunktionen]] mit Sprunghöhe 1.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Zahlprozess}}
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]