Skopus (Logik)

In der Logik versteht man unter dem Skopus eines Quantors die kürzeste Formel, die diesem Quantor unmittelbar folgt. Der Begriff wird dazu verwendet, die Begriffe der Freiheit und der Gebundenheit von Variablen zu definieren.

Es gilt nämlich:

Ein Vorkommen einer Variable ist frei in einer Formel B, wenn es nicht im Skopus eines Quantors vorkommt.

Ein Vorkommen einer Variable wird durch ein Vorkommen eines Quantors gebunden, wenn die Variable im Skopus B des Quantors vorkommt und wenn die Variable in B frei ist.

Erläuterung und Beispiele

Als Beispiel betrachten wir die beiden Aussagen

A: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \forall x (\exists x G(x) \wedge F(x) \supset H(x))}

und

B: $\forall x(\exists x(G(x)\wedge F(x))\supset H(x))$

Der Skopus des Existenzquantors $\exists x$ besteht in Aussage A nur aus der Formel $G(x)$, in Aussage B aus $G(x)\wedge F(x)$, der Skopus des Allquantors $\forall x$ geht in beiden Fällen über die ganze Formel.

Wir können nun zeigen, dass das x in $F(x)$ in A durch den Allquantor und in B durch den Existenzquantor gebunden wird. Im ersten Fall ist der Skopus des Allquantors die Formel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \exists x G(x) \wedge F(x) \supset H(x)}

Wie schon gesagt, steht das x von $F(x)$ hier nicht im Skopus des Existenzquantors. Das Vorkommen ist also frei. Ein freies Vorkommen einer Variable im Skopus eines Quantors wird durch diesen Quantor gebunden, die Variable wird also durch den Allquantor gebunden.

In B ist der Skopus des Existenzquantors die Formel:

$G(x)\wedge F(x)$

In dieser Formel sind beide Variablen frei, sie werden also durch den Existenzquantor gebunden.

Dem Skopus-Unterschied entspricht auch ein Unterschied in der Bedeutung der beiden Formeln: Um dies zu verdeutlichen, interpretieren wir G(x) als "x ist Gott", F(x) "x ist gerecht" und H(x) als "x ist glücklich". Dann ist Aussage A zu lesen als

Wenn es einen Gott gibt, sind alle Gerechten glücklich

Aussage B dagegen als

Wenn es einen Gott gibt, der gerecht ist, sind alle glücklich.