„Minimalpolynom“ – Versionsunterschied

Das Minimalpolynom <math>p</math> einer quadratischen <math>n \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist das normierte [[Polynom]] kleinsten Grades mit Koeffizienten in <math>K</math>, so dass <math>p\left(A\right)=0</math> (die [[Nullmatrix]]) ist.

* <math>\lambda</math> ist Nullstelle von <math>p</math>, d.&nbsp;h. <math>p\left(\lambda\right)=0</math>,

Die Vielfachheit einer Nullstelle <math>\lambda</math> von <math>p</math> bestimmt die Länge der längsten [[Hauptvektor]]-Kette zum Eigenwert <math>\lambda</math>, d.&nbsp;h., beträgt die Vielfachheit z.&nbsp;B. 4, dann existiert eine Kette von vier zueinander linear unabhängigen Hauptvektoren (der Stufen 1 bis 4) zum Eigenwert <math>\lambda</math>. Falls noch weitere Hauptvektorketten zum Eigenwert <math>\lambda</math> existieren, die von dieser Kette der Länge 4 linear unabhängig sind, dann sind sie auf keinen Fall länger. Somit ist die Größe des größten zu <math>\lambda</math> gehörenden Jordanblocks der [[Jordansche Normalform|jordanschen Normalform]] von <math>A</math> identisch mit der Vielfachheit von <math>\lambda</math> im Minimalpolynom <math>p</math>.

Unter der [[geometrische Vielfachheit|geometrischen Vielfachheit]] des Eigenwerts <math>\lambda</math> von <math>A</math> versteht man dagegen die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Anders ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts <math>\lambda</math> der quadratischen Matrix <math>A</math> ist die Dimension des Lösungsraums von <math>\left(A-\lambda\cdot E\right)x=0 </math> mit der {{nowrap|<math>n\times n</math>-[[Einheitsmatrix]] <math>E </math> .}}

Etwas allgemeiner kann man (auch ohne Festlegung auf eine bestimmte [[Basis (Vektorraum)| Basis]]) zu einem [[Endomorphismus]] <math>F</math> eines Vektorraums <math>V</math> den Kern des Einsetzungshomomorphismus von <math>F</math> aus der Definition untersuchen, dies führt dann auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen zu einem Minimalpolynom, wenn dieser Kern nicht der [[Nullvektorraum]] ist.

Ein einfaches Beispiel sind die [[Projektion (lineare Algebra)|Projektionsabbildungen]] <math>P</math>, die definitionsgemäß idempotent sind, also die Relation <math>P^2-P=0</math> erfüllen. Jede Projektion hat also eines der Polynome <math>p\left(x\right)=x^2-x</math>, <math>p\left(x\right)=x</math> oder <math>p\left(x\right)=x-1</math> als Minimalpolynom.

Sei <math>L/K</math> eine Körpererweiterung, <math>K[X]</math> der Polynomring zu <math>K</math> mit der Unbestimmten <math>X</math> und sei <math>a\in L</math> algebraisch, das heißt, es existiereexistiert <math>0\neq p(X)\in K[X]</math> mit <math>p(a)=0</math>.

Dann existiert ein Polynom <math>m(X)\in K[X]</math> (genannt ''das'' Minimalpolynom) mit den Eigenschaften

# <math>m(X)</math> ist normiert,

# <math>m(a)=0</math>,

# <math>m(X)</math> hat minimalen Grad, d.&nbsp;h., für alle <math>\forall g(X)\in K[X]\setminus\{0\}</math> mitgilt <math>\deg(g)<\deg(m)</math>\; gilt\implies\; <math>g(a)\neq 0</math>, und

# <math>m(X)</math> ist eindeutig (durch <math>a</math> bestimmt), d.&nbsp;h., für jedes weitere <math>m^\ast (X)\in K[X]</math>, welches die Eigenschaften 1–3 erfüllt, gilt schon <math>m^\ast(X)=m(X)</math>.

Betrachtet man den Erweiterungskörper <math>L</math> als Vektorraum über <math>K</math> und ein bestimmtes Element <math>a\alpha\in L</math> als Endomorphismus auf <math>L</math> (durch die Abbildung <math>F_aF_\alpha\colon L\to L, x\mapsto\alpha\cdot axx</math>), so kommt man bei einem algebraischen Element <math>a\alpha</math> zum selben Minimalpolynom (im Sinn der linearen Algebra) wie in der Körpertheorie.

* Minimalpolynome über <math>\mathbb Q</math> von <math>\sqrt{a}</math>, wobei <math>\sqrt{a}</math> irgendeine komplexe Quadratwurzel ist :<br /><math>\sqrt{a}</math> ist schon mal eine Nullstelle von <math>\textstyle X^2 - a</math>. Dieses Polynom ist aber irreduzibel über <math>\mathbb Q</math>, wenn <math>\sqrt{a} \notin \mathbb Q</math>.<br />Wenn <math>\sqrt{a} \in \mathbb Q</math>, dann ist das Minimalpolynom minimale Polynom <math>X - \sqrt{a}</math>.

* Minimalpolynome über <math>\mathbb Q</math> von <math>\xi_3 = \exp((2\pi \mathrm{i}) / 3)</math>: Es gilt <math>\xi_3^3 = 1</math>. Also ist <math>\xi_3</math> Nullstelle von <math>X^3 - 1</math>. Dieses Polynom ist aber nicht irreduzibel, denn es hat die Faktorisierung <math>(X-1)(X^2+X+1)</math>.<br />Offensichtlich ist <math>\xi_3</math> keine Nullstelle von <math>X - 1</math>. Also muss <math>\xi_3</math> Nullstelle von <math>X^2+X+1</math> sein,. undUnd dieses Polynom ist irreduzibel (z.&nbsp;B. durch Reduktion modulo 2).

::<math>\alpha_0 = \alpha </math>,

::<math>\alpha_1 = -\sqrt[4]{2} + (-\sqrt[4]{2})^2 = -\sqrt[4]{2} + \sqrt{2}</math>,

::<math>\alpha_2 = \mathrm{i}\sqrt[4]{2} + (\mathrm{i}\sqrt[4]{2})^2 = \mathrm{i}\sqrt[4]{2} - \sqrt{2}</math> und

::<math>\alpha_3 = -\mathrm{i}\sqrt[4]{2} + (-\mathrm{i}\sqrt[4]{2})^2 = -\mathrm{i}\sqrt[4]{2} - \sqrt{2}</math>.

::<math>=X^4-4X^2-8X+2 .</math>.